SKRYPT Z MATEMATYKI - inf.ug.edu.pl · Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w...

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rafał Filipów

Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI

Wstępdo matematyki


SKRYPT Z MATEMATYKI

Rafał Filipów

Piotr Szuca

Wstęp do matematyki

Gdańsk 2010

Uniwersytet Gdański


© Copyright by Rafał Filipów, Piotr SzucaSkład komputerowy (LaTeX): Rafał Filipów, Piotr Szuca

All rights reserved

Uniwersytet GdańskiWydział Matematyki, Fizyki i Informatyki

Instytut Matematyki80-952 Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

Spis treści

1 Logika 21.1 Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Prawa rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Rachunek kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Zbiory 222.1 Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Działania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Prawa rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Zbiór potęgowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Sprawdzian 48

3 Indukcja matematyczna 50

4 Funkcje 534.1 Funkcje różnowartościowe i „na” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Sprawdzian 61

5 Działania nieskończone na zbiorach 635.1 Sumy nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Przekroje nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Prawa rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Moce zbiorów 746.1 Równoliczność zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2 Zbiory przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3 Zbiory mocy continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Sprawdzian 81

7 Relacje 837.1 Iloczyn kartezjański zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Własności relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 Relacje porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4 Relacje równoważności. Zasada abstrakcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Sprawdzian 100

8 Kolokwium 101

Literatura 103

1 LOGIKA

1 Logika

1.1 Rachunek zdań

Za zdanie uważamy dowolne stwierdzenie, o którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.„Prawdę” lub „fałsz” nazywamy wartościami logicznymi zdania. Pytanie „jaka jest wartość logiczna zdania”możemy więc traktować jako pytanie o to, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

W trakcie ćwiczeń najbardziej bedziemy zainteresowani zdaniami, które będą mówiły o obiektach mate-matycznych. Na przykład zdanie „sin 0 = 0” jest zdaniem prawdziwym, a zdanie „2|3” (2 jest dzielnikiemliczby 3) jest zdaniem fałszywym.

Mając jakieś zdania możemy utworzyć z nich zdania bardziej skomplikowane poprzez połączenie ichspójnikami logicznymi.

Zadanie 1. Jaka jest wartość logiczna zdania(log2 3 =

13

)=⇒

(sin

π

3< 0).

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika implikacji „ =⇒ ” („jeżeli. . . to . . . ”). Tabela wartości logicznych „ =⇒ ” wygląda następująco:

p q p =⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Sprawdzamy, że zdanie p (log2 3 = 13 ) jest fałszywe, zdanie q (sin π

3 < 0) jest fałszywe, więc zdanie p =⇒ qjest prawdziwe. �

Zadanie 2. Jaka jest wartość logiczna zdania

(2 ¬ 3) ∨(

cosπ

12=√

2).

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika alternatywy „∨” („lub”).Tabela wartości logicznych „∨” wygląda następująco:

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Sprawdzamy, że zdanie p (2 ¬ 3) jest prawdziwe, zdanie q (cos π12 =

√2) jest fałszywe, więc zdanie p∨ q jest

prawdziwe. �

Uwaga. Zauważmy, że w zadaniach 1 i 2 nie musieliśmy wcale sprawdzać wartości logicznej zdania q (dla-czego?)


¬(tgπ

6=√

3).

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone ze zdania tg π6 =√

3 przy pomocy spójnika negacji „¬” („nie”).Tabela wartości logicznych „¬” wygląda następująco:

p ¬p0 11 0

Ponieważ zdanie p (tg π6 =√

3) jest fałszywe, więc zdanie ¬p jest prawdziwe. �

2

1.1 Rachunek zdań 1 LOGIKA

Zadanie 4. Czy prawdziwe jest zdanie(x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x+ 6 = 0

)∧ (3 jest liczbą pierwszą) .

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika koniunkcji „∧” („i”). Tabelawartości logicznych „∧” wygląda następująco:

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Sprawdzamy, że zdanie p(x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x+ 6 = 0

)jest prawdziwe, zdanie q

(3 jest liczbą pierwszą) jest również prawdziwe, więc zdanie p ∧ q jest prawdziwe. �

Zadanie 5. Czy prawdziwe jest zdanie

(2 jest dzielnikiem liczby 15) ⇐⇒ (15 jest liczbą pierwszą) .

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań przy pomocy spójnika równoważności „ ⇐⇒ ”(„wtedy i tylko wtedy, gdy”). Tabela wartości logicznych „⇐⇒ ” wygląda następująco:

p q p ⇐⇒ q0 0 10 1 01 0 01 1 1

Sprawdzamy, że zdanie p (2 jest dzielnikiem liczby 15) jest fałszywe, zdanie q (15 jest liczbą pierwszą) jestrównież fałszywe, więc zdanie p ⇐⇒ q jest prawdziwe. �

Zadanie 6. Jaka jest wartość logiczna zdania[(√42 + 32 = 7

)∧ (π = 2)

]⇒(27 > 103

).

Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z trzech zdań przy pomocy spójników „∧” i „⇒”.Ponieważ zdanie „π = 2” jest fałszywe, więc koniunkcja „

(√42 + 32 = 7

)∧(π = 2)” jest również fałszywa.

Czyli cała implikacja „[(√

42 + 32 = 7)∧ (π = 2)

]⇒(27 > 103

)” jest prawdziwa. �

Zadanie 7. Zanotować za pomocą symboli rachunku zdań wyrażenie „Jeśli a = 0 lub b = 0, to ab = 0”, wktórym litery a, b, c oznaczają dowolne liczby całkowite.

Rozwiązanie. [(a = 0) ∨ (b = 0)]⇒ (ab = 0) . �

Zadanie 8. Zanotuj wyrażenie (ab > 0) =⇒ (((a > 0) ∧ (b > 0)) ∨ ((a < 0) ∧ (b < 0))), nie posługując sięsymbolami rachunku zdań.

Rozwiązanie. Jeśli iloczyn dwóch liczb jest dodatni, to obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne. �

Zadanie 9. Za pomocą symboli arytmetycznych i symboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzeniearytmetyki liczb rzeczywistych:

„Różnica dwóch liczb rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe”.

Rozwiązanie. a− b = 0 ⇐⇒ a = b. �

Zadanie 10. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p =⇒ q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q).

3


Rozwiązanie. To zadanie możemy rozwiązać sprawdzając wszystkie możliwe wartości logiczne zdań p i q:

p q p =⇒ q (¬p) ∨ q (p =⇒ q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q)0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 11 1 1 1 1

Z powyższej tabelki wynika, że zdanie jest prawdziwe dla dowolnych wartości p i q (jest to tzw. tautologia).�

Zadanie 11. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p ∧ (q =⇒ r)) =⇒(p ∧ (¬r =⇒ q)).

Rozwiązanie. To zadanie możemy rozwiązać sprawdzając wszystkie możliwe wartości logiczne zdań p, q i r:

p q r q =⇒ r p ∧ (q =⇒ r) ¬r =⇒ q p ∧ (¬r =⇒ q) (p ∧ (q =⇒ r)) =⇒ (p ∧ (¬r =⇒ q))0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 1 0 10 1 0 0 0 1 0 10 1 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 0 0 01 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Z powyższej tabelki wynika, że zdanie jest prawdziwe dla wszystkich wartości p, q i r poza przypadkiem,gdy p = 1,q = 0 i r = 0. �

Zadanie domowe


1. (cos π3 = 1) =⇒ (cos π6 = 12 ).

2. (cos π3 = 12 ) =⇒ (cos π6 =

√32 ).

3. ( 411 >718 ) ∨ (cosπ > 0).

4. ( 411 >718 ) ∨ (cos 0 < π).

5. ¬ (2 = 3) .

6. ¬ (sin(2) < 3) .

7. (2 jest dzielnikiem liczby 15) ∧ (15 jest liczbą pierwszą).

8. (równanie x2 − 5x + 6 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) ∧ (równanie x2 − 5x + 6 = 0 nie mapierwiastka).

9.(x0 = 3 jest pierwiastkiem równania x2 − 5x+ 6 = 0

)⇐⇒ (3 jest liczbą pierwszą) .

10. (równanie x2 − 5x + 6 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) ⇐⇒ (równanie x2 − 5x + 6 = 0 nie mapierwiastka).

Zadanie 2. Czy prawdziwe jest zdanie.

1. (cos π3 =√32 ) =⇒ (cos π6 =

√32 ).

2.(sin(cos(124◦)) <

√2)∨(

2√2 jest liczbą wymierną

).

4


3. ¬(¬(tg π6 = tg 7π6

)).

4. ((2n − 1)2 jest liczbą nieparzystą dla każdej liczby naturalnej n) ∧ (istnieje liczba naturalna n, dlaktórej (2n− 1)2 jest liczbą pierwszą).

5. ((2n− 1)2 jest liczbą nieparzystą dla każdej liczby naturalnej n) ⇐⇒ (istnieje liczba naturalna n, dlaktórej (2n− 1)2 jest liczbą pierwszą).


1. ((log 2 < 0) ∨ (sinπ = 0)) =⇒ (cosπ = 0).

2. ((2|3) ∧ (2 jest liczbą pierwszą) ⇐⇒ ¬(2|3).

3. (trójkąt o bokach długości 3, 4, 5 jest prostokątny) ∧ ((2 + 1 > 0) =⇒ sin cos 2009◦ < 1).

Zadanie 4. Zanotować za pomocą symboli rachunku zdań następujące wyrażenia, w których litery a, b, coznaczają dowolne liczby całkowite.

1. Jeśli a|b i a|c, to a|(b+ c).

2. Jeśli a|b i nieprawda, że a|c, to nieprawda, że a|(b+ c).

3. (a > 0 i b > 0) wtedy i tylko wtedy, gdy (ab > 0 i a+ b > 0).

4. (a < 0 i b < 0) wtedy i tylko wtedy, gdy (ab > 0 i a+ b < 0).

5. Jeśli nieprawda, że a < b, to (a = b lub a > b).

Zadanie 5. Zanotuj następujące wyrażenia nie posługując się symbolami rachunku zdań.

1. ((a|b) ∧ (b|c)) =⇒ (a|c),

2. (¬(a < b) ∧ ¬(b < a)) =⇒ (a = b),

3. (a+ b = a) ⇐⇒ (b = 0).

Zadanie 6. Za pomocą symboli arytmetycznych i symboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzeniaarytmetyki liczb rzeczywistych.

1. Jeśli liczba jest różna od zera, to (jest ujemna lub jest dodatnia).

2. Jeśli iloczyn dwóch liczb jest różny od zera, to obie te liczby są różne od zera.

Zadanie 7. Dla jakich wartości logicznych zdań p i q prawdziwe jest zdanie

1. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))).

2. (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q).

3. (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p).

4. (p =⇒ (¬q)) =⇒ ((¬q) =⇒ p).

5


Odpowiedzi do zadań domowych

Odp. 1.

1. fałsz

2. prawda

3. fałsz

4. prawda

5. prawda

6. fałsz

7. fałsz

8. fałsz

9. prawda

10. fałsz

Odp. 2.

1. tak

2. tak

3. tak

4. nie

5. nie

Odp. 3.

1. fałsz

2. fałsz

3. prawda

Odp. 4.

1. (a|b ∧ a|c) =⇒ a|(b+ c)

2. (a|b ∧ ¬a|c) =⇒ ¬a|(b+ c)

3. a > 0 ∧ b > 0) ⇐⇒ (ab > 0 ∧ a+ b > 0)

4. (a < 0 ∧ b < 0) ⇐⇒ (ab > 0 ∧ a+ b < 0)

5. (¬a < b) =⇒ (a = b ∨ a > b)

Odp. 5.

1. jeśli a|b i b|c, to a|c

2. jeśli (nieprawda że a < b oraz nieprawda że b < a), to a = b

3. a+ b = a wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0 (lub np. do tego aby a+ b = a potrzeba i wystarcza, że b = 0)

Odp. 6.

1. ¬a = 0 =⇒ (a < 0 ∨ a > 0)

6

1.2 Prawa rachunku zdań 1 LOGIKA

2. ab 6= 0 =⇒ (a > 0 ∧ b > 0)

Odp. 7.

1. dla wszystkich par p, q

2. dla p = 0, q = 0, dla p = 1, q = 1

3. dla p = 0, q = 0, dla p = 1, q = 1

4. dla p = 0, q = 1, dla p = 1, q = 0

1.2 Prawa rachunku zdań

Zdania prawdziwe przy każdym wartościowaniu zmiennych w nich występujących nazywamy prawami ra-chunku zdań lub tautologiami. Niektóre tautologie mają swoje nazwy.

Zadanie 8. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawo rachunku zdań

¬¬p =⇒ p.

Rozwiązanie. Metoda zerojedynkowa polega na wypisaniu w tabelce wszystkich możliwych wartości zmien-nych występujących w zdaniu, i sprawdzeniu dla każdej kombinacji wartości, że zdanie rzeczywiście jestprawdziwe. Dla ułatwienia (i uniknięcia pomyłek) w tabeli takiej wpisujemy także pośrednie obliczenia —w poniższym przykładzie kolumna 2 stanowi obliczenia pośrednie.

p ¬¬p ¬¬p =⇒ p0 0 11 1 1

Ponieważ w prawej kolumnie tabeli są same jedynki, więc zdanie ¬¬p =⇒ p jest tautologią. �


¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q) (prawo de Morgana, prawo negowania koniunkcji).

Rozwiązanie.p q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q ¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q)0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 1 1 11 1 0 0 1

�


(p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)).

Rozwiązanie.

p q r p =⇒ q q =⇒ r p =⇒ r (q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r) (p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r))0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1

�

7


Zadanie 11. Korzystając z prawa negowania alternatywy podaj zaprzeczenie zdania

proste l1 i l2 są równolegle lub skośne.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez p zdanie „proste l1, l2 są równoległe”, a przez q zdanie „proste l1, l2 są skośne”.Wtedy zaprzeczenie zdania p∨q, to — zgodnie z prawem de Morgana — zdanie ¬p∧¬q. Czyli zaprzeczeniemzdania „proste l1 i l2 są równoległe lub proste l1 i l2 są skośne” jest zdanie „proste l1 i l2 nie są równoległei proste l1 i l2 nie są skośne”. �

Zadanie 12. Wykaż, że następujące wyrażenie nie jest prawem rachunku zdań.

(p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p).

Rozwiązanie. Aby pokazać, że dane zdanie jest tautologią należy sprawdzić wszystkie możliwe podstawieniazmiennych występujących w zdaniu. Aby pokazać, że zdanie nie jest tautologią, wystarczy znaleźć takiprzykład wartościowania zmiennych, że zdanie staje się fałszywe. W przypadku zdania (p =⇒ q) =⇒(q =⇒ p) wiemy, że aby było ono fałszywe musi być prawdziwe zdanie p =⇒ q i fałszywe zdanieq =⇒ p. Drugie z tych zdań jest łatwiejsze do analizy, ponieważ implikacja q =⇒ p jest fałszywatylko w jednym przypadku: gdy q = 1 i p = 0. Sprawdzamy, że istotnie przy takim wartościowaniu zdanie(p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p) jest fałszywe. �

W przypadku, gdy rozwiązaniem zadania jest przykład wartościowania, wartości p i q można zgadnąć(jest to poprawne rozwiązanie zadania).

Czasami zamiast sprawdzania wszystkich możliwych wartości zmiennych użytych w zdaniu wygodniejjest spróbować znaleźć takie wartościowanie zmiennych, dla którego formuła staje się fałszywa. Jeżeli takiewartościowanie znajdziemy, to formuła nie jest tautologią, a jeżeli próba znalezienia takiego wartościowaniadoprowadzi nas do sprzeczności, to formuła jest tautologią. Taką metodę dowodzenia tautologii nazywamymetodą skróconą.

Zadanie 13. Zbadaj metodą skróconą, czy następujące wyrażenie jest prawem rachunku zdań

¬(p =⇒ q) =⇒ (p =⇒ q).

Rozwiązanie. Żeby implikacja była fałszywa, musi być prawdziwe zdanie ¬(p =⇒ q) (czyli fałszywe zdaniep =⇒ q) i jednocześnie fałszywe zdanie p =⇒ q. Jeżeli dobierzemy p = 1 a q = 0, to spełnione są oba tewarunki. Podane zdanie nie jest więc tautologią. �


p =⇒ (¬p =⇒ q).

Rozwiązanie. Aby zdanie było fałszywe, musi być prawdziwe zdanie p i fałszywe zdanie ¬p =⇒ q. Alejeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie ¬p =⇒ q też musi być prawdziwe (jako implikacja o fałszywympoprzedniku). Zdanie to nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe przy tym samym wartościowaniuzmiennych — więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wyjściowe zdanie jest fałszywedoprowadziło nas do sprzeczności. Czyli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jest więc tautologią.�


((p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)) =⇒ ((p ∧ r) =⇒ q).

Rozwiązanie. Aby zdanie było fałszywe, musi być prawdziwe zdanie (p =⇒ q)∨ (r =⇒ q) i fałszywe zdanie(p∧r) =⇒ q. Zdanie (p∧r) =⇒ q jest fałszywe, gdy zdanie (p∧r) jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe.Zdanie p∧ r jest prawdziwe, gdy zdania p i r są prawdziwe. Wówczas zdanie p =⇒ q i r =⇒ q są fałszywe,czyli alternatywa (p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q) też jest fałszywa, co jest sprzeczne z naszym założeniem, że taalternatywa jest prawdziwa. Więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wyjściowe zdaniejest fałszywe doprowadziło nas do sprzeczności. Czyli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jestwięc tautologią. �

8


Zadanie 16. Podać prawo, które wskazuje, że implikacja może być zdefiniowana za pomocą koniunkcji inegacji.

Rozwiązanie. Wiemy, że (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q). Z kolei zdanie z prawej strony równoważności możemyzapisać w postaci prawa de Morgana (¬p ∨ q) ⇐⇒ ¬(p ∧ ¬q) (bo ¬¬q ⇐⇒ q). Zdanie po prawej stronierównoważności pozwala zapisać funktor (spójnik logiczny) implikacji przy użyciu jedynie negacji i koniunkcji.Powyższe rozumowanie możemy zapisać skrótowo:

p =⇒ q ≡ (¬p ∨ q) ≡ ¬(p ∧ ¬q).

�

Zadanie 17. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule

(p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬s) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).

Rozwiązanie. Korzystając z faktu, że alternatywa nie zmienia wartości logicznej po zmianie kolejności wyra-zów, powyższe wyrażenie jest równoważne wyrażeniu (zamieniamy 2 i 3 składnik alternatywy)

(p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ q ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).

Dalej, wykorzystując tautologię ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)) ⇐⇒ (x ∧ (y ∨ z)) (podstawiając za x zdanie p ∧ q, za yzdanie s, za z zdanie ¬s), otrzymujemy, że wyjściowe zdanie jest równoważne zdaniu

(p ∧ q ∧ (s ∨ ¬s)) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).

Ponieważ s ∨ ¬s jest tautologią, więc powyższe zdanie jest równoważne ze zdaniem

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q).

Zdanie p∧¬q ∧¬r jest prawdziwe tylko dla p = 1, q = 0 i r = 0, zdanie ¬(p∧ r =⇒ q) jest prawdziwe tylkodla p = 1, q = 0 i r = 1. Czyli (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) jest prawdziwe, gdy p = 1 oraz q = 0, czyliwtedy, gdy prawdziwe jest zdanie p ∧ ¬q. Stąd wyjściowe zdanie jest równoważne zdaniu

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q).

Ponownie wykorzystując tautologię „rozdzielność alternatywy względem koniunkcji” otrzymujemy, że po-wyższe zdanie jest równoważne p. Najkrótszym zdaniem równoważnym zdaniu z zadania jest p. W skrócietaki ciąg rozumowania można zapisać:

(p∧q∧s)∨(p∧¬q∧¬r)∨(p∧q∧¬s)∨¬(p∧r =⇒ q) ≡ (p∧q∧s)∨(p∧q∧¬s)∨(p∧¬q∧¬r)∨¬(p∧r =⇒ q) ≡

≡ (p ∧ q ∧ (s ∨ ¬s)) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬(p ∧ r =⇒ q) ≡

≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ≡ p.

�Dla danego twierdzenia p =⇒ q, które możemy nazwać prostym, twierdzenia: q =⇒ p, ¬q =⇒ ¬p i

¬p =⇒ ¬q nazywać będziemy, odpowiednio, odwrotnym, przeciwstawnym i przeciwnym.

Zadanie 18. Utworzyć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia.

(2|n ∧ 3|n) =⇒ 6|n.

Rozwiązanie. Jeżeli oznaczymy przez p zdanie 2|n ∧ 3|n, przez q zdanie 6|n, to zdaniem odwrotnym dop =⇒ q jest 6|n =⇒ (2|n ∧ 3|n), zdaniem przeciwstawnym jest 66 |n =⇒ ¬(2|n ∧ 3|n) (lub, upraszczającna podstawie prawa de Morgana, 66 |n =⇒ (2 6 |n ∨ 36 |n)), zdaniem przeciwnym jest ¬(2|n ∧ 3|n) =⇒ 66 |n((26 |n ∨ 3 6 |n) =⇒ 66 |n). �

Zadanie 19. Wypowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie

jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x0, to jest ciągła w punkcie x0.

9


Rozwiązanie. Zgodnie z tautologią (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p) implikacja równoważna jest to implikacjaprzeciwstawna. Oznaczmy przez p zdanie „y = f(x) ma pochodną w punkcie x0”, przez q zdanie „f jestciągła w punkcie x0”. Implikacją przeciwstawną do p =⇒ q jest ¬q =⇒ ¬p. Rozwiązaniem zadania jestwięc zdanie

jeżeli funkcja y = f(x) nie jest ciągła w punkcie x0, to f nie ma pochodnej w punkcie x0.

�

Zadanie 20. Używając sformułowania „warunek wystarczający” i „warunek konieczny” wypowiedzieć twier-dzenie: liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielnyprzez dwumian (x− a).

Rozwiązanie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby liczba a była pierwiastkiem wielomianuW (x) jest to, że wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x−a) (do tego aby liczba a była pierwiast-kiem wielomianu W (x) potrzeba i wystarcza, aby wielomian W (x) był podzielny przez dwumian (x − a)).�

Zadanie 21. Czy prawdziwe jest zdanie: jeżeli z faktu, że wszystkie boki trójkąta ABC są równe wynika, żewszystkie kąty trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąty, to ma on również nierówne boki.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez p zdanie „wszystkie boki trójkąta ABC są równe”, przez q zdanie „wszystkiekąty trójkąta ABC są równe”. Wtedy powyższe zdanie można zapisać jako ((p =⇒ q) ∧ ¬q) =⇒ ¬p, cojest tautologią (sprawdzić!) �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Sprawdzić metodą zerojedynkową prawa rachunku zdań.

1. p ⇐⇒ ¬¬p,

2. ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q) (prawo de Morgana, prawo negowania alternatywy),

3. ¬(p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ ¬q) (prawo negowania implikacji),

4. (p =⇒ q) =⇒ ((q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)),

5. ((p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r)) =⇒ (p ⇐⇒ r)

Zadanie 2. Korzystając z praw negowania alternatywy, koniunkcji i implikacji podaj zaprzeczenia zdań.

1. Prosta l ma jeden punkt wspólny z danym okręgiem, lub prosta l nie ma żadnego punktu wspólnegoz danym okręgiem.

2. Liczba a jest podzielna przez liczby b i c.

3. Para liczb a, b spełnia układ równań {2x − 3y = 5x + 2y = 1

4. Jeśli liczba a jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4.

Zadanie 3. Wykaż, że następujące wyrażenia nie są prawami rachunku zdań.

1. (p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p),

2. ¬(p ∧ q) =⇒ (¬p ∧ ¬q),

3. ¬(p ∨ q) =⇒ (¬p ∨ ¬q),

4. ((p =⇒ q) ∧ ¬p) =⇒ ¬q,

10


5. (p ∨ q) =⇒ p.

Zadanie 4. Zbadaj metodą skróconą, które z następujących wyrażeń są prawami rachunku zdań.

1. ¬((p =⇒ q) ∨ (q =⇒ p)),

2. ((p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)) =⇒ ((p ∧ r) =⇒ q),

3. (p ∧ q) ⇐⇒ p,

4. (p ∧ p) ⇐⇒ p,

5. (p =⇒ q) =⇒ (q =⇒ p),

6. (p ⇐⇒ q) =⇒ (¬p ⇐⇒ ¬q),

7. ((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ ((p ∧ ¬r) =⇒ ¬q),

8. (p ∧ (q =⇒ r)) =⇒ ((p ∧ (¬r =⇒ ¬q)),

9. (p ∧ (q ∨ r)) =⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)),

10. (p ∨ (q ∧ r)) =⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)).

Zadanie 5. Sprawdzić, czy następujące wyrażenie jest tautologią.

1. p =⇒ (q =⇒ (p ∧ q)).

2. (p =⇒ ¬p) =⇒ (¬p).

3. ((p ⇐⇒ q) ⇐⇒ r) ⇐⇒ (q ⇐⇒ (p ⇐⇒ r)).

4. ((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ (p ∧ (q =⇒ r)).

5. (p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ ¬q).

6. (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q).

Zadanie 6. Wykazać, że następujące wyrażenie jest tautologią.

1. p ∨ ¬p.

2. ¬(p ∧ ¬p).

3. (¬p) =⇒ (p =⇒ q).

4. (¬p) =⇒ ¬(p ∧ q).

5. p =⇒ (q =⇒ (p =⇒ q)).

6. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)).

7. (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p).

8. (p =⇒ q) =⇒ ((t ∨ p) =⇒ (t ∨ q)).

Zadanie 7. Podać prawa, które wskazują, że

1. alternatywa może być zdefiniowana za pomocą koniunkcji i negacji,

2. alternatywa może być zdefiniowana za pomocą implikacji i negacji,

3. równoważność może być zdefiniowana za pomocą implikacji i koniunkcji.

Zadanie 8. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule:

11


1. ¬p =⇒ ¬¬q

2. (p ∧ q) ∨ ¬(¬p =⇒ q)

3. (q ∧ r ∧ s ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬p) ∨ (r ∧ s)

Zadanie 9. Utworzyć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia.

