Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka -...

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 1

Statystyka aktuarialna i teoria ryzykaLITERATURA

Bowers N. i in. (1986 lub 1997) Actuarial mathematics,

Hossak J.B., Pollard J.H. (1983 lub 1990), Introductory statisticswith applications in general insurance, Cambridge UniversityPress.

Otto W. (2004), Ubezpieczenia majątkowe; t. I - Teoria ryzyka,WN-T, Warszawa.

Zarządzanie ryzykiem w ubezpieczeniach, red. Ronka-ChmielowiecW., Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 2000.

Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denuit, M. (2001), ModernActuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston.

Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W. (2006), Me-tody aktuarialne, zastosowania matematyki w ubezpieczeniach,PWN, Warszawa.

Klugman S., Panjer H., Willmot G. (1998 lub 2008) Loss Models,From Data to Decisions, Wiley

Buhlmann H. i Gisler A. (2005), A Course in Credibility Theoryand its Applications, Springer

Niemiro Wojciech Teoria ryzyka w ubezpieczeniach,http://www-users.mat.umk.pl/ wniem/Ryzyko/RyzykoUB.pdf

Wuthrich M.V., Merz M. (2008), Stochastic claims reserving me-thods in insurance, Wiley


Ubezpieczenie - urządzenie gospodarcze zapewniające pokrycieprzyszłych potrzeb majątkowych, wywołanych u poszczególnychjednostek przez zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru tegopokrycia na wiele jednostek, którym te same zdarzenia zagrażają.

Umowa ubezpieczeniowa (polisa) - umowa między ubezpie-czanym (ubezpieczającym) a ubezpieczycielem (zakładem ubezpie-czeń) w której• ubezpieczany zobowiazuje się uiścić opłatę - składkę ubezpie-czeniową (jednorazowo lub ratalnie) na rzecz zakładu ubezpie-czeń,• zakład ubezpieczeń zobowiązuje się do wypłacenia w razie zaj-ścia wypadku ubezpieczeniowego określonego w polisie lub w ściśleokreślonym terminie sumy ubezpieczenia, wartości ubezpieczenia,odszkodowania na rzecz określonych w ubezpieczeniu osób.

Reasekuracja - ubezpieczenie jednego zakładu ubezpieczeń winnym na wypadek zbyt dużych roszczeń


Wskaźniki:

• ekonomiczno - ubezpieczeniowe:

B

Y

gdzie B - suma składek, Y - dochód narodowy

Bm

Om

gdzie Bm - suma składek na ubezpieczenia majątkowe, Om - sumao jaką zwiększyły się oszczędności, wskaźnik mówi o skłonności dozawierania ubezpieczeń;

wskaźnik powszechności =liczba ubezpieczonych

pole ubezpieczeń

wskaźnik pełności =odszkodowania wypłaconesuma rzeczywistych szkód


• wskaźniki techniczno-ubezpieczeniowe:

wskaźnik szkodowości losowej =S

Ugdzie S - suma odszkodowań wypłaconych, U - suma ubezpieczenia

szkodowość (szkodowość finansowa) =S

B

stopa zmiany szkodowości =szkodowość

oczekiwana szkodowość− 1

wskaźnik kosztów =KosztyB

wskaźnik częstości = c =N

ngdzie N - liczba wypadków, n - liczba ubezpieczonych

wskaźnik rozszerzalności =liczba szkód

N


Rozkład gęstość f(x) F (x) EX V arX

bin(n, θ)(nx

)θx(1− θ)n−x nθ nθ(1− θ)

θ ∈ (0, 1) x = 0, 1, . . . , nPoiss(λ) e−λλ

x

x! λ λλ > 0 x = 0, 1, 2, . . .

bin−(r, p) Γ(r+x)x!Γ(r) p

r(1− p)x r(1−p)p

r(1−p)p2

r > 0, p ∈ (0, 1) x = 0, 1, 2, . . .Beta(α, β) Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1

Γ(α)Γ(β) B(α, β, x) αα+β

αβ(α+β)2(α+β+1)

α, β > 0 x ∈ (0, 1) x ∈ (0, 1)

N(µ, σ2) 1√2πσ

exp(−(x−µ)2

2σ2

)Φ(x−µσ ) µ σ2

σ > 0wykładniczy θe−θx 1− e−θx 1

θ1θ2

Ex(θ) θ > 0 x > 0Gamma(α, β) βα

Γ(α)xα−1e−βx Γ(α, βx) α

βαβ2

α, β > 0 x > 0IGamma βα

Γ(α)x−α−1e−

βx Γ(α, βx) β

α−1β2

(α−1)2(α−2)

α, β > 0 x > 0

TGamma βατΓ(α)x

ατ−1e−βxτ

Γ(α, βxτ) Γ(α+ 1τ )

Γ(α)β1τ

EX2 = Γ(α+ 2τ )

Γ(α)β2τ

α, β, τ > 0 x > 0

LG(α, β) βα(lnx)α−1

xβ+1Γ(α) Γ(α, β lnx)(

ββ−1

)α (ββ−2

)α−(

ββ−1

)2α

α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2Pareto(θ, λ) λθθ

(λ+x)θ+1 1− λθ

(λ+x)θλθ−1

λ2θ(θ−1)2(θ−2)

λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2

LN(µ, σ) exp[− 12 (ln x−µσ )2]

xσ√

2πΦ( lnx−µ

σ ) eµ+ 12σ2

e2µ+σ2(eσ2 − 1)

µ ∈ R, σ > 0 x > 0

Burr(θ, λ, τ) τθλθ xτ−1

(λ+xτ )θ+1 1−(

λλ+xτ

)θ Γ(θ− 1τ )Γ(1+ 1τ )

λ−1τ Γ(θ)

EX2 =

τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 λ2τ Γ(θ− 2τ )Γ(1+ 2τ )

Γ(θ)

τθ > 2

Weibull(c, τ) cτxτ−1e−cxτ

1− e−cxτ Γ(1+ 1τ )c1/τ

Γ(1+ 2τ )−Γ(1+ 1τ )c2/τ

c, τ > 0 x > 0GPareto Γ(θ+τ)λθxτ−1

Γ(θ)Γ(τ)(λ+x)θ+τ B(τ, θ, u) λτθ−1

λ2τ(θ+τ−1)(θ−1)2(θ−2)

(θ, λ, τ) u = xx+λ θ > 1 θ > 2


ILE JESTEŚMY SKŁONNI ZAPŁACIĆ ZA UBEZPIECZENIE

u - funkcja użyteczności,

awersja do ryzyka - u′ > 0, u” < 0

PRZYKŁAD:u(w) = lnw, u(w) = − exp(−βw), u(w) = w − βw2

Rozważmy ubezpieczenie pełne majątku w narażonego na stratęlosową X , wtedy maksymalna opłata H za ubezpieczenie spełnia

E (u(w −X)) = u(w −H)

Przy u odpowiadającej awersji do ryzyka H spełnia H > EX .


ZADANIE 1.

Dwa zakłady ubezpieczeniowe A i B posługują się funkcją uży-teczności u(w). Zakład A dysponuje kapitałem 108ECU, zakładB kapitałem 6 · 107ECU. Zakłady A i B otrzymały ofertę ubez-pieczenia statku o wartości 2 · 107ECU od całkowitego zniszczenia(zatonięcia). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe q.1. Wyznacz składkę minimalną jaką powinny ustalić zakłady pra-cująca) oddzielnie (każdy sam ubezpiecza cały statek)b) wspólnie ( dwa przypadki: koasekuracja po równo, koasekuracjaproporcjonalna do majątku).Przyjmij

q = 0.1, 0.01, 0.009, 0.001

u(w) =12√w

2. Wyznacz maksymalne akceptowane składki dla ubezpieczają-cego się, gdy wartość jego całkowitego majątku jest równa

21 · 106, 60 · 106, 100 · 106, 200 · 106, 500 · 106, 1000 · 106

Rozważ dwie funkcje użyteczności

u(w) =12√w u(w) = lnw


GENEROWANIE ZMIENNYCH LOSOWYCH O USTALONYMROZKŁADZIE

Wieczorkowski R., Zieliński R. (1997), Komputerowe generatoryliczb losowych, WNT, Warszawa.

