Stała Feigenbauma...bifurkacje i zuk Mandelbrota

Adam Szustalewicz

seminarium ZMN 31.03.2009

asz – p.1/23

R. R. - zag. poczatkowe

(1) y′ = f(y), y(0) = y0 ; y = y(t), t ≥ 0, y(t) ∈ Rm.

D1. y∗ jest punktem stałym, p. równowagi RR. (1) : f(y∗) = 0 . 2

D2. y∗ jest lokalnie przyciagajacym jesli istnieje takie jegootoczenie, ze jesli y(t) wpadnie do niego, to y(t) → y∗ dla t → ∞ . 2

Rozp. (1) dla y(t) blisko y∗ : y(t) = y∗ + ε(t)

y′(t) = ε′(t) = f( y∗ + ε(t) ) ∼= f(y∗) +df

dy(y∗) ∗ ε(t)

⇒ ε′(t) = dfdy

(y∗) ∗ ε(t) .

Jest to układ równan liniowych o stałych współczynnikach i warunkiemwystarczajacym lokalnego przyciagania przez y∗ jest

∀λ ↔ df

dy(y∗) : re(λ) < 0 .

asz – p.2/23

R. R. - zag. poczatkowe

D3. basenem przyciagania punktu y∗ nazywa sie

{y0 ∈ Rm : y(t) → y∗ dla t → ∞} . 2

Przykład

(2) y′ = λ y (1 − y) , y(0) = y0 , 0 < λ ⇒ y(t) =y0e

λt

1 − y0 − y0eλt

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

t

λ=1

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

λ=4

dfdy

(y) = λ(1 − 2y)

y(t) ≡ 1

df

dy(1) = −λ

y(t) ≡ 0

dfdy

(0) = λ

asz – p.3/23

R. R. - metoda numeryczna

(3) yn+1 = F (yn), y0 ; F : Rm → Rm.

D1’. y∗ jest punktem stałym metody (3) : y∗ = F (y∗) . 2

D2’. y∗ jest lokalnie przyciagajacym jesli istnieje takie jegootoczenie, ze jesli yn do niego wpadnie, to yn+k → y∗ dla k → ∞ . 2

Rozp. (3) dla yn blisko y∗ : yn = y∗ + εn

yn+1 = y∗ + εn+1 = F ( y∗ + εn ) ∼= F (y∗) +dF

dy(y∗) ∗ εn

⇒ εn+1 = dFdy

(y∗) ∗ εn .

Warunkiem wystarczajacym lokalnego przyciagania punktu y∗ jest

ρ

(

dF

dy(y∗)

)

< 1 .

asz – p.4/23

y′ = λ y (1 − y) : jawna metoda Eulera

Metoda: yn+1 = yn + hf(yn), y0 − zadane,

yn+1 = yn + λh yn (1 − yn) ; (yn+1 = F (yn)).

Punkt stały: y∗ = y∗ + λh y∗ (1 − y∗)

⇒ y∗ = 0 , y∗ = 1 .

dF

dy(y) = 1 + λh − 2λhy

dFdy

(0) = 1 + λh > 1 ,

|dFdy

(1)| = |1 − λh| < 1 ,dla 0 < λh < 2

a jesli 2 < λh ?

asz – p.5/23

y′ = λ y (1 − y) : jawna metoda Eulera

Dla λh bliskiego 2.0 wyznaczane yn winne byc bliskimi 1.0 ;przyjmijmy yn = 1 + ε . Otrzymujemy:

yn+1 = F (1 + ε) ∼= F (1) +dF

dy(1) ∗ ε = 1 + (1 − λh) ∗ ε ∼= 1 − ε

punkty 1 + ε i 1 − ε wystepuja w {yn} na przemian...

asz – p.6/23

y′ = λ y (1 − y) : metoda RK rzedu 2

Metoda: k1 = f(yn) , k2 = f(yn + 0.5hk1) , yn+1 = yn + hf( k2) .

