Relacje

www.zadania.info – NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAN Z MATEMATYKI

RELACJE

Poradnik stanowi uzupełnienie poradnika o zbiorach, wiec radzimy zajrzec tam w celuprzypomnienia sobie najwazniejszych definicji.

Definicje

Ustalmy zbiory X i Y.

Relacja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y nazywamy dowolny podzbiór Riloczynu kartezjanskiego X×Y.

Iloczyn kartezjanski X × Y to zbiór par postaci (x, y), gdzie x ∈ X i y ∈ Y. Za-tem wybranie podzbioru X×Y (ustanowienie relacji) polega na połaczeniu w parypewnych elementów zbioru X z elementami zbioru Y. Jezeli elementy x i y sa wrelacji R to piszemy xRy.

Ponizszy diagram stanowi schematyczna ilustracje relacji miedzy dwoma zbioramiskonczonymi X i Y.

X Y

Jezeli przez X oznaczymy zbiór wszystkich ksiazek, a przez Y zbiór wszystkichludzi to w zbiorze X × Y mamy relacje autorstwa, która łaczy w pary ksiazke z jejautorami. Relacja ta jest dosc skomplikowana, bo ksiazki miewaja wielu autorów, aautorzy czesto pisza wiele ksiazek.

Osoby interesujace sie informatyka z pewnoscia spotkały sie z pojeciem relacyjnejbazy danych. Jest to sposób na przechowywanie i organizacje duzych ilosci danychopierajacy sie na tabelach, których kolumny połaczone sa relacjami.

Bardzo waznym przykładem relacji sa funkcje.

Relacje f ⊆ X × Y nazywamy funkcja jezeli dla kazdego x ∈ X jest dokładniejeden y ∈ Y taki, ze (x, y) ∈ f . Piszemy wtedy y = f (x).

Zauwazmy, ze zgodnie z powyzsza definicja funkcja jest zbiorem par postaci(x, f (x)).

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info

1

http://www.zadania.info

http://www.zadania.info/26760



Uzywajac jezyka diagramów o funkcjach myslimy jak o relacjach, w których z kaz-dego elementu zbioru X wychodzi dokładnie jedna strzałka.

X Y X Y

Relacja przedstawiona na lewym diagramie nie jest funkcja, bo sa elementy, z któ-rych nie wychodzi zadna strzałka oraz takie, z których wychodzi wiecej niz jednastrzałka. Relacja z prawego diagramu jest funkcja.

Funkcjom poswiecony jest osobny poradnik, w którym znajdziecie wiecej informacji na ichtemat. My natomiast skoncentrujemy sie teraz na innej ciekawej sytuacji, mianowicie naprzypadku Y = X.

Relacja w zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjanskiegoX× X.

Wybranie podzbioru R ⊆ X × X oznacza ustanowienie relacji R (zwiazku) pomie-dzy niektórymi elementami zbioru X. Dokładniej, xRy jezeli (x, y) ∈ R.

Dobrze znacie kilka relacji w zbiorze X = R. Np.: 6, >, <, >, =.W tym przypadku relacje sa podzbiorem zbioru R×R = R2, czyli płaszczyzny.Mozemy wiec rysowac wykresy relacji: zaznaczamy w układzie współrzednychwszystkie punkty, z których składa sie relacja.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

Na lewym diagramie naszkicowalismy wykres relacji „6”, a na prawym wykresrelacji „=”.

W zbiorze wszystkich ludzi mamy relacje znajomosci: osoba A jest w relacji z Bjezeli A zna B.


2


http://www.zadania.info/23721



W zbiorze liczb naturalnych jest bardzo wazna relacja podzielnosci „|”, tzn. a|b wte-dy i tylko wtedy, gdy a dzieli b.

W zbiorze prostych na płaszczyznie mamy relacje „‖” i „⊥”.

W zbiorze wszystkich trójkatów na płaszczyznie mamy relacje przystawania orazpodobienstwa.

Przyjeta przez nas definicja relacji jest bardzo ogólna i jak widzielismy podpada pod niawiele róznych przykładów. Aby troche te sytuacje uporzadkowac wyróznia sie rózne cechyrelacji. Relacje R w zbiorze X nazywamy:

• zwrotna jezeli dla kazdego x ∈ X mamy xRx;

• przechodnia jezeli dla dowolnych x, y, z ∈ X jezeli xRy i yRz to xRz;

• symetryczna jezeli dla dowolnych x, y ∈ X jezeli xRy to yRx;

• antysymetryczna jezeli dla dowolnych x, y ∈ X jezeli xRy i yRx to x = y.

