Sto lat teorii ruchów Browna - th- · brownowskie — nie zas nie predk˛ o´ sci tych ......

Sto lat teorii ruchówBrowna

P. F. Góra

Odkrycie ruchów Browna

Wyjasnienie teoretyczne

Opis matematyczny

Procesy stochastycznedzisiaj

Zagadnienie Kramersa

Rezonans stochastyczny

Zebatki brownowskie imotory molekularne

Zjawiska paradoksalne

Fluktuacjenierównowagowe

Zamiast podsumowania

Sto lat teorii ruchów Browna

P. F. Góra

Instytut Fizyki im. Mariana SmoluchowskiegoUniwersytet Jagiellonski

XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich, Warszawa, 2005


P. F. Góra



Opis matematyczny








1827: Odkrycie ruchów Browna

Robert Brown(1773–1858)

botanik szkocki

While examining the form of theseparticles immersed in water, I observedmany of them very evidently inmotion. . . These motions were such asto satisfy me, after frequently repeatedobservations, that they arose neitherfrom currents in the fluid, nor from itsgradual evaporation [konwekcja], butbelonged to the particle itself.

Brown nie był pierwszy — juz przed nim obserwowanomikroskopowe ruchy czasteczek organicznych, aleprzypisywano je jakiejs sile zyciowej.

Brown obserwował ruchy zywych pyłków, obumarłychpyłków i zawiesiny nieorganicznej.


P. F. Góra


Wyjasnienie teoretyczneCharakter ruchów Browna

Dwie prace

Annus mirabilis

Mechanizm mikroskopowy

Hipoteza atomistyczna

Dwa tysiace lat wczesniej. . .

Opis matematyczny








Dziwny charakter ruchów Browna

I Ruch bardzo nieregularnyI Trajektoria w róznych skalach czasowych

wyglada podobnie

I Trajektoria nie zalezy od historii

Próby opisu w jezyku predkosci zawiodły.


P. F. Góra



Dwie prace

Annus mirabilis




Opis matematyczny








Dwie prace, które wszystko wyjasniły

Albert Einstein(1879–1955)

A. Einstein, Über die von dermolekularkinetischen Theorie derWärme geforderte Bewegung von inruhenden Flüssigkeiten suspendiertenTeilchen, Ann. Phys. 17, 549–560(1905).

MarianSmoluchowski(1872–1917)

M. von Smoluchowski, Zur kinetischenTheorie der BrownschenMolekularbewegung und derSuspensionen, Ann. Phys. 21,756–780 (1906).


P. F. Góra



Dwie prace

Annus mirabilis




Opis matematyczny








Annus mirabilis

I Albert Einstein w roku 1905 opublikował czteryznaczace prace:

I dwie prace dotyczace szczególnej teoriiwzglednosci

I wyjasnienie efektu fotoelektrycznegoI wyjasnienie ruchów Browna

I Einstein wiedział, ze ruchy Browna saobserwowane, ale nie znał szczegółowychdanych doswiadczalnych

I Einstein samodzielnie wymyslił obserwacyjnewłasnosci ruchów Browna!

I Smoluchowski dobrze znał dane doswiadczalneI Smoluchowski otrzymał swoje wyniki przed

Einsteinem, ale opublikował je dopiero podwrazeniem pracy Einsteina


P. F. Góra



Dwie prace

Annus mirabilis




Opis matematyczny









I Ruch wywołany jest zderzeniami z czasteczkamirozpuszczalnika — ruchy Browna saobserwowalna manifestacja ruchów cieplnych

I Pomiedzy kazdymi kolejnymi zarejstrowanymipołozeniami nastapiło bardzo wiele zderzenelementarnych

I Proces zderzen mozna (w dobrym przyblizeniu)opisywac jako ciagły w czasie

I Trajektorie sa nigdzie nierózniczkowalneI Ruchu nie da sie scharakteryzowac poprzez

predkosc!I Heurystyczne wyprowadzenie równania dyfuzjiI 〈x〉 = 0,

⟨x2⟩ = 2Dt

I D = kBT/(Mγ) — twierdzeniefluktuacyjno-dysypacyjne


P. F. Góra



Dwie prace

Annus mirabilis




Opis matematyczny









I Sto lat temu niechetnie — i nie przez wszystkich— przyjmowana hipoteza. . .