• Funkcja LOS() - generuje zmienną U ∼ U(0, 1)

• X - zmienna o rozkładzie dyskretnym

X w1 w2 . . . wkP (X = wi) p1 p2 . . . pk

gdzie ∑pi = 1.

Niechf0 = 0, fi = fi−1 + pi, i = 1, 2, . . . , k

ALGORYTM:1. generuj U ∼ U(0, 1);2. jeśli U ∈ (fi−1, fi], to X := wi.

• X - zmienna o rozkładzie ciągłym i ściśle rosnącej dystrybuancieF

LEMAT.

Jeżeli X ∼ F i F jest ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantą, tozmienna F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1).

DOWÓD. Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej F (X) w punkcie z

P (F (X) ¬ z) = P(X ¬ F−1(z)

)= F (F−1(z)) = z

dla z ∈ (0, 1).


ALGORYTM:1. generuj U ∼ U(0, 1);2. X := F−1(U).

ZADANIE. Wygeneruj po n = 50 wartości zmiennych losowych orozkładach:1. zero-jedynkowym P (X = 1) = 0, 1;2. równomiernym o wartościach 1, 2, 3, 4, 5;3. Ex(2); Gamma(2, 4);4. Pareto(3, 2);5. N(0, 1); N(2, 9).Wyznacz EX , V arX oraz odpowiedniki próbkowe. Zadanie po-wtórz dla n = 200.

•Wykorzystywanie własności i zależności między zmien-nymi

1. PROCEDURA log and trig - generuje zmienne z rozkładu no-malnego

Jeżeli U , V sa niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładuU(0, 1), to

X =√−2 lnU cos(2πV )

Y =√−2 lnU sin(2πV )

są niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N(0, 1).

ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych o roz-kładach N(2, 9) i N(4, 5) korzystając z procedury log and trig.

2. Jeżeli X ∼ Ex(c), to Y = X1τ ma rozkład Weibulla o

gęstościf (x) = cτxτ−1 exp(−cxτ ).


3. Jeżeli X1, X2, . . . , Xk są i.i.d. z rozkładu N(0, 1), to Z =∑ki=1Xi ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody

4. Jeżeli X0, X1, X2, . . . są i.i.d. z rozkładu Ex(1) to

N = minj :

j∑i=0Xi > λ

jest zmienną losową o rozkładzie Poissona o wartości oczeki-wanej λ.

DOWÓD.

k∑i=0Xi ∼ Gamma(k + 1, 1)

P (N = k) = P (N ¬ k)− P (N ¬ k − 1)

= P

k∑i=0Xi > λ

− Pk−1∑i=0

Xi > λ

∫ +∞λ

1k!xke−xdx−

∫ +∞λ

1(k − 1)!

xk−1e−xdx

całkując przez części otrzymujemy

P (N = k) =− 1k!xke−x

+∞

λ= e−λ

λk

k!

ALGORYTM:1. N := −1; S := 0;2. dopóki S ¬ λ powtarzajgeneruj X ∼ Ex(1); S := S + X ; N := N + 1;3. zwróć N .


•Wykorzystanie rozkładów granicznych do generowania zmiennejo rozkładzie Poissona

Z CTG: jeżeli N ∼ Poiss(λ) i λ −→ +∞, toN − λ√

λ−→ N(0, 1)

ALGORYTM:1. generuj Z ∼ N(0, 1);2. N :=

√λZ + λ.

Aproksymacja Anscombe

jeżeli N ∼ Poiss(λ) i λ −→ +∞, to

P (N ¬ k) −→ Φ (Aλ(k))

gdzie

Aλ(k) =32

k +58

23λ−

16 − 3

2

√λ +

124√λ

ALGORYTM:1. generuj Z ∼ N(0, 1);2.

N := (Z + b)32a− c,

gdzie

b = 1, 5√λ− 1

24√λ, a =

√√√√√ 827

√λ, c =

58

ZADANIE. Wygeneruj po 50 wartości zmiennych losowych z roz-kładów Poiss(1), Poiss(2), Poiss(20), Poiss(100).


PODZIAŁ RYZYKA (RODZAJE POLIS)

strata, wypadek ubezpieczeniowy (loss), roszczenie(claim) X , S - zmienna losowa

odszkodowanie (indemnity) I(X) - zmienna losowa,

0 ¬ I(X) ¬ X

• - ubezpieczenie pełne

I(X) = X

Wtedy EI(X) = EX i V arI(X) = V arX

• - pokrycie częściowe

0 ¬ I(X) < X

U = X − I(X) - udział ubezpieczonego w szkodzie

PRZYKŁAD:

Wartość szkody x 0 2 4 9Odszkodowanie I(x) 0 0,4 2 6

P (X = x) 0,8 0,1 0,06 0,04

Wyznacz EX , V arX , EI(X), V arI(X)

EX = 0, 8 V arX = 3, 96

EI(X) = 0, 4 V arI(X) = 1, 536


1. Kontrakt proporcjonalny

I(X) = aX a ∈ (0, 1)

2. Polisa z franszyzą integralną (warunkową)

I(X) = 0 gdy X < d

X gdy X d

3. Polisa z udziałem własnym d (z franszyzą redukcyjną - bezwa-runkową , stop-loss, deductible)

I(X) = 0 gdy X < d

X − d gdy X d

4. Polisa z udziałem własnym d i górnym limitem odpowiedzial-ności M

I(X) =

0 gdy X < d

X − d gdy d ¬ X ¬M

M − d gdy X > M

5. Polisa z indywidualną franszyzą redukcyjną (ubezpieczenie czę-ściowe z udziałem własnym)

I(X) = 0 gdy X < d

a(X − d) gdy X da ∈ (0, 1)


6. Ubezpieczenie częściowe warstwy ograniczonej górnym limitemodpowiedzialności M i udziałem własnym d

I(X) =

0 gdy X < d

a(X − d) gdy d ¬ X ¬M

a(M − d) gdy X > Ma ∈ (0, 1)

7. Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną

I(X) =

0 gdy X < d

X − d gdy d ¬ X ¬M

X gdy X > M

8. Ubezpieczenia na ”pierwsze ryzyko” (first loss)

I(X) =X gdy X < d

d gdy X d

9. Ubezpieczenia na pierwsze ryzyko z udziałem własnym i pełnympokryciem strat w granicach ustalonych limitów

I(X) =

0 gdy X < d

X − d gdy d ¬ X ¬ m

X gdy m < X < M

M gdy X M


TWIERDZENIE o optymalnym ubezpieczeniuJeżeli pewien decydent1. posiada początkowy zasób majątku w2. przejawia awersję do ryzyka3. narażony jest na stratę X4. gotów jest przeznaczyć kwotę P na zakup ubezpieczenia i0 ¬ P ¬ (1 + θ)EX

oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kon-trakty I takie, że

0 ¬ I(X) ¬ X

o ustalonej EI(X) po cenie (1 + θ)EI(X),to decydent osiągnie max oczekiwanej użyteczności zakupująckontrakt

I∗(X) = 0 gdy X ¬ d∗

X − d∗ gdy X > d∗

gdzie P = (1 + θ)EI∗(X).


SKŁADKA

S - zmienna losowa równa wysokości odszkodowań (świadczeń za-kładu w pewnej grupie ryzyka) w przyszłości zdyskontowaną namoment zawierania umowy

B - składka brutto, H składka (premium) H > ES

B = H + K H = Π + R(S)

Π = ES - składka netto (czysta składka), równa oczekiwanej wy-płacie, nie odzwierciedla ryzyka związanego z ubezpieczeniem, wy-znaczana w drodze analiz aktuarialnych;

R(S) - składka na ryzyko związane z losowością szkód oraz z popy-tem i podażą (narzut związany z ryzykiem), wyznaczana w drodzeanaliz aktuarialnych i ekonomicznych;

K - składka na pokrycie kosztów, wyznaczana w drodze analizfinansowo-księgowych, często wyrażana jako K = βB, wtedy

B =H

1− β


PRAKTYCZNE ZASADY USTALANIA SKŁADEK

Niech S oznacza wielkość odszkodowań, ryzyko

A) zasada równoważności (zasada czystej składki)

H = Π = ES

B) zasada wartości oczekiwanej

H = (1 + a)ES

C) zasada wariancji

H = ES + αV arS

D) zasada odchylenia standardowego

H = ES + β√V arS

E) zasada percentyli - H spełnia warunek

P (S > H) = ε

Liczby a, α, β, ε ustalane przez zakład ubezpieczeniowy.