Relacje „6” i „>” sa zwrotne, przechodnie i słabo antysymetryczne.

Relacja „⊥” prostopadłosci prostych na płaszczyznie jest symetryczna.

Relacje porzadku (nierównosci)

Jednym z powodów definiowania w zbiorze relacji jest chec nadania mu dodatkowej struk-tury. Przykładem takiej struktury moze byc mozliwosc porównywania ze soba elementów,czyli jakas forma nierównosci miedzy elementami. Spróbujmy teraz sprecyzowac co rozu-miemy przez nierównosc.

Relacje R w zbiorze X nazywamy czesciowym porzadkiem jezeli jest zwrotna,przechodnia i antysymetryczna.

Warunki definiujace czesciowy porzadek to minimum, jakiego oczekujemy od (słabej) nie-równosci.

Relacje bedaca czesciowym porzadkiem czesto oznacza sie symbolem „4”. Warun-ki definiujace czesciowy porzadek wygladaja wtedy bardzo naturalnie: dla dowol-nych x, y, z ∈ X

x 4 x(x 4 y) ∧ (y 4 z)⇒ (x 4 z)(x 4 y) ∧ (y 4 x)⇒ x = y.

Relacja „6” jest czesciowym porzadkiem w zbiorze R oraz w kazdym jego pod-zbiorze.


3




W zbiorze 2A składajacym sie ze wszystkich podzbiorów zbioru A relacja czescio-wego porzadku jest inkluzja „⊆”.

Spróbujmy sie zastanowic jak porównywac ze soba punkty płaszczyzny.Pierwsza naiwna próba mogłoby byc porównywanie drugich współrzednych, czylirelacja (x, y) 4 (z, w) jezeli y 6 w. Jak łatwo sprawdzic (zróbcie to!) relacja ta niejest jednak antysymetryczna, wiec nie jest to czesciowy porzadek.Mówiac pogladowo, relacja ta jest zła, bo jest mnóstwo punktów, które z punktuwidzenia tej nierównosci sa równe (punkty lezace na poziomych prostych).

Jeszcze jedno podejscie do uporzadkowania płaszczyzny: zamiast porównywacdrugie współrzedne, porównujmy obie współrzedne na raz, tzn. przyjmijmy(x, y) 4 (z, w) jezeli jednoczesnie x 6 z i y 6 w. Łatwo sprawdzic, ze jest to re-lacja czesciowego porzadku.

Jak juz pisalismy warunki definiujace czesciowy porzadek to minimum, jakiego oczekuje-my od nierównosci, jednak czesto jest to minimum niewystarczajace. Duzym problemem wprzypadku czesciowego porzadku jest to, ze zazwyczaj sa elementy, których nie mozemy zesoba porównac.

Relacje „4” w zbiorze X nazywamy liniowym porzadkiem jezeli jest czescio-wym porzadkiem oraz dla dowolnych x, y ∈ X

(x 4 y) ∨ (y 4 x).

Liniowy porzadek jest to wiec czesciowy porzadek, w którym kazde dwa elementy moznaze soba porównac.

Relacja inkluzji ⊆ jest czesciowym porzadkiem, ale nie jest liniowym porzadkiem,bo np. nie mozna przy jej pomocy porównac zbiorów {1, 3} i {1, 2}.

Zwykła nierównosc „6” jest liniowym porzadkiem w zbiorze R.

Widzielismy juz, ze nierównosc na płaszczyznie zdefiniowana warunkiem

(x, y) 4 (z, w) ⇐⇒ (x 6 z ∧ y 6 w)

jest czesciowym porzadkiem. Nie jest to jednak linowy porzadek, bo przy jego po-mocy nie da sie porównac np. punktów (1, 2) i (2, 1).

Czy na płaszczyznie da sie wprowadzic liniowy porzadek? Tak, jest to np. porza-dek leksykograficzny zdefiniowany warunkiem

(x, y) 4 (z, w) ⇐⇒ (x < z) ∨ (x = z ∧ y 6 w)

(porównujemy przede wszystkim pierwsze współrzedne, a tylko gdy sa równe pa-trzymy na drugie). Oczywiscie własnie w ten sposób szukacie haseł w słowniku.