1. (x > 0 ∨ x = −1) =⇒ x2 > −1.

2. Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są równe i równoległe, to czworokąt jest równoległobokiem.

Zadanie 10. Wypowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie.

1. Jeżeli f ′(x) < 0 na przedziale (a, b), to funkcja y = f(x) jest malejąca na tym przedziale.

2. Jeżeli dwie izometrie są zgodne w trzech niewspółliniowych punktach, to są identyczne.

Zadanie 11. Używając sformułowania „warunek wystarczający” i „warunek konieczny” wypowiedzieć twier-dzenie.

1. Czworokąt ma środek symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoległobokiem.

2. Liczba całkowita jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielnaprzez 3.

3. Różnica dwóch liczba rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe.

4. Iloczyn dwóch liczb jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są niezerowe.

Zadanie 12. Czy prawdziwe są zdania:

1. jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie boki równe, to z faktu że A jest czworokątem wynika,że A ma równe boki.

2. jeżeli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3, wynika, że anie dzieli się przez 5.

3. jeżeli Jan nie zna Logiki, to jeśli Jan zna Logikę, to Jan urodził się w IV wieku pne.


Odp. 2.

1. Prosta l ma 2 punkty wspólne z okręgiem.

2. Liczba a nie jest podzielna przez b lub liczba a nie jest podzielna przez c.

3. 2a− 3b 6= 5 lub a+ 2b 6= 1.

4. Liczba a jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 4.

Odp. 3. Dla podanych wartości p i q odpowiednie zdania są fałszywe.

1. p = 0, q = 1.

2. p = 1, q = 0.

3. p = q = 0.

4. p = 0, q = 1.

5. p = 0, q = 1.

Odp. 4.

12


1. Nie jest.

2. Jest.

3. Nie jest.

4. Jest.

5. Nie jest.

6. Jest.

7. Jest.

8. Jest.

9. Jest.

10. Jest.

Odp. 5.

1. Jest.

2. Jest.

3. Nie jest.

4. Nie jest.

5. Nie jest.

6. Nie jest.

Odp. 7.

1. p ∨ q = ¬(¬p ∧ ¬q).

2. p ∨ q = ¬p⇒ q.

3. p ⇐⇒ q = (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).

Odp. 8.

1. p ∨ q.

2. p ⇐⇒ q.

3. r ∧ s.

Odp. 9.

1. • x2 > −1 =⇒ (x > 0 ∨ x = −1).

• x2 ¬ −1 =⇒ (x ¬ 0 ∧ x 6= −1).

• (x ¬ 0 ∧ x 6= −1) =⇒ x2 ¬ −1.

2. • Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są równe irównoległe.

• Jeżeli czworokąt nie jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są różnejdługości lub nie są równoległe.

• Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są różnej długości lub nie są równoległe, to czworokąt niejest równoległobokiem.

13

1.3 Rachunek kwantyfikatorów 1 LOGIKA

Odp. 10.

1. Jeżeli funkcja y = f(x) jest niemalejąca na przedziale (a, b), to f ′(x) 0 dla x ∈ (a, b),

2. Jeżeli dwie izometrie nie są identyczne, to nie są zgodne w trzech niewspółliniowych punktach.

Odp. 11.

1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby czworokąt miał środek symetrii jest to, aby byłrównoległobokiem.

2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby liczba całkowita była podzielna przez 3 jest to,aby suma cyfr tej liczby była podzielna przez 3.

3. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby różnica dwóch liczb rzeczywistych była równazeru jest to, aby liczby te były równe.

4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego, aby iloczyn dwóch liczb był różny od zera jest to,aby obie liczby były niezerowe.

Odp. 12.

1. Tak.

2. Nie.

3. Tak.

1.3 Rachunek kwantyfikatorów

Wyrażenie p(x), które po podstawieniu za x jakiegokolwiek elementu ze zbioru X staje się zdaniem nazywaćbędziemy funkcją zdaniową zmiennej x (lub, wymiennie, formą zdaniową zmiennej x). Zbiór X nazywaćbędziemy dalej zakresem zmienności p(x).

Jeżeli funkcja zdaniowa jest prawdziwa po podstawieniu pewnego elementu x1 ∈ X, to mówimy, że x1spełnia funkcję zdaniową, Jeżeli funkcja zdaniowa jest fałszywa po podstawieniu pewnego elementu x2 ∈ X,to mówimy, że x2 nie spełnia funkcji zdaniowej.

Funkcję zdaniową p(x) nazywamy prawdziwą na danym niepustym zbiorze X, jeżeli dla każdego elementux ze zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe. Funkcję zdaniową p(x) nazywamy fałszywą na danym niepustymzbiorze X, jeżeli dla każdego elementu x ze zbioru X zdanie p(x) jest fałszywe. Jeżeli istnieje element x1 zezbioru X taki, że zdanie p(x1) jest prawdziwe oraz istnieje element x2 ze zbioru X taki, że zdanie p(x2) jestfałszywe, to funkcja zdaniowa nie jest ani prawdziwa ani fałszywa.

Zadanie 13. Rozważmy funkcję zdaniową x > 0, x ∈ R. Podać po jednym przykładzie elementu x ∈ Rspełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową.

Rozwiązanie. Jeżeli za x podstawimy np. 1, to zdanie 1 > 0 jest prawdziwe. Czyli 1 spełnia funkcję zdaniową.Jeżeli za x podstawimy np. −π, to zdanie −π > 0 jest fałszywe. Czyli −π nie spełnia funkcji zdaniowej. �

Zadanie 14. Zaznacz (na płaszczyźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniających formę zdaniową

x2 + y2 > 0 ∧ y + x < 0.

Rozwiązanie. Podana forma zdaniowa jest koniunkcją dwóch prostszych form: x2 + y2 > 0 oraz y + x < 0.Na rysunku nanosimy najpierw zbiór tych par x, y, że x2 + y2 > 0 (czyli cała płaszczyzna poza punktem(0, 0)), następnie zbiór tych punktów (x, y), że y + x < 0 (czyli y < −x, czyli zbiór punktów znajdującychsię „pod” prostą y = −x). Rozwiązaniem jest część wspólna obu zbiorów. �

Zadanie 15. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą)

x2 − 3x+ 2 > 0?

14


Rozwiązanie. Zauważmy, że równanie x2 − 3x + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania, więc istnieją takie liczbyx0, x1 ∈ R (np. x0 = 3, x1 = 1 12 ), że x20−3x0+2 > 0 oraz x21−3x1+2 ¬ 0. Czyli podana forma zdaniowa niejest ani prawdziwa (ponieważ po podstawieniu x = x1 otrzymujemy fałsz), ani nie jest fałszywa (ponieważpo podstawieniu x = x0 otrzymujemy prawdę). �

Zadanie 16. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą)

x2 + 3x+ 2 < 0?

Rozwiązanie. Ponieważ x2 + 3x+ 2 = 0 nie ma rozwiązań, więc dla każdego x wiadomo, że x2 + 3x+ 2 > 0.Czyli nie istnieje x spełniający podaną formę zdaniową, czyli jest ona fałszywa. �

Jeśli funkcja zdaniowa p(x) jest prawdziwa dla każdego x, to piszemy

∀xp(x) (czytamy: dla każdego x zachodzi p(x)).

Jeśli istnieje przynajmniej jeden element x spełniający p(x), to piszemy

∃xp(x) (czytamy: istnieje x taki, że p(x)).

Symbole „∀” i „∃” nazywamy kwantyfikatorami.

Zadanie 17. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe(odpowiednio, zdanie fałszywe).

x2 = 2.

Rozwiązanie. Ponieważ dla x =√

2, x2 = 2, więc przykład zdania prawdziwego, to

∃xx2 = 2.

Z kolei, ponieważ istnieje taki x, że x2 6= 2 (np. x = 1), więc przykład zdania fałszywego, to

∀xx2 = 2.

�

Zadanie 18. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe(odpowiednio, zdanie fałszywe).

x > 0 ∨ y > x

Rozwiązanie. Ponieważ dla dowolnego x potrafimy znaleźć taki y, że y > x (np. y = x+ 1), więc prawdziwejest na przykład zdanie

∀x∃y

(x > 0 ∨ y > x).

(innym przykładem zdania prawdziwego jest ∃x∃y

(x > 0 ∨ y > x)). Ponieważ dla x = 0 i y = −1 zdanie

x > 0 ∨ y > x jest fałszywe, więc przykład zdania fałszywego, to

∀x∀y

(x > 0 ∨ y > x).

�

Zadanie 19. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie.

∀x

(x2 + 2x+ 6 < 0)

15


Rozwiązanie. Ponieważ dla x = 0 nie jest prawdą, że x2+ 2x+ 6 < 0, więc podane zdanie jest fałszywe. Abyzaprzeczyć zdaniu, korzystamy z prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:

¬∀xp(x) ⇐⇒ ∃

x¬p(x).

W przykładzie podanym w zadaniu, po zastosowaniu prawa de Morgana otrzymamy:

∃x¬(x2 + 2x+ 6 < 0),

co możemy zapisać także jako∃x

(x2 + 2x+ 6 0),

�

Zadanie 20. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie.

∀x∃y

(x2 − y2 > 0 =⇒ x > 0)

Rozwiązanie. Jeżeli ustalimy dowolny x = x0, to biorąc y = x otrzymamy zdanie

x20 − x20 > 0 =⇒ x > 0.

Zdanie to składa się z implikacji o fałszywym poprzedniku, czyli jest to zdanie prawdziwe. W takim razie, dladowolnego x = x0 udało się tak dobrać y = x0, aby forma zdaniowa x2−y2 > 0 =⇒ x > 0 po podstawieniux i y była prawdziwa. Czyli zdanie

∀x∃y

(x2 − y2 > 0 =⇒ x > 0)

jest prawdziwe. Aby zaprzeczyć zdaniu, korzystamy najpierw z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogól-nego („∀”):

¬∀xp(x) ⇐⇒ ∃

x¬p(x).

Otrzymujemy wówczas zdanie:∃x¬∃y

(x2 − y2 > 0 =⇒ x > 0).

Ponownie korzystamy z prawa de Morgana, tym razem dla kwantyfikatora szczególnego („∃”):

¬∃xp(x) ⇐⇒ ∀

x¬p(x).

Otrzymujemy wówczas zdanie:∃x∀y¬(x2 − y2 > 0 =⇒ x > 0).

Korzystając z tautologii o zaprzeczaniu implikacji i prawa de Morgana otrzymujemy:

∃x∀y

(x2 − y2 > 0 ∧ ¬x > 0),

co możemy zapisać jako∃x∀y

(x2 − y2 > 0 ∧ x ¬ 0).

�

Zadanie 21. Korzystając ze spójników logicznych i kwantyfikatorów, zapisać zdanie

równanie x2 − x− 2 = 0 ma dodatni pierwiastek.

Rozwiązanie. Równanie ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x, po podstawieniu którego doformy zdaniowej x2 − x− 2 = 0 otrzymamy zdanie prawdziwe. Jeżeli pierwiastek ma być dodatni, to formęzdaniową możemy rozszerzyć o warunek x > 0. W takim razie podane zdanie można zapisać

∃x

(x2 − x− 2 = 0 ∧ x > 0).

�

16



istnieje liczba m, od której nie jest mniejszy kwadrat dowolnej liczby x.

Rozwiązanie. Fakt, że od m nie jest mniejszy kwadrat dowolnej liczby x jest równoważny temu, że jakąkolwiekbyśmy nie wzięli liczbę x, to jej kwadrat nie będzie mniejszy od m. Podane zdanie możemy więc zapisać

∃m∀x¬x2 < m,

lub, w sposób równoważny,∃m∀xx2 m.

�

Zadanie 23. Wskaż, które zmienne w wyrażeniu są związane przez które kwantyfikatory.

∃x

(x > 3) =⇒ (x > 1)

Rozwiązanie. Kwantyfikator wiąże zmienną tylko w wyrażeniu znajdującym się najbliżej kwantyfikatora. Wpowyższym wyrażeniu kwantyfikator „∃

x” wiąże więc tylko zmienną x w formie „x > 3”. W formie „x > 1”

zmienna x nie jest związana przez kwantyfikator (jest to tzw. zmienna wolna). �

Zadanie 24. Wskaż, które zmienne w wyrażeniu są związane przez które kwantyfikatory.

∃x

((x > 3) =⇒ (x > 1))

Rozwiązanie. Kwantyfikator wiąże zmienną w wyrażeniu znajdującym się najbliżej kwantyfikatora. Ze wzglę-du na nawias, najbliżej kwantyfikatora znajduje się forma zdaniowa (x > 3) =⇒ (x > 1). W powyższymwyrażeniu kwantyfikator „∃

x” wiąże więc zmienną x w formie „x > 3” oraz w formie „x > 1”. W powyższym

wyrażeniu nie ma zmiennych wolnych. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Podać po jednym przykładzie elementu spełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową.

1. x2 0, x ∈ R.

2. x2 − x = 0, x ∈ R.

3. x > 1, x ∈ N.

4. x2 = 2, x ∈ R.

Zadanie 2. Zaznacz (na płaszczyźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniających formę zdaniową.

1. x2 + y2 + 4x− 6y + 12 ¬ 0 ∨ y − x− 5 0,

2. x2 + 2x− 3 < 0 =⇒ x > −1,

3. x2 + 2x− 8 > 0 ⇐⇒ −3 < x < 3.

Zadanie 3. Czy prawdziwa (lub fałszywa) jest funkcja zdaniowa (x oznacza liczbę rzeczywistą).

1. x2 + 2x < 0,

2. x2 + 2x+ 5 > 0,

3. cos2 x2 − sin2 x2 = cosx,

4. x2 + 4 < 0,

17


5. x2 + 1 = 0,

6. x2 + 3x+ 2 = 0.

Zadanie 4. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantyfikatorami tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe (od-powiednio, zdanie fałszywe).

1. x2 + y2 1

2. x2 + 2x+ 6 = 9

3. x jest liczbą pierwszą

4. x2 + y2 > 0

Zadanie 5. Oceń wartość logiczną zdań, a następnie utwórz ich zaprzeczenia.

1. ∀x

(x < 0 ∨ x = 0 ∨ x > 0)

2. ∀x

(x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009)

3. ∀x∃y

(y2 = x)

4. ∀x∃y

(x2 + y2 1)


1. Dla dowolnego m równanie x2 +mx− 2m2 = 0 ma rozwiązanie.

2. Nie dla każdej liczby x jej kwadrat jest większy od tej liczby.

3. Dla dowolnej liczby x jej wartość bezwzględna jest nieujemna.

4. Każda liczba jest równa sobie samej.

5. Żadna liczba nie jest mniejsza od siebie samej.

6. Dla każdej liczby x istnieje liczba od niej większa i jednocześnie mniejsza od x+ 1.

7. Dla każdych dwóch liczb istnieje ich średnia arytmetyczna.

8. Istnieje liczba będąca wspólnym pierwiastkiem równań x2 − 5x+ 6 = 0 i x2 − 6x+ 9 = 0.

Zadanie 7. Wskaż, które zmienne następujących wyrażeń są związane przez które kwantyfikatory.

1. ∃x

(2x+ 1 = 0) ∧ ∃x

(x+ 2 = 5)

2. ∃x

((2x+ 1 = 0) ∧ (x+ 2 = 5))

3. ∃x

(2x+ 1 = 0) ∧ (x+ 2 = 5)

4. ∀x

(x > 0) ∨ ∀x

(x ¬ 0)

5. ∀x

((x > 0) ∨ (x ¬ 0))

6. (x ¬ 0) ∨ ∀x

(x > 0)

7. ∀x

((x > 0) =⇒ ∃x

(x > 0))

8. ∃x

((x > 0) ∧ ∀x

(x 6= 0)).

18



Odp. 1.

1. x = 3 spełnia; nie ma elementu który nie spełnia tej funkcji zdaniowej.

2. x = 0 spełnia; x = 2 nie spełnia.

3. x = 4 spełnia; x = 1 nie spełnia.

4. x =√

2 spełnia; x = 1 nie spełnia.

Odp. 2.

1. Ponieważ x2 + y2 + 4x− 6y + 12 ¬ 0 jest równoważne nierówności (x+ 2)2 + (y − 3)2 ¬ 1, więc formęzdaniową x2 + y2 + 4x − 6y + 12 ¬ 0 spełniają wszystkie punkty koła o środku w punkcie (−2, 3) iprominiu 1 (razem z brzegiem).

Ponieważ y − x − 5 0 jest równoważne nierówności y x + 5, więc formę zdaniową y − x − 5 0spełniają wszystkie punkty, które są nad prostą y = x+ 5.

Czyli rozwiązaniem jest suma obu zbiorów .

2. Ponieważ równanie x2 + 2x − 3 = 0 ma dwa pierwiastki x1 = −3 i x2 = 1 więc formę zdaniowąx2 + 2x− 3 < 0 spełniają tylko liczby z przedziału (−3, 1).

Formę zdaniową x > −1 spełniają tylko liczby z przedziału (−1,+∞).

Wówczas liczby ze zbioru (−∞,−3] ∪ [1,+∞) spełniają formę x2 + 2x− 3 = 0⇒ x > −1, bo dla tychliczb poprzednik tej implikacji jest fałszywy, czyli cała implikacja jest prawdziwa.

Również liczby z przedziału (−1, 1) spełniają formę x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x > −1, bo dla tych liczbzarówno poprzednik jak i następnik jest prawdziwy.

Pozostałe liczby (tzn. liczby z przedziału (−3,−1]) nie spełniają formy x2 + 2x− 3 = 0⇒ x > −1, bodla tych liczb poprzednik jest prawdziwy a następnik jest fałszywy, czyli cała implikacja jest fałszywa.

Ostatecznie, tylko liczby ze zbioru (−∞,−3]∪ (−1,+∞) spełniają formę zdaniową x2 + 2x− 3 = 0⇒x > −1.

3. Forma jest spełniona tylko przez liczby ze zbioru [−4,−3] ∪ (2, 3).

Odp. 3.

1. Ani prawdziwa, ani fałszywa.

2. Prawdziwa.

3. Prawdziwa.

4. Fałszywa.

5. Fałszywa.

6. Ani prawdziwa, ani fałszywa.

Odp. 4.

1. ∃x∃yx2 + y2 1 - prawdziwe. ∀

x∀yx2 + y2 1 - fałszywe.

2. ∃xx2 + 2x+ 6 = 9 - prawdziwe; ∀

xx2 + 2x+ 6 = 9 - fałszywe.

3. ∃x

(x jest liczbą pierwszą) - prawdziwe; ∀x

(x jest liczbą pierwszą) - fałszywe.

4. ∀x∃yx2 + y2 > 0 - prawdziwe; ∀

x∀yx2 + y2 > 0 - fałszywe.

19

1.4 Zadania dodatkowe 1 LOGIKA

Odp. 5.

1. ∀x

(x < 0∨x = 0∨x > 0) - zdanie prawdziwe. ¬(∀x

(x < 0∨x = 0∨x > 0)) = ∃x

((x 0∧x 6= 0∧x ¬ 0))

2. ∀x

(x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009) - zdanie prawdziwe. ¬(∀x

(x2 + 1 < 0 =⇒ x = 2009)) = ∃x

(x2 + 1 <

0 ∧ x 6= 2009)

3. ∀x∃y

(y2 = x) - zdanie fałszywe. ¬(∀x∃y

(y2 = x)) = ∃x∀y

(y2 6= x)

4. ∀x∃y

(x2 + y2 1) - zdanie prawdziwe. ¬(∀x∃y

(x2 + y2 1)) = ∃x∀y

(x2 + y2 < 1)

Odp. 6.

1. ∀m∃xx2 +mx− 2m2 = 0.

2. ¬(∀xx2 > x).

3. ∀x|x| 0.

4. ∀xx = x.

5. ¬(∃xx < x).

6. ∀x∃yx < y < x+ 1.

7. ∀x∀y∃ss = x+y

2 .

8. ∃x

((x2 − 5x+ 6 = 0) ∧ (x2 − 6x+ 9 = 0)).

Odp. 7.

1. Wszystkie zmienne są związane.


3. Zmienna x w formie 2x+ 1 = 0 jest związana, ale zmienna x w formie x+ 2 = 5 jest wolna.



6. Zmienna x w formie x > 0 jest wolna, ale zmienna x w formie x ¬ 0 jest związana.



1.4 Zadania dodatkowe

Zadanie 8. Wyrażenie logiczne f zależy od n zmiennych. Ile wartościowań należy rozpatrzyć przy badaniu,że wyrażenie logiczne f jest tautologią?

Zadanie 9. Rozważmy wyrażenie postaci:

1. (. . . ((p =⇒ p) =⇒ p) =⇒ p) . . .) =⇒ p (n razy).

2. (. . . ((p =⇒ (p =⇒ (p =⇒ p)) . . .) (n razy).

Dla jakich n wyrażenie to jest tautologią?

20

1.4 Zadania dodatkowe 1 LOGIKA

Zadanie 10. Sprawdzić, że każda formuła logiczna jest równoważna formule, w której występują jedyniespójniki:

1. ¬,∨,∧;

2. ¬, =⇒ ;

3. ¬,∨;

4. ¬,∧;

5. NAND (funktor Sheffera, dyzjunkcja);

6. NOR (funktor jednoczesnego zaprzeczenia).

Zadanie 11. Uzasadnić, że nie istnieje formuła równoważna p ∧ q zapisana z użyciem jedynie p, q, =⇒ .

Wskazówka. Jeżeli φ zawiera jedynie p, q, =⇒ , to zawsze istnieją co najmniej dwa wartościowania p, q takie,że φ jest prawdziwa.

Zadanie 12. Uzasadnić, że za pomocą ∨,∧ nie można zdefiniować =⇒ .

Wskazówka. Za pomocą ∨,∧ można jedynie zdefiniować p, q, p ∨ q, p ∧ q.

Zadanie 13. Czy za pomocą alternatywy i koniunkcji można zdefiniować:

1. implikację,

2. dyzjunkcję?

Zadanie 14. Czy za pomocą równoważności i negacji można zdefiniować:

1. alternatywę,

2. koniunkcję?

21

2 ZBIORY

2 Zbiory

2.1 Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów

Zadanie 1. Podać wszystkie elementy zbioru A dla

1. A = {0, 1, 2};

2. A = {a};

3. A = {a, b, c, a, b, c, a, b, a};

4. A = {x ∈ R : x2 − 2x+ 1 = 0};

5. A = {x ∈ R : x2 + 1 = 0};

6. A = {n ∈ N : n2 < 12};

7. A = {x ∈ R : x2 − 5x+ 6 < 0};

8. A = ∅;

9. A = {∅};

10. A = {a, {a}};

11. A = {{a}};

12. A = {x, y, {x}, {y}, {x, y}, {{x}, {y}}}.

Rozwiązanie.

1. Elementy zbioru A to: 0, 1 i 2.

2. Jedynym elementem zbioru A jest a.

3. Zbiór A ma trzy elementy: a, b, c.

4. Zbiór A ma jeden element: 1.

5. Zbiór A nie ma elementów.

6. Zbiór A ma 4 elementy: 0, 1, 2, 3.

7. Zbiór A składa się ze wszystkich liczb z przedziału (2, 3).

8. Zbiór A nie ma elementów.

9. Jedynym elementem zbioru A jest ∅.

10. Zbiór A ma 2 element: a i {a}.

11. Zbiór A ma 1 element: {a}.

12. Zbiór A ma 6 elementów: x, y, {x}, {y}, {x, y}, {{x}, {y}}.

�

Zadanie 2. Czy ∅ = {∅}?

Rozwiązanie. Zbiór ∅ to (zgodnie z definicją) zbiór nie zawierający żadnego elementu. Zbiór po prawej stronieznaku “=” ma jeden element. Zbiory te są więc różne. �

Zadanie 3. Czy dla dowolnych A,B,C prawdą jest, że

1. {A,B} ∈ {{A,B,C}, {A,C}, A,B};

22

2.1 Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów 2 ZBIORY

2. {A,B} ⊂ {{A,B,C}, {A,C}, A,B}?

Rozwiązanie.

1. Musimy sprawdzić, czy obiekt “{A,B}” (uwaga: interesuje nas cały obiekt, włącznie z zewnętrz-nymi nawiasami) znajduje się wśród elementów zbioru po prawej stronie znaku “∈”. Elementy teto: {A,B,C}, {A,C}, A,B. Żaden z nich nie jest równy {A,B}, więc nie jest prawdą, że {A,B} ∈{{A,B,C}, {A,C}, A,B}.

2. Zbiór {A,B} zawiera się w zbiorze {{A,B,C}, {A,C}, A,B} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegoelementu zbioru {A,B} (elementy te to: A i B), element ten należy do zbioru {{A,B,C}, {A,C}, A,B}.Sprawdzamy, że zarówno A jak i B należą do zbioru po prawej stronie znaku “⊂”, więc prawdą jest,że {A,B} ⊂ {{A,B,C}, {A,C}, A,B}.

�

Zadanie 4. Udowodnić, że jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.

Rozwiązanie. Musimy pokazać, że z założeń

1. A ⊂ B, i

2. B ⊂ A

wynika, że A = B. Aby sprawdzić równość zbiorów wystarczy pokazać, że każdy element zbioru po lewejstronie równości jest elementem zbioru po prawej stronie równości (i na odwrót). Weźmy więc dowolnyelement x ∈ A. Z założenia (1) wynika, że każdy element zbioru A jest także elementem zbioru B, czyli ztego, że x ∈ A wynika, że x ∈ B. Sprawdzamy też „na odwrót”: jeżeli x ∈ B, to z założenia (2) wynika, żex ∈ A. Czyli zbiory A i B są równe. �

Zadanie 5. Udowodnić, że istnieje tylko jeden zbiór nie mający żadnych elementów.

Rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że jeżeli A i B są zbiorami nie mającymi żadnych elementów, to A = B.Niech A i B będą dowolnymi zbiorami nie mającymi żadnych elementów. Wystarczy pokazać, że dla

dowolnego x,

1. jeżeli x ∈ A, to x ∈ B, oraz

2. jeżeli x ∈ B, to x ∈ A.

