1

Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego:

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa

Wprowadzenie

Skręcanie pręta występuje w przypadku jego obciążenia parą sił P o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, działających w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta (w płaszczyźnie przekroju normalnego). Moment tej par sił M sprowadza się do momentu skręcającego o wartości Ms = M.

Rys. 1. Skręcanie pręta o przekroju kołowym: a) pary siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, działające w dwóch płaszczyznach przekroju normalnego pręta,

b) momenty skręcające.

Analiza odkształceń i naprężeń pręta skręcanego

W celu ułatwienia analizy zjawisk zachodzących przy skręcaniu pręta o przekroju kołowym i długości l0 obciążonego momentem skręcającym Ms, na jego powierzchni naszkicowano siatkę linii równoległych do osi oraz obwodowych, wyznaczających płaszczyzny przekrojów poprzecznych pręta (rys. 2).

Rys.2. Pręt skręcany momentem Ms, OB - promień pręta, AB – tworząca pręta przed skręceniem, AC - tworząca pręta po skręceniu, y – oś pręta.

Ms Ms

2

Obserwując odkształcenia pręta można zauważyć, że:

1. Oś (y) pozostaje prosta. 2. Tworząca AB, początkowo równoległa do osi pręta, po deformacji przybiera kształt linii śrubowej AC. Kąt nachylenia linii śrubowych jest jednakowy na całej długości pręta i wynosi γ.

3. Przekroje końcowe pozostają płaskie, nie następuje ich deformacja, długość i średnica pręta nie ulegają zmianie (nie występuje zmiana objętości).

3. Linie obwodowe pozostają nadal płaskie i zachowują kształt kołowy. 4. Promień przekroju pręta pozostaje prosty i obraca się o kąt φ.

Na podstawie powyższych obserwacji sformułowana została hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza Bernouli'ego):

„kołowe przekroje poprzeczne pręta pozostają po skręceniu płaskie i kołowe, obracając się wokół osi pręta o niewielki kąt”. Kąt γ, o jaki obrócą się tworzące warstw równoległych do osi pręta, jest miarą odkształceń postaciowych i nosi nazwę kąta odkształcenia postaciowego:

� =��

�� (1)

Kąt φ, o jaki obrócą się w stosunku do siebie przekroje normalne pręta, nosi nazwę kąta skręcenia:

� =��

� (2)

Korzystając z powyższych zależności, które określają długość łuku BC:

= �� = �� można wyprowadzić zależność łączącą odkształcenia postaciowe z kątem skręcenia:

�

�=

�

�� (3)

Kąty odkształcenia postaciowego warstw równoległych do osi pręta są proporcjonalne do odległości od jego osi (rys. 3):

����

�=

�

�= ����� (4)

gdzie: γ max - kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych, γ - kąt odkształcenia postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości ρ od osi próbki, r - promień przekroju poprzecznego próbki, ρ - promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej próbki.

3

Rys. 3 Odkształcenia warstw współśrodkowych z osią pręta.

W skręcanym pręcie występują jedynie odkształcenia postaciowe, stąd w jego przekrojach poprzecznych nie występują naprężenia normalne, a jedynie naprężenia styczne (ścinające). Można zatem zapisać prawo Hooke’a dla ścinania w postaci:

� = � ∙ � (5)

gdzie: G – moduł sprężystości postaciowej materiału (moduł Kirchhoffa) τ – naprężenia styczne w przekroju γ – kąt odkształcenia postaciowego. W zewnętrznych włóknach pręta, oddalonych o r od jego osi, naprężenia styczne są największe, ich wartość zmniejsza się aż do wartości zerowej w osi pręta (rys. 4):

���� = � ∙ ���� = � ∙ � ∙�

�� (6)

� = � ∙ � = � ∙ ! ∙�

�� (7)

Spełniona jest zatem zależność:

"

"���=

�

� (8)

Rys. 4 Rozkład naprężeń stycznych w przekroju normalnym skręcanego pręta.

ρ ρ

4

Opis stanowiska pomiarowego

Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach o przekroju zwartym, w postaci prętów pełnych lub wydrążonych (rur), które obciąża się na końcach momentami skręcającymi, działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Próby skręcania prowadzi się za pomocą urządzeń zwanych skręcarkami, lub aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia, którego schemat przedstawiono na rysunku 5.

Rys. 5 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia.

Zasada działania aparatu polega na pomiarze przemieszczeń S1 i S2 wiązek laserowych odbitych przez zwierciadła umieszczone na badanym pręcie (rurze), wywołanych przyłożonymi momentami skręcającym (rys. 6). Korzystając z zależności:

#$,&

'= �(2�*,+ = 2�*,+ (9)

gdzie: L - odległość między zwierciadłem odbijającym wiązkę a skalą, na której dokonywany jest odczyt przemieszczeń,

możliwe jest wyznaczenie kąta skręcenia:

�*,+ =#$,&

+'[�-.] (10)

∆� = �* − �+ (11)

Badania rura

ZWIERCIADŁA

5

Rys. 6 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia.

Opracowanie wyników próby

Korzystając z zależności (4) oraz (11), można wyznaczyć kąt odkształcenia postaciowego:

� = ∆� ∙�

�� (12)

gdzie: l0 – długość pręta (tu odległość między zwierciadłami).

Naprężenia maksymalne, występujące dla promienia r wyznacza się za pomocą zależności:

� =�∙23

4� (13)

gdzie: Ms – moment skręcający, I0 – biegunowy moment bezwładności przekroju pręta.

Biegunowy, geometryczny moment bezwładności przekroju rury o średnicy wewnętrznej d i zewnętrznej D wynosi:

56 =7(9:;<:)

>+ (14)

Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G. w zakresie proporcjonalności, jest zdefiniowany jako stosunek naprężenia stycznego τ do odpowiadającego mu odkształcenia postaciowego γ. Jest on równy co do wartości tangensowi kąta α nachylenia liniowego fragmentu charakterystyki τ = f(γ) (rys. 7).

ZWIERCIADŁO

6

Rys. 7 Zależność τ = f(γ) dla pręta skręcanego w zakresie sprężystym.

Cel i zakres ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem prowadzenia próby skręcania, przeprowadzenie próby na próbce w postaci rury oraz wyznaczenie modułu Kirchoffa materiału, z którego jest wykonana próbka.

Sprawozdanie powinno zawierać:

• Cel i zakres ćwiczenia laboratoryjnego. • Opis stanowiska badawczego.

• Opis przebiegu realizacji eksperymentu. • Wykres τ = f (γ).

• Moduł Kirchoffa wyznaczony na podstawie charakterystyki τ = f (γ) oraz z zależności:

� =23∙��

∆�∙4�.

• Zestawienie wyników badań oraz ich analizę. Porównanie uzyskanych wartości z danymi literaturowymi.

• Wnioski.

Literatura:

• Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, 2007.

• Instrukcja do laboratorium z Wytrzymałości Materiałów: Swobodne skręcanie prętów kołowych. Politechnika Lubelska.

• Michał i Tadeusz Niezgodziński, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2002.