4




Relacje równowaznosci i klasy abstrakcji

Relacje, która jest jednoczesnie zwrotna, przechodnia i symetryczna nazywamyrelacja równowaznosci.

W tym przypadku relacje czesto oznaczamy symbolem „∼” lub „≡”.

Tak jak relacja czesciowego porzadku stanowi uogólnienie nierównosci, relacjarównowaznosci stanowi uogólnienie równosci. Róznice miedzy tymi dwoma po-jeciami widac w definicji: mamy symetrie zamiast antysymetrii.

Relacja równoległosci prostych na płaszczyznie jest relacja równowaznosci.

Relacje przystawania i podobienstwa sa relacjami równowaznosci.

Relacja równowaznosci ma działac jak uogólnienie równosci, tzn. obiekty równo-wazne maja byc „takie same z jakiegos punktu widzenia”. Tak jest w podanychwyzej przykładach: w przypadku równoległosci prostych relacja ustala równowaz-nosc prostych, które maja ten sam kierunek, a w przypadku podobienstwa trójka-tów relacja utozsamia trójkaty, które sa podobne. Przy takim rozumieniu równo-waznosci podane wymagania, czyli zwrotnosc, symetria i przechodniosc sa doscnaturalne.

Wazna cecha relacji równowaznosci jest to, ze dzieli ona zbiór X na rozłaczne podzbiory(zwane klasami abstrakcji) składajace sie z elementów, które sa ze soba w relacji. Zbiórskładajacy sie z klas abstrakcji oznaczamy symbolem X/∼.

O zbiorze X/∼ myslimy jak o zbiorze mniejszym od X. Tak jest, bo tworzac X/∼sklejamy wszystkie elementy zbioru X bedace w relacji w jeden element zbioruX/∼.

X/~

X

Powyzszy schematyczny rysunek przedstawia zbiór X podzielony na 6 klas abs-trakcji pewnej relacji równowaznosci „∼”. W takiej sytuacji zbiór X/∼ składa sie zszesciu elementów.

Relacja „ten sam wzrost w cm” jest relacja równowaznosci w zbiorze wszystkich lu-dzi. Podobne relacje to np. „ten sam kolor oczu”, „wspólny pradziadek”, „to samopierwsze imie”, „ten sam dzien urodzenia”. Kazda z tych relacji dokonuje podziałuzbioru wszystkich ludzi na klasy abstrakcji ze wzgledu na interesujaca nas ceche.


5




Jezeli „∼” jest relacja „‖” równoległosci prostych na płaszczyznie, to zbiory ele-mentów bedacych w relacji (czyli klasy abstrakcji tej relacji) to po prostu zbioryprostych, które sa wzajemnie równoległe. Zbiorów tych jest tyle, ile mozliwych kie-runków na płaszczyznie. Dlatego o zbiorze X/∼myslimy jak o zbiorze kierunków.

Spróbujmy na poprzedni przykład popatrzec z drugiej strony. Zastanówmy sie coto jest kierunek prostej? Trudno powiedziec, co to dokładnie jest, ale wiemy, zeniektóre proste maja ten sam kierunek, np. y = x, y = x + 5, y = −x + 3. I taki wła-snie jest pomysł na definicje kierunku: jeden kierunek to cos, co maja wspólnego zesoba proste y = x, y = x + 5, y = −x + 3 i wszystkie inne o współczynniku kie-runkowym ±1, inny kierunek to cos, co maja ze soba wspólnego wszystkie prosteo współczynniku ±2 itd. Jezeli teraz popatrzycie na opis zbioru X/∼ powyzej topowinno byc jasne, ze jest to sposób na precyzyjna definicje zbioru kierunków napłaszczyznie.Przykład ten jest dosc abstrakcyjny, ale dokładnie taka jest rola relacji równowaz-nosci i klas abstrakcji: pozwalaja one precyzyjnie definiowac abstrakcyjne pojecia(kierunek w tym przypadku).

Jezeli X jest zbiorem trójkatów na płaszczyznie, a „∼” relacja podobienstwa, to jakwyobrazic sobie zbiór X/∼? Tworzac zbiór X/∼ utozsamiamy ze soba wszystkietrójkaty podobne, wiec o zbiorze X/∼ mozemy myslec jak o zbiorze wszystkichmozliwych kształtów trójkatów. Np. trójkatowi równobocznemu odpowiada do-kładnie jeden element zbioru X/∼ pomimo, ze w zbiorze X (na płaszczyznie) jestnieskonczenie wiele trójkatów równobocznych.Gdybysmy zamiast podobienstwa wzieli relacje przystawania, to zbiór X/∼ byłbyzbiorem wszystkich mozliwych kształtów z uwzglednieniem rozmiaru.