Zdania (1) i (2) są implikacjami o fałszywym poprzedniku (ponieważ zarówno A jak i B nie mają żadnegoelementu), czyli są prawdziwe. Czyli A = B. �

Zadanie 6. Podać przykład zbioru dwuelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego podzbiorem.

Rozwiązanie. Uprośćmy zadanie i spróbujmy skonstruować zbiór 1-elementowy, którego każdy element jestteż podzbiorem. Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, więc zgadujemy, że zbiór pusty ma być takżeelementem naszego zbioru. W istocie, zbiór A1 = {∅} ma tę własność, że każdy jego element jest też jegopodzbiorem.

Próbujemy rozszerzyć zbiór A1 do zbioru A2 o dwóch elementach. Wiemy, że A1 jest także podzbioremA1, więc zgadujemy, że jeżeli rozszerzymy A1 o element równy zbiorowi A1, to otrzymany zbiór będzie miałdwa elementy i będzie spełniał warunki zadania. W istocie, zbiór A2 = A1∪{A1} = {∅, {∅}} spełnia żądaniapodane w treści zadania. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Podać wszystkie elementy zbioru A, jeżeli

1. A = {a, {a, b}};

2. A = {{a}};

23

2.1 Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów 2 ZBIORY

3. A = {{{a}}};

4. A = {∅, {∅}};

5. A = {x ∈ R : x2 = 2};

6. A = {n ∈ N : 2n− 5 < n− 1};

7. A = {w ∈ Q : 4w2 = 1};

8. A = {x ∈ R : |x− 2| < 5};

Zadanie 2. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe dla dowolnych A, B i C.

1. Jeżeli A ∈ B i B ∈ C, to A ∈ C.

2. Jeżeli A ∈ B i B ⊂ C, to A ∈ C.

3. Jeżeli A ⊂ B i B ∈ C, to A ∈ C.

Zadanie 3. Udowodnić, że

1. A ⊂ A;

2. jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.

Zadanie 4. 1. Podać przykład zbioru trzyelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego pod-zbiorem.

2. Podać przykład zbioru czteroelementowego, takiego, że każdy jego element jest jego podzbiorem.


Odp. 1.

1. Elementy zbioru A to: a oraz {a, b}.

2. Jedynym elementem zbioru A jest: {a}.

3. Jedynym elementem zbioru A jest: {{a}}.

4. Elementy zbioru A to: ∅ i {∅}.

5. Elementy zbioru A to: −√

2 i√

2.

6. Elementy zbioru A to: 0, 1, 2, 3.

7. Elementy zbioru A to: − 32 i 32 .

8. Elementami zbioru A są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału (−3, 7).

Odp. 2.

1. Nieprawdziwe. Wystarczy podać kontrprzykład. Np. weźmy A = ∅, B = {∅} i C = {{∅}}. WtedyA ∈ B i B ∈ C, ale A /∈ C.

2. Prawdziwe. Ponieważ B ⊂ C, więc dowolny element B jest też elementem C. Czyli z tego, że A ∈ Bwynika, że A ∈ C.

3. Nieprawdziwe. Wystarczy podać kontrprzykład. Np. weźmy A = {1}, B = {1, 2} i C = {{1, 2}}.Wtedy A ∈ B i B ∈ C, ale A /∈ C.

Odp. 3.

24

2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY

1. Żeby udowodnić, że A ⊂ A wystarczy pokazać, że dowolny x ∈ A (czyli x należący do zbioru po lewejstronie znaku “⊂”) spełnia warunek x ∈ A (czyli należy do zbioru po prawej stronie znaku “⊂”. Cojest oczywiste.

2. Wystarczy pokazać, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ C. Weźmy dowolny x ∈ A. Ponieważ (z pierwszego założeniapodanego w zadaniu) A ⊂ B, więc x ∈ B. Ponieważ (z drugiego założenia podanego w zadaniu) B ⊂ C,więc z tego, że x ∈ B wynika, że x ∈ C. Udało nam się pokazać, że z tego, że x ∈ A wynika, że x ∈ C.Czyli A ⊂ C.

Odp. 4.

1. A3 = A2 ∪ {A2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}};

2. A4 = A3 ∪ {A3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

2.2 Działania na zbiorach

Niech dany będzie ustalony zbiór X (nazywać bę-dziemy go dalej przestrzenią). Jeżeli p(x) jest for-mułą zdaniową o zakresie zmienności X, to zbiórA złożony z tych x będących elementami zbioru X,dla których formuła p(x) jest prawdziwa oznaczmysymbolem

{x ∈ X : p(x)} .

Często używana jest również notacja {x : p(x)} .Graficzna interpretacja zbioru A = {x ∈ X : p(x)}jest przedstawiona na rysunku obok.

X

A

Symbolem A ∪ B oznaczać będziemy sumę zbiorów,czyli zbiór tych elementów, które należą do zbioruA lub należą do zbioru B, inaczej pisząc

{x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Graficzna interpretacja sumy zbiorów A i B jestprzedstawiona na rysunku obok.

X

A

B

25


Symbolem A ∩ B oznaczać będziemy przekrój zbio-rów, czyli zbiór tych elementów, które należą dozbioru A i jednocześnie należą do zbioru B, inaczejpisząc

{x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Graficzna interpretacja przekroju zbiorów A i Bjest przedstawiona na rysunku obok.

X

A

B

Symbolem A\B oznaczać będziemy różnicę zbiorów,czyli zbiór tych elementów, które należą do zbioruA i nie należą do zbioru B, inaczej pisząc

{x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Graficzna interpretacja różnicy zbiorów A i B jestprzedstawiona na rysunku obok.

X

A

B

Symbolem A′ oznaczać będziemy dopełnienie zbio-ru, czyli zbiór tych elementów przestrzeni X, którenie należą do zbioru A, inaczej pisząc X \A, lub

{x : x /∈ A}.

Graficzna interpretacja dopełnienia zbioru A jestprzedstawiona na rysunku obok.

X

A

Zadanie 1. Niech A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Wyznaczyć zbiory A ∪ B,A ∩B,A \B,B \A.

Rozwiązanie.

• A ∪B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

• A ∩B = {1, 2, 3, 4, 5}.

• A \B = {6, 7, 8, 9}.

26


• B \A = {−2,−, 1, 0}.

�

Zadanie 2. Niech A = {x, y, {x}}, B = {x, y, {{x}}}. Wyznaczyć zbiory A ∪B,A ∩B,A \B,B \A.

Rozwiązanie.

• A ∪B = {x, y, {x}, {{x}}}.

• A ∩B = {y}.

• A \B = {{x}}.

• B \A = {{{x}}}.

�

Zadanie 3. Wyznaczyć zbiory A∩B i B \A wiedząc, że A = {x ∈ R : |x| > 3} i B = {x ∈ R : x2−7x+10 ¬0}.

Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy zbiór A. Ponieważ

|x| > 3 ⇐⇒ x < −3 ∨ x > 3,

więc A = (−∞,−3) ∪ (3,+∞).Teraz wyznaczamy zbiór B. Ponieważ równanie x2 − 7x + 10 = 0 ma dwa pierwiastki: x1 = 2 i x2 = 5

więcx2 − 7x+ 10 ¬ 0 ⇐⇒ 2 ¬ x ¬ 5.

Czyli B = [2, 5].Teraz możemy już wyznaczyć przekrój i różnicę zbiorów: A ∩B = (3, 5], B \A = [2, 3].Graficznie można to przedstawić w następujący sposób:

−3 0 2 3 5

A

B

A ∩B

B \A

�

Zadanie 4. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny OXY: A = {(x, y) : x + 2y −2} i B = {(x, y) :x2 + 4y ¬ 4}. Znaleźć i narysować zbiory A ∪B, A ∩B, A \B i B \A.

Rozwiązanie.

27


Zbiór A, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), któreleżą nad prostą o równaniu y = − 12x − 1, łączniez tą prostą. Rysunek obok przedstawia ten zbiór Anarysowany w układzie współrzędnych (zakresko-wany liniami pionowymi).

x

y

−2 −1

y = − 12x− 1

Zbiór B, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), któ-re leżą pod parabolą o równaniu y = − 14x

2 + 1,łącznie z tą parabolą. Rysunek obok przedstawiaten zbiór B narysowany w układzie współrzędnych(zakreskowany liniami poziomymi).

x

y

−2 21

y = − 14x2 + 1

Zbior A i B w jednym układzie współrzędnych. x

y

28


Zbiór A ∪B jest to zbiór tych punktów (x, y), którenależą do A lub należą do B. Rysunek obok przed-stawia sumę zbiorów A i B narysowaną w układziewspółrzędnych (szary obszar wraz z krawędziami).

x

y

Zbiór A ∩B jest to zbiór tych punktów (x, y), którenależą jednocześnie do A i B. Rysunek obok przed-stawia przekrój zbiorów A i B narysowaną w ukła-dzie współrzędnych (szary obszar wraz z krawędzia-mi).

x

y

Zbiór A \ B jest to zbiór tych punktów (x, y), któ-re należą do A, ale nie należą do B. Rysunek obokprzedstawia różnicę zbiorów A i B narysowaną wukładzie współrzędnych (szary obszar wraz z kra-wędziami szarymi i bez krawędzi przerywanych).

x

y

29


Zbiór B \ A jest to zbiór tych punktów (x, y), któ-re należą do B, ale nie należą do A. Rysunek obokprzedstawia różnicę zbiorów B i A narysowaną wukładzie współrzędnych (szary obszar wraz z kra-wędziami szarymi i bez krawędzi przerywanych).

x

y

�

Zadanie 5. Wyznaczyć zbiory liczb rzeczywistych A = {x : x2+12x < 1} i B = {x : |x| < 2}, następnie

znaleźć zbiór C = (A ∩B)′.

Rozwiązanie. Wyznaczamy zbiór A.Ponieważ

x2 + 12x

< 1 ⇐⇒ x2 + 12x

− 1 < 0 ⇐⇒ x2 − 2x+ 12x

< 0 ⇐⇒

⇐⇒ (x− 1)2

2x< 0 ⇐⇒ x(x− 1)2 < 0 ⇐⇒ x < 0,

więc A = (−∞, 0).Wyznaczamy zbiór B.Ponieważ

|x| < 2 ⇐⇒ −2 < x < 2,

więc B = (−2, 2).Wyznaczamy zbiór C.

C = (A ∩B)′ = R \ (A ∩B) = R \ (−2, 0) = (−∞,−2] ∪ [0,+∞).

Graficznie można to przedstawić w następujący sposób:

−2 0 2

A

B

A ∩B

(A ∩B)′

�

Zadanie 6. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : y ¬ − 23x+ 4 i y ¬ −2x+ 8}, Lm = {(x, y) :x+ y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?

Rozwiązanie. Zauważmy, że A ∩ Lm = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań i nierówności: y ¬ − 23x+ 4y ¬ −2x+ 8x+ y = m

30


nie ma rozwiazań. Wygodniej jest sprawdzać zaprzeczenie tego warunku, czyli kiedy układ równań marozwiązanie. Z ostatniej równości mamy, że y = m−x, skąd po podstawieniu do pierwszych dwóch nierównościotrzymujemy układ {

m− x ¬ − 23x+ 4m− x ¬ −2x+ 8

czyli {m− x ¬ − 23x+ 4m− x ¬ −2x+ 8

czyli {m ¬ 13x+ 4m ¬ −x+ 8

czyli {3m ¬ x+ 12m ¬ −x+ 8

czyli4m ¬ 20

skąd m ¬ 5. Po odwróceniu warunku otrzymujemy rozwiązanie zadania: m > 5.Interpretacja graficzna rozwiązania jest następująca. Wyznaczamy przekrój zbiorów A1 = {(x, y) : y ¬

− 23x+ 4} (poziome kreski) i A2 = {(x, y) : y ¬ −2x+ 8} (pionowe kreski). Po rozwiązaniu układu równań{y = − 23x+ 4y = −2x+ 8

otrzymujemy współrzędne punktu przecięcia się prostych ograniczających obszary A1 i A2: (3, 2).Następnie szukamy takiego m, że prosta x + y = m przechodzi przez punkt (3, 2). (Po podstawieniu za

x = 3 i y = 2 otrzymujemy m = 5). Prosta o wzorze x + y = m nie ma punktów wspólnych z obszarem Adla m > 5.

x

y

3 4 6

2

4

8

y = −2x+ 8

y = − 23x+ 4

x+ y = 5

�

Zadanie domowe

Zadanie 1. Dane są zbiory

1. A = {a, b, {c}, {c, d}} i B = {a, {a}, c, {c}}.

2. A = {x ∈ Z : x2 < 5} i B = {n ∈ N : n jest liczbą parzystą}.

Znaleźć zbiory A ∪B, A ∩B, A \B i B \A.

31


Zadanie 2. Dane są zbiory liczb rzeczywistych A = {x : x3+2x2−9x−18 > 0} i B = {x : x2+3x−4 < 0}.Znaleźć zbiory A ∩B i A ∪B.

Zadanie 3. Znaleźć zbiory A ∩B i B \A wiedząc, że A i B są następującymi zbiorami liczb rzeczywistychA = {x : |x|+ |x− 1| > 5}, B = {x : x2 − 7x ¬ 0}.

Zadanie 4. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 ¬ 2y} i B = {(x, y) : x2+y−2x ¬ 1}.Znaleźć zbiory A ∪B, A ∩B, A \B i B \A.

Zadanie 5. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : 4x+ 3y ¬ 12} i B = {(x, y) : |y| ¬ 2}.Narysować zbiór A ∩B.

Zadanie 6. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : y 2} i B = {(x, y) : y ¬ 2|x|}.Wyznaczyć zbiory C = A ∩B i D = (A ∪B)′.

Zadanie 7. Dane są trzy zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2

9 + y2

4 ¬ 1}, B = {(x, y) : x+ y 1},C = {(x, y) : y <

√x}. Wyznaczyć zbiór A ∩B ∩ C.

Zadanie 8. Wyznaczyć zbiory liczb rzeczywistych A = {x : x2+12x < 1} i B = {x : |x| < 2}, następnie

znaleźć zbiór C = (A ∩B)′.

Zadanie 9. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 + y2 − 2x + 4y + 4 < 0}, Lm = {(x, y) :x− 2y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?

Zadanie 10. Dane są zbiory punktów płaszczyzny A = {(x, y) : x2 + y − 2x + 4 0}, Lm = {(x, y) :2x− y = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ Lm = ∅?


Odp. 1.

1. A ∪B = {a, b, c, {a}, {c}, {c, d}}, A ∩B = {a, {c}}, A \B = {b, {c, d}}, B \A = {{a}, c}.

2. A ∪ B = {−2,−1, 0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, . . . , 2n, . . . }, A ∩ B = {0, 2}, A \ B = {4, 6, . . . , 2n, . . . }, B \ A ={−2,−1, 1}.

Odp. 2.

• A = (−3,−2) ∪ (3,+∞);

• B = (−4, 1);

• A ∩B = (−3,−2);

• A ∪B = (−4, 1) ∪ (3,+∞).

Odp. 3.

• A = (−∞,−2) ∪ (3,∞);

• B = (0, 7);

• A ∩B = (3, 7);

• B \A = (0, 3].

Odp. 4.

32


Zbiór A, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), któreleżą nad parabolą o równaniu y = 1

2x2, łącznie z

tą parabolą. Rysunek obok przedstawia ten zbiór Anarysowany w układzie współrzędnych (zakresko-wany liniami poziomymi).

x

y

−2 −1 1 2

12

2

y = 12x2

Zbiór B, to zbiór punktów płaszczyzny (x, y), któreleżą pod parabolą o równaniu y = −x2 + 2x + 1,łącznie z tą parabolą. Rysunek obok przedstawiaten zbiór B narysowany w układzie współrzędnych(zakreskowany liniami pionowymi).

x

y

−2 −1 0 1 2

1

2

y = −x2 + 2x+ 1

Następny rysunek przedstawia oba zbiory w jednym układzie współrzędnych.

x

y

−2 −1 0 1 2

12

1

2

33


Rysunek obok przedstawia sumę zbiorów A i B na-rysowaną w układzie współrzędnych (szary obszar).

x

y

−2 −1 0 1 2

12

1

2

Rysunek obok przedstawia część wspólną zbiorówA i B narysowaną w układzie współrzędnych (szaryobszar).

x

y

−2 −1 0 1 2

12

1

2

Rysunek obok przedstawia różnicę zbiorów A i Bnarysowaną w układzie współrzędnych (szary ob-szar).

x

y

−2 −1 0 1 2

12

1

2

34


Rysunek obok przedstawia różnicę zbiorów B i Anarysowaną w układzie współrzędnych (szary ob-szar).

x

y

−2 −1 0 1 2

12

1

2

Odp. 5.

Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowany wukładzie współrzędnych (zakreskowany liniami po-ziomymi).

x

y

0 1 3

1

4

y = − 43x+ 4

Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowany wukładzie współrzędnych (zakreskowany liniami pio-nowymi).

x

y

0 1

−2

12

Na poniższym rysunku mamy oba zbiory w jednym układzie współrzędnych.

35


x

y

0 1 3

−2

12

4

Rysunek obok przedstawia przekrój zbiorów A iB narysowany w układzie współrzędnych (szaryobszar).

x

y

0 1 3

−2

12

4

Odp. 6.

Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowanyw układzie współrzędnych (zakreskowany liniamipoziomymi).

x

y

0 1

12

y = 2

36


Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowanyw układzie współrzędnych (zakreskowany liniamipionowymi).

x

y

0 1

12

y = 2|x|

Zbiory A i B w układzie współrzędnych.x

y

0 1

12

Część wspólna zbiorów A i B w układzie współ-rzędnych.

x

y

1

12

37


Dopełnienie sumy zbiorów A i B w układzie współ-rzędnych.

x

y

1

2

Odp. 7.

Rysunek obok przedstawia zbiór A narysowanyw układzie współrzędnych (zakreskowany liniamipoziomymi).

x

y

3

2 x2

9 + y2

4 = 1

Rysunek obok przedstawia zbiór B narysowanyw układzie współrzędnych (zakreskowany liniamipionowymi).

x

y

1

1

y = −x+ 1

38


Rysunek obok przedstawia zbiór C narysowanyw układzie współrzędnych (obszar zakropkowany).

x

y

1 5

1

√5 y =

√x

Rysunek obok przedstawia wszystkie trzy zbiory A,B i C w jednym układzie współrzędnych.

x

y

1

1

Rysunek obok przedstawia przekrój zbiorów A, B iC (obszar szary).

x

y

1

1

Odp. 8.

• A = (−∞, 0),

• B = (−2, 2),

• (A ∩B)′ = (−∞,−2] ∪ [0,+∞).

Odp. 9. m ∈(−∞, −5−3

√5

10

]∪[−5+3

√5

10 ,+∞)

.

Odp. 10. m ∈ (−∞, 4).

39

2.3 Prawa rachunku zbiorów 2 ZBIORY

2.3 Prawa rachunku zbiorów

Zadanie 1. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A,B prawdziwy jest wzór A \B = A ∩B′.

Rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy, gdyx należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że

x ∈ A \B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B′ ⇐⇒ x ∈ A ∩B′.

�

Zadanie 2. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A,B, jeżeli A \B = B \A, to A = B.

Rozwiązanie. Załóżmy, że A\B = B \A. Musimy pokazać, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B (oraz, że jeżeli x ∈ B, tox ∈ A). Pokażemy tylko, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B (drugie zawieranie można pokazać w analogiczny sposób).

Niech x ∈ A. Załóżmy dodatkowo, że x /∈ B. Wtedy x ∈ A \ B. Z założenia wiemy, że A \ B = B \ A,czyli jeżeli x ∈ A \B, to x ∈ B \A. Stąd wynika, że x ∈ B — co jest sprzeczne z założeniem, że x /∈ B. Dotej sprzeczności doprowadziło nas fałszywe założenie, że x /∈ B. Pokazaliśmy więc, że jeżeli x ∈ A, to x ∈ B.�

Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A\B)∩C = (A∩C)\B.

Rozwiązanie. Sposób 1. Wystarczy sprawdzić, że dowolny x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy itylko wtedy, gdy należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że (zwrócić uwagę na zastosowanątautologię — prawo przemienności koniunkcji — odpowiadającą za trzecią równoważność)

x ∈ (A \B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ A \B ∧ x ∈ C ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ C ⇐⇒

⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x /∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∩ C ∧ x /∈ B ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) \B.

Sposób 2. Do wykazania tej równości wykorzystamy diagramy Venna. Najpierw zaznaczamy na diagrmieVenna lewą stronę tej równości, czyli zbiór (A \B) ∩ C:

Zbiór A(zakropkowany obszar)

A B

C

Zbiór A \B(zakropkowany obszar)

A B

C

Zbiór (A \B) ∩ C(zakropkowany obszar)

A B

C

Teraz zaznaczamy na diagrmie Venna prawą stronę naszej równości, czyli zbiór (A ∩ C) \B):

40


Zbiór A(zakreskowany obszar)

A B

C

Zbiór A ∩ C(zakreskowany obszar)

A B

C

Zbiór (A ∩ C) \B(zakreskowany obszar)

A B

C

Widzimy, że oba zbiory (A \ B) ∩ C (zakropkowany) i (A ∩ C) \ B (zakreskowyny) są identyczne, więcrówność (A \B) ∩ C = (A ∩ C) \B jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów A, B i C. �

Zadanie 4. Wykazać, że działania dodawania i mnożenia zbiorów mają własność rozdzielności mnożeniawzględem dodawania.

Rozwiązanie. Musimy pokazać, że równość (A∩B)∪C = (A∪C)∩ (B ∪C) zachodzi dla dowolnych zbiorówA,B i C. Wystarczy sprawdzić, że dowolny x należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy,gdy należy do zbioru po prawej stronie równości. Sprawdzamy, że (zwrócić uwagę na nawiasy w wyrażeniunapisanym po drugiej równoważności, oraz zastosowaną tautologię odpowiadającą za trzecią równoważność)

x ∈ (A ∩B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ A ∩B ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒

⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A ∪ C ∧ x ∈ B ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

�

Zadanie 5. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równość (B \A) ∩A = ∅.

Rozwiązanie. Zgadujemy (lub sprawdzamy na diagramie), że odpowiedź brzmi „tak”. Szukamy uzasadnieniadla takiej odpowiedzi:

x ∈ (B \A) ∩A ⇐⇒ x ∈ B \A ∧ x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ∧ x /∈ A ∧ x ∈ A,

czyli jeżeli x należy do zbioru po prawej stronie, to musi spełniać fałszywy warunek x /∈ A ∧ x ∈ A. Stądtaki x nie może istnieć, czyli zbiór po lewej stronie równości jest zbiorem pustym. �

Zadanie 6. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A∪B)\C = (A\C)∪B.

Rozwiązanie. Sposób 1. Zgadujemy (lub sprawdzamy na diagramie), że odpowiedź brzmi „nie”. Uzasadnie-niem dla takiej odpowiedzi jest podanie kontrprzykładu. Np. A = {0}, B = {0, 1} i C = {0, 1, 2}.

Sposób 2. Do sprawdzenia tej równości możemy również wykorzystać diagramy Venna. Najpierw zazna-czamy na diagrmie Venna lewą stronę tej równości, czyli zbiór (A ∪B) \ C:

41


Zbiór A(zakropkowany obszar)

A B

C

Zbiór A ∪B(zakropkowany obszar)

A B

C

Zbiór (A ∪B) \ C(zakropkowany obszar)

A B

C

Teraz zaznaczamy na diagrmie Venna prawą stronę naszej równości, czyli zbiór (A \ C) ∪B):

Zbiór A(zakreskowany obszar)

A B

C

Zbiór A \ C(zakreskowany obszar)

A B

C

Zbiór (A \ C) ∪B(zakreskowany obszar)

A B

C

Widzimy, że zbiory (A ∪ B) \ C (zakropkowany) i (A \ C) ∪ B (zakreskowyny) są różne, więc równość(A ∪B) \ C = (A \ C) ∪B nie jest prawdziwa dla wszystkich zbiorów A, B i C. �

Zadanie 7. Sformułować i uzasadnić wzór algebry zbiorów odpowiadający tautologii rachunku zdań: ¬(p∧¬q) ⇐⇒ ((¬p) ∨ q).

Rozwiązanie. Podczas analizy dotychczas napisanych dowodów zauważyliśmy, że znak „¬” odpowiada ope-racji brania dopełnienia zbioru, znak „∧” odpowiada przekrojowi zbiorów, a znak „∨” odpowiada sumiezbiorów. Zgadujemy więc, że chodzi o wzór:

(A ∩B′)′ = A′ ∪B.

�

Zadanie 8. Zdefiniować operację „∪” przy pomocy operacji „∩” i „′”.

Rozwiązanie. Musimy zgadnąć wzór, pozwalający zapisać operację „A ∪ B” przy pomocy operacji „∩” ioperacji dopełnienia. Przypominamy sobie jedno z praw de Morgana:

(A ∪B)′ = A′ ∩B′,

42


z którego — po zastosowaniu operacji dopełnienia do obu stron równości — wynika rozwiązanie:

A ∪B = (A′ ∩B′)′.

�

Zadanie 9. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A,B prawdziwa jest równoważność

(A ⊂ B) ⇐⇒ (A ∩B = A).

Rozwiązanie. (⇒). Zakładamy, że A ⊂ B i mamy wykazać, że A ∩ B = A. Żeby wykazać równość zbiorówA ∩B = A należy pokazać 2 implikacje:

1. x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A oraz

2. x ∈ A =⇒ x ∈ A ∩B.

(1). Jeśli x ∈ A ∩B, to (zgodnie z definicją przekroju) mamy że x ∈ A i x ∈ B. Tak więc x ∈ B.(2). Niech x ∈ A. Ponieważ A ⊂ B więc x ∈ B.(⇐). Zakładamy, że A ∩B = A i mamy wykazać, że A ⊂ B.Zgodnie z definicją zawierania mamy wykazać, że x ∈ A =⇒ x ∈ B. Niech x ∈ A. Z naszego założenia

A ∩B = A wynika, że x ∈ A ∩B, czyli x ∈ A ∧ x ∈ B. Tak więc x ∈ B.�

Zadanie 10. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwe jest stwierdzenie: jeżeli A′ ∪B′ = B′

i A ⊂ B, to A = B.