Dla R.R. (2) otrzymujemy wzór yn+1 = F (yn) w postaci

yn+1 = yn + λhyn

(

1 +1

2λh − 1

2λhyn

)(

1 − yn

(

1 +1

2λh

)

+1

2λhy2

n

)

i równanie punktu stałego

0 = λhy∗

(

1 +1

2λh(1 − y∗)

)(

(1 − y∗)

(

1 − 1

2λhy∗

))

.

y∗ = 0 , dFdy

(y∗) = 1 + λh + 12 (λh)2 , nie przyciaga,

y∗ = 1 + 2λh

, dFdy

(y∗) = 1 − λh(λh+2)2 , 0 < λh < −1 +

√5 ,

y∗ = 1 , dFdy

(y∗) = 1 − λh , 0 < λh < 2 ,

y∗ = 2λh

, dFdy

(y∗) = 1 − λh(λh−2)2 , 2 < λh < 1 +

√5 .

asz – p.7/23

y′ = λ y (1 − y) : metoda RK rzedu 2

asz – p.8/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjna

(3) yn+1 = F (yn), y0 ; F : Rm → Rm.

Model Verhulsta (1845)

(4) yn+1 = λ yn (1 − yn) , y0 - zadane, 0 < λ < 4 .

Równanie punktu stałegoy∗ = λy∗(1 − y∗)

y∗ = 0 F ′(0) = λ ,

y∗ = 1 − 1λ

F ′(1 − 1λ) = 2 − λ ,

zatem

0 < λ ≤ 1 ⇒ {0} - przyciagajacy,

1 < λ ≤ 3 ⇒ {1 − 1λ} - przyciagajacy,

3 < λ ⇒ - nie ma punktów przyciagajacych.

asz – p.9/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjna

Niech

(4) yn+1 = λ yn (1 − yn) , 0 < λ < 4 , y0 - zadane.

Ilustracje dla λ = 2.9 i y0 = 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9yn = 2.9 * y * ( 1 − y )

y

yn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 2.9 * y * ( 1 − y )

y

yn

n

asz – p.10/23

yn+1 = F (yn) : m. iteracyjna

(Rm, F ) - układ dynamiczny z czasem dyskretnym.

Wytworzony ciag {yn} - trajektoria punktu y0 ,np. zapis: y0 , F (y0) , F 2(y0) , F 3(y0) , ...

D4. Jesli istnieje liczba naturalna p ≥ 2 i punkt y0 takie, ze

y0 = F p(y0) ∧ y0 6= F k(y0) dla k = 1, ... p − 1 ,

to y0 nazywamy punktem okresowym z minimalnym okresem p . 2

D5. Wtedy p-elementowy podciag y0 , F (y0) , ..., F p−1(y0)nazywa sie okresowa orbita punktu y0 . 2

D6. Zbiór I ⊂ Rm nazywa sie zbiorem niezmienniczymukładu dynamicznego (Rm, F ) jesli F (I) = I . 2

Zbiory niezmiennicze (np. pkty stałe, orbity,...)jesli przyciagaja - to atraktory, jesli odpychaja - to repelery.

asz – p.11/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjna

λ = 3.2 λ = 3.5 λ = 3.56

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.2 * y * ( 1 − y )

y

yn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.5 * y * ( 1 − y )

y

yn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.56 * y * ( 1 − y )

y

yn

λ = 3.628 λ = 3.688 λ = 3.834

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.628 * y * ( 1 − y )

x

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.688 * y * ( 1 − y )

x

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1yn = 3.834 * y * ( 1 − y )

x

y

asz – p.12/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjnaZjawisko podwajania okresu orbit

asz – p.13/23

Historia

(1845) Pierre Francois Verhulst- badał wzrost populacji w ograniczonym srodowisku,

(1920) Gaston Maurice Julia (3.02.1893 - 19.03.1978)- układy dynamiczne, zbiory Julii,

(1964) Aleksander Nikołajewicz Szarkowski (7.12.1936 Kijów)- Tw. dla F : R → R ,

Edward Norton Lorenz (23.05.1917 - 16.04.2008)- Chaos theory, Lorenz attractor, Butterfly effect (1969),Benoît B. Mandelbrot (20.11.1924 Warszawa)- (1975-1989) geometria fraktalna = ”workable geometricmiddle ground between the excessive geometric order ofEuclid and the geometric chaos of general mathematics”,

(1975) Mitchell Jay Feigenbaum (19.12.1944)- teoria chaosu, (1978) opisał przykłady podajac stała,

(1980) Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann i Oscard Lanford III- podali pełny dowód dla stałej Feigenbauma.

