117

Anna Wiśniewska Studentka Akademii Muzycznej im. K. Szymanowskiego w Katowicach

PODZIAŁY INTERWAŁÓW PRZY UŻYCIU METOD GEOMETRII WYKREŚLNEJ ORAZ SYSTEMU MECHANICZNEGO W TRAKTATACH Le istitutioni harmoniche ORAZ soppLimenti musicaLi GIOSEFFA ZARLINO1

Odkrycie związków między muzyką i matematyką zawdzięczamy Pitagorasowi, pierwsze-mu badaczowi zjawisk fizycznych oraz – jak sam siebie określał – filozofowi. Cała wiedza na temat dokonań mysliciela została zaczerpnięta z dzieł jego uczniów oraz ko-mentarzy późniejszych filozofów, zwłaszcza Platona i Arystotelesa. Mistrz przełożył relacje między dźwiękami na proporcje matematyczne. Innym przykładem zależności między dźwiękiem a liczbą było przedstawienie odległości między ciałami niebies- kimi za pomocą interwałów muzycznych. Odzwierciedlały one zarówno idealny porządek liczbowy, jak i kosmiczną harmonię sfer niebieskich. Także w średniowieczu dostrzegano związek muzyki z matematyką, czego świadectwem jest zaliczenie jej obok arytmetyki, geometrii i astronomii do siedmiu sztuk wyzwolonych.

Instrumentem, dzięki któremu przekładano zależności matematyczne na współbrzmienia, był monochord. Składał się on ze struny rozpiętej pomiędzy dwoma mostkami przymocowanymi do deski lub stołu, trzeci ruchomy mostek usytuowany był pod struną i dawał możliwość wyznaczenia odpowiednich odcinków. Ponadto na podłożu znajdowała się podziałka wskazująca dokładną pozycję mostka i umożliwiająca odczytanie proporcji. Znamy ok. 150 rycin średniowiecznych ilustrujących podziały monochordu, datowanych na okres od IX do XV wieku2.

Interwały miały szczególne znaczenia dla sztuki muzycznej, która od czasów Pitagorasa do epoki śpiewów chorałowych była wyłącznie jednogłosowa – każdy głos wokalny bądź instrumentalny wykonywano wtedy w unisonie lub oktawie. W praktyce muzycznej konsonanse zaczęto traktować jako narzędzia, za pomocą których osiągano pożądany strój. Utwory z tego okresu zbudowane były na stopniach skali pitagorejskiej, którą osiągano za pomocą strojenia czystych oktaw, kwint lub kwart (będących ich przewrotem). Wymienione konsonanse stosowano także w dobie wczesnej polifonii, jednak dopiero epoka renesansu okazała się okresem przełomowym dla badań i postrzegania interwałów muzycznych.

1 Artykuł napisano na podstawie pracy magisterskiej pt. Podziały interwałów przy użyciu metod geometrii wykreślnej oraz systemu mechanicznego w traktatach Gioseffo Zarlino, napisanej pod kierunkiem dra Marka Pilcha, obronionej w 2015 roku na Wydziale Wokalno-Instrumentalnym Akademii Muzycznej im. K. Szymanowskiego w Katowicach.2 K. Buehler-McWilliams, R.E. Murray, The Monochord in the Medieval and Modern Classrooms, „Journal of Music History Pedagogy, Pedagogy Study Group of the American Musicological Society” 2013, vol. 3, nr 2, s. 151–172.

118

Do nowatorskiego spojrzenia na praktykę muzyczną przyczyniło się uściślenie zasad harmonii, ale przede wszystkim rozwój muzyki instrumentalnej. Próbowano osiągnąć kompromis między wymogami zawartymi w pracach teoretyków, a technicznymi ograniczeniami budowy instrumentów klawiszowych oraz tych, na których struny skracano za pomocą ruchomych progów. Rozwiązaniem okazał się odpowiedni i do pewnego stopnia satysfakcjonujący system strojenia, czyli temperacja. Termin ten definiuje skalę, w której większość lub wszystkie współbrzmienia są nieczyste, aby wyeliminować lub ograniczyć efekt nieprzyjemnego brzmienia3. Temperacja wiąże się także z rozdysponowaniem komatu4 na kilka interwałów, w których dopuszczone są niewielkie i z góry założone odchylenia od idealnych proporcji definiowanych w danym okresie bądź stylu. Renesansowy przełom dokonał się w pracach Gioseffa Zarlino (1517–1590) „najbardziej wpływowej osobistości w dziejach teorii muzyki od Arystoksenosa do Rameau” (Olivier Strunk)5. Istotnym aspektem jego działalności były osiągnięcia na gruncie harmonii i kontrapunktu oraz sposób postrzegania interwałów i metody ich wyznaczania. Był jednym z pierwszych musici, których wiedza o akustyce wynikała z praktyki, w przeciwieństwie do ówczesnych teoretyków. W traktatach Le Istitutioni harmoniche (1558), Le Dimostrationi harmoniche (1571) oraz Sopplimenti musicali (1588) Zarlino określił formuły matematyczne opisujące zależności między wysokościami dźwięków, a także jako pierwszy podał kompletną charakterystykę temperacji mezotonicznej.

Historia systemów strojenia pokazuje, w jaki sposób próbowano osiągnąć piękno brzmienia wynikające z wykonywania doskonałych współbrzmień o idealnych stosunkach liczbowych. Opisuje także metody uzyskania maksymalnej liczby interwałów temperowa- nych (nie całkiem czystych) mieszczących się w ramach oktawy. Wymienione sposoby tworzenia interwałów współistniały w muzyce europejskiej co najmniej od XV wieku. Zależności te występują w systemach strojenia, takich jak strój mezotoniczny6 czy w „dobrych temperacjach”7, w których występowały interwały czyste oraz temperowane.

3 J. Montagu, Temperament, hasło w: The New Grove Dictionary of Music and Musicians, red. S. Sadie [online], http://www.oxfordmusiconline.com [dostęp: 28.12.2015].4 Komat to niewielki (od 21,5 do 41 centów) interwał wynikający z różnicy nastrojenia nominalnie tego samego dźwięku w różnych systemach. Stanowi jeden z centralnych problemów związanych z muzycz- nymi strojami.5 Source reading in Music History: From Classical Antiquity Through the Romantic Era, red. W.O. Strunk, L. Treitler, New York 1950, s. 228.6 Pojęcia: strój, system, temperacja mezotoniczna lub średniotonowa oznaczają to samo i w dalszej części tekstu stosowane są wymiennie. 7 Pojęcie „dobre temperacje” zostało zaproponowane przez Andreasa Werckmeistra, który porównał aktualny i powszechnie stosowany w XVIII w. strój mezotoniczny do „fałszywej wiary chrześcijańskiej”. Za: M. Pilch, M. Toporowski, Dawne temperacje. Podstawy akustyczne i praktyczne wykorzystanie, Katowice  2014,  s.  75.