Rozwiązanie. Żeby wykazać równość zbiorów A = B musimy wykazać, że

1. x ∈ A =⇒ x ∈ B i

2. x ∈ B =⇒ x ∈ A.

(1). Wynika z naszego założenia, że A ⊂ B.(2). Niech x ∈ B. Przypuśćmy, że x /∈ A. Wówczas x ∈ A′. Ponieważ zgodnie z założeniem A′ ∪B′ = B′

więc x ∈ B′. Czyli x /∈ B, a to jest sprzeczne z założeniem, że x ∈ B. Tak więc przypuszczenie, że x /∈ Adoprowadziło nas do sprzeczności, czyli x ∈ A. �

Zadanie 11. Wyznaczyć wszystkie zbiory A,B i C takie, że (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪B.

Rozwiązanie. Tak jak w zadaniu 6 rysujemy oba zbiory używając diagramów Venna:

Zbiór (A ∪B) \ C(zakropkowany obszar)

A B

C

Zbiór (A \ C) ∪B(zakreskowany obszar)

A B

C

Z diagramów widać, że te dwa zbiory będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór B ∩ C będzie zbiorempustym. Tak więc równość (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B zachodzi dla dowolnych zbiorów A,B,C takich, żezbiory B i C są rozłączne. �

43


Zadanie 12. Rozwiązać układ równań {A ∩X = B,A ∪X = C,

gdzie A,B i C są zbiorami spełniającymi warunek B ⊂ A ⊂ C.

Rozwiązanie. Z drugiego równania naszego układu mamy, że A∪X = C czyli A∪X = A∪(C \A). Odejmujączbiór A od obu stron ostatniej równości otrzymujemy: (A∪X) \A = (A∪ (C \A)) \A, czyli X \A = C \A.

Tak więc X = (X ∩A) ∪ (X \A) = B ∪ (C \A). �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi równość

1. (A ∩B) ∪B = B

2. (A ∪B) ∩B = B

3. (A ∪B)′ = A′ ∩B′

4. (A ∩B)′ = A′ ∪B′

5. (A ∩B) ∪ (A′ ∩B) = B

Zadanie 2. Wykazać, że działanie dodawania (mnożenia) zbiorów ma własność przemienności i łączności.

Zadanie 3. Wykazać, że działania dodawania i mnożenia zbiorów mają własność rozdzielności dodawaniawzględem mnożenia.

Zadanie 4. Sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A i B prawdziwa jest równość

1. (A \B) ∪B = A ∪B

2. (A \B) ∪A = B

3. A \B = A \ (A ∩B)

4. (A ∩B) ∪ (A \B) = A

5. (A ∪B) \B = A

6. (A ∪B) \A = B

Zadanie 5. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość

1. (A \B) ∩ C = (A ∩ C) \B

2. (A ∪ C) \B = (A \B) ∪ (C \B)

3. (B ∩ C) ∪ (C \A) = C \ (A \B)

Zadanie 6. Sformułować i uzasadnić wzór algebry zbiorów odpowiadający tautologii rachunku zdań:

1. ((p ∧ q) ∨ r) ⇐⇒ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r));

2. (¬(¬p)) ⇐⇒ p;

3. p ∨ (¬p).

Zadanie 7. Zdefiniować operację „∩” przy pomocy operacji „∪” i „′”.

Zadanie 8. Zdefiniować operację „\” przy pomocy operacji „∩” i „′”.

Zadanie 9. Zdefiniować operację „\” przy pomocy operacji „∪” i „′”.

44


Zadanie 10. Niech A, B bedą dowolnymi zbiorami. Zbadać, czy prawdziwe jest stwierdzenie: (B ⊂ A) ⇐⇒((A′ ∩B′) = A′).

Zadanie 11. Niech A,B i C będą dowolnymi zbiorami. Zbadać, czy prawdziwe jest twierdzenie: A 6= C =⇒B \A 6= B \ C.

Zadanie 12. Wykazać własności

1. A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C;

2. A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C;

3. A ⊂ B =⇒ A \ C ⊂ B \ C;

4. A ⊂ B =⇒ B′ ⊂ A′;

5. A ∪B = A ∩B =⇒ A = B.

Zadanie 13. Rozwiązać układ równań {A \X = B,A ∪X = C,

gdzie A,B i C są zbiorami spełniającymi warunek B ⊂ A ⊂ C.

Zadanie 14. Rozwiązać układ równań {A \X = B,X \A = C,

gdzie A,B i C są zbiorami spełniającymi warunki B ⊂ A i A ∩ C = ∅.


Odp. 4.

1. Równość prawdziwa dla dowolnych zbiorów.

2. Równość nie jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów (np. A = {0}, B = {1}).





Odp. 6.

1. (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (A ∪B).

2. (A′)′ = A.

3. A ∪A′ = X.

Odp. 7. A ∩B = (A′ ∪B′)′.Odp. 8. A \B = A ∩B′.Odp. 9. A \B = (A′ ∪B)′.Odp. 10. Jest prawdziwe.Odp. 11. Nie jest prawdziwe (np. A = {0}, B = {0}, C = {0, 1}).Odp. 13. X = B′ ∩ C = (A \B) ∪ (C \A).Odp. 14. X = (A \B) ∪ C.

45

2.4 Zbiór potęgowy 2 ZBIORY

2.4 Zbiór potęgowy

Zadanie 1. Podać wszystkie podzbiory zbioru A dla

1. A = {0, 1, 2};

2. A = {a};

3. A = ∅;

4. A = {∅}.

Rozwiązanie. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym A i będziemy oznaczaćsymbolami P (A) lub 2A. Ten drugi symbol ma swoje uzasadnienie, ponieważ w przypadku n-elementowychzbiorów skończonych, liczba elementów zbioru potęgowego wynosi 2n.

1. P (A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} (zbiór potęgowy ma 23 elementów).

2. P (A) = {∅, {a}} (zbiór potęgowy ma 21 elementów).

3. P (A) = {∅} (zbiór potęgowy ma 20 elementów). Zauważmy, że zbiór pusty znajdzie się w zbiorzepotęgowym dowolnego zbioru (zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze).

4. P (A) = {∅, {∅}} (zbiór potęgowy ma 21 elementów).

�

Zadanie 2. Ile elementów ma zbiór P (P (X)), jeżeli X jest zbiorem n-elementowym?

Rozwiązanie. Wiadomo, że dla dowolnego zbioru A jeśli A ma n elementów, to zbiór potęgowy P (A) ma 2n

elementów.Niech A = P (X). Wówczas zbiór A ma 2n elementów, czyli zbiór P (P (X)) = P (A) ma 22

n

elementów.�

Zadanie 3. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A,B, jeżeli A ⊂ B, to P (A) ⊂ P (B).

Rozwiązanie. Musimy pokazać, że C ∈ P (A) =⇒ C ∈ P (B).Niech C ∈ P (A). Wówczas C ⊂ A. Ponieważ z naszego założenia A ⊂ B, więc C ⊂ B. Tak więc

C ∈ P (B). �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Podać wszystkie podzbiory zbioru A, jeżeli

1. A = {a, {a, b}};

2. A = {{a}};

3. A = {{{a}}};

4. A = {∅, {∅}};

5. A = {x ∈ R : x2 = 2};

6. A = {n ∈ N : 2n− 4 < n− 1}.

7. A = {w ∈ Q : 4w2 = 1}.

Zadanie 2. Ile elementów ma zbiór P (P (P (X))), jeżeli X jest zbiorem n-elementowym?

Zadanie 3. Sprawdzić, że dla dowolnych zbiorów A,B, jeżeli P (A) = P (B), to A = B.

Zadanie 4. Czy dla dowolnych zbiorów A,B zachodzi P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)?

46



Odp. 1.

1. P (A) = {∅, {a} {{a, b}}, {a, {a, b}}}.

2. P (A) = {∅, A} = {∅, {{a}}}.

3. P (A) = {∅, A} = {∅, {{{a}}}}.

4. P (A) = {∅, {∅} {{∅}}, {∅, {∅}}}.

5. P (A) = {∅, {−√

2}, {√

2}, {−√

2,√

2}}.

6. P (A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.

7. P (A) = {∅, {− 12}, {12}, {−

12 ,12}}.

Odp. 2. 222n

.Odp. 4. Tak.

47


Sprawdzian

Grupa 1

Zadanie 1. Czy zdanie ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q jest tautologią?

Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪B, A ∩B, A \B i B \A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4},B = {(x, y) ∈ R2 : x+ y < 2}.

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru{∅,N,

{12

}}.

Grupa 2

Zadanie 1. Utwórz zaprzeczenie zdania (2π = 6, 28)⇒ (π2 > 9, 9).

Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A,B i C zachodzi równość A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C).

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {∅, {∅} , {∅, {∅}}}.

Grupa 3

Zadanie 1. Utwórz negację zdania ∀x∃yx2 + y2 > 4.

Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : y = |x|},B = {(x, y) ∈ R2 : x = |y|}.

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {∅, {∅} , {∅, {∅}}}.

Grupa 4

Zadanie 1. Używając symboliki rachunku zdań i arytmetyki zapisz wyrażenie „nie istnieje największa liczbanaturalna”.

Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A,B i C zachodzi równość A\(B \C) = (A\B)∪(A∩C).

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{∅} , {{∅}}}.

Grupa 5

Zadanie 1. Czy zdanie (p⇒ q)⇒ (p⇒ (q ∨ r)) jest tautologią?

Zadanie 2. Wyznacz i naszkicuj zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, gdy A = {(x, y) ∈ R2 : y − x ¬ 0},B = {(x, y) ∈ R2 : x+ y < 3}.

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{∅} , {{∅}}}.

Grupa 6

Zadanie 1. Utwórz negację zdania ∀y∃x

((x+ y = 0) ∨ (x > y)) .

Zadanie 2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A,B i C zachodzi równość (A∪B)\C = (A\C)∪(B \C).

Zadanie 3. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {N, {N}}.

Grupa 7

Zadanie 1. Sprawdź, czy wyrażenie (p ⇐⇒ q) =⇒ (¬p ⇐⇒ ¬q) jest prawem rachunku zdań.

Zadanie 2. Za pomocą negacji i alternatywy zdefiniować koniunkcję.

Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwa jest równość (A\B)∩C = (A∩C)\B.

48


Grupa 8

Zadanie 1. Sprawdź, czy wyrażenie (q ⇐⇒ p) =⇒ (¬q ⇐⇒ ¬p) jest prawem rachunku zdań.

Zadanie 2. Za pomocą negacji i koniunkcji zdefiniować alternatywę.

Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów X, Y i Z prawdziwa jest równość (X \Y )∩Z = (X∩Z)\Y .

49

3 INDUKCJA MATEMATYCZNA

3 Indukcja matematyczna

Zadanie 1. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 prawdziwy jest wzór

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Rozwiązanie. Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:

φ(n) ⇐⇒ 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Tak więc nasze zadanie sprowadza się do wykazania, że funkcja zdaniowa φ(n) jest prawdziwa dla dowolnejliczby naturalnej n 1. Wykażemy to korzystając z zasady indukcji matematycznej.

Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 1 spełnia funkcję zdaniową φ. Ale

φ(1) ⇐⇒ 1 =1(1 + 1)

2czyli widzimy, że faktycznie zdanie φ(1) jest prawdziwe.Teraz musimy wykazać, że jeśli zdanie φ(n) jest prawdziwe, to również zdanie φ(n+ 1) jest prawdziwe.Załóżmy więc, że zdanie φ(n) jest prawdziwe.Wówczas

1+2+· · ·+n+(n+1) =(

1+2+· · ·+n)

+(n+1) =n(n+ 1)

2+(n+1) =

n(n+ 1) + 2(n+ 1)2

=(n+ 1)(n+ 2)

2,

(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że zdanie φ(n) jest prawdziwe). Równość ta pokazuje,że zdanie φ(n+ 1) jest prawdziwe.

Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej funkcja zdaniowa φ jest prawdziwa dla każdej liczbynaturalnej n 1. �


n∑i=1

1i(i+ 1)

=n

n+ 1.

Rozwiązanie. Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:

φ(n) ⇐⇒n∑i=1

1i(i+ 1)

=n

n+ 1.

Zadanie sprowadza się do wykazania, że funkcja zdaniowa φ(n) jest prawdziwa dla dowolnej liczby natu-ralnej n 1. Wykażemy to korzystając z zasady indukcji matematycznej.

Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 1 spełnia funkcję zdaniową φ. Ale

φ(1) ⇐⇒1∑i=1

1i(i+ 1)

=1

1 · 2=

11 + 1

,

czyli widzimy, że faktycznie zdanie φ(1) jest prawdziwe.Teraz musimy wykazać, że jeśli zdanie φ(n) jest prawdziwe, to również zdanie φ(n+ 1) jest prawdziwe.Załóżmy więc, że zdanie φ(n) jest prawdziwe.Wówczas

n+1∑i=1

1i(i+ 1)

=

(n∑i=1

1i(i+ 1)

)+

1(n+ 1)(n+ 2)

=n

n+ 1+

1(n+ 1)(n+ 2)

=n(n+ 2) + 1

(n+ 1)(n+ 2)=

n2 + 2n+ 1(n+ 1)(n+ 2)

=(n+ 1)2

(n+ 1)(n+ 2)=n+ 1n+ 2

50


(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że zdanie φ(n) jest prawdziwe). Równość ta pokazuje,że zdanie φ(n+ 1) jest prawdziwe.

Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej funkcja zdaniowa φ jest prawdziwa dla każdej liczbynaturalnej n 1. �


1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n · (n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3.

Rozwiązanie. Niech

A ={n : 1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n · (n+ 1) =

n(n+ 1)(n+ 2)3

}.

Widać, że 1 ∈ A (bo 1 · 2 = 1·2·33 ).

Teraz musimy pokazać, że jeżeli liczba n należy do zbioru A, to również liczba n+ 1 należy do zbioru A.Załóżmy, że n ∈ A.Wówczas

1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n · (n+ 1) + (n+ 1) · (n+ 2) =(

1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n · (n+ 1))

+ (n+ 1) · (n+ 2)

=n(n+ 1)(n+ 2)

3+ (n+ 1)(n+ 2) =

n(n+ 1)(n+ 2) + 3(n+ 1)(n+ 2)3

=(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

3,

(w drugiej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że n ∈ A). Równość ta pokazuje, że n+ 1 ∈ A.Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej każda liczba naturalna należy do zbioru A, czyli

równość

1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n · (n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. �

Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + n jest parzysta.

Rozwiązanie. NiechA =

{n : n2 + n jest liczbą parzystą

}.

Widać, że 1 ∈ A (bo 12 + 1 = 2).Teraz musimy pokazać, że jeżeli liczba n należy do zbioru A, to również liczba n+ 1 należy do zbioru A.Załóżmy, że n ∈ A. Wówczas liczba n2 + n jest parzysta, czyli istnieje k takie, że n2 + n = 2k.Ponadto,

(n+ 1)2 + (n+ 1) = (n2 + 2n+ 1) + (n+ 1) = (n2 + n) + 2n+ 2 = 2k + 2(n+ 1) = 2(k + n+ 1),

(w trzeciej równości skorzystaliśmy z naszego założenia, że n ∈ A), czyli n+ 1 ∈ A.Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej każda liczba naturalna należy do zbioru A, czyli liczba

n2 + n jest parzysta dla każdej liczby naturalnej. �

Zadanie 5. Udowodnić, że w każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

Rozwiązanie. Niech A będzie niepustym podzbiorem liczb naturalnych. Przypuśćmy, że w zbiorze A nie maliczby najmniejszej.

Niech φ będzie funkcją zdaniową taką że:

φ(n) ⇐⇒ żadna z liczb 0, 1, 2, . . . , n nie należy do zbioru A.

Korzystając z zasady indukcji matematycznej pokażemy, że zdanie φ(n) jest prawdziwe dla każdej liczbynaturalnej n.

51


Na początek musimy sprawdzić, że liczba n = 0 spełnia funkcję zdaniową φ. Gdyby 0 ∈ A, to 0 byłobynajmniejszą liczbą w zbiorze A, a przypuściliśmy, że takiej liczby nie ma. Czyli zdanie φ(0) jest prawdziwe.

Teraz musimy wykazać, że jeśli zdanie φ(n) jest prawdziwe, to również zdanie φ(n+ 1) jest prawdziwe.Załóżmy więc, że zdanie φ(n) jest prawdziwe.Gdyby zdanie φ(n+1) było fałszywe, to jedna z liczb 0, 1, . . . , n, n+1 należałaby do zbioru A. Z założenia

indukcyjnego wiemy, że zdanie φ(n) jest prawdziwe, czyli żadna z liczb 0, 1, 2, . . . , n nie należy do A. Toznaczy, że liczba n+1 należy do A i byłaby on wówczas najmniejszą liczbą w tym zbiorze, a to jest sprzecznez naszym przypuszczeniem, że w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej.

Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej zdanie φ(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnejn.

To oznacza, że zbiór A jest pusty (bo dla dowolnej liczby naturalnej n zdanie φ(n) jest prawdziwe, czyliliczba n nie należy do A), a to jest sprzeczne z naszym założeniem, że zbiór A jest niepusty. Do sprzecznościdoprowadziło nas przypuszczenie, że w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej. Czyli w zbiorze A istnieje liczbanajmniejsza. �

Zadanie domowe


12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.


13 + 23 + · · ·+ n3 =n2(n+ 1)2

4.


n∑i=1

1(2i− 1)(2i+ 1)

=n

2n+ 1.

Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba n3 − n jest podzielna przez 3.

Zadanie 5. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczba 2n+2 · 3n + 5n − 4 jest podzielnaprzez 25.

Zadanie 6. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 4 prawdziwa jest nierówność n! > 2n.

Zadanie 7. Udowodnić, że w dowolnym niepustym ograniczonym z góry zbiorze liczb naturalnych istniejeliczba największa.

52

4 FUNKCJE

4 Funkcje

4.1 Funkcje różnowartościowe i „na”

Funkcje różnowartościowe

Funkcja f : X → Y jest różnowartościowa, gdy

∀x1,x2∈X

(x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2))

lub równoważnie, gdy∀

x1,x2∈X(f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2)

Zadanie 1. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = 2x jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech x, y ∈ R takie, że f(x) = f(y). Wówczas 2x = 2y, czyli 2x−y = 1, czyli x − y = 0. Takwięc x = y. A to pokazuje, że funkcja f jest różnowartościowa. �

Zadanie 2. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = x3 jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech x, y ∈ R takie, że f(x) = f(y). Wówczas x3 = y3, czyli 0 = x3−y3 = (x−y)·(x2+xy+y2).Czyli x − y = lub x2 + xy + y2 = 0. W pierwszym przypadku mamy x = y. W drugim, przypadku mamyx = y = 0 (dlaczego?). Tak więc w obu przypadkach mamy x = y. A to pokazuje, że funkcja f jestróżnowartościowa. �

Zadanie 3. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = x2 jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech x = 1 a y = −1. Wówczas f(x) = 1 oraz f(y) = 1. Czyli funkcja f nie jest różnowarto-ściowa. �

Zadanie 4. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = sinx jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech x = 0 a y = π. Wówczas f(x) = 0 oraz f(y) = 0. Czyli funkcja f nie jest różnowarto-ściowa. �

Zadanie 5. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n+ k + 5 jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech (n1, k1) = (1, 2) oraz (n2, k2) = (2, 1). Wówczas f((n1, k1)) = 7 oraz f((n2, k2)) = 7.Czyli funkcja f nie jest różnowartościowa. �

Zadanie 6. Czy funkcja F : R2 → R2 dana wzorem F ((x, y)) = (x+ y, x− 3y) jest różnowartościowa?

Rozwiązanie. Niech (x1, y1) i (x2, y2) takie, że F ((x1, y1)) = F ((x2, y2)). Wówczas (x1 + y1, x1 − 3y1) =(x2 + y2, x2 − 3y2). Czyli {

x1 − y1 = x2 − y2,x1 − 3y1 = x2 − 3y2.

Rozwiązując ten układ równań (traktując x1 i y1 jako niewiadome, a x2 i y2 jako liczby) otrzymujemy, żex1 = x2 i y1 = y2. Czyli (x1, y1) = (x2, y2). Tak więc funkcja F jest różnowartościowa. �

Funkcje „na”

Funkcja f : X → Y jest „na”, gdy∀y∈Y

∃x∈X

y = f(x).

Zadanie 7. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = 2x jest „na”?

Rozwiązanie. Niech y = −1. Ponieważ 2x jest liczbą dodatnią dla każdego x ∈ R, więc nie znajdziemy takiegox ∈ R, żeby f(x) = −1, czyli funkcja f nie jest „na”. �

Zadanie 8. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = x3 jest „na”?

53

4.1 Funkcje różnowartościowe i „na” 4 FUNKCJE

Rozwiązanie. Niech y ∈ R. Szukamy takiego x ∈ R, że f(x) = y. Ale jeżeli x3 = y, to x = 3√y. Czyli dla

dowolnego y ∈ R istnieje x = 3√y takie, że f(x) = y. Czyli funkcja f jest „na”. �

Zadanie 9. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = x2 jest „na”?

Rozwiązanie. Niech y = −1. Ponieważ x2 jest liczbą nieujemną dla każdego x ∈ R, więc nie znajdziemytakiego x żeby f(x) = −1. Czyli funkcja f nie jest „na”. �

Zadanie 10. Czy funkcja f : R→ R dana wzorem f(x) = sinx jest „na”?

Rozwiązanie. Niech y = 2. Wiadomo, że dla dowolnego x ∈ R mamy −1 ¬ sinx ¬ 1. Czyli nie znajdziemytakiego x ∈ R, żeby f(x) = 2. Czyli funkcja f nie jest „na”. �

Zadanie 11. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n+ k + 5 jest „na”?

Rozwiązanie. Niech y = 1. Ponieważ dla dowolnych liczb naturalnych n, k ∈ N mamy φ((n, k)) = n+k+5 5,więc nie znajdziemy takiego elementu (n, k) ∈ N2, żeby φ((n, k)) = 1. Czyli funkcja φ nie jest „na”. �

Zadanie 12. Czy funkcja F : R2 → R2 dana wzorem F ((x, y)) = (x+ y, x− 3y) jest „na”?

Rozwiązanie. Niech (z, w) ∈ R2. Szukamy takiej pary (x, y) ∈ R2, żeby F ((x, y)) = (z, w). Ta równośćoznacza, że (x+ y, x− 3y) = (z, w). A to jest równoważne układowi równań{

x− y = z,

x− 3y = w.

Rozwiązując ten układ równań (traktując x i y jako niewiadome, a z i w jako liczby) otrzymujemy, żex = z−w

2 i y = −z−w2 . Tak więc dla pary (x, y) =

(z−w2 , −z−w2

)mamy F (x, y) = (z, w). Czyli funkcja F jest

„na’. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Dla danego przekształcenia f : R→ R zbadać, czy f jest przekształceniem różnowartościowym.

1. f(x) = 13x ;

2. f(x) = x4;

3. f(x) = [x];

4. f(x) ={ 2x+1

x−1 dla x 6= 1;0 dla x = 1;

5. f(x) = 2x + x;

6. f(x) = cosx.

Zadanie 2. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n · k jest różnowartościowa?

Zadanie 3. Czy funkcja F : (0,+∞)→ R2 dana wzorem F (x) = (x, x2) jest różnowartościowa?

Zadanie 4. Czy funkcja G : R2 → R3 dana wzorem G((x, y)) = (x, x+ y, x− y) jest różnowartościowa?

Zadanie 5. Dla danego przekształcenia f : R→ R zbadać, czy f jest przekształceniem „na”.

1. f(x) = 13x ;

2. f(x) = x4;

3. f(x) = [x];

4. f(x) ={ 2x+1

x−1 dla x 6= 1;0 dla x = 1;

54

4.2 Obrazy i przeciwobrazy 4 FUNKCJE

5. f(x) = 2x + x;

6. f(x) = cosx.

Zadanie 6. Czy funkcja φ : N2 → N dana wzorem φ((n, k)) = n · k jest „na”?

Zadanie 7. Czy funkcja F : (0,+∞)→ R2 dana wzorem F (x) = (x, x2) jest „na”?

Zadanie 8. Czy funkcja G : R2 → R3 dana wzorem G((x, y)) = (x, x+ y, x− y) jest „na”?


Odp. 1.

1. Jest.

2. Nie jest.

3. Nie jest.

4. Nie jest.

5. Jest. (Wskazówka. Funkcja rosnąca jest różnowartościowa.)

6. Nie jest.

Odp. 2. Nie jest.Odp. 3. Jest.Odp. 4. Jest.Odp. 5.

1. Nie jest.

2. Nie jest.

3. Nie jest.

4. Nie jest.

5. Jest (Wskazówka. Funkcje ciągłe mają własność Darboux.)

6. Nie jest.

Odp. 6. Jest.Odp. 7. Nie jest.Odp. 8. Nie jest.

4.2 Obrazy i przeciwobrazy

Obrazy

Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz zbioru A ⊂ X definiujemy zbiór

f [A] ={y ∈ Y : ∃

a∈Ay = f(a)

}i nazywamy go obrazem zbioru A przy funkcji f .

Zadanie 1. Niech f : R→ R będzie dane wzorem f(x) = x2 − 3x+ 2. Wyznaczyć f [A] dla A = [0, 1].

Rozwiązanie. Na początek rysujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

55


x

y

1 2

2

f(x)=x2−3x+2

A

f [A]

Z rysunku widać, że f [[0, 1]] = [0, 2]. Musimy to jeszcze uzasadnić formalnie. Żeby wykazać równośćdwóch zbiorów należy wykazać dwa zawierania:

1. f [[0, 1]] ⊂ [0, 2],

2. [0, 2] ⊂ f [[0, 1]].

