1

Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego

Repetytorium z geometriidla studentów I roku matematyki i informatyki

Maciej Czarneckimaczar@math.uni.lodz.pl

Spis treści

0 Wstęp 3

1 Płaszczyzna 41.1 Punkty i proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Figury płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Przekształcenia 92.1 Izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Podobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Rzuty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Przestrzeń trójwymiarowa 143.1 Punkty, proste i płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Figury przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Przekształcenia przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Własności miarowe figur 184.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów . . . . . . . . . . . . 184.2 Długość krzywej i pole figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Czworokąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Wielokąty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6 Koło . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7 Wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8 Bryły obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Geometria analityczna 285.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . 285.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . 295.3 Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Trójkąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6 Krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

Rozdział 0

Wstęp

Niniejszy tekst jest próbą zgromadzenia faktów geometrycznych, które powinienznać student pierwszego roku matematyki i kierunków pokrewnych. Ze względuna częste zmiany programów nauczania wspólna dla wszystkich absolwentów szkółponadgimnazjalnych podstawa wiedzy geometrycznej jest uboga. Z drugiej stronyświeżo upieczeni studenci znają wiele faktów pobieżnie lub nawet intuicyjnie.Celem repetytorium jest uporządkowanie pewnych definicji i precyzyjne sformu-

łowanie znanych twierdzeń. Pociąga to za sobą konieczność zawarcia wielu kompro-misów: wybór tylko jednej z wielu możliwych definicji, w bardziej skomplikowanychprzypadkach ograniczenie jej precyzji lub zakresu, wybór twierdzeń podstawowychkosztem wielu użytecznych wniosków, odwołania do materiału występującego w dal-szym ciągu itd. Suche przytoczenie faktów ma zapewnić łatwy dostęp do informacji,a szerokie i precyzyjne poznanie tematyki jest możliwe w toku studiów.Układ materiału od syntetycznej geometrii płaskiej i przestrzennej poprzez

przekształcenia do opisu analitycznego służy z jednej strony jak najbardziej efek-tywnemu opisowi a z drugiej przygotowuje do przedmiotu algebra liniowa z geo-metrią, który z kolei jest pierwszym etapem edukacji geometrycznej na studiach.Pewne wykroczenia poza obowiązujący program szkolny mają na celu przybliżenieobiektów, z którymi studenci mają często do czynienia.Tekst nie jest jeszcze pełny, oczywistym brakiem jest nieobecność rysunków

i indeksu pojęć. Dyskusyjne jest, czy w takim opracowaniu powinny znaleźć sięprzykłady — znacząco zwiększyłyby jego objętość. Brak jakiegoś faktu czy pojęciamoże być spowodowany jego małą stosowalnością w matematyce wyższej, ale takżezwykłym niedopatrzeniem. Uwagi Czytelników o dostrzeżonych błędach i pominię-ciach pozwolą na udoskonalenie kolejnych wersji repetytorium. Proszę kierować jena mój adres elektroniczny maczar@math.uni.lodz.pl.Dziękuję pani dr Monice Fabijańczyk za wiele życzliwych uwag, które pomogły

mi ulepszyć pierwotną wersję tekstu.

3

Rozdział 1

Płaszczyzna

Zgodnie z tradycję punkty będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu, aich zbiory — figury — małymi literami.

1.1 Punkty i proste

Pojęcia: przestrzeń (trójwymiarowa), płaszczyzna, prosta i punkt traktuje-my jako pierwotne, to znaczy nie definiujemy ich. Relacje pomiędzy tymipojeciami opisują aksjomaty. Opis taki po raz pierwszy pojawił się w dzieleEuklidesa pt. Elementy w roku 300 p.n.e. Obecnie stosowany układ aksjoma-tów dla geometrii (nawet płaskiej) jest dość skomplikowany i nie będziemygo w całości przytaczać.

1.1.1 Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów.

Punkty należące do jednej prostej nazywamy punktami współliniowymi.

1.1.2 Dla danego punktu istnieje nieskończenie wiele prostych zawierają-cych (przechodzących przez) ten punkt.

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A oznaczamy przez(A) i nazywamy pękiem prostych o wierzchołku A.

1.1.3 Dla danych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prostaprzechodząca przez te punkty.

Dla danych punktów A i B tę jedyna prostą oznaczamy przez AB.

1.1.4 Istnieją punkty, które nie są współliniowe.

1.1.5 Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.

4

1.1. PUNKTY I PROSTE 5

Jeżeli różne proste l i m mają punkt wspólny A, to mówimy, że przecinająsię w punkcie A. Jeżeli proste te są rozłączne, to mówimy, że są równoległei piszemy l ‖ m. Przyjmujemy ponadto, że dwie proste pokrywające się sądo siebie równoległe.

1.1.6 Dla dowolnej danej prostej i danego punktu istnieje dokładnie jednaprosta równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt.

Powyższy fakt nosi miano V postulatu Euklidesa.

1.1.7 Określimy odległość na płaszczyźnie jako funkcję, która dowolnymdwóm punktom A i B przypisuje liczbę nieujemną |AB| w taki sposób, żewarunki

1. |AB| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B,

2. |AB| = |BA|,

3. |AB| ¬ |AC|+ |CB| (nierówność trójkąta)

są spełnione dla dowolnych punktów A,B,C.

Związek pomiędzy odległością punktów a ich współliniowością jest na-stępujący:

1.1.8 Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzico najmniej jeden z warunków:

1. |AB| = |AC|+ |CB|

2. |AB| = |AC| − |CB|

3. |AB| = |CB| − |AC|

Zbiór wszystkich punktów C spełniających warunek 1. nazywamy od-cinkiem o końcach A i B, a oznaczamy go przez AB. Punkt M ∈ AB taki,że |AM | = |BM | nazywamy środkiem odcinka AB, a odległość |AB| —długością odcinka AB.Dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punktów C spełniających

warunek 1. lub 2. nazywamy półprostą o początku A oraz zwrocie od A doB i oznaczamy przez AB~.Zauważmy ponadto, że dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punk-

tów C spełniających warunek 1. lub 2. lub 3. jest prostą AB.

1.1.9 Dla każdej półprostej AB~ i każdej liczby a ­ 0 istnieje dokładniejeden punkt C ∈ AB~ taki, że |AC| = a.

1.1.10 Jeżeli punkty A,B,C są niewspółliniowe i prosta l przecina jedenz odcinków AB, BC, CA, to przecina także jeszcze jeden z tych odcinków.

6 ROZDZIAŁ 1. PŁASZCZYZNA

Powyższy fakt nazywamy aksjomatem Pascha. Wynika z niego, że dowolnaprosta dzieli płaszczyznę na dwa podzbiory. Każdy z nich wraz z wyznacza-jąca go prostą nazywamy półpłaszczyzną.

1.2 Wektory

Definicja 1.2.1 Uporządkowaną parę punktów (A,B) nazywamy wektoremzaczepionym o początku w punkcie A i końcu w punkcie B i oznaczamy przez−−→AB.Wektory

−−→AB i

−−→CD nazywamy równymi, pisząc

−−→AB =

−−→CD, jeżeli środek

odcinka AD jest jednocześnie środkiem odcinka BC.Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepio-

nych parami równych.