119

Systemy strojenia instrumentów w XV wieku

Od ok. 1400 roku muzycy rozpoczęli poszukiwania nowych systemów strojenia, dzięki którym możliwe było wykonanie idealnie czystych tercji i sekst. Zasadniczym celem było osiągnięcie największej liczby tych interwałów mieszczących się w obrębie oktawy. Problem rozwiązał Bartolomeo Ramos de Pareja (ok. 1440–1522) przez zaproponowanie stroju średniotonowego8. Przedstawiony w traktacie Musica practica (1482) system w kolejnych dwóch stuleciach stał się obowiązujący dla wszystkich instrumentów klawiszowych. Natomiast w przypadku instrumentów z progami stosowano inny strój, znany obecnie jako równomiernie temperowany.

Pod koniec wieku kompozytorzy, tacy jak Josquin des Prez czy Heinrich Isaac, zaczęli stosować tercję w zakończeniu utworu. Taka praktyka przyniosła instrumentalistom nowe trudności – nie jest bowiem możliwe, aby na instrumencie z dwunastoma dźwiękami w obrębie oktawy można było otrzymać równocześnie czyste kwinty i tercje na każdym stopniu skali chromatycznej. We wcześniejszych kompozycjach wykonywano kwinty czyste i mocno dudniące tercje pitagorejskie9. Renesansowi teoretycy próbowali zdefiniować, które kwinty i/lub tercje należy temperować, i o ile. Stosowanie stroju mezotonicznego pozwalało na osiągnięcie czystych tercji kosztem kwint, które musiały być pomniejszone. Strój równo-miernie temperowany pozwalał na uzyskanie równych półtonów kosztem tercji oraz kwint.

Strój średniotonowy (mezotoniczny)

Teoria muzyki w renesansie próbowała na nowo zdefiniować pojęcie kadencji i modulacji do większej liczby tonacji, co nie było możliwe w systemie Just Intonation10. Podjęła także problematykę zastosowania tercji, która nie musiała być czysta, jednocześnie nie mogła występować w formie pitagorejskiej. Rozwiązaniem okazała się temperacja średniotonowa, która związana jest z praktyką strojenia organów (system opracował Franchino Gaffurio, w 1496 roku11) i polegała na nieznacznej redukcji czystych kwint. Według Claudia di Veroli ten typ stroju mógł wynikać z doświadczeń umieszczania progów na gryfie lutni w standardo- wej Just Intonation. Rozmieszczenie progów nie było w tym czasie precyzyjne, w każdym przypadku zauważalne są indywidualne rozwiązania wynikające z praktyki muzycznej. Ostateczne otrzymano brzmienie bliskie systemowi średniotonowemu.

Temperacja mezotoniczna bazuje na Just Intonation, podobnie jak strój równomiernie temperowany wynika z zastosowania systemu pitagorejskiego. Strój równomiernie tempero-wany dzieli komat pitagorejski równomiernie na dwanaście kwint, podczas gdy strój me-zotoniczny dzieli komat syntoniczny12 na cztery kwinty (por. tabela 1). Dzięki takiemu rozwiązaniu  spełniono  oczekiwania  ówczesnych  muzyków13.8 http://www.medieval.org/emfakw/harmony/pyth.htm [dostęp: 28.12.2015].9 Tercje powstające w wyniku nastrojenia sekwencji czterech czystych kwint – wyższe od tercji czystej. 10 Just Intonation jest systemem strojenia, w którym wszystkie interwały mogą być wyrażone proporcją częstotliwości opartą na liczbach całkowitych.11 C. di Veroli, Unequal Temperaments and their Role In the Performance of Early Music, Bray 2008, s. 59.12 Komat syntoniczny to różnica pomiędzy tercją pitagorejską (uzyskaną przy nastrojeniu sekwencji czterech czystych kwint) a czystą akustycznie tercją wielką. Matematycznie wyrażany stosunkiem 81:80.13 C. di Veroli, dz. cyt., s. 60.

120

Tabela 1. Stroje klasyczne oraz ich pochodne

STRÓJ PITAGOREJSKI: STANDARD JUST: CEL: Czyste kwinty Czyste tercje wielkie

KOMPROMIS: STRÓJ RÓWNOMIERNIE

TEMPEROWANYSTANDARDOWY STRÓJ

ŚREDNIOTONOWY

OSIĄGNIĘCIA

STOSOWANYCH

TEMPERACJI:

Kwinty: prawie czyste

Tercje wielkie: wszystkie da się zagrać

Trójdźwięki: wszystkie da się zagrać

Kwinty: całkiem dobre

Tercje wielkie: prawie czyste

Trójdźwięki: prawie wszystkie da się zagrać

Zamieszczony niżej rysunek ukazuje trzy różne rozwiązania problemu występowania komatu syntonicznego istotnego w analizie historycznych praktyk strojenia.

Rysunek 1. Trzy „klasyczne” formy występowania komatu syntonicznego14

Posługując się prostymi zależnościami matematycznymi, jesteśmy w stanie wyznaczyć proporcję dla kwinty występującej w standardowej postaci stroju średniotonowego:

Wiedząc, że suma czterech kwint jest równa sumie dwóch oktaw i czystej tercji wielkiej, możemy napisać:

(wynika to również z szeregu harmonicznego – tercja jest piątą składową tonu).14 Czarnym kolorem zaznaczono interwały czyste, kolorem wyróżniono interwały nieczyste. Tamże, s. 60.

121

Dla jednej kwinty musimy wykonać pierwiastkowanie o stopniu pierwiastkowania równym liczbie kwint, dlatego otrzymujemy:

W systemie średniotonowym występują dwa rozmiary tonów (duży i mały). Cały ton jest wynikiem nastrojenia dwóch kolejnych kwint (minus oktawa). Podobnie dwa rozmiary tonów występują w Just Intonation: duży o proporcji 9:8 i mały 10:9, uwzględniając jedną zredukowaną kwintę15. Natomiast temperacja średniotonowa dzieli komat równomiernie między kwinty, w efekcie otrzymujemy tony tego samego rozmiaru (por. rys. 2).

Rysunek 2. Trzy rodzaje tonów – duży, mały i średni16

Mały ton jest pomniejszony w stosunku do dużego o komat syntoniczny, podczas gdy średni jest węższy tylko o połowę wartości komatu. Rezultat jest średnią pomiędzy dużym i małym tonem.

Zagadnienia dotyczące stroju w traktatach Gioseffa Zarlino

Jednym z pierwszych teoretyków zajmujących się praktycznym wymiarem akustyki był Gioseffo Zarlino.

[...] był także [Zarlino] żarliwym orędownikiem Wielkiego Tematu kosmicznej harmonii w jego czystej, staroklasycznej formie. W swoim studium Le institutioni harmoniche streścił istotę musicae mundanae z punktu widzenia humanisty: „Mamy wszelkie powody, by uwierzyć, że świat tworzy harmonię, zarówno dlatego, że jego dusza jest harmonią (jak sądził Platon), a także dlatego, że sfery niebieskie krążą wokół swych inteligencji w sposób harmonijny, o czym można się przekonać śledząc ich obroty, których prędkość

15 Obszerna analiza systemu Just Intonation w: M. Pilch, Stroje historyczne w teorii i praktyce, część II: Just Intonation, „Notes Muzyczny” 2015, nr 1(3), s. 57–81. 16 C. di Veroli, dz. cyt., s. 61.