Ustalmy liczbe naturalna n ∈ N. W zbiorze liczb całkowitych Z wprowadzamyrelacje „∼” wzorem

x ∼ y ⇐⇒ n|x− y.

Mówiac po ludzku: dwie liczby sa w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy daja te sa-ma reszte z dzielenia przez n. Zbiór Z/∼ składa sie n elementów, które mozemywypisac:

{. . .− n, 0, n, 2n, 3n, . . .}{. . .− n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, 3n + 1, . . .}{. . .− n + 2, 2, n + 2, 2n + 2, 3n + 2, . . .}. . .{. . .− n + (n− 1), n− 1, n + (n− 1), 2n + (n− 1), 3n + (n− 1), . . .}.

Zbiór Z/∼ oznaczamy symbolem Zn i jest to zbiór reszt z dzielenia przez n.


6




Jezeli przejrzycie swoje podreczniki do matematyki to okaze sie, ze nie znajdzieciew nich definicji liczb wymiernych. Tak jest, bo definicja ta wymaga uzycia relacjirównowaznosci. Mówiac dokładniej, liczb wymiernych nie mozna zdefiniowac ja-ko napisów postaci p

q , gdzie p, q ∈ Z, q 6= 0, bo przeciez kazda liczba wymiernamoze byc w ten sposób napisana na nieskonczenie wiele róznych sposobów. Np.czym jest 1

2? Napisem 12? A moze jednym z napisów

24

,36

,48

, . . .?

Problem w tym przypadku jest podobny jak z definicja kierunku na płaszczyznie:to co chcemy zdefiniowac jest abstrakcyjne: ma to byc „połowa całosci”, a nie tenczy inny napis. Jak w takim razie zdefiniowac połowe? – skoro jest to cecha wspól-na wszystkich powyzszych ułamków, to definiujemy 1

2 jako wszystkie te ułamki naraz.Mówiac bardziej precyzyjnie, w zbiorze X napisów postaci p

q , gdzie p, q ∈ Z, q 6= 0(jezeli ktos sie zastanawia co to jest „zbiór napisów”, to jest to zbiór par (p, q) pisa-nych w taki oryginalny sposób) wprowadzamy relacje „∼” w nastepujacy sposób:napisy p

q i st sa w relacji „∼” wtedy i tylko wtedy, gdy pt = qs (jest to znany nam

dobrze warunek równosci ułamków). Mozna teraz sprawdzic, ze „∼” jest relacjarównowaznosci oraz z definicji Q = X/∼.

W tym miejscu powinniscie juz mniej wiecej kojarzyc czym sa klasy abstrakcji, wiec mo-zemy sobie pozwolic na małe porzadki w notacji. Wiemy, ze kazdemu elementowi x ∈ Xodpowiada element zbioru X/∼ (jego klasa abstrakcji). Element ten oznaczamy symbolem[x]∼ lub krótko [x]. Zbiór [x] jest wiec zbiorem wszystkich elementów zbioru X, które sa wrelacji z x. W takiej sytuacji mówimy, ze x jest reprezentantem klasy abstrakcji [x]. Oczywi-scie klasa abstrakcji moze miec wiele róznych reprezentantów, jezeli np. x ∼ y to [y] = [x],wiec y tez jest reprezentantem klasy [x] = [y].

Jezeli „∼” jest relacja równoległosci prostych na płaszczyznie to klasa [y = 3x + 1]oznacza zbiór wszystkich prostych na płaszczyznie ze współczynnikiem kierunko-wym ±3. Oczywiscie ten sam zbiór mozemy zapisac na wiele róznych sposobów,np.

[y = 3x + 1] = [y = −3x− 1] = [y = 3x + 5].

Kazda z prostych y = 3x + 1, y = −3x− 1, y = 3x + 5 jest reprezentantem powyz-szej klasy abstrakcji (kierunku).

Ciagłe odróznianie elementów od klas abstrakcji jest niewygodne, wiec bardzo czesto pomi-jamy nawiasy [] i piszemy x zamiast [x] (choc sa to dwie rózne rzeczy).