H − ES - narzut bezpieczeństwa


TEORETYCZNE METODY USTALANIA SKŁADKI

• zasada zerowej użyteczności

u - funkcja użyteczności ubezpieczycielaW - majątek ubezpieczyciela

u(W ) = Eu(W + H − S)

ZADANIE. Wyznacz składkę odpowiadającą funkcji

u(x) =1− e−cx

c

F) składka wykładnicza

H =1c

lnE(ecS

)

POŻĄDANE WŁASNOŚCI SKŁADKI

1) H ES

2) H ¬ max odszkodowanie

3) H(S + c) = H(S) + c

4) S1 i S2 ryzyka niezależne, to H(S1 + S2) = H(S1) + H(S2)

5) H(H(S|Y )) = H(S)


ZADANIE. Sprawdź, które własności posiadają wymienione skład-ki

własność A B C D E F1 + + + + - +2 + - - - + +3 + - + + + +4 + + + - - +5 + - - - - +

ZADANIE 2. Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wgrozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbąszkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładuP (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25.Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody opozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdyrok w następujący sposób:składka I: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następ-nych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednimrazy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1składka II: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następ-nych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w rokun− 2 razy częstość szkód w roku n− 2 razy 1,1

Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego.Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczonana podstawie symulacji.Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierającsię na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów.Porównaj wyniki.


Szkody uregulowane (K - liczba , s - wartość)

l.polis l.szkód 1980 1981 1982 1983 1984 1985K s K s K s K s K s K s

1980 10001981 40001982 80001983 60001984 40001985 4000

sumaśrednia

Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 =

Porównanie składekrok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S

I składek H1 szkód S II składek H21980 25 25000 25 250001981 25 1000001982198319841985

suma suma


MODEL RYZYKA INDYWIDUALNEGO

Pojedyncze ryzyko (polisa) może generować co najwyżej jednąszkodę

X wielkość ryzyka (dla jednej polisy)

X = IY

gdzie

I = 1 z prwdopodobieństwem q

0 z prwdopodobieństwem 1− qY ∼ F - wartość szkody, zmienna o rozkładzie ciągłym, F (0) = 0,EY = µ, V arY = σ2

Rozkład zmiennej X (rozkład mieszany):

FX(x) = 0 gdy x ¬ 0

(1− q) + qF (x) gdy x > 0

EX = qEY = qµ

V arX = qV arY + (EY )2(q − q2) = qσ2 + µ2q(1− q)

Portfel ryzyka - założenia:• polisy niezależne• n - liczba polis ustalona• liczba zgłoszeń z polisy - co najwyżej jedno

S = X1 + X2 + . . . + Xn - łączna wartość szkód z portfela

Rozkład zmiennej S = X1 + X2 gdy X1 ∼ F1, X2 ∼ F2

FS(s) = P (X1 + X2 ¬ s) = P (X1 ¬ s−X2)

=∫RF1(s− x)dF2(x) = F1 ∗ F2(s)


METODY APROKSYMACJI S

1. Aproksymacja rozkładem normalnym

CTG:

Jeżeli X1, X2, . . . , Xn i.i.d. EXi = m i V arXi = σ2 i Sn =X1 + X2 + . . . + Xn, to

∀z limn→+∞

P

Sn − nmσ√n¬ z

= Φ(z)

Model indywidualny, X1, X2, . . . , Xn i.i.d.

ES = nqµ

V arS = n(qσ2 + µ2q(1− q)

)

Podstawowe estymatory:

q = częstość =liczba szkód w okresie

liczba jednostek ryzyka=N

n

µ =suma wartości szkód w okresie

liczba szkód w okresie=

1N

N∑j=1

Yj

Π = nqµ

σ2 =1N

N∑j=1

(Yj − µ)2


Zad. 1. Portfel składa się z n niezależnych polis. Pojedyncza polisamoże generować co najwyżej jedną szkodę z prawdopodobieństwemq, a prawdopodobieństwem 1 − q nie generuje szkody. Rozkładwysokości szkody jest zmienną losową o wartości oczekiwanej µ iwariancji σ2. Składka przypadająca na jedno ryzyko (polisę) jestskalkulowana tak

H =1 + θ

nES

gdzie S oznacza sumaryczną wysokość szkód i θ oznacza narzutbezpieczeństwa dobrany tak by

P (S > nH) = 0, 01.

W portfelu mamy n = 1000 q = 0, 05 µ = 10 σ = 10. Wyznacz θ.

Zad 2. Rozważamy portfel ubezpieczeń na życie. Dane podaje ta-bela.

k nk - liczba qk - p-stwo bkpolis w k-tej grupie zgonu - the benefit

1 4000 0.01 102 2000 0.02 103 1000 0.01 20

Wyznacz θ taką, aby

P (S > (1 + θ)ES) = 0, 05.


Zad. 3. Tysiąc mężczyzn wykupiło polisę na życie na rok. Prawdo-podobieństwo śmierci w ciągu roku dla każdego z mężczyzn wynosi0,001, a świadczenie 1 jednostkę. Jakie jest prawdopodobieństwo,że całkowite świadczenia w tej grupie wyniosą co najmniej 4 jed-nostki. Zastosuj aproksymację rozkładem normalnym i rozkłademPoissona, porównaj wyniki.


Funkcja tworząca momenty zmiennej X > 0

MX(t) = EetX

Przykład. X ∼ Ex(λ)

MX(t) =∫ ∞0etxλe−λxdx =

λ

λ− tdla t < λ i M(t) =∞ dla t λ.

WŁASNOŚCI:1. MX(0) = 1;2. M (k)

X (t) = dk

dtkMX(t) = dk

dtkEetX = E(XketX) dla k = 1, 2, . . .;

3.[dk

dtkMX(t)

]t=0

= EXk;

4. V arX = M ′′X(0)− (M ′

X(0))2;5. jeżeli Y = aX to M.G.F. Y jest równa

MY (t) = MX(at).

6. Niech S = X + Y , gdzie X i Y niezależne, wtedy

MS(t) = MX(t)MY (t).

7. jeżeli Y = a + X to M.G.F. Y jest równa

MY (t) = Eeta+tX = etaMX(t).

8. Jeżeli MX(t) = MY (t) dla t ∈ (a, b), to X = Y wg rozkładu9.Niech Xn 0 i Xn −→ X wg rozkładu, toMXn(t) −→MX(t) dla t < 0.


rozkład X MX(t)Bin(p, n) [1 + p(et − 1)]n

Poiss(λ) exp(λ(et − 1))Bin−(r, p) ( p

1−(1−p)et)r

U(a, b) etb−etat(b−a)

N(m,σ) exp(tm + 12σ

2t2)Gamma(α, β) ( β

β−t)α


Funkcja tworząca kumulanty zmiennej X > 0

CX(t) = lnMX(t)

WŁASNOŚCI:1.

C ′X(t) =M ′

X(t)MX(t)

=⇒ C ′X(0) = M ′X(0) = EX

2.

C ′′X(t) =M ′′

X(t)MX(t)− (M ′X(t))2

(MX(t))2 =⇒ C ′′X(0) = V arX

3.

C(3)X (0) = E(X − EX)3 =⇒ γX =

C(3)X (0)

(C ′′X(0))32

4.C

(4)X (0) = E(X − EX)4 − 3V ar2X

=⇒ κX =E(X − EX)4

V ar2X− 3 =

C(4)X (0)

(C ′′X(0))2

Niech S = ∑ni=1Xi, Xi niezależne

5.CS(t) =

n∑i=1

lnMXi(t) =n∑i=1CXi(t)

6.C

(3)S (t) =

n∑i=1C

(3)Xi

(t)

stądE(S − ES)3 =

n∑i=1E(Xi − EXi)3


γS =∑ni=1C

(3)Xi

(0)

(∑ni=1 V arXi)32

=n∑i=1γXi ·

(V arXi)32

(∑ni=1 V arXi)32

W szczególności jeżeli Xi i.i.d. γXi = γ i V arXi = σ2, to

γS = nγσ3

(nσ2)32

=γ√n


2. Aproksymacja rozkładem gamma

Z ∼ Gamma(α, β, x0), to Z − x0 ∼ Gamma(α, β)

gęstość

pα,β,x0(x) =βα

Γ(α)(x− x0)α−1 exp(−β(x− x0)) x > x0

MZ(t) = etx0

β

β − t

α

CZ(t) = tx0 + α ln β − α ln(β − t)

EZ = x0 +α

βV arZ =

α

β2

γZ =2√α

κZ =6α

=32γ2Z

Jeżeli S ma rozkład Gamma(α, β, x0), to parametry α, β, x0 wy-znaczamy z układu równań

x0 + αβ = µS

αβ2 = σ2

S2√α = γS

gdzie ES = µS, V arS = σ2S, γS = E(S−ES)3

σ3S

.