122

jest wzajemnie zgrana. Istnienie owej harmonii potwierdzają także odległości między sferami niebieskimi. Albowiem odległości te (zdaniem niektórych) pozostają do siebie w harmonijnej proporcji. Zmysły wprawdzie nie mogą jej uchwycić, ale rozum tak”17.

W traktach Institutioni harmoniche oraz w Sopplimenti musicali znajdujemy dokładne wytyczne dotyczące podziału interwałów. Zaproponowana typologia współbrzmień wykorzystuje metody geometryczne oraz mechaniczne znane już w starożytności. Zupełnie nowym ujęciem jest podział komatu oraz opis temperacji mezotonicznej 2/7 komatu. Według teoretyka „jest istotne, by podzielić komat” tak, aby „każda kwinta, każda kwarta, każda wielka tercja i każda mała tercja, które tworzą konsonans, były powiększone lub pomniejszone równomiernie”18. Każdy z interwałów powinien być jednakowo temperowany, w wyniku czego wszystkie kwinty i kwarty mają taki sam rozmiar.

W temperacji mezotonicznej kwinty i kwarty są temperowane o 2/7 komatu syntonicznego. Kwinty są mniejsze w porównaniu z czystymi, aby zapobiec powstaniu tercji powiększonej o komat w stosunku do czystej. Kwarty są wyższe aniżeli czyste, oktawa zaś zawsze jest czysta. Jest to temperacja średniotonowa, ponieważ wielkość tercji bliższa jest tercji czystej, inaczej niż ma to miejsce w stroju równomiernym oraz dlatego, że jednakowo temperowane kwinty skutkują uzyskaniem równych całych tonów. W schemacie Zarlino każda uzyskana tercja jest mniejsza od czystej o 1/7 komatu. Możemy to obliczyć w bardzo prosty sposób: strojąc cztery kwinty pomniejszone o 2/7 komatu otrzymujemy:

Oznacza to, że tercję pitagorejską (uzyskaną poprzez nastrojenie czterech czystych kwint) pomniejszamy najpierw o całą wartość komatu, otrzymujemy tercję czystą akus-tycznie i odejmujemy dodatkowe 1/7 komatu, uzyskując tercję czystą pomniejszoną o 1/7 komatu. Zaproponowana przez Zarlino metoda jest rozwiązaniem pośrednim między temperacją mezotoniczną 1/4 komatu a 1/3 komatu (w 1/4 komatu uzyskujemy tercję czystą, w 1/3 tercję pomniejszoną o 1/3 komatu).

Teoria Zarlino wynika z nowego postrzegania komatu syntonicznego. Był on świadomy, że błędne jest postrzeganie tercji jako dwóch następujących po sobie całych tonów: (9:8)2 = 81:64, zaś właściwą proporcją jest 5:419. Co więcej, Zarlino stwierdził, że komat nie jest najmniejszą, niepodzielną wielkością opisującą dźwięk, ale może być równie dobrze podzielony – przykładowo na siedem równych części. Uczony posługiwał się tradycyjnym sposobem wyznaczania interwałów, wykorzystując właściwości monochordu. Wyznaczenie długości strun tego instrumentu pozwoliło określić trzy rodzaje skali: diatoniczną,

17 J. James, Muzyka Sfer. O muzyce, nauce i naturalnym porządku wszechświata, Kraków 1996, s. 99.18 M. Lindley, Zarlino’s 2/7-comma meantone temperament [online], https://www.academia.edu/1183386/Zarlino_s_2_7-comma_meantone_temperament [dostęp: 28.12.2015].19 Problem wywołał spór między Franchino Gaffurio a Bartolomeo Ramosem dotyczący „błędnego osądu” przy przypisaniu proporcji 5:4 do tercji wielkiej.

123

chromatyczną oraz dziewiętnastostopniową w obrębie oktawy. Rozpatrywanie tercji lub seksty jako sekwencji czterech bądź trzech kwint stało się kluczowym momentem w rozwoju teorii muzyki. Taka procedura nie powinna być jednak brana pod uwagę, kiedy analizujemy przełom XIV i XV wieku, nawet jeśli trójdźwięki czy wielkie tercje występują w roli konsonansu20.

Mark Lindley używa dwóch określeń, opisując osiągnięcia Zarlino: „matematycznie słuszne” oraz „liczbowo precyzyjne”21. Zauważa także wkład teoretyka w postęp naukowy. Jego model temperacji mezotonicznej jest przedstawiony w ujęciu praktycznym, a nie w kontekście idealistycznej koncepcji systemu strojenia. Wynalezienie tego modelu może być traktowane jako osiągnięcie naukowe, które zawiera rozważania na temat alternatywnych modeli matematycznych dla danych relacji lub zbiorów występujących w naturze, dociekając, które rozwiązanie będzie najlepszym odwzorowaniem zjawisk natury. Zarlino w sposób wręcz laboratoryjny badał różnice wynikające z temperacji interwałów. Początkowo wskazuje na odchylenie około 1/10 całego tonu przy okazji porównywania tercji wynikającej z sumy dwóch całych tonów, czyli 81:64 z proporcją tercji naturalnej – 5:4 (tercja uzyskana za pomocą pierwszego sposobu stanowi 90% tercji naturalnej). Natomiast kończy na rozważaniu odchyleń stosowanych w temperacji rzędu setnych części całego tonu. Lindley sytuuje osiągnięcia Zarlino w teorii strojenia naprzeciw nowoczesnych tendencji nauki, gdzie zależności matematyczne odzwierciedlają przybliżony obraz rzeczywistości.

Monochord i jego praktyczne zastosowanie

Monochord to instrument muzyczny po raz pierwszy wzmiankowany przez Greków w V wieku przed naszą erą. Jego wynalezienie przypisuje się Pitagorasowi. Instrument ten traktowany był jednocześnie jako przyrząd mierniczy służący do badania stosunków liczbowych, przekładanych na wysokości dźwięku. Poza celami eksperymentalnymi monochord w późniejszych czasach (do XIX wieku) używany był jako instrument dydaktyczny. Diagramy i schematy wyznaczenia konsonansów bazujące na monochordach można znaleźć w licznych zarówno spekulatywnych, jak i praktycznych traktatach tamtej epoki. Był też używany jako pomoc w nauce śpiewu oraz służył do sprawdzania i weryfikacji interwałów. Zmniejszenie jego znaczenia w dydaktyce jest prawdopodobnie efektem rozprzestrzeniania się instrumentów klawiszowych.

Umieszczane na instrumencie podziałki są zbiorem odcinków wyznaczanych dla kon-kretnych interwałów, jednocześnie oznaczają miejsca skracania struny. Tworzone były poprzez szukanie składowych harmonicznych lub też przy użyciu cyrkla o długich ramionach. Tę drugą metodę możemy dostrzec na rycinie pochodzącej z XII wieku, która przedstawia Boecjusza tworzącego podziałkę monochordu.20 M. Lindley, dz. cyt.21 Tamże.