7




Definiujac liczby wymierne zdefiniowalismy „połowe” jako zbiór wszystkichułamków postaci {

12

,−1−2

,24

,−2−4

,36

, . . .}

.

Formalnie „połowe” powinnismy wiec oznaczac jednym z symboli:[

12

],[3

6

], . . ..

Tak jednak nie robimy i piszemy krótko 12 , 3

6 , . . . Zapis 12 = 3

6 nalezy wiec rozumiec

jako skrót zapisu[

12

]=[3

6

].

W pewnym sensie jest to duze osiagniecie matematyki, ze mozemy posługiwac siesymbolami ułamków nie wiedzac nawet co one oznaczaja. .

Formalnie zbiór Z3 składa sie z trzech elementów

{. . .− 9, −6, −3, 0, 3, 6, 9 . . .}{. . .− 8, −5, −2, 1, 4, 7, 10 . . .}{. . .− 7, −4, −1, 2, 5, 8, 11 . . .}.

Napisy [−3], [1], [8] sa jednak niewygodne, wiec wolelibysmy pisac po prostu3,−1, 8. Jest z tym jednak kłopot, bo np. napis [−5] = [7] (który oznacza po pro-stu, ze obie liczby daja te sama reszte z dzielenia przez 3) zamienia sie na −5 = 7,co nie wyglada zbyt dobrze. Z tego powodu uzywa sie specjalnej notacji: zamiast[−5] = [7] piszemy

−5 ≡ 7 (mod 3)

(czytamy −5 przystaje do 7 modulo 3). Czasami pisze sie tez krótko −5 ≡3 7.

Zadania.info Podoba Ci się ten poradnik?Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

TIPS & TRICKS

1

Co maja ze soba wspólnego znaczki typu: 6, >, <, >, ⊆, =, |, ‖, ⊥? Wszystkie te znaczkidziałaja jak „łaczenie w pary”. Co wiecej, dokładnie to samo mozna powiedziec o pojeciufunkcji. Taki dokładnie jest sens definicji relacji – jest to wspólne uogólnienie wymienionychpojec.

2Spróbujemy wyjasnic zródło nazwy „liniowy porzadek”. Zacznijmy jednak od czesciowegoporzadku. Jezeli zaczniemy szkicowac jak moga wygladac zbiory czesciowo uporzadkowa-ne, to łatwo zauwazyc, ze zbiory te moga sie rozgałeziac.


8




Popatrzmy na rysunki.

{1,2,3}

{1,2}

{2,3}

{1,3}

{1}

{2}

{3}

∅

Na lewym diagramie mamy schematyczny rysunek czesciowego porzadku (dia-gram rozumiemy w ten sposób, ze strzałki prowadza od elementów mniejszych dowiekszych). Przechodniosc czesciowego porzadku oznacza, ze kazdy element jestmniejszy od wszystkich elementów do których mozna z niego dojsc idac zgodnieze zwrotami strzałek.Prawy diagram przedstawia analogiczny rysunek dla relacji inkluzji „⊆” w zbiorze{1, 2, 3}.Rozgałezianie sie diagramów jest odbiciem faktu, ze nie wszystkie elementy moznaze soba porównac.

W przypadku liniowego porzadku nie ma mowy o rozgałezianiu sie diagramu.

Jezeli mamy liniowy porzadek w zbiorze X, to kazdy element x zbioru X lezy nalewo lub na prawo od x. To pozwala myslec o zbiorze X jak o zbiorze lezacym najednej linii.

3Powiedzielismy o dwóch sposobach na zdefiniowanie nierównosci: o czesciowym porzad-ku, oraz o liniowym porzadku. Okazuje sie, ze od porzadku mozna wymagac jeszcze wiecej,co prowadzi do definicji dobrego porzadku.

Liniowy porzadek „4” nazywamy dobrym porzadkiem w zbiorze X jezeli kazdyniepusty podzbiór X posiada element najmniejszy.

Zwykła nierównosc „6” nie jest dobrym porzadkiem w R, bo np. w przedziale(0, 1) nie ma elementy najmniejszego.Nie jest to tez dobry porzadek w Z, bo np. cały zbiór Z nie ma elementu najmniej-szego.

Zwykła nierównosc „6” jest dobrym porzadkiem w zbiorze N i pewnym sensiejest zródło tej definicji.

