Rachunek Operatorowy Matlab

5/6/2018 Rachunek Operatorowy Matlab - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/rachunek-operatorowy-matlab 1/11

Ostatnia aktualizacja: 2010-03-01 M. Tomera 1

Akademia Morska w GdyniKatedra Automatyki Okr ętowej

Teoria sterowania

Rachunek operatorowy − Matlab

Mirosław Tomera

Rachunek operatorowy jest jednym z narzędzi matematycznych służą cych do rozwią zywanialiniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W porównaniu z metodą klasyczną , metoda

transformaty operatorowej przekształca równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne,którego zmienną jest operator Laplace'a s. Wówczas, w celu uzyskania rozwią zania w dziedzinieoperatora s przekształca się równanie algebraiczne przy użyciu prostych reguł matematycznych.

Ostateczne rozwią zanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnejtransformaty Laplace'a. Podstawowe własności transformaty Laplace'a zebrane zostały w tabeli 1,

natomiast transformaty operatorowe najpopularniejszych funkcji w tabeli 2.

1. ROZKŁAD FUNKCJI OPERATOROWEJ NA UŁAMKI ZWYKŁE

Rozważ nastę pują cą funkcję operatorową zapisaną w postaci ilorazu dwóch wielomianów B( s)/ A( s):

0

1

1

01

1

...

...

)(

)(

a sa sa

b sb sb

s A

s Bn

n

n

n

mm

mm

+++

+++==

−

−

−−

den

num(1)

w których niektóre ze współczynników ia oraz jb mogą być równe zero. W MATLABIE wektory

wierszowe num oraz den określają współczynniki licznika i mianownika transmitancji. Wobec tego

[ ]01 ... bbb mm −=num

[ ]01 ... aaa nn −=den

Polecenie

[ ] ( )dennum,residuekp,r, = (2)

wyznacza residua r, bieguny p oraz współczynniki stałe k rozk ładu funkcji operatorowej na ułamki

proste ilorazu dwóch wielomianów B( s)/ A( s). Rozk ład na ułamki proste ilorazu wielomianów

B( s)/ A( s) jest wówczas nastę pują cy:

( )( )

( )( )

( )( )

k n p s

nr

p s

r

p s

r

s A

s B+

−++

−+

−== ...

2

2

1

1

)(

)(

den

num(3)

Przyk ład 1

Dokonaj rozk ładu na ułamki proste nastę pują cej funkcji operatorowej

1330226

42123

)(

)()(

234

2

++++

++===

s s s s

s s

sM

s L sG

den

num(1.1)

Rozwią zanie: Dla tej funkcji operatorowej zapis w MATLABIE jest nastę pują cy



Teoria sterowania Rachunek operatorowy − Matlab


>> num = [3 12 42]

>> den = [1 6 22 30 13]

zastosowanie polecenia

>> [r, p, k] = residue( num, den)

daje nastę puj

ą ce wyniki

r =

0.0300 + 0.0400i

0.0300 - 0.0400i

-0.0600

3.3000

p =

-2.0000 + 3.0000i

-2.0000 - 3.0000i

-1.0000

-1.0000

k =

[]

(Zauważ, że residua zwracane są w wektorze kolumnowym r, położenia biegunów w wektorze

kolumnowym p, a część całkowita w wektorze wierszowym k). Powyższy zapis w MATLABIE

odpowiada nastę pują cemu rozk ładowi na ułamki zwyk łe funkcji operatorowej (1.1):

( ) ( ) ( )2234

2

1

3.3

1

06.0

32

04.003.0

32

04.003.0

1330226

42122)(

++

+−

+−−−

−+

+−−+

=++++

++=

s s j s

j

j s

j

s s s s

s s sG (1.2)

Polecenie residue może być również używane do przekształcenia funkcji operatorowej

rozłożonej na ułamki proste na postać ilorazu dwóch wielomianów (licznika i mianownika).Polecenie to jest nastę pują ce:

>> [num1, den1] = residue(r, p, k)

gdzie wektory r, p, k mają wartości uzyskane z powyższego rozk ładu (1.2). Polecenie

>> printsys(num1, den1, ’s’)

wypisuje iloraz wielomianów w zależności od zmiennej s.

num/den =

3 s^2 + 12 s + 42

-----------------------------------

s^4 + 6 s^3 + 22 s^2 + 30 s + 13

czyli ta funkcja operatorowa ma tak ą samą postać jak funkcja wyjściowa opisana wzorem (1.1).