Model indywidualny, X1, X2, . . . , Xn i.i.d.

ES = nqµ

V arS = n(qσ2 + µ2q(1− q)

)

γS =γX√n

γX =qE(Y 3)− 3q2µ(µ2 + σ2) + 2q3µ3

(√qσ2 + µ2q(1− q))3

Jeżeli S = S1 +S2 + . . .+Sk, gdzie Si niezależne (ale niekoniecznieo tym samym rozkładzie) to

ES =k∑i=1ESi

V arS =k∑i=1V arSi

γS =k∑i=1γSi ·

(V arSi)32

(∑ki=1 V arSi

)32

=∑ki=1E(Si − ESi)3

(V arS)32

Jeżeli składka H ma spełniać warunek

P (S > H) = ε

i S ∼ Gamma(α, β, x0), to

H = F−1Gamma(α,β)(1− ε) + x0


Zadanie 1.

Rozważmy trzy grupy ryzyka

k nk - liczba qk - p-stwopolis w k-tej grupie szkody

1 100 0.12 150 0.23 200 0.08

Wartość szkody jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każ-dej grupie osobno i łącząc grupy po dwie według zasady P (S >

H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem normalnym i rozkła-dem gamma.

Zadanie 2.

Wygeneruj 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodo-bieństwem szkody q = 0, 2 i wartością szkody a) Y ∼ Ex(0, 01)b) Y ∼ Pareto(5, 400). Na podstawie otrzymanych danych osza-cuj odpowiednie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, anastępnie korzystająć z tych estymatorów oszacuj składkę łącz-ną H , dla portfela złożonego z 1000 polis tego samego typu, tak,by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj aproksyma-cję rozkładem normalnym i gamma. Wylicz też H wykorzystującrzeczywiste parametry rozkładu, a nie wartości estymatorów otrzy-manych na podstawie próby losowej.


MODEL RYZYKA ŁĄCZNEGO

ZAŁOŻENIA:

•N(i) - liczba szkód na jedno ryzyko (jeden ubezpieczony), zmien-na losowa o wartościach naturalnych

• Y - wielkość szkody, o dystrybuancie FY

• Xi = Yi,1 + Yi,2 + . . . + Yi,N(i) - wartość szkód na jedno ryzyko

• S - suma roszczeń z portfela

S = X1 + X2 + . . . + Xn = Y1 + Y2 + . . . + YN

gdzie N - łączna liczba szkód, n - liczba polis

• Yi - niezależne zmienne losowe o dystrybuancie F = FY

• Wartość szkody jest niezależna od liczby szkód

S ma złożony rozkład prawdopodobieństwa (jest suma zmiennycho losowej liczbie składników) określa się go przez podanie rozkładuzmiennej Y i zmiennej N

Model indywidualny (szczególny przypadek modelu łącznego)S - ma złożony rozkład dwumianowy Cbin(n, p, F )


Pewne własności rozkładów złożonych

FS(x) = P (S ¬ x) =

P (S ¬ x ∧N = 0) + P (S ¬ x ∧N = 1) + . . . =+∞∑k=0

P (S ¬ x|N = k)P (N = k)

Rozkład warunkowy S pod warunkiem N = k jest rozkłademsumy k zmiennych losowych niezależnych

MGF (S)

MS(t) = EetS = EE(etS|N) = E((EetY

)N)

MS(t) = E((MY (t))N

)= MN (lnMY (t))

ES = µEN

V arS = σ2EN + µ2V arN

gdzie µ = EY , σ2 = V arY

E(S−ES)3 = E(Y−EY )3EN+3EY V arY V arN+(EY )3E(N−EN)3


ZŁOŻONY ROZKŁAD POISSONA CPoiss(λ, F )

N ∼ Poiss(λ)

FS(x) =+∞∑k=0

e−λλk

k!F ∗k(x)

ES = λµ V arS = λ(µ2 + σ2) = λE(Y 2)

MS(t) = MN (lnMY (t)) = exp (λ(MY (t)− 1))

CS(t) = λ(MY (t)− 1)

C ′S(t) = λM ′Y (t) C ′′S(t) = λM ′′

Y (t) C(3)S (t) = λM

(3)Y (t)

stąd

ES = λEY V arS = λE(Y 2) E(S − ES)3 = λE(Y 3)

WNIOSEK. S ma rozkład asymetryczny o skośności prawo-stronnej

γS =λE(Y 3)

(λE(Y 2))32

=E(Y 3)√λ(E(Y 2))

32

orazlimλ→∞

γS = 0


TWIERDZENIE 1.Niech S1, S2, . . . , Sn będą niezależnymi zmien-nymi losowymi o rozkładach CPoiss(λi, Fi), i = 1, 2, . . . , n.Niech

A = S1 + S2 + . . . + Sn.

Wtedy

A ∼ CPoiss

Λ,1Λ

n∑i=1λiFi

gdzie Λ = ∑n

i=1 λi.

PRZYKŁAD.S1 ∼ CPoiss(100, F1), S2 ∼ CPoiss(200, F2), S1, S2 niezależneF1 - dystrybuanta rozkładu wykładniczego Ex(α), F2 - dystrybu-anta rozkładu wykładniczego Ex(β). Wyznacz rozkład zmiennejS1 + S2.

ODP. S1 + S2 ∼ CPoiss(Λ, F ) gdzie Λ = 300 i

F (x) = 1− 13

exp(−xα)− 23

exp(−xβ)

Interpretacja: łączna liczba roszczeń ma rozkład Poissona z para-metrem 300, z prawdopodobieństwem 1

3 wielkość szkody pochodziz rozkładu Ex(α) i z prawdopodobieństwem 2

3 z rozkładu Ex(β).


ZAD 1. Dla pewnego portfela ryzyka liczba szkód ma rozkład Pois-sona z wartością oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej szkody jestzmienną o rozkładzie Ex(200). Ubezpieczyciel pokrywa nadwyż-kę szkody ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną i wariancję sumywypłaconych odszkodowań.

ZAD 2. Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych podport-feli. Liczba szkód Ni w i-tym podportfelu jest zmienną losową orozkładzie Poiss(λi), zaś wysokość szkody jest ustalona równa bi.Niech

λ1 = 120 λ2 = 30 b1 = 1 b2 = 3

Jaki rozkład ma łączna wartość szkód z portfela. Oblicz wartośćoczekiwaną i wariancję łącznej wartości szkód jeśli wiadomo, żeN1 + N2 = 200.

ZAD 3. Dla pewnego portfela ryzyka liczba szkód ma rozkład Po-issona z wartością oczekiwaną 5, wysokość pojedynczej szkody jestzmienną o rozkładzie Gamma(2, 10). Aproksymujemy łączną war-tość szkód przesuniętym rozkładem gamma Gamma(α, β, x0), za-chowując przy tym wartości pierwszych trzech momentów. Wy-znacz parametry α, β, x0.


TWIERDZENIE 2. Niech Sn = ∑ni=1 IniYni, gdzie

Ini = 1 z prawdopodobieństwem qni

0 z prawdopodobieństwem 1− qniYni są zmiennymi losowymi ciągłymi o dystrybuancie Fni iwszystkie zmienne Ini, Yni są niezależne.

Jeżeli

limn→∞

n∑i=1qni = λ lim

n→∞

n∑i=1

qniλFni(x) = F (x)

tolimn→∞Sn = S

(wg rozkładu), gdzie S ma złożony rozkład Poissona CPoiss(λ, F ).


ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWY

Zmienna N ma rozkład ujemny dwumianowy bin−(r, p) wtt

P (N = k) =Γ(r + k)Γ(r)k!

pr(1− p)k k = 0, 1, 2, . . .

r > 0, p ∈ (0, 1) - parametry

Szczególny przypadek: r naturalne - interpretacja: N liczba pora-żek do uzyskania r-tego sukcesu

MN(t) = p

1− et(1− p)

r

= 1− q

1− etq

r

gdzie q = 1− p

CN(t) = r lnp

1− et(1− p)= r ln p− r ln(1− et(1− p))

stąd

EN =r(1− p)

p=

rq

1− q

V arN =r(1− p)p2 =

rq

(1− q)2

γN =1 + q√rq


Rozkład ujemny dwumianowy otrzymujemy jeśli przyjmiemy, żeliczba szkód jest wynikiem dwuetapowego doświadczenia: pierwszyetap polega na wylosowaniu ryzyka, a drugi etap na wygenerowa-niu przez to ryzyko liczby szkód, dokładniej• ryzyko charakteryzuje się przez wartość parametru λ, odpowia-dającego za wartość oczekiwaną liczby szkód z ryzyka• przy znanym λ liczba szkód z ryzyka N ma rozkład Poiss(λ).

P (N = k|λ) =λk

k!e−λ

fλ(x) =βα

Γ(α)xα−1e−βx x > 0

stąd

P (N = k) =Γ(α + k)Γ(α)k!

β

1 + β

α 11 + β

k

podstawiając r = α i p = β1+β otrzymujemy wzór na prawdopodo-

bieństwo w rozkładzie ujemnym dwumianowym.


Rozkład ujemny dwumianowy jako rozkład złożony

K - liczba wypadków z jednego ryzyka K ∼ Poiss(λ) N =J1 + J2 + . . . + JK - liczba szkód z jednego ryzyka (jeden wypa-dek może generować więcej niż jedną szkodę) Niech Ji ma rozkładlogarytmiczny

P (Ji = k) =1

− ln(1− c)ck

k

gdzie c ∈ (0, 1) parametr.

MJ(t) =ln(1− cet)ln(1− c)

N ma złożony rozkład Poissona

MGFMN(t) = EetN = EE(etN |K)

MN(t) = MK(lnMJ(t)) = exp (λ(MJ(t)− 1))

= expln

1− cet

1− c

λ

ln(1− c)

wstawiając c = q i r = λ

− ln(1−c) otrzymujemy

MN(t) = p

1− et(1− p)

r

Zatem N ∼ bin−(r, 1− q)


Estymacja parametrów rozkładu bin−(r, p)

N1, N2, . . . , Nn i.i.d. bin−(r, p)

EMM

rozwiązujemy układ równań

r(1− p)p

= N

r(1− p)p2 = S2 =

1n

n∑i=1

(Ni − N)2

stąd

EMM(p) =N

S2 EMM(r) =N 2

S2 − N


ZADANIE.

Tabela podaje liczbę kierowców w pewnej grupie ryzyka, którzyzgłosili 0,1,2,3,itd szkód w ciągu roku.

k - liczba szkód nk - liczba ryzyk0 885851 105772 7793 544 45 1> 5 0

Dopasuj• rozkład Poissona (kierowcy stanowią grupę jednorodną)• rozkład ujemny dwumianowy (kierowcy nie stanowią grupy jed-norodnej, parametr λ odpowiadający za średnia liczbę wypadkówwaha się w populacji)• wyznacz parametry α i β rozkładu gamma opisującego wahanieparametru λ w populacji i oszacuj odsetek kierowców o średniejliczbie zgłoszeń przekraczającej 0,24.


ENW

Niech:m0 = n

m1 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 1;m2 - liczba obserwacji o wartości co najmniej 2;. . .

mM - liczba obserwacji o wartości co najmniej M ;M - maksymalna zaobserwowana wartość, mM+1 = 0

Funkcja wiarogodności

L(m1,m2, . . . ,mM , n, r, p) =

prn(rq)m1−m2

r(r + 1)2

q2

m2−m3

. . .

Γ(r + M)M !Γ(r)

qMmM

= prn(rq)m1

r + 12

q

m2r + 2

3q

m3

. . .

r + M − 1M

q

mM

lnL = nr ln(1− q) +M∑i=1mi ln q +

M−1∑i=0

mi+1 lnr + i

i + 1

.Różniczkując po r i q otrzymujemy równania

n ln(1− q) +m1

r+

m2

r + 1+ . . . +

mM

r + M − 1= 0

−nr1− q

+nN

q= 0.

Z drugiego równania mamy

p = 1− q =r

r + N,

wstawiając do równania pierwszego otrzymujemy równanie

n lnr

r + N+m1

r+

m2

r + 1+ . . . +

mM

r + M − 1= 0,

które rozwiązujemy numerycznie.


ZŁOŻONY ROZKŁAD UJEMNY DWUMIANOWYCbin−(r, p, F )

S = Y1 + Y2 + . . . + YN i N ∼ bin−(r, p), Yi ∼ F

P (S ¬ s) =∞∑i=0P (S ¬ s|N = i)P (N = i)

=∞∑i=0

Γ(r + i)Γ(r)i!

prqiF ∗i(s)

MGF

MS(t) = EeN lnMY (t) = p

1− qMY (t)

r

Parametry: jeśli EYi = µ, V arYi = σ2 to

ES = µEN = µr1− pp

V arS = r1− pp

σ2 + r1− pp2 µ2

TWIERDZENIE. Jeżeli Si, i = 1, 2, . . . , k mają rozkłady Cbin−(ri, p, F )i są niezależne, to S = ∑k

i=1 Si ma rozkład Cbin−(∑ki=1 ri, p, F ).


REZERWY TECHNICZNO-UBEZPIECZENIOWE

1) rezerwa składek2) rezerwa na ryzyka niewygasłe3) rezerwa na niewypłacone odszkodowania lub świadczenia, w tymrezerwa na skapitalizowaną wartość rent4) rezerwa na wyrównanie szkodowości (ryzyka)5) rezerwa ubezpieczeń na życie6) rezerwa ubezpieczeń na życie, gdy ryzyko lokaty ponosi ubez-pieczający7) rezerwy na premie i rabaty dla ubezpieczonych8) rezerwy na zwrot składek dla członków9) inne rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe określone w statucie.

Rezerwa składek - ( UEPR - Unearned Premium Reserve) wy-znaczana indywidualnie dla każdej umowy ubezpieczenia, określaczęść składki przeniesioną na następne okresy sprawozdawcze wzwiązku z tym, że okres na jaki składka została przypisana niepokrywa się z bieżącym okresem sprawozdawczym. Rezerwa skła-dek powinna stanowić pokrycie przyszłych przewidywanych szkód,które zrealizują się po dacie bilansowej.

Współczynnik przeniesienia WP - część składki przeniesiona nanastępne okresy sprawozdawcze

Metody wyznaczania:metoda 50%metoda 1/12, 1/24 itd,metoda proporcjonalna do ryzyka.


Rezerwa na ryzyka niewygasłe - tworzona jest w zakła-dach ubezpieczeń działu II i stanowi swego rodzaju uzupełnienieich rezerwy składek. Służy na pokrycie przyszłych odszkodowań,świadczeń i innych kosztów, jakie mogą powstać z zawartych umówubezpieczenia, które nie wygasają z końcem danego okresu spra-wozdawczego, a wysokość rezerwy składek może być niewystarcza-jąca na pokrycie zobowiązań zakładu ubezpieczeń.

Rezerwa na niewypłacone odszkodowania i świadcze-nia - zwana także rezerwą szkód, związana jest ze zobowiązaniamizakładu ubezpieczeń związanym ze szkodami, które wystąpiły wdanym okresie sprawozdawczym, ale odszkodowania i świadczeniaz nich wynikające jeszcze nie zostały wypłacone. Wyróżniamy trzygrupy rezerw:• rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowa-nia została już wyznaczona, ale jeszcze nie została wypłacona;• rezerwa na szkody zgłoszone, dla których wysokość odszkodowa-nia jeszcze nie została oszacowana,• rezerwa na szkody zaistniałe, ale jeszcze niezgłoszone zakładowiubezpieczeń ( IBNR - incurred but not reported)


IBNR

Trójkąt szkódliczba lat opóźnienia (j)

rok zajściaszkód (i) 0 1 . . . n− 2 n− 1 n

0 C0,0 C0,1 . . . C0,n−2 C0,n−1 C0,n

1 C1,0 C1,1 . . . C1,n−2 C1,n−1

2 C2,0 C2,1 . . . C2,n−2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

n− 1 Cn−1,0 Cn−1,1

n Cn,0

Metoda łańcuchowa (chain ladder)

Założenia:• Ci,j są wartościami skumulowanymi (np: Ci,j oznaczają łącznąwartość szkód z roku zajścia i zgłoszoną do roku opóźnienia j

włącznie, czyli Ci,j = ∑jk=0Xi,k, gdzie Xi,k oznacza łączną wartość

szkód z roku zajścia i zgłoszoną w roku opóźnienia k);• Zmienne Ci,j, Ck,j dla k 6= i są niezależne;• istnieją stałe fj, j = 0 = 1, 2, . . . , n takie, że dla każdego i =0, 1, . . . , n i dla każdego j E(Ci,j+1|Ci,j) = fj+1Ci,j.