Najczęściej mówiąc o wektorze mamy na myśli wektor swobodny, nawetjeżeli używamy dla jego oznaczenia początku i końca jednego z wektorówzaczepionych, który go reprezentuje.

1.2.2 Dla dowolnego punktu A i dowolnego wektora swobodnego v istniejedokładnie jeden punkt B taki, że

−−→AB = v.

Definicja 1.2.3 Sumą wektorów swobodnych u i v nazywamy wektor u+ vrówny wektorowi

−→AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem oraz u =−−→

AB, v =−−→BC.

Definicja 1.2.4 Iloczynem wektora v przez liczbę a ∈ R nazywamy wektora·v równy wektorowi

−→AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem, v =

−−→AB

oraz punkt C określamy następująco:

1. jeżeli a ­ 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB~takim, że |AC| = a|AB|;

2. jeżeli a < 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB1~takim, że |AC| = −a|AB1|, gdzie B1 ∈ AB oraz A jest środkiemodcinka BB1.

Oznaczmy przez θ wektor zerowy, czyli reprezentowany przez wektorzaczepiony

−→AA. Dla dowolnego wektora v =

−−→AB niech −v oznacza wektor

reprezentowany przez wektor zaczepiony−−→BA.

Twierdzenie 1.2.5 Dla dowolnych wektorów swobodnych u, v, w i dowol-nych liczb a, b ∈ R spełnione są warunki:

1. (u+ v) + w = (u+ v) + w,

2. u+ v = v + u,

1.3. FIGURY PŁASKIE 7

3. v + θ = v,

4. v + (−v) = θ,

5. a · (u+ v) = (a · u) + (a · v),

6. (a+ b) · v = (a · v) + (b · v),

7. a · (b · v) = (ab) · v,

8. 1 · v = v.

1.3 Figury płaskie

Definicja 1.3.1 Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli wraz z każdą parą punk-tów zawiera odcinek o końcach w tych punktach.

Definicja 1.3.2 Uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początkunazywamy kątem skierowanym, a półproste go wyznaczające — ramionamikąta. Kąt skierowany o ramionach OA~ i OB~ oznaczamy przez ^AOB~ .Kątem nieskierowanym nazywamy zbiór składający się z dwóch półpro-

stych o wspólnym początku (ramion kąta) i części płaszczyzny, którą z niejwycinają (obszar kata). Kąt nieskierowany o ramionach OA~ i OB~ ozna-czamy przez ^AOB.

Miarę kąta skierowanego (por. rozdział 13 repetytorium ”niegeometrycz-nego”) oznaczamy przez |^AOB~ |. Miara kąta nieskierowanego (oznaczana|^AOB|) jest równa wartości bezwzględnej miary tego spośród kątów skiero-wanych o tych samych ramionach, który zgodnie ze swoim zwrotem ”zakre-śla” obszar kąta. Opisu miary kąta można dokonać precyzyjniej przy użyciunarzędzi geometrii analitycznej.

Definicja 1.3.3 NiechA będzie punktem, r— liczbą dodatnią. Zbiór wszyst-kich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A wynosi r nazy-wamy okręgiem o środku A i promieniu r i oznaczamy przez O(A, r). Tymsamym

O(A, r) = {X ∈ p ; |AX| = r}.

Zbiory:

K(A, r) ={X ∈ p ; |AX| < r},K(A, r) ={X ∈ p ; |AX| ¬ r},Z(A, r) ={X ∈ p ; |AX| > r}

nazywamy odpowiednio: kołem otwartym, kołem domkniętym i zewnętrzemkoła o środku A i promieniu r.

8 ROZDZIAŁ 1. PŁASZCZYZNA

Definicja 1.3.4 Łamaną nazywamy sumę ciągu odcinków, w którym jedy-nym punktem wspólnym każdych dwóch kolejnych odcinków jest ich wspól-ny koniec i każde kolejne dwa odcinki nie są współliniowe. Końce odcinkówtworzących łamaną nazywamy jej wierzchołkami, same odcinki — bokamiłamanej, a sumę długości wszystkich boków — długością łamanej.Łamaną nazywamy zamkniętą, gdy jej każdy wierzchołek jest wspólnym

końcem co najmniej dwóch boków.Łamana jest zwyczajna, jeżeli każdy jej bok ma punkty wspólne tylko z

bokami sąsiednimi (traktujemy bok pierwszy i ostatni także jako sąsiednie).

Definicja 1.3.5 Figura jest ograniczona, jezeli jest zawarta w pewnym kole.Figura ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewne koło otwarte.

Definicja 1.3.6 Wielokątem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mającąniepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półpłaszczyzn.Wierzchołki i boki łamanej zwyczajnej zamkniętej ograniczającej wielo-

kąt nazywamy odpowiednio wierzchołkami i bokami wielokąta, a długość tejłamanej — obwodem wielokąta.Przekątną wielokąta nazywamy każdy odcinek łączący jego wierzchołki,

który nie jest jednocześnie bokiem tego wielokąta.Kątem wewnętrznym wielokąta nazywamy kąt o wierzchołku w wierz-

chołku wielokąta, którego ramiona zawierają boki wychodzące z tego wierz-chołka i który zawiera cały wielokąt.Wielokąt o n wierzchołkach (czyli także n bokach) nazywamy n–kątem.

W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko wielokąty wypukłe.

Definicja 1.3.7 Okręgiem opisanym na wielokącie nazywamy okrąg zawie-rający wszystkie wierzchołki tego wielokąta.Okręgiem wpisanym w wielokąt nazywamy okrąg zawarty w wielokącie

i styczny do wszystkich prostych (por. uwagę po tw. 4.1.4) zawierającychboki wielokąta.

Tradycyjnie oznaczamy wielokąt podając jednokrotnie kolejne wierzchołkiłamanej go ograniczającej.

Rozdział 2

Przekształcenia

2.1 Izometrie

Definicja 2.1.1 Izometrią płaszczyzny nazywamy takie przekształcenie Fpłaszczyzny na płaszczyznę, które zachowuje odległość punktów, to znaczyspełnia dla dowolnych punktów A,B warunek

|F (A)F (B)| = |AB|.

Twierdzenie 2.1.2 1. Przekształcenie tożsamościowe Id przypisujące każ-demu punktowi ten sam punkt jest izometrią.

2. Złożenie dwóch izometrii jest izometrią.

3. Przekształcenie odwrotne do izometrii jest izometrią.

Składanie izometrii nie jest na ogół przemienne.

Definicja 2.1.3 Figury f i g nazywamy przystającymi, jeżeli istnieje izome-tria F taka, że F (f) = g (czyli figura g jest izometrycznym obrazem figuryf).

Definicja 2.1.4 Punktem stałym przekształcenia F nazywamy taki punktA, że F (A) = A.

Twierdzenie 2.1.5 1. Izometria płaszczyzny, która ma trzy niewspółli-niowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym.

