1

1

SŁUPY UZWOJONE

2

2

Podstawy teorii słupów uzwojonych

• Badania eksperymentalne prowadzone w latach sześćdziesiątych przez Głomba, Hilsdorfa i Kupfera na próbkach betonowych poddanych dwukierunkowemu ściskaniu wykazały związek między stanem naprężenia a wytrzymałością betonu,

• W wyniku badań prowadzonych w latach sześćdziesiątych i

siedemdziesiątych przez Gardnera a przede wszystkim przez Schickerta i Winklera na próbkach betonowych poddanych trójosiowemu ściskaniu, ustalono relację:

pkff cccc ⋅+=

• Wytrzymałość betonu na ściskanie w warunkach dwuosiowego równomiernego ściskania jest o ok. 20% wyższa niż przy ściskaniu jednoosiowym

• Wytrzymałość betonu na ściskanie σc w warunkach trójosiowego,

ściskania zależy od naprężeń poprzecznych, σlat i przykładowo, przy równomiernym ściskaniu bocznym σlat wynosi:

σc = 28MPa jeżeli σlat = 0MPa σc = 62MPa jeżeli σlat = 7MPa σc = 283MPa jeżeli σlat = 70MPa

cff1

cff2

3

3

pn

ststA σ ⋅ st st A σ ⋅

core d

Rys. 1. Schemat sił działających na spiralę uzwojenia

222

2core

st

n

stcore

core

core

ncore

stst

ncore

stst

n

n

dsAd

dd

sdA

sdA

spp

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅

⋅==

πσπ

ππσσ

uwzględniając zależności

4;;

2

,,core

coresn

stcorecorecores

n

st dAsAdgdAg

sA π

ππ ==⋅==

otrzymuje się wzór na parcie boczne

core

stcores

AA

pσ⋅

⋅= ,

21

gdzie: σst − naprężenie w uzwojeniu.

σ σr ta

g

σz

zσ

rp pz

p

Model słupa uzwojonego według W. Olszaka

n

st

sAg =

4

4

Przyjmując k = 4, Rüsch i Stöckl w latach sześćdziesiątych otrzymali przyrost nośności betonowego rdzenia ΔNR,core, wywołany oddziaływaniem spirali, równy:

stcorescore

stcorescorecorecoreR A

AA

ApkAN σσ

,,

, 2214 =

⋅⋅⋅=⋅⋅=Δ

Przyjmując następnie, że w stanie granicznym nośności naprężenie w uzwojeniu osiągnie granicę plastyczności stali, można zauważyć, że przyrost nośności betonowego rdzenia z tytułu wytworzenia w nim przez uzwojenie przestrzennego stanu naprężenia jest dwukrotnie większy niż w wypadku zastosowania zbrojenia podłużnego o takim samym jak uzwojenie ciężarze. Innymi słowy skuteczność uzwojenia jest dwukrotnie większa od skuteczności zbrojenia podłużnego o takim samym ciężarze. Jeszcze większą teoretyczną skuteczność uzwojenia uzyskuje się przyjmując model rdzenia betonowego otoczonego niepodatnym płaszczem stalowym o grubości g = Ast/sn. Parcie boczne wywierane przez ten płaszcz na rdzeń, przy założeniu liniowej zależności między odkształceniami a naprężeniami w betonie, można wyznaczyć z zależności:

ccc

ccr E

EEp νσσνε ===

νσ p

c =

gdzie: εr jest radialnym odkształceniem betonu rdzenia, ν – współczynnik Poissona

corecoreccoreR ApANν

σ ==Δ ,

core

stcores

AA

pσ⋅

⋅= ,

21

coresstcoreR AN ,, 21 σν

=Δ

Przyjmując następnie współczynnik Poissona dla betonu ν=1/5, Rüsch i Stöckl doszli ostatecznie do zależności:

coresstcoreR AN ,, 5,2 σ=Δ

5

5

Czynniki determinujące skuteczność uzwojenia • skok spirali uzwajającej, • mimośród siły, • smukłość słupa, • stopień zbrojenia podłużnego, • charakter obciążenia (krótko czy długotrwałe), • sposób obciążenia (monotoniczne czy cykliczne), • wytrzymałość stali uzwajającej.