Współczynniki łańcuchowe - estymatory parametrów fj

bj =C0,j + C1,j + . . . + Cn−j,j

C0,j−1 + C1,j−1 + . . . + Cn−j,j−1


Oszacowanie dolnego trójkąta wartości skumulowanych

Ci,j = Ci,n−ibn−i+1 . . . bj

gdzie j > n− i

Uwagi:• metoda Chain Ladder była opracowana jako algorytm bez pod-staw teoretycznych (metoda heurystyczna) i została rozpowszech-niona jeszcze zanim rozwój metod statystycznych w XX wieku wdużym stopniu wpłynął na kształt praktyki ubezpieczeniowej;• metoda nie uwzględnia inflacji;• pojawienie się danej nietypowej (dana katastoficzna) może dra-stycznie zmienić wyniki (metoda nieodporna);• metoda nie uwzględnia być może występującego trendu związa-nego z latami zajścia szkód;• dane powinny być zdyskontowane na jeden okres;• do szacowania rezerw należy dodatkowo uwzględnić przyszłe zy-ski i inflację;• współczynniki łańcuchowe bj są estymatorami nieobciążonymiwspółczynników fj;• własności statystyczne współczynników wyznaczonych metodąChain Ladder podają między innymi prace:T. Mack, Distribution-free Calculation of the Standard Error ofChain-Ladder Reserve Estimates, ASTIN Bulletin 23(2), 1993,• Przy założeniu Xij ∼ Poiss(αiβj), gdzie ∑

βj = 1, oraz Xij

niezależne, predyktory Cin otrzymane w oparciu o estymatory naj-większej wiarogodności parametrów pokrywają się z predyktoramiotrzymanymi metoda łańcuchową.


ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD

Podstawowe własności:

• rozkłady skupione na dodatniej półosi X 0;

• rozkłady ciągłe, przy limicie odpowiedzialności rozkłady miesza-ne P (X = M) > 0, gdzie M limit odpowiedzialności;

• rozkłady prawostronnie asymetryczne, często z grubymi ogonami.


Podstawowe rozkłady

Rozkład gęstość F (x) EX V arX

wykładniczy θe−θx 1− e−θx 1θ

1θ2

Ex(θ) θ > 0 x > 0Gamma(α, β) βα

Γ(α)xα−1e−βx Γ(α, βx) α

βαβ2

α, β > 0 x > 0IGamma(α, β) βα

Γ(α)x−α−1e−

βx Γ(α, βx) β

α−1β2

(α−1)2(α−2)

α, β > 0 x > 0

TGamma(α, β, τ) βατΓ(α)x

ατ−1e−βxτ

Γ(α, βxτ) Γ(α+ 1τ )

Γ(α)β1τ

EX2 = Γ(α+ 2τ )

Γ(α)β2τ

α, β, τ > 0 x > 0

LG(α, β) βα(lnx)α−1

xβ+1Γ(α) Γ(α, β lnx)(

ββ−1

)α (ββ−2

)α−(

ββ−1

)2α

α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2Pareto(θ, λ) λθθ

(λ+x)θ+1 1− λθ

(λ+x)θλθ−1

λ2θ(θ−1)2(θ−2)

λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2

LN(µ, σ) exp[− 12 (ln x−µσ )2]

xσ√

2πΦ( lnx−µ

σ ) eµ+ 12σ2

e2µ+σ2(eσ2 − 1)

µ ∈ R, σ > 0 x > 0

Burr(θ, λ, τ) τθλθ xτ−1

(λ+xτ )θ+1 1−(

λλ+xτ

)θ λ1τ Γ(θ− 1τ )Γ(1+ 1τ )

Γ(θ) EX2 =

τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 λ2τ Γ(θ− 2τ )Γ(1+ 2τ )

Γ(θ)

τθ > 2

Weibull(c, τ) cτxτ−1e−cxτ

1− e−cxτ Γ(1+ 1τ )c1/τ

Γ(1+ 2τ )−Γ(1+ 1τ )c2/τ

c, τ > 0 x > 0GPareto Γ(θ+τ)λθxτ−1

Γ(θ)Γ(τ)(λ+x)θ+τ B(τ, θ, u) λτθ−1

λ2τ(θ+τ−1)(θ−1)2(θ−2)

(θ, λ, τ) u = xx+λ θ > 1 θ > 2

IPareto(θ, γ) γθxθ−1

(γ+x)θ+1

(x

γ+x

)θθ > 0, γ > 0


ZALEŻNOŚCI MIĘDZY ROZKŁADAMI

Funkcje od zmiennych losowych:

• mnożenie przez stałą - parametr skali

Y = cX

FY (y) = P(X ¬ y

c

)= FX

(yc

)fY (y) =

1cfX

(yc

)

PRZYKŁAD

1) X ∼ Ex(1) =⇒ Y = cX ∼ EX(1c)

2) X ∼ Gamma(α, 1) =⇒ Y = Xβ ∼ Gamma(α, β)

3) X ∼ Weibull(1, τ ) =⇒ Y = Xa ∼ Weibull(aτ , τ )

• przekształcenie wykładnicze Y = eX

FY (y) = P (X ¬ ln y) = FX(ln y) fY (y) =1yfX(ln y)

PRZYKŁADX ∼ N(µ, σ2) =⇒ Y = eX ∼ LN(µ, σ2)

• przekształcenie potęgowe

Y = X1τ

τ > 0 - rozkład transformowany

τ < 0 - rozkład odwrócony transformowany

τ = −1 - rozkład odwrócony

FY (y) = FX(yτ )

fY (y) = fX(yτ )|τyτ−1|


PRZYKŁAD1. X ∼ Ex(θ) =⇒ Y = X

1τ ∼ Weibull(θ, τ )

2. X ∼ Gamma(α, β). =⇒ Y = X−1 ∼ IGamma(α, β)3. X ∼ Pareto(θ, λ) =⇒ Y = X

1τ ∼ Burr, τ > 0

• mieszanki rozkładów

mieszanki dyskretne:f1, f2, . . . , fk - gęstości zmiennych X1, x2, . . . , Xk

p1, p2, . . . , pk > 0 ,∑ pi = 1 - wagi

Y zmienna o rozkładzie z gęstością f = ∑pifi

mieszanki ciągłe - ryzyka heterogeniczne:fθ(x) = f (x|θ), θ ∼ Π wtedy

f (x) =∫Θfθ(x)Π(dθ)

PRZYKŁAD:X ∼ Ex(γ) i γ ∼ Gamma(θ, λ) ⇒ rozkład brzegowy X -Pareto(θ, λ)X ∼ Gamma(τ, β) i β ∼ Gamma(θ, λ) ⇒ rozkład brzegowy X- GPareto(θ, λ, τ )


OGON ROZKŁADU

Funkcją przeżycia zmiennej X o gęstości f i dystrybuancie Fnazywamy funkcję

S(x) = 1− F (x) = F (x)

Duża wartość S dla dużych x - ciężki ogon

Porównywanie ogonów zmiennych X i Y :

limx→+∞

SX(x)SY (x)

= +∞

to X cięższy ogon niż Y

limx→+∞

SX(x)SY (x)

= 0

to X lżejszy ogon niż Y

PRZYKŁAD: Porównaj ogony rozkładów: Gamma, Pareto, Lo-gnormalnego, Weibulla

Średnia długość przyszła życia(średnia nadwyżka szkody ponad wartość x)

e(x) = E(X − x|X > x) =∫+∞x S(t)dtS(x)

,

założenie EX < +∞.

Duże e(x) dla dużych x świadczy o grubym ogonie.