2. Jeżeli A,B są różnymi punktami stałym izometrii, to cała prosta ABskłada się z punktów stałych tej izometrii.

Definicja 2.1.6 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punk-ty prostej l, nazywamy symetrią osiową względem prostej l i oznaczamyprzez Sl.

9

10 ROZDZIAŁ 2. PRZEKSZTAŁCENIA

Izometrię, której jedynym punktem stałym jest punkt O, nazywamy sy-metrią środkową względem punktu O i oznaczamy przez SO.

Definicja 2.1.7 Osią symetrii figury f nazywamy taką prostą l, że Sl(f) =f (czyli obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej l jest ta samafigura).Środkiem symetrii figury f nazywamy taki punkt O, że SO(f) = f .

Twierdzenie 2.1.8 Symetria osiowa (odpowiednio środkowa) jest inwolu-cją, to znaczy złożona sama ze sobą daje przekształcenie tożsamościowe.

Definicja 2.1.9 Mówimy, że dwie różne proste l i m są prostopadłe, gdy ljest osią symetrii prostej m (lub co na jedno wychodzi m jest osią symetriiprostej l). Piszemy wtedy l ⊥ m.

Twierdzenie 2.1.10 Dla dowolnego punktu A i dowolnej prostej l istniejedokładnie jedna prosta przechodząca przez A i prostopadła do l.

Twierdzenie 2.1.11 Jeżeli na płaszczyźnie proste k i m są prostopadłe dopewnej prostej l (czyli k ⊥ l ⊥ m), to proste k i m są równoległe (czylik ‖ m).

Definicja 2.1.12 Dwie proste l i m przecinające się w punkcie O tworzącztery wypukłe kąty nieskierowane — każdy z nich ma wierzchołek w punkcieO, jedno z jego ramion zawiera się w prostej l, a drugie w prostej m.Dwa spośród tych kątów nazywamyKątami przyległymi jeżeli mają wspól-

ne ramię, a kątami wierzchołkowymi — jeżeli ich jedynym punktem wspól-nym jest wierzchołek.

Twierdzenie 2.1.13 Kąty wierzchołkowe mają równe miary.Suma miar kątów przyległych jest równa π.

Jako miarę kąta pomiędzy prostymi przyjmujemy miarę dowolnego zczterch kątów wypukłych przez nie utworzonych. Nie prowadzi to do niepo-rozumień, bo proste przecinające się pod kątem α przecinają się także podkątem π − α.Kąt pomiędzy prostymi prostopadłymi jest kątem prostym, a jego miara

jest równa π2 . Kąt o mierze z przedziału (0,π2 ) nazywamy kątem ostrym, o

mierze z przedziału (π2 , π) — kątem rozwartym, a kąt o mierze równej π —kątem półpełnym.

Definicja 2.1.14 Symetralną odcinka nazywamy oś symetrii tego odcinkaróżną od prostej zawierającej ten odcinek.Odległość figur jest określona w def. 4.1.1.Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta,

zawarta w kącie i jego osi symetrii.

2.1. IZOMETRIE 11

Twierdzenie 2.1.15 Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktówpłaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka.

Twierdzenie 2.1.16 Dwusieczna kąta jest zbiorem wszystkich punktów ką-ta równoodległych od jego ramion.

Twierdzenie 2.1.17 Każda izometria płaszczyzny różna od przekształceniatożsamościowego jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osio-wych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Twierdzenie 2.1.18 Izometria przekształca:

1. prostą na prostą,

2. odcinek na odcinek o tej samej długości,

3. półprostą na półprostą,

4. okrąg na okrąg o tym samym promieniu,

5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) na koło otwarte (odpowiedniodomknięte) o tym samym promieniu.

Twierdzenie 2.1.19 Izometria zachowuje:

1. równoległość prostych,

2. prostopadłość prostych,

3. kąt pomiędzy prostymi.

Definicja 2.1.20 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach równoległychnazywamy translacją. Jeżeli l i m są prostymi równoległymi, to wektoremtranslacji Sm ◦Sl nazywamy wektor 2 ·

−−→AB, gdzie A ∈ l, B ∈ m oraz AB ⊥ l

(wtedy także AB ⊥ m).

Definicja 2.1.21 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach przecinają-cych się nazywamy obrotem. Jeżeli l i m są prostymi przecinającymi się wpunkcie O, to środkiem obrotu nazywamy punkt O, a kątem obrotu Sm◦Sl na-zywamy kąt skierowany o mierze 2|^AOB~ |, gdzie A ∈ l\{O}, B ∈ m\{O}.

Twierdzenie 2.1.22 Złożeniem translacji o wektor u z translacją o wektorv jest translacja o wektor u+ v.

Twierdzenie 2.1.23 Złożeniem obrotu o środku O o kąt α z obrotem ośrodku O o kąt β jest obrót o środku O o kąt α+ β.

Twierdzenie 2.1.24 Obrót o kąt π jest złożeniem dwóch symetrii osiowycho osiach prostopadłych czyli symetrią środkową.

12 ROZDZIAŁ 2. PRZEKSZTAŁCENIA

2.2 Podobieństwa

Definicja 2.2.1 Podobieństwem na płaszczyźnie o skali k > 0 nazywamytakie przekształcenie F płaszczyzny na płaszczyznę, które mnoży odległośćpunktów przez liczbę k, to znaczy spełnia dla dowolnych punktów A,Bwarunek

|F (A)F (B)| = k|AB|.

Definicja 2.2.2 Figury f i g nazywamy podobnymi, jeżeli istnieje podo-bieństwo F takie, że F (f) = g.

Definicja 2.2.3 Jednokładnością o środku O i skali s ∈ R \ {0} nazywamyprzekształcenie JsO dane dla dowolnego punktu A warunkiem

−−−−−→OJsO(A) = s ·

−→OA.

Twierdzenie 2.2.4 1. Jednokładność o skali s jest podobieństwem o ska-li |s|.

2. Złożeniem jednokładności o środku O i skali s1 z jednokładnością ośrodku O i skali s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.

3. Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku O i skali sjest jednokładność o środku O i skali 1s .

Twierdzenie 2.2.5 Każde podobieństwo jest złożeniem jednokładności zizometrią.

Twierdzenie 2.2.6 Podobieństwo o skali k przekształca:

1. prostą na prostą,

2. odcinek o długości a na odcinek o długości ka,

3. półprostą na półprostą,

4. okrąg o promieniu r na okrąg o promieniu kr,

5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) o promieniu r na koło otwarte(odpowiednio domknięte) o promieniu kr.

Twierdzenie 2.2.7 Podobieństwo zachowuje:

1. równoległość prostych,

2. prostopadłość prostych,

3. kąt pomiędzy prostymi.

2.3. RZUTY 13

2.3 Rzuty

Definicja 2.3.1 Jeżeli proste l i m nie są równoległe, to rzutem równole-głym na prostą m w kierunku prostej l nazywamy przekształcenie przypisu-jące dowolnemu punktowi A punkt Aml będący jedynym punktem wspólnymprostej m oraz prostej równoległej do prostej l i przechodzącej przez punktA.

Zauważmy, że z samej definicji rzut równoległy nie jest przekształceniemróżnowartościowym; w szczególności nie jest więc także izometrią.

