Pytania egzaminacyjne – Semantyka logiczna

1. Definicja pojęcia niesprzeczności. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie niesprzeczności. Ogólna metoda

dowodów niesprzeczności teorii.

2. Definicja pojęcia niezależności. Treść twierdzeń łączących pojęcia niezależności i niesprzeczności, i ich

znaczenie.

3. Definicja pojęcia zupełności. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie zupełności (np. twierdzenie łączące pojęcia

zupełności i niesprzeczności).

4. Treść pierwszego i drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności arytmetyki i ich znaczenie.

5. Pojęcie interpretacji semantycznej języka pierwszego rzędu.

6. Definicja pojęcia wartościowania termów.

7. Definicja pojęcia spełniania formuły przez ciąg przedmiotów.

8. Definicja pojęcia prawdy. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie prawdy: semantyczne twierdzenia o odrywaniu i

generalizacji, twierdzenie stwierdzające, że zbiór formuł prawdziwych jest teorią, semantyczna zasada

wyłączonego środka i semantyczna zasada sprzeczności. Twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy.

9. Pojęcia homomorfizmu i izomorfizmu interpretacji i ich znaczenie.

10. Definicje pojęć tautologii i kontrtautologii KRP.

11. Definicja pojęcia modelu semantycznego. Treść twierdzeń łączących pojęcia modelu semantycznego i

niesprzeczności oraz ich znaczenie.

12. Definicja pojęcia konsekwencji semantycznej.

13. Treść twierdzenia o pełności KRP i jego znaczenie.

„ ” = rożki Quine’a

/Zachowano odmienność notacji dla metajęzyka/.

1

I. Definicja pojęcia niesprzeczności. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie niesprzeczności. Ogólna metoda

dowodów niesprzeczności teorii .

1) DEFINICJA pojęcia niesprzeczności:

a) Zbiór formuł zdaniowych X jest niesprzeczny (X∈NSP) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadna taka formuła A,

że A∈CnL(X) oraz „∼A” ∈ CnL(X).

b) Zbiór formuł X jest sprzeczny (X∈SP) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jedna formuła A taka, że

A∈CnL(X) i zarazem „∼A”∈CnL(X).

2) Twierdzenia charakteryzujące pojęcie niesprzeczności:

TWIERDZENIE 1(7)

Zbiór X jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór CnL(X) jest niesprzeczny.

TWIERDZENIE 2(7)

Zbiór X jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jedna formuła zdaniowa A taka, że

A∉CnL(X).

TWIERDZENIE 3(7) (o dziedziczności niesprzeczności przez podzbiory)

Jeżeli X ⊆ Y oraz zbiór Y jest niesprzeczny, to również zbiór X jest niesprzeczny.

TWIERDZENIE 4(7) (syntaktyczne twierdzenie o zwartości)

Zbiór X jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy skończony podzbiór zbioru X jest niesprzeczny.

TWIERDZENIE 5(7)

Jeżeli A jest zdaniem oraz „∼A” ∉ CnL(X), to zbiór X ∪ {A} jest niesprzeczny.

3) Ogólna metoda dowodów niesprzeczności teorii:

LEMAT

Jeżeli A∈L (gdzie L=Cn(Arp)), to H(A)∈Trz.

DEFINICJA 3(7) INDUKCYJNA FUNKCJI H

1.) H („Pkn(α1,...,αn)”)=”p”

2.) H („∼A”) = „∼H(A)”

3.) H (“∀xi(A)”) = H(A)

4.) H (“∃xi(A)”) = H(A)

5.) H (“A∧B”) = “H(A)∧H(B)”

6.) H (“A∨B”) = “H(A)∨H(B)”

7.) H (“A→B”) = “H(A)→H(B)”

8.) H (“A↔B”) = “H(A)↔H(B)”

2

Funkcja H przyporządkowuje językowi KRP język KRZ.

TWIERDZENIE 6(7) (Opisuje podstawową metodę dowodzenia niesprzeczności teorii aksjomatycznych).

Niech X będzie teorią w języku J1 a Y teorią w języku J2. Jeżeli H jest funkcją przekształcającą teorię X w

teorię Y (H: X → Y), taką, że spełniony jest następujący warunek:

H („∼A”) = „∼H (A)” (czyli funkcja H zachowuje negację)

Dla dowolnego A ∈ J1, a przy tym teoria Y jest niesprzeczna, to również teoria X jest niesprzeczna.