124

Rysunek 3. Boecjusz przy monochordzie rycina z XII wieku22

Pudło rezonansowe monochordu pojawia się na rycinach po XII wieku. Długość instrumentu wahała się wówczas pomiędzy 90 a 122 cm. Wybór wysokości tonu podstawowego był zależny od rozmiaru monochordu i skali głosu użytkownika. W XVI wieku jeden z mostków monochordu został zastąpiony kołkiem, co pozwoliło na obniżenie napięcia struny. Ten zabieg umożliwił dociśnięcie struny bezpośrednio do korpusu instrumentu. Usprawni-ło to użytkowanie monochordu, ale jednocześnie pogorszyło jego dokładność. Monochordem nazywano również instrumenty o kilku strunach, które strojone były w unisonie.

Wykorzystywanie monochordu w dydaktyce spowodowało, że jego użytkownicy starali się dokonać podziału struny w sposób precyzyjny. Efektywność podziału zależy od relacji pomiędzy ilością osobnych pomiarów i liczby uzyskanych dźwięków. Wyniki tych starań są zauważalne po 1450 roku, kiedy to prawie każdy nowy podział skutkował uzyskaniem innego wariantu strojenia. Powstawanie wariantów stroju było często ubocznym efektem poszukiwania prostszej metody podziału. Kluczowym aspektem był wymiar praktyczny podziału monochordu, a nie zachowanie założonych, sztywnych proporcji pomiędzy dźwiękami. 22 http://www.trombamarina.com/instruments/monochord [dostęp: 28.12.2015].

125

Ten sposób rozumowania zaprezentował Ramos de Pareja, którego metody strojenia monochordu odbiegały znacznie od respektowanych standardów pitagorejskich. Ramos stwierdził: „tym samym spowodowaliśmy, że nasz podział jest bardzo prosty, ponieważ podziały są pospolite i nietrudne”23. W wielu przypadkach w renesansie i epokach późniejszych, choć nie jest to powiedziane wprost, jak w przypadku Ramosa de Parei, pragnienie uproszczenia podziału było priorytetem.

Do XVIII wieku monochord był powszechnie używany w celu pokazania jedności między człowiekiem i wszechświatem. Właśnie taką wizję monochordu upowszechnił Robert Fludd (1574–1637), angielski doktor i filozof-okultysta. Zilustrował on kosmologię przy użyciu Boskiego Monochordu (rys. 4). Instrument ten obejmuje skalę dwóch oktaw i podzielony został na wszystkie podstawowe interwały harmoniczne. Każdy interwał reprezentuje jakiś element wszechświata. Najniższym dźwiękiem jest „g” – symbol Ziemi, następny punkt to środkowe „c” oznaczające Boga i ostatecznie górne „g” ukazujące najwyższe sfery królestwa niebieskiego. Odległość między skrajnymi dźwiękami to dwie oktawy, które są odzwierciedleniem harmonii wszechświata – musica mundana.

Fludd był przykładem człowieka renesansu. W swych rozprawach próbował scalić rozproszone fragmenty nauki, filozofii i religii stanowiące w owym czasie całkowicie odrębne dziedziny. Swobodnie wykorzystał idee innych teoretyków. Przedstawiając swój Boski Monochord (Mundane Monochord), de facto zilustrował kabalistyczno- hermetyczną wizję Pico Della Mirandoli, ujmując ją w formie tradycyjnej koncepcji „Wielkiego Łańcucha Bytu”. Jedyną innowacją był sposób, w jaki Fludd wpisał całą ludzką historię w strukturę kosmosu24.

23 C. Adkins, Monochord, hasło w: The New Grove Dictionary of Music and Musicians, red. S. Sadie [online], http://www.oxfordmusiconline.com [dostęp: 28.12.2015].24 J. James, dz. cyt., s.135.

126

Rysunek 4. Boski Monochord Fludda25

25 http://magictransistor.tumblr.com/post/63534891765/in-1618-robert-fludd-devised-a-mundane-monochord [dostęp: 28.12.2015].

127

Podziały monochordu

Podziały monochordu są zwykle przedstawiane za pomocą proporcji, długości struny bądź centów [1]. Oprócz tych trzech istnieje jeszcze metoda, która wyraża długość struny przy użyciu logarytmów [2]. Okres jej powszechnego użytkowania przypada na wiek XVIII. Technika ta, podobnie jak w przypadku stosowaniu centów, nie jest proporcjonalna i nie może być użyta bez dodatkowych obliczeń. Dwie pierwsze metody nazywane manualnym podziałem jako jedyne miały praktyczne zastosowanie w przypadku podziału struny przed XX wiekiem.

Koncepcja podziału monochordu przez Pitagorasa jest przedstawiana za pomocą proporcji: 2:1 – oktawa, 3:2 – kwinta, 4:3 – kwarta, 9:8 – sekunda wielka. Dla przykładu wyznaczmy cały ton o proporcji częstotliwości 9:826. Interwały można uzyskać, wykorzystując monochord na dwa sposoby. Pierwszy przedstawiony został na rysunku 5a. Dzielimy strunę AY na pół i wyznaczamy punkt D, a następnie dzielimy odcinek DY na osiem równych części. Za pomocą cyrkla odmierzamy długość jednego segmentu z ośmiu i wykreślamy dodatkowy odcinek od punktu D w kierunku A, wyznaczając punkt C. Cały ton powstaje pomiędzy drgającymi odcinkami struny CY oraz DY.

Alternatywnie (rys. 5b) możemy podzielić całą strunę na dziewięć równych części. Odległość odcinka BY (8:9 struny) względem długości całej struny (AY) będzie poszukiwaną sekundą wielką o proporcji częstotliwości 9:8.

Rysunek 5. Podział struny a) malejący b) rosnący27

26 Warto zaznaczyć, że długość struny jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości, co możemy zapisać w następującej formie:

, gdzie  to długość fali (długość fali akustycznej przekłada się na długość

struny), a to częstotliwość. Zakładając, że chcemy uzyskać częstotliwość proporcjonalnie   razy większą, możemy zapisać: . Podstawiając pod wyższą zależność, otrzymujemy:

.

Zakładając, że to częstotliwość drgań całej długości struny  , częstotliwość uzyskamy przy długości fali , czyli w momencie drgania 8/9 długości struny.27 C. Adkins, dz. cyt.

128

Na rysunku 5a struna monochordu jest podzielona malejąco – zaczynamy podział od wyznaczenia wyższych dźwięków i następnie wyznaczamy niższe. Z kolei drugi (rys. 5b) rosnąco – od wyznaczenia dźwięków niskich, przechodząc do wysokich. Techniki te mogą być używane alternatywnie28.

Bardziej skomplikowane podziały, takie jak półton pitagorejski (256:243), mogą zostać wyznaczone przy użyciu prostszych interwałów. Przykładowo suma dwóch całych tonów (9/8 x 9/8 = 81/64) jest odejmowana od kwarty (4/3 : 81/64 = 256/243).