Twierdzenie 2.3.2 Rzut równoległy jest przekształceniem idempotentnym,to znaczy złożony sam ze sobą daje samego siebie.

Definicja 2.3.3 Rzutem prostopadłym na prostą m nazywamy rzut rów-noległy na tę prostą w kierunku prostej prostopadłej do prostej m. Obrazdowolnego punktu A w rzucie prostopadłym na prostą m oznaczamy przezAm.

Twierdzenie 2.3.4 Punkt Sl(A) będący obrazem punktu A w symetrii osio-wej względem prostej l spełnia warunek

−−−−−→AlSl(A) =

−−→AAl.

Twierdzenie 2.3.5 (Talesa) Rzut równoległy zachowuje stosunek długościodcinków równoległych a nierównoległych do kierunku rzutowania.Innymi słowy, jeżeli odcinki AB i CD, o niezerowej długości, są rów-

noległe do siebie, proste m nie jest równoległa do prostej l oraz AB 6‖ l iCD 6‖ l, to

|Aml Bml |∣∣Cml Dml ∣∣ = |AB||CD|.

Rozdział 3

Przestrzeń trójwymiarowa

W geometrii przestrzennej pojęciami pierwotnymi są: przestrzeń (trójwy-miarowa) Π, płaszczyzny, proste i punkty. Pozostają w mocy wszystkiestwierdzenia dotyczące tylko punktów i prostych.

3.1 Punkty, proste i płaszczyzny

3.1.1 Każda płaszczyzna zawiera nieskończenie wiele prostych.

Punkty należace do jednej płaszczyzny, jak i proste leżące w jednej płasz-czyźnie, nazywamy współpłaszczynowymi.

3.1.2 Dla danych trzech punktów niewspółliniowych istnieje dokładnie jed-na płaszczyzna przechodząca przez te punkty.

Dla danych punktów A, B i C tę jedyna płaszczyznę oznaczamy przez ABC.

3.1.3 Istnieją punkty, które nie są współpłaszczyznowe.

Część przestrzeni, która powstaje przez rozcięcie przestrzeni płaszczyzną,wraz z tą płaszczyzną, nazywamy półprzestrzenią.

3.1.4 Dwie różne płaszczyzny są rozłączne lub ich częścią wspólną jestprosta.

Jeżeli różne płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej, to mówimy, że prostata jest ich wspólną krawędzią. Jeżeli płaszczyny są rozłączne lub pokrywająsię, to mówimy, że są równoległe.

3.1.5 Dla dowolnej danej płaszczyzny i danego punktu istnieje dokładniejedna płaszczyzna równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt.

Twierdzenie 3.1.6 Dwie proste w przestrzeni są równoległe lub przecinająsię w jednym punkcie lub są rozłączne i nierównoległe.

14

3.2. FIGURY PRZESTRZENNE 15

W dwóch pierwszych przypadkach obie proste leżą na pewnej wspólnejpłaszczyźnie; w przypadku trzecim mówimy, że proste są skośne (nie leżąone wtedy na jednej płaszczyźnie).

3.1.7 Płaszczyzna nie zawierająca danej prostej jest z nią rozłączna lubma z nią dokładnie jeden punkt wspólny.

W pierwszym z przypadków mówimy, że prosta jest równoległa do płaszczy-zny, a w drugim — że przebija płaszczyznę.

3.2 Figury przestrzenne

Definicja 3.2.1 NiechA będzie punktem, r— liczbą dodatnią. Zbiór wszyst-kich punktów przestrzeni Π, których odległość od punktu A wynosi r na-zywamy sferą o środku A i promieniu r i oznaczamy przez S(A, r). Tymsamym

S(A, r) = {X ∈ Π ; |AX| = r}.

Zbiory:

K(A, r) ={X ∈ Π ; |AX| < r},K(A, r) ={X ∈ Π ; |AX| ¬ r}

nazywamy odpowiednio: kulą otwartą i kulą domkniętą o środku A i promie-niu r.

Analogicznie jak w przypaku płaskim mówimy, że sfera S(A, r) jest stycz-na do płaszczyzny p, jeżeli odległość punktu A od płaszczyzny p jest równa r(lub równoważnie: gdy sfera ma z płaszczyzną dokładnei jeden punkt wspól-ny.

Definicja 3.2.2 Figura przestrzenna jest ograniczona, jeżeli jest zawarta wpewnej kuli. a ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewną kulę otwartą.

Definicja 3.2.3 Wielościanem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mają-cą niepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półprzestrzeni.Brzeg wielościanu składa się z wielokątów, które nazywamy ścianami,

ich boki są krawędziami, a wierzchołki — wierzchołkami wielościanu.

Definicja 3.2.4 Sferą opisaną na wielościanie nazywamy sferę, do którejnależą wszystkie wierzchołki tego wielościanu.Sferą wpisaną w wielościan nazywamy sferę o środku należącym do wie-

lościanu i styczną do wszystkich płaszczyzn zawierających ściany tego wie-lościanu.

16 ROZDZIAŁ 3. PRZESTRZEŃ TRÓJWYMIAROWA

3.3 Przekształcenia przestrzeni

Definicja 3.3.1 Izometrią przestrzeni nazywamy przekształcenie przestrze-ni na przestrzeń, zachowujące odległość punktów.

Twierdzenie 3.3.2 1. Izometria przestrzeni, która ma cztery niewspół-liniowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym.

2. Jeżeli A,B,C są niewspółliniowymi punktami stałymi izometrii, to ca-ła płaszczyzna ABC składa się z punktów stałych tej izometrii.

Definicja 3.3.3 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punk-ty płaszczyzny p, nazywamy symetrią płaszczyznową względem płaszczyznyp i oznaczamy przez Sp.

Twierdzenie 3.3.4 Każda izometria przestrzeni różna od przekształceniatożsamościowego jest symetrią płaszczyznową lub złożeniem co najwyżej czte-rech symetrii płaszczyznowych.

Definicja 3.3.5 Płaszczyzną symetrii figury f nazywamy taką płaszczyznęp, że Sp(f) = f .

Definicja 3.3.6 Mówimy, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny p, gdykażda prosta przechodząca przez punkt A ∈ l ∩ p i leżąca w płaszczyźnie pjest prostopadła do prostej l.Mówimy, że dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeżeli jedna z nich zawiera

prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny.

Definicja 3.3.7 Jeżeli prosta l nie jest równoległa do płaszczyzny p, torzutem równoległym na płaszczyznę p w kierunku prostej l nazywamy prze-kształcenie przypisujące dowolnemu punktowi A punkt będący jedynympunktem wspólnym płaszczyzny p oraz prostej równoległej do prostej l iprzechodzącej przez punkt A.Rzutem prostopadłym na płaszczyznę p nazywamy rzut równoległy na tę

płaszczyznę w kierunku prostej prostopadłej do płaszczyzny p.