TWIERDZENIE 7(7) ( o niesprzeczności KRP )

Nie istnieje formuła A taka, że A∈L i „∼A”∈L.

II. Definicja pojęcia niezależności. Treść twierdzeń łączących pojęcia niezależności i niesprzeczności, i ich

znaczenie.

1) DEFINICJA pojęcia niezależności:

(i) Zbiór X jest niezależny (X∈NZL) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły A∈X, A∉CnL(X – {A})

– dotyczy niezależności zbioru formuł .

(ii) Formuła zdaniowa A jest niezależna od zbioru formuł X wtedy i tylko wtedy, gdy A ∉ CnL(X). –

dotyczy relatywnej niezależności formuły względem określonego zbioru formuł.

2) Treść twierdzeń łączących pojęcia niezależności i niesprzeczności, i ich znaczenie:

TWIERDZENIE 1(2)

Jeżeli zbiór X ∪ {∼Ā} jest niesprzeczny, to formuła A jest niezależna od zbioru X, tzn. A ∉ CnL(X).

Twierdzenie to pokazuje, że zagadnienie niezależności sprowadza się do zagadnienia niesprzeczności. Jeśli

A1,A2,...,Ai,... są aksjomatami jakiejś teorii, to dla dowodu, że aksjomat Ai jest niezależny od pozostałych, wystarczy

wykazać, że zbiór A1,A2,...,Ai-1,B,Ai+1,... gdzie B jest negacją domknięcia aksjomatu A i, jest niesprzeczny. Do tego

celu można stosować metody dowodzenia niesprzeczności.

TWIERDZENIE 2(2)

Jeżeli teoria Y jest niesprzeczna oraz istnieje w niej model dla zbioru X ∪ {“~A”}, to formuła A jest niezależna

od zbioru X.

Metoda interpretacji, służąca do uzyskiwania dowodów niesprzeczności, może być z powodzeniem wykorzystywana

przy dowodzeniu niezależności. Metoda ta ukształtowała się w związku z wielowiekowymi badaniami nad sprawą

niezależności piątego postulatu Euklidesa oraz w związku z rozwojem geometrii nieuklidesowych.

3

III. Definicja pojęcia zupełności. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie zupełności.

1) DEFINICJA pojęcia zupełności:

a.) Zbiór formuł zdaniowych X języka J jest zupełny ze względu na język J wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

zdania A języka J bądź A ∈ CnL(X) bądź „∼A” ∈ CnL(X).

b.) Zbiór X jest niezupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przynajmniej jedno zdanie A takie, że ani A ∉ CnL(X) ani

„∼A” ∉ CnL(X).

2) Twierdzenia charakteryzujące pojęcie zupełności:

TWIERDZENIE 1(4)

Zbiór formuł zdaniowych X jest zupełny ze względu na dany język wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór CnL(X) jest

zupełny ze względu na ten sam język.

X∈ZUP wtw, gdy CnL(X)∈ZUP.

TWIERDZENIE 2(4)

Jeżeli zbiór X jest niezupełny, to jest on niesprzeczny. (Jeżeli zbiór X jest sprzeczny, to jest on zupełny).

TWIERDZENIE 3(4)

Niech X będzie zbiorem niesprzecznym. Wtedy X∈ZUP wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej formuły A takiej,

że A∉CnL(X), zbiór X∪{A} jest sprzeczny.

TWIERDZENIE 4(4) (Lindenbauma)

Jeżeli X jest niesprzeczna teorią (pierwszego rzędu) sformułowaną w języku J, to istnieje teoria Y

sformułowana również w języku J, która jest niesprzecznym i zupełnym rozszerzeniem teorii X. Zbiór Y nazywamy

wówczas nadzbiorem Lindenbauma.

Tw. to głosi możliwość dokonania rozszerzenia niesprzecznej teorii pierwszego rzędu do teorii zupełnej.

IV. Treść pierwszego i drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności arytmetyki i ich znaczenie.

T – dowolna teoria pierwszego rzędu, która jest rekurencyjnie aksjomatyzowalna,

PA – arytmetyka liczb naturalnych Peana,

1 TWIERDZENIE GÖDLA O NIEZUPEŁNOŚĆI AR 1(2)

Jeśli PA jest fragmentem teorii T (PA⊆T) i teoria T∈NSP, to istnieje zdanie A w języku teorii T, że A∉CnL(T) i

„∼A”∉CnL(T), czyli teoria T∉ZUP.

*Niech „Con(T)” skraca zdanie „T jest niesprzeczne” zapisane w języku teorii T.

2 TWIERDZENIE GÖDLA O NIEZUPEŁNOŚCI AR 2(2)

Jeżeli PA⊆T i T∈NSP, to zdanie Con(T)∉CnL(T).

4

(Twierdzenie to głosi, iż dowodu niesprzeczności teorii T mającej PA i będącej niesprzeczną nie można w tej teorii

przeprowadzić.)

Znaczenie powyższych twierdzeń:

Z uwagi na to, że każda niesprzeczna teoria formalna zawierająca PA jest niezupełna, okazało się, iż nie można

zawrzeć całej matematyki w jednym systemie aksjomatycznym (KRP). Twierdzenie ukazało, że program Hilberta o

formalizacji całej matematyki jest niewykonalny.

Twierdzenie wykazało, że w matematyce zawsze istnieją zdania nierozstrzygalne na jakimś zbiorze aksjomatów –

musimy więc ująć matematykę jako ciąg teorii, nie jako pojedynczą teorię.

Twierdzenie podważyło tezę uniwersalizmu; ukazało niemożność pełnej realizacji leibnizowskiego języka

uniwersalnego (mathesis universalis). Potrzebny byłby język characteristica universalis.

Na gruncie epistemologii (krytyka metodycznego sceptycyzmu Kartezjusza i redukcji ejdetycznej) wskazuje, że

niemożliwa jest wiedza niezależna od jakichkolwiek arbitralnych założeń.

Procesów myślenia nie da się wyjaśnić w kategoriach fizykalnych i algorytmicznych.

V. Pojęcie interpretacji semantycznej języka pierwszego rzędu.

1) DEFINICJA pojęcia interpretacji semantycznej języka pierwszego rzędu:

Interpretacją języka KRP jest dowolna para postaci M = <U, ∆>, gdzie U ≠ ∅ jest dowolnym zbiorem

zwanym uniwersum interpretacji M, zaś ∆ to tak zwana funkcja denotowania, przyporządkowująca wszystkim stałym

pozalogicznym języka KRP elementy ze zbioru U lub konstrukcje z tych elementów, przy czym:

(1) Każdej literze predykatowej Pin funkcja denotowania ∆ przyporządkowuje n- członową relację zachodzącą

między elementami zbioru U ( ∆ (Pin) ⊆ Un );

(2) Każdemu symbolowi funkcyjnemu n- argumentowemu Fin funkcja denotowania ∆ przyporządkowuje n-

argumentową funkcję o argumentach i wartościach należących do zbioru U ( ∆ (fin) ∈ UUn );

(3) Każdej stałej nazwowej (nazwie) ai funkcja denotowania ∆ przyporządkowuje pewien wyróżniony element ze

zbioru U ( ∆ (ai) ∈ U ).

VI. Definicja pojęcia wartościowania termów.

1) DEFINICJA M-Wartościowania:

Nieskończone ciągi elementów uniwersum danej interpretacji M będziemy nazywali m-wartościowaniami lub po

prostu wartościowaniami (gdy nie będzie wątpliwości o jaką interpretację chodzi.)

WM(t, <wn>) – wartość termu t przy wartościowaniu <wn> i interpretacji M.

2) DEFINICJA funkcji wartościowania:

(1) WM(xi, <wn>) = wi;

(2) WM(ai, <wn>) = ∆ (ai);

(3) WM( fin (t1, ..., tn)”, <wn>) = ∆ (fi

n) (WM(t1, <wn>), ..., WM(tn, <wn>))

5

VII. Definicja pojęcia spełniania formuły przez ciąg przedmiotów.

<wn> SpłMA – ciąg <wn> spełnia przy interpretacji M. formułę A.

(1) <wn>SpłM”Pkn(t1, ..., tn)” ⇔ ∆ (Pk

n) (WM.(t1, <wn>), ..., WM(tn, <wn>));

(2) <wn>SpłM”∼(A)” ⇔ ¬(<wn>SpłMA);

(3) <wn>SpłM”(A) ∧ (B)” ⇔ (<wn>SpłM.A) ∧ (<wn>SpłMB);

(4) <wn>SpłM”(A) ∨ (B)” ⇔ (<wn>SpłMA) ∨ (<wn>SpłMB);

(5) <wn>SpłM.”(A) → (B)” ⇔ [(<wn>SpłM.A) ⇒ (<wn>SpłMB)];

(6) <wn>SpłM.”(A) ≡ (B)” ⇔ [(<wn>SpłM.A) ⇔ (<wn>SpłM.B)];

(7) <wn>SpłM.”∀xi (A)” ⇔ ∀u∈U (<wn> (wi /u)SpłMA)

[ gdzie <wn>(wi/u) = <w1,...,wi-1,u,wi+1,...>]

(8) <wn>SpłM.”∃xi (A)” ⇔ ∃u∈U (<wn> (wi /u) SpłMA).