2. ZNAJDOWANIE ODWROTNYCH TRANSFORMAT LAPLACE'A

Znajdowanie odwrotnych transformat Laplace’a odbywa się przez rozk ład funkcji operatorowej naułamki zwyk łe i znalezienie odpowiadają cej jej funkcji czasowej przez zastosowanie transformatfunkcji znajdują cych się w tabeli 2. Przyk ład 2ilustruje tę metodę.





Tabela 1. Podstawowe własności transformaty Laplace’a

1. Liniowość

£ { 1af (t ) + 2bf (t )} = 1aF ( s) + 2bF ( s), a, b – stałe

2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej

£

∫ ∞−

t

dt t f )( = s

s F )(+ ∫

−

∞−

0

)(1

dt t f s

3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej

£ ∑−

=

−−−=

1

0

)(1)0()(

)( n

k

k k nn

n

n

f s s F sdt

t f d

3.a. pierwsza pochodna

£ )0()()(

f s sF dt

t df −=

3.b. druga pochodna

£ )0()0()()( )1(2

2

2

f sf s F sdt

t f d −−=

4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£ sd s F t

t f

s

∫ ∞

=

)()(

5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£ { })(t f t n = ( )n1−

n

n

ds

s F d )(

6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej

£ { f (t − T )}= )( s F e sT − , T jest stałą

7. Twierdzenie o wartości począ tkowej

)(lim)(lim0

s sF t f st ∞→→

=

8. Twierdzenie o wartości końcowej

)(lim)(lim0

s sF t f st →∞→

=

9. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)

£ { })(t f eat = F ( s− a)

10. Zmiana skali

£ { f (at )} =

a

s F

a

1, a jest stałą dodatnią

11. Splot funkcji (twierdzenie Borela)

£ { })()( 21 t f t f ∗ = )()( 21 s F s F , gdzie )()( 21 t f t f ∗ = ∫ −

−t

d t f f

0

21 )()( τ τ τ





Tabela 2. Wybrane transformaty Laplace’a

f (t ) F ( s)

1. )(t δ (impuls jednostkowy) 1

2. )(1 t (skok jednostkowy) s

1

3. ( ) ( ) ( )t kT t t

k

T 10

⋅−= ∑∞

=

δ δ Tse−−1

1

4. ( )t t 1⋅ 2

1

s

5. ( )t t 12

1 2 ⋅3

1

s

6. ( )t t n

n 1!

1 ⋅1

1+n

s

7. ( )t e t 1⋅−σ σ + s

1

8. ( )t tet

1⋅−σ ( )2

1

σ + s

9. ( )t et n

t n 1!

1⋅−σ ( ) 1

1++ n

s σ

10. ( )t t 1sin ⋅ω 22 ω

ω

+ s

11. ( )t t 1cos ⋅ω 22 ω + s

s

12. ( )t t t 1sin ⋅ω ( )222

2

ω

ω

+ s

s

13. ( )t t t 1cos ⋅ω ( )222

22

ω

ω

+

−

s

s

14. ( )t t e t 1sin ⋅− ω σ

( ) 22ω σ

ω

++ s

15. ( )t t et

1cos ⋅− ω σ ( )

( ) 22ω σ

σ

+++

s

s

16. ( ) ( )t t Ae t 1cos ⋅+− φ ω σ

ω σ

φ

j s

Aej

−+2

1

+ω σ

φ

j s

Aej

++

−

2

1





Przyk ład 2

Znajdź funkcję czasową nastę pują cej funkcji operatorowej

( ) ( ) ( )21

3.3

1

06.0

32

04.003.0

32

04.003.0

)( +++

−

+−−−

−

++−−

+

= s s j s

j

j s

j

sG (2.1)

i wykreśl ją przy użyciu MATLABA.