Definicja 3.3.8 Miarą kąta pomiędzy prostą l a nierównoległą do niej płasz-czyzną p nazywamy miarę kąta pomiędzy prostą l i jej rzutem prostopadłymna płaszczyznę p.Miarą kąta pomiędzy nierównoległymi płaszczyznami p i q przecinającymi

się wzdłuż prostej l nazywamy miarę kąta pomiędzy prostymi k ⊂ p i m ⊂ qprzechodzącymi przez punkt A ∈ l i prostopadłymi do prostej l.

Twierdzenie 3.3.9 Izometria przestrzeni przekształca:

1. płaszczyznę na płaszczyznę,

3.3. PRZEKSZTAŁCENIA PRZESTRZENI 17

2. sferę na sferę o tym samym promieniu,

3. kulę otwartą (odpowiednio domkniętą) na kulę otwartą (odpowiedniodomkniętą) o tym samym promieniu.

Twierdzenie 3.3.10 Izometria przestrzeni zachowuje:

1. równoległość prostych i płaszczyzn,

2. prostopadłość prostych i płaszczyzn,

3. kąt pomiędzy prostymi i płaszczyznami.

Rozdział 4

Własności miarowe figur

4.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów

Definicja 4.1.1 Odległością dwóch figur niepustych f i g nazywamy liczbę

d(f, g) = inf{|AB| ; A ∈ f ∧B ∈ g}.

Powyższa definicja nie pociąga za sobą wniosku, że dla dowolnych figurf i g istnieją punkty A ∈ f i B ∈ g takie, że d(f, g) = |AB|.

Twierdzenie 4.1.2 Odległość punktu A od prostej l jest równa |AAl| (czyliodległości punktu od jego rzutu prostopadłego na tę prostą).

Twierdzenie 4.1.3 Odległość dwóch prostych przecinających się (a tymbardziej prostych pokrywających się) wynosi 0.Odległość dwóch prostych równoległych l i m jest równa długości odcinka

prostopadłego łączącego punkty z obu prostych (czyli dla dowolnego punktuA ∈ l wynosi |AAm|).

Twierdzenie 4.1.4 Niech dla prostej l i okręgu O(S, r), położonych na jed-nej płaszczyźnie, liczba d będzie odległością punktu S od prostej l. Wówczas:

1. jeżeli d < r, to okrąg i prosta mają dokładnie dwa punkty wspólne.

2. jeżeli d = r, to okrąg i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny.

3. jeżeli d > r, to okrąg i prosta są rozłączne.

W przypadku 1. mówimy, że prosta jest sieczną okręgu, a w przypadku2. — że jest styczna do okręgu.

Twierdzenie 4.1.5 Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu O(S, r) w punkcieA, to odcinek OA jest prostopadły do prostej l.

18

4.2. DŁUGOŚĆ KRZYWEJ I POLE FIGURY 19

Twierdzenie 4.1.6 Przez dowolny punkt z zewnętrza koła przechodzą do-kładnie dwie proste styczne do okręgu ograniczającego to koło.Jeżeli dwie proste przecinają się w punkcie O i są styczne do tego samego

okręgu, odpowiednio w punktach A i B, to |OA| = |OB|.

Twierdzenie 4.1.7 Niech dla okręgów O(A1, r1) i O(A2, r2), położonychna jednej płaszczyźnie, liczba d będzie odległością ich środków. Wówczas:

1. jeżeli d = 0 i r1 < r2, to okręgi są rozłączne, a koło K(A2, r2) zawierakoło domknięte K(A1, r1).

2. jeżeli 0 < d < |r2 − r1| i r1 < r2, to okręgi są rozłączne, a kołoK(A2, r2) zawiera koło domknięte K(A1, r1).

3. jeżeli d = |r2 − r1| i r1 < r2, to okręgi mają dokładnie jeden punktwspólny, a koło domknięte K(A2, r2) zawiera koło domknięte K(A1, r1).

4. jeżeli |r2 − r1| < d < r1 + r2, to okręgi mają dokładnie dwa punktywspólne.

5. jeżeli d = r1+r2, to okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, a kołaK(A1, r1) i K(A2, r2) są rozłączne.

6. jeżeli d > r1 + r2, to koła domknięte K(A1, r1) i K(A2, r2) (a tymsamym także okręgi) są rozłączne.

Wprzypadku 1. o okręgach mówimy, że są koncentryczne, w przypadku 3.— styczne wewnętrznie, w przypadku 4. — przecinające się, a w przypadku5. — że są styczne zewnętrznie.

4.2 Długość krzywej i pole figury

Krzywa jest ciągłym obrazem odcinka, ale do zrozumienia poniższej definicjiwystarczy tylko intuicyjne wyczucie tego pojęcia.

Definicja 4.2.1 Rozważmy wszystkie łamane wpisane w krzywą, to znaczymające wszystkie wierzchołki leżące na tej krzywej i uporządkowane zgodniez orientacją krzywej. Jeżeli zbiór długości takich łamanych posiada kresgórny, to nazywamy ten kres górny długością krzywej.

Oczywiście długość łamanej rozpatrywanej jako krzywa jest równa zwy-kłej długości łamanej. Powyższa definicja przydaje się na przykład do poli-czenia długości okręgu (poprzez wpisywanie w niego wielokątów foremnycho coraz większej liczbie boków).

20 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR

Definicja 4.2.2 Rozważmy na płaszczyźnie siatki kwadratowe o długościachboków dążacych do zera, na przykład 12n , n ∈ N.Dla ustalonej figury f i siatki na poziomie n obliczmy sumę wn pól

kwadratów całkowicie zawartych w figurze f oraz sumę zn pól kwadratówmających niepustą część wspólną z figurą f . Jeżeli ciągi (wn) i (zn) mają tęsamą granicę, to tę wspólną wartość nazywamy polem figury f .

Z powyższej definicji dość łatwo wynika, że pola wielokątów wyrażająsię znanymi wzorami. Może ona jednak służyć do obliczania pola bardziejskomplikowanych figur, na przykład koła.

4.2.3 Podobnie jak pole figury płaskiej można zdefiniować objętość figuryprzestrzennej używając siatek sześciennych.

4.3 Trójkąty

Definicja 4.3.1 Trójkąt o dwóch bokach równej długości nazywamy trój-kątem równoramiennym, a jego równe boki — ramionami trójkąta.Trójkąt o wszystkich trzech bokach równej długości nazywamy trójkątem

równobocznym.

Definicja 4.3.2 Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierz-chołek trójkąta z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciw-legły bok.Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze

środkiem przeciwległego mu boku.

Twierdzenie 4.3.3 Wysokość w trójkącie równoramiennym mająca punktwspólny z oboma ramionami jest jednocześnie środkową w tym trójkącie.

Twierdzenie 4.3.4 Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie,który dzieli każdą z nich w stosuku 2 : 1 (licząc od wierzchołka do środkaprzeciwległego boku).

Punkt przecięcia środkowych trójkąta nazywamy jego środkiem ciężkości.

Twierdzenie 4.3.5 Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi π.

Definicja 4.3.6 Trójkąt o jednym kącie prostym nazywamy trójkątem pro-stokątnym, trójkąt o jednym kącie rozwartym — trójkątem rozwartokątnym,a trójkąt o wszystkich kątach ostrych — trójkątem ostrokątnym.