(1). Niech y ∈ f [[0, 2]] Wówczas istnieje x ∈ [0, 1] takie, że y = f(x). Ponieważ funkcja f jest malejąca(jak to uzasadnić?) na odcinku [0, 1] więc 2 = f(0) f(x) f(1) = 0. Czyli y = f(x) ∈ [0, 2].

(2). Niech y ∈ [0, 2]. Ponieważ f(0) = 2 i f(1) = 0 a funkcja f jest ciągła (więc ma własność Darboux1),czyli istnieje x ∈ [0, 1] takie, że f(x) = y. Czyli y ∈ f [[0, 1]]. �

Zadanie 2. Niech f : R→ R będzie dana wzorem f(x) = sinx+ 1. Znaleźć f [A] dla A = {0, π}.

Rozwiązanie. Twierdzimy, że f [{0, π}] = {0}. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwazawierania:

1. f [{0, π}] ⊂ {0},

2. {0} ⊂ f [{0, π}].

(1). Niech y ∈ f [{0, π}]. Wówczas istnieje x ∈ {0, π} taki, że y = f(x). Ale w naszym przypadku mamy,że albo x = 0 i wówczas f(x) = sin 0 = 0 ∈ {0}, albo x = π i wówczas f(x) = sinπ = 0 ∈ {0}.

(2). Niech y ∈ {0}. Wówczas y = 0. Niech x = 0. Wówczas x ∈ {0, π} i f(x) = 0. �

Zadanie 3. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźćφ[N× {1}].

Rozwiązanie. Ponieważ elementy zbioru N×{1} są postaci (n, 1) (gdzie n ∈ N) oraz φ((n, 1)) = n+1+1 = n+2więc twierdzimy, że φ[N× {1}] = {2, 3, 4, . . . }. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwazawierania:

1. φ[N× {1}] ⊂ {2, 3, 4, . . . },

2. {2, 3, 4, . . . } ⊂ φ[N× {1}].1Własność Darboux jest to tzw. własność przyjmowania wartości pośrednich. Funkcja f : [a, b]→ R ma własność Darboux,

gdy dla każdego y ∈ [f(a), f(b)] istnieje x ∈ [a, b] takie, że y = f(x). Wiadomo, że każda funkcja ciągła f : [a, b] → R mawłasność Darboux.

56


(1). Niech y ∈ φ[N×{1}]. Wówczas istnieje n ∈ N takie, że φ(n, 1) = y. Ale φ(n, 1) = n+1+1 = n+2 2oraz n+ 2 jest liczbą naturalną, czyli y ∈ {2, 3, 4, . . . }.

(2). Niech y ∈ {2, 3, 4, . . . }. Niech n = y − 2. Wówczas y ∈ N, czyli (n, 1) ∈ N × {1} oraz φ(n, 1) =n+ 1 + 1 = (y − 2) + 1 + 1 = y. �

Zadanie 4. Udowodnić, że jeśli A ⊂ B, to f [A] ⊂ f [B].

Rozwiązanie. Niech y ∈ f [A]. Wówczas istnieje a ∈ A taki, że y = f(a). Ponieważ A ⊂ B, więc a ∈ B. Czyliy = f(a) ∈ f [B]. �

Zadanie 5. Niech a 6= b, X = {a, b, {a, b}}, Y = {a, b}, a f : X → Y będzie określona równaniem f(a) =f(b) = a, f({a, b}) = b. Znaleźć obraz zbioru {a, b} względem f .

Rozwiązanie. Z defninicji obrazu mamy, że

f [{a, b}] ={y ∈ Y : ∃

x∈{a,b}y = f(x)

}.

Jeżeli x ∈ {a, b}, to albo x = a i wówczas f(x) = f(a) = a, albo x = b i wówczas f(x) = f(b) = a.Twierdzimy, że f [{a, b}] = {a}. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa zawierania:

1. f [{a, b}] ⊂ {a},

2. {a} ⊂ f [{a, b}].

(1). Niech y ∈ f [{a, b}]. Wówczas istnieje x ∈ {a, b} takie, że y = f(x). W naszym przypadku albo x = ai wówczas f(x) = f(a) = a ∈ {a}, albo x = b i wówczas f(x) = f(b) = a ∈ {a}.

(2). Niech y ∈ {a}. Wówczas y = a. Niech x = a. Wówczas x ∈ {a, b} i f(x) = a. �

Przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz zbioru A ⊂ Y definiujemy zbiór

f−1[A] = {x ∈ X : f(x) ∈ A}

i nazywamy go przeciwobrazem zbioru A przy funkcji f .

Zadanie 6. Niech f : R→ R będzie dane wzorem f(x) = x2 − 3x+ 2. Wyznaczyć f−1[A] dla A = (−∞, 6).

Rozwiązanie. Wyznaczamy dla jakich x-ów funkcja f przyjmuje wartość 6: x = −1 i x = 4. Wyznaczamywierzchołek paraboli: (32 ,−

14 ). Następnie rysujemy wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

57


x

y

−1 1 2 4

2

6

f(x)=x2−3x+2

f−1[A]

A

Z rysunku widać, że f−1[(−∞, 6)] = (−1, 4). Musimy to jeszcze uzasadnić formalnie. Żeby wykazaćrówność dwóch zbiorów należy wykazać dwa zawierania:

1. f−1[(−∞, 6)] ⊂ (−1, 4),

2. (−1, 4) ⊂ f−1[(−∞, 6)].

(1). Niech x ∈ f−1[(−∞, 6)]. Wówczas f(x) ∈ (−∞, 6), czyli x2− 3x+ 2 < 6. Rozwiązując tą nierównośćotrzymujemy, że −1 < x < 4, czyli x ∈ (−1, 4).

(2). Niech x ∈ (−1, 4). Mamy dwa przypadki:

1. −1 < x < 32 ,

2. 32 < x < 4.

W pierwszym przypadku funkcja f jest malejąca (na odcinku(−1, 32

)), czyli 6 = f(−1) > f(x) > f( 32 ) = − 14 .

Tak więc f(x) ∈(− 14 , 6

).

W drugim przypadku, funkcja f jest rosnąca (na odcinku(32 , 4)), czyli − 14 = f( 32 ) < f(x) < f(4) = 6.

Tak więc f(x) ∈(− 14 , 6

).

Widzimy więc, że (nieważne który przypadek rozważymy) mamy f(x) ∈ (− 14 , 6) ⊂ (−∞, 6), czyli x ∈f−1[(−∞, 6)] �

Zadanie 7. Niech f : R→ R będzie dana wzorem f(x) = sinx+ 1. Znaleźć f−1[A], gdy A = {0}.

Rozwiązanie. Funkcja sinx przyjmuje wartość −1 dla wszystkich liczb postaci 32π + 2kπ, gdzie k ∈ Z.Twierdzimy, że f−1[{0}] =

{32π + 2kπ : k ∈ Z

}. Aby to wykazać, musimy udowodnić dwa zawierania:

1. f−1[{0}] ⊂{32π + 2kπ : k ∈ Z

},

2.{32π + 2kπ : k ∈ Z

}⊂ f−1[{0}].

(1). Niech x ∈ f−1[{0}]. Wówczas f(x) = 0, czyli sinx+1 = 0. Rozwiązując to równanie trygonometryczneotrzymujem, że istnieje k ∈ Z takie, że x = 3

2π + 2kπ. Czyli x ∈{32π + 2kπ : k ∈ Z

}.

(2). Niech x ∈{32π + 2kπ : k ∈ Z

}. Wówczas istnieje k ∈ Z takie, że x = 3

2π + 2kπ. Czyli f(x) =f(32π + 2kπ

)= sin

(32π + 2kπ

)= sin

(32π)

+ 1 = −1 + 1 = 0 ∈ {0}. Czyli x ∈ f−1[{0}]. �

58


Zadanie 8. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźćφ−1[({0}].

Rozwiązanie. Twierdzimy, że φ−1[({0}] = ∅. Musimy to jeszcze wykazać formalnie.Przypuśćmy przeciwnie, że istneje x ∈ φ−1[({0}]. Wówczas isnieją n, k ∈ N takie, że φ((n, k)) = 0, czyli

n + k + 1 = 0. Ale n, k 0, czyli n + k + 1 1, czyli mamy 0 1, a to jest nieprawda. Tak więc naszeprzypuszczenie, że zbiór φ−1[({0}] jest niepusty doprowadziła nas do sprzeczności, czyli φ−1[({0}] = ∅. �

Zadanie 9. Udowodnić, że f−1[A ∪B] = f−1[A] ∪ f−1[B];

Rozwiązanie. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy udowodnić dwa zawierania:

1. f−1[A ∪B] ⊂ f−1[A] ∪ f−1[B],

2. f−1[A] ∪ f−1[B] ⊂ f−1[A ∪B].

(1). Niech x ∈ f−1[A∪B]. Wówczas f(x) ∈ A∪B. Czyli f(x) ∈ A lub f(x) ∈ B. W pierwszym przypadkumamy, że x ∈ f−1[A], a w drugim, że x ∈ f−1[B]. Czyli ostatecznie x ∈ f−1[A] ∪ f−1[B].

(2). Niech x ∈ f−1[A]∪f−1[B]. Wówczas x ∈ f−1[A] lub x ∈ f−1[B]. W pierwszym przypadku, f(x) ∈ A,a w drugim f(x) ∈ B. Czyli f(x) ∈ A ∪B. Tak więc x ∈ f−1[A ∪B]. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Niech f : R→ R będzie dane wzorem f(x) = x2 − 3x+ 2. Wyznaczyć f [A], gdy:

1. A = [−2,−1];

2. A = {1, 2}.

Zadanie 2. Niech f : R→ R będzie dana wzorem f(x) = sinx+ 1. Znaleźć f [A] dla A = [0, 32π].

Zadanie 3. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k − 1. Znaleźćφ[{5} × N].

Zadanie 4. Udowodnić wzory

1. f [A ∪B] = f [A] ∪ f [B];

2. f [A ∩B] ⊂ f [A] ∩ f [B] (uzasadnić, że zawierania nie można odwrócić);

Zadanie 5. Niech f : R→ R będzie dane wzorem f(x) = x2−3x+2. Wyznaczyć f−1[A] dla A = {−3,−4}.

Zadanie 6. Niech f : R→ R będzie dana wzorem f(x) = sinx+ 1. Znaleźć f−1[A], gdy A = (−∞, 1].

Zadanie 7. Niech φ : N2 → N będzie określona następującym wzorem φ((n, k)) = n + k + 1. Znaleźćφ−1[{0, 2, 4, 6, 8, . . . }].

Zadanie 8. Udowodnić, że jeśli A ⊂ B, to f−1[A] ⊂ f−1[B].

Zadanie 9. Udowodnić wzory:

1. f−1[A ∩B] = f−1[A] ∩ f−1[B];

2. f [f−1[A]] = A;

3. f−1[f [A]] ⊃ A.

59



Odp. 1.

1. [6, 12].

2. {0}.

Odp. 2. [0, 2].Odp. 3. {4, 5, 6, 7, . . . }.Odp. 4.

2. Zawieranie przeciwne nie zachodzi dla funkcji f : R→ R, f(x) = x2 i zbiorów A = (0, 1), B = (−1, 0).

Odp. 5. ∅.Odp. 6. {x ∈ R : (2k + 1)π ¬ x ¬ (2k + 2)π ∧ k ∈ Z}.Odp. 7. {(n, k) ∈ N2 : (n jest parzyste i k jest nieparzyste) lub (n jest nieparzyste i k jest parzyste)}.

60


Sprawdzian

Grupa 1

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N2 dana wzorem f(n,m) = (2n+ 2m, 2n− 2m) jest różnowar-tościowa.

Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : R→ R danej wzorem f(x) = x2 i zbioru A = [−1, 2].

Zadanie 3. Udowodnić wzór f−1[A ∪B] = f−1[A] ∪ f−1[B].


13 + 23 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2.

Grupa 2

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : R2 → R2 dana wzorem f(x, y) = (x+y, x−y) jest różnowartościowa.

Zadanie 2. Znaleźć f−1[A] dla funkcji f : R→ R danej wzorem f(x) = x2 i zbioru A = [1, 4].

Zadanie 3. Udowodnić wzór f−1[A ∩B] = f−1[A] ∩ f−1[B].


n∑i=1

1(3i− 2)(3i+ 1)

=n

3n+ 1.

Grupa 3

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n,m) = 3n · 5m jest różnowartościowa.

Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = max(n,m) i zbioru A ={1056} × N.

Zadanie 3. Udowodnić wzór f [A ∩B] ⊂ f [A] ∩ f [B].


Grupa 4

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n,m) = 3n · 5m jest „na”.

Zadanie 2. Znaleźć f−1[A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = max(n,m) i zbioruA = {1056}.

Zadanie 3. Udowodnić wzór f [f−1[A]] = A.


Grupa 5

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n,m) = 2n · 7m jest różnowartościowa.

Zadanie 2. Znaleźć f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = min(n,m) i zbioru A ={1056} × N.

Zadanie 3. Udowodnić wzór f−1[f [A]] ⊃ A.

Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 4 prawdziwa jest nierówność n2 < 3n−1.

61


Grupa 6

Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n,m) = 2n · 7m jest „na”.

Zadanie 2. Znaleźć f−1[A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = min(n,m) i zbioruA = {1056}.

Zadanie 3. Udowodnić wzór f [A ∪B] = f [A] ∪ f [B].

Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 8 prawdziwa jest nierówność n3 < 2n.

62

5 DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH

5 Działania nieskończone na zbiorach

5.1 Sumy nieskończone

Jeżeli każdej liczbie naturalnej n ∈ N odpowiada jakiś zbiór An to mówimy, że mamy zdefiniowaną rodzinęzbiorów (An)n∈N. Zbiór wszystkich elementów, które należą do chociaż jednego ze zbiorów An nazywamysumą rodziny (An)n∈N i oznaczamy symbolem

⋃n∈N

An (lub∞⋃n=0

An).

Tak więc

x ∈⋃n∈N

An ⇐⇒ ∃n∈N

x ∈ An.

Zadanie 5. Znaleźć sumę rodziny zbiorów (An)n∈N, gdy An = {x ∈ R : n ¬ x < n+ 1}.

Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka pierwszych zbiorów z tej rodziny.

1. A0 = {x ∈ R : 0 ¬ x < 1} = [0, 1),

2. A1 = {x ∈ R : 1 ¬ x < 2} = [1, 2),

3. A2 = {x ∈ R : 2 ¬ x < 3} = [2, 3),

4. A3 = {x ∈ R : 3 ¬ x < 4} = [3, 4).

0 1 2 3 4

A0

A1

A2

A3

Twierdzimy, że∞⋃n=0

An = [0,∞). Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy zacho-

dzą następujące dwa zawierania:

1.∞⋃n=0

An ⊂ [0,∞),

2. [0,∞) ⊂∞⋃n=0

An.

(1). Niech x ∈∞⋃n=0

An. Wówczas istnieje liczba naturalne n ∈ N taka, że x ∈ An. Czyli n ¬ x < n + 1.

Ponieważ n 0, więc x 0. Tak więc x ∈ [0,∞).(2). Niech x ∈ [0,∞). Wówczas istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że n ¬ x < n+ 1 (np. n = [x], gdzie

[x] oznacza część całkowitą z liczby n). Czyli x ∈ An. Czyli x ∈∞⋃n=0

An. �

Zadanie 6. Znaleźć sumę rodziny zbiorów (An)n∈N, gdy An ={x : − 1

n+1 < x ¬ 1n+1

}.

63

5.1 Sumy nieskończone 5 DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH

Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka pierwszych zbiorów z tej rodziny.

1. A0 = (−1, 1],

2. A1 =(− 12 ,

12

],

3. A2 =(− 13 ,

13

],

4. A3 =(− 14 ,

14

].

− 14− 13− 12−1 01413

12 1

A0

A1

A2

A3

Twierdzimy, że∞⋃n=0

An = (−1, 1]. Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy

zachodzą następujące dwa zawierania:

1.∞⋃n=0

An ⊂ (−1, 1],

2. (−1, 1] ⊂∞⋃n=0

An.

(1). Niech x ∈∞⋃n=0

An. Wówczas istnieje n ∈ N takie, że x ∈ An. Czyli − 1n+1 < x ¬ 1

n+1 . Ale dla dowolnej

liczby naturalnej n mamy −1 ¬ − 1n+1 i 1

n+1 ¬ 1. Tak więc −1 < x ¬ 1, czyli x ∈ (−1, 1].

(2). Niech x ∈ (−1, 1]. Wówczas x ∈ A0. Czyli x ∈∞⋃n=0

An. �

Niech T będzie dowolnym zbiorem. Jeżeli każdemu elementowi t ∈ T odpowiada jakiś zbiór At to mówimy,że mamy zdefiniowaną rodzinę zbiorów (At)t∈T . Zbiór wszystkich elementów, które należą do chociaż jednegoze zbiorów At nazywamy sumą rodziny (At)t∈T i oznaczamy symbolem⋃

t∈TAt.

Tak więc

x ∈⋃t∈T

At ⇐⇒ ∃t∈T

x ∈ At.

Zadanie 7. Niech T = R+ oraz At = {x : −t ¬ x ¬ t}. Znaleźć sumę rodziny (At)t∈T .

Rozwiązanie. Na początek wyznaczamy i rysujemy kilka zbiorów z tej rodziny.

1. A 13

=[− 13 ,

13

],

2. A1 = [−1, 1],

3. A√2 = [−√

2,√

2],

4. A2 = [−2, 2].

64

5.1 Sumy nieskończone 5 DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH

−2 −1 0 1 2− 1313−

√2

√2

A 13

A1A√2A2

Twierdzimy, że⋃t∈R+

At = R. Musimy wykazać to jeszcze formalnie. Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą

następujące dwa zawierania:

1.⋃t∈R+

At ⊂ R,

2. R ⊂⋃t∈R+

At.

(1). Niech x ∈⋃t∈R+

At. Wówczas istnieje liczba t ∈ R+ taka, że x ∈ At. Ale At ⊂ R, czyli x ∈ R.

(2). Niech x ∈ R. Niech t = |x|. Wówczas x ∈ At, czyli x ∈⋃t∈R+

At. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Znaleźć sumę rodziny (An)n∈N, gdy

1. An = {x : −n < x < n};

2. An = {x : n ¬ x};

3. An ={x : 0 ¬ x < 1

n+1

};

4. An ={x : n

n+1 ¬ x <n+1n+2

};

5. An = {x : n2 < x < (n+ 1)2};

6. An = {x : sinx = n}.

Zadanie 2. Znaleźć sumę rodziny (At)t∈R+ , gdy

1. At = {x : t ¬ x < t+ 1};

2. At = {x : t ¬ x};

3. At ={x : 0 ¬ x < 1

t+1

};

4. At ={x : − 1

t+1 < x < 1t+1

};

5. At ={x : t

t+1 ¬ x <t+1t+2

};

6. At = {x : t2 < x < (t+ 1)2};

7. At = {x : sinx = t}.

65

5.2 Przekroje nieskończone 5 DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH


Odp. 1.

1. R.

2. [0,+∞).

3. [0, 1).

4. [0, 1).

5. (0,+∞) \ {n2 : n ∈ N}.

6. {πk : k ∈ Z} ∪{π2 + 2kπ : k ∈ Z

}.

Odp. 2.

1. (0,+∞).

2. (0,+∞).

3. [0, 1).

4. (−1, 1).

5. (0, 1).

6. (0,∞).

7. {x : 2πk < x < 2πk + π ∧ k ∈ Z}.

5.2 Przekroje nieskończone

Niech (At)t∈T będzie pewną rodziną zbiorów. Zbiór wszystkich elementów, które należą do wszystkich zbio-rów At nazywamy przekrojem rodziny (At)t∈T i oznaczamy symbolem⋂

t∈TAt.

Tak więc

x ∈⋂t∈T

At ⇐⇒ ∀t∈T

x ∈ At.

Zadanie 1. Znaleźć przekrój rodziny (An)n∈N, gdy An = {x ∈ R : n ¬ x}.


1. A0 = [0,∞),

2. A1 = [1,∞),

3. A2 = [2,∞),

4. A3 = [3,∞).

0 1 2 3

A0

A1

A2

A3

66


Twierdzimy, że∞⋂n=0

An = ∅. Weźmy dowolną liczbę x ∈ R. Pokażemy, że x /∈∞⋂n=0

An.

Niech n ∈ N taka, że x < n (dlaczego takie n istnieje?). Wówczas x /∈ An, więc x /∈∞⋂n=0

An. �

Zadanie 2. Znaleźć przekrój rodziny (At)t∈R+ , gdy At ={x : 0 ¬ x < 1

t+1

}.


1. A0 = [0, 1),

2. A 12

=[0, 23),

3. A1 =[0, 12),

4. A√3 =[0, 1√

3+1

).

01√3+1

12

23 1

A0A 12

A1A√3

Twierdzimy, że⋂t∈R+

At = {0}. Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą następujące dwa zawierania:

1.⋂t∈R+

At ⊂ {0},

2. {0} ⊂⋂t∈R+

At.

(1). Niech x ∈⋂t∈R+

At. Ponieważ x ∈ A0 = [0, 1), więc x 0. Przypuśćmy, że x 6= 0. Niech t ∈ R+ takie,

że 1t+1 < x (dlaczego takie t istnieje?). Wówczas x /∈ At, czyli x /∈

⋂t∈R+

At. Otrzymaliśmy sprzeczność, bo

założyliśmy, że x ∈⋂t∈R+

At. Do sprzeczności doprowadziło nas przypuszczenie, że x 6= 0. Tak więc x = 0,

czyli x ∈ {0}.(2). Niech x ∈ {0}. Wówczas x = 0. Dla dowolnego t ∈ R+ mamy 0 < 1

t+1 . Więc x ∈ At dla dowolnego

t ∈ R+, czyli x ∈⋂t∈R+

At. �

Zadanie 3. Niech An,m = {x : n ¬ x < m} dla n,m ∈ N. Znaleźć

1.⋃

n,m∈NAn,m,

2.⋂

n,m∈NAn,m,

67


3.⋃n∈N

⋂m∈N

An,m,

4.⋂n∈N

⋃m∈N

An,m.

Rozwiązanie. (1). Twierdzimy, że⋃

n,m∈NAn,m = [0,∞). Dwa zbiory są równe, gdy zachodzą następujące dwa

zawierania:

(a)⋃

n,m∈NAn,m ⊂ [0,∞),

(b) [0,∞) ⊂⋃

n,m∈NAn,m.

(a). Niech x ∈⋃

n,m∈NAn,m. Wówczas istnieją liczby n1 ∈ N i m1 ∈ N takie, że x ∈ An1,m1 . Czyli

n1 ¬ x < m1. Tak więc x ∈ [0,∞).(b). Niech x ∈ [0,∞). Niech n1,m1 ∈ N takie, że n1 ¬ x < m1 (dlaczego takie liczby naturalne istnieją?).

Wówczas x ∈ An1,m1 , czyli x ∈⋃

n,m∈NAn,m.

(2). Twierdzimy, że⋂

n,m∈NAn,m = ∅. Przypuśćmy, że istnieje x ∈

⋂n,m∈N

An,m. Wówczas x ∈ An,m dla

dowolnych liczby naturalnych n,m. Niech n1 = 1,m1 = 2 i n1 = 3,m2 = 4. Wówczas x ∈ A1,2 i x ∈ A3,4,czyli 1 ¬ x < 2 i 3 ¬ x < 4, a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istnieje x ∈

⋂n,m∈N

An,m

doprowadziło nas do sprzeczności, czyli ten zbiór nie zawiera żadnego elementu.(3). Twierdzimy, że

⋃n∈N

⋂m∈N

An,m = ∅. Przypuśćmy, że istnieje x ∈⋃n∈N

⋂m∈N

An,m. Wówczas istnieje n1 ∈ N

takie, że x ∈⋂m∈N

An1,m. Czyli dla dowlnej liczby natralnej m ∈ N mamy x ∈ An1,m. W szczególności, dla

m = n1 mamy x ∈ An1,n1 , czyli n1 ¬ x < n1, a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istniejex ∈

⋃n∈N

⋂m∈N

An,m doprowadziło nas do sprzeczności, czyli ten zbiór nie zawiera żadnego elementu.

(4). Twierdzimy, że⋂n∈N

⋃m∈N

An,m = ∅. Przypuśćmy, że istnieje x ∈⋂n∈N

⋃m∈N

An,m. Wówczas dla dowolnego

n ∈ N mamy x ∈⋃m∈N An,m. Czyli dla dowolnego n ∈ N istnieje mn ∈ N taki, że x ∈ An,mn .

Niech n ∈ N takie, że x < n. Wówczas, zgodnie z powyższym, istnieje mn ∈ N takie, że x ∈ An,mn . Czylin ¬ x < mn, a to jest niemożliwe. Tak więc przypuszczenie, że istnieje x ∈

⋂n∈N

⋃m∈N

An,m doprowadziło nas

do sprzeczności, czyli ten zbiór nie zawiera żadnego elementu.�

Zadanie domowe

Zadanie 1. Znaleźć przekrój rodziny (An)n∈N, gdy

1. An = {x : n < x < n+ 1};

2. An = {x : −n− 1 < x < n+ 1};

3. An ={x : 0 ¬ x < 1

n+1

};

4. An ={x : − 1

n+1 < x < 1n+1

};

5. An ={x : n

n+1 ¬ x <n+1n+2

};

68


6. An = {x : n2 < x < (n+ 1)2};

7. An = {x : sinx = n}.

Zadanie 2. Znaleźć przekrój rodziny (At)t∈R+ , gdy

1. At = {x : t ¬ x < t+ 1};

2. At = {x : −t ¬ x ¬ t};

3. At = {x : t ¬ x};

4. At ={x : − 1

t+1 < x < 1t+1

};

5. At ={x : t

t+1 ¬ x <t+1t+2

};

6. At = {x : t2 < x < (t+ 1)2};

7. At = {x : sinx = t}.

Zadanie 3. Niech An,m = {x ∈ R : n2 ¬ x < m2} dla n,m ∈ N. Znaleźć

1.⋃

n,m∈NAn,m,

2.⋂

n,m∈NAn,m,

3.⋃n∈N

⋂m∈N

An,m,

4.⋂n∈N

⋃m∈N

An,m.