Rozwią zanie: Funkcja operatorowa (2.1) jest już rozłożona na ułamki proste. W funkcji tej

wystę pują bieguny zespolone i dwa residua w postaci zespolonej oraz biegun dwukrotny.W celu zastosowania wzoru 16 z tabeli 2, residua zespolone należy przekształcić do postaciwyk ładniczej. Postać wyk ładniczą można znaleźć po zastosowaniu nastę pują cych poleceń:

>> M1 = abs( r(1));

M1 =

0.05

>> fi1 = angle( r(1))*180/pi

fi1 =

53.1301

Po znalezieniu postaci wyk ładniczej residuów zespolonych, funkcja operatorowa (2.1) możezostać zapisana w postaci

G( s) =32

05.0 53

j s

e j

−+

o

+32

05.0 53

j s

e j

++

− o

+1

06.0

+− s

+( )2

1

3.3

+ s(2.2)

Funkcja czasowa wyznaczana jest z postaci operatorowej przy użyciu odwrotnej transformaty

Laplace'a

)(t g = £ −1

{ })( sG (2.3)

czyli w tym przypadku

)(t g = £ −1

−++

−+

−

32

10

1

2

1

32

10

1

2

1 5353

j s

e

j s

e j joo

− 0.06 £ −1

+ 1

1

s+ 3.3 £

−1

( )

+ 21

1

s(2.4)

Po zastosowaniu wzorów (16) i (7) oraz (8) z tabeli 2, uzyskuje się nastę pują cą funkcję czasową

g (t ) = ( )o2 533cos1.0 +−t e

t − t e−06.0 + t te−3.3 dla t ≥ 0 (2.5)

Wykres przebiegu czasowego funkcji (2.4) uzyskany zostanie po napisaniu nastę pują cych liniikodu programu.

t = [0:0.01:10];y = 0.1*exp(-2*t).*cos(3*t+53*pi/180)–0.06*exp(-t)+3.3*t.*exp(-t);

plot( t, y, 'k-')title('Rozwią zanie w dziedzinie czasu')

xlabel('t [s]')ylabel('g(t)')

grid on

Uzyskany wykres funkcji czasowej (2.5) znajduje się na rysunku 2.1.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4Rozwią zanie w dziedzinie czasu

t [s]

g ( t )

Rys. 2.1. Wykres czasowy funkcji 2.5.

3. ROZWIĄ ZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Zostanie tutaj przedstawione rozwią zywanie równań różniczkowych liniowych stacjonarnych przyużyciu metody transformaty operatorowej Laplace'a, która sk łada się z czterech kroków:

1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę zmiennej zespolonej s przy użyciu

przekształcenia operatorowego Laplace'a.2. Przekształcanie uzyskanego równania algebraicznego i wyznaczenie zmiennej wyjściowej.

3. Wykonanie rozk ładu na ułamki proste funkcji operatorowej opisują cej zmienną wyjściową .4. Uzyskanie rozwią zania w dziedzinie czasu poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty

Laplace'a.

W celu szczegółowego wyjaśnienia metody rozwią zywania liniowych stacjonarnych równań

różniczkowych przy użyciu transformaty operatorowej Laplace'a przedstawiony został poniższy przyk ład.

Przyk ład 3Znajdź rozwią zanie y(t ) poniższego równania różniczkowego (3.1.) z uwzględnieniemwarunków począ tkowych i uzyskane rozwią zanie przedstaw w postaci przebiegu czasowego

2

2)(

dt

t yd + 2

dt

t dy )(+ y(t ) = t e

t 3sin

2− , (3.1)

Warunki począ tkowe dla równania (3.1.)

