16777799

101011111212131315161717181819222223252526283131313232333333343535373838404141

Spis Treci

Spis TreciRozdzia 1. Kinematyka punktu materialnegoPodstawowe pojcia opisujce ruch

Wzgldno ruchuPunkt materialnyWektory i skalary. Przemieszczenie, pooenie i drogaDodawanie wektorw o wsplnym kierunku i zwrocieMnoenie i dzielenie wektora przez skalarZmiana zwrotu wektora na przeciwnyPytania i problemy

Droga i prdkoWskazwkaPrdko redniaPrdko chwilowaPrzykad 1Pytania i problemy

Ruch jednostajnyPrzykad 2Przykad 3Pytania i problemy

Ruch jednostajnie przyspieszonyPrzyspieszenieRwnania prdkoci i pooenia w ruchu jednostajnie przyspieszonymPrzykad 4Pytania i problemy

Przyspieszenie ziemskie, swobodne spadanie ciaZapamitajPrzykad 5Pytania i problemy

Dowiadczenie GalileuszOcena niepewnoci pomiarowych

WaneUWAGAUWAGAUwagaWaneUWAGAUwagaPytania i problemy

Ruch jednostajnie opnionyUwagaPrzykad 6Przykad 7Pytania i problemy

Rzut pionowy w grPrzykad 8Pytania i problemy

43444445464647495050505151535657575859606062676870727273777980818286878789909091939494969898

100100101

102

Dowiadczenie wirtualne Rzut pionowyOperacje na wektorach

Dodawanie wektorw. Skadanie ruchwOdejmowanie wektorwWektor wodzcyRozkadanie wektora na skadoweRzutowanie wektora na osiePytania i problemy

Wektor prdkociWektor prdkoci i jego wsprzdneWektor prdkoci chwilowejSkadanie prdkociPrzykad 9Przykad 10Pytania i problemy

Wektor przyspieszeniaWskazwkaPrzykad 11Pytania i problemy

Dowiadczenie AkceleracjaUWAGAWskazwka

Rzut poziomyPytania i problemy

Ruch jednostajny po okrguZapamitajPrzykad 12Przykad 13Pytania i problemy

Rozdzia 2. DynamikaPierwsza zasada dynamiki Newtona

ZapamitajInercjalne ukady odniesienia i zasada wzgldnociPytania i problemy

Druga zasada dynamiki NewtonaSiaDowiadczenie SprynaDruga zasada dynamiki NewtonaPrzykad 1Przykad 2Pytania i problemy

Dowiadczenie DynaRozkad si na rwni pochyejSprawdzenie wzoru Newtona

Trzecia zasada dynamiki NewtonaRememberRememberPrzykad 3Pytania i problemy

Pd i popd

102102102104

105105106107111

112113117

118121121122

123123125126

127128129129129

130131131132132132132134

136136136137140

141141143144

145145146147147148149

150

RememberRememberPrzykad 4Pytania i problemy

Zasada zachowania pduRememberPrzykad 5Przykad 6Pytania i problemy

Siy bezwadnoci , ukady nieinercjalnePrzykad 7Pytania i problemy

Dowiadczenie InercjaSiy w ruchu po okrgu

Przykad 8Pytania i problemy

Sia tarciaDowiadczenie TarciePrzykad 9Pytania i problemy

Opory ruchu ciaa w pynie cieczy lub gazieSpadek ciaa w cieczy lub gaziePrzykad 10Przykad 11Pytania i problemy

Rozdzia 3. Praca i energiaPraca

RememberPrzykad 1Przykad 2Przykad 3Praca rozcigania sprynyPytania i problemy

EnergiaNoteEnergia potencjalna w polu si cikoci ZiemiEnergia potencjalna sprystociPytania i problemy

Energia kinetycznaTipCakowita energia ciaaPytania i problemy

Prawo zachowania energii mechanicznejRememberPrzykad 6Przykad 7Przykad 8Oglna zasada zachowania energiiPytania i problemy

Moc

150150150151151

152152153154157

159160162

163163164165166

167167168169170170

172172173175176176

178178179180182183184

185186186186187188189

191191191192192194

RememberPrzykad 9SprawnoPrzykad 10Pytania i problemy

ZderzeniaZderzenia niesprystePrzykad 11Zderzenia sprystePytania i problemy

Rozdzia 4. Dynamika bryy sztywnejRuch postpowy i obrotowy bryy sztywnej

Pytania i problemyMoment bezwadnoci i energia kinetyczna

RememberEnergia kinetyczna bryy sztywnejPrzykad 1Pytania i problemy

Twierdzenie Steinera. Zaleno momentu bezwadnoci od pooenia osiobrotu

rodek masyPrzykad 2Przykad 3Przykad 4Pytania i problemy

Moment siyRememberPraca siy obracajcej bry sztywnWarunki rwnowagiPrzykad 5Pytania i problemy

rodek cikoci i rodek masyrodek cikociRodzaje rwnowagirodek masyPrzykad 6Przykad 7Pytania i problemy

Moment pdu i druga zasada dynamiki bryy sztywnejTipRememberRememberNotePrzykad 8Pytania i problemy

Prawo zachowania momentu pduRememberPrawa zachowania a symetrie czasu i przestrzeniPrzykad 9Przykad 10Przykad 11

195

196196

197199201

202203204204205

206206207208210

211211213214214215

217218

219219219219220221

222222223224

225227

228228229231232

233234235

Pytania i problemyAnalogia midzy wielkociami ruchu obrotowego a wielkociami ruchupostpowego

Pytania i problemyDowiadczenie Akceleracja BIS

NoteNote

Rozdzia 5. Cienie powszechne (grawitacja)Prawo powszechnego cienia

RememberPrzykad 1Pytania i problemy

Laboratoryjne potwierdzenie prawa grawitacjiPrzykad 2Waenie SocaPrzykad 3Pytania i problemy

Grawitacja wewntrz planety temat nadobowizkowyWzr na si grawitacji wewntrz planetyWykres zalenoci siy grawitacji od odlegoci od rodka planety kulistejPraca przemieszczenia ciaa wewntrz jednorodnej planetyPrzykad 4 - Pocig przyszociPytania i problemy

Regua Titiusa-Bodego - rozdzia nadobowizkowyPytania i problemy

Prawa Keplera ruchu planetRememberRememberRememberPrzykad 6Pytania i problemy

Pole grawitacyjneNotePrzykad 7Pytania i problemy

Praca w polu grawitacyjnymPytania i problemy

Energia potencjalna w polu grawitacyjnymPrzykad 8Potencja pola grawitacyjnegoPrzykad 9Pytania i problemy

Prdkoci kosmicznePrzykad 10Pytania i problemy

Rozdzia 1. Kinematyka punktumaterialnego Kinematyka jest to nauka o ruchu ciaa (lub cia). Z ruchem mamy do czynienia na co dzie. Monapowiedzie, e wszystko, co yje, porusza si. Czowiek stworzy specjalne urzdzenia doporuszania si samochody, samoloty, rakiety i wiele innych pojazdw. Do opisu ruchomych ciatrzeba si posuy takimi pojciami, jak: pooenie, czas, droga, prdko i przyspieszenie. Wtym rozdziale poznasz i nauczysz si oblicza wspomniane wyej wielkoci opisujce ruch.Nauczysz si te cile przewidywa, w jakim miejscu w danej chwili znajdzie si pojazd, gdzie ikiedy pojazdy si spotkaj. Poznasz opis nie tylko ruchu po linii prostej, ale i ruchwkrzywoliniowych, ktre wykonuje np. pika w locie, samochd na uku autostrady czy satelita naorbicie.

Nauka o ruchu kinematyka bada zwizki midzy pooeniem, prdkoci i przyspieszeniem,nie wnikajc, skd si bior przyspieszenia czy siy. Badaniem si zajmuje si dynamika, ktrazostanie omwiona w nastpnym rozdziale.

Podstawowe pojcia opisujce ruchWzgldno ruchuCo to jest ruch? Jeeli mwimy, e pewne ciao jest w ruchu, rozumiemy przez to, e ciao tozmienia swoje pooenie wzgldem jakiego innego ciaa. Wynika std, e ruch jakiegokolwiekciaa jest zawsze okrelony wzgldem innego ciaa. Na tym polega wanie wzgldno ruchu, jakrwnie wzgldno spoczynku. Jeeli kto powie, e Ziemia porusza si z prdkoci 30 km/s,to takie zdanie jest niepene. Nabiera ono penego sensu, jeeli sformuujemy je w nastpujcysposb: Ziemia porusza si z prdkoci 30 km/s wzgldem rodka Soca. Dlatego zawszemusimy obra ukad odniesienia, zwykle ukad wsprzdnych, wzgldem ktrego bdziemyopisywa ruch cia.

Uwaga

Dla penego, ilociowego (a wic matematycznego) opisu ruchu, z ukadem odniesieniawiemy ukad wsprzdnych. Najlepiej znanym Ci ukadem wsprzdnych jest tzw. ukadkartezjaski, w jego dwuwymiarowej wersji. Na ukad ten skadaj si dwie osie liczboweoznaczane jako Ox i Oy. Przecinaj si one w umownym punkcie (0;0), w ktrym wyobraamysobie obecno ciaa, z ktrym zwizalimy ukad odniesienia.

Punkt materialnyDowolne ciao, ktrego rozmiary moemy zaniedba, nazywamy punktem materialnym. Jest tobardzo wygodne pojcie, poniewa zamiast opisywa ruch wszystkich czci ciaa, czstowystarczy okreli ruch punktu majcego mas tego ciaa. Na przykad, dla wyznaczenia czasuprzejazdu pocigu z Warszawy do Poznania wcale nie trzeba bada ruchu wszystkich czcipocigu. Zamiast opisywa ruch jakiej planety jako caoci, czsto wystarczy okreli ruch jejrodka.

Uwaga

Zastpowanie ciaa punktem materialnym jest przyblieniem czsto stosowanym w fizyce.Pamita jednak naley, e kade przyblienie niesie ze sob okrelone ograniczenia.Przykadowo, pojcie gstoci punktu materialnego nie istnieje. Nie mona take mwi oobrocie punktu materialnego.

Wektory i skalary. Przemieszczenie,pooenie i drogaPunkt materialny w trakcie ruchu zakrela pewn lini (ktra moe by prost lub krzyw). Lini tnazywamy torem ruchu punktu materialnego. W wielu przypadkach do opisu ruchu wystarczyznajomo pooenia oddzielnych punktw na torze. Jeeli punkt materialny znajduje si wpunkcie , a pniej w punkcie , to mwimy, e przemieszczeniem (lub przesuniciem) punktumaterialnego jest wektor (patrz rys. 1.1(2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys1)).

A B

AB

Rysunek 1.1 Wektor przemieszczenia

Jak widzimy, definicja wektora przemieszczenia nie mwi nam nic o torze, po ktrym punktmaterialny przeszed z do . Nie interesuje nas to, czy tor by prosty, czy krzywy. Po prostuprzemieszczenie to zmiana pooenia ciaa.

Rysunek 1.2 Animacja Kinematyka parametry ruchu

W celu okrelenia przemieszczenia musimy poda trzy informacje:1. warto przemieszczenia; naley zatem poda dugo odcinka ;2. kierunek przemieszczenia; w przypadku ruchu na paszczynie (w dwch wymiarach) naley

poda kt, jaki tworzy odcinek z jedn z osi lub na paszczynie;3. zwrot przemieszczenia; zwrot oznaczamy strzak (w tym przypadku od do ).

Wane

Wektor - wielko fizyczna, do okrelenia ktrej konieczne s trzy informacje: kierunek,

A B

AB

AB x yA B

( 1.1 )

zwrot i warto.

Natomiast wielkoci, dla okrelenia ktrych wystarczy poda tylko warto liczbow (zjednostk), nazywaj si skalarami. Na przykad, pole powierzchni jest skalarem, poniewa dlajego wyznaczenia wystarczy poda tylko liczb pewnych jednostek, podobnie temperatura(5C). Oto inne przykady wielkoci skalarnych: czas, masa ciaa, objto, gsto.

Wicej wiadomoci na temat wektorw znajdziesz w Operacje na wektorach(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10).

Wane

Skalar wielko fizyczna, do okrelenia ktrej wystarczy poda tylko jej warto orazjednostk.

Dodawanie wektorw o wsplnymkierunku i zwrocieJeeli ciao przemieszcza si wzdu prostej, najpierw o wektor , nastpnie o wektor , toprzemieszczenie wypadkowe okrelone jest przez wektor , ktry jest rwny sumie wektorw i . Zobacz rys. 1.3 (2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys2).

Rysunek 1.3 Suma wektorw

Suma dwch wektorw

Tak dodaj si nie tylko przemieszczenia, ale rwnie dowolne wektory majce wsplny kieruneki zwrot. Np. wektory prdkoci, w przypadku statku na rzece. Jeeli ruba nadaje statkowiprdko , a prdko prdu rzeki wynosi , to prdkoci si sumuj statek pynie zprdkoci wzgldem brzegu rzeki.

a b c a

b

= +c b a

= +c b a

v 1 v 2+v 1 v 2

( 1.2 )

Mnoenie i dzielenie wektora przez skalarIloczynem wektora przez skalar jest nowy wektor, ktry ma niezmieniony kierunek, ale jegowarto jest tyle razy wiksza, ile wynosi warto bezwgldna skalara. Na przykad, iloczynemskalara przez wektor jest wektor

o wartoci , majcy kierunek wektora . W przypadku gdy , rwnie zwrotwektora jest taki sam jak wektora .

Rysunek 1.4 Mnoenie wektora przez skalar Przykad mnoenia wektora przez skalar

atwo teraz moemy odpowiedzie na pytanie, jaki jest wynik dzielenia wektora przez skalar.Poniewa dzielenie przez jak liczb jest rwnowane mnoeniu przez odwrotno tej liczby,wic wynikiem dzielenia wektora przez skalar ( ) jest nowy wektor: ktry maniezmieniony kierunek, ale jego warto jest podzielona przez .

Zmiana zwrotu wektora na przeciwnyJeeli przed symbolem wektora postawimy znak minus, bdzie to oznacza, e wektor maprzeciwny zwrot. Na przykad oznacza wektor, ktry rni si od wektora tym, e maprzeciwny zwrot, podczas gdy kierunek i dugo wektora s takie same, jak wektora (rys. 1.5(2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys3)). Zatem zmiana znakuwektora na przeciwny oznacza jedynie zmian jego zwrotu.

Rysunek 1.5 Zmiana znaku wektora

Pytania i problemy1. W jakim celu w mechanice posugujemy si pojciem punktu materialnego? Scharakteryzuj

punkt materialny. Uzasadnij dlaczego stosowanie tego pojcia wyklucza: a) operowaniepojciem gstoci, b)opisywanie obrotw cia.

2. Co to znaczy, e ruch jest wzgldny?3. Czym rni si skalary od wektorw? Podaj definicj tych wielkoci. Podaj kilka przykadw

wielkoci wektorowych i skalarnych.4. Podaj, jakie trzy wielkoci charakteryzuj wektor.5. Podaj definicj przemieszczenia (lub przesunicia) punktu materialnego. Do jakiego typu

zaklasyfikowaby t wielko (skalar czy wektor)?6. Podaj 3 przykady dodawania wektorw o wsplnym kierunku.

k a

= kb a

b = |k| a a k > 0b a

k = 3

a z z 0 =c a z

|z|

a a a

7. Podaj przykad mnoenia wektora przez skalar.8. Czy zmiana zwrotu wektora na przeciwny ma jaki zwizek z mnoeniem wektora przez

skalar? Podaj przykad.9. Co otrzymamy, gdy podzielimy wektor przez skalar? Podaj przykad dla wybranej wartoci

wielkoci skalarnej, wraz z rysunkiem.

( 1.3 )

Droga i prdkoDla opisu ruchu prostoliniowego okrelimy nastpujce pojcia: pooenie, przemieszczenie(przesunicie) i droga. Zamy, e obserwujemy ruch samochodu na prostej szosie. Niech naszosie znajduje si punkt centralny , wzgldem ktrego mierzymy pooenie samochodu(rys. 1.6 (2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys6)). Chwilowe pooenie samochoduna szosie okrelamy, podajc odlego od punktu . Pooenie (czyli wsprzdn) poprzedzimyznakiem +, gdy samochd znajdzie si na prawo od niego, a gdy na lewo znakiem .Przyjmijmy, e w chwili pocztkowej samochd ma pooenie , w chwili pooenie .

Wskazwka

nie jest iloczynem i . Jest to jeden symbol oznaczajcy zmian wielkoci , ktra jestrwna warto kocowa tej wielkoci minus jej warto pocztkowa.

Rysunek 1.6 Ilustracja poj pooenie i przemieszczenie Samochd wyruszy z pooenia i dojecha do pooenie . W pooeniu samochd

zmieni zwrot jazdy na przeciwny i po pewnym czasie znalaz si w pooeniu , potem w ,nastpnie w punkcie i w kocu w

O

O

t0 s0 t1 s1

s = s2 s1

s s s

s0 s1 s1s0 s2

O s3

( 1.4 )

Rysunek 1.7 Animacja Kinematyka parametry ruchu

Zapytajmy teraz, jak drog przeby samochd. Oczywicie, wartoci drogi przebytej przezsamochd jest suma wszystkich kolejnych maych wartoci przemieszcze, przyczym, dla obliczenia drogi sumujemy bezwzgldne wartoci przemieszcze, niezalenie od tego,w ktr stron s zwrcone. Zatem, pooenie (wsprzdna) moe by dodatnie lub ujemne, aledroga jest zawsze dodatnia.

W przypadku ruchu przedstawionego na rys. 1.6(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys6) droga rwna jest sumie dugoci wszystkichodcinkw midzy kolejnymi pooeniami samochodu, przy czym odcinek ( ) policzony bdziedwukrotnie samochd jecha tym odcinkiem tam i z powrotem.

Pojcia: pooenie, przemieszczenie i droga moemy stosowa do opisu ruchu dowolnego ciaa,ktre uznajemy za punkt materialny.

Prdko redniaPowiedzmy, e punkt materialny przeby drog w czasie . Prdko redni punktumaterialnego w danym przedziale czasu definiujemy jako stosunek drogi do czasu , w jakim tadroga zostaa przebyta:

Jednostk prdkoci jest 1 metr na sekund ( ).

s0s1

s ts t

=vrst

1m/s

( 1.5 )

( 1.6 )

Prdko chwilowaNa pewno nieraz obserwowalicie prdkociomierz samochodu. Patrzc na prdkociomierz,zauwaamy, e wskazwka czsto zmienia swoje pooenie, co oznacza, e pojazd zmieniaprdko. Wskazwka pokazuje nam aktualn warto prdkoci aktualn, to znaczy chwilow,czyli prdko w danej chwili.

Zatem, prdko chwilowa jest to prdko mierzona w bardzo krtkim przedziale czasu, wdanej chwili. Na og wskazania prdkociomierza nie zgadzaj si z wartoci prdkociobliczon ze wzoru (1.4 (2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)), chyba e uyjemyprzemieszcze przebytych w bardzo maych przedziaach czasu. wystpio wprzedziale czasu . Zatem w tym przedziale czasu warto prdkoci redniej jestrwna:

Im mniejszy bdzie odcinek czasu , tym mniej prdko rednia bdzie si rni od prdkocichwilowej.

Przykad 1Rowerzysta jadcy ze sta prdkoci wyprzedza ruszajcy z przystankutramwaj. Tramwaj dogania rowerzyst, przegania go i zatrzymuje si na kolejnym przystanku.Odlego midzy przystankami wynosi . Oblicz, ile czasu na pokonanie tej drogizuy rowerzysta, a ile tramwaj, jeeli docieraj do przystanku jednoczenie.

Odpowied: Czas potrzebny na przebycie drogi przez rowerzyst i tramwaj jest taki sam iwynosi:

Zatem tramwaj jecha ze redni prdkoci tak sam jak rowerzysta, rwn 15 km/h, mimoe faktycznie ich prdkoci chwilowe byy rne.

Pytania i problemy1. Wymie wielkoci fizyczne opisujce ruch.2. Samochd wyjecha z Grjca o godzinie . W cigu 6 min przejecha 6 km i znalaz si w

miejscowoci Zaborw, po kolejnych 6 min i 40 s znalaz si w Biaobrzegach odlegych odGrjca o 16 km (rys. 1.8 (2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys7)). WBiaobrzegach samochd zawrci i jadc po tej samej szosie (E77), znalaz si w Grjcu pokolejnych 12 min. Zaznacz na rysunku na wsplnej osi pooenia miejscowoci: Grjec,Zaborw i Biaobrzegi.

Rysunek 1.8 Ilustracja do zadania

s s = s2 s1t = t2 t1

v =st

v = 15 km/h

s = 1 km

s

t = = h = 4minsv

115

1000

s

Rozmieszczenie miejscowoci wzdu szosy

Przyjmujc pooenie Grjca jako zerowe, podaj wartoci:a. pooenia samochodu w miejscowociach: Grjec, Zaborw i Biaobrzegi;b. przemieszczenia samochodu: Grjec Zaborw, Zaborw Biaobrzegi, Grjec

Biaobrzegi, Biaobrzegi Zaborw;c. drogi, jak przejecha z Grjca do Biaobrzegw;d. drogi, jak przejecha na caej trasie przejazdu.

3. Zakadajc warunki podane w punkcie 2, przyjmij teraz, e Zaborw ma pooenie zerowe.Podaj wartoci:

a. pooenia samochodu w miejscowociach: Zaborw, Biaobrzegi i Grjec;b. przemieszczenia samochodu: Zaborw Biaobrzegi, Biaobrzegi Zaborw, Zaborw

Grjec, Biaobrzegi Grjec;c. drogi, jak przejecha z Zaborowa do Grjca (przez Biaobrzegi).

4. Podaj definicj prdkoci redniej i chwilowej.5. Przyjmujc wartoci podane w p. 2, oblicz prdko redni samochodu (podaj j w km/h i w

m/s) na trasie:Grjec Zaborw,Zaborw Biaobrzegi,Grjec Biaobrzegi,Biaobrzegi Zaborw.

( 1.7 )

( 1.8 )

( 1.9 )

Ruch jednostajnyRuchem jednostajnym nazywamy taki ruch ciaa, w ktrym warto prdkoci nie zmienia sipodczas trwania ruchu, czyli

Zatem w ruchu jednostajnym, na kadym odcinku drogi prdko chwilowa jest jednakowa i jestrwna prdkoci redniej, . Stosujc wzr 1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4) otrzymamy . Na og przyjmujemy,e ; pozwala nam to zapisa , a std

Jest to rwnanie wane dla ruchu jednostajnego, gdy pozwala wyznaczy pooenie w chwili ,jeeli pooenie pocztkowe w chwili wynosio .

Rysunek 1.9 Animacja Kinematyka - ruch jednostajny

Zaleno pooenia od czasu jest funkcj liniow, ktrej wykres przedstawiono na rys. 1.10(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys8). Jak wiemy z matematyki, funkcja liniowa jestwyraona za pomoc wzoru

Nasz wzr (1.8 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq8)) ma podobn posta. Wida

v = const

vrv = ss0

tt0= 0t0 s = vts0

s = + vts0

t= 0t0 s0

s

y = ax+ b

( 1.10 )

to wyranie, jeeli napiszemy go nastpujco:

(odpowiednikiem zmiennej jest pooenie , a odpowiednikiem zmiennej jest czas ;podobnie odpowiednikiem wspcznynnika kierunkowego jest staa prdko , zaodpowiednikiem wyrazu wolnego jest pocztkowe pooenie ).

Wiemy, e ta funkcja na wykresie przedstawiona jest jako linia prosta nachylona do osi czasu podktem tym wikszym, im wiksza jest warto prdkoci ciaa , gdy wspczynnik kierunkowytej prostej jest rwny . Rysunek rys. 1.10 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys8)przedstawia t zaleno dla przypadku, gdy prdko jest zwrcona w stron malejcychwartoci (przed naley wtedy wstawi znak minus, gdy oznacza tutaj warto wektoraprdkoci) wtedy prosta na wykresie jest nachylona w d.

Rysunek 1.10 Droga i czas w ruchu jednostajnym Wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchu jednostajnym. a) W ruchu do przodu, czyli

kiedy prdko jest zwrcona w stron rosncych wartoci s - wtedy wykres przedstawiafunkcj rosnc. b) W ruchu do tyu, czyli kiedy prdko jest zwrcona w stron malejcychwartoci s - wtedy wykres przedstawia funkcj malejc.

Przykad 2Przypumy, e samochd w chwili znajdowa si na 920 kilometrze autostrady (

). Przez p godziny ( ) jecha ze sta prdkoci 120 km/h (). W tym czasie przeby drog . Znalaz si w

pooeniu , czyli na 980 kilometrze autostrady.

Jeli samochd jechaby w stron przeciwn, to rwnie w p godziny przebyby drog rwn60 km, ale znalazby si w pooeniu (na 860 kilometrzeautostrady).

Warto prdkoci w ruchu jednostajnym jest staa, zatem zaleno (1.7(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq7)) na wykresie zalenoci prdkoci od czasujest lini prost rwnoleg do osi czasu, jak na rys. 1.11(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys9).

s = vt + s0

y s x ta v

b s0

vv

s v v

s

= 0t0

= 920 kms0 t = 0,5hv = 120 km/h s = 120 km/h 0,5h = 60 km

s = 920 km + 60 km = 980 km

s = 920 km 60 km = 860 km

( 1.11 )

( 1.12 )

( 1.13 )

( 1.14 )

Rysunek 1.11 Graficzna interpretacja drogi Pole powierzchni pod wykresem zalenoci prdkoci od czasu jest miar drogi przebytej

przez ciao

Pole powierzchni prostokta zakrelonego na tym rysunku wynosi (iloczyn podstawy iwysokoci). Zatem, zgodnie ze wzorem (1.8 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq8)),oznacza ono drog . Mamy wic

Sformuujmy wniosek: pole powierzchni pod wykresem zalenoci prdkoci odczasu jest liczbowo rwne drodze przebytej przez ciao . Wniosek ten celowosformuowalimy oglnie, gdy jest on suszny dla dowolnego ruchu, nie tylko dla ruchujednostajnego. Skorzystamy z niego, gdy bdziemy wyprowadza wzr na drog w ruchujednostajnie przyspieszonym.

Przykad 3Samochd przejeda na autostradzie prostoliniowy odcinek ze sta prdkoci

, nastpnie na skutek ograniczenia prdkoci jazdy dalsze 5 km przejeda zesta prdkoci . Ile wynosi rednia prdko samochodu?

Odpowied: Do obliczenia redniej prdkoci zastosujemy wzr (1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Do wzoru musimy podstawi caprzebyt drog (w tym wypadku rwn przemieszczeniu samochodu)

oraz czny czas trwania ruchu na obydwuodcinkach drogi . Czas przebycia pierwszego odcinka drogi wynosi

Czas przebycia drugiego odcinka drogi wynosi

Podstawmy teraz otrzymane wartoci do wzoru (1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Otrzymamy

Zwr uwag, e uzyskana rednia prdko samochodu nie jest rwna redniej arytmetycznej

vt

s

s = vt

s = 5 km

= 100 km/hv1= 60 km/hv2

s = + = 5 km + 5 km = 10 kms1 s2t = + t1 t2 t1

= = = ht1s1v1

5 km

100 kmh

120

t2

= = = ht2s2v2

5 km

60 kmh

112

= = = 75vrst

10km

( ,+, )h120

112

kmh

prdkoci i .

Pytania i problemy1. Scharakteryzuj ruch jednostajny prostoliniowy.2. Znajc definicj prdkoci redniej i chwilowej, odpowiedz na pytanie: Jaki jest zwizek

midzy tymi wielkociami w ruchu jednostajnym prostoliniowym?3. Dla sytuacji opisanej w Przykad 1 (2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__p1.1.1)

wykonaj wykresy zalenoci prdkoci i pooenia rowerzysty od czasu.4. Dla sytuacji opisanej w Przykad 3 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__p1.3.1)

wykonaj wykresy zalenoci prdkoci i pooenia samochodu od czasu.5. Samochd przejeda na autostradzie prostoliniowy odcinek ze sta prdkoci

w cigu czasu , nastpnie na skutek ograniczenia prdkocijazdy, przez kolejne 10 min jedzie ze sta prdkoci . Wyka, e redniaprdko samochodu w cigu tych 20 min ma warto .

v1 v2

= 100v1 kmh = 10mint1= 60v2 kmh

80 kmh

( 1.15 )

Ruch jednostajnie przyspieszonyPrzyspieszeniePodobnie jak prdko, tak i przyspieszenie jest nam dobrze znane z dowiadcze codziennych.Na przykad, moemy wywoa przyspieszenie roweru, naciskajc mocniej peday. Im mocniejnaciniemy peday, tym wiksze wywoamy przyspieszenie. Oczywicie, w czasie przyspieszaniaprdko si zmienia. Naciskajc hamulec, rwnie wywoujemy zmian prdkoci, tylko e w tymprzypadku prdko maleje wystpuje zmniejszenie wartoci prdkoci. Takie przyspieszenie,ktre powoduje malenie prdkoci, nazywa si opnieniem.

Zawsze wtedy, gdy prdko si zmienia, musi wystpowa przyspieszenie. Im wiksza jestzmiana prdkoci w okrelonym przedziale czasowym, tym wiksza jest warto przyspieszenia.

To ostatnie stwierdzenie pozwala nam na ilociowe zdefiniowanie przyspieszenia. Jeeli wpewnym momencie prdko chwilowa punktu materialnego wynosia , a po upywie czasu wyniosa , to przyrost wartoci prdkoci dokona si w czasie . Zatemrednio na jednostk czasu przyrost prdkoci wynis

Wzr ten definiuje warto przyspieszenia redniego w czasie .

Jednostk przyspieszenia jest metr na sekund do kwadratu ( ). Jednostka ta wynika zewzoru (1.15 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq13)), gdy przyrostprdkoci wyraa si w metrach na sekund, a czas w sekundach.

Jeeli przyspieszenie zmienia si w czasie, to stosujemy wielko zwan przyspieszeniemchwilowym. Przyspieszenie rednie mierzone w bardzo maym przedziale czasu bdzie zblionedo prawdziwej wartoci przyspieszenia chwilowego.

v0 tv v = v v0 t

=arvt

t

1m/s2

v t

t

( 1.16 )

( 1.17 )

Rysunek 1.12 Animacja Kinematyka - ruch jednostajnie przyspieszony

Rwnania prdkoci i pooenia w ruchujednostajnie przyspieszonymJeeli ciao porusza si z przyspieszeniem o staej wartoci

a warto prdkoi w tym ruchu ronie w miar upywu czasu, to ruch taki nazywamy ruchemjednostajnie przyspieszonym. W tym przypadku przyspieszenie chwilowe jest zawsze rwneprzyspieszeniu redniemu. Zatem ze wzoru (1.16(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq14)) mamy

UWAGA

W ruchu prostoliniowym wzory wektorowe mona pomin. Odgrywaj one jednak wanrol w przypadku ruchu krzywoliniowego.

We wzorze (1.17 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15)) przyrost

a = const

a = (wektorowo = )vt

a v t

v = v t = t t

( 1.18 )

( 1.19 )

prdkoci nastpuje w czasie . Jeeli dla wygody za chwilpocztkow przyjmiemy 0 (t j. ), to przyrost czasu bdzie identyczny z , a wtedywzr (1.17 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15)) przyjmie posta

Std po prostym przeksztaceniu otrzymamy wzr

Jest to zaleno wartoci prdkoci ciaa od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Jejinterpretacja jest niezwykle prosta i jasna: prdko, jak uzyska ciao po czasie , jest rwnaprdkoci pocztkowej powikszonej o przyrost prdkoci, jaki nastpi w czasie trwania ruchu (

oznacza przyrost prdkoci w cigu 1 s, za w cigu ).

Zaleno prdkoci od czasu we wzorze (1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17)) ma charakter liniowy,zatem na wykresie (rys. 1.13(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10)) jest prost o nachyleniu doosi czasu tym wikszym, im wiksze jest przyspieszenie. Wzr (1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17)) wskazuje na to, ewspczynnik kierunkowy prostej bdcej wykresem prdkoci ma warto rwn .

Zastanwmy si, czy z wykresu zalenoci prdkoci od czasu mona odczyta, jak drogprzebywa ciao w czasie . Przypomnijmy sobie, e w przypadku ruchu jednostajnego, gdyprdko bya staa, droga bya wyraona przez pole powierzchni pod wykresem zalenociprdkoci od czasu (rys. 1.11 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys9)).Sformuowalimy wtedy wniosek oglny, dotyczcy dowolnego ruchu. Obecnie wykaemy, ewniosek ten jest suszny w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego. Pole powierzchni podwykresem prdkoci podzielimy na wskie paski o szerokoci (jeden z tych paskw jestwidoczny na rys. 1.13 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10)).

Rysunek 1.13 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchu jednostajnieprzyspieszonym

a) przyrost prdkoci jest proporcjonalny do czasu trwania ruchu, b) pole powierzchni podwykresem prdkoci mona zoy z maych paskw o szerokoci

Jeeli przedzia czasu uczynimy dostatecznie maym, to zmiana prdkoci w tym przedzialebdzie odpowiednio. Oznacza to, e prdko bdzie mona traktowa w odpowiednimprzyblieniu jako sta. Wobec tego pole powierzchni tego wskiego paska bdzie oznaczadrog przebyt przez ciao w czasie .

Suma tych wszystkich pl, wzita po wszystkich przedziaach w czasie , jest cakowitdrog przebyt przez ciao w czasie . Rozumowanie powysze jest rwnie prawdziwe woglnym przypadku, nawet gdy mamy do czynienia z ruchem o zmiennym przyspieszeniu. Zatem

v = v v0 t = t t0= 0t0 t t

a = (wektorowo = )v v0t

a v v 0t

v = + at (wektorowo = + t)v0 v v 0 a

t

a at t

a

t

t

t

t

t

t tt

( 1.20 )

( 1.21 )

( 1.22 )

( 1.23 )

( 1.24 )

pole powierzchni pod wykresem prdkoci o zmiennym przyspieszeniu, jak na rys. 1.14(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys11), jest rwne drodzeprzebytej przez ciao w czasie .

Rysunek 1.14 Wykres prdkoci o zmiennym przyspieszeniu Pole powierzchni pod wykresem zalenoci prdkoci od czasu jest liczbowo rwne drodze

przebytej przez ciao w czasie (w tym przypadku wystpuje przyspieszenie zmienne)

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, pole powierzchni na rys. 1.13(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10) jest polem trapezu opodstawach i oraz o wysokoci rwnej , czyli

Wynik (1.20 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18)) da siuzasadni rwnie w inny sposb. Moemy wykorzysta wzr na prdko redni (1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Wzr ten jest suszny dla dowolnego ruchu,wic musi by rwnie suszny dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Przyjmujc, e pooeniepocztkowe , otrzymamy, e droga po czasie jest rwna

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prdko ronie liniowo, od wartoci do wartoci wic rednia prdko jest rwna redniej arytmetycznej (tutaj rednia arytmetyczna odpowiadaprdkoci redniej zdefiniowanej za pomoc wzoru (1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)), gdy prdko w ruchu jednostajnieprzyspieszonym ronie liniowo w czasie; w jednakowych przedziaach czasu przyrosty prdkocis jednakowe) i wynosi

Podstawiajc ten wynik do wzoru , otrzymujemy: . Jest to wzr identyczny zewzorem (1.20 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18))!Podstawiajc we wzorze (1.20(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18)) w miejsce wyraenie:

, otrzymamy

Ostatecznie otrzymujemy wzr

Jeeli dodamy pooenie pocztkowe (w chwili ), otrzymamy pen zaleno pooeniaciaa od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

t

t

v0 v t

s = tv + v0

2

= 0s0 s t

s = tvrv0 v

=vrv+v0

2s = tvr s = t

v+v02

vv = + atv0

s = t = t + t ++ ( + at)v0 v0

2v0

2v0

2at2

2

s = t +v0at2

2

s0 t = 0

a 2

( 1.25 )

( 1.26 )

( 1.27 )

( 1.28 )

Zaleno ta jest kwadratow funkcj czasu, zatem na wykresie zalenoci pooenia ciaa odczasu opisuje j parabol (rys. 1.15(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys12)).

Rysunek 1.15 Wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchu jednostajnieprzyspieszonym prostoliniowym

Zapamitaj

Prdko i poozenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Rwnanie prdkoci w zalenoci od czasu :

gdzie prdko pocztkowa.

Rwnanie pooenia w zalenoci od czasu :

gdzie: pooenie pocztkowe, prdko pocztkowa.

Przykad 4Przyjmijmy, e podczas wystrzau pocisk w lufie porusza si ruchem jednostajnieprzyspieszonym i osiga u wylotu lufy prdko . Ile wynosi przyspieszeniepocisku w lufie karabinu i jak dugo trwa lot pocisku w lufie podczas wystrzau? Lufa ma dugo

.

Odpowied: Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego mamy dwa zasadnicze rwnania:rwnanie dla prdkoci (1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17)) i rwnanie dla drogi (1.25(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq20)). Ukad dwch rwnapozwoli nam na obliczenie dwch niewiadomych czasu lotu pocisku w lufie orazprzyspieszenia pocisku . Poniewa , wic

s = + t +s0 v0at2

2

v t

v = + atv0

v0

s t

s = + t +s0 v0at2

2

s0 v0

v = 800m/s

l = 60 cm

ta = 0v0

v = at

l

( 1.29 )

( 1.30 )

( 1.31 )

( 1.32 )

Droga pocisku jest rwna dugoci lufy , zatem

Z pierwszego rwnania mona wyznaczy

Zatem z drugiego rwnania otrzymujemy

Skd

Jest to olbrzymie przyspieszenie, ponad 54000 razy wiksze od przyspieszenia ziemskiego .Czas przelotu pocisku w lufie wynosi

Widzimy, e jest on bardzo may, gdy jest rwny 1,5 milisekundy.

Pytania i problemy1. Podaj definicj przyspieszenia redniego i chwilowego.2. Przyspieszenie pewnego ciaa jest stae i ma warto . Oblicz warto prdkoci

tego ciaa po czasie 1 s, po czasie 2 s i po czasie , przyjmujc, e prdko pocztkowatego ciaa ma warto zero.

3. Przedstaw na wykresach zaleno prdkoci od czasu i zaleno pooenia od czasu wtrakcie ruchu pocisku w lufie i poza ni (nie uwzgldniajc siy oporu powietrza i siygrawitacji), przyjmujc dane z Przykad 4(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__p1.4.1).

s l

l =at2

2

t = va

l =v2

2a

a = = = 533 333,33v2

2l

(800 )ms

2

2 0,6mm

s2

g

t = = = = 1,5 s = 1,5msv

a

2lv

2 0,6m800 m

s

10-3

2m/s2t

( 1.33 )

Przyspieszenie ziemskie, swobodnespadanie ciaBadaniem swobodnie spadajcych cia ju w staroytnoci zajmowa si Arystoteles. Nie opisajednak tego zjawiska prawidowo, poniewa w tym przypadku opar si przede wszystkim naspekulacjach mylowych, mimo e generalnie uznawa rol dowiadczenia. Taki sposb podejcia,czsto stosowany w staroytnoci, w wielu przypadkach prowadzi do bdnych wynikw.

Galileusz natomiast uznawa, e dowiadczenie rozstrzyga o prawidowoci rozwaateoretycznych. Dlatego osign wiele sukcesw w swoich badaniach. Tego typu podejcie staosi podstawow metod bada nowoytnej fizyki. Arystoteles nie zdawa sobie sprawy z roli,jak dla swobodnie spadajcych cia odgrywa opr powietrza. Nie uwzgldniano go a do XVIIwieku, kiedy to Galileusz przeprowadzi wiele dowiadcze ze swobodnie spadajcymi ciaami izrozumia, e w tym ruchu opr powietrza ma due znaczenie (rys. 1.17(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys14)). Wpyw oporu powietrza jest duydla cia lekkich i duych, dlatego swoje dowiadczenia wykonywa z ciaami cikimi i maymi.Stwierdzi (w granicach niepewnoci pomiarowej), e droga spadajcego ciaa jest wprostproporcjonalna do kwadratu czasu. Wobec tego ruch ciaa spadajcego w sytuacji, gdy moemypomi opr powietrza, jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Proporcjonalno drogi dokwadratu czasu atwo mona zauway, gdy we wzorze (1.24(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq19)) podstawimy (cooznacza, e spadanie jest swobodne bez nadawania prdkoci pocztkowej). Wtedy

= 0v0

s =at2

2

( 1.34 )

Rysunek 1.16 Galileusz i Krzywa Wiea a) Galileo Galilei, czyli Galileusz (15641642). Wielki uczony-odkrywca. Pooy fundamenty

pod nowoczesn metodologi badawcz fizyki; b) Krzywa Wiea w Pizie, z ktrej Galileuszzrzuca rne ciaa dla udowodnienia, e spadaj one w jednakowym czasie

Galileusz pierwszy stwierdzi, e przyspieszenie cia spadajcych w pobliu powierzchni Ziemi niezaley od ich masy (jeeli pominie si opory powietrza rys. 1.17(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys14)).

Rysunek 1.17 Kulki spadajce z jednakowym przyspieszeniem Rysunek sporzdzony na podstawie wspczesnego zdjcia stroboskopowego spadajcej

kulki wykonanego z otwart migawk. wiato byska w staych odstpach czasu, co 1/30sekundy. Obok kulki o duej masie spada kulka o masie maej. Wida, e kulki spadajjednoczenie, a wic kulki spadaj z jednakowym przyspieszeniem, niezalenie od wartoci ichmasy

Zapamitaj

Przyspieszenie ziemskie

Wszystkie ciaa w prni, w pobliu Ziemi, spadaj z jednakowym przyspieszeniem ,zwanym przyspieszeniem ziemskim

Jest to bardzo wany i ciekawy fakt dowiadczalny!

Naley zaznaczy, e warto jest redni, przyblion z dokadnoci do

g

g = 9,81m

s2

g = 9,81m/s2

( 1.35 )

( 1.36 )

( 1.37 )

( 1.38 )

( 1.39 )

( 1.40 )

( 1.41 )

( 1.42 )

drugiego miejsca po przecinku, ktra moe nieco si rni w zalenoci od szerokocigeograficznej i wysokoci nad poziomem morza. Na przykad, dla Warszawy ,a dla Nowego Jorku .

Spadajce ciao przebywa w pionie drog rwn wysokoci, z ktrej spada. Wysoko oznaczasi symbolem , wic dla swobodnego spadania, gdzie przyspieszenie wynosi , wzr (1.33(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq22)) przybierze posta

Przykad 5Zobaczymy, jak za pomoc stopera mona zmierzy gboko studni. Do studni upuszczonokamie i usyszano uderzenie o dno po czasie . Znajc przyspieszenie ziemskie

oraz szybko gosu w powietrzu , oblicz gboko studni.

Odpowied: Czas skada si z dwch przedziaw: czasu spadania kamienia, oraz czasu lotu dwiku w gr:

Rysunek 1.18 Animacja Do studni wpada kamie

Czas obliczymy z rwnania (1.35(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq23))

Czas znajdziemy z rwnania (1.11 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq9)) drogidwiku w ruchu jednostajnym:

Dodajc te dwa rwnania stronami, otrzymamy

Jest to rwnanie z szukan przez nas niewiadom , ktre po prostych przeksztaceniachprzyjmie posta:

Otrzymalimy rwnanie kwadratowe. Ma ono dwa pierwiastki:

Musimy obecnie wybra jedno z tych rozwiza, jako odpowiadajce rzeczywistoci. Zauwamy,e wyraz oznacza drog przelotu dwiku w caym czasie (bdcym cznym czasem,obejmujcym czas spadania kamienia i czas powrotu dwiku). Droga ta jest bez wtpieniaduo wiksza od rzeczywistej gbokoci studni. Rozwizanie drugie nie odpowiada wicrzeczywistoci, gdy daje warto jeszcze wiksz, zatem rozwizanie pierwsze daje

g = 9,81m/

g = 9,81230m/s2

g = 9,82067m/s2

h g

h =gt2

2

t = 1,6 sg = 9,81m/s2 v = 340m/s

t t1 t2

t = +t1 t2

t1

=t12hg

t2

=t2h

v

+ = + = tt1 t22hg

hv

h

g 2v(v + at)h+ g = 0h2 v2t2

= vt + h1v2

g

v

g+ 2vgtv2

= vt + +h2v2

g

v

g+ 2vgtv2

vt t

h

( 1.43 )

( 1.44 )

prawdziw gboko studni

Gboko studni wynosi 12 m.

Zwr uwag na to, e gboko studni mona oszacowa na podstawie rozumowaniauproszczonego. Zauwamy, e prdko dwiku jest duo wiksza ni rednia prdkospadajcego kamienia. To oznacza, e czas lotu dwiku w gr jest duo mniejszy niczas spadania kamienia . Zatem pomijajc w rwnaniu monaszybko oszacowa gboko studni z uproszczonego rwnania

Jak wida, tak oszacowana gboko studni mao rni si od wartoci dokadniejszej:.

Umiejtno oszacowania wielkoci jest wana, bo pozwala sprawdzi, czy otrzymany wynikoblicze jest sensowny; czsto te warto przybliona jest wystarzajca dla celwpraktycznych.

Pytania i problemy1. W jaki sposb mona stwierdzi, e przyspieszenie spadajcych cia nie zaley od ich

masy?2. Kiedy mona pomin opr powietrza przy swobodnym spadaniu cia? Rozwa trzy moliwe

czynniki: mas spadajcego caa, jego ksztat oraz wysoko z jakiej ciao upuszczamy.3. Z kawaka grubego papieru wytnij krek o rednicy nieco mniejszej od rednicy monety.

Upu jednoczenie monet i krek z tej samej wysokoci (rys. 1.19(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys16)). Powtrz to dowiadczenie zkrkiem papieru umieszczonym pod i nad monet. Postaraj si, aby moneta i krekspaday pasko bez obrotw. Opisz wnioski z tych dowiadcze.

Rysunek 1.19 Ilustracja do pytania 3 a) Upuszczanie rwnoczesne monety i papierowego krka, b) upuszczanie monety ze

znajdujcym si pod ni krkiem papierowym, c) upuszczanie monety ze znajdujcym sinad ni krkiem papierowym

Obserwuj moment upadania tych przedmiotw na podog. We wnioskach z dowiadczepowoaj si na Galileusza i uwzgldnij opr powietrza. Zauwa, e w przypadkach b) i c)efektywny opr ruchu dziaajcy na krek papierowy jest taki sam jak opr dziaajcy namonet.

4. W jaki sposb Galileusz stwierdzi, e wszystkie ciaa w prni, w pobliu Ziemi spadaj zjednakowym przyspieszeniem ziemskim ?

5. Z wysokoci pocztkowej nad ziemi spada swobodnie ciarek. Napisz rwnaniepooenia ciarka w zalenoci od czasu w przypadku, gdy:

a. o pooenia wysokoci jest skierowana w d, a punkt zerowy znajduje si wmiejscu startu ciarka;

b. o pooenia wysokoci jest skierowana w gr, a punkt zerowy znajduje si naziemi.

= vt + = 340 1,6 s+ = 12mh1v2

g

v

g+ 2vgtv2

ms

(340 )ms

2

9,81 ms2

340 ms

9,81 ms2

+ 2 340 9,81 1,6 s(340 )ms

2m

s

m

s2

t2t1 t2 t1 t2 t = +t1 t2

t = std h = = 12,56mt12hg

gt22

h = 12m

gH0

h th

h

( 1.45 )

Dowiadczenie GalileuszPowtrzymy synne dowiadczenie, ktre wykonywa Galileusz ze swobodnie spadajcymiciaami. Dowiadczenie to moesz wykona te wirtualnie za pomoc animacji(2_1_6_doswiadczenie_galileusz.html#task_2_h1.6__anim1.6).

Przygotujmy kilka ciarkw o rnych masach, ktre bdziemy puszcza z wysokoci , kilkastoperw do pomiaru czasu spadania ciarkw (mog to by stopery w telefonachkomrkowych) oraz tam miernicz do pomiaru wysokoci . Dowiadczenie wykonujemy wnastpujcy sposb:

Najpierw mierzymy wysoko , z ktrej bdziemy spuszcza ciarki (moe to by wysokodrugiego lub trzeciego pitra budynku). Pamitajmy take o zabezpieczeniu przewidywanegomiejsca upadku ciarkw czym mikkim, by nie zniszczy podoa. Nastpnie na dany sygna(np. przez nauczyciela) jeden ucze puszcza ciarek, a inni mierz czas spadania stoperami. Tesame czynnoci powtarzamy z innymi ciarkami.

Po zakoczeniu pomiarw wykonamy jeszcze jedno dowiadczenie: Wszystkie ciarki (ornych masach) pucimy jednoczenie i zwrcimy uwag na to, czy ciarki upady na ziemi wtej samej chwili.

Wyniki pomiarw zapisujemy w tabelce przygotowanej wedug wzoru przedstawionego wrys. 1.20 (2_1_6_doswiadczenie_galileusz.html#task_2_h1.6__tab1.6.1). Jeeli czas spadaniciarkw jest mierzony przez wicej ni troje uczniw, to odpowiednio zwikszamy liczbkolumn w tabeli.

Rysunek 1.20 Tabelka pomiarw

Dla kadego ciarka obliczamy czas redni spadania oraz przyspieszenie ziemskie ,korzystajc ze wzoru (1.35(../topics/2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq23)), z ktrego otrzymujemy

Oceniamy niepewnoci pomiarw zgodnie z opisem w Ocena niepewnoci pomiarowych(../topics/2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7). Najpierw oceniamyniepewno pomiaru czasu redniego jako sum wartoci najmniejszej dziaki stopera (np. 0,1s) i czasu reakcji przy wczaniu i wyczaniu stopera (np. 0,1 s + 0,1 s, wic w sumie

).

Musimy przy tej okazji krytycznie spojrze na uzyskane pojedyncze wyniki czasu spadania irozstrzygn, czy ktry z nich nie jest obarczony bdem grubym, czy nie jest efektempomyki. Sprawdzamy zatem, czy kady pojedynczy pomiar odstaje od redniej w swojej serii niebardziej, ni o . Jeeli wychwycimy wynik, ktry nie mieci si w przedziale , topowinnimy rozway jego wyeliminowanie z serii i ponowne obliczenie wartoci .

Odpowiadamy na pytanie, czy czasy spadania ciarkw o rnych masach s jednakowe wgranicach niepewnoci pomiarowej. Jaki wypywa std wniosek?

h

h

h

g

g =2h

t2

t

t = 0,3 s

t ttrtr

( 1.46 )

Ocemy teraz niepewno pomiarow wysokoci . Musimy uwzgldni moliwo, e ciarkispuszczalimy z nieco rnicych si wysokoci (przyjmujemy, e niepewno std wynikajcanie przekracza 2 cm). Ponadto podoe, na ktre spaday ciarki, nie jest idealnie poziompaszczyzn (np. rnice wysokoci mogy wynosi 3 cm). Dokadno przyoenia tamymierniczej oraz ograniczona dokadno tamy (warto najmniejszej dziaki tamy mierniczej)powiksza nam niepewno pomiarow (np. o dodatkowe: 1 cm + 1 cm = 2 cm). Przyjmujemy, ewszystkie te czynniki, sumujc si, daj czn warto niepewnoci pomiaru wysokoci (wnaszym przykadzie ).

Obliczamy niepewno pomiaru przyspieszenia ziemskiego , korzystajc z reguy podanej wOcena niepewnoci pomiarowych(../topics/2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7). W naszym przypadkuniepewno wzgldn wyniku pomiaru obliczamy wedug wzoru

Sprawdzamy, czy otrzymane wartoci dla rnych mas ciarkw rni si midzy sob wgranicach obliczonej niepewnoci pomiarowej. Obliczamy warto redni .

Oblicz rnic midzy a znan wartoci (tablicow). Jaki wynika stdwniosek?

Jako podsumowanie dowiadczenia piszemy zasadniczy wniosek kocowy: co byo celemdowiadczenia i czy wyniki pomiarw s zgodne z naszymi oczekiwaniami zawartymi wsformuowaniu celu dowiadczenia.

Sprawozdanie z dowiadczenia Galileusz (http://../images/Sprawozdanie1_r.doc)

h

hh = 2 cm + 3 cm + 2 cm = 7 cm

g

= = + 2gg

hh

tt

ggr

gr g = 9,81m/s2

http:/images/Sprawozdanie1_r.doc

Rysunek 1.21 Animacja Galileusz - dowiadczenie wirtualne

1. Uruchom animacj klikniciem myszy.Stoper uruchamia si sam w momencie, gdy chopiec upuszcza pik.

2. Obserwuj ruch spadajcej piki i zatrzymaj animacj w momencie, gdy pika upada na ziemi.3. Zanotuj odczyt stopera (z unieruchomionej animacji) i wpisz do tabelki pomiarw w

sprawozdaniu.Przyjmij, e wysoko . Nastpnie, powtrz czynnoci 1-3. Momentzastopowania animacji zaley od czynnikw przypadkowych (twj refleks). Dlatego, tak jakw realu za kadym razem uzyskasz nieco inny odczyt na stoperze - to pozwoli ciwaciwie oceni niepewnoci pomiarowe dowiadczenia. Niepewno oce tak, jak wdowiadczeniu realnym.

H = 8m

H

Ocena niepewnoci pomiarowychKady wynik pomiaru daje tylko warto przyblion rzeczywistej wartoci . Spowodowanejest to tym, e:

1. przedmiot, ktry mierzymy, jest niedoskonay, np. przy pomiarze dugoci stwierdzamy, eprzedmiot nie jest idealnie rwny; z kolei gdy mierzymy odstp czasu to synchronizacjarozpoczcia pomiaru z pocztkiem zjawiska nie jest idealna (podobnie jest z synchronizacjzakoczenia pomiaru z kocem zjawiska);

2. pomiar zawsze odbywa si z ograniczon dokadnoci wynikajc zarwno z czynnocipomiarowych, jak i z wykonania samego przyrzdu pomiarowego, np. przy pomiarzedugoci wystpuje: niedokadne przyoenie linijki, nieprecyzyjne wykonanie podziaki,okrelona grubo kresek podziaki, itd.

Mimo e prawdziwa warto wielkoci mierzonej nie jest znana, moemy okreli przedziawartoci, w ktrym si ona mieci. Poow szerokoci tego przedziau nazywamy niepewnocipomiarow . Przyjmujemy, e warto rzeczywista mieci si z duymprawdopodobiestwem w przedziale midzy: a , gdzie jest wartocizmierzon. Na przykad, mierzc dugo prta, otrzymalimy warto iniepewno pomiarow . Przyjmujemy wic, e dugo zmierzonego prta wynosi

.

Wane

Niepewno pomiarowa jest miar precyzji pomiaru; podaje ona dopuszczalne odchyleniewyniku pomiaru od prawdziwej wartoci wielkoci mierzonej.

Niepewnoci pomiarowe mona zmniejszy, stosujc dokadniejszy przyrzd lub dokadniejszmetod pomiaru. Jednake nie jestemy w stanie ich cakowicie wyeliminowa. Pozaniepewnociami pomiarowymi wystpuj bdy pomiarowe, ktrych mona unikn. Bdypomiarowe powstaj czsto na skutek przeoczenia lub pominicia wanego czynnikawpywajcego na pomiar, np. przy pomiarze dugoci prta nie zauwaamy jego wygicia.

Dla zmniejszenia niepewnoci pomiarowej wykonujemy pomiar wielokrotnie, wtedy czstoposzczeglne wyniki pomiaru nieco rni si od siebie, gdy kady pomiar obarczony jestprzypadkow niepewnoci pomiarow. Obliczajc redni arytmetyczn z tych pomiarw,otrzymujemy warto najbardziej zblion do wartoci rzeczywistej. Czasami zdarza si, ejeden wynik pomiaru rni si znacznie od pozostaych. Wtedy odrzucamy go i nie uwzgldniamyprzy obliczaniu wartoci redniej, gdy mamy prawo sdzi, z duym prawdopodobiestwem, epowsta na skutek bdu pomiaru. Mwimy, e ten wynik pomiaru jest obarczony bdemgrubym.

Przy ocenie niepewnoci pomiarowych pojedynczego pomiaru bierzemy pod uwag wszystkieczynniki, ktre wpywaj na jego dokadno. Suma wszystkich przyczynkw daje cznniepewno pomiarow. Sposb oceniania niepewnoci pomiarowych zaley od konkretnejsytuacji. Zapoznamy si z nim przy okazji wykonywania opisanych dowiadcze.

Zastanwmy si teraz, jak obliczy niepewno pomiarow w przypadku, gdy wynikiem pomiarujest wielko zoona, dana za pomoc wzoru matematycznego, ktrego elementami swielkoci obarczone niepewnoci pomiaru. Rozwaymy sytuacj, w ktrej bezporedniozmierzylimy dwie niezalene wielkoci: oraz ; oszacowalimy take ich niepewnocipomiarowe i . Wielko zoon (z wielkoci elementarnych oraz ) oznaczymysymbolem .

x x0

x(x x) (x+ x) x

x = 36,4 cmx = 0,3 cm

l = (36,4 0,3) cm

x yx y x yz

( 1.47 )

( 1.48 )

( 1.49 )

( 1.50 )

UWAGA

Jeeli wielko zoona jest przedstawiona za pomoc sumy lub rnicy wielkocimierzonych bezporednio, to niepewno wyniku pomiaru jest rwna sumie niepewnocipomiarw i .

UWAGA

Jeeli wielko zoona jest przedstawiona za pomoc iloczynu lub ilorazu, to wzgldnaniepewno wyniku pomiaru jest rwna sumie wzgldnych niepewnoci pomiarowych i (wzgldn niepewnoci pomiarow nazywamy iloraz niepewnoci pomiarowej iwartoci wielkoci mierzonej).

Zastosowalimy tu znaki bezwzgldnej wartoci, poniewa przyjmujemy, dla ocenymaksymalnej niepewnoci pomiaru, przypadek najbardziej niekorzystny, gdy niepewnocipomiaru sumuj si z tym samym znakiem.

Uwaga

atwo moemy zrozumie, dlaczego w przypadku iloczynu dwch mierzonych wielkoci i sumujemy niepewnoci wzgldne i . Niepewno iloczynu wynosi

. Po wymnoeniu wyrae w nawiasach otrzymamy

Iloczyn dwch maych wielkoci jest bardzo may w porwnaniu z pozostaymiwyrazami i mona go zaniedba. Std otrzymujemy regu dodawania wzgldnychniepewnoci pomiarowych:

Wynik ten mona zilustrowa graficznie. Niech prostokt ma boki o dugociach i . Jegopole powierzchni ma warto . Jeli zwikszymy bok a o i jednoczeniezwikszymy bok b o , to pole powierzchni zwikszy si o .

zz

x y

gdy z = z+ y lub z = z y to z = x+ y

zzz

xy

gdy z = x y lub z = to = +x

y

zz

xx

yy

x yxx

yy

(xy) = (x+ x) (y + y) xy

(xy) = xy + yx+ xy

xy

= +(xy)xy

xx

yy

a bS = a b a

b S

( 1.51 )

( 1.52 )

Rysunek 1.22 Graficzna ilustracja mnoenia niepewnoci pomiarowych

Ze wzoru 1.49 (2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqA)otrzymujemy

Na t zmian skadaj si trzy przyczynki, pokazane na rysunku. Te przyczynki odpowiadajtrzem skadnikom sumy we wzorze (1.51(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqB)). Wida take, eprzyczynek moe by pominity wobec pozostaych dwch. Jeli teraz wzr (1.51(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqB)), z pominitymskadnikiem , podzielimy obustronnie przez , to otrzymamy:

Na zakoczenie podamy jeszcze zasady zaokrglania wynikw i niepewnoci pomiarowych.

W przypadku gdy warto niepewnoci pomiarowej ma pierwsz cyfr znaczc mniejsz od 3,podajemy j z dokadnoci do dwch miejsc znaczcych, w pozostaych przypadkachzaokrglamy j do jednej cyfry znaczcej.

Wane

Cyfry znaczce to wszystkie cyfry liczby dziesitnej z wyjtkiem zera z lewej strony tejliczby.

Taki sposb zaokrglania wynika z faktu, e zwykle nie jestemy w stanie wyznaczyniepewnoci pomiarowej z dokadnoci lepsz ni 20% jej wartoci. Oto przykady waciwychzaokrgle:

S = |b a| + |a b| + |a b|

a b

a b S = a b

= +SS

aa

bb

0,00134 0,0013 = 1,3 10-3

0,0103 0,010 = 1,0 10-2

0,0302 0,03 = 3 10-2

UWAGA

Wynik pomiaru zaokrglamy zawsze do tego samego miejsca dziesitnego, do ktregozaokrglilimy niepewno pomiarow.

Oto przykady wynikw pomiaru prawidowo zaokrglonych:

W przypadku gdy celem pomiaru jest zbadanie zalenoci midzy wielkociami, wynikprzedstawiamy na wykresie. Przeprowadzamy wtedy graficzn ocen i dyskusj niepewnocipomiaru. Takie postpowanie omwimy przy okazji Dowiadczenie Akceleracja(../tasks/2_1_13_doswiadczenie_akceleracja.html#task_2_h1.13).

Uwaga

Gdy wykonujemy pomiar wielokrotnie, a niepewnoci pomiarow rzdzi przypadek, tookazuje si, e wyniki pomiarw ukadaj si w pewien prawidowy sposb. Na przykad, wcelu wyznaczenia masy zotego piercionka waono go wielokrotnie na wadze, ktrej skalapozwalaa na odczyt wartoci z dokadnoci do 1mg (0,001g). Uzyskane wyniki przedstawiatabela rys. 1.23 (2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__tab1.7.1).

Rysunek 1.23 Tabelka pomiarw masy piercionka

Liczba przypadkw , w ktrych uzyskano konkretn warto masy przedstawiona jest nawykresie histogramie (rys. 1.24(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__rys17)). Widzimy, e wynikiukadaj si na charakterystycznej krzywej majcej ksztat dzwonu, nazywanej krzywGaussa. Krzywa ta wyraa ogln prawidowo statystyczn w naszym przykadzie faktintuicyjnie zrozumiay, e najczciej wystpuj wyniki pomiaru zblione do wartocirzeczywistej, a coraz rzadziej otrzymuje si wynik pomiaru z coraz to wikszym odchyleniemod wartoci rzeczywistej.

Za najbardziej zblion do wartoci rzeczywistej uznajemy redni arytmetyczn wynikw,ktra w tym przypadku praktycznie pokrywa si z wynikiem najczciej wystpujcym(maksimum krzywej).

6 270 6 103

l = (1,4841 0,0013)m

m = (320 40) g

t = (86,3 0,6) s106

n

Rysunek 1.24 Liczebno wystpowania wynikw pomiarowych przywielokrotnych pomiarach

Przypomnij sobie zasady porwnywania wynikw z tomu I.

Pytania i problemy1. Czy dowolny pomiar wielkoci fizycznej moe by dokonany z bezwzgldn dokadnoci, z

niepewnoci pomiarow rwn zeru? Odpowied uzasadnij.2. Podaj przyczyny, dla ktrych kady pomiar jest obarczony niepewnoci pomiarow.3. Podaj przyczyny, dla ktrych pomiar moe by obarczony bdem pomiarowym.4. Co to jest niepewno pomiarowa? Podaj definicj niepewnoci pomiarowej.5. Podaj, jakim wzorem zapiszemy niepewno pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest on

wyraony w postaci sumy pomiarw bezporednich.6. Podaj, jakim wzorem zapiszemy niepewno pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest on

wyraony w postaci rnicy pomiarw bezporednich.7. Co to jest niepewno wzgldna pomiaru?8. Podaj, jakim wzorem zapiszemy niepewno pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest on

wyraony w postaci iloczynu pomiarw bezporednich?9. Powiedzmy, e mierzc dugo tyczki, otrzymae warto , a niepewno

pomiarowa ocenie na . Zapisz wynik pomiaru dugoci tyczki (stosujcwaciwe zaokrglenia).

l = 1,456ml = 0,5 cm

( 1.53 )

( 1.54 )

( 1.55 )

( 1.56 )

Ruch jednostajnie opnionyJeeli przyspieszenie jest zwrcone w stron przeciwn do prdkoci ruchu ciaa, toprdko bdzie coraz mniejsza i bdziemy mieli do czynienia z ruchem opnionym.Przyspieszenie zwrcone przeciwnie do prdkoci ciaa nazywa si opnieniem. Jeeliopnienie jest stae, to ruch nazywamy jednostajnie opnionym.

Wzory na prdko (1.26 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq_jp_v))i pooenie (1.27 (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq_jp_s)) w ruchujednostajnie przyspieszonym przechodz we wzory dla ruchu jednostajnie opnionego, gdyzmienimy znak przy na ujemny. Wtedy wzr na prdko przyjmie posta:

Uwaga

Trzymajc si cile wzoru (1.15(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq13)) - definicjiprzypieszenia - w postaci:

trzeba przyj, e przypieszenie jest ujemne w ruchu opnionym (gdy prdko ciaa jestdodatnia i zmniejsza si, bo wtedy ). Jednake mwienie o przypieszeniu w ruchuopnionym jest niezrczne, dlatego stosuje si termin opnienie zamiast wartobezwzgldna ujemnego przypieszenia.

Wyobramy sobie, na przykad, hamujcy samochd. Jego prdko zmniejsza si od wchwili do v mniejszego od . Zmiana prdkoci jest ujemna, a wic iprzyspieszenie te jest ujemne. Zatem opnienie jako warto bezwzgldnaprzyspieszenia ujemnego, jest rwne ubytkowi prdkoci w jednostce czasu

.

Wzory na prdko i pooenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym przechodz we wzory dlaruchu jednostajnie opnionego, gdy zmienimy znak przy na ujemny. Wtedy wzr na prdkoprzyjmie posta:

Prdko po czasie jest rwna prdkoci pocztkowej pomniejszonej o zmian prdkoci, jaka si dokonaa w czasie . Wzr (1.55

(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26)) przedstawia zaleno liniowmalejcej prdkoci od czasu . Na wykresie jest to linia prosta opadajca ku doowi (rys. (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys18)). Punkt przecicia tej prostej zosi czasu wyznacza chwil , w ktrej prdko zmaleje do zera; mona otrzyma zrwnania (1.55 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26)), podstawiajc

. Otrzymamy , skd

a v

a

v = atv0

a =v v0t

> vv0

v0t = 0 v0 v = v v0

a = v/t

a = ( v)/tv0

a

v = atv0

t v0at t

t

tk tk

v = 0 0 = atv0

=tkv0

a

( 1.57 )

W przypadku gdy opnienie ciaa wywoane jest przez opory ruchu, np. przez tarcie albohamowanie samochodu, to wtedy jest czasem trwania ruchu jednostajnie opnionego ciaokoczy swj ruch.

W przypadku gdy przyspieszenie zwrcone przeciwnie do prdkoci nie przestaje dziaa nadalwystpuje po osigniciu zerowej prdkoci, ciao kontynuuje swj ruchu. Zmienia si jednakzwrot jego prdkoci. Z tak sytuacj mamy do czynienia np. w przypadku rzutu pionowego dogry (ktry zostanie omwiony w dalszej czci tego rozdziau). W takiej sytuacji nastpujezmiana zwrotu prdkoci w najwyszym punkcie toru. Na wykresie zalenoci prdkoci od czasu(rys. (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys18)) dalsze trwanie ruchuobrazuje odcinek linii pod osi czasu.

Rysunek 1.25 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchu jednostajnieopnionym

Rwnanie (1.55 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26)) obejmujezarwno ruch do przodu, czyli o zwrocie prdkoci zgodnym ze zwrotem osi wsprzdnejpooenia ciaa, jak i ze zwrotem przeciwnym (kiedy ciao si cofa); wtedy na wykresie maformalnie znak minus, co nie oznacza, oczywicie, e warto wektora prdkoci jest ujemna!

A oto rwnanie zalenoci pooenia ciaa od czasu w ruchu prostoliniowym jednostajnieopnionym:

Wykresem zalenoci pooenia ciaa od czasu w ruchu jednostajnie opnionym, zgodnie zewzorem (1.57 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28)), jest parabola ogaziach opadajcych ku doowi (rys. 1.26(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys19)). Z wykresu moemy odczyta,e warto wsprzdnej pooenia ciaa pocztkowo narasta, ale coraz wolniej, a do wartocimaksymalnej.

Maksimum wystpuje dla czasu . Dalsza cz krzywej oznaczona jest lini przerywan, dlaktrej warto wsprzdnej pooenia ciaa maleje. Oznacza to, e w tym czasie ciao si cofa.

tk

v

s = + t s0 v0at2

2

s

tk

Rysunek 1.26 Wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchu jednostajnieopnionym

Rysunek 1.27 Animacja Kinematyka - ruch jednostajnie opniony

Przykad 6Samochd jedzie z prdkoci . Nagle kierowca zauwaa przeszkod wodlegoci . Czy ma on moliwo uniknicia zderzenia z przeszkod, jeeli najwikszedostpne opnienie podczas hamowania wynosi ?

s t

= 100 km/hv0

l = 50ma = 4,9m/s2

( 1.58 )

( 1.59 )

( 1.60 )

( 1.61 )

( 1.62 )

( 1.63 )

( 1.64 )

Rysunek 1.28 Samochd hamujcy przed przeszkod

Odpowied: Zakadamy, e podczas hamowania ruch samochodu jest jednostajnie opniony,obliczymy drog, jak przebyby samochd, gdyby nie napotka przeszkody. Przyjmijmy, e

, zatem wzr (1.57 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28))przyjmie posta

Podstawiajc do niego czas hamowania wyraony wzorem (1.56(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27)): , otrzymamy

Prdko pocztkowa samochodu wyraona w metrach na sekund wynosi

Zatem

Widzimy, e droga hamowania jest znacznie wiksza od odlegoci od przeszkody!Kierowca nie jest w stanie unikn zderzenia.

Obliczmy jeszcze prdko , z jak samochd uderzy w przeszkod. Znamy drog orazprdko pocztkow , ale nie znamy czasu dotarcia samochodu do przeszkody. Zgodnie zrwnaniem (1.53 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq25)) czas ten jestrwny

Tak wyraony czas podstawiamy do wzoru (1.39(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq24a)):

Std

= 0s0

s = t v0at2

2

t = =tkv0a

s = ( ) =v0 v0a

a

2( )v0a

2 v202a

= 100 = = 27,78v0km

h

100 000m3 600 s

m

s

s = = 78,7m(27,78 )m

s

2

2 4,9 ms2

s l = 50m

v lv0 t

t = vv0a

l = t = v0at2

2v0

vv0a

a

2( v)v0

2

a2

l =v20 v

2

2a

( 1.65 )

( 1.66 )

( 1.67 )

Rozwizujc to rwnanie wzgldem , otrzymamy szukan prdko zderzenia samochodu zprzeszkod

Samochd uderzy wic w przeszkod z prdkoci o wartoci 60,4 km/h.

Przykad 7Wyobra sobie, e samochd spada z pewnej wysokoci i uzyskuje prdko tak, jakobliczona w Przykad 6 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__p1.8.1) (60,4km/h). Oblicz t wysoko.

Odpowied: Samochd w swoim hipotetycznym upadku porusza si ruchem jednostajnieprzyspieszonym, z pocztkow prdkoci , z przyspieszeniem ziemskim ,przebywajc w czasie drog rwn . Wykorzystajmy wic wzr oraz wzr wnastpujcy sposb:

Rysunek 1.29 Spadajcy samochd Efekt zderzenia z przeszkod samochodu jadcego z prdkoci 60 km/h odpowiada

upadkowi samochodu z dachu budynku czteropitrowego

Zatem

Jest to (w dobrym przyblieniu) wysoko budynku czteropitrowego. Innymi sowy, samochdzderzy si z przeszkod z prdkoci, jak uzyskaby przy upadku z dachu czteropitrowegobudynku (rys. 1.29 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys21)).

Pytania i problemy1. Czym rni si ruch jednostajnie przyspieszony od ruchu jednostajnie opnionego?2. Co to jest opnienie? Dlaczego stosujemy pojcie opnienie a nie ujemne

przyspieszenie?

v

v = = = 16,78 = 60,4 2alv20 2 4,9 50m(27,78 )m

s

2m

s2

ms

km

h

h

= 0v0 g

t h h = gt2

2v = gt

h = = = =gt2

2g2 t2

2g(gt)2

2gv2

2g

h = = = 14,35mv2

2g(16,78m/s)2

2 9,81m/s2

3. Czy wzory na pooenie i prdko w ruchu jednostajnie przyspieszonym rni si od ichodpowiednikw w ruchu jednostajnie opnionym?

4. Wykonaj wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchach jednostajnie zmiennych wgprzykadw 6 i 7.

5. Wykonaj wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchach jednostajnie zmiennych wgprzykadw 6 i 7.

s t

( 1.68 )

( 1.69 )

( 1.70 )

Rzut pionowy w grJeeli ciau nadamy prdko pocztkow w kierunku pionowym w gr, to w caym czasieruchu ciao ma stae przyspieszenie ziemskie zwrcone pionowo w d, a wic w stronprzeciwn do prdkoci pocztkowej . Zatem ciao, wznoszc si, wytraca stale prdko, ado chwilowego zatrzymania si wtedy prdko chwilowa . W tym momencie ciao osigamaksymaln wysoko (rys. 1.30 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__rys22)). Tapierwsza faza ruchu w gr jest ruchem jednostajnie opnionym ze staym opnieniemrwnym , oczywicie pod warunkiem, e pominiemy w tym zagadnieniu opr powietrza. Wdrugiej fazie ruchu ciao swobodnie spada.

Obliczmy maksymaln wysoko , na ktr wzniesie si ciao (nie uwzgldniamy tu, zgodnie zzaoeniem, oporu powietrza). Wykorzystamy wzr na pooenie ciaa w ruchu jednostajnieopnionym (1.57 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28)). Pooenie w naszym zagadnieniu jest tosame z wysokoci , przyjmijmy oraz . Mamyzatem

Jest to rwnanie wysokoci na jakiej znajduje si ciao w kadej chwili, podczas rzutu pionowegow gr. Maksymaln wysoko na jak wzniesie si ciao otrzymamy, gdy do tego wzorupodstawimy czas wznoszenia . Zgodnie ze wzorem (1.56(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27)) dla mamy .Zatem

Std

Rysunek 1.30 Rzut pionowy w gr Maksymalna wysoko wynosi

Zaleno pooenia (czyli wysokoci) ciaa rzuconego pionowo w gr od czasu, zgodnie zewzorem (1.68 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29)), pokazana jest na rys. 1.31(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__rys23). Wykres przedstawia parabol, ktrejmaksimum odpowiada najwikszej wysokoci po upywie czasu . Parabola dotyka osi czasuw dwch punktach i . Punkt odpowiada chwili wyrzucenia ciaa . Punkt odpowiadaczasowi , gdy ciao ponownie zetknie si z ziemi wysoko ciaa zmaleje do zera. Zatem

v 0g

v 0v = 0

H

g

H

sh = = 0s0 h0 a = g

s = t v0gt2

2

Htw

a = g = =tw tkv0g

H = = ( ) v0tw gt2w

2v0

v0

g

g

2( )v0g

2

H =v202g

H

H twA B A t = 0 B

t = tct t

( 1.71 )

( 1.72 )

( 1.73 )

czas oznacza cakowity czas trwania rzutu (zarwno wznoszenia, jak i opadania). Czas atwowyznaczymy, jeeli we wzorze (1.68 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29))przyjmiemy, e :

Jest to rwnanie kwadratowe, gdzie niewiadom jest czas . Ma ono dwa pierwiastki. Jeden to, co odpowiada wysokoci zero w chwili startu. Drugi pierwiastek otrzymamy po prostym

przeksztaceniu naszego rwnania: .

Szukany przez nas czas odpowiada rozwizaniu , zatem

Jest to wzr na czas trwania caego rzutu pionowego w gr. Jeeli przez oznaczymy czaswznoszenia ciaa, a przez czas spadania ciaa, to . Czas wznoszeniazgodnie ze wzorem (1.56 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27))wynosi jednak . Widzimy wic, e w rzucie pionowym w gr czas wznoszenia jestrwny czasowi spadania ciaa: .

Warto prdkoci dla rzutu pionowego dana jest wzorem (1.33(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq22)), w ktrym podstawiono na miejsce

przyspieszenie ziemskie :

Rysunek 1.31 Wykres zalenoci wysokoci wzniesienia si ciaa od czasu wrzucie pionowym w gr

atwo moemy si teraz przekona, e prdko kocowa ciaa w chwili zderzenia z ziemi jestrwna prdkoci pocztkowej, ale, oczywicie, zwrconej przeciwnie: . Po osigniciuwysokoci maksymalnej ciao zawraca i prdko zmienia znak, ale w dalszym cigu obowizujewzr (1.73 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32)) (patrz wykres prdkoci narys. 1.29 (2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys21)). Fakt, e tu przyziemi ciao osiga prdko , wynika ze wzoru (1.73(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32)).

tc tc

h = 0

0 = v0tcgtc

2

2

t= 0tc1

=tc22v0g

tc2

=tc2v0g

t1t2 = + =tc t1 t2

2v0g

= =t1 twv0g

=t1 t2

a g

v = gtv0

= v v 0

v = v0

( 1.74 )

Rysunek 1.32 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w rzucie pionowym w gr

Przykad 8Obliczymy najmniejsz prdko, z jak naley rzuci pionowo w gr jakie ciao, aby dotaro nawysoko czteropitrowego budynku.

Odpowied: Skorzystamy ze wzoru (1.70 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq30))na maksymaln wysoko w rzucie pionowym. Wyznaczajc z niego prdko pocztkow

, mamy:

Aby ciao dotaro na wysoko 12 m, naley je wyrzuci z prdkoci rwn co najmniej 55,22km/h.

Pytania i problemy1. Jaki czas naley wstawi do wzoru (1.68 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29)),

aby otrzyma wzr (1.70 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq30)) na maksymalnwysoko . Wykonaj odpowiednie przeksztacenia.

2. Udowodnij, e dla rzutu pionowego prdko kocowa (tu przed upadkiem ciaa) jestrwna, co do wartoci bezwzgldnej, prdkoci pocztkowej .

3. Wykonaj wykresy pooenia wysokoci i prdkoci ciaa w funkcji czasu, wykorzystujc danez Przykad 8 (2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__p1.9.1).

4. Przedstaw na wykresach zalenoci prdkoci od czasu i na wykresach zalenoci drogi odczasu ruch samochodu opisany w Przykad 6(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__p1.8.1). Zaznacz punkty, wktrych nastpi zderzenie z przeszkod. Rozszerz wykresy w ten sposb, aby uwidoczniczas i drog hamowania, gdy nie ma przeszkody.

H = 12m

Hv0

= = = 15,34 = 55,22v0 2gH

2 (9,81 ) 12mms2

ms

km

h

Hvk

v0

Dowiadczenie wirtualne Rzutpionowy

Rysunek 1.33 Animacja Dowiadczenie - rzut pionowy

1. Uruchom animacj klikniciem myszy.Stoper uruchamia si sam w momencie, gdy chopiec wypuszcza pik.

2. Obserwuj ruch piki i zatrzymaj animacj w momencie, gdy pika: a) znajduje si wnajwyszym pooeniu, b) znajduje si z powrotem w miejscu wyrzutu.

3. Zanotuj odczyty a) i b) stopera (z animacji) i wpisz do tabelki pomiarw w sprawozdaniu.Oblicz (korzystajc z rwna (1.68(../topics/2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29)) (1.73(../topics/2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32))) wysoko - zasig rzutu wpionie (tu wysoko budynku) oraz prdko pocztkow wyrzutu . Nastpnie, powtrz(dwukrotnie) czynnoci 1-3. Moment zastopowania animacji zaley od czynnikwprzypadkowych (twj refleks). Dlatego, tak jak w realu, za kadym razem uzyskasz niecoinny odczyt na stoperze - to pozwoli ci dokadniej okreli i oraz waciwie oceniniepewnoci pomiarowe i . Niepewnoci te oce tak, jakby mia do czynienia zdowiadczeniem realnym.

Hv0

H v0H v0

( 1.75 )

Operacje na wektorachDotychczas mielimy do czynienia z wektorami wspliniowymi, tzn. majcymi ten sam wsplnykierunek. Teraz poznamy operacje, ktre mona wykona na wektorach o rnych kierunkach.Opiszemy: dodawanie wektorw, odejmowanie wektorw, rozkadanie wektora na skadowe,oraz rzutowanie wektora na osie ukadu wsprzdnych.

Dodawanie wektorw. Skadanie ruchwW jaki sposb powinnimy dodawa wektory? Na przykad, jak powinnimy dodawaprzemieszczenia? Rozpatrzmy nastpujc sytuacj: przypumy, e na poziomej platformie wpunkcie znajduje si czowiek, ktry nastpnie przechodzi do punktu (rys. 1.34(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys25)). Przemieszczenie czowiekadane jest przez wektor . Jeeli platforma przesunie si wzdu toru, czowiek zostanieprzemieszczony do punktu . Przemieszczenie jest dane przez wektor . W rezultacie,przemieszczenie czowieka wzgldem ziemi dane jest przez wektor . Widzimy wic, ezoenie (czyli zsumowanie) przemieszcze i jest rwne przemieszczeniu . W jzykuwektorw wyrazimy to nastpujco: suma wektorw i jest rwna , co zapisujemy

Rezultat ten nie zaley od kolejnoci dokonywanych przemieszcze. Jeeli czowiek znajdujcysi w punkcie zostanie najpierw przemieszczony do punktu (rys. 1.34(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys25); ), a pniej przejdziedo punktu ( ), to jak wida na rysunku przemieszczenie wypadkowe bdzietakie samo jak poprzednio, czyli bdzie to . Zapytajmy teraz, jakie bdzie przemieszczeniewypadkowe czowieka, gdy oba przemieszczenia odbywa si bd rwnoczenie. Oczywicie,jeeli marsz czowieka i ruch platformy odbywaj si rwnoczenie, w rezultacie obuprzemieszcze czowiek znajdzie si dokadnie w tym samym punkcie . Widzimy zatem, ejeeli dwa przemieszczenia skadowe dokonuj si jednoczenie, to przemieszczeniewypadkowe jest dokadnie takie samo, jak w przypadku, gdy oba przemieszczenia dokonuj sioddzielnie. Obowizuje tu zasada dodawania wektorw skadowych, w wyniku czego otrzymujesi wektor wypadkowy, ktremu odpowiada przektna rwnolegoboku zbudowanego nawektorach skadowych.

Rysunek 1.34 Skadanie dwch niezalenych ruchw czowieka i platformy a) najpierw przemieszcza si czowiek z punktu do , a nastpnie platforma

przemieszcza czowieka do punktu , b) najpierw platforma przemieszcza czowieka z punktu do , a nastpnie czowiek przemieszcza si do punktu . Rezultat: przemieszczenie

nie zaley od kolejnoci dokonywanych przemieszcze

Twierdzenie to mona uoglni i wyrazi nastpujco:

Zapamitaj

A BAB

a C BC b

AC c AB BC AC

a b c

+ =a b c

A DAD = BC

C DC = ABAC

C

A BC

A D CAC = c

( 1.76 )

Niezaleno ruchw

Jeeli punkt materialny wykonuje kilka ruchw jednoczenie, to kady ruch skadowy odbywasi tak, jak gdyby pozostae ruchy nie miay miejsca (czyli ruchy skadowe nie przeszkadzajani nie pomagaj sobie wzajemnie). Dowolny ruch na paszczynie mona opisa jakozoenie dwch niezalenych ruchw.

Wektor bdcy sum dwch wektorw mona przedstawi graficznie jako przektnrwnolegoboku (rys. 1.35 (2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26)). Monago rwnie przedstawi w ten sposb, e najpierw pocztek drugiego skadnika przykada si dokoca pierwszego, a nastpnie tworzy si wektor wypadkowy, ktrego pocztek pokrywa si zpocztkiem pierwszego, a koniec z kocem drugiego skadnika (rys. 1.35(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26)).

Rysunek 1.35 Dodawanie wektorw Zgodnie z regu: a) rwnolegoboku, b) trjkta

W oglnym przypadku, aby doda kilka wektorw, na przykad , , i , naley pocztekdrugiego skadnika przyoy do koca pierwszego, pocztek trzeciego do koca drugiego, itd.Nastpnie tworzy si wektor wypadkowy , ktrego pocztek pokrywa si z pocztkiempierwszego skadnika, a koniec z kocem ostatniego skadnika (rys. 1.36(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys27)). Ten wektor jest wanie sumwektorw skadowych:

Taki sposb dodawania wektorw nazywamy regu wieloboku.

Rysunek 1.36 Dodawanie kilku wektorw zgodnie z regu wieloboku

Odejmowanie wektorw

a 1 a 2 a 3 a 4

b

= + + +b a1

a 2 a3

a4

( 1.77 )

Operacja odejmowania jest operacj odwrotn do dodawania wektorw. Sposb graficznegoodejmowania wektorw odczytamy wprost z rys. 1.35(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26), gdzie mamy przedstawionywektor bdcy sum dwch wektorw, . Oczywicie, z tego zapisu wynika, ewektor jest rnic wektorw i ,

Widzimy, e wektor jest poprowadzony w ten sposb, e czy koce wektorw i . Moemyzatem poda oglny przepis na odejmowanie wektorw:

Zapamitaj

Aby otrzyma wektor bdcy rnic wektorw i naley wektory i sprowadzi dowsplnego pocztku i nastpnie poprowadzi wektor od koca wektora do kocawektora (rys. 1.37 (2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28)).

Wektor wodzcyZa pomoc rnicy wektorw mona okrela zmian pooenia ciaa wyraon wektoremprzemieszczenia. W tym celu wprowadza si tak zwany wektor wodzcy (lub wektor pooenia)

. Przyjmijmy, e ciao znajduje si pocztkowo w punkcie , a pniej w punkcie . Wektorczcy te dwa punkty jest wektorem przemieszczenia . Ustalmy jaki punkt , w ktrymumiecimy pocztek ukadu wsprzdnych (x;y) rys. 1.37(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28). Poprowadmy z punktu wektor

do chwilowego pooenia ciaa. Ten wanie wektor nazywa si wektorem wodzcym. Przyjmieon warto , gdy ciao jest w punkcie , oraz w punkcie (rys. 1.37(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28)). Widzimy, e wektorprzemieszczenia jest rwny rnicy wektorw i , czyli przemieszczenie jest rwne

. Rnic wektorw oznaczylimy tutaj jako , gdy oznacza ona zmianwektora wodzcego .

Rysunek 1.37 Wektor przemieszczenia

a) wektor w ukadzie wsprzdnych , b) jako rnica dwch wektorw wodzcych,

Rozkadanie wektora na skadoweRozkadanie wektora na skadowe jest czynnoci odwrotn do skadania, czyli sumowaniawektorw. Jeeli mamy dany wektor , ktry chcemy rozoy na dwa skadowe wektory wzduz gry ustalonych kierunkw, na przykad wzdu linii i , jak na rys. 1.38

c = +c a b

b c a

= b c a

b a c

b c a c a a

c

r A BAB

O

Or

r1 A r2 B

AB

r 2 r 1 AB = r r 2 r 1 r

r

AB

Oxy = r r 2 r 1

a OA OB

( 1.78 )

( 1.79 )

( 1.80 )

(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys29), to musimy postpowanastpujco: z koca wektora wyprowadzamy pomocnicze linie rwnolege do zadanych linii

i . Powstaje w ten sposb rwnolegobok. Boki rwnolegoboku, ktrym nadajemyzwroty, czyli wektory i , s szukanymi skadowymi wektora (rys. 1.38(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys29)).

Rysunek 1.38 Skadowe wektora a) Wektor naley rozoy na skadowe wzdu kierunkw i , b) rozoenie wektora na skadowe i zgodnie z regu rwnolegoboku

Rzutowanie wektora na osieW niektrych zagadnieniach fizycznych interesuj nas skadowe wektora wzdu osi ukaduwsprzdnych lub . Te skadowe wektora nazywamy rzutami wektora na okrelone osie.Na rysunku rys. 1.39 (2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys30) wida, ewartoci liczbowe rzutw i mona wyrazi wzorami:

W powyszych wyraeniach oznacza dugo wektora .Z drugiej strony, jeeli s dane rzuty prostopade i wektora , a warto wektora jestnieznana, to korzystajc z twierdzenia Pitagorasa t nieznan warto wektora moemyobliczy (rys. 1.39 (2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys30)):

Rysunek 1.39 Rzutowanie wektora

a) Rzutowanie wektora na osie i . b) Rzuty wektora bdcego sum wektorw i () s sumami rzutw wektorw skadowych, tzn. ,

a OA OB

a 1 a 2 a

a OA OBa a 1 a 2

Ox Oy

a x a y

= a cos ax

= a sin ay

a a a x a y a

a = +a2x a2y

x y c a b

= +c a b = +cx ax bx = +cy ay by

Rysunek 1.40 Animacja Kinematyka - wektor przemieszczenia

Rysunek 1.41 Animacja Kinematyka - dodawanie wektorw

Pytania i problemy1. Jakie czynnoci naley wykona, aby doda graficznie dwa wektory przemieszczenia?

Zastosuj regu: a) wieloboku, b) rwnolegoboku. Przyjmij, e kierunki wektorw nie le natej samej prostej.

2. Jakie czynnoci naley wykona, aby doda graficznie pi wektorw?3. Jakie czynnoci naley wykona, aby odj graficznie dwa wektory?4. Co nazywamy wektorem wodzcym? Jaki jest zwizek midzy wektorem wodzcym a

przemieszczeniem?5. Jakie czynnoci naley wykona, aby rozoy graficznie wektor na dwa skadowe wektory

wzdu z gry ustalonych kierunkw?6. Co to s rzuty wektora na okrelone osie ukadu wsprzdnych ( , )? Wykonaj rysunek i

podaj odpowiednie wzory.7. Statek przeprawia si przez rzek, ktra ma szeroko . Wektor jego

przemieszczenia jest nachylony pod ktem do osi umieszczonej wzdu brzegu.Roz wektor przemieszczenia na dwie skadowe: wzdu osi oraz wzdu osi prostopadej do brzegu. Oblicz dugo wektora przemieszczenia oraz jego skadowej ,jeeli jego skadowa .

x y

d = 200m = 60 x

x yx

y = 200m

( 1.81 )

( 1.82 )

( 1.83 )

Wektor prdkociWektor prdkoci i jego wsprzdneRozwamy najpierw przypadek, gdy ruch punktu materialnego odbywa si po prostej. Niech wchwili punkt materialny znajduje si w miejscu wyznaczonym przez wektor wodzcy , wchwili przez (rys. 1.42 (2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys31)). Wektorprzemieszczenia wynosi

Wyznacza on (w sytuacji ruchu po prostej) drog punktu materialnego przebyt w czasie. Zatem prdko rednia okrelona wzorem

jest oczywicie wektorem, poniewa dzielenie wektora przez skalar jest innymwektorem, ktrego kierunek i zwrot jest zgodny z wektorem przemieszczenia (rys. 1.42(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys31)).

Rysunek 1.42 Wektory w ruchu prostoliniowym W przypadku ruchu prostoliniowego kierunek i zwrot wektora prdkoci jest taki sam jak

wektora przemieszczenia

Wektor prdkoci chwilowejPrdko chwilowa okrelona w bardzo krtkim przedziale czasu :

jest take wektorem, ktry w oglnym przypadku ruchu krzywoliniowego jest styczny do toru(rys. 1.43 (2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys32)).

Rysunek 1.43 Wektor prdkoci redniej i wektor prdkoci chwilowej

t1 r 1t2 r 2

= r r 2 r 1

t = t2 t1

=vr r

t

r t

t

=v r t

AB

( 1.84 )

( 1.85 )

Kierunek wektora prdkoci redniej jest zgodny z ciciw ( ) toru ruchu punktumaterialnego, podczas gdy kierunek wektora prdkoci chwilowej jest styczny do toru (gdywektor jest utworzony z ciciwy bardzo bliskich punktw toru)

Twierdzenie to mona uoglni i wyrazi nastpujco:

Zapamitaj

Wektor prdkoci chwilowej

okrelony w bardzo krtkim czasie , jest zawsze styczny do toru.

Skadanie prdkociAby wyjani sposb dodawania prdkoci, rozwaymy ponownie ruch czowieka i platformy. Jakstwierdzilimy poprzednio, wektor prdkoci ma taki sam kierunek i zwrot jak wektorprzesunicia. Std wynika, e wektory prdkoci bd dodaway si tak samo jak wektoryprzesunicia. Zatem, jeeli czowiek porusza si z prdkoci wzgldem platformy, aplatforma porusza si z prdkoci wzgldem ziemi, to wypadkowa prdko czowiekawzgldem ziemi wynosi (patrz rys. 1.44 (2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys33))

Rysunek 1.44 Dodawanie prdkoci czowieka wzgldem platformy iplatformy wzgldem ziemi

Obowizuje tu regua dodawania wektorw, ktra jest suszna w oglnym przypadku, a wicrwnie w przypadku, gdy prdko czowieka jest skierowana pod dowolnym ktem dowektora prdkoci platformy (rys. 1.45(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys34)). Wzr (1.85(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__eq39)) wyraa prawo dodawania prdkoci wpostaci wektorowej.

vr AB

v v AA'

=v r t

t

v 1v 2

= +v v 1 v 2

v 1v 2

Rysunek 1.45 Dodawanie prdkoci czowieka i platformy

Przykad 9Midzy punktami i na rzece, odlegymi od siebie o , kursuje statek, ktry masta prdko wzgldem wody. Oblicz wartoci prdkoci statku oraz prdkoci prduwody w rzece , jeeli wiadomo, e statek, pync w gr rzeki, pokonuje t odlego wczasie , natomiast w d rzeki w czasie .

Rysunek 1.46 Animacja Kinematyka - d na rzece

Odpowied: Wektory prdkoci statku i prdu rzeki s rwnolege, cho maj przeciwnezwroty, gdy statek pynie pod prd (w gr rzeki) za zgodne zwroty, gdy pynie z prdem. Takwic, cho wektory prdkoci statku wzgldem brzegu wyraaj si podobnymi wzorami, towartoci tych wektorw s rne:

(podr pod prd); ale (bo i maj przeciwne zwroty);

(podr z prdem); ale (bo i maj zgodne zwroty).

Ilustruje to rys. 1.35. (rys. 1.47 (2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys35))

v 1 v 2

A B l = 10 km

v s vsvp

= 1ht1 = 0,5ht2

= +v1

vs

vp = v1 vs vp vs

vp

= +v2

vs

vp = +v2 vs vp vs

vp

( 1.86 )

( 1.87 )

( 1.88 )

( 1.89 )

Rysunek 1.47 Skadanie prkoci statku i rzeki a) Statek pynie w gr rzeki wektory prdkoci statku i prdu rzeki odejmuj si, b)

statek pynie w d rzeki wektory prdkoci statku i prdu rzeki dodaj si

Natomiast i . Mamy wic

oraz

Sumujc te dwa rwnania stronami, wyeliminujemy . Otrzymamy

Std

Podstawiajc wartoci liczbowe, otrzymamy, e prdko statku wzgldem wody wynosi, za prdko prdu rzeki .

Przykad 10Przy przeprawianiu przez rzek d startuje z punktu i kieruje si cay czas pod ktem

do linii brzegu, pod prd rzeki (rys. 1.49(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys36)). Oblicz, na jak odlego od punktu

rzeka zniesie d. Szeroko rzeki wynosi , prdko odzi wzgldem wody, a prdko prdu rzeki . Pod jakim ktem naley kierowa d,

aby przybia do brzegu w punkcie ?

=v1 lt1 =v2lt2

= l

t1vs vp

= +l

t2vs vp

vp

2 = +vsl

t1

l

t2

= =vsl( + )t1 t2

2t1t2vp

l( )t1 t22t1t2

= 15 km/hvs = 5 km/hvp

O

= 60l

A d = 100m= 1,2m/svl = 0,8m/svp

A

( 1.90 )

( 1.91 )

Rysunek 1.48 Animacja Przeprawa odzi przez rzek

Odpowied: Obierzmy ukad wsprzdnych i zrzutujmy na osie prdko odzi (rys. 1.49(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys36)); otrzymamy wartoci

Rysunek 1.49 Przeprawa odzi przez rzek

Rysunek 1.50 Rozkad wektora prdkoci odzi Wektor wypadkowy prdkoci ma skadowe: ,

Oxy

= cos vlx vl

= sin vly vl

vl

= vx vp vlx =vy vly

( 1.92 )

( 1.93 )

( 1.94 )

( 1.95 )

( 1.96 )

( 1.97 )

( 1.98 )

( 1.99 )

Wypadkowa prdko odzi w kierunku osi wynika z naoenia si prdkoci prdu rzeki iskadowej -owej prdkoci odzi , czyli

Natomiast w kierunku osi prdko wypadkowa odzi

Odlego wyznaczymy z trjkta

Gdzie jest ktem, jaki wektor wypadkowy tworzy z osi . Zatem

wic

zatem

czyli rzeka zniesie d na odlego .Kt , pod jakim naley skierowa d, aby w wyniku unoszenia rzeki dopyna prostopadledo brzegu, mona otrzyma z ostatniego wzoru na , przyjmujc, e . Wwczas

(co oznacza, e skadowa ), zatem

std

Zatem gdy d bdzie skierowana pod ktem do brzegu, to kierunek jej wypadkowegoruchu bdzie prostopady do brzegu.

x vpx vlx

= = cos vx vp vlx vp vl

y

= = sin vy vly vl

l OAB

l =d

tg

v x

tg = =vy

vx

sin vl cos vp vl

l = d cos vp vl

sin vl

l = 100 = 19,2m0,8 1,2 cos 60

1,2 sin 60

l = 19,2m0

l l = 0 cos = 0vp vl 0 = 0vx

cos = = = 0,660vp

vl

0,81,2

cos 0 48

48

Rysunek 1.51 Animacja Kinematyka - wektor prdkoci w ruchu prostoliniowym

Rysunek 1.52 Animacja Kinematyka - wektor prdkoci w ruchu krzywoliniowym

Pytania i problemy1. Podaj definicj wektora prdkoci redniej.2. Podaj definicj wektora prdkoci chwilowej.3. Przedstaw na rysunku tor krzywoliniowy ciaa i zaznacz wektor prdkoci redniej i

chwilowej.4. Na wybranym przykadzie wyjanij zasad niezalenoci ruchw.5. Sformuuj prawo dodawania prdkoci w postaci wektorowej.

Typesetting math: 100%

( 1.100 )

Wektor przyspieszeniaPrzyspieszenie rednie zdefiniowane jako stosunek przyrostu wektora prdkoci do czasu

, w jakim ten przyrost nastpi:

jest wektorem (poniewa dzielenie wektora przez skalar daje wektor).

Na przyspieszeniach moemy wykonywa, w konkretnych zagadnieniach fizycznych, operacjewczeniej zdefiniowane dla wektorw, jak dodawanie, rozkadanie na wektory skadowe,rzutowanie na okrelone osie i inne.

Wskazwka

W ruchu prostoliniowym wektory i maj ten sam kierunek, zgodny z torem ruchu. Takwic wektor ma ten sam kierunek, zgodny z torem (rys. 1.53(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rysC)). Z tego za wynika, e wektorprzyspieszenia take ma kierunek zgodny z torem. Mwimy, e przyspieszenie jest w tejsytuacji styczne do toru. Opisuje ono zmian wartoci prdkoci; kierunek prdkoci si niezmienia.

Rysunek 1.53 Wektory w ruchu prostoliniowym W ruchu przyspieszonym prostoliniowym wektor ma zawsze kierunek zgodny z torem.

Inaczej jest w ruchu krzywoliniowym. ...

Zwrmy uwag na to, e wektor przyspieszenia chwilowego w ruchu krzywoliniowym nie jeststyczny do toru. Wida to na rys. 1.54(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rys38) w punktach 1 i 2 wektoryprdkoci s styczne do toru, natomiast wektor , ktry wystpuje w licznikuwzoru (1.100 (2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__eq40)), nie jest styczny dotoru (nawet wtedy, gdy punkty 1 i 2 zbliaj si do siebie), a przecie kierunek wektora jestzgodny z kierunkiem . W takiej sytuacji wektor przyspieszenia rozkadamy na dwa wektoryskadowe wzajemnie prostopade (rys. 1.55(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rys39)): styczny do toru i prostopady (normalny); ten ostatni wektor nazywa si przyspieszeniem dorodkowym.

Rysunek 1.54 Wektor nie jest styczny do toru

Taki rozkad wektora przyspieszenia ma sens, poniewa kada z opisanych skadowych powoduje

v t

=ar v

t

t

v 1 v 2 = v v 2 v 1

a

v

= v v 2 v 1

a v a

a s a r

v

( 1.101 )

inny skutek. Skadowa styczna zwizana jest ze zmian wartoci prdkoci. Zauwamy, eprzyspieszenie zdefiniowane wczeniej za pomoc wzoru (1.17(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15)) - Ruch jednostajnieprzyspieszony (2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4), jest waniewartoci skadowej stycznej przyspieszenia . Natomiast skadowa prostopadaprzyspieszenia opisuje zmian kierunku prdkoci.

Rysunek 1.55 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym mona rozoy nawzajemnie prostopade skadowe i

Przykad 11Ciao zsuwa si po rwni pochyej o dugoci ,