Twierdzenie 4.3.7 Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiemokręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tegotrójkąta.

4.3. TRÓJKĄTY 21

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trój-kąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta.

W szczególności, że zarówno symetralne boków trójkąta przecinają się wjednym punkcie, jak i dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinająsię w jednym punkcie.W trójkącie ABC przyjmuje się standardowe oznaczenia:

• a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|,

• α, β, γ oznaczają miary kątów wewnętrznych odpowiednio o wierzcho-łakch A, B, C,

• R oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, a r—promieńokręgu wpisanego w ten trójkąt,

• p oznacza połowę obwodu trójkąta: p = a+b+c2 ,

• hA, hB, hC oznaczają długości wysokości opuszczonych odpowiednioz punktów A, B, C.

Twierdzenie 4.3.8 (Pitagorasa) Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylkowtedy, gdy kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratówdługości pozostałych boków.Przy standardowych oznaczeniach:

γ =π

2⇐⇒ c2 = a2 + b2.

W trójkącie prostokątnym bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamyprzeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki przyprostokątnymi.

Twierdzenie 4.3.9 (cosinusów) W trójkącie kwadrat długości jednego zboków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszo-nej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta wewnętrznegozawartego pomiędzy nimi.Przy standardowych oznaczeniach:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Twierdzenie 4.3.10 W trójkącie ostrokątnym kwadrat długości dowolnegoboku jest mniejszy od sumy kwadratów długości pozostałych boków.W trójkącie rozwartokątnym kwadrat długości najdłuższego boku jest więk-

szy od sumy kwadratów długości pozostałych boków.

Twierdzenie 4.3.11 (sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do si-nusa przeciwległego mu kąta wewnętrznego jest stały i równy średnicy okręguopisanego na tym trójkącie.

22 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR

Przy standardowych oznaczeniach:

a

sinα=b

sinβ=c

sin γ= 2R.

Twierdzenie 4.3.12 W trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.

Twierdzenie 4.3.13 (cechy przystawania trójkątów) Jeżeli dwa trój-kąty spełniają co najmniej jeden z warunków:

1. (bbb) mają po trzy boki o odpowiednio równych długościach,

2. (bkb) mają po dwa boki o odpowiednio równych długościach i kątypomiędzy tymi bokami o tych samych miarach,

3. (kbk) mają po jednym boku tej samej długości i przylegające do niegokąty mają odpowiednio te same miary,

to trójkąty te są przystające.

Twierdzenie 4.3.14 (cechy podobieństwa trójkątów) Jeżeli dwa trój-kąty spełniają co najmniej jeden z warunków:

1. (bbb) długości ich trzech boków są proporcjonalne,

2. (bkb) długości ich dwóch boków są proprorcjonalne i kąty pomiędzytymi bokami mają tę samą miarę,

3. (kk) mają po dwa kąty o odpowiednio równych miarach,

to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie 4.3.15 Pole P trójkąta ABC wyraża się przy standardowychoznaczeniach wzorami

P =12ahA

P =12ab sin γ

P =pr

P =√p(p− a)(p− b)(p− c) (wzór Herona)

P =abc

4RP =2R2 sinα sinβ sin γ

Twierdzenie 4.3.16 W trójkącie równobocznym o boku długości a pole wy-nosi P = a

2√34 , a promienie okręgu opisanego i wpisanego są równe odpo-

wiednio R = a√33 i r =

a√36 .

4.4. CZWOROKĄTY 23

4.4 Czworokąty

Definicja 4.4.1 Czworokąt o dwóch bokach równoległych nazywamy tra-pezem, a dwa jego równoległe boki podstawami trapezu.Czworokąt o dwóch parach boków równoległych — równoległobokiem.Trapez, którego dwa boki niewyróżnione jako podstawy są równej dłu-

gości nazywamy trapezem równoramiennym, a równoległobok o wszystkichbokach równej długości — rombem.

Twierdzenie 4.4.2 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylkowtedy, gdy środki jego przekątnych AC i BD pokrywają się.

Twierdzenie 4.4.3 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylkowtedy, gdy

−−→AB =

−−→DC.

Twierdzenie 4.4.4 Suma miar kątów wewnętrznych czoworokąta wynosi2π.

Definicja 4.4.5 Czworokąt o wszystkich kątach prostych nazywamy pro-stokątem, a prostokąt o wszystkich bokach równej długości — kwadratem.

Twierdzenie 4.4.6 Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wte-dy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów są równe.

Okrąg można opisać na przykład na prostokącie i trapezie równoramien-nym (o ile nie jest równoległobokiem).

Twierdzenie 4.4.7 W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy,gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Okrąg można wpisać na przykłąd w romb.

Twierdzenie 4.4.8 W kwadracie o boku długości a promienie okręgu opi-sanego i wpisanego są równe odpowiednio R = a

√22 i r =

a2 .

Twierdzenie 4.4.9 Pole P prostokąta o bokach długości a i b wynosi

P = ab.

W szczególności pole kwadratu o boku długości a wynosi a2.

Twierdzenie 4.4.10 Pole P równoległoboku o bokach długości a i b, kąciewewnętrznym α i wysokości opuszczonej na bok a długości ha wynosi

P = ab sinα = aha.

24 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR

Twierdzenie 4.4.11 Pole P trapezu o bokach równoległych długości a i b,i wysokości opuszczonej na którykolwiek z nich długości h wynosi

P =a+ b2h.

Twierdzenie 4.4.12 Proste zawierające przekątne rombu są prostopadłe izawierają dwusieczne jego kątów wewnętrznych.Pole P rombu o przekatnych długości d1 i d2 wynosi

P =d1d22.

4.5 Wielokąty foremne

Definicja 4.5.1 n–kąt nazywamy foremnym jeżeli wszystkie jego boki sąrównej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne jednakowej miary.

Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, a czworokątem forem-nym — kwadrat. Istnieją wielokąty foremne o dowolnej liczbie boków.

Twierdzenie 4.5.2 W n–kącie foremnym o boku a pole wynosi P = na2

4 ctgπn ,

a promienie okręgu opisanego i wpisanego są odpowiednio równe R = a2 sin π

n

i r = a2ctgπn .

Twierdzenie 4.5.3 Sześciokąt foremny o boku długości a jest sumą sześciutrójkątów równoobocznych o boku a. Jego pole wynosi P = 3a

2√3

2 , a promienie

okręgu opisanego i wpisanego są odpowiedni równe R = a i r = a√32 .

4.6 Koło

Definicja 4.6.1 W danym okręgu kątem środkowym nazywamy kąt o wierz-chołku w środku tego okręgu, a kątem wpisanym — kąt wypukły o wierz-chołku w punkcie leżącym na okręgu i przecinający koło otwarte ograniczoneprzez dany okrąg.

Twierdzenie 4.6.2 (o kątach w kole) Kąt wpisany w okrąg ma miaręrówną połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Twierdzenie 4.6.3 W okręgu kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek prze-

ciwprostokątnej tego trójkąta.

Twierdzenie 4.6.4 Długość okręgu o promieniu r jest równa 2πr.Pole koła o promieniu r wynosi πr2.

4.7. WIELOŚCIANY 25

Definicja 4.6.5 Wycinkiem kołowym nazywamy część wspólną koła i kątaśrodkowego dla danego koła.

Twierdzenie 4.6.6 Pole wycinka kołowego o promieniu r i kącie rozwarciaα wynosi P = r

2α2 , a długość łuku okręgu ograniczającego ten wycinek jest

równa l = rα.

4.7 Wielościany

Definicja 4.7.1 Wielościan, w którym jedna ze ścian jest obrazem innej wtranslacji i pozostałe krawędzie łącząich odpowiadające sobie wierzchołki, nazywamy graniastosłupem, jego

dwie wyróżnione ściany — podstawami, a krawędzie o końcach na różnychpodstawach — krawędziami bocznymi.Graniastosłup prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, a

graniastosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny.

Definicja 4.7.2 Objętość graniastosłupa wynosi

V = PpH,

gdzie Pp jest jest jego polem podstawy, a H — wysokością (czyli odległo-ścią dowolnego punktu jednej z podstaw od płaszczyzny zawierającej drugąpodstawę).

Definicja 4.7.3 Graniastosłup prosty o podstawie będącej prostokątem na-zywamy prostopadłościanem, a prostopadłościan o wszystkich krawędziachtej samej długości — sześcianem.

Twierdzenie 4.7.4 Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, cwynosi V = abc.

Twierdzenie 4.7.5 W sześcianie o krawędzi długości a objętość wynosiV = a3, a promienie sfery opisanej i wpisanej są równe odpowiednio R =a√32 i r =

a2 .

Definicja 4.7.6 Wielościan, w którym istnieje ściana i wierzchołek takie,że krawędzie nie będące krawędziami wyróznionej ściany łączą wierzchoł-ki tej ściany z wyróżnionym wierzchołkiem, nazywamy ostrosłupem, jegowyróżnioną ścianę — podstawą, wyróżniony wierzchołek — wierzchołkiemostrosłupa, a krawędzie łączące podstawę z wierzchołkiem — krawędziamibocznymi.Ostrosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny, a od-

cinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa jest prostopadłydo podstawy.

26 ROZDZIAŁ 4. WŁASNOŚCI MIAROWE FIGUR

Definicja 4.7.7 Objętość ostrosłupa wynosi

V =13PpH,

gdzie Pp jest jest jego polem podstawy, a H — wysokością (czyli odległościąwierzchołka od płaszczyzny zawierającej podstawę).

Definicja 4.7.8 Ostrosłup o podstawie będącej trójkątem nazywamy czwo-rościanem, a czworościan o wszystkich krawędziach równej długości — czwo-rościanem foremnym.

Twierdzenie 4.7.9 W czworościanie foremnym o krawędzi długości a ob-jętość wynosi V = a

3√2

12 , a promień sfery opisanej i wpisanej są równe od-

powiednio R = a√64 i r =

a√612 .

Definicja 4.7.10 Wielościanem foremnym nazywamy wielościan, któregowszystkie ściany są parami przystającymi wielokątami foremnymi i każdywierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu.

Twierdzenie 4.7.11 Jedynymi wielościanami foermnymi są tak zwane bry-ły platońskie czyli

1. czworościan foremny,

2. sześcian,

3. ośmiościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocznymi),

4. dwunastościan foremny (o ścianach będących pięciokątami foremny-mi),

5. dwudziestościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocz-nymi),

4.8 Bryły obrotowe

Kulę można otrzymać w wyniku obrotu koła wokół prostej zawierającej śred-nicę tego koła.

Twierdzenie 4.8.1 Objętość kuli o promieniu r wynosi V = 43πr3.

Pole sfery o promieniu r wynosi P = 4πr2.

Definicja 4.8.2 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu prostokąta wokół pro-stej zawierającej jeden z jego boków nazywamy walcem.Długość boku prostokąta, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wyso-

kością walca, długość boku sąsiadującego — promieniem podstawy walca,koła zakreślone przez promienie — podstawami walca, a figurę zakreślonąprzez bok równoległy do osi obrotu — powierzchnią boczną walca.

4.8. BRYŁY OBROTOWE 27

Twierdzenie 4.8.3 Objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości Hwynosi V = πr2H, a pole powierzchni bocznej tego walca P = 2πrH.

Definicja 4.8.4 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu trójkąta prostokątnegowokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych nazywamy stoż-kiem.Długość przyprostokątnej, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wy-

sokością stożka, długość drugiej przyprostokątnej — promieniem podstawystożka, koło zakreślone przez promień — podstawą stożka, a figurę zakreślonąprzez przeciwprostokątną — powierzchnią boczną stożka.

Twierdzenie 4.8.5 Objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości Hwynosi V = 13πr

2H, a pole powierzchni bocznej tego stożka P = πrl, gdziel =√r2 +H2.

Rozdział 5

Geometria analityczna

5.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych

Na płaszczyźnie wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych, to znaczyprzypisujemy każdemu punktowi A dwie liczby: odciętą x i rzędną y. Piszemywówczas po prostu A = (x, y).Dla punktów A = (x1, y1) i B = (x2, y2) wektor

−−→AB utożsamiamy z parą

liczb [x2 − x1, y2 − y1].Tak określone punkty i wektory spełniają warunki 1.2.2, 1.2.3 oraz 1.2.5.

Definicja 5.1.1 Iloczynem skalarnym wektorów u = [u1, u2] i v = [v1, v2]nazywamy liczbę

u • v = u1v1 + u2v2.

Długością wektora v = [v1, v2] nazywamy liczbę

|v| =√v • v =

√v21 + v

22.

Twierdzenie 5.1.2 Dla dowolnych wektorów u, v, w i liczb a, b ∈ R speł-nione są warunki:

1. (a · u+ b · v) • w = au • w + bv • w,

2. u • v = v • u,

3. v • v > 0 o ile v 6= θ.

Twierdzenie 5.1.3 Dla dowolnych wektorów u, v i liczby a ∈ R spełnionesą warunki:

1. |v| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ,

2. |a · v| = |a||v|,

3. |u+ v| ¬ |u|+ |v|.

28

5.2. PRZEKSZTAŁCENIA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH 29

Twierdzenie 5.1.4 Dla dowolnych wektorów u, v zachodzi nierówność

|u • v| ¬ |u||v|.

Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu po lewej stronie występuje zwy-kła wartość bezwględna liczby.

Twierdzenie 5.1.5 Odległość punktów A = (x1, y1) i B = (x2, y2) wyrażasię wzorem

|AB| =∣∣∣−−→AB∣∣∣ = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Definicja 5.1.6 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v jedyną liczbęα ∈ [0, π] spełniającą warunek

cosα =u • v|u||v|

nazywamy kątem pomiędzy wektorami i oznaczamy przez ^(u, v).Wektory u, v są prostopadłe, gdy kąt pomiędzy nimi jest prosty lub co

na jedno wychodzi u • v = 0.Wektory u, v są równoległe, gdy kąt pomiędzy nimi jest zerowy lub pół-

pełny, czyli gdy det(u, v) =

∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣∣ = 0.Twierdzenie 5.1.7 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v zachodzi zwią-zek

u • v = |u||v| cos^(u, v).

Twierdzenie 5.1.8 Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni wtedy itylko wtedy, gdy tworzą ona kąt ostry.Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy

tworzą ona kąt rozwarty.

5.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych

W celu opisania przekształcenia płaszczyzny podajemy jakie nowe współ-rzędne (x′, y′) będzie miał punkt (x, y) po wykonaniu tego przekształcenialub (co często jest wygodniejsze) jak opisać stare współrzędne za pomocąnowych

5.2.1 Translacja o wektor v = [a, b] wyraża się wzorami:{x′ = x− ay′ = y − b

{x = x′ + ay = y′ + b

30 ROZDZIAŁ 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA

5.2.2 Obrót o kąt α dokoła punktu O(0, 0) wyraża się wzorami:{x′ = x cosα+ y sinαy′ = −x sinα+ y cosα

{x = x′ cosα− y′ sinαy = x′ sinα+ y′ cosα

5.2.3 Jednokładność o środku O(0, 0) i skali s 6= 0 wyraża się wzorami:{x′ = 1sxy′ = 1sy

{x = sx′

y = sy′

5.3 Prosta

5.3.1 Prostą opisujemy równaniem ogólnym

Ax+By + C = 0,

gdzie A,B,C są ustalonymi liczbami oraz A2 +B2 > 0.Wektor u = [B,−A] jest równoległy do tak opisanej prostej (jest jej

wektorem kierunkowym), a wektor v = [A,B] jest prostopadły do tej prostej.

Twierdzenie 5.3.2 Niech dane będą proste:

l : A1x+B1y + C1 = 0

m : A2x+B2y + C2 = 0.

Wówczas

1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

∣∣∣∣∣ A1 B1A2 B2

∣∣∣∣∣ = 0.2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy A1A2 +B1B2 = 0

Tym samym równanie prostej równoległej do prostej Ax + By + C = 0można sprowadzić do postaci Ax+By+C ′ = 0, a prostej do niej prostopadłejdo postaci Bx−Ay + C ′ = 0.

5.3.3 Prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (czyli w jej równaniuogólnym B 6= 0) można przedstawić w postaci kierunkowej

y = ax+ b.

Współczynnik a nazywamy wtedy współczynnikiem kierunkowym tej prostej.

Twierdzenie 5.3.4 Niech dane będą proste:

l : y = a1x+ b1m : y = a2 + b2.

Wówczas

5.4. TRÓJKĄT 31

1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2.

2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a1a2 = −1.

Tym samym równanie prostej równoległej do prostej y = ax + b jestpostaci y = ax+ b′, a prostej do niej prostopadłej — postaci y = − 1ax+ b

′

o ile a 6= 0 lub x = c gdy a = 0.

5.3.5 Prostą przechodząca przez punkt A = (a1, a2) i równoległą do wek-tora v = [v1, v2] można przedstawić za pomocą równania parametrycznego{

x = a1 + tv1y = a2 + tv2

,

gdzie t przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych.

Twierdzenie 5.3.6 Środkiem odcinka o końcach A = (x1, y1) i B = (x2, y2)jest punkt

M =(x1 + x22,y1 + y22

).

Twierdzenie 5.3.7 Odległość punktu A = (x0, y0) od prostej l : Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem

d(A, l) =|Ax0 +By0 + C|√A2 +B2

.

Twierdzenie 5.3.8 Odległość dwóch prostych równoległych l : Ax+By+C1 = 0 i m : Ax+By + C2 = 0 wyraża się wzorem

d(l,m) =|C2 − C1|√A2 +B2

.

5.4 Trójkąt

5.4.1 Przy dowodzeniu faktów dotyczących trójkąta ABC metodą anali-tyczną rozważa się często jego szczególne położenie

A = (0, 0), B = (a, 0), C = (b, c),

gdzie a, c > 0. Jeżeli dodatkowo założymy, że kąt przy wierzchołku C jestostry, to możemy także przyjąć, b > 0.Takie położenie trójkąta nie zmniejsza ogólności rozważań (można jest

otrzymać po przekształceniu przez izometrię), a redukuje liczbę rozważanychparametrów (współrzędnych punktów) z 6 do 3.

32 ROZDZIAŁ 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA

Twierdzenie 5.4.2 Środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (x1, y1),B = (x2, y2) i C = (x3, y3) jest punkt

S =(x1 + x2 + x3

3,y1 + y2 + y3

3

).

Twierdzenie 5.4.3 Jeżeli trójkąt jest rozpięty na wektorach u = [u1, u2] iv = [v1, v2] (to znaczy wektory u, v są dwoma różnymi wektorami opisujący-mi boki trójkąta), to jego pole wyraża się wzorem

P =12|det(u, v)| = 1

2|∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣∣ |.Twierdzenie 5.4.4 Pole trójkąta o wierzchołkach A = (x1, y1), B = (x2, y2)i C = (x3, y3) wynosi

P =12|

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 y11 x2 y21 x3 y3

∣∣∣∣∣∣∣ | =12|x2y3 + x3y1 + x1y2 − x2y1 − x3y2 − x1y3|.

5.5 Okrąg

5.5.1 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 ma równanie

(x− a)2 + (y − b)2 = r2.

5.5.2 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 można przedstawićparametrycznie {

x = a+ r cos ty = b+ r sin t

,

gdzie t przebiega przedział [0, 2π].

Twierdzenie 5.5.3 Jeżeli punkt A = (x0, y0) należy do okręgu o środku(0, 0) i promieniu r > 0 (czyli o równaniu x2+y2 = r2), to prosta o równaniu

x0x+ y0y = r2

jest styczna do tego okręgu w punkcie A.

5.6 Krzywe stożkowe

Definicja 5.6.1 Elipsą nazywamy krzywą o równaniu

x2

a2+y2

b2= 1,

gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniuprzez izometrię do tej postaci sprowadzić.

5.6. KRZYWE STOŻKOWE 33

Definicja 5.6.2 Hiperbolą nazywamy krzywą o równaniu

x2

a2− y2

b2= 1,

gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniuprzez izometrię do tej postaci sprowadzić.

Definicja 5.6.3 Parabolą nazywamy krzywą o równaniu

y2 = 2px,

gdzie p > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniuprzez izometrię do tej postaci sprowadzić.

Definicja 5.6.4 Krzywą stożkową nazywamy każdy zbiór, który można uzy-skać poprzez przecięcie dwustronnego nieskończonego stożka (lub jego zde-generowanej postaci: nieskończonego walca) płaszczyzną lub, co na jednowychodzi, zbiór wszystkich rozwiązań ogólnego równania stopnia 2 z dwie-ma niewiadomymi

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,

gdzie a, b, c, d, e, f są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.

Twierdzenie 5.6.5 Dowolna krzywa stożkowa jest dokładnie jednej z na-stępujących postaci:

1. zbiorem pustym,

2. punktem,

3. prostą,

4. sumą dwóch prostych równoległych,

5. sumą dwóch prostych przecinających się,

6. elipsą,

7. hiperbolą,

8. parabolą.