Estymator próbkowy

en(x) =∑xj>x(xj − x)]{xj > x}


Estymator w oparciu o szereg rozdzielczy:

en(ci) =∑x>ci(x− ci)

n(1− Fn(ci))=

∑j>i cj · nj∑j>i nj

− ci

PRZYKŁADY:X ∼ Ex(λ), wtedy e(x) = 1

λ

X ∼ Pareto(θ, λ) wtedy e(x) = λ+xθ−1

X ∼ LN(µ, σ2) wtedy

e(x) = expµ +

12σ2

1− Φ(

lnx−µ−σ2

σ

)

1− Φ(

lnx−µσ

) − x


MODELE Z NIEKOMPLETNYMI DANYMI, DANE OBCIĘTEI OKROJONE (FRANSZYZA WARUNKOWA I BEZWARUN-KOWA, LIMIT ODPOWIEDZIALNOŚCI)

dane obcięte - brak obserwacji z pewnego zakresu

dane okrojone - znana jest liczba obserwacji z pewnego zakresu alenie znane są konkretne wartości

PRZYKŁADY: X - szkoda1. limit odpowiedzialności

Y =X gdy X < M

M gdy X M

próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojone

2. franszyza warunkowapłatność dla szkody

Y = 0 gdy X < d

X gdy X d

próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojoneale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszychniż dpłatność ubezpieczyciela V = X gdy X > d

próbka V1, V2, . . . , Vm - dane obcięte


3. franszyza bezwarunkowapłatność dla szkody

Y = 0 gdy X < d

X − d gdy X d

próbka Y1, Y2, . . . , Yn - dane okrojoneale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszychniż dpłatność ubezpieczyciela V = X − d gdy X > d

próbka V1, V2, . . . , Vm - dane obcięte

4. Płatność reasekuratora przy płatności ubezpieczyciela do limituodpowiedzialności Mpłatność dla szkody

Z = 0 gdy X < M

X −M gdy X M

próbka Z1, Z2, . . . , Zn - dane okrojoneale często reasekurator nie ma informacji o szkodach mniejszychniż Mpłatność reasekuratora W = X −M gdy X > M

próbka W1,W2, . . . ,Wm - dane obcięte


Funkcja wiarogodności i wartość oczekiwana

X zmienna o dystrybuancie F i gęstości f

1.Y =

X gdy X < M

M gdy X Mpróbka: Y1, Y2, . . . , Yn o wartościach mniejszych niż M , k liczbaobserwacji o wartości M

funkcja wiarogodności

L(y1, y2, . . . , yn, k) =n∏i=1f (yi) (1− F (M))k

EY = E(X ∧M) =∫ M0xf (x)dx + M(1− F (M))

Współczynnik eliminacji szkody

LERX(M) =E(X ∧M)

EX

2.Y =

0 gdy X < d

X gdy X dpróbka Y1, Y2, . . . , Ym większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości0 - dane okrojone


L(y1, y2, . . . , ym, k) =m∏i=1f (yi)F (d)k

EY =∫ +∞d

xf (x)dx

Jeśli dane obcięte V1, V2, . . . , Vm czyli dotyczące zmiennej V = X

gdy X > d, to funkcja wiarogodności

L(v1, v2, . . . , vm) =∏mi=1 f (vi)

(1− F (d))m


EV =∫+∞d xf (x)dx

1− F (d)= eX(d) + d

3.Y =

0 gdy X < d

X − d gdy X d

próbka Y1, Y2, . . . , Ym większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości0 - dane okrojone


L(y1, y2, . . . , ym, k) =m∏i=1f (yi + d)F (d)k

EY =∫ +∞d

(x− d)f (x)dx = eX(d)(1− F (d))

Jeśli dane obcięte V1, V2, . . . , Vm czyli dotyczące zmiennej V =X − d gdy X > d, to funkcja wiarogodności

L(v1, v2, . . . , vm) =∏mi=1 f (vi + d)

(1− F (d))m

EV =∫+∞d (x− d)f (x)dx

1− F (d)= eX(d)


Przydatne wiadomości ze statystyki

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA

EMM (estymacja metodą momentów)

X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Pθ, θ- nieznany parametr

1. θ ∈ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż:

EθX = X

2. θ = (θ1, θ2, . . . , θk) (k-wymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż układ:

EθX = X

V arθX = S2

Eθ(X − µ)3 =1n

∑(Xi − X)3

. . . . . .

Eθ(X − µ)k =1n

∑(Xi − X)k

gdzie µ = EθX.

Przykład:

X = (X1, X2, . . . , Xn) Xi ∼ LN(µ, σ), EMM(µ) =? i EMM(σ2) =?.

Otrzymujemy układ:eµ+ 12σ

2= X

e2µ+σ2(eσ2 − 1) = S2

St”ad:

µ = lnX2

(S2 + X2)12

σ2 = ln S2

X2 + 1

Estymatory parametrów możemy również otrzymać wykorzystując wła-sność:

X ∼ LN(µ, σ)⇐⇒ Y = lnX ∼ N(µ, σ).

Niech Yi = lnXi, wtedy µ = Y i σ2 = S2Y .

Zad: Wyznaczyć EMM parametrów w rozkładzie Pareto(θ, λ).


Rozwiązanie: Otrzymujemy układ:

λ

θ − 1= X

λ2θ

(θ − 1)2(θ − 2)= S2

Stąd: θ = 2S2S2−X2 i λ = X(θ − 1).


EMK (estymacja metodą kwantyli)

X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Pθ, θ- nieznany parametr

1. θ ∈ R (jednowymiarowa przestrzeń parametrów), rozwiąż:

q 12(θ) = Q 1

2⇐⇒ Fθ(Q 1

2) =

12

2. θ = (θ1, θ2), rozwiąż układ:

q 14(θ) = Q 1

4i q 3

4(θ) = Q 3

4

lub układ równoważny:

Fθ(Q 14) =

14

i Fθ(Q 34) =

34

3. θ = (θ1, θ2, θ3). Otrzymujemy układ:

Fθ(Q 14) =

14

i Fθ(Q 12) =

12

i Fθ(Q 34) =

34

4. θ = (θ1, θ2, θ3, θ4). Rozważamy kwantyle rzędu 18 , 3

8 , 58 i 7

8 .


Przykład:

Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu Weibull(c, τ). Otrzymujemy układ:

1− e−cQτ1

4 =14

i 1− e−cQτ3

4 =34.

St”ad− ln 0.75 = cQτ

14

i − ln 0.25 = cQτ34Q 1

4

Q 34

τ

=ln 0.75ln 0.25

Estymatory mają postać:

τ = logQ 14

Q 34

( ln 0.75ln 0.25

)

c = − ln 0.75Qτ14


EMNW (estymacja metodą największej wiarogodności)

Niech X będzie obserwowaną zmienną losową o gęstości fθ(x), gdzie θ jestnieznanym parametrem. Funkcją wiarogodności nazywamy funkcję L(θ, x) =fθ(x)

Estymatorem największej wiarogodności parametru θ (ENW (θ)) nazywa-my argument maksimum funkcji L jako funkcji θ,

ENW (θ) = argmaxθL(θ, x).

Zachodzi: argmaxθ L(θ, x) = argmaxθ lnL(θ, x).

Jeżeli θ = (θ1, . . . , θk) jest parametrem ciągłym i L jest funkcją różniczko-walną, to ENW wyznaczamy rozwiązując układ równań:

∂L(θ, x)∂θj

= 0, j = 1, 2, . . . , k

lub równoważny układ:

∂ lnL(θ, x)∂θj

= 0, j = 1, 2, . . . , k.

Własności i uwagi:1. NiechX1, X2, . . . , Xn i.i.d z rozkładu o gęstości fθ, gdzie θ jest nieznanymparametrem. Przy pewnych warunkach regularności , jeżeli układ równań

Σni=1∂ lnL(θ,Xi)

∂θj= 0, j = 1, 2, . . . , k

ma dokładnie jedno rozwiązanie, to jest ono ENW (θ) i jest to estymatorzgodny.2. Jeżeli dodatkowo istnieją ∂2 lnL(θ,x)

∂θ2j, j = 1, 2, . . . , k i spełnione są założe-

nia umożliwiające zamianę kolejności operacji różniczkowania po ∂∂θjlub ∂2

∂θ2j

i całkowania i I(θ) jest dodatnio określona, to ENW (θ) jest asymptotycz-nie normalny i asymptotyczna macierz kowariancji ma postać I−1(θ), gdzie

I(θ) =Eθ

∂ ln fθ(X)∂θi

· ∂ ln fθ(X)∂θj

i,j=1...k


jest informacją Fishera.