I Ruchy Browna dowodem na ruch cieplnyczesteczek mikroskopowych — bardzo waznyargument na rzecz atomizmu.

I Pomiary odległosci przebytej przez czastkibrownowskie — nie zas nie predkosci tychczasteczek! — pozwalały wyznaczyc liczbeAvogadra.

I Pomiarów dokonał Jean–Baptiste Perrin(nagroda Nobla 1926).


P. F. Góra



Dwie prace

Annus mirabilis




Opis matematyczny









Titus Lucretius Carus (ok. 97 pne – ok. 55 pne),De Rerum Natura, Liber Secundus(Lukrecjusz, O naturze wszechrzeczy, ksiega II)pisał, ze

Ruch drobinek kurzu widocznych w strudze swiatław ciemnym pomieszczeniu wywołany jest ruchamiatomów.

To nie sa ruchy Browna — sa to ruchymakroskopowe, wywołane konwekcja i turbulencja —ale starozytni atomisci byli blisko. . .


P. F. Góra



Opis matematycznyRównanie Langevina

Równanie Fokkera–Plancka

Całka stochastyczna

Ito czy Stratonowicz?








Opis matematyczny

I Ruch cieplny mozna modelowac poprzez białyszum Gaussowski — proces stochastyczny ξ(t)taki, ze 〈ξ(t)ξ(t ′)〉 = 2Dδ(t − t ′).

I Smoluchowski: Biały szum Gaussowskiznakomitym modelem fluktuacji układówmakroskopowych w stanie równowagitermodynamicznej.


P. F. Góra














Równanie Langevina

Paul Langevin(1872–1946)

P. Langevin, Comptes Rendus del’Academie des Sciences (Paris), 146,530 (1908).

dvdt

= −γv + ξ(t) (1)

lub bardziej ogólnie

dxdt

= −d U(x , t)dt

+ ξ(t) (2)


P. F. Góra














Równanie Fokkera–PlanckaRównaniu Langevina

x = A(x) + ξ(t) (3)

(ξ(t) jest GWN) odpowiada nastepujace równanie nazalezna od czasu gestosc prawdopodobienstwa:

∂P(x , t)∂t

= − ∂

∂x(A(x) P(x , t)) + D

∂2

∂x2 P(x , t) (4)

Równanie to, wprowadzane przez Einsteina,Smoluchowskiego, Fokkera i Plancka, w pełni scislewyprowadził dopiero Kołmogorow (1931). Jest onodzis najwazniejszym narzedziem słuzacym do opisudynamiki z siłami stochastycznymi.

Po prawej stronie równania (3) szum jest dodawanydo funkcji zmiennej x .


P. F. Góra















Rozwazmy równanie Langevina, w którym szum jestsprzezony multiplikatywnie (parametrycznie) zezmienna dynamiczna:

x = A(x) + C(x) ξ(t) (5)

Okazuje sie, ze powyzsze równanie nie ma sensu,jezeli jakos nie dointerpretujemy szumu,a w szczególnosci całki stochastycznej:

t+∆t∫t

C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ =? (6)


P. F. Góra















I K. Ito, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519 (1944):

t+∆tZt

C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C(x(t))

t+∆tZt

ξ(t ′) dt ′ (7)

I R. L. Stratonovich, SIAM J. Control 4, 362 (1966):

t+∆tZt

C(x(t ′)) ξ(t ′) dt ′ = C

x(t) + x(t + ∆t)2

t+∆tZt

ξ(t ′) dt ′

(8)

I Te interpretacje prowadza niekiedy do róznych wyników.

I Matematycy uzywaja niemalze wyłacznie interpretacjiIto.

I Fizyk potrzebuje fizycznych argumentówprzemawiajacych za jedna badz druga interpretacja.


P. F. Góra














Zmiana zmiennych w interpretacji Ito

Po przyjeciu którejs interpretacji, równaniu (5)odpowiada równanie Fokkera-Plancka postaci

∂P(x , t)∂t

= − ∂

∂xA(x)P +

12∂2

∂x2 [C(x)]2 P (9)

Przypuscmy, ze w równaniu (5) dokonamy zmianyzmiennych y = φ(x) Jak zmieni sie równanieFokkera-Plancka?

Stratonowicz: A(y) = A(x(y))dφdx , C(y) = C(x(y))dφ

dx .

Ito: A(y) = A(x(y))dφdx + 1

2 [C(x(y))]2 d2φdx2 ,

C(y) = C(x(y))dφdx .


P. F. Góra



Opis matematyczny








Procesy stochastyczne dzisiaj

I Teoria procesów stochastycznych waznym działemmatematyki.

I Metoda Monte Carlo: Procesy stochastyczne jakonarzedzie modelowania zjawisk

I fizycznych i chemicznych,I technicznych,I biologicznych i ekologicznych,I społecznych i ekonomicznych.

I Na poziomie fundamentalnym wciaz dyskutuje siepochodzenie szumów, zwłaszcza w obszarzekwantowym.

I Nie w pełni poznana jest rola, charakter ipochodzenie fluktuacji nierównowagowych.

I W wielu zastosowaniach praktycznych szumprzeszkadza — jak pozbyc sie szkodliwego wpływuszumów?

I Szumy moga dawac takze efekty konstruktywne!


P. F. Góra



Opis matematyczny


Zagadnienie KramersaPrzejscia wywoływane szumem






Zagadnienie KramersaH. A. Kramers, Physica 7, 284 (1940).Teoria reakcji chemicznych aktywowanychtermicznie.

kf = Mωbγ

ωw2π e−βEa

kf — stała szybkosci reakcji“do przodu”

−→ Teoria szybkosci reakcji

P. Hänggi, P. Talkner, and M. Borkovec, Rev. Mod. Phys. 62, 251 (1990)E. Pollak and P. Talkner, Chaos 15, 026116 (2005)


P. F. Góra



Opis matematyczny


Zagadnienie KramersaPrzejscia wywoływane szumem






Przejscia wywoływane szumemW. Horsthemke and R. Lefever Noise-Induced Transitions.Theory and Applications in Physics, Chemistry, andBiology, Springer, 1984.

Ene

rgia

(sw

obod

na)

parametr

I Przejscia do obszarów niedostepnych w inny sposób,

I Destabilizacja jednych punktów stałych, stabilizacja innych,

I Stabilizacja niestabilnych orbit,

I Podtrzymywanie sygnałów przez szum,

I Synchronizacja wywołana szumem

I i wiele innych.


P. F. Góra



Opis matematyczny



Rezonans stochastycznyPrzykład kanoniczny

Rezonans stochastyczny — jak todziała

Rezonans stochastyczny dzisiaj






Rezonans stochastyczny — szum moze wzmacniacsygnał!

L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys.70, 223 (1998)


P. F. Góra



Opis matematyczny










Przykład kanoniczny

Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjsciowegosygnału do szumu przy zwiekszeniu poziomu szumu.

x = −U ′(x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10)

Ene

rgia

(sw

obod

na)

parametr

Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamaraand K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).


P. F. Góra



Opis matematyczny










Rezonans stochastyczny — jak to działa

P(ω) = Pback(ω) + PΩ δ(ω − Ω) (11)

D/2 = 0.5 D/2 = 1.0 D/2 = 4.0

SNR = 10log10PΩ

Pback(ω = Ω)


P. F. Góra



Opis matematyczny











I Reakcje biochemiczne (np. ATP–aza)I Modele klimatu (epoki lodowcowe, El Niño,. . . )I Detektory — naturalne i sztuczneI Zastosowania biomedyczne (korektory postawy,

otoskleroza,. . . )I Modele populacyjne i społeczneI itd


P. F. Góra



Opis matematyczny




Zebatki brownowskie imotory molekularneZebatka brownowska

Zebatka brownowska — wydaniewspółczesne

Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne




Zebatka brownowska (Brownian ratchet)