Odp. 1.

1. ∅.

2. (−1, 1).

3. {0}.

4. {0}.

5. ∅.

6. ∅.

7. ∅.

Odp. 2.

1. ∅.

2. {0}.

3. ∅.

4. {0}.

5. ∅.

69

5.3 Prawa rachunku zbiorów 5 DZIAŁANIA NIESKOŃCZONE NA ZBIORACH

6. ∅.

7. ∅.

Odp. 3.

1. [0,∞).

2. ∅.

3. ∅.

4. ∅.

5.3 Prawa rachunku zbiorów

Zadanie 1 (Prawo de Morgana). Uzasadnić, że

(⋃i∈I

Ai

)′=⋂i∈I

A′i.

Rozwiązanie. Żeby wykazać równość dwóch zbiorów musimy pokazać dwa zawierania:

1.

(⋃i∈I

Ai

)′⊂⋂i∈I

A′i,

2.⋂i∈I

A′i ⊂

(⋃i∈I

Ai

)′.

(1). Niech x ∈

(⋃i∈I

Ai

)′. Wówczas x /∈

⋃i∈I

Ai, czyli dla każdego i ∈ I mamy x /∈ Ai. Tak więc dla

każdego i ∈ I mamy x ∈ A′i, czyli x ∈⋂i∈I

A′i.

(2). Niech x ∈⋂i∈I

A′i. Wówczas dla każdego i ∈ I mamy x ∈ A′i, czyli dla każdego i ∈ I mamy x /∈ Ai.

Tak więc x /∈

(⋃i∈I

Ai

), czyli x ∈

(⋃i∈I

Ai

)′. �

Zadanie 2. Uzasadnić następującą równość

n⋃i=1

Ai ∩m⋃i=1

Bi =m⋃i=1

m⋃j=1

(Ai ∩Bj).

Rozwiązanie. Powyższą równość udowodnimy, gdy pokażemy, że następujące dwa zawierania są prawdziwe:

1.n⋃i=1

Ai ∩m⋃i=1

Bi ⊂m⋃i=1

m⋃j=1

(Ai ∩Bj);

2.m⋃i=1

m⋃j=1

(Ai ∩Bj) ⊂n⋃i=1

Ai ∩m⋃i=1

Bi.

(1). Niech x ∈n⋃i=1

Ai ∩m⋃i=1

Bi. Wówczas x ∈n⋃i=1

Ai i x ∈m⋃i=1

Bi. Z pierwszego należenia wynika, że istnieje

i1 ¬ n takie, że x ∈ Ai1 , a z drugiego – istnieje i2 ¬ m takie, że x ∈ Bi1 . Czyli znaleźliśmy liczby i1 ¬ n i

i2 ¬ m takie, że x ∈ Ai1 ∩Bi2 . Tak więc x ∈m⋃i=1

m⋃j=1

(Ai ∩Bj).

70


(2). Niech x ∈m⋃i=1

m⋃j=1

(Ai ∩ Bj). Wówczas istnieje i1 ¬ n takie, że x ∈m⋃j=1

(Ai1 ∩ Bj). Następnie istnieje

j2 ¬ m takie, że x ∈ Ai1 ∩ Bj2 . Czyli x ∈ Ai1 i x ∈ Bj2 . Z pierwszego należenia mamy, że x ∈n⋃i=1

Ai, a z

drugiego – x ∈m⋃i=1

Bi. Czyli x ∈n⋃i=1

Ai ∩m⋃i=1

Bi. �

Zadanie 3. Czy prawdziwa jest równości⋂i∈I

(Ai ∪Bi) =⋂i∈I

Ai ∪⋂i∈I

Bi.

Rozwiązanie. Pokażemy, że równość ta nie jest prawdziwa. Żeby to wykazać musimy znaleźć przykładyzbiorów dla których nie ma powyższej równości. Niech I = {1, 2}. Niech A1 = [1, 4), A2 = [4, 8] orazB1 = [4, 8] i B2 = [1, 4).

Wówczas ⋂i∈I

(Ai ∪Bi) =2⋂i=1

(Ai ∪Bi) = (A1 ∪B1) ∩ (A2 ∩B2) = [1, 8] ∩ [1, 8] = [1, 8].

Z drugiej strony,

⋂i∈I

Ai ∪⋂i∈I

Bi =2⋂i=1

Ai ∪2⋂i=1

Bi = (A1 ∩A2) ∪ (B1 ∩B2) = ∅ ∪ ∅ = ∅.

Widzimy więc, że2⋂i=1

(Ai ∪Bi) 6=2⋂i=1

Ai ∪2⋂i=1

Bi,

czyli równość ⋂i∈I

(Ai ∪Bi) =⋂i∈I

Ai ∪⋂i∈I

Bi

nie jest prawdziwa dla dowolnych zbiorów.�

Zadanie 4. Uzasadnić, że (⋃i∈I

Ai

)×

⋃j∈J

Bi

=⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ×Bj) .


1.

(⋃i∈I

Ai

)×

⋃j∈J

Bi

⊂ ⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ×Bj);

2.⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ×Bj) ⊂

(⋃i∈I

Ai

)×

⋃j∈J

Bi

.

(1). Niech (x, y) ∈

(⋃i∈I

Ai

)×

⋃j∈J

Bi

. Wówczas x ∈⋃i∈I

Ai oraz y ∈⋃j∈J

Bi. Tak więc istnieje i1 ∈ I

takie, że x ∈ Ai1 oraz istnieje j1 ∈ J takie, że x ∈ Bj1 . Czyli (x, y) ∈ Ai1 × Bj1 . Tak więc (x, y) ∈⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ×Bj).

71


(2). Niech (x, y) ∈⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ×Bj). Wówczas istnieje i1 ∈ I takie, że (x, y) ∈⋃j∈J (Ai1 ×Bj). Czyli

istnieje również j1 ∈ J takie, że (x, y) ∈ Ai1 × Bj1 . Tak więc x ∈ Ai1 i y ∈ Bj1 . Wówczas x ∈⋃i∈I

Ai i

y ∈⋃j∈J

Bj . Czyli (x, y) ∈

(⋃i∈I

Ai

)×

⋃j∈J

Bi

. �

Zadanie 5. Niech A,B bedą dowolnymi rodzinami zbiorów. Pokazać, że⋃(A ∪ B) =

(⋃A)∪(⋃B).


1.⋃

(A ∪ B) ⊂(⋃A)∪(⋃B)

;

2.(⋃A)∪(⋃B)⊂⋃

(A ∪ B).

(1). Niech x ∈⋃

(A ∪ B). Wówczas istnieje zbiór Z ∈ A ∪ B takie, że x ∈ Z. Ponieważ Z ∈ A ∪ B więc

Z ∈ A lub Z ∈ B. W pierwszym przypadku x ∈⋃A, a w drugim – x ∈

⋃B. Czyli x ∈

(⋃A)∪(⋃B)

.

(2). Niech x ∈(⋃A)∪(⋃B)

. Wówczas x ∈⋃A lub x ∈

⋃B. W pierwszym przypadku istnieje zbiór

A ∈ A taki, że x ∈ A, a w drugim – istnieje zbiór B ∈ B taki, że x ∈ B. Czyli istniej Z ∈ A ∪ B taki, żex ∈ Z (Z = A lub Z = B). Tak więc x ∈

⋃(A ∪ B). �

Zadanie domowe

Zadanie 1 (Prawo de Morgana). Uzasadnić, że

(⋂i∈I

Ai

)′=⋃i∈I

A′i.

Zadanie 2. Uzasadnić następującą równość

n⋃i=1

Ai =n⋃i=2

(Ai \Ai−1) ∪ (A1 \An) ∪ (A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An).

Zadanie 3. Sprawdzić prawdziwość podanych równości

1.⋃i∈I

(Ai ∪Bi) =⋃i∈I

Ai ∪⋃i∈I

Bi;

2.⋂i∈I

(Ai ∩Bi) =⋂i∈I

Ai ∩⋂i∈I

Bi;

3.⋃i∈I

(Ai ∩B) =⋃i∈I

Ai ∩B;

4.⋂i∈I

(Ai ∪B) =⋂i∈I

Ai ∪B;

5.⋃i∈I

⋃j∈J

Ai,j =⋃j∈J

⋃i∈I

Ai,j ;

6.⋂i∈I

⋂j∈J

Ai,j =⋂j∈J

⋂i∈I

Ai,j ;

7.⋃i∈I

⋃j∈J

(Ai ∩Bj) =⋃i∈I

Ai ∩⋃j∈J

Bj ;

72


8.⋂i∈I

⋂j∈J

(Ai ∪Bj) =⋂i∈I

Ai ∪⋂j∈J

Bj .

Zadanie 4. Czy prawdziwa jest równości⋃i∈I

Ai ∩⋃i∈I

Bi =⋃i∈I

(Ai ∩Bi)?

Zadanie 5. Uzasadnić, że (⋂i∈I

Ai

)×

⋂j∈J

Bi

=⋂i∈I

⋂j∈J

(Ai ×Bj) .

Zadanie 6. Niech A,B bedą dowolnymi rodzinami zbiorów. Czy prawdziwa jest równość⋃(A ∩ B) =

(⋃A)∩(⋃B)

?


Odp. 4. Nie.Odp. 6. Nie.

73

6 MOCE ZBIORÓW

6 Moce zbiorów

6.1 Równoliczność zbiorów

Dwa zbiory A i B są równoliczne, gdy istnieje bijekcja f : A→ B (tzn. funkcja f : A→ B jest różnowarto-ściowa i „na”).

Zadanie 1. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych są równoliczne.

Rozwiązanie. Niech P = {0, 2, 4, . . . } oznacza zbiór liczb parzystych. Zgodnie z definicją musimy znaleźćbijekcję f : N→ P . Definiujemy funkcję f : N→ P wzorem f(n) = 2n. Wówczas funkcja f jest różnowarto-ściowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i P są równoliczne. �

Zadanie 2. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są równoliczne.

Rozwiązanie. Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N→ Z. Definiujemy funkcję f : N→ Z wzorem

f(n) =

{n2 gdy n jest liczbą parzystą,−n+12 gdy n jest liczbą nieparzystą.

Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i Z są równoliczne. �

Zadanie 3. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych N i zbiór N ∪ {√

2} są równoliczne.

Rozwiązanie. Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N → N ∪ {√

2}. Definiujemy funkcję f : N →N ∪ {

√2} wzorem

f(n) =

{√2 gdy n = 0,

n− 1 gdy n 1.

Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i N ∪ {√

2} są równoliczne. �

Zadanie 4. Pokazać, że zbiór liczb naturalnych N i zbiór N \ {2010} są równoliczne.

Rozwiązanie. Zgodnie z definicją musimy znaleźć bijekcję f : N→ N \ {2010}. Definiujemy funkcję f : N→N \ {2010} wzorem

f(n) =

{n gdy n < 2010,n+ 1 gdy n 2010.

Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory N i N \ {2010} są równoliczne. �

Zadanie 5. Pokazać, że zbiory (0, 1) i R są równoliczne.

Rozwiązanie. Wiemy, że funkcja tangens tg :(−π2 ,

π2

)→ R jest różnowartościowa (na odcinku

(−π2 ,

π2

)oraz

„na”). Wykorzystując funkcję tangens znajdziemy funkcję dającą równoliczność zbiorów z naszego zadania.Defniujemy funkcję f : (0, 1) → R wzorem f(x) = tg

(π(x− 12 )

). Wówczas dom(f) = (0, 1), ran(f) = R i

funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (0, 1) i R są równoliczne. �

Zadanie 6. Pokazać, że zbiory (4, 5) i (7, 13) są równoliczne.

Rozwiązanie. Funkcją ustalającą równoliczność między odcinkami (4, 5) i (7, 13) będzie funkcja liniowa prze-chodząca przez punkty P = (4, 7) i K = (5, 13). Niech funkcja f : (4, 5) → (7, 13) będzie dana wzoremf(x) = 6x− 17. Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (4, 5) i (7, 13) sąrównoliczne. �

Zadanie 7. Pokazać, że zbiory (1, 3) i (1, 3) ∪ {4} są równoliczne.

Rozwiązanie. Funkcję ustalającą równoliczność naszych zbiorów otrzymamy modyfikując funkcję liniowąłączącą punkty P = (1, 1) i K = (3, 3). Niech f : (1, 3)→ (1, 3) ∪ {4} będzie dana wzorem

f(x) =

4 gdy x = 2,1 + 1

n gdy x = 1 + 1n+1 , n ∈ N i n 1,

x w przeciwnym przypadku.

74

6.1 Równoliczność zbiorów 6 MOCE ZBIORÓW

x

y

1 4332

2 3

1

32

2

3

4

y = x

Wówczas funkcja f jest różnowartościowa i „na” (dlaczego?), czyli zbiory (1, 3) i (1, 3)∪{4} są równoliczne.�

Zadanie domowe

Zadanie 1. Pokazać, że zbiory A i B są równoliczne, gdy

1. A = {0, 1, 2, 3}, B ={12 ,13 ,14 ,15

};

2. A = {x ∈ R : x2 − 3x+ 2 = 0}, B = {√

2, π};

3. A jest zbiorem liczb naturalnych parzystych, a B jest zbiorem liczb naturalnych nieparzystych;

4. A jest zbiorem liczb całkowitch, a B jest zbiorem liczb naturalnych parzystych;

5. A = N, B = N \ {2010, 2011, . . . , 2019};

6. A = N, B = N ∪ { 113 ,117};

7. A ={1

n+1 : n ∈ N}

i B ={1

n+1 : n ∈ N}∪ {−2, 3};

8. A = (1, 4), B = R;

9. A = (1, 2), B = (5, 6);

10. A = (1, 2), B = (7, 9);

11. A = [2, 4], B = [−1, 9];

12. A = [2, 4), B = [−5, 6);

13. A = [1, 5), B = (−3, 1];

14. A = (1, 2), B = (1, 2];

15. A = (1, 5), B = (1, 5) ∪ {6, 7, 8};

16. A = (0,+∞), B = (0,+∞) ∪ {−1,−2,−3, . . . };

17. A = (1, 20), B = (1, 20) \ {7, 8, 9};

75

6.1 Równoliczność zbiorów 6 MOCE ZBIORÓW


Odp. 1. Poniżej podane są przykładowe bijekcje ustalające równoliczność zbiorów A i B.

1. f(x) =

12 gdy x = 0,13 gdy x = 1,14 gdy x = 2,15 gdy x = 3.

2. f(x) =

{√2 gdy x = 1,

π gdy x = 2.

3. f(n) = n+ 1.

4. f(x) =

{4x gdy x 0,−4x− 2 gdy x < 0.

5. f(n) =

{n gdy n < 2010,n+ 10 gdy n 2010.

6. f(n) =

113 gdy n = 0,117 gdy n = 1,n− 2 gdy n 2.

7. f(x) =

−2 gdy x = 1,3 gdy x = 1

2 ,1

n−1 gdy x = 1n+1 i n 2.

8. f(x) = tg(π3 (x− 52 )

).

9. f(x) = x+ 4.

10. f(x) = 2x+ 5.

11. f(x) = 5x− 11.

12. f(x) = 112 x− 16.

13. f(x) = −x+ 2.

14. f(x) =

2 gdy x = 3

2 ,

1 + 1n+1 gdy x = 1 + 1

n+2 , n ∈ N i n 1,x w przeciwnym przypadku.

15. f(x) =

6 gdy x = 2,1 + 1

n gdy x = 1 + 1n+1 , n ∈ N i n 1,

7 gdy x = 3,2 + 1

n gdy x = 2 + 1n+1 , n ∈ N i n 1,

8 gdy x = 4,3 + 1

n gdy x = 3 + 1n+1 , n ∈ N i n 1,


16. f(x) =

−n gdy x = n, n ∈ N i n 1,(n− 1) + 1

k gdy x = (n− 1) + 1k+1 , n, k ∈ N i n, k 1,


76

6.2 Zbiory przeliczalne 6 MOCE ZBIORÓW

17. f(x) =

6 + 1

n+2 gdy x = 6 + 1n+1 i n ∈ N,

7 + 1n+2 gdy x = 7 + 1

n+1 i n ∈ N,8 + 1

n+2 gdy x = 8 + 1n+1 i n ∈ N,


6.2 Zbiory przeliczalne

Mówimy, że zbiór A jest przeliczalny, gdy jest skończony lub równoliczny ze zbiorem N wszystkich liczbnaturalnych.

Zadanie 1. Zbiór Z wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Zbiór Z nie jest skończony, więc żeby udowodnić, że jest on przeliczalny musimy pokazać, żejest on równoliczny ze zbiorem N wszystkich liczb naturalnych. Niech funkcja f : Z→ N będzie dana wzorem

f(x) =

{2x gdy x 0;−(2x+ 1) gdy x < 0.

Wówczas f jest bijekcją (dlaczego?), więc zbiory Z i N są równoliczne. �Poniżej będziemy podawali twierdzenia wykorzystywane przy pokazywaniu, że dany zbiór jest przeliczal-

ny. Po każdym twierdzeniu będzie zadanie ilustrujące jego zastosowanie.

Twierdzenie 6.1. Dowolny podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny (tzn. jeżeli A jest zbiorem prze-liczalnym i B ⊂ A, to B też jest zbiorem przeliczalnym).

Zadanie 2. Zbiór parzystych liczb całkowitych jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Ponieważ wiemy, że zbiór wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny, więc zbiór parzystychliczb całkowitych też jest przeliczalny (jako podzbiór zbioru przeliczalnego). �

Twierdzenie 6.2. Zbiór równoliczny ze zbiorem przeliczalnym jest zbiorem przeliczalnym.

Zadanie 3. Pokazać, że zbiór A = { 3√x : x ∈ Z} jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Wcześniej pokazaliśmy, że zbiór Z wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny. Tak więc namocy powyższego twierdzenia wystarczy pokazać, że zbiór A jest równoliczny ze zbiorem Z. Niech f : Z→ Abędzie dana wzorem f(x) = 3

√x. Wówczas f jest bijekcją (dlaczego?), więc zbiory A i Z są równoliczne. �

Twierdzenie 6.3. Zbiór Q wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny.

Twierdzenie 6.4. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Jeżeli istnieje funkcja różnowartościowa f : B →A, to zbiór B również jest przeliczalny.

Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina parami rozłącznych przedziałów otwartych w R jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Niech P będzie rodziną parami rozłącznych przedziałów otwartych w R. Pokażemy, że istnie-je funkcja różnowartościowa f : P → Q, co na mocy Twierdzenia 6.4 będzie oznaczało, że zbiór P jestprzeliczalny.

Dla dowolnego przedziału (a, b) ∈ P oznaczmy przez qa,b liczbę wymierną taką, że a < qa,b < b (korzy-stamy tutaj z twierdzenia mówiącego, że pomiędzy dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczbawymierna).

Teraz definiujemy funkcję f : P → Q wzorem f((a, b)) = qa,b.Musimy jeszcze pokazać, że funkcja f jest różnowartościowa. Niech (a, b), (c, d) ∈ P będą dwoma przedzia-

łami należącymi do rodziny P. Ponieważ wiemy, że rodzina P składa się z przedziałów parami rozłącznych,więc (a, b)∩ (c, d) = ∅. Z drugiej strony, qa,b ∈ (a, b) i qc,d ∈ (c, d), czyli qa,b 6= qc,d, czyli f((a, b)) 6= f((c, d)).�

Twierdzenie 6.5. Jeżeli zbiory A i B są przeliczalne, to zbiór A×B też jest przeliczalny.

77

6.2 Zbiory przeliczalne 6 MOCE ZBIORÓW

Jako wniosek otrzymujemy, że np. zbiory N× N, Z× Z i Q×Q są przeliczalne.

Zadanie 5. Pokazać, że zbiór Q×Q×Q+ jest przeliczalny (Q+ – oznacza zbiór dodatnich liczb wymiernych).

Rozwiązanie. Niech A = Q×Q i B = Q+. Wówczas A jest zbiorem przeliczalnym (jako iloczyn kartezjańskidwóch zbiorów przeliczalnych). Również zbiór B jest przeliczalny (jako podzbiór zbioru przeliczalnego).

Tak więc zbiór A × B jest przeliczalny (jako iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych). AleA×B = Q×Q×Q+. �

Twierdzenie 6.6. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Jeżeli istnieje funkcja „na” f : A → B, to zbiórB również jest przeliczalny.

Zadanie 6. Udowodnij, że zbiór wszystkich kół otwartych w R2, które mają wymierne promienie i środkiw punktach o obu współrzędnych wymiernych jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Niech K oznacza rodzinę wszystkich kół otwartych w R2, które mają wymierne promienie iśrodki w punktach o obu współrzędnych wymiernych. Przez K((a, b), r) będziemy oznaczać koło o środku wpunkcie (a, b) i promieniu długości r.

Definiujemy funkcję f : Q×Q×Q+ → O wzorem f(p, q, r) = K((p, q), r). Wówczas funkcja f jest „na”(dlaczego?). Ponieważ zbiór Q×Q×Q+ jest przeliczalny, więc również zbiór K jest przeliczalny. �

Twierdzenie 6.7. Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym (tzn. je-żeli zbiór T jest przeliczalny i dla każdego t ∈ T zbiór At jest przeliczalny, to suma

⋃t∈T

At jest zbiorem

przeliczalnym).

Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór{x ∈ R : ∃

a∈Q\{0}∃

b,c∈Qax2 + bx+ c = 0

}jest przeliczalny.

Rozwiązanie. Niech T = (Q \ {0})×Q×Q. Dla każdego (a, b, c) ∈ T oznaczmy

Aa,b,c ={x ∈ R : ax2 + bx+ c = 0

}.

Wówczas mamy trzy przypadki.

1. Jeżeli b2 − 4ac < 0, to Aa,b,c = ∅.

2. Jeżeli b2 − 4ac = 0, to Aa,b,c ={−b2a

}.

3. Jeżeli b2 − 4ac > 0, to Aa,b,c ={−b−

√b2−4ac2a , −b+

√b2−4ac2a

}.

Widzimy więc, że w dla każdego (a, b, c) ∈ T zbiór Aa,b,c jest przeliczalny. Ponadto, zbiór T również jestprzeliczalny. Tak więc suma

⋃(a,b,c)∈T

Aa,b,c też jest zbiorem przeliczalnym.

Ale, z drugiej strony,{x ∈ R : ∃

a∈Q\{0}∃

b,c∈Qax2 + bx+ c = 0

}=

⋃(a,b,c)∈T

Aa,b,c.

�

Zadanie domowe

Zadanie 1. Pokazać, że następujący zbiór jest przeliczalny:

1.{x ∈ N : x2 > 100

};

2. N ∪{113 ,

117

};

3.{1

n+1 : n ∈ Z}

;

78

6.3 Zbiory mocy continuum 6 MOCE ZBIORÓW

4.{k2 + 2k : k ∈ Q

};

5.{x ∈ R : x2 − 3x+ 2 = 0

};

6. {x ∈ R : cosx ∈ Q}.

Zadanie 2. Pokazać, że zbiór wszystkich macierzy 2× 2 o wyrazach wymiernych jest przeliczalny.

Zadanie 3. Pokazać, że zbiór rozłącznych kół na płaszczyźnie jest przeliczalny.

Zadanie 4. Pokazać, że zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o pierwszej współrzędnej całkowitej a drugiejwymiernej jest przeliczalny.

Zadanie 5. Pokazać, że zbiór wszystkich odcinków na prostej o obu końcach wymiernych jest przeliczalny.

Zadanie 6. Pokazać, że zbiór wszystkich kul w przestrzeni, które mają wymierny promień i środek w punkcieo wszystkich współrzędnych wymiernych jest przeliczalny.

6.3 Zbiory mocy continuum

Mówimy że zbiór A jest mocy continuum (mocy c), gdy jest równoliczny ze zbiorem R wszystkich liczbrzeczywistych.

Zadanie 1. Pokazać, że odcinek(−π2 ,

π2

)jest mocy c.

Rozwiązanie. Niech f(x) = tg x dla x ∈(−π2 ,

π2

). Wówczas funkcja f jest bijekcją ustalającą równoliczność

między odcinkiem(−π2 ,

π2

)a zbiorem R. �

Zadanie 2. Pokazać, że odcinek (0, 1) jest mocy c.

Rozwiązanie. Niech f(x) = tg(π(x− 12

))dla x ∈ (0, 1). Wówczas funkcja f jest bijekcją ustalającą równo-

liczność między odcinkiem (0, 1) a zbiorem R. �

Twierdzenie 6.8. Jeżeli zbiór A jest równoliczny z B, a B jest równoliczby z C, to A jest równoliczny z C.

Zadanie 3. Pokazać, że odcinek (5, 8) jest mocy c.

Rozwiązanie. Niech f(x) = 3x + 5 dla x ∈ (0, 1). Wówczas f ustala równoliczność zbiorów (0, 1) i (5, 7). Zpoprzedniego zadania wiemy, że odcinek (0, 1) jest równoliczny z R. Czyli odcinek (5, 7) jest mocy c. �

Twierdzenie 6.9 (Cantor-Bernstein). Jeżeli A ⊂ B ⊂ C oraz zbiory A i C są równoliczne, to również zbiórB jest równoliczny z A i C.

Zadanie 4. Pokazać, że odcinek [6, 7] jest mocy continuum.

Rozwiązanie. Ponieważ (5, 8) ⊂ [6, 7] ⊂ R oraz pokazaliśmy, że zbiór (5, 8) jest równoliczny z R, więc [6, 7]również jest równoliczny z R, czyli jest mocy c. �

Twierdzenie 6.10. Jeżeli zbiór A jest mocy c oraz zbiór B jest przeliczalny, to różnica A \B jest zbioremmocy c.

Zadanie 5. Pokazać, że zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest mocy continuum.

Rozwiązanie. Wiemy, że zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny, czyli zbiór wszystkich liczbniewymiernych R \Q jest mocy continuum. �

Twierdzenie 6.11. Jeżeli zbiory A i B są mocy c, to iloczyn kartezjański A×B również jest mocy c.

Zadanie 6. Udowodnij, że zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie jest mocy continuum.