( )0 y = 0 (3.2)

( )0)1(

y = 3 (3.3)

Rozwią zanie: Poddają c równanie różniczkowe (3.1) obustronnemu przekształceniu Laplace'a,uzyskuje się dla każdego elementu nastę pują ce funkcje operatorowe:





£ { })(t y = )( sY (3.4)

£

dt

t dy )(= )0()( y s sY − (3.5)

£

2

2)(

dt

t yd

= )0()0()()1(2

y sy sY s −− (3.6)

£ { }t e t 3sin

2− =( ) 22

32

3

++ s(3.7)

Po podstawieniu wyrażeń (3.4), (3.5), (3.6) oraz (3.7) do równania (3.1) otrzymuje się

[ ])0()0()()1(2

y sy sY s −− + 2 [ ])0()( y s sY − + )( sY =( ) 22

32

3

++ s(3.8)

Podstawiają c do równania (3.8) podane warunki począ tkowe

3)(2

− sY s + 2 )( s sY + )( sY = ( ) 2232

3

++ s (3.9)

lub

( )122 ++ s s )( sY = 3134

32

+++ s s

(3.10)

Wyznaczają c )( sY z równania (3.8) uzyskuje się

)( sY =( )( )12134

4212322

2

++++

++

s s s s

s s=

( )( )22

2

1134

42123

+++

++

s s s

s s(3.11)

Sprawdzenia poprawności wyznaczenia funkcji operatorowej (3.11) można dokonać korzystają cz twierdzenia o wartości począ tkowej (tabela 1, wzór 7), jednak poprawność tego sprawdzenia

nie gwarantuje, że jest pewność iż uzyskana funkcja operatorowa jest poprawna, ale pozwala nawykrycie bardzo dużych błędów.

)0( y = )(lim0

t yt →

= )(lim s sY s ∞→

=

432

32

13302261

42123

lim

s s s s

s s s

s ++++

++

∞→= 0 (3.12)

Uzyskana wartość jest równa pierwszemu warunkowi począ tkowemu y(0) = 0, jednak obliczenie to nie pozwala stwierdzić czy poprawne są współczynniki funkcji operatorowej(3.11). Cią g dalszy wyznaczania funkcji operatorowej (3.11) znajduje się w przyk ładzie 1, anastę pnie w przyk ładzie 2 i ostatecznie uzyskany wykres czasowy na rysunku 2.1. Kolejne

sprawdzenie uzyskanego wyniku przeprowadza się na wykresie czasowym, wykres musizaczynać się w punkcie określonym przez warunek począ tkowy y(0), natomiast wartość

ustalona można wyznaczyć korzystają c z twierdzenia o wartości końcowej (tabela 1, wzór 8),dla rozpatrywanego w tym przyk ładzie równania różniczkowego uzyskana funkcja czasowa

ustala się na poziomie wyznaczonym w poniższym równaniu (3.13)

)(∞ y = )(lim t yt ∞→

= )(lim0

s sY s→

=1330226

4233lim

234

23

0 ++++

++→ s s s s

s s s

s= 0 (3.13)

Czyli w tym przypadku rozwią zanie y(t ) powinno zaczynać się i ustalać przy wartości zero.





ĆWICZENIA W MATLABIE

M1. Dla poniższych transformowanych

sygnałów, znajdź y(t ) dla t ≥ 0 i wykreślw MATLABIE.

a) )( sY =2+ s

s

b) )( sY =23

122 ++

+ s s

s

c) )( sY =( )

( )( )232

14

+++

s s

s

d) )( sY = s s s 52

1023 ++

e) )( sY =65

632

2

++− −

s s

e s

M2. Korzystają c z oprogramowanianarzędziowego MATLAB, dokonaj rozk ładuna ułamki proste nastę pują cych funkcjioperatorowych

a)( )

( )( )( )( )6543

110)(

+++++

= s s s s

s sG

b)

( )

( )( )64

110

)( 2 +++

= s s s

s

sG

c)( )

( )( )51

25)(

2 +++

= s s s

s sG

d)( )4

22)(

23

34

+++

= s s

s s sG

e)( )

( )35

3100)(

2

2

++++

= s s s

s s sG

f)( )( )222

1)(2 ++++=

s s s s s sG

g)( )( )11

5)(

2

2

+++=

−

s s s

e sG

s

h)( )( )22

5.01

1)(

++=

s s s sG

i)( )

( )( ) se

s s s

s sG −

++

+=

14

2100)(

2

j)( )

( )22 2

12)(

++

+=

s s s

s sG

k) ( )31

1)( += s

sG

l)( )( )22

2

551

12)(

+++

++=

s s s s

s s sG

M3. Znajdź odwrotne transformaty Laplace’adla funkcji operatorowych z zadania M2i narysuj je w MATLABIE.

M.4. Korzystają c z metod transformaty

Laplace’a rozwiąż nastę pują ce równaniaróżniczkowe dla t ≥ 0 z uwzględnieniem

warunków począ tkowych i przedstawuzyskane rozwią zania na wykresieczasowym:

a)3

3)(

dt

t yd + 5

2

2)(

dt

t yd + 4

dt

t dy )(= 2 )(t δ

)0( y = 1

)0()1(

y = −1

)0()2(

y = 1

b) 2

2)(

dt

t yd + 5

dt

t dy )(+ 6 )(t y = 2 t e−

)0( y = 0

)0()1( y = −2

c) dt

t dy )(+ 2 )(t y = 6 t 2cos

)0( y = 2

d)3

3)(

dt

t yd + 4

2

2)(

dt

t yd + 3

dt

t dy )(= 3 )(t δ

)0( y = 1

)0()1(

y = −1

)0()2( y = 1

e)dt

t dy )(+ 2 )(t y = 2

2

1t

)0( y = −1

f)dt

t dy )(+ 3 )(t y = 4 t 4sin

)0( y = 1





g)2

2)(

dt

t yd + 4

dt

t dy )(+ 5 )(t y = )(1 t ⋅

)0( y = −3

)0()1(

y = 2

h)2

2 )(

dt

t yd + 3

dt

t dy )(+ 2 )(t y = 3

t e

3−

)0( y = 0

)0()1(

y = 1

i)2

2)(

dt

t yd + 2

dt

t dy )(+ 2 )(t y = 3 t 2sin

)0( y = 2

)0()1( y = −3

j)2

2)(

dt

t yd + 2

dt

t dy )(+ )(t y = 5 t e

3−+ t

)0( y = 2

)0()1( y = 1

k)2

2 )(

dt

t yd +4 )(t y =

2t

)0( y = 1

)0()1(

y = 2

k)2

2)(

dt

t yd + 3

dt

t dy )(+ 6 y(t ) = t e

t 2cos

3−

)0( y = 1

)0()1(

y = 2

ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ

M1.

a) y(t ) = )(t δ − 2t

e2−

b) y(t ) =t e

−− + 3t e

2−

c) y(t ) = −4t e

2−+ 4

t e3−

+8t te

3−

d) y(t ) = o4349.1532cos2361.2)(12 +⋅+⋅ − t et t

e) y(t ) = 3t

e2− −3

t e

3− −[6)2(2 −− t

e − 6( )23 −− t

e ] ( )21 −⋅ t

M2.

a)3

333.3

4

15

5

20

6

333.8)(

+−

++

+−

+=

s s s s sG

b)2

4167.02431.0

4

9375.0

6

6944.0)(

s s s s sG ++

+−

+=

c)2

24.1

1

25.1

5

15.0)(

s s s s sG +−

++

+=

d)3

5.0125.0

2

5.05625.0

2

5.05625.0)(

s s j s

j

j s

j sG +−

++

+−

−=

e) s s s sG100

697.0

94.110

303.4

94.110)( ++−+=

f) s j s j s s

sG25.0

1

25.0

1

25.0

2

25.0)( +

++−

−+−

−=

g) se j s

j

j s

j

s sG 2

866.05.0

4434.15.2

866.05.0

4434.15.2

1

5)(

−

++

+−+

−+−−

++

=

h)( ) s s s j s

j

j s

j sG

4

5.0

6.1

5.0

48.432.024.032.024.0)(

2+

+−

+−

+−

+−+

=

i) se s s j s

j

j s

j

s s j s

j

j s

j sG −

+

+−

+−−

+−

+−++

++

++−

+−

−−=

25

1

20

2

55.2

2

55.20

1

20

2

510

2

510)(

j)( ) ( ) s j s

j

j s

j j s j

j s j sG 5.0

3229.15.0

1890.02143.0

3229.15.0

1890.02143.03229.15.0675.025.0

3229.15.0675.025.0)(

22+

++−−+

−++−+

+++−+

−+−−=





k)( ) ( )32

1

1

1

2

1

0)(

+−

++

+=

s s s sG

l)62.3

1

38.1

6.2

1

24.0)(

+−

++

+−

+= s s s s

sG

M3.

a) t t t t eeeet g 3456 333.31520333.8)( −−−− ⋅−⋅+⋅−⋅=

b) t t eet g t t ⋅+⋅+⋅−⋅= −− 4167.0)(12431.09375.06944.0)(46

c) t t eet g t t ⋅+⋅−⋅+⋅= −− 2)(14.125.115.0)(5

d) 225.0)(1125.04.3182cos505.1)( t t t t g ⋅+⋅−+⋅= o

e) )(110094.11094.110)( 697.0303.4 t eet g t t ⋅+⋅−⋅= −−

f) )(125.0cos5.025.0)( 2 t t eet g t t ⋅+⋅−⋅= −−

g) ( ) ( ) ( )225.0 52102866.0cos773.5)( −−−− ⋅++−⋅= t t et et g o

h) )(146.148.41.53cos8.0)(5.05.0 t et et t g t t ⋅+⋅⋅−⋅−+⋅= −−o

i) ( )( )

( )1125205.11612cos1803.11204.1532cos3607.22)(1

−⋅+−+−⋅++−=−−−

t et et t g t t oo

j) )(15.09.1643229.1cos2590.09.1643229.1cos5179.0)( 5.05.0 t t tet et g t t ⋅++⋅+−⋅= −− oo

k) t t et tet g −− ⋅−⋅= 25.02)(

l) t t t eeet t g 62.338.16.22)(14.0)( −−− −+⋅−⋅=

M4.

a) )( sY =( )( )41

242

++++

s s s

s s=

s

5.0−

1

3333.0

+ s+

4

1667.0

+ s

)(t y = )(15.0 t ⋅ − t e−⋅3333.0 + t e 41667.0 −⋅

b) )( sY =

( )( )( )321

2

+++

−

s s s

s=

1

1

+ s

−2

4

+ s

+

3

3

+ s)(t y =

t e−

t e 24

−⋅− +t e 3

3−⋅

c) )( sY =( )( )42

8622

2

++

++

s s

s s=

2

5.0

+ s+

2

75.075.0

j s

j

−−

+2

75.075.0

j s

j

++

=2

5.0

+ s+

2

0607.1o45

j s

e j

−

−+

2

0607.1o45

j s

e j

+

)(t y =t

e2

5.0−⋅ + o452cos1213.2 −⋅ t

d) )( sY =( )( )31

332

++++

s s s

s s=

s

1 −

1

5.0

+ s+

3

5.0

+ s

)(t y = 1(t )t e−⋅− 5.0 +

t e 35.0

−⋅

e) )( sY =

( )2

1

3

3

+

+−

s s

s= −

2

125.1

+ s

+

s

125.0−

2

25.0

s

+3

5.0

s

)(t y =t

e2

125.1−⋅− + )(1125.0 t ⋅ t ⋅− 25.0 +

225.0 t ⋅

f) )( sY =( )( )163

322

2

++

+

s s

s=

3

64.1

+ s+

4

24.032.0

j s

j

−−−

+4

24.032.0

j s

j

++−

=3

64.1

+ s+

4

4.0o1301.143

j s

e j

−

−+

4

4.0o

1301.143

j s

e j

+

)(t y =t

e3

64.1−⋅ + ( o1301.1434cos8.0 −⋅ t





g) )( sY =( )54

11032

2

+++−−

s s s

s s=

s

2.0+

j s

j

−++−2

2.26.1+

j s

j

−+−−2

2.26.1=

s

2.0+

j s

e j

−+ 2

7203.2o

0274.126

+

j s

e j

++

−

2

7203.2o

0274.126

)(t y = )(12.0 t ⋅ + o2 0274.126cos4406.5 +⋅ − t e t

h) )( sY =( )( )( )321

6

++++

s s s

s=

1

5.2

+ s−

2

4

+ s+

3

5.1

+ s

)(t y =t e−⋅5.2

t e 24

−⋅− +t e 3

5.1−⋅

i) )( sY =( )( )224

108222

23

+++

+++

s s s

s s s=

2

15.03.0

j s

j

−+−

+2

15.03.0

j s

j

−−−

+ j s

j

−+−1

1.03.1+

j s

j

+++1

3.03.1=

2

3354.0o4349.153

j s

ej

−+

2

3354.0o4349.153

j s

ej

+

−

+ j s

ej

−+

−

1

3038.1o3937.4

+ j s

ej

++1

3038.1o3937.4

)(t y = )o4349.1532cos6708.0 +⋅ t + )o

3937.4cos6077.2 −⋅ − t e t

j) )( sY =( )( )12

215922

234

++

++++

s s s

s s s s=

2

5

+ s+

1

1

+−

s+

( )21

9

+ s+

s

2−+

2

1

s

)(t y =t

e2

5−⋅ −

t e

−+

t te

−⋅9 − )(12 t ⋅ + t

k) )( sY =( )4

2223

34

+

++

s s

s s=

s

125.0−+

2

0

s+

3

5.0

s+

2

5.05625.0

j s

j

−−

+2

5.05625.0

j s

j

++

=

s

125.0−+

3

5.0

s+

2

7526.0o6.41

j s

ej

−

−

+2

7526.0o6.41

j s

ej

+

)(t y = − )(1125.0 t ⋅ +2

25.0 t +o

6.412cos5124.1 −⋅ t

l) )( sY =( )( )63136

1018722

23

++++

−−−−

s s s s

s s s=

23

075.0025.0

j s

j

−++

+23

075.0025.0

j s

j

++−

+9365.15.1

2259.0525.0

j s

j

−+−−

+9365.15.1

2259.0525.0

j s

j

−+−−

=

23

0791.0o6.71

j s

ej

−++

23

0791.0o6.71

j s

ej

++

−

+9365.15.1

5715.0o7.156

j s

ej

−+

−

+9365.15.1

5715.0o7.156

j s

ej

++=

)(t y =o6.712cos1582.0 3 +⋅ −

t e t +

o7.1569365.1cos143.1 5.1 −⋅ − t e

LITERATURA

1. Amborski K., A. Marusak, Teoria sterowania w ćwiczeniach, PWN, Warszawa, 1978.2. Nise N. S. ControlSystems Engineering , 3

rdedn, John Wiley & Sons, 2000.

3. Próchnicki W., M. Dzida, Zbiór zadań z podstaw automatyki, Gdańsk, 1993.4. Tomera M., Rachunek operatorowy Laplace'a, http://www.am.gdynia.pl/~tomera/teoria_ster.htm.

Rachunek Operatorowy Matlab

Documents

Transcript of Rachunek Operatorowy Matlab