I Wariant demonaMaxwella, wymyslonyprzez Smoluchowskiegoi spopularyzowany przezFeynmanna:

I Przypadkowy ruch cieplnyzostaje zamieniony naukierunkowany ruchzebatki

I Sprezyna takze fluktuuje, zwalniajac zebatke!I Urzadzenie takie moze wykonac dowolnie wielka prace,

ale. . .I . . . poniewaz czas oczekiwania na odpowiednio wielka

fluktuacje gwałtownie rosnie, moc takiego urzadzenia dazydo zera.


P. F. Góra



Opis matematyczny






Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne





Jesli “rozprostujemy” zebatke, dostaniemy potencjałokresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej.Dodajmy zewnetrzna siłe okresowa, kołyszacazebatka:

Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamytransport , mimo iz srednia siła działajaca na czastkeznika!M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993).


P. F. Góra



Opis matematyczny






Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne




Flashing ratchet

Zamiast “kołysac” potencjałem, mozemy właczaci wyłaczac potencjał.

I Swobodna dyfuzja przy wyłaczonym potencjale

I Dzieki asymetrii potencjału, wiecej czastek zostajeprzerzuconych “do przodu” niz “do tyłu”

I Działa nawet przy pewnym nachyleniu w “zła” strone


P. F. Góra



Opis matematyczny






Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne




Jeszcze o zebatkach

I Obecnosc szumu jest konieczna do tego, abyzebatka działała

I Zebatka nie łamie II zasady termodynamiki —energia jest dostarczana z zewnatrz, wiekszoscjest rozpraszana

I Najwiekszy transport odpowiada rezonansowistochastycznemu


P. F. Góra



Opis matematyczny






Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne




Motory molekularne

I Nanotechnologia i biotechnologia opieraja sie namozliwosci kontrolowania i wytwarzania niezwykle małychmechanizmów.

I Marzenie: Zbudujmy nanoroboty, które beda naprawiacmikrouszkodzenia w ludzkim ciele “od wewnatrz”.

I Wielu marzycieli i projektantówzapomina, iz na poziomiemolekularnym fluktuacje termiczneodgrywaja ogromna role.

I Na poziomie molekularnym siłefluktuacji mozna porównac do siłyhuraganu na poziomie makro.


P. F. Góra



Opis matematyczny






Flashing ratchet

Jeszcze o zebatkach

Motory molekularne




Motory molekularne (c.d.)

A jednak natura jakos sobie z tym radzi. . .

Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorówmolekularnych sa zebratki brownowskie!

Np. kinezyny, pompy molekularne itp.

R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July2001, 51Prace motoru molekularnego mozna porównac do wpychaniasamochodu pod góre w czasie huraganu, bez uzycia silnika

1. Samochód ma koła zablokowane cegła, która mocnodociskamy do podłoza

2. Czekamy az wiatr popchnie samochód pod góre

3. Szybko przesuwamy cegłe

4. GOTO 1


P. F. Góra



Opis matematyczny





Zjawiska paradoksalneGry Parrondo

Paradoks orzechów brazylijskich

Ujemna ruchliwosc



Zjawiska paradoksalne wywołaneszumem

Statystyka matematyczna i teoria procesówstochastycznych prowadza do wielu zjawisk“paradoksalnych” — wyników scisłychmatematycznie, ale sprzecznych z intuicja.

Nie inaczej jest z procesami fizycznymi, w którychszumy odgrywaja istotna role.


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc



Paradoksalne gry Parrondo

Rozwazmy dwie “gry” nierzetelnymi monetami. Podaneliczby oznaczaja prawdopodobienstwa zwyciestwa i

przegranej; kto zwycieza, dostaje złotówke, kto przegrywa,płaci złotówke.