Wpływ skoku uzwojenia

Wpływ skoku uzwojenia na wielkość parcia bocznego na rdzeń, w stosunku do naprężeń podłużnych w betonie, według Olszaka i badań eksperymentalnych

N=0,6N u

N=0,3N u

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18

skok uzw ojenia [m ]

z

pσ

N

N

6

6

Wpływ skoku uzwojenia na zależność fccc/fc (sw = sn )

Zależność σ – ε dla różnych skoków uzwojenia

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

sw/dcore

f ccc

/f cd=205mmdcore=189mmfc=30MPafy,sw=363MPadsw=6mm

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

odkształcenia

napręż

enia

[MPa

]

s=10mm

s=30mms=60mm

s=90mmbeton nieuzwojony

7

7

Rys. Schemat wzajemnego oddziaływania betonu rdzenia i uzwojenia wg Menne

αctgsdfdd ncoreocoreeff ⋅−=−=

22

2

2

2

2

2

21

4)2(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅−=

⋅−==

α

α

ctgds

dctgsd

d

dAA

core

n

core

ncore

core

eff

core

eff

α = 26,5˚ - 45˚

ws

ws

ws

ws

2sw

α2

αctg4

sf wo ⋅=

ocoreeff 2fdd −=

cored

of of

o2f

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

α

8

8

Efektywny rdzeń przekroju

Stopień efektywności rdzenia w zależności od sn/dcore

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

core

n

core

eff

ds

AA

1

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

core

eff

AA

2

core

w 45ctgd2s

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅− o

2

core

w 5,26ctgd2s

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅− o

core

w

ds

1 −core

w

ds

9

9

Wpływ mimośrodu siły na efektywność uzwojenia

0 200 400 600 800

1000 1200 1400 1600 1800

mimośród

nośn

ość

[kN

](war

tośc

i śre

dnie

)

s n =30mm 1645 983 858 s n =60mm 1230 817 843 s n =90mm 1200 823 833

0 30mm 60mm

Rys. Średnie nośności słupów, o różnym skoku uzwojenia i mimośrodzie siły, z

badań eksperymentalnych

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

wg Menne

ex k

k etot m =

wg Triwiono i Mehlhorna

Rys. Współczynnik kex redukujący przyrost nośności z tytułu uzwojenia, wg

propozycji Menne, oraz Triwiono i Mehlhorna. k - rdzeń przekroju (k = dcore/8)

core

totex d

ek

81−=

10

10

Wpływ smukłości na efektywność uzwojenia

14

12

10

8

6

4

2 0 20 40 60

λ 8% ρ 42/50 stal 25 f

S2 c

0 eo =

% 4 2%

% 1

6% ρ S,core =

d2corefc/4 Nn =

Rys. Wpływ smukłości na nośność słupa (eo=0) wg Menne

10

8

6

4

2

0 20 40 60

λ

8 d eo core =

8% ρ 42/50 stal 25 f

S2 c

% 4

d2corefc/4 N

n =

% 2

6% ρ s,core =

% 1

11

11

Wpływ obciążeń długotrwałych na efektywność uzwojenia

Rys. Zmiana wartości parcia wywieranego przez uzwojenie na betonowy rdzeń spowodowana pełzaniem betonu (wg W. Olszaka)

• W przypadku obciążeń długotrwałych rola uzwojenia, wskutek pełzania betonu, wzrasta. Pozytywny, w aspekcie skuteczności uzwojenia, wpływ pełzania redukowany jest jednak przez skurcz betonu. Występuje tu zasadnicza różnica w stosunku do innych konstrukcji betonowych, np. konstrukcji sprężonych, gdzie wpływy pełzania i skurczu sumują się.

• Pełzanie powoduje wzrost efektów II rzędu, szczególnie w słupach o większych smukłościach, zwiększając wartość całkowitego mimośrodu siły i prowadząc czasami nawet do wyboczenia słupa (tzw. creep buckling ).

