Równania kwadratowe

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

RWNANIA KWADRATOWERwnanie kwadratowe to rwnanie postaci

ax2 + bx+ c = 0,

gdzie a, b, c pewne liczby i a 6= 0. Jezeli a = 0 to w rwnaniu nie ma x2 i rwnanie jestliniowe.

Przykady

Rwnanie kwadratowe moze miec 0,1 lub 2 rozwiazania.

Ilosc rozwiazan Przykad0 x2 + 1 = 0, lewa strona jest zawsze dodatnia.1 x2 2x+ 1 = (x 1)2 = 0, rozwiazanie x = 1.2 x2 2 = 0, rozwiazania x1 =

2 i x2 =

2.

W przypadku prostych rwnan (jak te powyzej) rozwiazania mozemy znalezc wprost, naprzykad

2x2 8 = 0 x2 = 4 x = 2 x = 2

Delta

Jezeli rwnanie jest bardziej skomplikowane to o ilosci rozwiazan mwi nam = b2 4ac.

Znak -y Rozwiazania rwnania < 0 Brak rozwiazan. = 0 Jedno rozwiazanie: x = b2a . > 0 Dwa rozwiazania: x1 = b

2a i x2 =b+

2a .

Sprbujmy ustalic liczbe rozwiazan rwnania

x2 2x+m = 0w zaleznosci od parametru m. Poniewaz = 4 4m rwnanie ma dwa rozwiazaniadla m < 1, jedno rozwiazanie dla m = 1 i nie ma rozwiazan dla m > 1.

Stosujac wzory z -a nalezy pamietac o waznym zaozeniu a 6= 0. O ile w przypadku zwy-kych rwnan nie problemu, bo widac czy jest x2 czy go nie ma, to w przypadku rwnanz parametrem, musimy zawsze osobno sprawdzic co sie dzieje, gdy wspczynnik przy x2

jest zerowy inaczej powyzsze wzory nie maja sensu (wszedzie w mianowniku jest a).

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Rwnanieax2 + x = 0

ma jedno rozwiazanie dla a = 0, pomimo ze dla a = 0 mamy = 1 > 0.

Sprawdzmy kiedy rwnanie

mx2 + x+m = 0

ma dokadnie jedno rozwiazanie. Najpierw sprawdzamy przypadek m = 0 otrzy-mane rwnanie liniowe ma dokadnie jedno rozwiazanie. Pozostaje sprawdzic, kie-dy = 0 okazuje sie, ze dla m = 12 .Ostateczna odpowiedzia jest wiec m {12 , 0, 12}.

Rwnanie dwukwadratowe

Rwnanie dwukwadratowe to rwnanie wielomianowe stopnia 4 postaci

ax4 + bx2 + c = 0.

Dzieki temu, ze w rwnaniu nie wystepuje x ani x3, rwnanie mozemy atwo sprowadzicdo rwnania kwadratowego wykonujemy podstawienie t = x2. Po tym podstawieniuotrzymujemy zwyke rwnanie kwadratowe

at2 + bt+ c = 0,

ktre rozwiazujemy uzywajac -y. Na koniec, gdy mamy wyliczone wartosci t, musimywyliczyc x z rwnosci x2 = t.

Rozwiazmy rwnaniex4 3x2 + 2 = 0.

Po podstawieniu t = x2 mamy rwnanie

t2 3t+ 2 = 0 = 9 8 = 1 t1 = 1, t2 = 2.

Daje nam to cztery pierwiastki wyjsciowego rwnania:

x1 = 1, x2 = 1, x3 =

2, x4 =

2.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!Materia pobrany z serwisu www.zadania.info

2


TIPS & TRICKS

1

W przypadku rwnan z duzymi wspczynnikami, ktre maja parzysty wspczynnik przyx, zawsze warto podzielic rwnanie stronami przez 2 lub nawet przez 4.

95x2 34x+ 3 = 0 952x2 17x+ 3

2= 0 = 172 3 95 = 4.

Na pierwszy rzut oka przeksztacenie to wyglada groznie, bo pojawiy sie uamki.Nie ma z tym jednak zadnego problemu, bo we wzorze na e jest 4ac i uamkiznikna. We wzorach na pierwiastki tez jest 2a, wiec nie ma problemu.

Przy odrobinie wprawy jest to niezwykle uzyteczne uproszczenie.

2Podobnie jak przypadku rwnan wielomianowych, powinnismy sie nauczyc od reki zauwa-zac 1 lub 1 jako pierwiastek.

Jedynka jest pierwiastkiem, gdy suma wspczynnikw jest zero, np. w rwnaniu

x2 25x+ 24 = 0.Dla 1 jest podobnie, tylko wspczynnikowi przy x trzeba zmienic znak, np.

x2 + 13x+ 12 = 0.