Rozwiązanie. Niech A będzie rodziną wszystkich okręgów na płaszczyźnie. Definiujemy funkcję f : A →(0,∞)×R×R wzorem f(A) = (r, x, y), gdzie r jest promieniem okręgu A, a (x, y) - współrzędnymi środkaokręgu A.

Wówczas funkcja f ustala równoliczność między zbiorem A a (0,∞)× R× R.Z drugiej strony, zbiory R i (0,∞) są mocy continuum, czyli (0,∞) × R też jest mocy continuum, czyli

(0,∞)× R× R też jest mocy continuum. �

79


Zadanie domowe

Zadanie 1. Pokazać, że następujące zbiory są mocy continuum:

1. (2, 5),

2. (−3, 2 12 ),

3. (π, 3π),

4. (a, b), gdzie a < b,

5. [3, 8],

6. [a, b], gdzie a < b,

7. [−2, 5),

8. (1, 7],

9. (a, b],

10. [a, b).

Zadanie 2. Pokazać, że następujące zbiory są mocy continuum:

1. (0, 1) ∪ {2, 3, 4},

2. R \{1

n+1 : n ∈ N}

,

3.{x ∈ R : x < 0 lub x2 ∈ Q

}.

Zadanie 3. Udowodnij, że zbiór wszystkich trójkątów w R2 jest mocy continuum.

Zadanie 4. Udowodnij, że dowolny okrąg (o dodatnim promieniu) jest mocy continuum.

Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich prostych w R2 jest mocy continuum.

Zadanie 6. Udowodnij, że dowolne koło (o dodatnim promieniu) jest mocy continuum.

Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór wszystkich kwadratów w R2 jest mocy continuum.

80


Sprawdzian

Grupa 1

Zadanie 1. Znajdź⋃t∈R

At i⋂t∈R

At, gdy At = {x ∈ R : x2 + (2− t)x− 2t = 0}.

Zadanie 2. Niech A = N i B = N \ {13, 14, . . . , 22}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (7, 8) i B = (7, 8) ∪ N. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub zB na A.

Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór wszystkich przedziałów otwartych w R o obu końcach wymiernych jestprzeliczalny.

Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich okręgów w R2 jest mocy continuum.

Grupa 2

Zadanie 1. Znajdź∞⋃n=1

An i∞⋂n=1

An, gdy An = {x ∈ R : 1n ¬ x ¬ n}.

Zadanie 2. Niech A ={1

n+1 : n ∈ N}

i B ={1

n+1 : n ∈ N}∪ {−4, 5}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (2, 5) i B = (2, 5]. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z B naA.



Grupa 3


At i⋂t∈R

At, gdy At = {x ∈ R : x2 + (2− t2)x− 2t2 = 0}.

Zadanie 2. Niech A = N i B = N ∪ { 113 ,117}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (3, 7) i B = (3, 7]. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub z B naA.

Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina rozłączna złożona z przedziałów otwartych w R jest przeliczalny.


Grupa 4


An i∞⋂n=1

An, gdy An = {x ∈ R : n2 < x < n+ 100}.

Zadanie 2. Niech A = N i B = N \ {11, 12, . . . , 20}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (3, 7) i B = (3, 7) ∪ {7, 8, 9}. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na Blub z B na A.

Zadanie 4. Udowodnij, że dowolna rodzina rozłączna złożona z kół otwartych w R2 jest przeliczalny.

Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich prostych w R2 jest mocy continuum.

81


Grupa 5


An i∞⋂n=1

An, gdy An = {x ∈ R : 1n ¬ x ¬ n}.

Zadanie 2. Niech A ={1

n+1 : n ∈ N}

i B ={1

n+1 : n ∈ N}∪ {−2, 3}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (4, 9) i B = (4, 9) ∪ {9, 10, 11}. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A naB lub z B na A.

Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór {x ∈ R : ∃p, q ∈ Q (x2 + px+ q = 0)} jest przeliczalny.


Grupa 6


At i⋂t∈R

At, gdy At = {x ∈ R : |x− 5| < sin t+ 2}.

Zadanie 2. Niech A = N i B = N ∪ { 111 ,119}. Znajdź bijekcję z A na B.

Zadanie 3. Niech A = (4, 5) i B = (4, 5) ∪ N. Udowodnij, że |A| = |B|, znajdując bijekcję z A na B lub zB na A.

Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór {x ∈ R : sinx ∈ Q} jest przeliczalny.

Zadanie 5. Udowodnij, że zbiór wszystkich kwadratów w R2 jest mocy continuum.

82

7 RELACJE

7 Relacje

7.1 Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B jest to zbiór wszystkich par 〈a, b〉 takich, że a ∈ A oraz b ∈ B. Iloczynkartezjański zbiorów A i B oznaczamy symbolem A×B.

Zadanie 1. Znaleźć iloczyn A×B i B ×A jeżeli A = {0, 1}, B = {1, 2}.

Rozwiązanie. W zbiorze A×B znajdują się wszystkie pary o pierwszym elemencie 0 lub 1, a drugim elemencie1 lub 2, czyli

A×B = {〈0, 1〉, 〈0, 2〉, 〈1, 1〉, 〈1, 2〉}.�

Zadanie 2. Znaleźć elementy zbioru (B × A) \ (A × B) wiedząc, że A = {k ∈ Z : k ∈ [−1, 3]} iB = {k ∈ Z : k ∈ [1, 4]}.

Rozwiązanie. Zbiory B×A i A×B zostały przedstawione na rysunku (elementy zbioru B×A oznaczone sąsymbolem „◦”, elementy zbioru A×B oznaczone są symbolem „•”):

−1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2

3

4

Z rysunku odczytujemy, że elementy zbioru (B×A)\(A×B) to 〈1,−1〉, 〈2,−1〉, 〈3,−1〉, 〈4,−1〉, 〈1, 0〉, 〈2, 0〉, 〈3, 0〉, 〈4, 0〉oraz 〈4, 1〉, 〈4, 2〉, 〈4, 3〉, czyli

(B ×A) \ (A×B) = (B × {−1, 0}) ∪ ({4} ×A).

�

Zadanie 3. Uzasadnić, że jeżeli A×B = B ×A, to albo A = ∅, albo A = B, albo B = ∅.

Rozwiązanie. Jeżeli jeden ze zbiorów A,B jest pusty, to rzeczywiście A×B = ∅ = B×A. Pozostaje rozważyćprzypadek, gdy oba zbiory A i B są niepuste.

Pokażemy, że A ⊂ B. Weźmy dowolny a ∈ A. Ponieważ B 6= ∅, więc istnieje jakiś b ∈ B. Wtedy para〈a, b〉 ∈ A×B. Ponieważ A×B = B×A, czyli również para 〈a, b〉 ∈ B×A. Z definicji iloczynu kartezjańskiegoB ×A wynika, że a ∈ B. Stąd A ⊂ B.

W analogiczny sposób możemy pokazać, że B ⊂ A. Stąd A = B. �

Zadanie 4. Obliczyć A× (B × C), (A×B)× C, A×B × C dla A = {0, 1}, B = {1}, C = {2, 3}.

Rozwiązanie. Zbiór A× (B×C) jest to zbiór składający się z par, których pierwszy element należy do zbioruA, a drugi element jest parą ze zbioru B × C.

A× (B × C) = {〈0, 〈1, 2〉〉, 〈0, 〈1, 3〉〉, 〈1, 〈1, 2〉〉, 〈1, 〈1, 3〉〉} .

Zbiór (A × B) × C jest to zbiór składający się z par, których pierwszy element jest parą należącą dozbioru A×B, a drugi element należy do zbioru C.

(A×B)× C = {〈〈0, 1〉, 2〉, 〈〈0, 1〉, 3〉, 〈〈1, 1〉, 2〉, 〈〈1, 1〉, 3〉} .

83

7.1 Iloczyn kartezjański zbiorów 7 RELACJE

Zbiór A×B × C jest to zbiór trójek.

A×B × C = {〈0, 1, 2〉, 〈0, 1, 3〉, 〈1, 1, 2〉, 〈1, 1, 3〉} .

�

Zadanie 5.

Czy prawdziwe są równości

1. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C);

2. A ∩ (B × C) = (A ∩B)× (A ∩ C)?

Rozwiązanie. Pierwsza równość jest prawdziwa. Aby to uzasadnić posłużymy się metodą sprawdzania, żedowolny element (para!) należy do zbioru po lewej stronie równości wtedy i tylko wtedy, gdy należy dozbioru po prawej stronie równości.

Zauważmy, że:〈x, y〉 ∈ A× (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪ C ⇐⇒

⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C) ⇐⇒ ⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ⇐⇒

⇐⇒ 〈x, y〉 ∈ A×B ∨ 〈x, y〉 ∈ A× C ⇐⇒ 〈x, y〉 ∈ (A×B) ∪ (A× C).

�

Zadanie domowe

Zadanie 1. Znaleźć iloczyny A×B i B ×A jeżeli

1. A = ∅, B = {1, 2, 3};

2. A = {∅}, B = {1, 2};

3. A = {2, 3}, B = {1, 2};

4. A = {1, 2}, B = {2, 3}.

Zadanie 2. Czy para 〈√

2, 12 〉 należy do zbioru A×B, B ×A, jeżeli

1. A = {x ∈ R : 1 < x < 2}, B = {x ∈ R : 0 < x < 1};

2. A = {x ∈ N : 0 < x}, B = {y ∈ N : 0 < y};

3. A = {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x < 3}, B = {x ∈ R : 1 < x ¬ 2 ∨ 3 < x ¬ 4}.

Zadanie 3. Ile elementów ma iloczyn kartezjański dwóch zbiorów, z których pierwszy ma n elementów, adrugi ma m elementów.

Zadanie 4. Czy prawdziwe są równości

1. A ∪ (B × C) = (A ∪B)× (A ∪ C);

2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

84

7.2 Własności relacji 7 RELACJE


Odp. 1.

1. A×B = B ×A = ∅;

2. A×B = {〈∅, 1〉, 〈∅, 2〉} oraz B ×A = {〈1, ∅〉, 〈2, ∅〉};

3. A×B = {〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉} oraz B ×A = {〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉};

4. A×B = {〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈2, 2〉, 〈2, 3〉} oraz B ×A = {〈2, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉}.

Odp. 2.

1. 〈√

2, 12 〉 ∈ A×B oraz 〈√

2, 12 〉 /∈ B ×A;

2. 〈√

2, 12 〉 ∈ A×B = B ×A;

3. 〈√

2, 12 〉 /∈ A×B oraz 〈√

2, 12 〉 ∈ B ×A.

Odp. 3. Iloczyn kartezjański zbiorów o n i m elementach ma n ·m elementów.Odp. 4.

1. Nie.

2. Tak.

7.2 Własności relacji

Relacją określoną na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X×X. Inaczej pisząc,relacja jest to zbiór par, których pierwszy i drugi element należą do zbioru X. Jeżeli R jest relacją na zbiorzeX, to fakt, że para 〈x, y〉 jest elementem relacji R oznaczamy: 〈x, y〉 ∈ R, lub xRy. Mówimy wówczas, żeelementy x i y są ze sobą w relacji. Do zapisu faktu, że R jest relacją na X będziemy również używać notacjiR ⊂ X ×X (lub R ⊂ X2).

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest zwrotna jeżeli

∀x∈XxRx.

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest przechodnia jeżeli

∀x,y,z∈X((xRy ∧ yRz) =⇒ xRz).

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest symetryczna jeżeli

∀x,y∈X(xRy =⇒ yRx).

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest antysymetryczna jeżeli

∀x,y∈X(xRy =⇒ ¬yRx).

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest słabo antysymetryczna jeżeli

∀x,y∈X((xRy ∧ yRx) =⇒ x = y).

Mówimy, że relacja R określona na zbiorze X jest spójna jeżeli

∀x,y∈X(xRy ∨ yRx).

Zadanie 1. Ile różnych relacji można określić na zbiorze X wiedząc, że zbiór X jest

1. jednoelementowy;

85


2. dwuelementowy;

3. trzyelementowy;

4. czteroelementowy;

5. pięcioelementowy.

Rozwiązanie. Relacją jest dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X×X. Jeżeli zbiór X ma n elementów,to zbiór X×X ma n ·n elementów. Podzbiorów zbioru n ·n-elementowego jest 2n·n, czyli relacji na podanychzbiorach jest:

1. 21·1 = 2;

2. 22·2 = 16;

3. 23·3 = 512.

4. 24·4 = 65536.

5. 25·5 = 33554432.

�

Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R ⊂ N× N określona wzorem

〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ x|y

jest

1. zwrotna;

2. przechodnia;

3. symetryczna;

4. antysymetryczna;

5. słabo antysymetryczna;

6. spójna.

Rozwiązanie. Aby sprawdzić zwrotność relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnego x ∈ N para < x, x >należy do zbioru R. Z definicji relacji wynika, że < x, x >∈ R gdy x|x (tj. x jest podzielne przez x, co jestprawdą dla każdego x naturalnego). Czyli R jest zwrotna.

Aby sprawdzić przechodniość relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnych x, y, z naturalnych, jeżelixRy i yRz, to xRz. Po skorzystaniu z definicji relacji R, warunek który musimy sprawdzić przyjmuje postać:

czy, jeżeli x|y oraz y|z, to x|z?

Ponieważ odpowiedź na powyższe pytanie jest twierdząca (jest to znana z kursu szkolnego własność liczbnaturalnych: jeżeli y = kx i z = ly dla pewnych k, l ∈ N, to z = klx, czyli z jest podzielne przez x), więcrelacja R jest przechodnia.

Aby sprawdzić symetrię relacji R musimy sprawdzić, czy jeżeli xRy, to yRx. W języku „podzielności”oznacza to, że musimy sprawdzić, czy jeżeli x|y, to y|x. Nie jest to prawdą, jako przykład można podać liczbyx = 1 i y = 2. Relacja R nie jest więc symetryczna.

Aby sprawdzić antysymetrię relacji R sprawdzamy, czy z tego, że x|y wynika, że y 6 |x. Nie jest to prawda,jako przykład można podać liczby naturalne x = 2 i y = 2. Relacja R nie jest więc antysymetryczna.

Aby sprawdzić słabą antysymetrię relacji R sprawdzamy, czy z tego, że x|y i y|x wynika, że x = y.Zauważmy, że jeżeli y = kx i x = ly dla pewnych k, l ∈ N, to (podstawiając y z pierwszego wzoru do drugiejrówności) x = klx, czyli kl = 1. Jedyne liczby naturalne spełniające to równanie, to k = l = 1, czyli x = y.Relacje R jest więc słabo antysymetryczna.

Aby sprawdzić spójność relacji R musimy sprawdzić, czy dla dowolnej pary liczb x, y ∈ N zachodziprzynajmniej jedna z relacji: x|y lub y|x. Nie jest to prawda, jako przykład można podać liczby naturalnex = 2 i y = 3. Relacja R nie jest spójna. �

86


Zadanie 3. Zbadać, czy relacja R ⊂ R× R określona wzorem

〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ |x− y| > 2010

jest

1. zwrotna;

2. przechodnia;

3. symetryczna;

4. antysymetryczna;

5. słabo antysymetryczna;

6. spójna.

Rozwiązanie. Relacja R nie jest zwrotna. Jako przykład możemy wziąć dowolną liczbę rzeczywistą x.Relacja R nie jest przechodnia. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011 i z = 0.Relacja R jest symetryczna. Jeżeli |x− y| > 2010, to |y − x| = |x− y| > 2010.Relacja R nie jest antysymetryczna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011. (Ogólnie:

niepusta relacja R jeżeli jest symetryczna, to nie może być antysymetryczna).Relacja R nie jest słabo antysymetryczna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = 0, y = 2011. (Ogólnie:

niepusta relacja R jeżeli jest symetryczna i zawiera chociaż jeden element 〈x, y〉 taki, że x 6= y, to nie możebyć słabo antysymetryczna).

Relacja R nie jest spójna. Jako przykład możemy wziąć liczby x = y = 0. (Ogólnie: relacja spójna musibyć zwrotna). �

Zadanie 4. Narysować relację R określoną na zbiorze N następująco:

xRy ⇐⇒ 3|(x− y).

Rozwiązanie. Relacja R jest to zbiór opisany następująco:

R = {〈x, y〉 ∈ N× N : 3|(x− y)} .

Elementy relacji R oznaczone są na rysunku symbolem „•”:

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (tj. rysunek zawiera przekątną), symetryczna(tj. rysunek jest symetryczny względem przekątnej). �

Zadanie 5. Czy suma relacji zwrotnych jest zwrotna?

Rozwiązanie. Tak. Niech R1, R2 będą zwrotnymi relacjami na X. Jeżeli x ∈ X, to xR1x (ze zwrotności R1),czyli 〈x, x〉 ∈ R1. Stąd wynika, że 〈x, x〉 ∈ R1 ∪R2, więc R1 ∪R2 również jest zwrotna. �

87


Zadanie 6. Czy przekrój relacji spójnych jest spójny?

Rozwiązanie. Nie. Jako przykład weźmy relacje R1, R2 określone na zbiorze liczb naturalnych N następująco:

aR1b ⇐⇒ a ¬ b oraz aR2b ⇐⇒ a b.

Relacje R1 i R2 są spójne (sprawdzić!). Relacja R1 ∩R2 jest to zbiór tych par 〈a, b〉, że aR1b i aR2b, tj.

R1 ∩R2 = {〈a, b〉 ∈ N× N | a ¬ b ∧ a b} = {〈a, b〉 ∈ N× N | a = b} ,

czyli relacja R1 ∩R2 jest to relacja równości („=”). Relacja ta nie jest spójna (sprawdzić!) �

Zadanie domowe


〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ |x− y| > 0

ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności.

Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R ⊂ Z× Z określona wzorem

〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ x = 2010 ∨ y = 2010

ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności. Które zwłasności relacji R uległyby zmianie, gdyby funktor logiczny „∨” w definicji relacji zastąpić funktorem „∧”?


〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ |x| |y|

ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności. Które zwłasności relacji R uległyby zmianie, gdyby zbiór „R× R” w definicji relacji zastąpić zbiorem „N× N”?


〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ x · y = 2010

ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności.


〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ 2010|(x+ y)

ma własność: zwrotności, przechodniości, symetrii, antysymetrii, słabej antysymetrii, spójności. Które zwłasności relacji R uległyby zmianie, gdyby liczbę „2010” w definicji relacji zastąpić liczbą „2”?

Zadanie 6. Narysować relacje R1, R2, R3 i R4 jeżeli

1. R1 jest określona na zbiorze N \ {0} w taki sposób, że xR1y ⇐⇒ x|y;

2. R2 jest określona na zbiorze N w taki sposób, że xR2y ⇐⇒ x+ y = 3;

3. R3 jest określona na zbiorze R w taki sposób, że xR3y ⇐⇒ |x− y| > 0;

4. R4 jest określona na zbiorze R w taki sposób, że xR4y ⇐⇒ x2 y2.

Zadanie 7. Czy przekrój relacji zwrotnych jest zwrotny?

Zadanie 8. Czy suma relacji spójnych jest spójna?

Zadanie 9. Czy suma relacji symetrycznych jest symetryczna?

Zadanie 10. Czy przekrój relacji symetrycznych jest symetryczny?

Zadanie 11. Czy suma relacji antysymetrycznych jest antysymetryczna?

Zadanie 12. Czy przekrój relacji antysymetrycznych jest antysymetryczny?

Zadanie 13. Czy relacja zwrotna może być antysymetryczna?

88



Odp. 1. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spój-ność: nie.Odp. 2. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spój-ność: nie. Po zamianie „∨” na „∧” relacja staje się przechodnia.Odp. 3. Zwrotność: tak; przechodniość: tak; symetria: nie; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spój-ność: tak. Po zamianie „R2” na „N2” relacja staje się słabo antysymetryczna.Odp. 4. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spój-ność: nie.Odp. 5. Zwrotność: nie; przechodniość: nie; symetria: tak; antysymetria: nie; słaba antysymetria: nie; spój-ność: nie. Po zamianie „2010” na „2” relacja staje się zwrotna i przechodnia (jest to wówczas relacja, którąmożemy opisać słownie: „x i y są w relacji, gdy mają tą samą parzystość).Odp. 6. Relacja R1 jest to zbiór opisany następująco:

R1 = {〈x, y〉 ∈ (N \ {0})× (N \ {0}) : x|y} .

1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4

5

6

7

8

Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (R1 zawiera przekątną), słabo antysymetryczna(wynika to z tego, że wszystkie elementy relacji są na przekątnej lub powyżej niej).

Relacja R2 jest to zbiór opisany następująco:

R2 = {〈x, y〉 ∈ N× N : x+ y = 3} .

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest symetryczna (R2 jest symetryczna względem przekątnej),ale nie jest zwrotna (R2 nie zawiera przekątnej).

Relacja R3 jest to zbiór opisany następująco:

R3 = {〈x, y〉 ∈ R× R : |x− y| > 0} ,

lub, korzystając z własności wartości bezwzględnej,

R3 = {〈x, y〉 ∈ R× R : x 6= y} .

89

7.3 Relacje porządkujące 7 RELACJE

R3 jest to więc cała płaszczyzna bez przekątnej.Relacja R4 jest to zbiór opisany następująco:

R4 ={〈x, y〉 ∈ R× R : x2 y2

}.

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Z rysunku możemy odczytać, że badana relacja jest zwrotna (R4 zawiera przekątną).Odp. 7. Tak.Odp. 8. Tak.Odp. 9. Tak.Odp. 10. Tak.Odp. 11. Nie.Odp. 12. Tak.Odp. 13. Nie, o ile zbiór X jest niepusty. Załóżmy, że relacja R na zbiorze niepustym X jest zwrotna iantysymetryczna. Weźmy dowolny x ∈ X. Ze zwrotności relacji wynika, że xRx. Z antysymetrii R wynika,że jeżeli xRx, to ¬xRx, co jest sprzeczne ze zwrotnością R. Do tej sprzeczności doprowadziło nas fałszywezałożenie, że R jest jednocześnie spójna i antysymetryczna.

7.3 Relacje porządkujące

Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją porządku jeżeli R jest zwrotna, przechodnia i słaboantysymetryczna. Mówimy wówczas, że zbiór X jest uporządkowany przez relację R.

Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją liniowego porządku jeżeli R jest relacją porządkuoraz R jest spójna (tj. R jest zwrotna, przechodnia, słabo antysymetryczna i spójna). Mówimy wówczas, żezbiór X jest liniowo uporządkowany przez relację R.

Jeżeli R porządkuje zbiór X, to elementami wyróżnionymi relacji nazywamy

• elementy najmniejsze: a ∈ X jest elementem najmniejszym, jeżeli:

∀x∈X(aRx)

(element a jest mniejszy lub równy od dowolnego innego elementu x ∈ X);

• elementy minimalne: a ∈ X jest elementem minimalnym, jeżeli:

∀x∈X(xRa =⇒ x = a)

(element a nie jest większy od żadnego innego elementu x ∈ X);

• elementy największe: a ∈ X jest elementem największym, jeżeli:

∀x∈XxRa

(element a jest większy lub równy od dowolnego innego elementu x ∈ X);

• elementy maksymalne: a ∈ X jest elementem maksymalnym, jeżeli:

∀x∈X(aRx =⇒ x = a)

(element a nie jest mniejszy od żadnego innego elementu x ∈ X).

90


Zadanie 1. Niech relacja R ⊂ [0,+∞)× [0,+∞) będzie określona następująco

xRy ⇐⇒ x ¬ y.

Sprawdzić, że R jest relacją porządkującą [0,+∞). Znaleźć wszystkie elementy minimalne i maksymalne,najmniejsze oraz największe. Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?

Rozwiązanie. Najpierw musimy sprawdzić, że R jest zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna:

• zwrotność: ponieważ dla dowolnego x rzeczywistego x ¬ x, więc R jest zwrotna;

• przechodniość: jeżeli x, y, z są rzeczywiste, x ¬ y oraz y ¬ z, to x ¬ z, więc R jest przechodnia;

• słaba antysymetria: jeżeli x, y są rzeczywiste, x ¬ y i y ¬ x, to x = y, więc R jest słabo antysyme-tryczna.

Liczba 0 jest elementem najmniejszym relacji R, ponieważ 0Ry (czyli 0 ¬ y) dla dowolnego y ∈ [0,+∞).Liczba 0 jest też elementem minimalnym R, ponieważ dla dowolnego y ∈ [0,+∞), jeżeli yR0 (czyli y ¬ 0),to y = 0. (Ogólnie: element najmniejszy, o ile istnieje, jest jedynym elementem najmniejszym relacji).

Relacja R nie ma elementu największego: gdyby a był największy, to mielibyśmy yRa (czyli y ¬ a) dlakażdego y ∈ [0,+∞), co nie jest prawdą np. dla y = a+ 1. Relacja R nie ma elementu maksymalnego: gdybya był maksymalnego, to mielibyśmy y = a dla każdego y ∈ [0,+∞) takiego, że aRy (czyli a ¬ y), co nie jestprawdą np. dla y = a + 1. (Ogólnie: wystarczy sprawdzić, że nie ma elementów maksymalnych, bo każdyelement największy musi być elementem maksymalnym).

Ponieważ dla każdej pary liczb x, y ∈ [0,+∞) xRy lub yRx (czyli x ¬ y lub y ¬ x), więc relacja R jestspójna. Zatem jest to relacja liniowego porządku. �

Zadanie 2. Niech relacja R ⊂ (N \ {0})× (N \ {0}) będzie określona następująco

xRy ⇐⇒ x|y.

Sprawdzić, że R jest relacją porządkującą N \ {0}. Znaleźć wszystkie elementy minimalne i maksymalne,najmniejsze oraz największe.

Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?Jakie byłyby elementy wyróżnione R gdyby R była określona na zbiorze N \ {0, 1} zamiast N \ {0}?

Rozwiązanie. Rozwiązując zadanie 7.2 w rozdziale 7.2 sprawdziliśmy, że R jest zwrotna, przechodnia i słaboantysymetryczna. R jest więc relacją porządkującą N \ {0}.

Elementem najmniejszym R jest 1, ponieważ 1Ry (1|y) dla każdego y. Element najmniejszy zawsze jestjedynym elementem minimalnym relacji.