Gra AZwyciestwo Przegrana

1/2 − ε 1/2 + ε

Gra B(uzywamy dwu rodzajów monet)

Czy biezacy kapitał jest wielokrotnoscia 3?Nie Tak

Zwyciestwo Przegrana Zwyciestwo Przegrana3/4 − ε 1/4 + ε 1/10 − ε 9/10 + ε


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc



Paradoksalne gry Parrondo

Kazda z tych gier prowadzi na dłuzsza mete doprzegranej.

Jesli jednak bedziemy losowo — lub w pewnymregularnym cyklu — zmieniac gry, na dłuzsza mete

wygramy!

I Potencjał stale wyłaczony— czastka sie stacza

I Potencjał stale właczony— czastka sie stacza

I Potencjał naprzemienniewłacza sie i wyłacza —czastka wspina sie do góry

Juan Parrondo wymyslił swoje “gry” jako ilustracje efektuzebatkowego!


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc



Paradoks orzechów brazylijskichW czasie długich transportów morskich z AmerykiPołudniowej do Europy, skrzynie, w którychtransportowano orzechy, były bardzo mocno wstrzasane.Intuicja podpowiada, iz w rezultacie rózne rodzajeorzechów powinny byc równo wymieszane, jednak wrzeczywistosci po otwarciu skrzyni na wierzchuznajdowano najwieksze i najciezsze orzechy brazylijskie.


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc




Szczegółowe wytłumaczenie tego paradoksu jest bardzozłozone:

A. Kudrolli, Rep. Prog. Phys. 67, 57 (2004)

Niewielkie róznice pomiedzy róznymi rodzajami“orzechów” powoduja, iz jedne tona, inne wydobywaja siena powierzchnie.

→ Fizyka układów ziarnistych


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc



Ujemna ruchliwosc

Zwykła odpowiedz — układ w równo-wadze

Ujemna ruchliwosc — układ nierów-nowagowy

Efekt zebatkowy

Siła oznaczac moze srednia siłe

R. Eichhorn, P. Reimann, P. Hänggi, Physica A 325, 101 (2003)A. Ros, R. Eichhorn, J. Regtmeier, T. T. Duong, P. Reimann and D.Anselmetti, Nature 436, 928 (2005)R. Eichhorn, P. Reimann, B. Cleuren and C. Van den Broeck, Chaos 15,026113 (2005)


P. F. Góra



Opis matematyczny







Ujemna ruchliwosc



Ujemna ruchliwosc

Co jest potrzebne do zrealizowania ujemnej ruchliwosci?

I “Pułapki” na czastki (→ asymetria)

I Dyfuzja (→ ruchy Browna)

Duza siła działa w prawo — wie-kszosc czasteczek nie zdazy dyfuzyj-nie uciec do wyjscia — zostaja uwie-zionePrzełaczamy siłe — słabsza siładziała w lewo — wiekszosc czaste-czek zdoła uciec na lewo

Niewielkie zmiany w parametrach czasteczek (masa,lepkosc) moga spowodowac, iz niektóre beda wykazywacruchliwosc dodatnia, inne ujemna — orzechy brazylijskie!


P. F. Góra



Opis matematyczny






FluktuacjenierównowagoweA. Gaussowskie szumy kolorowe

B. Anomalna dyfuzja

Subdyfuzja — najprostszy model

Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


Fluktuacje nierównowagowe

Co sie dzieje, gdy szum nie jest generowany przezukład w stanie równowagi termodynamicznej, azatem gdy nie da sie go modelowac przez biały szumgaussowski?

A Gaussowskie szumy koloroweB Anomalna dyfuzjaC Jeszcze inne rodzaje szumów, o których tu nie

wspominamy


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


A. Gaussowskie szumy koloroweNiech fluktuacje zadane beda przez gaussowski szumkolorowy:

〈ξ(t)ξ(t ′)〉 = f (|t − t ′|), (12)

na przykład

〈ξ(t)ξ(t ′)〉 =2Dτ

exp (−|t − t ′|/τ) .

Tego typu szumy słuza do modelowania układów“z pamiecia”.