3

Wzr na pierwiastek w przypadku = 0 mozna atwo zapamietac na kilka sposobw: jestto dokadnie pierwsza wsprzedna wierzchoka paraboli bedacej wykresem rwnania, czy-li xw = b2a . Wystarczy wiec pamietac wsprzedne wierzchoka. Jeszcze prostszy sposb topodstawienie = 0 do wzorw z przypadku > 0 wystarczy pamietac te wzory.

4W przypadku rwnania dwukwadratowego i podstawienia t = x2 wazne jest, aby pamietac,ze musi byc t > 0. Jak zwykle, nabiera to duzego znaczenia przy rwnaniach z parametrem.



Sprawdzmy kiedy rwnanie

x4 +mx2 1 = 0ma przynajmniej jedno rozwiazanie. Po podstawieniu t = x2 mamy rwnanie kwa-dratowe

t2 +mt 1 = 0,ktre musi miec nieujemne rozwiazanie. Tak sie skada, ze to rwnanie kwadra-towe ma zawsze dwa rozwiazania ( = m2 + 4 > 0) i zawsze jedno z nich jestdodatnie (ze wzorw Vitea: iloczyn pierwiastkw jest ujemny). Oglnie sytuacjapotrafi byc jednak skomplikowana.

5

Rwnanie dwukwadratowe to nie jedyne rwnanie, ktre atwo sprowadza sie do rwnaniakwadratowego. Podobna sytuacja ma miejsce zawsze, gdy umiemy rwnanie sprowadzicdo postaci, w ktrej jest pewne wyrazenie z niewiadoma i kwadrat tego wyrazania.

Rozwiazmy rwnanie

4x 3 2x 4 = 0(2x)2 3 2x 4 = 0t = 2x

t2 3t 4 = 0 = 9 + 16 = 25 t1 = 1, t2 = 4.

Ujemne rozwiazanie odrzucamy i mamy

2x = 4 x = 2.

Rozwiazmy rwnanie cos2 x+ sin x = 1 w przedziale 0, 2pi

1 sin2 x+ sin x = 1t = sin x

1 t2 + t = 10 = t2 t = t(t 1)t1 = 0, t2 = 1sin x = 0 sin x = 1x

{0,pi

2,pi, 2pi

}.



6

Jezeli rwnanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki x1 i x2, to lewa stronemozemy zapisac w postaci

a(x x1)(x x2) = 0.W przypadku samego rozwiazywania rwnania niewiele madrego z tego wynika, ale wprzypadku innych zadan (szczeglnie z funkcja kwadratowa) jest to bardzo wazne. W zasa-dzie o wzorach na pierwiastki powinno sie myslec nie jak o wzorach na rozwiazania rw-nania kwadratowego, ale jak o wzorach pozwalajacych rozozyc wyrazenie ax2 + bx + c nailoczyn a(x x1)(x x2) (nawet jak nie ma rwnania). Im szybciej nauczymy sie tak myslec,tym atwiej bedziemy rozwiazywac rzne zadania z funkcja kwadratowa.

Sprbujmy uzasadnic, ze dla dowolnej liczby cakowitej n liczba

n3 + 3n2 + 2n

jest podzielna przez 3. Przeksztacamy podane wyrazenie

n(n2 + 3n+ 2) = () = 9 8 = 1 n1 = 1, n2 = 2() = n(n+ 1)(n+ 2).

Otrzymalismy iloczyn trzech kolejnych liczb cakowitych na pewno jedna z nichdzieli sie przez 3.

Jezeli = 0 to rozkad jest ten sam, ale nalezy myslec, ze sa dwa rwne pierwiastki

ax2 + bx+ c = a(x x0)(x x0) = a(x x0)2.

Uproscmy wzr funkcji

f (x) =9x2 + 6x 39x2 6x+ 1.

Liczac pierwiastki licznika i mianownika (z -y) mamy rozkad

f (x) =9(x 13)(x+ 1)

9(x 13)2=

x+ 1x 13

=3x+ 33x 1.

7

Rwnania kwadratowe sa blisko zwiazane z rwnaniami z wartoscia bezwzgledna. Zwia-zek ten pochodzi od rwnosci:

a2 = |a||a|2 = a2.



Rozwiazmy rwnanie |x|+ 1 = |x+ 1|.Obie strony sa nieujemne, wiec podnosimy rwnanie stronami do kwadratu.

|x|2 + 2|x|+ 1 = (x+ 1)2x2 + 2|x|+ 1 = x2 + 2x+ 1 |x| = x x > 0.


Równania kwadratowe

Documents

Transcript of Równania kwadratowe