12

12

Nośność słupów uzwojonych wg PN-B-03264 : 2002

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ+=

core

tot

core

ncoresydcdcdcore d

ed

sfff

8113,2 ,

*, ’

w którym:

core

corescores A

A ,, =ρ

,

n

stcorecores s

AdA π=, ,

4

2core

cored

Aπ

= ,

*ydf - obliczeniowa granica plastyczności stali uzwojenia,

stA - pole przekroju pręta uzwojenia.

etot – mimośród całkowity

• W wypadku gdy smukłość słupa 25/4/ ≤= coo dlil mimośród siły należy przyjmować równy mimośrodowi początkowemu eo , wg zasad podanych w p. 5.3.2. (PN-B-03264: 2002)

• Przy smukłości słupa 25/4/ >= coo dlil mimośród całkowity należy wyznaczać z uwzględnieniem smukłości i obciążeń długotrwałych, wg zasad podanych w p. 5.3.2.

• W przyjętej metodzie słup uzwojony traktuje się jak zwykły słup żelbetowy o

kołowym przekroju poprzecznym i o zwiększonej wytrzymałości betonu rdzenia fcore,cd. Stosuje się do niego ogólną, dobrze znaną i zweryfikowaną normową metodę obliczania nośności słupów żelbetowych, uwzględniającą zarówno smukłość słupa jak również wpływ obciążeń długotrwałych.

• Do obliczeń nośności słupa można wykorzystać paraboliczno – prostokątną zależność σc -εc w betonie:

cdcccc fαε−ε⋅=εσ )2501(1000)( dla εc ≤ 0,002

cdcc fα=εσ )( dla εc > 0,002

13

13

Przy takim przyjęciu zależności σc - εc w betonie, największe podłużne odkształcenie krawędziowe uzwojonego rdzenia, przyjęte za kryterium zniszczenia, wynosi:

0035,0

73002,0

47

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε−=ε aac

W rzeczywistości, w badaniach eksperymentalnych słupów uzwojonych obserwowane były, w stanie granicznym nośności, znacznie większe odkształcenia podłużne (rzędu 0,008 i więcej), są one jednak w praktyce niedopuszczalne.

miejsce przyłożeniasiły N

Ny

y

pręt nr "j"

b(y)

dy

e(y)

cored5,0

cored5,0

cored

jr

sjε

acεaε

tote

)( ycε

tote

ΔN )( cc εσ

)( ycσ

Rys. 1. Odkształcenia i naprężenia w mimośrodowo ściskanym uzwojonym rdzeniu.

14

14

! Jednoznaczne wyznaczenie stanu odkształceń podłużnych w uzwojonym rdzeniu sprowadza się do wyznaczenia takiej wartości εa, przy której suma momentów sił wewnętrznych w przekroju, względem linii działania siły zewnętrznej, oddalonej o etot od środka ciężkości przekroju, wynosi zero

∫ ∑ =−+σ+−+εσ=

cored m

jjtotcoresj

stotcorecc red

mA

dyyedyyb0 1

2 0)5,0()5,0))((()(

gdzie: m – liczba prętów podłużnych σsj – naprężenie w j-tym pręcie podłużnym wyznaczonym z zależności:

ydsjssj fE ≤ε=σ W rozwiązaniach numerycznych całkę wygodnie jest zastąpić sumą:

)5,0()5,0))((()(0 1

itotcore

d n

icii

coretotcorecc yedb

nd

dyyedyybcore

−+∫ ∑ σ=−+εσ=

gdzie: n – liczba warstw, na które został podzielony przekrój rdzenia yi – położenie i–tej warstwy bi – szerokość i–tej warstwy σci – naprężenie w betonie i–tej warstwy

miejsce przyłożeniasiły N

Ny

y

pręt nr "j"

b(y)

dy

e(y)

cored5,0

cored5,0

cored

jr

sjε

acεaε

tote

)( ycε

tote

ΔN )( cc εσ

)( ycσ

Rys. 1. Odkształcenia i naprężenia w mimośrodowo ściskanym uzwojonym rdzeniu.

15

15

Po wyznaczeniu stanu odkształceń podłużnych można obliczyć nośność słupa uzwojonego jako sumę wszystkich sił wewnętrznych w uzwojonym rdzeniu.