Każdy odcinek możemy podzielić na dowolną ilość równych części. Potrzebujemy do tego linijki oraz cyrkla. Najprostszym sposobem podziału jest wyznaczenie połowy długości odcinka. W praktyce oznacza to, że możemy uzyskać podział na równych części, gdzie  w wyniku czego otrzymujemy 2, 4, 8, 16, 32 itd. Mając odcinek AB, z punktu A i z punktu B wykreślamy niepełny okrąg i łączymy linią punkty przecięcia, wyznaczając punkt C, który stanowi środek odcinka AB:

Rysunek 6. Metoda wykreślna dzielenia odcinka na dwie równe części

Istnieje także metoda, która umożliwia podział odcinka na dowolną ilość równych części. Jest to sposób wykreślny bazujący na twierdzeniu Talesa (dowód tego twierdzenia znajdziemy w VI Księdze Elementów Euklidesa z IV w. p.n.e.). Odnosząc ową metodę do podziału struny monochordu, możemy rozważyć następującą sytuację: załóżmy, że mamy strunę o długości 100cm. Chcemy ją podzielić na 3 równe części. Długość pierwszego odcinka to 33,(3) cm. Takiej podziałki nie wyznaczymy za pomocą linijki. Należy to wykonać przy użyciu wspomnianego już twierdzenia Talesa w następujący sposób:

28 http://www.oxfordmusiconline.com/subscriber/article/grove/music/18973?q=monochord&search= quick&pos=1&_start=1#firsthit [dostęp: 28.12.2015].

129

Rysunek 7. A-E podział odcinka na trzy równe części oparty na twierdzeniu Talesa

130

Długość struny wyznaczamy jako poziomy odcinek AB (rys. 7A).

Następnie rysujemy prostą p pod dowolnym kątem nachylenia, która przechodzi przez punkt A (rys. 7B.).

Używając cyrkla, wykreślamy trzy identyczne odcinki (długość jest arbitralna) na prostej, zaczynając od punktu A (rys. 7C).

Łączymy punkt E z punktem B (rys. 7D).

Wyznaczamy proste równoległe do linii EB, tworząc w ten sposób podział struny na trzy równe części (rys. 7E).

Otrzymujemy odcinki AF i AG, wyznaczając odpowiednio 1/3 i 2/3 długości struny monochordu.

Jak możemy zastosować takie podziały odcinka w praktyce przy użyciu monochordu? Otóż dzieląc strunę na równe części, możemy uzyskać interwały pitagorejskie i Just Intonation, które zapisujemy za pomocą prostych proporcji (wynikają z szeregu harmonicznego). Są to proporcje, takie jak 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 itd. Bardzo istotne jest, aby nie kojarzyć podziału struny na równe odcinki z równomiernym podziałem interwału. Wyznaczanie interwałów równomiernych wynika z innej zależności, o czym piszę w dalszej części.

Metody podziału interwałów na monochordzie

Renesansowi teoretycy, jak Francesco de Salinas, Gioseffo Zarlino, Nicola Vicentino czy Sa-lamone Rossi, poszukiwali sposobów podziału interwału na dwie lub więcej równych części. W tym celu użyli monochordu, który umożliwił im przełożenie matematycznych zależności na słyszalną wysokość dźwięku. Zauważyli, że podział interwału na dwie części możliwy jest przy użyciu geometrii euklidesowej29, a na trzy i więcej – dzięki wykorzystaniu staro-żytnych metod dwojenia objętości sześcianu.

W przypadku drugiej grupy technik teoretycy wykorzystywali osiągnięcia Eratosthenesa (276–194 p.n.e.) i Philo z Bizancjum (280–220 p.n.e.). Pierwszy skonstruował mesolabium – przyrząd składający się z prostokątnych ramek, w którym każda musi mieć wyznaczoną jedną przekątną. Liczba ramek będzie równa liczbie części, na które chcemy podzielić dany interwał. Końcowym elementem mesolabium jest szyna, która pozwala na równoległe poruszanie ramkami; ramki będą na siebie nachodzić, dlatego prowadnica musi być minimalnie szersza od sumy grubości kompletu ramek. Mesolabium działało na zasadzie mechanicznej, natomiast Philo zaproponował iteracyjną30 metodę wykreślną.

29 Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (IV w. p.n.e.).30 Iteracja polega na powtarzaniu operacji do momentu osiągnięcia danego stopnia dokładności.

131

Przedstawione techniki matematycznie opisywane są za pomocą średnich geome-trycznych31, 32.

Wśród pierwszych, postulujących zastosowanie metod dwojenia objętości sześcianu, byli XVI-wieczny teoretycy muzyki Francisco Salinas (1513–1590) i Gioseffa Zarlino. Obaj zaproponowali zastosowanie średnich geometrycznych, tworząc strój równomiernie tempe-rowany (Salinas De musica libri VII, Zarlino Sopplimenti musicali). Zarlino podał trzy metody, dzięki którym oktawę można podzielić na dwanaście równych półtonów. Pierwszą metodą było zastosowanie mesolabium. Drugą, użycie twierdzenia Philo z Bizancjum. Ostatnią natomiast stanowił wariant pierwszej metody, w której użycie mesolabium było punktem wyjścia do znalezienia długości struny, po czym długości dla pozostałych dźwięków były wyznaczane proporcjonalnie (prawo Talesa).

Podział interwału na dwie równe części według reguł geometrii euklidesowej

Jest to metoda wykreślna, w której poprzez podział interwału otrzymujemy interwał uśredniony. Szukany podział uzyskujemy, zestawiając odpowiednie wysokości trójkątów wpisanych w okrąg o średnicy długości równej sumie drgającej części struny dla dwóch wysokości dźwięku określających zadany interwał. Wszystkie operacje możemy wykonać przy użyciu linijki oraz cyrkla33. Zarlino w swoim traktacie Institutioni harmoniche podzielił oktawę na dwa równe interwały. Opierając się na tej samej metodzie, proponuję przeanalizować przykład podziału tercji czystej (proporcja 5:4) na dwie równe części:31 Średnią geometryczną  dodatnich liczb  nazywamy liczbę Na przykład średnią geometryczną liczb 2,3,4,5 jest Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich a,b to pierwiastek kwadratowy z iloczynu tych liczb   Jeśli   liczba   x   jest   średnią   geometryczną   liczb   a   i   b,   to   zachodzi   równanie  Pierwsza liczba ma się do drugiej tak, jak druga do trzeciej.Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

Aby podzielić interwał muzyczny o stosunku częstotliwości („superparticular” ratio, gdzie a jest liczbą całkowitą) na n równych części, musimy znaleźć jego średnią geometryczną.   Stopień pier-wiastka to ilość części, na jaką chcemy podzielić dany interwał. Ogólna postać przedstawia się następująco: Rozpatrując podział oktawy (proporcję 2:1) na dwie równe części, otrzymamy następu-jącą średnią geometryczną: . Podział interwału na dwie części implikuje pierwiastek drugiego stopnia. Liczba pod pierwiastkiem to proporcja oktawy. Chcąc podzielić tercję czystą (stosunek 5:4) na dwie równe części, otrzymamy:

Skoro możemy przedstawić dzielenie interwału matematycznie,

dlaczego mamy problem z dokładnością otrzymanej wartości? Dzieje się tak, ponieważ wynik pierwiastko-wania proporcji o postaci jest zawsze liczbą niewymierną. Liczba niewymierna jest liczbą rzeczywistą, której nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. W praktyce oznacza to, że nie możemy precyzyjnie odmierzyć pożądanej wielkości bez użycia metod wykreślnych.32 http://www.math.edu.pl/srednia-geometryczna [dostęp: 28.12.2015].33 Przykład podziału oktawy na dwie równe części podaje Zarlino, powołując się na metodę Euklidesa. Por. G. Zarlino, Le institutioni Harmoniche, Venezia 1558 [online], http://imslp.org/wiki/Le_Istitutioni_ Harmoniche_(Zarlino,_Gioseffo) [dostęp: 13.02.2016].