asz – p.14/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjna

k λkλk−λk−1

λk+1−λk

1 3.02 3.449490 4.7514793 3.544090 4.6561994 3.564407 4.668428

k λkλk−λk−1

λk+1−λk

5 3.568759 4.6645236 3.569692 4.6884427 3.569891 4.6279068 3.569934

λ∞ = 3.569945... st. Feigenbauma = 4.6692016...

asz – p.15/23

yn+1 = λ yn (1 − yn) : m. iteracyjna

Twierdzenie Szarkowskiego dotyczace wystepowania punktówokresowych dla ciagłych funkcji prostej rzeczywistej (1964):

Niech f : I → R bedzie funkcja ciagła, a I ⊂ R to domkniety odcineklub cała prosta R. Jesli f ma punkt okresowy o okresie k oraz k / l

w porzadku Szarkowskiego, to f ma punkt okresowy o okresie l.

3 / 5 / 7 / ...

3 ∗ 2 / 5 ∗ 2 / 7 ∗ 2 / ...

3 ∗ 22 / 5 ∗ 22 / 7 ∗ 22 / ...

...

... / 22 / 21 / 1

Wniosek: dla rozpatrywanej funkcji iteracyjnej istnienie orbitystałej o okresie 3 wymusza istnienie orbit stałych o wszystkichinnych mozliwych okresach wystepujacych w ciagu liczbnaturalnych z uporzadkowaniem Szarkowskiego.

asz – p.16/23

zn+1 = z2n + c : zuk Mandelbrota

Na płaszczyznie zespolonej C pracujemy z przekształceniem

zn+1 = Fc(zn) gdzie Fc(z) ≡ z2 + c .

Na rysunku czarny punkt c oznacza, ze wygenerowany ciag {zn} jestograniczony. Inne kolory oznaczaja nieograniczonosc ciagu orazinformuja o liczbie wykonanych iteracji.

zn+1

= zn2 + c

Re c

Im c

−2.2 0.9

1.2

−1.2

asz – p.17/23

zn+1 = z2n + c : zuk Mandelbrota

Czy Fc(z) posiada punkty stałe? Przyciagajace? Orbity?

z∗ = z2∗

+ c ∧ |F ′

c(z)| < 1 ⇒ c = z∗ − z2∗

∧ |z∗| <1

2

brzeg zbioru zawierajacego punkty stałe:

{c : c =1

2e2 π θi − 1

4e4 π θi } .

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

zn+1

= zn2 + c

Re c

Im c

−0.55 −0.5 −0.45 −0.4 −0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05−0.6

−0.55

−0.5

−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2zn = z2 + ( −0.2−0.6i )

Re z

Im z

asz – p.18/23

zn+1 = z2n + c : zuk Mandelbrota

Otrzymujemy orbity okresowe

−1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06zn = z2 + ( −1.32−0.04i )

Re z

Im z

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08zn = z2 + ( −1.065−0.08i )

Re z

Im z

−0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8zn = z2 + ( −0.09+0.755i )

Re z

Im z

asz – p.19/23

zn+1 = z2n + c : zuk Mandelbrota

Okresy orbit - rozmaite miejsca wyboru parametru c

asz – p.20/23

F: δ = 4.66920160910299067185320283...

Powiekszamy zuka Mandelbrota za pomoca stałej Feigenbauma

1 2 4 8[ −3.375 , 3.375 ] × [ −4.77616 , 1.97385 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −0.7228 , 0.7228 ] × [ −2.12398 , −0.678333 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −0.1548 , 0.1548 ] × [ −1.55596 , −1.24635 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −0.03315 , 0.03315 ] × [ −1.43431 , −1.368 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

16 32 64 128[ −0.007101 , 0.007101 ] × [ −1.40826 , −1.39405 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −1.5208e−003 , 1.5208e−003 ] × [ −1.40268 , −1.39963 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −3.2570e−004 , 3.2570e−004 ] × [ −1.40148 , −1.40083 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

[ −6.9755e−005 , 6.9755e−005 ] × [ −1.40122 , −1.40109 ]

50 100 150 200 250 300 350 400 450

50

100

150

200

250

300

350

400

450

asz – p.21/23

F: δ = 4.66920160910299067185320283...

Po przeskalowaniu...

asz – p.22/23

dziekuje...

zn+1

= zn2 + c

Re c

Im c

−0.5 0.282

−1.0712

−0.5175

asz – p.23/23