I Wazne w modelowaniu układów biologicznych

I Niesłychanie wazne w analizie szeregów czasowych,w cyfrowej obróbce sygnałów itp

I W rezonansie stochastycznym wywołuja efektyrezonansowe nie tylko przy zmianie natezeniaszumu, ale takze przy zmianie parametru(parametrów) charakteryzujacych “pamiec”


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


B. Anomalna dyfuzja

W (uogólnionym) bładzeniu przypadkowym⟨x2⟩ ∼ tα

0 < α < 1 α = 1 α > 1subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja

I półprzewodnikiamorficzne

I transport wukładachporowatych iperkolujacych

I transport wgeometriachfraktalnych

I transportturbulentny

I kolektywnytransport napowierzchniach

I ruch bakteriiI zjawiska

ekonomiczne


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


B. Anomalna dyfuzja

W (uogólnionym) bładzeniu przypadkowym⟨x2⟩ ∼ tα

0 < α < 1 α = 1 α > 1subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja

Ruch z przeszko-dami

Układy silnie nie-równowagoweLoty Lévy’ego


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny



Zwykła dyfuzja: Układ skacze w lewo lub w prawo zustalonym krokiem czasowym (co kazde cyknieciezegara)

Subdyfuzja: Układ oczekuje na wykonanie kroku.Czasy oczekiwania losowane sa z pewnego rozkładuprawdopodobienstwa ψ(t).


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny



E. W. Montroll, H. Scher, J. Stat. Phys. 9, 101 (1973):

ψ(t) ∼ t−1−α, 0 < α < 1.

Sredni czas oczekiwania na przeskok jest rozbiezny .

Sredni kwadrat przemieszczenia⟨x2⟩ ∼ tα.


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


Subordynacja

Ilosc kroków wykonanych od zera do czasu tfluktuuje.

P(x , t) =∞∑

n=0

W (x ,n)χn(t)

I P(x , t) — prawdopodobienstwo, ze czastka poczasie t znajdzie sie w punkcie x

I W (x ,n) — prawdopodobienstwo, ze czastkaznajdzie sie w punkcie x po wykonaniu n kroków

I χn(t) — prawdopodobienstwo, ze czastka wczasie t wykona n kroków


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


Continuous Time Random Walk (CTRW)

I Normalna dyfuzja: w kazdej chwili czastkawykonuje krok, którego długosc losowana jest zrozkładu Gaussa

I Subdyfuzja: czastka wykonuje kroki odługosciach losowanych z rozkładu Gaussa, aleczeka na wykonanie kroku; czas oczekiwanialosowany z rozkładu typu ψ(t) ∼ t−1−α

I Superdyfuzja: w kazdej chwili czasu czastkawykonuje krok, którego długosc losowana jest zrozkładu Lévy’ego (rozkładu α-stabilnego)

I Mozliwe sa bardzo długie krokiI Dyfuzja paradoksalna: Robimy długie kroki, ale

tez długo czekamy


P. F. Góra



Opis matematyczny







B. Anomalna dyfuzja


Subordynacja

CTRW

Opis matematyczny


Opis matematyczny

Opis matematyczny sub- i superdyfuzji:

Ułamkowe równanie Fokkera-Plancka

→ pochodne ułamkowe!

Ralf Metzler, Joseph Klafter, Phys. Rep. 339, 1(2000)


P. F. Góra



Opis matematyczny








Zamiast podsumowania:Teoria ruchów Browna dzisiaj

I Rezonans stochastyczny, zebatki brownowskie,motory molekularne, synchronizacja wywołanaszumem — dwa lata temu. . .

I Fluktuacje nierównowagoweI Anomalny transportI Fizyka układów ziarnistychI Teoria predkosci reakcjiI Procesy stochastyczne a mechanika kwantowaI Modelowanie (prawie) wszystkiego

Sto lat teorii ruchów Browna - th- · brownowskie — nie zas nie predk˛ o´ sci tych ......

Documents

Transcript of Sto lat teorii ruchów Browna - th- · brownowskie — nie zas nie predk˛ o´ sci tych ......