132

Zaczynamy od podziału odcinka AB na dziewięć równych części (rys. 8a).

Rysunek 8. A-D Schemat podziału tercji czystej na dwie równe części

133

Rysunek 8. E-G Schemat podziału tercji czystej na dwie równe części

134

Punkt C wyznacza podział na odcinki AC i CB, które są względem siebie w stosunku 5:4 (rys. 8b).

Kreślimy półokrąg o średnicy AB (promień możemy uzyskać, dzieląc odcinek na dwie równe części) (rys. 8c).

Następnie prowadzimy prostą prostopadłą z punktu C, aż do momentu przecięcia z obwodem półokręgu – przecięcie oznaczamy punktem D (rys. 8d).

Odcinek CD jest średnią geometryczną odcinków AC i CB. Można to udowodnić poprzez podobieństwo trójkątów prostokątnych, które powstają po połączeniu punktów AD oraz BD (rys. 8e),

gdzie zachodzi równość:

Stosunek odcinków AC do CD jest taki sam jak CD do CB, czyli wyznaczyliśmy średnią geometryczną – odcinek CD. Jeżeli chcemy zastosować tę metodę w praktyce i wyznaczyć długość struny monochordu, trzeba pamiętać, że pusta struna nie jest odcinkiem AB. Całkowita długość struny to odcinek AC, a tercja czysta to 4:5 tego odcinka, co przedstawia odcinek EC na rys. 8f.

Odcinek CE jest równy odcinkowi CB. Aby pokazać długość CD na odcinku struny AC, wykreślamy fragment okręgu o promieniu CD, zaczynając w punkcie C (rys. 8g).

W ten sposób wyznaczyliśmy interwał uśrednionego całego tonu, który powstaje pomiędzy długościami strun AC i CD’ oraz CD’ i CE.

Podział komatu

Teoretycy wykorzystywali powyżej opisaną metodę także do podziału komatu. Przy-kładem może być schemat autorstwa Ludovica Fogliano (ok.  1475–ok.1542) widoczny na rys. 9, który został zaproponowany już w 1529 roku34. AB i BD reprezentują długości strun monochordu dla wysokości dźwięków oddalonych od siebie o wartość komatu. Linia prostopadła BC stanowi długość struny dla wysokości pośredniej. Jednak tego typu zabiegi miały raczej charakter metafizyczny aniżeli praktyczny.

34 L. Fogliano, Musica theorica, Venetia 1529, Księga III, rozdz. XXXVI [online], http://reader.digitale-sam-mlungen.de/en/fs1/object/display/bsb10148093_00001.html [dostęp: 6.01.2016].

135

Rysunek 9. Podział komatu syntonicznego wg L. Fogliano35

Podział interwału na trzy i więcej równych części za pomocą mesolabium

Mesolabium możemy zdefiniować jako matematyczny instrument wynaleziony w starożytności, który w swej pierwotnej formie służył do znalezienia dwóch średnich proporcjonalnych w sposób mechaniczny, gdy nie było możliwe zastosowanie geometrii wykreślnej. Pozwalało na podział linii na tak wiele proporcjonalnych części, jak sobie tego życzymy36. Matematycznie było to równoważne z wyznaczeniem odcinka, który był wynikiem pierwiastkowania trzeciego stopnia danej proporcji. Aby przybliżyć sposób działania mesolabium, przedstawię możliwość wykorzystania enigmatycznej w teorii, a przystępnej w praktyce metody postępowania.

Mamy za zadanie wyznaczyć podział oktawy (2:1) na trzy równe części. W tym celu potrzebujemy trzech ramek mesolabium. Ustawiamy ramki jedna obok drugiej tak, że stykają się krawędziami (rys. 10a).

35 Tamże. 36 J. Murray Barbour, Tuning and Temperament. A Historical Survay, New York 1951, s. 51.

136

Rysunek 10. A-E zasada działania mesolabium

Na prawej krawędzi ostatniej ramki wyznaczamy punkt dokładnie w połowie, w ten sposób uzyskując na skrajnych krawędziach odcinki a i b, gdzie a:b=2:1. Łączymy punkty A i B, które odzwierciedlają wysokość odcinków a i b przy pomocy przykładowo kawałka drutu lub listewki w następujący sposób (rys. 10b).

137

Teraz część kluczowa – musimy w taki sposób przesunąć ramki, aby linia łącząca punkty A i B przecięła się w jednym punkcie z przekątną trzeciej ramki i prawą krawędzią drugiej ramki oraz przekątną drugiej ramki z prawą krawędzią pierwszej ramki. Możemy to przeanalizować na znajdującym się poniżej rysunku (rys. 10c).

Średnie proporcjonalne, których szukaliśmy, oznaczę jako odcinki x i y. Aby lepiej uwidocznić cel tej operacji, zaznaczę odcinki oraz fragment przekątnych, które pozwalają wyznaczyć dwie średnie proporcjonalne (rys. 10d).

W ten sposób uzyskaliśmy proporcjonalne odcinki a, x, y, b37 (rys. 10e).

Mesolabium w traktacie G. Zarlino

W drugiej części Institutioni harmoniche Zarlino opisuje podział dowolnego interwału na dwie lub więcej równych części. Zaznacza, że jest to sposób nie tylko piękny, ale także praktyczny. Twierdzi, że bez pomocy przyrządu zwanego mesolabium, każdy wysiłek byłby bezużyteczny. Opis zastosowania mesolabium przez Zarlino wskazuje, że pierwotnie teoretyk używał tej metody do podziału (geometrycznego) interwału na dwie równe części.

37 Nasze zadanie to wyznaczenie podziału oktawy na trzy równe części, w wyniku czego powstają trzy uśrednione tercje wielkie. Naszą wyjściową długością struny jest odcinek a. Tercja uśredniona powstaje w momencie, kiedy strunę skrócimy do długości x. Dodatkowo wiemy, że zachodzi następująca równość:

Oznacza to, że interwał tercji uśrednionej powstaje także dla proporcji x:y oraz y:b. Matematycznie możemy wyznaczyć długość odcinka y , podstawiając do wzoru a=2, b=1:

Rozbijamy to równanie na układ dwóch równań:

Wyznaczony x z drugiego równania podstawiamy do pierwszego:

Otrzymana wartość to cel poszukiwać starożytnych matematyków. Była to długość, która po podnie- sieniu do trzeciej potęgi pozwalała uzyskać dwukrotną objętość danej bryły (co można przełożyć na podwojenie masy danego obiektu).