Uwaga: Jeżeli θ ∈ R, to I(θ) = Eθ

(∂ ln fθ(X)

∂θ

)2= −Eθ

(∂2 ln fθ(X)

∂θ2

).

3. Jeżeli g jest różniczkowalna i g′(θ) 6= 0 i θn jest ENW (θ) opartym napróbie n-elementowej asymptotycznie normalnym, to g(θ) = ENW (g(θ))i

(g(θn)− g(θ))√n −→ N(0, [g′(θ)]2I−1(θ)).

Zad. Wyznacz asymptotyczną macierz kowariancji dla ENW w modelulognormalnym.

lnL(µ, σ,X) = − lnX − 0.5 ln(2π)− 0.5 lnσ2 − (lnX − µ)2

2σ2

∂2 lnL∂µ2 =

−1σ2

∂2 lnL∂(σ2)2 =

12σ4 −

(lnX − µ)2

σ6

∂2 lnL∂µ∂σ2 = −(lnX − µ)

σ4

Stąd

I(µ, σ2)−1 = σ2 0

0 σ4


ESTYMACJA W PRZYPADKU

GDY DANE SĄ POGRUPOWANE

Szereg rozdzielczy

przedziały liczebności częstości(c0, c1] n1 f1 = n1

n

(c1, c2] n2 f2 = n2n

. . . . . . . . .

(ck−1, ck] nk fk = nkn

Zakładamy, że nie obserwujemy wartości poniżej c0 i wypłacamy max ck.Funkcja wiarogodności:

L(θ) =∏ (∫ cl

cl−1fθ(x)dx

)nl(∫ ckc0fθ(x)dx

)nlub za pomocą dystrybuanty:

L(θ) =∏ [Ft(cl)− Fθ(cl−1)]nl

[Fθ(ck)− Fθ(c0)]n

W szczególności może być Fθ(c0) = 0 i Fθ(ck) = 1. Wyznaczamy θ dlaktórego L(θ) lub lnL(θ) osiąga max. Wykorzystujemy metody numerycznedla znalezienia punktu zerowania się pochodnej np metodę Newtona.


ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu o gęstości fθ(x), θ - nieznany para-metr

Niech θ = ENW (θ) i θ ma asymptotyczny rozkład normalny z wariancjąasymptotyczną I(θ)−1. Wtedy

θ ∼ N(θ, (nI(θ))−1) dla dużych n.

Dodatkowo I(θ) jest estymatorem zgodnym funkcji I(θ), stąd(θ − θ

)√nI(θ) −→ N(0, 1).

Otrzymujemy więc asymptotyczny przedział ufności dla θ na poziomie uf-ności 1− α postaciθ − u1−α2

1√nI(θ)

, θ + u1−α21√nI(θ)

.

Przykład:

NiechX1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu Weibulla o gęstości fθ(x) = θx exp(−θx2

2 ),θ > 0 - nieznany parametr. Funkcja

lnL(θ) = n ln θ + Σ lnxi −θ

2Σx2

i

a stąd

ENW (θ) =2n

Σx2i

oraz

I(θ) = −Eθ

∂2 ln fθ(X)∂θ2

= −Eθ

∂2(ln θ − θx2

2 )∂θ2

=1θ2 .

Otrzymujemy przedział ufności dla θ 2nΣx2

i

√n− u1−α2√

n,

2nΣx2

i

√n+ u1−α2√

n

.


Zauważmy, że w tym modelu niekoniecznie musieliśmy wyznaczać ENW (I(θ)).Z własności asymptotycznych ENW (θ) mamy

(ENW (θ)− θ)√n

θ−→ N(0, 1)

Stąd przy n −→∞

P

∣∣∣∣∣∣ENW (θ)θ

− 1

∣∣∣∣∣∣√n ¬ u1−α2

−→ 1− α

Przekształcając nierówność i wstawiając postać ENW (θ) otrzymujemyprzedział 2n

Σx2i

√n√

n+ u1−α2,

2nΣx2

i

√n√

n− u1−α2

Korzystając z własności, że ENW (g(θ)) = g(θ), gdzie θ = ENW (θ), i(przy odpowiednich warunkach regularności )(

g(θ)− g(θ))√

n −→ N(0, [g′(θ)]2I−1(θ)

)w analogiczny sposób otrzymujemy asymptotyczny przedział ufności dlafunkcji g(θ) na poziomie ufności 1− α.


TESTOWANIE HIPOTEZ O ZGODNOŚCI

Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F

H0 : F = F0, F0 ustalona

1. Test Kołmogorowa-Smirnowa

Założenie: F0 - ciągła, ściśle rosnąca dystrybuanta

Statystyka testowa:Dn = sup

t∈R|Fn(t)− F0(t)|,

gdzie Fn(t) = Fn(X1, X2, . . . , Xn, t) jest dystrybuantą empiryczną.

Dn = max(D+n , D

−n )

gdzie

D+n = max

i=1...n(i

n− zi) D−n = max

i=1...n(zi −

i− 1n

) zi = F0(xi:n)

w przypadku szeregu przedziałowego

D+n = max

i=1...k(Fn(ci)− F0(ci)) D−n = max

i=1...k(F0(ci)− Fn(ci−1))

TEST: Jeżeli Dn > c(α, n), to hipotezę H0 odrzucamy.

Wybór c(α, n):

Rozkład statystyki Dn przy prawdziwości hipotezy H0 nie zależy od postaciF0.

Zatem c(α, n) są stablicowane. Dla n dużych korzystamy z wartości przy-bliżonych, kilka z nich podaje Tabela poniżej.

α 0.20 0.10 0.05 0.01c 1.07/

√n 1.22/

√n 1.36/

√n 1.63/

√n


2. Test Chi-kwadrat

F0 - dystrybuanta rozkładu dyskretnego, wtedy rozkład zmiennej X sku-piony jest w punktach a1, a2, . . . , ak.

Niech pj = P (X = aj).Niech Nj =liczba elementów próby losowej równych aj.

Statystyka testowa: χ2 = Σkj=1

(Nj−npj)2npj

.

Jeżeli n −→ ∞, to zmienna losowa χ2 dąży według rozkładu do zmiennejlosowej o rozkładzie Chi-kwadrat o k − 1 stopniach swobody (χ2

k−1)

TEST: H0 odrzucamy, gdy χ2 > χ2k−1(α), gdzie χ2

k−1(α) kwantyl rzędu1− α w rozkładzie χ2

k−1.

F0 - dystrybuanta rozkładu ciągłego.

Dzielimy nośnik rozkładu na k przedziałów o końcach

c0, c1, . . . , ck.

Niech pj = F0(cj)− F0(cj−1),Nj =liczba elementów próby należących do przedziału (cj−1, cj].Następnie stosujemy test jak przy rozkładzie dyskretnym.

Uwaga: Hipotezy złożone. Jeżeli

H0 : F ∈ {Fθ : θ ∈ Θ},

to najpierw estymujemy parametr θ (np. stosując ENW ). Jeżeli estymu-jemy parametr d wymiarowy, to asymptotyczny rozkład statystyki χ2 jestrozkładem Chi-kwadrat o k − d− 1 stopniach swobody.


TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

(testy oparte na ilorazie wiarogodności)

Niech X1, X2, . . . , Xn i.i.d. z rozkładu Pθ, θ ∈ Θ

H0 : θ ∈ Θ0 H1 : θ ∈ Θ1 = Θ−Θ0

Statystyka testowa:

Λ0 =supθ∈Θ1 L(θ)supθ∈Θ0 L(θ)

lub

Λ =supθ∈Θ L(θ)supθ∈Θ0 L(θ)

,

gdzie L(θ) funkcja wiarogodności.

Obszar krytyczny:

K = {(x1, x2, . . . , xn) : Λ > λ(α)}

lubK = {(x1, x2, . . . , xn) : Λ0 > c(α)},

gdzie λ(α), c(α) wartości krytyczne dobrane tak by

∀θ ∈ Θ0 Pθ(K) ¬ α.

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka -...

Documents

Transcript of Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka -...