Rachunek zdań I i II rzędu - Strona Głównazsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/w2.pdfnazywana...

Rachunek zdań I i II rzęduRozumowanie w systemach ekspertowych

Agnieszka Nowak

Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, PolskaTel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283

Wykład IV

Agnieszka Nowak Rachunek zdań I i II rzędu

Teoretyczne podstawy rachunku predykatów

Rachunek zdań jest także jednym ze sposobów zapisu wiedzy. Można bystwierdzić, ze jest on systemem wyrażeń będących formułami prawdziwymi, wktórym nie stosuje się konkretnych zdań, lecz posługuje się tzw. zmiennymizdaniowymi reprezentującymi zdania. Cała teoria opiera się na klasycznej logicedwuwartościowej, zgodnie z którą, za zmienne zdaniowe można podstawiaćtakie zdania, którym odpowiada wartość logiczna TRUE (prawda) lub FALSE(fałsz), tzn. takie, które uznane są odpowiednio za prawdziwe lubfałszywe.Oprócz wyrażeń prostych, w rachunku zdań tworzone są równieżwyrażenia złożone. Powstają one z wyrażeń prostych przy wykorzystaniufunktorów zdaniotwórczych (spójników). Klasyczny rachunek zdań stosujenastępujące spójniki:

negacja ↑ (nieprawda, ze),koniunkcja ∧ (i),alternatywa ∨ (lub),implikacja → (jeżeli to),równoważność ↔ (wtedy i tylko wtedy gdy).



To, czy otrzymane w ten sposób wyrażenia są fałszywe czy tez prawdziwe,zależy wyłącznie od prawdziwości lub fałszywości zdań składowych.

Zdania, które są prawdziwe niezależnie od wartości logicznej występujących wnich zmiennych zdaniowych, nazywane są tautologiami.

Przykładem tautologii jest prawo logiczne:

(p → q)→ (¬q → ¬p)

gdzie przyjmując, ze zmienne zdaniowe p i q reprezentują odpowiednio zdania:X jest dzieckiem i X jest niepełnoletni, możemy interpretować pokazanątautologię jako schemat zdania: jest prawdą, że jeżeli X jest dzieckiem to X jestniepełnoletni, to prawdą jest także stwierdzenie, ze jeżeli X nie jestniepełnoletni to X nie jest dzieckiem. (w potocznym rozumowaniu to znaczy, zejeżeli X jest dorosły to X nie jest dzieckiem, co rzeczywiście jest zgodne zrzeczywistością. Rachunek predykatów odgrywa istotna rolę wśród metodreprezentacji wiedzy, stanowiąc podstawę programowania w logice. Rachunekten jest rozszerzeniem rachunku zdań przez wprowadzenie kwantyfikatorów:

1 ∀: dla każdego,2 ∃: istnieje takie, że.


Teoretyczne podstawy rachunku predykatówPredykat - analiza

Rachunek zdań wykonuje działania na zdaniach posiadających jakąś wartośćlogiczną, ale nie wnika w treść tych zdań. Z punktu widzenia gramatyki,predykat pełni rolę orzeczenia i składa się z nazwy i dowolnej liczbyargumentów, które są nazywane termami (stałe (symbole) alfanumeryczne,numeryczne, zmienne i wyrażenia). Podstawiając stałe za zmienne otrzymujemyzdania prawdziwe lub fałszywe, dlatego w tak prosty i zrozumiały sposóbpredykaty interpretują wyrażane zdania.Podstawowe wyrażenia w rachunku zdań noszą nazwę termów, a wyrażeniazłożone nazywamy formułami. Z formalnego punktu widzenia predykatrozpatruje się jako funkcję odwzorowującą argumenty predykatu (termy) wwartości TRUE lub FALSEi zapisuje się go podobnie jak funkcję w postaci:PREDYKAT (ARGUMENT).np.:posiada indeks(student),jest synem(Adam, Jacek).Predykaty powyższe należy interpretować odpowiednio: student posiada indeks,Adam jest synem Jacka.



Wyróżnia się rachunek predykatów I -go i II -go rzędu. Rachunek predykatówI -go rzędu operuje na pojęciach abstrakcyjnych, posiada mechanizmypozwalające opisać prawa, którym podlegają obiekty systemu. Funkcje zdaniowereprezentowane są za pomocą reguł zawierających implikację.Np.:

(p → q)gdzie p i q to predykaty, to reguła postaci:Jeżeli p To q.

Każda funkcjazdaniowa w której występuje równoważność to dwie reguły. Np.:

(p ⇔ q)gdzie p i q to predykaty, to dwie reguły:(p ⇒ q)oraz (q ⇒ p).

Jednakże, nie wszystkie pojęcia o otaczającej nas rzeczywistości dają sięreprezentować w logice. Z tego powodu, nie każda reguła utworzona zpredykatu, który nie jest prawem logicznym, jest prawdziwa. Podobnie, niekażda reguła utworzona ze schematu wnioskowania jest prawdziwa, gdyż niewszystkie schematy wnioskowania są niezawodne. Nie istnieje jednak metoda,która sprostałaby wszystkim wymaganiom.


Metody dowodzenia prawdziwości schematów

Wnioskowanie jest procesem myślowym, w którym na podstawie uznaniapewnych zdań, zwanych przesłankami, dochodzimy do uznania innego zdania,zwanego wnioskiem.

Wnioskowanie w systemach ekspertowych oparte jest na logice matematycznej,która bada, czy z założeń wynikają konkluzje, niezależnie od ich prawdziwościlub fałszywości i niezależnie od tego, jakich spraw dotyczą. Zbiór, praktycznierzecz biorąc, wszystkich metod wnioskowania spotykanych w matematyce, dajetzw. klasyczny system logiki, na który składają się klasyczny rachunek zdań,badający wartość logiczną zdań złożonych (alternatywa, koniunkcja, implikacja,równoważność zdań) i klasyczny rachunek kwantyfikatorów. Klasyczneokreślenie prawdy głosi, że

prawdziwe jest zdanie, które opisuje taki stan rzeczy, który istotnie ma miejsce- fałszywe zaś jest zdanie opisujące nieistniejący stan rzeczy.

Rozumowanie to opiera się bowiem na tzw. zasadzie dwuwartościowości, któragłosi, że każde zdanie ma jedną i tylko jedną z dwóch wartości logicznych:prawdy i fałszu. Oznacza to, ze każde zdanie jest prawdziwe lub fałszywe i zeżadne zdanie nie jest zarazem prawdziwe i fałszywe.


Logika - WprowadzenieSłowniczek pojęć z logiki

Logikę dzielimy na:1 Semiotykę- bada relacje pomiędzy wyrażeniami językowymi arzeczywistością pozajęzykową

Syntaktyka - dziedzina semiotyki, która bada relacje pomiędzy znakamijęzykowymi ze względu na kształt i bez względu na ich znaczenieSemantyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami a rzeczamipozajęzyk.Pragmatyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami językowymi aużytkownikami tych znaków.

2 Logikę formalną - wyznacza niezawodne schematy rozumowe.3 Metodologię - a) ogólna, b) szczegółowa


Logika - Wprowadzenie - cdSłowniczek pojęć z logiki - cd

Zdanie w sensie logicznym - jest to wyrażenie opisujące jakąś sytuację,które jest prawdziwe albo fałszywe.

Prawdziwość - zdanie jest prawdziwe jeśli opisuje sytuację, która zachodziw rzeczywistości pozajęzykowej.

Fałszywość - zdanie jest fałszywe jeśli opisuje sytuację, która nie zachodziw rzeczywistości pozajęzykowej.

Ontologiczna zasada niesprzeczności - jest prawdziwa z powoduotaczającej rzeczywistości a nie z powodu autorytetu Arystotelesa.Wartości logiczne są obiektywnymi własnościami zdań.

Zdanie hipotetyczne - jest wtedy gdy uznaje się je za prawdopodobnieprawdziwe.

Zdanie supozycyjne - jest wtedy gdy jego prawdziwość została założonadla celów jakiejś argumentacji.



Sensowność - zdanie jest sensowne w jakimś języku gdy jest konstruowanezgodnie z zasadami składniowymi tego języka.

Fałszywość - aby dane wyrażenie było fałszywe musi być ono sensowne.Fałsz jest wartością logiczną zdania i należy go odróżnić od nonsensu.

Nonsens - wyrażenie jest nonsensem danego języka wtedy gdy nie jestskonstruowane zgodnie z reg. składniowymi tego języka.

Niezawodny schemat rozumowy - to taki schemat, w którym prawdziwośćprzesłania gwarantuje prawdziwość wniosku. Nie możliwe jest by otrzymaćprawdziwy wniosek przy fałszywej przesłance. ¬¬A ≡ A.Funktor - wyrażenie, które posiada argumenty i które tworzy razem z tymiargumentami nowe zdanie lub inny funktor. Przyjmuje się, żesamodzielnymi kategoriami syntaktycznymi są nazwy i zdania aniesamodzielnymi funktory tzn. ich znaczenie zależy od argumentów.Funktory dzielimy na: zdaniotwórcze, funktorotwórcze, nazwotwórcze.Funktory mogą mieć wiele argumentów np.



Predykat - jest to funktor zdaniowy od argumentów nazwowowych.

Kwantyfikator ogólny (duży) Dla każdego...(tu wstawiamy zmienną)....jest tak,że....(tu stawiamy zasięg) ∀x (gdzie x jest np. człowiekiem)

Kwantyfikator szczegółowy (mały lub egzystencjalny): Dla niektórych...( tuwstawiamy zmienną)...jest tak, że .....(tu wstawiamy zasięg) ∃x ( gdzie x jestczłowiekiem)

Funktor prawdziwościowy - jest to funktor zdaniotwórczy od argumentówzdaniowych ( tzn. posiada on wskaźnik Z/Z1.....Zn ) takich, że wartośćlogiczna zdania utworzonego przez ten funktor zależy wyłącznie od tegojakie są wartości logiczne jego argumentów.


Logika - Wprowadzenie

Funktor negacji - nieprawda, że

p ¬p0 11 0

Funktor koniunkcji - p ∧ q ( np. p i q )

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1



Funktor alternatywy - p ∨ q ( p lub q )alternatywa zwykła - alternatywa zwykła jest prawdziwa jeżeli przynajmniej

jeden jej człon jest prawdziwy, jest ona przemienna.

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

alternatywa rozłączna - p ⊥ q

p q p ⊥ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

dyzjunkcja - p/q

p q p/q0 0 10 1 11 0 11 1 0



Funktor implikacji - p → q - ” jeżeli p to q”Implikacja jest fałszywa tylko wtedy gdy poprzednik (p) jest prawdą (1).Implikacja nie jest przemienna tzn. wartość poprzednika następnika decyduje owartości implikacji.

p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1


Reguły wnioskowania

Reguły wnioskowania w logice to zasady przekształcania zdań, w którychwymienia się założenia (uznane za aksjomaty) oraz wskazuje sposobypoprawnego (tj. zgodnego z prawami logiki) wprowadzania nowych twierdzeń.Podstawowe reguły wnioskowania w logice to:

Reguły wnioskowania:

reguła odrywania - modus ponens

reguła modus tollens


Reguły wnioskowaniaReguła odrywania

Reguła odrywania

nazywana najczęściej regułą modus ponens, oparta na prawie ”modus ponendoponens”, zgodnie z którym, jeśli prawdziwa jest implikacja i jej poprzednik, todozwolone jest zawsze uznanie prawdziwości także i następnika takiej implikacji.

Reguła ta ma postać:

p → qpq

i mówi, że jeżeli z przesłanki p wynika fakt q (p implikuje q) i p jest prawdziwe,to q także przyjmuje się za prawdziwe. Na tej regule opiera się proceswnioskowania w przód Np.Jeśli jest ładna pogoda, to idę na spacerDziś jest ładna pogodaIdę na spacer


Reguły wnioskowaniaReguła modus tollens

Reguła modus tollens

oparta na prawie logicznym ”modus tollendo tollens”, które stwierdza, ze zimplikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem wynika wyrażeniesprzeczne z jej poprzednikiem, a więc stwierdza niezawodność schematów:

((p → q) ∧ ¬q)→ ¬p((¬p → q) ∧ ¬q)→ p((p → ¬q) ∧ q)→ ¬p((¬p → ¬q) ∧ q)→ p

Oto przykład wnioskowania podpadającego pod pierwszy schemat :Jeżeli X jest dzieckiem to X jest niepełnoletniPaweł nie jest niepełnoletniPaweł nie jest dzieckiem


Rachunek zdań

Tautologia

- Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnieod wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących.

Wybrane prawa rachunku zdań

(p ∧ q) = (q ∧ p) - prawo przemienności koniunkcji(p ∨ q) = (q ∨ p) - prawo przemienności alternatywy(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) - prawo łączności koniunkcji(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) - prawo łączności alternatywy[(p ∧ q) ∨ r ] = [(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)] - prawo rozdzielczości alternatywy[(p ∨ q) ∧ r ] = [(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] - prawo rozdzielczości koniunkcji(p ∨ ¬p) - prawo wyłączonego środka (tertium non datur)¬(p ∧ ¬p) - prawo sprzecznościp ⇒ (p ∨ q) - prawo pochłaniania(p ∧ q)⇒ p - prawo pochłaniania


Rachunek zdańWybrane prawa rachunku zdań

¬(¬p)⇔ p prawo podwójnego zaprzeczenia¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) prawo de’Morgana - zaprzeczenie koniunkcji

(ekskluzja)¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q) prawo de’Morgana - zaprzeczenie alternatywy

(binegacja)p ⇒ q ⇔ (¬q ⇒ ¬p) prawo transpozycji¬(p ⇒ q)⇔ (p ∧ ¬q) prawo zaprzeczenia implikacji(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (q ⇒ r) prawo przechodniości implikacji[(p ⇒ q) ∧ p]⇒ q prawo sylogizmu konstrukcyjnego

(modus ponendo ponens)[(p ⇒ q) ∧ ¬q]⇒ ¬p prawo sylogizmu destrukcyjnego

(modus tollendo tollens)[(p ∨ q) ∧ ¬q]⇒ p prawo sylogizmu alternatywnego

(modus tollendo ponens)



p ⇒ p prawo tożsamości dla implikacji¬(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ¬q) prawo przeczenia implikacji(p ⇒ q) ≡ (¬p ∨ q) prawo eliminacji implikacji(p ⇒ q)⇒ (¬q ⇒ ¬p) prawo transpozycji prostej[(p ∧ q)⇒ r ]⇒ ((¬r ∧ p)⇒ ¬q) prawo transpozycji złożonej[(p ∧ q)⇒ r ]⇒ ((¬r ∧ q)⇒ ¬p)[(p ∧ q)⇒ r)]⇒ ([p ⇒ (q ⇒ r)] prawo eksportacji[p ⇒ (q ⇒ r)]⇒ [(p ∧ q)⇒ r ] prawo importacji[p ⇒ (q ⇒ r)]⇒ [q ⇒ (p ⇒ r)] prawo komutacji[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]⇒ [(p ∨ q)⇒ r ] prawo łączenia[(p ∨ q)⇒ r ]⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] prawo rozłączania[(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] ≡ [p ⇒ (q ∧ r)] prawo kompozycji



[(p ⇒ q] ∧ [(r ⇒ s)] ≡ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ s)] prawo mnożenia implikacji[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p ⇒ r) prawo sylogizmu

hipotetycznego (koniunkcyjne)(p ⇒ q)⇒ [(q ⇒ r)⇒ (p ⇒ r)] prawo sylogizmu

hipotetycznego (bezkoniunkcyjne){(p ∨ q) ∧ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]} ⇒ r prawo dylematu

konstrukcyjnego prostego{(p ∨ q) ∧ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)]} ⇒ (r ∨ s) prawo dylematu

konstrukcyjnego złożonego(p ≡ r) ≡ [(p ⇒ r) ∧ (r ⇒ p)] prawo eliminacji

równoważności I(p ≡ r) ≡ [(p ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬r)] prawo eliminacji

równoważności II



(p ∧ q)⇒ p prawo symplifikacjidla koniunkcji

p ⇒ (q ⇒ p) prawo symplifikacjidla implikacji(prawo charakterystyki prawdy)

¬p ⇒ (p ⇒ q) prawo Dunsa Szkota I(prawo charakterystyki fałszu)

(p ∧ ¬p)⇒ q prawo Dunsa Szkota II(p ⇒ ¬p)⇒ p prawo Claviusap ⇒ (p ∨ q) prawo pochłaniania

dla alternatywy(prawo addycji)

(p ∧ q)⇒ p prawo pochłanianiadla koniunkcji(prawo symplifikacji dla koniunkcji)

(p ⇒ q)⇒ [(p ∧ r)⇒ (q ∧ r)] prawo nowego czynnika(p ⇒ q)⇒ [(p ∨ r)⇒ (q ∨ r)] prawo nowego składnika


Wybrane prawa rachunku zdańkompendium praw rachunko zdań

Do nauczenia :!

1 ((p → q) ∧ p)⇒ q - reguła odrywania RO2 reguła modus tollens MT :

((p → q) ∧ ¬q)⇒ ¬p((p → ¬q) ∧ q)⇒ ¬p((¬p → q) ∧ ¬q)⇒ p((¬p → q) ∧ q)⇒ p

3 ((p ∨ ¬q) ∧ q)→ p- reguła opuszczania alternatywy OA4 (p ∧ ¬p)⇒ q - prawo Dunsa Szkota5 reguła odrywania koniunkcji OK :

(p ∧ q)⇒ p(p ∧ q)⇒ q

6 p ∧ q ⇒ (p ∧ q) -reguła dołączania koniunkcji DK7 (p → q) ≡ ¬p ∨ q - prawo zastępowania implikacji ZI8 ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q prawo negowania koniunkcji NK9 ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q prawo negowania alternatywy NA


Dowodzenie prawdziwości schematów wnioskowania

Aby udowodnić prawdziwość jakiegoś stwierdzenia, które nie jest aksjomatem(pewnikiem), wystarczy wykorzystać jedną z następujących metod dowodzeniapoprawności schematów logicznych:

1 metoda zero-jedynkowa,2 skrócona metoda zero-jedynkowa,3 metoda założeniowa.


Metoda zerojedynkowa


polega na wyznaczaniu wartości logicznej zdania przez wartości logiczne jejskładników.

Aby rozstrzygnąć, czy dany schemat jest tautologią, nalezy rozważyć wszystkiemożliwe kombinacje wartości logicznych zmiennych w niej występujących. Jeżeliw każdym przypadku wartość formuły (wyrażenia logiczne połączonefunktorami) wynosi 1, to ta formuła jest tautologią. W tym celu niezbędna jestznajomość tzw. tabel prawdy dla poszczególnych operacji logicznych:sumy logicznej (alternatywy),iloczynu logicznego (koniunkcji),negacji,implikacji.