Podana przez nas definicja dobrego porzadku jest wygodna, bo łatwo sie formułuje, ale nieza bardzo z niej widac dlaczego dobry porzadek jest lepszy od liniowego porzadku. Okazujesie, ze dobry porzadek w zbiorze X oznacza, ze

• w zbiorze X jest element najmniejszy x0,

• kazdy element x ma nastepnik S(x), czyli taki element wiekszy od x, ze pomiedzy x,a S(x) nie ma zadnego elementu.


9




Powyzsze własnosci oznaczaja, ze dobry porzadek pozwala wypisywac elementy zbioru Xpo kolei: x, S(x), S(S(x)) itd. W szczególnosci majac dobry porzadek, mozemy prowadzicrozumowania indukcyjne.

Patrzac na powyzsza interpretacje jest jasne, ze relacja „6” nie jest dobrym porzad-kiem w zbiorze R – ze wzgledu na te relacje zadna liczba nie ma nastepnika.

Liczby całkowite ze zwykła nierównoscia „6” tez nie sa dobrze uporzadkowane,ale akurat dosc łatwo w tym przypadku wymyslic relacje dobrego porzadku. Wy-starczy liczby całkowite wypisac w nastepujacej kolejnosci

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .

Powyzsza lista definiuje relacje w ten sposób, ze kazda liczba jest wieksza odwszystkich liczb, które były wypisane wczesniej.

To, ze kazdy element posiada nastepnik nie oznacza, ze wypisujac elementy zbioruX po kolei: x0, S(x0), S(S(x0)), . . . uda nam sie wypisac wszystkie elementy zbioru.Aby to zobaczyc wyobrazmy sobie zbiór składajacy sie z dwóch kopii zbioru N

napisanych za soba, tzn.1, 2, 3, . . . , 1, 2, 3, . . .

Zauwazmy, ze w powyzszym przykładzie, kazdy element ma nastepnik, ale prze-suwajac sie po elementach po kolei nie dojdziemy do drugiej kopii N.

Udało nam sie dobrze uporzadkowac zbiór liczb całkowitych Z, a czy mozna do-brze uporzadkowac zbiór liczb rzeczywistych? Zastanówcie sie nad tym chwile:czy mozna wszystkie liczby rzeczywiste wypisac w ten sposób, by kazda liczbamiała nastepnik?Odpowiedz jest dosc zaskakujaca, okazuje sie, ze w kazdym zbiorze mozna wpro-wadzic relacje dobrego porzadku, jest to tzw. twierdzenie Zermelo.

4Relacje równowaznosci oraz tworzenie zbiorów klas abstrakcji jest tematem trudnym i cze-sto sprawia kłopot nawet zawodowym matematykom. Z tego powodu nie przejmujcie sie,jezeli macie kłopot ze zrozumieniem wszystkich niuansów – potrzeba na to troche czasu.

5O definicji liczb wymiernych wygodnie jest myslec w znanym ze szkoły podstawowej jezy-ku tortowym. Powiedzmy, ze napis p

q oznacza p czesci z tortu podzielonego na q równych

czesci. W takim razie 12 to co innego niz 2

4 , bo w pierwszym przypadku mamy tylko jedenkawałek tortu, a w drugim dwa kawałki. No tak, ale w obu przypadkach mamy pół tor-tu. W tym miejscu doskonale widac ludzka skłonnosc do abstrahowania: jezeli oderwiemysie od detali typu „ile jest kawałków”, to czujemy, ze w obu sytuacjach mamy tyle samociasta. Sprecyzowanie tej równowaznosci obu sytuacji prowadzi do relacji równowaznoscidefiniujacej liczby wymierne.


10




6

Przypomnijmy z poradnika o zbiorach, ze liczby naturalne mozemy zdefiniowac jako

0 = ∅1 = {∅}2 = {∅, {∅}}3 = {∅, {∅, {∅}}}. . .

A jak zdefiniowac liczby całkowite? Pierwsza mysl: liczby naturalne z znakiem. Taka myslsprawia jednak kłopot, bo zmusza nas do zdefiniowania znaku, bo w zasadzie co to jestznak? Aby uniknac tego typu problemów liczby całkowite definiuje sie przy pomocy relacjirównowaznosci. W zbiorze X par liczb naturalnych wprowadzamy relacje

(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c.

Mówiac pogladowo, utozsamiamy te pary, w których b jest wieksze a o tyle samo, o ile d jestwieksze od c. Np.

[(1, 3)] = [(2, 4)] = [(5, 7)].

Liczby całkowite definiujemy jako X/∼, czyli zbiór klas abstrakcji tej relacji. Oznaczamyponadto

0 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .}1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), . . .}−1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), . . .}

2 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), . . .}−2 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . .}

. . .

Zwróccie uwage, ze ta definicja doskonale oddaje nature zbioru liczb całkowitych: liczbycałkowite mierza wzajemna relacje miedzy liczbami elementów dwóch zbiorów (pierwszyzbiór moze miec wiecej elementów, wtedy mamy liczbe „+”, lub drugi moze miec wiecejelementów, wtedy mamy liczbe z „−”).

7Sporo powiedzielismy o definicji liczb wymiernych, a jak zdefiniowac liczby rzeczywiste?Sprawa jest dosc skomplikowana, wiec nie bedziemy wchodzic w szczegóły, ale oczywiscierobi sie to przy pomocy relacji równowaznosci – osoby zainteresowane szczegółami powin-ny poczytac o przekrojach Dedekinda.

8Byc moze nie zdajecie sobie z tego sprawy, ale w geometrii sa dwa rodzaje wektorów. Pierw-szy rodzaj wektorów to wektory zaczepione. Kazdy taki wektor rozumiemy jako pare dwóchpunktów (A, B), przy czym A nazywamy poczatkiem wektora, a B jego koncem. Zwycza-jowo wektor taki szkicujemy rysujac strzałke od A do B. Zaleta takich wektorów jest to, ze


11




łatwo sie je definiuje (jako pary punktów), natomiast wada to, ze kazdy taki wektor ma usta-lone miejsce na płaszczyznie. Np. nie maja sensu działania na wektorach, bo jak dodac dosiebie wektory, która sa narysowane w innych miejscach płaszczyzny?

A

B

C

D

AB+CD=?

Drugi rodzaj wektorów to wektory swobodne. Definiujemy je jako klasy abstrakcji relacjirównowaznosci „∼” miedzy wektorami zaczepionymi. Relacja ta jest zdefiniowana warun-kiem

(A, B) ∼ (C, D) ⇐⇒ czworokat ABDC jest równoległobokiem.

Relacja ta oddaje nasze rozumienie równosci wektorów: wektory sa równe, gdy maja tensam kierunek, te sama długosc i ten sam zwrot.

A

B

C

D

AB~CD

Zauwazmy, ze przy takiej definicji wektor swobodny składa sie ze wszystkich równo-waznych strzałek na płaszczyznie – własnie dlatego mozemy go rysowac gdzie nam siepodoba, taki rysunek to po prostu wybór reprezentanta klasy abstrakcji.

Jak zwykle w przypadku definicji przez równowaznosc, definicja ta sporo nam mówi onaturze wektora swobodnego. Wektor (swobodny) nie ma byc ta, czy inna strzałka, ma bycnatomiast „kierunkiem przesuniecia”, który rozumiemy jako instrukcje w która strone prze-sunac i o ile. Przy takim podejsciu jest jasne, ze nie powinno miec znaczenia to, w którymmiejscu narysujemy strzałke symbolizujaca to przesuniecie. Jest tez jasne, ze tak rozumianewektory mozna dodawac: odpowiada to wykonywaniu przesuniec jedno po drugim.

W szkole wektory pojawiaja sie najczesciej w kontekscie geometrii analitycznej, ja-ko pary liczb [a, b]. Oczywiscie sa to wektory swobodne, bo taka para w zaden spo-sób nie wyznacza poczatku i konca wektora. Pare te rozumiemy jako przesuniecieo a w prawo i b do góry. Złozenie dwóch takich przesuniec [a, b], [c, d] powodujeprzesuniecie o a + c w prawo i b + d do góry, dlatego definiujemy

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].

9

Liczby naturalne pojawiaja sie jako oznaczenia na mozliwe liczby elementów zbiorów skon-czonych. Okazuje sie, ze mozna pojecie liczby naturalnej rozszerzyc tak, aby miało sens rów-niez dla zbiorów nieskonczonych.

Mówimy, ze zbiory A i B sa równoliczne jezeli istnieje (chociaz jedna) wzajemnie jedno-znaczna funkcja f : A → B. Otrzymujemy w ten sposób relacje równowaznosci „∼”, która


12




utozsamia zbiory jezeli ich elementy mozna połaczyc w pary (przy pomocy funkcji f ). Klasyabstrakcji tej relacji nazywamy liczbami kardynalnymi oraz oznaczamy

|A| = [A]∼.

O liczbie kardynalnej |A|mówimy, ze jest to moc zbioru A.

Jezeli zbiór A jest skonczony i ma n elementów, to jest równoliczny ze zbioremn-elementowym

n = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, . . .}.W tej sytuacji mamy zatem

|A| = [n]∼,

czyli moc zbioru A mozemy utozsamiac z liczba naturalna n.

Jezeli wykraczamy poza zbiory skonczone to potrzebne nam sa nowe literki dlaliczb kardynalnych. Dla najmniejszych zbiorów nieskonczonych sa one nastepujace

|N| = ℵ0 (czytamy alef zero)|R| = c (czytamy kontinuum).

Na liczbach kardynalnych mozemy zdefiniowac proste działania arytmetycznewzorami

|A|+ |B| = |A ∪ B| jezeli A ∩ B = ∅|A| · |B| = |A× B|.

Dla zbiorów skonczonych działania te pokrywaja sie ze zwykłym dodawaniem imnozeniem.

10Operacja odwrotna do liczenia pochodnej jest operacja liczenia całki nieoznaczonej. Do-kładniej jezeli F′(x) = f (x) to definiujemy∫

f (x) dx = F(x).

Jest jednak duzy problem z ta definicja, bo funkcja f wcale nie wyznacza funkcji F jedno-znacznie.

Jezeli f (x) = 2x to f (x) = (x2)′, ale tez np. f (x) = (x2 + 1)′, f (x) = (x2 + 2)′ itp.

Rozwiazaniem tego problemu jest oczywiscie odpowiednie zdefiniowanie równowaznoscimiedzy funkcjami. Definiujemy relacje „∼” w zbiorze wszystkich funkcji rzeczywistych po-przez warunek

F ∼ G ⇐⇒ istnieje liczba k ∈ R taka, ze F(x) = G(x) + k dla kazdego x ∈ R.


13




Jezeli F ∼ G to F′(x) = (G(x) + k)′ = G′(x). Okazuje sie, ze jest tez odwrotnie,jezeli F′ = G′ dla funkcji rózniczkowalnych F, G : R→ R to F ∼ G.

Majac dobrze zdefiniowana równowaznosc nie mamy problemu z definicja całki nieozna-czonej. Jezeli F′ = f to definiujemy∫

f (x) dx = [F(x)]∼.

Jak to zwykle bywa, upraszczamy te notacje i nie piszemy nawiasów. Zamiast tego zwykleuzywa sie zapisu. ∫

f (x) dx = F(x) + C.

Stała C ma nam przypominac o tym, ze mamy do czynienia z klasa abstrakcji, a nie pojedyn-cza funkcja.

11Duza zaleta definiowania obiektów jako zbiorów klas abstrakcji X/∼ jest to, ze czesto zbiórX/∼ dziedziczy pewne własnosci zbioru X. Taka „własnoscia” moze byc np. działanie (do-dawanie, mnozenie itp.).

Niech „≡n” bedzie relacja „przystawania modulo n”, czyli

a ≡n b ⇐⇒ n|a− b.

Mozna udowodnic, ze relacja ta jest zgodna z działaniami dodawania i mnozenialiczb całkowitych, tzn. jezeli a ≡n b i c ≡n d to

a + c ≡n b + dac ≡n bd.

Ze wzgledu na powyzsza własnosc (zachowywania działan), relacje „≡n” nazy-wa sie kongruencja. Zwyczajowo tego samego terminu uzywa sie tez do samegozapisu a ≡n b. Przy takiej umowie powyzsze równosci pamietamy w formie: kon-gruencje mozna dodawac i mnozyc stronami.

Aby docenic uzytecznosc kongruencji, rozwiazmy jeden prosty przykład: udowod-nijmy, ze liczba 223 + 343 jest podzielna przez 7.Zauwazmy najpierw

23 = 8 ≡7 1

33 = 27 ≡7 −1.

Mamy zatem

223 + 343 =(

23)7· 22 +

(33)14· 3 ≡7 17 · 4 + (−1)14 · 3 = 7 ≡7 0.


14



Relacje

Documents

Transcript of Relacje