VIII. Definicja pojęcia prawdy. Twierdzenia charakteryzujące pojęcie prawdy.

1) DEFINICJA pojęcia prawdy:

Formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M = <U, ∆> wtedy i tylko wtedy, gdy każdy nieskończony,

przeliczalny ciąg elementów uniwersum U spełnia formułę A przy interpretacji M. Czyli: A ∈ Vr (M) ⇔ Λ<wn> (<wn>∈

UN ⇒ <wn>SpłMA)

[Vr (M) – „zbiór formuł prawdziwych przy interpretacji M”; <wn>∈UN: ciąg, którego wyrazami są elementy zbioru U]

2) Twierdzenia charakteryzujące pojęcie prawdy:

TWIERDZENIE 1(8) (semantyczne twierdzenie o odrywaniu)

Jeżeli „A → B”∈Vr(M) i A∈Vr(M), to B∈Vr(M).

TWIERDZENIE 2(8) (semantyczne twierdzenie o generalizacji)

Jeżeli A∈Vr(M), to również „∀xi (A)”∈Vr(M).

TWIERDZENIE 3(8) (odwrotne twierdzenie o generalizacji)

Jeżeli „∀xi(A)”∈Vr(M), to A∈Vr(M)

TWIERDZENIE 4(8) (silne twierdzenie o generalizacji)

A∈Vr(M) wtedy i tylko wtedy, gdy Ā∈Vr(M).

TWIERDZENIE 5(8) (twierdzenie stwierdzające, że zbiór formuł prawdziwych jest teorią)

Zbiór formuł prawdziwych przy interpretacji M jest teorią czyli Cn(Vr(M) = Vr(M).

TWIERDZENIE 6(8) (semantyczna zasada wyłączonego środka)

Jeżeli A jest zdaniem, to A∈Vr(M) lub „∼A”∈Vr(M).

6

TWIERDZENIE 7(8) (semantyczna zasada sprzeczności / niesprzeczności)

A∉Vr(M) bądź „∼A”∉Vr(M).

Z dwóch formuł wzajemnie sprzecznych jedna jest fałszywa.

TWIERDZENIE 8(8) (Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy)

Nie istnieje formuła Tr(X) języka JT definiująca zbiór zdań

prawdziwych teorii T, tzn. taka, że dla dowolnego zdania A języka JT,

T |- A ↔ Tr(”A”).

IX. Pojęcia homomorfizmu i izomorfizmu interpretacji i ich znaczenie.

1) Definicja homomorfizmu i izomorfizmu interpretacji:

Niech M=<U, ∆> i M’=<U’, ∆’> będą dwoma różnymi interpretacjami tego samego języka. Mówimy, że

funkcja h jest homomorfizmem interpretacji M na interpretację M’ wtedy i tylko wtedy, gdy:

(1) h jest przekształceniem (funkcją) zbioru U na U’, czyli h(U)=U’;

(2) dla każdego predykatu Pin (należącego do rozważanego języka) oraz dla dowolnych u1,...,un∈U zachodzi: ∆(Pi

n)

(u1,...,un) wtedy i tylko wtedy, gdy ∆’(Pin)(h(u1),...,h(un));

(3) dla każdego symbolu funkcyjnego fin oraz dla dowolnych u1,...,un∈U zachodzi:

h(∆(fin)(u1,...,un))=∆’(fi

n)(h(u1),...,h( un));

(4) dla dowolnej stałej nazwowej ai zachodzi: h(∆(ai))=∆’(ai).

Jeżeli ponadto funkcja h jest różnowartościowa, tzn. dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, to

mówimy, że funkcja h jest izomorfizmem interpretacji M na interpretację M’. Natomiast gdy funkcja h jest

różnowartościowym odwzorowaniem uniwersum U w uniwersum U’, to mówimy, że funkcja h zanurza interpretację

M w interpretacji M’.

Znaczenie

- badanie interpretacji homomorficznych lub izomorficznych jest czasem prostsze niż badanie interpretacji

właściwych,

- jeśli coś się orzeka o interpretacji M, to to samo można orzec o interpretacji, która jest homomorficzna lub

izomorficzna z interpretacją M,

- jeśli dwie interpretacje są izomorficzne, to zbiory uniwersum tych interpretacji są zbiorami równolicznymi

X. Definicja pojęć tautologii i kontrtautologii KRP.

1) 1) DEFINICJA pojęć tautologii i kontrtautologii:

(a) Formuła A jest tautologią KRP wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona prawdziwa przy każdej interpretacji języka KRP.

A∈Trp wtw, gdy ΛM(A∈Vr(M)).

(b) Formuła A jest kontrtautologią KRP wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona fałszywa przy każdej interpretacji języka

KRP.

A∈Ktrp wtw, gdy ΛM(A∉Vr(M)).

7

TWIERDZENIE 1(4)

Wszystkie aksjomaty KRP są tautologiami. ( Czyli: Arp⊆Trp).

TWIERDZENIE 2(4)

Wszystkie tezy KRP są tautologiami ( czyli L⊆Trp).

TWIERDZENIE 3(4)

Zbiór formuł prawdziwych przy interpretacji M jest teorią I-ego rzędu (czyli: Vr(M) = CnL(Vr(M)).

TWIERDZENIE 4(4)

Zbiór formuł prawdziwych przy interpretacji M jest systemem dedukcyjnym, niesprzecznym i zupełnym.

XI. Definicja pojęcia modelu semantycznego. Treść twierdzeń łączących pojęcia modelu semantycznego i

niesprzeczności.

1) DEFINICJA pojęcia modelu semantycznego:

Modelem semantycznym zbioru formuł X nazywamy każdą interpretację M. (języka, w którym formuły ze

zbioru X są zapisywane) taką, że X⊆Vr(M). Modele zbioru jednoelementowego {A} nazywamy po prostu modelami

formuły A.

2) Twierdzenia łączące pojęcia modelu semantycznego i niesprzeczności:

TWIERDZENIE 1(5)

Jeżeli zbiór formuł X posiada model semantyczny, to jest on niesprzeczny.

[twierdzenie to podaje kryterium niesprzeczności i mówi, że chcąc udowodnić niesprzeczność danej teorii trzeba dla

niej zbudować model semantyczny]

TWIERDZENIE 2(5) (twierdzenie Gödla o istnieniu modelu)

Każdy niesprzeczny zbiór formuł posiada model przeliczalny nieskończony.

TWIERDZENIE SKALEMA-LOWENHEIMA 3(5)

Zbiór formuł zdaniowych posiada model wtedy i tylko wtedy, gdy posiada on model przeliczalny.

TWIERDZENIE 4(5)

Każdy model przeliczalny zbioru X jest izomorficzny z pewnym modelem tego zbioru, mającym jako uniwersum zbiór

liczb naturalnych.

[Tw. to głosi, że każda niesprzeczna teoria posiada model w zbiorze liczb naturalnych.]

TWIERDZENIE 5(5) (Semantyczne tw. o zwartości)

Jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru formuł X posiada model, to również cały zbiór X posiada model.

8

XII. Definicja pojęcia konsekwencji semantycznej. Twierdzenie łączące pojęcia konsekwencji semantycznej i

konsekwencji logicznej.

1) DEFINICJA pojęcia konsekwencji semantycznej:

Formuła A jest konsekwencją semantyczną zbioru formuł X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej

interpretacji M języka J zachodzi: jeżeli X⊆Vr(M), to również A∈Vr(M).

X I= A – „formuła A jest konsekwencją semantyczną zbioru formuł X”.

XIII . Twierdzenie o pełności KRP i jego znaczenie.

TWIERDZENIE POMOCNICZE 1(3)

Jeżeli formuła A∉L (nie jest tezą KRP; Lemat: L = CnL(Arp)), to istnieje interpretacja M taka, że „∼A”∈Vr(M).

TWIERDZENIE O PEŁNOŚCI KRP (Silne) 2(3)

Formuła A jest konsekwencją semantyczną zbioru formuł X wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona konsekwencją

logiczną zbioru X.

X I= A ⇔ A∈CnL(X).

TWIERDZENIE O PEŁNOŚCI KRP (Słabe) 3(3)

Formuła A jest tautologią KRP wtedy i tylko wtedy, gdy A jest tezą KRP. (A∈Trp ↔ A∈L)

9