Przedstawione one zostały poniżej w tabeli. Zapamiętaj !!1 = PRAWDA, 0 = FAŁSZ

x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 0



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 1



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 0



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 00 1 1



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 1



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 0



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1



((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 10 1 1 0 0 00 1 1 1 0 11 0 0 0 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 1 01 1 1 1 1 1



x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 10 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 0 11 0 0 0 0 1 01 0 0 0 1 1 11 1 1 1 0 1 01 1 1 1 1 1 1



x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 1 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1 0 10 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 0 11 0 0 0 1 0 1 01 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1



x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 1 0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 1 0 1 10 1 1 1 0 0 0 1 00 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1



x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 1 0 1 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 0 0 1 00 1 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1



x y x ∨ y x ∧ y x x → y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 11 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

((p → q) ∧ (q → r) → (p → r))0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 0 1 0 0 1 0 1 00 1 1 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1



Wówczas niezawodność schematu postaci:

((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)

będzie wykazana w następujący sposób:p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r ((p → q)→ (q → r))→

(p → r)0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1Metoda ta pozwala na jednoznaczne stwierdzenie, czy schemat wnioskowania jestpoprawny czy nie, jednakże nie zawsze jest uznawana w pełni formalną i wystarczającąmetodę dowodzenia celu. Istnieje także pewnego rodzaju modyfikacja metodyzerojedynkowej, noszącą nazwę skróconej metody zerojedynkowej.


Skrócona metoda zerojedynkowa

Skrócona metoda zerojedynkowa

Pozwala ona wykazać, że wyrażenie rachunku zdań o postaci implikacji jestprawem logicznym, w sytuacji, gdy wykluczone jest, by dla jakiegoś układuwartości logicznych przyporządkowanego zmiennym, poprzednik tej implikacjibył prawdziwy a jej następnik fałszywy. Metoda ta jest często wykorzystywana,gdyż pozwala na uzyskanie tego samego rezultatu co metoda zerojedynkowa,bez konieczności sprawdzania wszystkich kombinacji zmiennych logicznych.Dzieje się tak dlatego, iz jeśli wszystkie przesłanki mają wartość logiczną 1, towniosek musi mieć wartość 1, lub, ze jeśli wniosek ma wartość logiczną 0, toprzynajmniej jedna z przesłanek ma wartość 0.


Przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej

Sprawdzenie niezawodności schematu:

((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)

((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) krok1 0 1

1 1 21 0 3

1 0 4? ? 51 0 61 1! 7

1 81 1! 9

1 1! 10

SPRZECZNOŚĆ: q = 1 i q = 0 oraz r = 0 i r = 1


Zastosowania metody zero-jedynkowej

Metoda zero-jedynkowa polega na budowie i analizie matrycy logicznej formuły;może być stosowana do:

weryfikacji tautologii (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jesttrue)

weryfikacji niespełnialności (dla każdej interpretacji wartość logicznaformuły jest false)

badania równoważności formuł (dla każdej interpretacji wartości logicznesą takie same)

weryfikacji logicznej konsekwencji (dla każdej interpretacji prawdziwośćformuły musi pociągać prawdziwość jej konsekwencji)

wyznaczania interpretacji przy których formuła jest prawdziwa lubfałszywa.


Metoda założeniowa

Wyróżniamy dwie techniki metody założeniowej:

założeniowy dowód ”nie wprost”

założeniowy dowód ”wprost”

Metoda założeniowego dowodu ”nie wprost”

polega na tym, że z twierdzenia W w postaciw1→ (w2→ w3→ . . . (wn→W )) wypisujemy najpierw wyrażeniaw1, . . . ,wn i następnie negację wyrażenia W . Dalsze wyrażenia dołączamy dodowodu korzystając z przyjętych reguł i twierdzeń wcześniej udowodnionych.Dowód jest zakończony jeżeli wystapią w nim dwa wyrażenia, z których jednojest negacją drugiego.


Wybrane prawa rachunku zdańkompendium praw rachunko zdań

Do nauczenia :!

1 ((p → q) ∧ p)⇒ q - reguła odrywania RO2 reguła modus tollens MT :

((p → q) ∧ ¬q)⇒ ¬p((p → ¬q) ∧ q)⇒ ¬p((¬p → q) ∧ ¬q)⇒ p((¬p → q) ∧ q)⇒ p

3 ((p ∨ ¬q) ∧ q)→ p- reguła opuszczania alternatywy OA4 (p ∧ ¬p)⇒ q - prawo Dunsa Szkota5 reguła odrywania koniunkcji OK :

(p ∧ q)⇒ p(p ∧ q)⇒ q

6 p ∧ q ⇒ (p ∧ q) -reguła dołączania koniunkcji DK7 (p → q) ≡ ¬p ∨ q - prawo zastępowania implikacji ZI8 ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q prawo negowania koniunkcji NK9 ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q prawo negowania alternatywy NA


Metoda założeniowego dowodu ”nie wprost” - przykład

Dowód niezawodności schematu:

((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)

zapisujemy w następujący sposób:

1 p → q




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]10 ¬r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]10 ¬r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]10 ¬r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)]12 ¬q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)]




((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 ¬(p → r) DN4 ¬p ∨ q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]5 ¬q ∨ r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]6 ¬(¬p ∨ r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]7 ¬¬p ∧ ¬r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]8 p ∧ ¬r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]10 ¬r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)]12 ¬q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)]

Zaszła sprzeczność dla zdań 11 oraz 12, a więc dowód był prawdziwy, a jedynienegacji tezy doprowadziła do sprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jestniemożliwa, to prawdziwa jest niezaprzeczona teza.


Metoda założeniowego dowodu ”wprost”

Metoda założeniowego dowodu ”wprost”

polega na tym, że z twierdzenia W w postaciw1→ (w2→ w3→ . . . (wn→W )) wypisujemy najpierw wyrażeniaw1, . . . ,wn potem zaś wyrażenia, na dołączenie których pozwalają przyjętereguły. Wolno też dołączyć do dowodu twierdzenia wcześniej udowodnione.Dowód jest zakończony, gdy wystąpi w nim wyrażenie W .

Można inaczej powiedzieć, że w metodzie założeniowej (wprost) rozpatrywanyschemat uznajemy za niezawodny, gdy w wyniku kolejnych działań, podczasktórych uzyskujemy schematy juz udowodnione jako niezawodne, ostatecznieuzyskamy cel wnioskowania (konkluzję całego wyrażenia). Nie można jednak naniej polegać w przypadku wykazywania zawodności schematów.


Metoda założeniowego dowodu ”wprost” - przykład


((p → q) ∧ (q → r))→ (p → r)


1 p → q2 q → r3 p4 q [ z reguły odrywania RO(1, 3)]5 r [ z reguły odrywania RO(2, 4)]

Zgodnie z metodą założeniową dowód rozpoczynać powinno wypisanie założeń,którymi są przesłanki dowodzonego schematu i poprzednik jej wniosku.Komentarze umieszczone na boku mówią o tym, z których wierszywcześniejszych kolejne wiersze są otrzymane przy pomocy reguły odrywania.Dowód jest zakończony, gdyż otrzymaliśmy następnik wniosku.


Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej


((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 31 0 1 4




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 31 0 1 1 1 0 4




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 4




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 4

p = 1r = 0




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 40 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 5




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 40 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 50 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 6




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 40 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 50 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 6

czyli q = 1 ?




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

((¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) → ¬ (p ∧ ¬ r) krok0 1

1 0 0 21 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 40 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 50 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 6

czyli q = 1 ? czy q = 0 ? sprzeczność !




((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)


1 ¬p ∨ q2 ¬q ∨ r3 p ∧ ¬r DN4 p [ z reguły odrywania koniunkcji OK(3)]5 ¬r [z reguły odrywania koniunkcji OK(3)]6 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,4)]7 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,6)]

SPRZECZNOŚĆ 7 Z 5.

... a więc dowód był prawdziwy, a jedynie negacji tezy doprowadziła dosprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jest niemożliwa, to prawdziwa jestniezaprzeczona teza.


Metoda założeniowego dowodu ”wprost” - przykład


((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))→ ¬(p ∧ ¬r)

gdzie: teza:¬(p ∧ ¬r) ≡ ¬p ∨ r ≡ p → r zapisujemy w następujący sposób:

1 ¬p ∨ q założenie2 ¬q ∨ r założenie3 p założenie4 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,3)]5 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,4)]


Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory

Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne),występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania)rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnychLogików w następujący sposób:

kwantyfikator ogólny, zapisywany jako ∀, czytany jako: ”dla każdego...”kwantyfikator szczegółowy(egzystencialny), zapisywany jako ∃, czytanyjako: ”istnieje taki ..., że...”

NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu ioznaczamy je małymi literami w następujący sposób : ”x , y , z ...”PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymiNAZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: ”P,Q,R,S ...”Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE(zapisuje się to zawsze tak: P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI(zapis : P(x , y)).SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlającyzawartość zdania, np.:

∀xP(x)- czytaj jako: ”Dla każdego x , x jest Ptakiem”

∃yQ(y)- czytaj jako: ”Istnieje taki y , że y jest Kurą”


Zdanie:”Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas.”

Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko tewszystkie podmioty (rzeczowniki), w stosunku do których inne części zdania(mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcjeopisowa:x - Kubuśy - Antykubuśz - czas



1 Tworzenie zmiennych predykatowych (PREDYKATÓW):K(x) - x jest KubusiemA(y) - y jest AntykubusiemC(z) - z jest czasemW (x , y) - x widział yG(y , z) - y gonił z

2 Przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę ułatwiającąnam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów :”(Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas.”Mamy teraz pewność, że:

Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki x, że x jestKubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGOkwantyfikatora.Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki y , że y jestAntykubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celuMAłEGO kwantyfikatora.czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki z, że z jest czasem”i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGOkwantyfikatora.



Przystępujemy do zapisania naszego zdania w postaci schematukwantyfikatorowego:

∃x{K(x) ∧ ∃y [A(y) ∧W (x , y) ∧ ∃z(C(z) ∧ G(y , z)]}

gdzie:K(x) - x jest KubusiemA(y) - y jest AntykubusiemC(z) - z jest czasemW (x , y) - x widział yG(y , z) - y gonił z



ale po kolei...∃xK(x)

czytaj jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem...”

∃x{K(x) ∧ ∃y [A(y) . . .

czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jestAntykubusiem...”



Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA,pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnimwpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator

∃x{K(x) ∧ ∃y [A(y) ∧W (x , y) . . .

co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jestAntykubusiem i x widział y...”Kolejny krok to konieczność przedstawienia wschemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, który jest tunierozłącznie związany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamiętamyoczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, codotąd napisaliśmy

∃x{K(x) ∧ ∃y [A(y) ∧W (x , y) ∧ ∃z(C(z) . . .

czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jestAntykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem...”No i niepozostało nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodzącapomiędzy Antykubusiem i czasem - ”y gonił z”, jak zwykle wpisując wodpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator:


co czytamy jako: Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i istnieje taki y , że y jestAntykubusiem i x widział y i istnieje taki z, że z jest czasem i y gonił z.”



”Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas.”[ ”(Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas.” ]x - Kubuśy - Antykubuśz - czasK(x) - x jest kubusiemA(y) -y jest AntykubusiemC(y) - z jest czasemW (x , y) - x widział yG(y , z) - y gonił z


”Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i istnieje taki y , że y jest Antykubusiem i xwidział y i istnieje taki z, że z jest czasem i y gonił z.”


”Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka .”

1 Wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY):x - misy - miodekz - Człowiek

2 Tworzymy zmienne predykatowe (PREDYKATY):

M(x) - x jest misiemU(y) - y jest miodkiemC(z) - z jest CzłowiekiemZ(x , y) - x zjada yW (z , y) - z wyprodukował y

∀x{M(x)→v ∃y [u(y) ∧ Z(x , y) ∧ ∃z(C(z) ∧W (z , y)]}




Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznacznezaprzeczenie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłbysię zjeść wszystkie misie...po kolei...Rozpoczynamy od napisania faktu, że to, co tu dzieje się, dotyczy każdegomisia:

∀x{M(x) . . .

UWAGA! Czyta się to tak: ”Dla każdego x, x jest misiem...” Teraz kolejnaNAZWA, która jest wobec misia podrzędną

∀x{M(x)→v ∃y [u(y) . . .

”Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y , że y jest miodkiem...”



Teraz relacja zachodząca miedzy pierwszą i drugą NAZWĄ, pamiętamy, żebyzastosować symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez naskwantyfikatorem był mały kwantyfikator:

∀x{M(x)→v ∃y [u(y) ∧ Z(x , y) . . .

Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y , że y jest miodkiem i xzjada y...”Przedstawiamy w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - Człowieka,który jest tu nierozłącznie związany z miodkiem. Pamiętamy oczywiście osymbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotychczasnapisaliśmy (ostatnio wpisaliśmy mały kwantyfikator):

∀x{M(x)→v ∃y [u(y) ∧ Z(x , y) ∧ ∃z(C(z) . . .

”Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y , że y jest miodkiem i xzjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem...”Dopełniamy schemat relacjazachodząca pomiędzy Człowiekiem i miodkiem - ”z wyprodukował y”, jakzwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje toostatni mały kwantyfikator:


Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y , że y jest miodkiem i xzjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem, i z wyprodukował y.”



Podsumowując, cala praca powinna wyglądać następująco: ”Wszystkie misienie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka.” [ ”Dla każdego misianie istnieje taki (jeden) miodek, który nadawałby się do zjedzenia i zostałbywyprodukowany przez (jednego) Człowieka .” ]x - misy - miodekz - CzłowiekM(x) - x jest misiemU(y) - y jest miodkiemC(z) - z jest CzłowiekiemZ(x , y) - x zjada yW (z , y) - z wyprodukował y


”Dla każdego x, jeżeli x jest misiem, to NIE istnieje taki y , że y jest miodkiemi x zjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem i z wyprodukował y.”


Ćwiczenia

Ćwiczenia


”Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami.”

[ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jestjednocześnie Człowiekiem i Aniołem.” ]colorbluex - istotaC(x) - x jest CzłowiekiemA(x) - x jest Aniołem

∃x(C(x) ∧ A(x))

- Mały kwantyfikator, bo zdanie nie mówi o wszystkich Ludziach, ale oniektórych z nich.- Koniunkcja, bo to nieodłączna towarzyszka małego kwantyfikatora.- W obu nawiasach ”x”, bo w tym przypadku chodzi o jedna i ta sama istotę,która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem.


”Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami.”

[mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jestCzłowiekiem i nie jest Aniołem.”]x - istotaC(x) - x jest CzłowiekiemA(x) - x jest Aniołem

∃x(C(x)∧ v A(x))

colorred”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.”


”Wszyscy Ludzie są Aniołami.”

[ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, która jest Człowiekiem, jestjednocześnie Aniołem.” ]x - istotaC(x) - x jest CzłowiekiemA(x) - x jest Aniołem

∀x(C(x)→ A(x))

- Duży kwantyfikator, bo zdanie mówi o wszystkich Ludziach.- Implikacja, bo to nieodłączna towarzyszka dużego kwantyfikatora.- W obu nawiasach ”x”, bo w tym przypadku chodzi o wszystkie i te sameistoty, które są jednocześnie ludźmi i Aniołami.”Dla każdego x , jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.”


”Żaden Człowiek nie jest Aniołem.”

mówiąc w uproszczeniu:

WARIANT I - ”Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jestAniołem.”

lub też: WARIANT II - ”Nie istnieje istota, która jest zarazemCzłowiekiem i Aniołem.”

x - istotaC(x) - x jest CzłowiekiemA(x) - x jest Aniołem

1 wariant I∀x(C(x)→v A(x))

”Dla każdego x , jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem.”2 wariant II

v ∃x(C(x) ∧ A(x))

”Nie istnieje taki x , że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem.”


Znajdowanie schematów wnioskowania i dowody ich niezawodności

Żadna ryba nie jest ssakiemŻaden wieloryb nie jest rybąKażdy wieloryb jest ssakiemJeśli założymy, że:x - zwierzęR(x) - zwierzę jest rybąS(x) - zwierzę jest ssakiemW (x) - zwierzę jest wielorybemto wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądaćnastępująco:∀x(R(x)→ ¬S(x))∀x(W (x)→ ¬R(x))∀x(W (x)→ S(x))Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia zzapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory sąidentyczne, więc można je usunąć swobodnie):R(x)→ ¬S(x)W (x)→ ¬R(x)W (x)→ S(x)


Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schematten jest niezawodny.Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapisschematu to:r → ¬sw → ¬rw → s


metodą założeniową wprost1 r → ¬s (zał.)2 w → ¬r (zał.)3 w (zał.)4 ¬r RO(2,3)5 r ∧ ¬¬s ZI(1)6 r ∧ s PN(5)7 s OK(6)

metodą założeniową niewprost1 r → ¬s (zał.)2 w → ¬r (zał.)3 ¬(w → s) (DN)4 ¬(¬w ∨ s) ZI(3)5 ¬¬w ∧ ¬s NA(4)6 w ∧ ¬s PN(5)7 ¬s OK(6)8 w OK(6)9 ¬r RO(2,8)10 r ∧ ¬¬s ZI(1)11 r ∧ s PN(10)12 s OK(11)

SPRZECZNE 7 i 12.Agnieszka Nowak Rachunek zdań I i II rzędu

Inny schemat wnioskowania

Nie każdy człowiek jest pijakiemKażdy pijak jest człowiekiemnie każdy człowiek jest człowiekiemJeśli założymy, że:x - istotaC(x) - istota jest człowiekiemP(x) - istota jest pijakiemto wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądaćnastępująco:¬∀x(C(x)→ P(x))∀x(P(x)→ C(x))¬∀x(C(x)→ C(x))Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia zzapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatoryszczegółowe .


Teraz schemat wygląda następująco:∃x¬(C(x)→ P(x))∃x(P(x)→ C(x))∃x¬(C(x)→ C(x))Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć:¬(C(x)→ P(x))P(x)→ C(x)¬(C(x)→ C(x))Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schematten jest niezawodny.Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności.


Uproszczony zapis schematu to:¬(c → p)p → c¬(c → c)Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco:1 ¬(c → p) (zał.)2 p → c (zał.)3 (c → c) (DN)4 c ∧ ¬c ZI(3)5 c OK(4)6 ¬c OK(4)

SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny.


Podsumowanie

1 Tautologia, Logika dwuwartościowa, tabele prawdy.2 Metody badania niezawodności schematów wnioskowania:

Metoda zerojedynkowa,Skrócona metoda zerojedynkowa.

3 Metody dowodu niezawodności schematów - metoda założeniowa:Założeniowa metoda dowodu ”wprost”,Założeniowa metoda dowodu ”nie wprost”.

4 Rachunek zdań II-go - kwantyfikatory.5 Rachunek predykatów - język PROLOG.


Literatura

Pawlak Z., (1983) Information Systems - theoretical foundations [polish],WNT, W-wa.

Pogorzelski W.A., (1973), Klasyczny rachunek zdan. Zarys teorii, PWN,Warszawa, Poland

Cholewa W., Pedrycz W., (1987), Systemy doradcze, skrypt PolitechnikiŚląskiej nr 1447, Gliwice, Poland

Cichosz P.,(2001), Systemy uczące się, WNT,Warszawa, Poland

Grzegorczyk A., (1969), Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa,Poland

Paprzycka K., Samouczek logiki zdań i logiki kwantyfikatorów - dostępnyna stronie:http://www.filozofia.uw.edu.pl/kpaprzycka/Publ/xSamouczek.html


Rachunek zdań I i II rzędu - Strona Głównazsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/w2.pdfnazywana...

Documents

Transcript of Rachunek zdań I i II rzędu - Strona Głównazsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/w2.pdfnazywana...