Elementów maksymalnych brak, ponieważ dla dowolnego elementu a w zbiorze N \ {0} istnieje y 6= ataki, że aRy (np. 2a). Jeżeli nie ma elementów maksymalnych, to nie ma też elementu największego.

Diagram Hassego relacji R obciętej do zbioru {1, 2, . . . , 12} wygląda następująco:

8 12

4 6 9 10

2 3 5 7 11

1

Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. ¬2R3 i ¬3R2), więc relacja R nie jest relacjąliniowego porządku.

Diagram Hassego relacji R obciętej do zbioru {2, 3, . . . , 12} wygląda następująco:

91


8 12

4 6 9 10

2 3 5 7 11

Z diagramu możemy odczytać, że taka relacja ma wiele elementów minimalnych (liczby pierwsze) i nie maelementu najmniejszego. �

Zadanie 3. Podać przykład zbioru X i relacji R porządkującej X, która

1. ma element najmniejszy i dwa elementy maksymalne;

2. ma dwa elementy minimalne i trzy elementy maksymalne;

3. ma dokładnie jeden element maksymalny, ale nie ma elementu największego.

Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania najwygodniej podać w postaci diagramu Hassego.Przykładowa relacja z elementem najmniejszym (musi być jeden!) i dwóch elementach maksymalnych

(relacja jest określona na zbiorze {a, b, c}):

a b

c

Można również zapisać tę relację poprzez wypisanie jej elementów:

R = {〈c, a〉, 〈c, c〉, 〈c, b〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉} .

Przykładowa relacja z dwoma elementami minimalnymi i trzema elementami maksymalnymi: (relacjajest określona na zbiorze {a, b, c, d}):

a b

c d

Zwróćmy uwagę, że element c jest zarówno elementem minimalnym, jak i maksymalnym. Można równieżzapisać tę relację poprzez wypisanie jej elementów:

R = {〈d, a〉, 〈d, d〉, 〈d, b〉, 〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c, c〉} .

Przykładowa relacja z jednym elementem maksymalnym, ale bez elementu największego: (relacja jestokreślona na zbiorze {a, 0, 1, 2, . . .}):

2

a 1

0

92


Można również zapisać tę relację:

R = {〈a, a〉, 〈0, a〉} ∪{〈x, y〉 ∈ N2 | x ¬ y

}.

Czy jest możliwe wskazanie przykładu takiej relacji na zbiorze skończonym? �

Zadanie 4. Niech X = {1, 2, 3}, R ⊂ P (X)× P (X) dana jest wzorem

xRy ⇐⇒ x ⊃ y.

Znaleźć wszystkie elementy wyróżnione R. Czy relacja R jest relacją liniowego porządku?

Rozwiązanie. Diagram Hassego relacji R wygląda następująco:

∅

{1} {2} {3}

{1, 2} {1, 3} {2, 3}

{1, 2, 3}

Z diagramu odczytujemy, że elementem najmniejszym jest {1, 2, 3} (jest to jednocześnie jedyny elementminimalny), a elementem największym jest ∅ (jest to też jedyny element maksymalny).

Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. ¬{1, 2}R{2, 3} oraz ¬{2, 3}R{1, 2}, więc R niejest spójna. Zatem R nie jest relacją liniowego porządku. �

Zadanie 5. Uzasadnić, że w porządku liniowym każdy element maksymalny jest największy.

Rozwiązanie. Niech a ∈ X będzie elementem maksymalnym w porządku liniowym 〈X,R〉. Weźmy dowolnyx ∈ X. Ponieważ R jest liniowym porządkiem, więc aRx lub xRa. Pokażemy dalej, że w obu przypadkachxRa, z czego już od razu wynika, że a jest największy.

Jeżeli aRx, to z tego, że a jest maksymalny wynika, że x = a. Ponieważ R jest zwrotna, więc xRa.Przypadek xRa jest oczywisty. �

Zadanie domowe

Zadanie 1. Niech X = {3n : n ∈ N} ∪ {2010}, a R zdefiniowana jest wzorem

xRy ⇐⇒ y|x.

Sprawdzić, że R jest porządkiem. Znaleźć elementy wyróżnione dla R. Czy R jest liniowym porządkiem?Czy R byłby liniowym porządkiem, gdyby w definicji zbioru X zamienić miejscami liczby „3” i „2010”?

Zadanie 2. Niech X = R2. Definiujemy relację R wzorem

〈x1, y1〉R〈x2, y2〉 ⇐⇒ (x1 < x2 ∨ (x1 = x2 ∧ y1 ¬ y2)) .

Sprawdzić, że R jest porządkiem. Znaleźć elementy wyróżnione dla R. Czy R jest liniowym porządkiem?

93


Zadanie 3. Na zbiorze liczb naturalnych definiujemy relację R następująco:

xRy ⇐⇒ x ma mniej cyfr niż y, lub (x, y mają tyle samo cyfr i x y).


Zadanie 4. Niech π(n) będzie liczbą różnych dzielników pierwszych liczby naturalnej n. R jest relacjąokreśloną na N \ {0, 1} wzorem

xRy ⇐⇒ (π (x) < π (y) ∨ (π (x) = π (y) ∧ x ¬ y)) .

Sprawdzić, że R jest porządkiem. Znaleźć elementy wyróżnione dla R. Czy R jest liniowym porządkiem? Jakzmieniłyby się elementy wyróżnione R, gdyby w definicji relacji symbol „x ¬ y” zmienić na „x y”?

Zadanie 5. Podać przykład relacji która ma dokładnie jeden element minimalny, jeden element maksymalny,ale nie ma elementu najmniejszego ani największego.

Zadanie 6. Niech X będzie zbiorem, a P (X) rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokazać, że relacja„⊂” porządkuje zbiór P (X). Znaleźć wszystkie elementy wyróżnione w zbiorze uporządkowanym P (X). Jakzmienią się elementy wyróżnione R po obcięciu relacji do zbioru P (X) \ {X}?

Zadanie 7. Niech X będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych (przynajmniej jednowyrazowych) owyrazach należących do zbioru R. Dla dowolnych x, y ∈ X mówimy, że

xRy ⇐⇒ ciąg x jest odcinkiem początkowym ciągu y.


Zadanie 8. Niech X = N[0,1] (zbiór wszystkich funkcji określonych na odcinku [0, 1] o wyrazach natural-nych). Definiujemy relację R wzorem

fRg ⇐⇒ ∀x∈[0,1](f(x) ¬ g(x)).


Zadanie 9. Niech X będzie zbiorem ciągów o wyrazach rzeczywistych, a R będzie określona na X wzorem

(xn)R(yn) ⇐⇒ limn→∞

xn − yn istnieje oraz limn→∞

xn − yn ¬ 0.



Odp. 1. Diagram Hassego relacji R wygląda następująco:

1

3

9 2010

27

94


Z diagramu odczytujemy, że elementem największym jest 1 (jest to też jedyny element maksymalny). Elementminimalny to 2010, elementu najmniejszego brak.

Ponieważ nie wszystkie elementy są ze sobą w relacji (np. 9R2010 oraz ¬2010R9, więc R nie jest spójna.Zatem R nie jest relacją liniowego porządku.

Gdyby X = {2010n : n ∈ N} ∪ {3}, to ponieważ 3|2010, relacja R byłaby spójna — byłby to liniowyporządek, z elementem największym 1, bez elementów minimalnych.Odp. 2. Relacja R jest liniowym porządkiem bez elementów minimalnych ani maksymalnych.Odp. 3. Relacja R jest liniowym porządkiem. Elementem najmniejszym jest 9, brak elementów maksymal-nych.Odp. 4. Relacja R jest liniowym porządkiem. Elementem najmniejszym jest 2, brak elementów maksymal-nych.

Gdyby R była określona wzorem

xRy ⇐⇒ (π (x) < π (y) ∨ (π (x) = π (y) ∧ x y)) ,

to byłby to liniowy porządek bez elementów minimalnych i maksymalnych.Odp. 5. Przykładowa relacja z jednym elementem maksymalnym, jednym elementem minimalnym, ale bezelementu największego ani najmniejszego: (relacja jest określona na zbiorze {a, 0, 1, 2, . . .}):

1

a 0

-1

Można również zapisać tę relację:

R = {〈a, a〉} ∪{〈x, y〉 ∈ Z2 | x ¬ y

}.

Odp. 6. Relacja R jest relacją porządkującą zbiór P (X). Elementem najmniejszym (i jedynym minimalnym)jest ∅. Elementu największego brak, elementy maksymalne to zbiory postaci X \ {x} dla x ∈ X.

Jeżeli zbiór X ma mniej niż 3 elementy, to R jest relacją liniowego porządku. W przypadku, gdy Xma przynajmniej 3 elementy (oznaczmy je np. a, b, c), to nie wszystkie elementy P (X) są ze sobą w re-lacji (np. {a, b}R{b, c} oraz ¬{b, c}R{a, b}, więc R nie jest spójna. Zatem, w przypadku gdy zbiór X maprzynajmniej 3 elemety, R nie jest relacją liniowego porządku.Odp. 7. Relacja R nie jest relacją liniowego porządku (np. ciągi jednoelementowe (1) i (2) nie są ze sobą wrelacji). Elementami minimalnymi są wszystkie ciągi jednoelementowe, elementów maksymalnych, najwięk-szych i najmniejszych brak.Odp. 8. Elementem najmniejszym (i jedynym minimalnym) relacji R jest funkcja stała równa 0. Elementówmaksymalnych i największych brak.

Relacja R nie jest relacją liniowego porządku. Jako przykład elementów zbioru X, które nie są ze sobąw relacji można wziąć funkcje f i g określone wzorami:

f(x) ={

0 dla x < 12 ;

1 dla x 12 ;

g(x) ={

1 dla x < 12 ;

0 dla x 12 .

95

7.4 Relacje równoważności. Zasada abstrakcji. 7 RELACJE

Odp. 9. Elementów minimalnych, maksymalnych, najmniejszych i największych brak.Relacja R nie jest relacją liniowego porządku. Jako przykład elementów zbioru X, które nie są ze sobą

w relacji można wziąć ciągi xn = (−1)n i yn = 0.

7.4 Relacje równoważności. Zasada abstrakcji.

Relację R określoną na zbiorze X nazywamy relacją równoważności jeżeli R jest zwrotna, przechodnia isymetryczna.

Jeżeli R jest relacją równoważności na X, a a ∈ X, to symbolem [a]R oznaczamy zbiór tych elementówX, które są w relacji R z a, tj.

[a]R = {x ∈ X | xRa} .

Zbiór [a]R nazywamy klasą abstrakcji elementu a.Zasada abstrakcji mówi, że dowolna relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrak-

cji. Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe: jeżeli mamy daną partycję zbioru X, to istnieje relacjarównoważności dla której elementy tej partycji są klasami abstrakcji.

Zadanie 1. Sprawdzić, że R ⊂ N× N jest relacją równoważności, jeżeli

xRy ⇐⇒ 2|(x+ y).

Opisać klasy abstrakcji R.

Rozwiązanie. Musimy sprawdzić, że relacja R jest zwrotna, przechodnia i symetryczna:

• zwrotność: sprawdzamy, że xRx dla dowolnego x — wynika to z tego, że 2|(x+ x);

• przechodniość: jeżeli xRy i yRz, to x+ y = 2k, y + z = 2l dla pewnych k, l ∈ N, po dodaniu stronamiotrzymujemy x+ z = 2(l + k − y), czyli xRz;

• symetria: xRy oznacza, że 2|(x+ y), skąd wynika, że 2|(y + x), czyli yRx.

Klasą abstrakcji a jest zbiór wszystkich liczb naturalnych x takich, że 2|(a+ x) — są to wszystkie liczbyo tej samej parzystości co a. Relacja R dzieli więc N na dwie klasy abstrakcji: liczby parzyste, i liczbynieparzyste. �

Zadanie 2. Zbadać, czy relacja R określona na zbiorze X = {1, 2, 3} jest relacją równoważności, jeżeli

xRy ⇐⇒ x+ y 6= 3.

Rozwiązanie. Sprawdzamy zwrotność, przechodniość i symetrię:

• relacja R jest zwrotna (sprawdzamy po kolei wszystkie przypadki: 1R1, 2R2 i 3R3);

• relacja R nie jest przechodnia, bo np. 1R3, 3R2, ale ¬1R2;

• relacja R jest symetryczna (jeżeli xRy, to x+ y = y + x 6= 3, czyli yRx).

Relacja R nie jest relacją równoważności. Uwaga: oczywiście do rozwiązania tego zadania wystarczy spraw-dzenie, że R nie jest przechodnia (sprawdzenie zwrotności i symetrii nie było konieczne). �

Zadanie 3. Niech R będzie relacją określoną na N w następujący sposób

xRy ⇐⇒ x oraz y mają tyle samo cyfr.

Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Podać klasy abstrakcji [3]R, [7]R [13]R.


• relacja R jest zwrotna (każda liczba naturalna x ma tyle samo cyfr co x);

96


• relacja R jest przechodnia (jeżeli x ma tyle samo cyfr co y, y ma tyle samo cyfr co z, to x ma tylesamo cyfr co z);

• relacja R jest symetryczna (jeżeli x ma tyle samo cyfr co y, to y ma tyle samo cyfr co x).

Klasa abstrakcji liczby x, to zbiór wszystkich liczb naturalnych, które mają tyle samo cyfr, co x:

[3]R = [7]R = {0, 1, 2, . . . , 9},

[13]R = {10, 11, 12, . . . , 99}.

�

Zadanie 4. Wykazać, że relacja R ⊂ R× R określona następująco

〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ (x− y ∈ Z)

jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji R.


• relacja R jest zwrotna (x− x = 0 ∈ Z);

• relacja R jest przechodnia (jeżeli x − y = c1 ∈ Z oraz y − z = c2 ∈ Z, to (po dodaniu stronami)x− z = c1 + c2 ∈ Z);

• relacja R jest symetryczna (jeżeli x− y ∈ Z, to y − x = x− y ∈ Z).

Klasa abstrakcji liczby rzeczywistej x, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różniących się od x owartość całkowitą (są to liczby o tej samej części ułamkowej), np.[

13

]R

={. . .− 2

23,−1

23,−2

3,

13, 1

13, 2

13, . . .

}.

�

Zadanie 5. Rozpatrzmy podział płaszczyzny R2 na proste Lt (proste przecinające oś OX pod kątem π/4w punkcie 〈t, 0〉). Podać przykład relacji równoważności, której klasami abstrakcji są Lt.

Rozwiązanie. Musimy podać przykład takiej relacji R określonej na R2, że 〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 wtedy i tylkowtedy, gdy 〈x1, x2〉 i 〈y1, y2 należą do tej samej prostej Lt.

Samo powyższe sformułowanie jest już poprawną definicją relacji, ale będziemy szukać opisu bardziejanalitycznego.

Zauważmy, że prosta Lt opisana jest wzorem y = x− t, czyli

〈x1, x2〉 ∈ Lt ⇐⇒ x2 = x1 − t,

〈y1, y2〉 ∈ Lt ⇐⇒ y2 = y1 − t.

Eliminując t z powyższej pary równań otrzymujemy, że

〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ y2 − x2 = y1 − x1.

�

97


Zadanie domowe

Zadanie 1. Dla danego zbioru X oraz relacji R ⊂ X2 zbadać, czy R jest relacją równoważności. W przy-padku odpowiedzi twierdzącej opisać klasy abstrakcji relacji R.

1. X = R2, 〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ x2 = y2;

2. X = R2, 〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ x1 = y2;

3. X = R2, 〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ (x1 = y2 ∧ x2 = y1);

4. X = R, xRy ⇐⇒ x− y = 2010;

5. X = N, xRy ⇐⇒ 2010|(x− y);

6. X = liczby parzyste, xRy ⇐⇒ 3|(x− y);

7. X = N, xRy ⇐⇒ π(x) = π(y), gdzie π(x) oznacza liczbę różnych dzielników pierwszych liczbynaturalnej x;

8. X = R, xRy ⇐⇒ x2 ¬ y2;

9. X = zbiór ciągów zbieżnych, (xn)R(yn) ⇐⇒ limn→∞ xn = limn→∞ yn;

10. X = zbiór ciągów, (xn)R(yn) ⇐⇒ limn→∞ xn − yn istnieje oraz limn→∞ xn − yn = 0;

11. X = zbiór macierzy kwadratowych, xRy ⇐⇒ detx = det y;

12. X = C1[0, 1], fRg ⇐⇒ f ′ = g′, gdzie C1[0, 1] oznacza zbiór funkcji różniczkowalnych o ciągłejpochodnej, a f ′ oznacza pochodną funkcji f .

Zadanie 2. Wykazać, że relacja R ⊂ R× R określona następująco

〈x, y〉 ∈ R ⇐⇒ (x− y ∈ Q)

jest relacją równoważności.

Zadanie 3. Niech R będzie relacją określoną na N w następujący sposób

xRy ⇐⇒ x oraz y mają taką samą ostatnią cyfrę.

Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Podać klasy abstrakcji [3]R, [77]R [13]R.

Zadanie 4. Dany jest podział R na odcinki Am = [m,m+1). Wskazać relację równoważności, której klasamiabstrakcji są Am.

Zadanie 5. Dany jest podział N na zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych. Wskazać relacjęrównoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory.

Zadanie 6. Rozpatrzmy podział płaszczyzny R2 na okręgi Or (o środku w punkcie 〈0, 0〉 i promieniu r).Podać przykład relacji równoważności, której klasami abstrakcji są Or.

Zadanie 7. Czy dla dowolnego X 6= ∅ można określić relację R na X porządkującą X tak, by R byłajednocześnie relacją równoważności na X?

98



Odp. 1.

1. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to proste poziome.

2. Nie jest to relacja równoważności.



5. Jest to relacja równoważności. Jest 2010 klas abstrakcji: są to zbiory elementów dających taką samąresztę przy dzieleniu przez 2010.

6. Jest to relacja równoważności. Są 3 klasy abstrakcji: są to zbiory liczb parzystych dających taką samąresztę przy dzieleniu przez 3.

7. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory liczb o tej samej ilości dzielników pierwszych(np. jedną z klas abstrakcji jest zbiór liczb pierwszych).


9. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to ciągi zbieżne do tej samej granicy.

10. Jest to relacja równoważności. Klasą abstrakcji ciągu (xn) jest zbiór wszystkich ciągów postaci (xn+yn),gdzie (yn) jest zbieżny do 0.

11. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory macierzy o tej samej wartości wyznacznika.

12. Jest to relacja równoważności. Klasy abstrakcji to zbiory funkcji różniących się o stałą.

Odp. 3.[3]R = [13]R = {3, 13, 23, 33, . . . , 93, 103, 113, . . .} ,

[77]R = {7, 17, 27, . . . , 97, 107, . . .} .

Odp. 4. Przykładowa definicja takiej relacji R ⊂ R× R, to

xRy ⇐⇒ część całkowita x jest taka sama jak część całkowita y.

Odp. 5. Przykładowa definicja takiej relacji R ⊂ N× N, to

xRy ⇐⇒ reszta z dzielenia x przez 2 jest taka sama jak reszta z dzielenia y przez 2,

lubxRy ⇐⇒ 2|(x− y),

lubxRy ⇐⇒ 2|(x+ y).

Uwaga: wszystkie te wzory definiują tę samą relację.Odp. 6. Zauważmy, że dwa punkty 〈x1, x2〉, 〈y1, y2〉 należą do Or gdy ich odległość od punktu 〈0, 0〉 jestrówna r. Dwa punkty należą do tego samego okręgu Or, gdy ich odległości od środka układu współrzędnychsą sobie równe. Definicja relacji R ⊂ R× R może więc wyglądać następująco:

〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ odległość 〈x1, x2〉 od 〈0, 0〉 jest taka sama jak odległość 〈y1, y2〉 od 〈0, 0〉,

lub〈x1, x2〉R〈y1, y2〉 ⇐⇒ x21 + x22 = y21 + y22 .

Odp. 7. Relacja „=” jest jednocześnie relacją porządku i relacją równoważności. Jest to jedyna taka relacja,ponieważ gdyby xRy zachodziło dla chociaż jednej pary x 6= y, to z symetrii relacji równoważności wynika-łoby, że yRx, co (z słabej antysymetrii relacji porządkującej) pociągnęłoby za sobą x = y (sprzeczność).

99


Sprawdzian

Grupa 1

Zadanie 1. Wykazać, że X × (Y ∪ Z) = (X × Y ) ∪ (X × Z).

Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma dwa elementy maksymalnei jeden element najmniejszy. Czy R może mieć element największy?

Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem aRb ⇐⇒ 4|a − b. Sprawdzić, że R jest relacjąrównoważności. Wskazać klasy abstrakcji relacji R.

Grupa 2

Zadanie 1. Wykazać, że A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).

Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma dwa elementy minimalnei jeden element największy. Czy R może mieć element najmniejszy?

Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem aRb ⇐⇒ 3|a − b. Sprawdzić, że R jest relacjąrównoważności. Wskazać klasy abstrakcji relacji R.

Grupa 3

Zadanie 1. Wykazać, że (X ∪ Y )× Z = (X × Z) ∪ (Y × Z).

Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma trzy elementy maksymalnei jeden element najmniejszy. Czy R może mieć element największy?

Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem

aRb ⇐⇒ a ma tyle samo cyfr co b.

Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji [3]R i [11]R.

Grupa 4

Zadanie 1. Wykazać, że (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).

Zadanie 2. Podać przykład zbioru X i relacji porządku R na X takiej, że R ma trzy elementy minimalnei jeden element największy. Czy R może mieć element najmniejszy?

Zadanie 3. Niech R ⊂ N2 będzie relacją daną wzorem

aRb ⇐⇒ pierwsza cyfra a jest taka sama jak pierwsza cyfra b.

Sprawdzić, że R jest relacją równoważności. Opisać klasy abstrakcji [3]R i [11]R.

100

8 KOLOKWIUM

8 Kolokwium

Grupa 1

Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b} , {a}}.

Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N3 → N dana wzorem f(n, k, l) = 2n · 3k · 6l jest różnowartościowa.

Zadanie 3. Znajdź f [A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = max(n,m) i zbioru A ={2007} × N.

Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 7, 210} częściowo uporządkowanego relacjąpodzielności. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także element największy i najmniejszy, o ileistnieją.

Zadanie 5 (trudniejsze). Wyznacz zbiór⋂q∈Q

⋃r>0

Aq,r, gdy Aq,r = {x ∈ R : |x− q| < r}.

Grupa 2

Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b, c} , c}.

Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N3 → N dana wzorem f(n, k, l) = 2n · 3k · 7l jest „na”.

Zadanie 3. Znajdź f−1[A] dla funkcji f : N × N → N danej wzorem f(n,m) = max(n,m) i zbioruA = {2007}.

Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru

X = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 6}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

częściowo uporządkowanego relacją zawierania. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także elementnajwiększy i najmniejszy, o ile istnieją.

Zadanie 5 (trudniejsze). Wyznacz zbiór⋃q∈Q

⋂r>0

Aq,r, gdy Aq,r = {x ∈ R : |x− q| < r}.

Grupa 3

Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{{a}} , {a} , a}.


At i⋂t∈R

At, gdy At = {x ∈ R : x2 + (2− t)x− 2t = 0}.

Zadanie 3. Znajdź f [A] dla funkcji f : R→ R danej wzorem f(x) = x2 − 3x+ 2 i zbioru A = [0, 1].

Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 30} częściowo uporządkowanego relacjąpodzielności. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także element największy i najmniejszy, o ileistnieją.

Zadanie 5 (trudniejsze). Udowodnij, że zbiór {f : N→ N : funkcja f jest „1-1”} jest mocy continuum.

Grupa 4

Zadanie 1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory zbioru {{a, b} , {{a, b}} , ∅}.


An i∞⋂n=1

An, gdy An = {x ∈ R : 1n ¬ x ¬ n}.

Zadanie 3. Znajdź f−1[A] dla funkcji f : R→ R danej wzorem f(x) = x2 − 3x+ 2 i zbioru A = {−3,−4}.

101

8 KOLOKWIUM


X = {{2}, {5}, {7}, {13}, {17}, {2, 3}, {2, 3, 5, 7, 11}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}}


Zadanie 5 (trudniejsze). Udowodnij, że zbiór {f : N→ N : funkcja f jest „na”} jest mocy continuum.

Grupa 5


At i⋂t∈R

At, gdy At = {x ∈ R : x2 + (2− t2)x− 2t2 = 0}.

Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n, k) = n+ k + 2007 jest różnowartościowa.


Zadanie 4. Narysuj diagram Hassego zbioru X = {1, 2, 3, 5, 7, 210} częściowo uporządkowanego relacjąpodzielności. Wskaż elementy minimalne i maksymalne, a także element największy i najmniejszy, o ileistnieją.

Zadanie 5 (trudniejsze). Znajdź relację równoważności w zbiorze R, której wszystkie klasy abstrakcjimają moc continuum i zbiór klas abstrakcji ma moc continuum.

Grupa 6


An i∞⋂n=1

An, gdy An = {x ∈ R : n2 < x < n+ 100}.

Zadanie 2. Sprawdź, czy funkcja f : N2 → N dana wzorem f(n, k) = n · k jest „na”.



X = {{2}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 11}, {2, 3, 7, 11}, {2, 5, 11, 13}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}}


Zadanie 5 (trudniejsze). Znajdź funkcję f : R → R taką, że dla każdego r ∈ R, zbiór f−1[{r}] ma moccontinuum.

102

LITERATURA LITERATURA

Literatura

[1] W. Guzicki, P. Zakrzewski. Wstęp do matematyki. Zbiór zadań. Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 2005.

[2] W. Guzicki, P. Zakrzewski. Wykłady ze wstępu do matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 2005.

[3] K. Kuratowski. Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,2004.

[4] W. Marek, J. Onyszkiewicz. Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Wydawnictwo NaukowePWN, Warszawa, 2004.

103

SKRYPT Z MATEMATYKI - inf.ug.edu.pl · Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w...

Documents

Transcript of SKRYPT Z MATEMATYKI - inf.ug.edu.pl · Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w...