∑ σ+∑ σ===

m

jsj

sn

icii

coreRd m

Ab

nd

N1

2

1

W wypadku konieczności uwzględnienia wpływu smukłości, 25/ >ilo , i obciążeń długotrwałych, postępowanie jest identyczne jak w procedurze wymiarowania zwykłych słupów żelbetowych: a) zakłada się wartość współczynnika η zwiększającego wartość mimośrodu

początkowego eo do etot - równanie (36 – PN-02), b) określa się, z równania (47 – PN-02), obliczeniową wytrzymałość betonu

rdzenia fcore,cd, c) z warunku osiągnięcia w najbardziej ściskanym włóknie przekroju

granicznej wartości skrócenia betonu oraz z warunku równowagi momentów (np. suma momentów wszystkich sił wewnętrznych przekroju względem linii działania siły zewnętrznej jest równa zeru) określa się stan graniczny odkształcenia i naprężenia,

d) oblicza się nośność NRd kołowego przekroju żelbetowego o średnicy dcore,

jako sumę wszystkich sił wewnętrznych przekroju w stanie granicznym zniszczenia,

e) wyznacza się wartość η = 1/ (1 - NRd/Ncrit), f) jeżeli przyjęta w p. a) wartość η jest różna od obliczonej w p. e), koryguje

się wartość η, oblicza ponownie etot i powtarza działania wg p. b) - e), aż do uzyskania zadowalającej zgodności między przyjętą a obliczoną wartością współczynnika η, kiedy to obliczoną wartość NRd traktuje się jako ostateczną nośność słupa uzwojonego.

Potrzebne do wyznaczenia siły krytycznej wartości momentów bezwładności betonu i stali wyznacza się z zależności:

64

4c

cd

Iπ

=

2)5,0(

2adAI c

ss −=

gdzie: As – przekrój zbrojenia podłużnego słupa a – odległość środka ciężkości przekroju poprzecznego pręta od

powierzchni zewnętrznej słupa

16

16

! Obliczając nośność słupa uzwojonego (z pominięciem wpływu otuliny) należy ją porównać z nośnością słupa żelbetowego o pełnym przekroju, przy założeniu jednoosiowej wytrzymałości betonu na ściskanie.

! W wypadku gdy nośność słupa żelbetowego jest większa, tę właśnie

nośność należy przyjąć jako miarodajną. Takie przypadki mogą występować wtedy gdy efektywność uzwojenia jest na tyle mała, że przyrost wytrzymałości betonu rdzenia nie rekompensuje zmniejszenia przekroju poprzecznego słupa w wyniku pominięcia wpływu otuliny.

Rys. Wpływ mimośrodu początkowego na procentowy przyrost nośności słupa

z tytułu uzwojenia, wyznaczony według PN-B-03264: 2002.

Rys. Wpływ smukłości słupa i charakteru obciążenia (krótkotrwałe – klt=1, długotrwałe – klt=2) na procentowy przyrost nośności słupa z tytułu uzwojenia

(wg PN-B-03264: 2002).

34.9%

9.6%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60

mimośród początkowy siły e o , mm

przy

rost

noś

nośc

i słu

pa

z ty

tułu

uzw

ojen

ia, %

d c =0,5mk=d core /8=53,5mmλ =10ρ s2 =0,46%f c =30 MPa

sn=50mm

sn=15mm

22.2%

9.2%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 15 20 25 30 35 40 45 50

smukłość słupa

przy

rost

noś

nośc

i słu

pa

z ty

tułu

uzw

ojen

ia, %

d c =0,5ms n =15mmρ s2 =0,46%e o =0e a =0,01m

klt=1

klt=2

17

17

Normowa metoda wyznaczania nośności słupów uzwojonych w świetle wyników badań

eksperymentalnych

Rys. Stosunek nośności słupów uzwojonych uzyskanych z badań [12, 14] do nośności obliczonych (dla średnich wartości wytrzymałości betonu na ściskanie i granicy plastyczności stali) według normy PN – B – 03264:2002. Podstawowe parametry rozkładu statystycznego: wartość średnia - 1,09; współczynnik zmienności - 0,129

0,000,200,400,600,801,001,201,401,601,802,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800Ncal [kN]

NR

dexp

/Nca

l

badania eksperymentalne

średnia populacji (1,09)

wsp. zmienności 0,129

18

18

Rys. Słup uzwojony stanowiący element konstrukcji wsporczej, po ataku na Pentagon, 11 września 2001r

19

19

Rys. Słup uzwojony po badaniach. Widoczna odpadająca otulina