138

Według Jamesa Murraya Barboura Zarlino używał tej metody do zbudowania własnej temperacji średniotonowej 2/7 komatu. Później Francisco Salinas zalecał użycie instrumentu mechanicznego do tworzenia stroju równomiernie temperowanego, ostatecznie stwierdzając, że mesolabium może służyć znalezieniu dowolnej ilości uśrednionych proporcjonalnych poprzez zwiększanie liczby ramek38.

M. Lindley zauważa, że Zarlino mógł użyć mesolabium do wyznaczenia długości strun monochordu dla potencjalnych dźwięków skali, dzieląc komat 81:80 na siedem równych części39. Teoretycznie było to oczywiście możliwe i matematycznie uzasadnione.

W rzeczywistości narzędzia pomiarowe nie były dostosowane do tak wymagającego zadania – dokładność tej metody nie pozwalała na uzyskanie wiarygodnych wyników.

Użycie mesolabium w celu wyznaczenia stroju równomiernie temperowanego przedstawia wykres pochodzący z czwartej księgi Institutioni harmoniche (rys. 11). Zarlino pokazuje w ten sposób usytuowanie progów lutni.

Rysunek 11. Usytuowanie progów lutni za pomocą mesolabium40

Renesansowy teoretyk muzyki Ercole Bottrigari (1531–1612) podjął się próby zilu-strowania schematu metody dedukcyjnej Zarlino. Jego interpretację możemy zobaczyć na rysunku 1241.

38 J. Murray Barbour, dz. cyt., s. 51.39 M. Lindley, dz. cyt. 40   G. Zarlino, Sopplimenti Musicali, Venezia 1588, Księga IV, s. 209 [online], http://imslp.org/wiki/ Sopplimenti_musicali_(Zarlino,_Gioseffo) [dostęp: 13.02.2016].41 P. Barbieri, Il mesolabio e il compass di proporzione: le applicazioni musicali di due strumenti matematici (1558–1675), „Musica, Scienza e idée nella serenissima durante il seicento. Atti del convegno internazionale di studi”, Venezia 1993, s. 205.

139

Rysunek 12. Rekonstrukcja metody dedukcyjnej G. Zarlino42 autorstwa E. Bottrigariego z 1609 roku

Metoda Philo z Bizancjum

Najpierw opisany zostanie schemat postępowania, a następnie sposób, w jaki odniósł się do niej Zarlino (rys. 13)43.

Rysunek 13. Dwojenie objętości sześcianu w metodzie wykreślnej Philo z Bizancjum

42 Tamże. s. 205.43 https://archive.org/stream/cu31924008704219#page/n283/mode/2up [dostęp: 7.01.2016].

140

Konstrukcję zaczynamy od wykreślenia dwóch prostych prostopadłych. Na jednej wyznaczamy odcinek , na drugiej  . Między nimi zachodzi równość . Wyznacza-my punkt D, aby utworzyć prostokąt ABCD. Rysujemy przekątne i wyznaczamy punkt E. Rysujemy okrąg, który środek ma w punkcie E o średnicy równej przekątnej prostokąta (odcinek    lub    ). Do tego momentu wszystko mogliśmy wykreślić przy użyciu linijki i cyrkla. Teraz następuje najtrudniejszy moment – musimy wyznaczyć linię, która prze- chodzi przez punkt D tak, że odcinki   oraz są sobie równe (oczywiście do pewnego stopnia dokładności). Jest to metoda iteracyjna – za każdym razem musimy sprawdzić, czy odcinki są wystarczająco (wg naszego uznania) porównywalne i możemy zakończyć poszukiwania kąta nachylenia prostej. Precyzyjny wynik możemy uzyskać za pomocą kom- puterowych metod wykreślnych. W praktyce musimy przyjąć pewien stopień niedokładnoś- ci. Naszym celem jest wyznaczenie odcinków oraz , gdzie będzie zachodzić równość:

Dodatkowo, rzutując punkt H na oś x, wyznaczamy punkt K. Odcinek  i będzie identyczny z odcinkiem , który jest potrzebny do wyznaczenia podwojonej objętości sześcianu. Metodologia obliczeń jest analogiczna do schematu postępowania przy użyciu mesolabium.

W czwartej księdze Sopplimenti musicali znajdziemy następujący wykres Zarlino dla powyższej metody (rys. 14).

Rysunek 14. Metoda Philo z Bizancjum w ujęciu Zarlino44

44 G. Zarlino, dz. cyt., Księga IV, s. 182.

141

Zarlino bazował na proporcji ab:cb, które tworzą ramiona trójkąta prostokątnego. Metodą Philo z Bizancjum wyznaczył dwie średnie geometryczne, które tworzą odcinki af oraz cd. Przekładając to na interwały muzyczne, Zarlino podzielił oktawę (wyjściową proporcję 2:1) na trzy uśrednione interwały tercji wielkich.

Mesolabium w połączeniu z metodą Euklidesa

Połączenie metody euklidesowej ze sposobem wyznaczenia dwóch średnich proporcjonalnych (A:x:y:B) zostało zastosowane przez Zarlino w celu określenia pozycji progów lutni45:

Rysunek 15. Połączenie metod geometrycznych przy wyznaczaniu pozycji progów lutni dla równo

-miernej temperacji (1588 rok)46

Długość struny dla pierwszego dźwięku znajdowana jest przy użyciu mesolabium, a następnie kreślone są odcinki proporcjonalne bazujące na podobieństwie trójkątów (dowód zawarty w VI księdze Elementów Euklidesa).

Muzyka dla pitagorejczyków była nie tylko sztuką dźwięków, lecz także nauką regulującą rozmiary interwałów oraz harmonią. Odległości muzyczne odzwierciedlano poprzez pro- porcję liczb, natomiast nauka o współbrzmieniach miała swój pierwowzór w kosmicznym

45 F. Sturm, A Clear and Practical Introduction to Temperament History Part 6: Equal Temperament, „Piano Technicians Journal” 2010 [online], https://www.academia.edu/12193751/A_Clear_and_Practical_ Introduction_to_Temperament_History_Part_6_Equal_Temperament [dostęp: 28.12.2015].46  G. Zarlino, dz. cyt., Księga IV, s. 211.

142

ruchu planet. Zależności matematyczne nie mogły być skomplikowane, bowiem tylko proste liczby oddawały ład wszechświata. Muzyczną ilustracją liczb stał się monochord – instrument, którego struny można było dzielić na równe odcinki. W późniejszych wiekach instrument wykorzystywano zarówno do celów naukowych, jak i dydaktycznych. Muzyka wieków średnich wykorzystuje głównie dźwięki skali pitagorejskiej oraz podstawowy zestaw konsonansów: oktawę, kwintę oraz kwartę. W dobie renesansu pojawił się inny sposób postrzegania współ- brzmień oraz ich matematycznych odpowiedników. Jest to czas, w którym dawne skale (pitagorejska) i systemy strojenia (Just Intonation) nie były wystarczające, a teoretycy poszu-kiwali nowych rozwiązań w zakresie strojenia instrumentów. Odpowiedzią na potrzeby praktyki muzycznej była temperacja średniotonowa, optymalna dla potrzeb instrumentów klawiszowych oraz równomiernie temperowana dla instrumentów posiadających progi. System mezotoniczny dał muzykom szersze możliwości wykonawcze, m.in. znacznie rozszerzył zakres używanych tonacji, a także wzbogacił paletę konsonansów o tercję czystą.

Najistotniejsze znaczenie dla teorii muzyki tego czasu posiadają prace Gioseffo Zarlino, który wykorzystał nowatorskie wówczas metody naukowej percepcji. Był on teoretykiem, który jako pierwszy zaproponował podział komatu, a także zaznaczył, że nie można postrzegać tercji jako sekwencji dwóch całych tonów, lecz jako wyrażoną za pomocą pro-porcji 5:4. Zaproponował także równomierny podział konsonansów na interwały składowe (temperowane), co wiązało się z wyznaczeniem średnich proporcjonalnych. Wyniki mate-matycznych operacji teoretyk przekładał na dźwięki za pomocą monochordu, dzieląc zaś interwały na dwie części, korzystał z zasad geometrii euklidesowej. Dokonując równomiernego podziału interwału na trzy i więcej części, zaproponował użycie jednej z metod: mesola- bium Eratosthenesa, metodę wykreślną Philo z Bizancjum lub połączenie mesolabium z  metodą  wykreślną  opartą  na  twierdzeniu  Talesa.

W renesansie ponownie odkryto znaczenie filozofii pitagorejskiej i jej związki z muzyką. Tendencję trafnie podsumował Zarlino słowami: „wszystkie rzeczy stworzone przez Boga zostały przezeń uporządkowane za pomocą Liczby; co więcej, sama Liczba była głównym wzorcem w umyśle Stwórcy”47. Racjonalizm teoretyka wpisuje musica mundana w ramy matematycznej proporcji i naukowej metody percepcji natury, w której odbija się muzyczny obraz świata. Ta świadomość towarzyszyła teoretycznym rozważaniom dotyczącym harmonii od czasów Zarlina do Rameau, a także później, stopniowo kształtując nową rzeczywistość muzyki europejskiej.

47 E. Fubini, Historia estetyki muzycznej, tłum. Z. Skowron, Kraków 1997, s. 118.

143

BIBLIOGRAFIA

Barbieri Patrizio, Il mesolabio e il compass di proporzione: le applicazioni musicali di due strumenti mate-matici (1558–1675), „Musica, Scienza e idée nella serenissima durante il seicento. Atti del convegno internazionale di studi”, Venezia 1993.

Barbour James Murray, Tuning and Temperament. A Historical Survay, New York 1951.

Buehler-McWilliams Kathryn, Russell E. Murray, The Monochord in the Medieval and Modern Classrooms, „Journal of Music History Pedagogy”, 2013, vol. 3, no. 2.

James Jamie, Muzyka Sfer. O muzyce, nauce i naturalnym porządku wszechświata, Kraków 1996.

Pilch Marek, Stroje historyczne w teorii i praktyce, część II: Just Intonation, „Notes Muzyczny” 2015, nr 1 (3).

Source reading in Music History: From Classical Antiquity Through the Romantic Era, red. W. Oliver Strunk, L. Treitler , New York 1950.

Veroli Claudio di, Unequal Temperaments and their Role In the Performance of Early Music, Bray 2008.

Źródła internetowe:

Adkins Cecil, Monochord, hasło w: The New Grove Dictionary of Music and Musicians, red. S. Sadie [online], http://www.oxfordmusiconline.com [dostęp: 28.12.2015].

Fogliano Ludovico, Musica theorica, Venetia 1529, [online], http://reader.digitale-sammlungen.de/en/fs1/ object/display/bsb10148093_00001.html [dostęp: 6.01.2016].

Lindley Mark, A system Approach to Chromatism. Systematic Musicology 2, no. 1. 1994, [online], https:// www.academia.edu/2386393/A_Systematic_Approach_to_Chromaticism [dostęp: 28.12.2015].

Lindley Mark, Zarlino’s 2/7-comma meantone temperament [online], https://www.academia.edu/1183386/Zarlino_s_2_7-comma_meantone_temperament [dostęp: 28.12.2015].

Montagu Jeremy, Temperament, hasło w: The New Grove Dictionary of Music and Musicians, red. S. Sadie [online], http://www.oxfordmusiconline.com [dostęp: 28.12.2015].

Sturm Fred, A Clear and Practical Introduction to Temperament History Part 6: Equal Temperament, „Piano Technicians Journal” 2010 [online], https://www.academia.edu/12193751/A_Clear_and_Practical_Introduction_to_Temperament_History_Part_6_Equal_Temperament [dostęp: 28.12.2015].

Zarlino Gioseffo, Sopplimenti Musicali, Venezia 1588, [online], http://imslp.org/wiki/Sopplimenti_musica-li_(Zarlino,_Gioseffo) [dostęp: 13.02.2016].

144

Zarlino Gioseffo, Le institutioni Harmoniche, Venezia 1558, [online] http://imslp.org/wiki/Le_Istitutioni_ Harmoniche_(Zarlino,_Gioseffo) [dostęp: 13.02.2016].

http://www.trombamarina.com/instruments/monochord [dostęp: 28.12.2015].

http://www.medieval.org/emfakw/harmony/pyth.htm [dostęp: 28.12.2015].

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html [dostęp: 28.12.2015].

http://www.math.edu.pl/srednia-geometryczna [dostęp: 28.12.2015].

http://tonalsoft.com/monzo/zarlino/1558/zarlino1558-2.htm [dostęp: 28.12.2015].

http://magictransistor.tumblr.com/post/63534891765/in-1618-robert-fludd-devised-a-mundane-mo-nochord [dostęp: 28.12.2015].

145

Anna Wiśniewska Student at the Karol Szymanowski Academy of Music in Katowice

DIVISION OF MUSIC INTERVALS BY MEANS OF DESCRIPTIVE GEOMETRY AND MECHANICAL SYSTEM METHODS IN GIOSEFFO ZARLINO’S TREATISES ENTITLED Le istitutioni harmoniche AND soppLimenti musicaLi

The article presents the problem of interval division fundamental in the 16th-century theory and performance practice, which was presented in the treatises entitled Le institutioni harmoniche and Sopplimenti musicali by G. Zarlino (1517–1590). He based this essential problem on his observations and also on Euclid’s mathematics, Erastothenes’ mechanical mesolabium, the method of Philo of Byzantium and on the combination of mechanical de-scriptive methods. In the above mentioned treatises, Zarlino touches on, among others, the issue referring to determining tempered intervals. They are a result of dividing a selected consonance and, according to the author, they should be equal, i.e., diminished or augmented by the same value. In this perspective, the division of an interval into equal parts is, mathematically speaking, equal to determining a geometric mean. The segments we get using mathematical methods are then reflected in the length of strings of a monochord. The observations of the Italian theoretician gave rise to the study of instrument tuning, a compromise between the principles of harmony and aesthetics.