Projekt Edukacyjnyw Gimnazjum w Zespole Szkół

im. Armii Krajowej w Brańsku

w roku szkolnym 2011/2012

Seria bryłCele projektu: -utrwalamy i rozszerzamy wiadomości o bryłach-co matematycznego powinno łączyć bryły?-budujemy serie składającą się z trzech brył

Czas realizacji-semestr pierwszy 2011/2012

Wykonawcy:Dawid Borowski ,Wojciech Dąbrowski, Karol Gołko, Mateusz Jakoniuk, Paweł Kamiński, Kacper Malinowski, Anna Pietrzykowska, Marcin Wiszniewski

Opiekun: Elżbieta Wisłocka

Seria brył

Wielościany

Definicje

Stereometria jest działem geometrii euklidesowej, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości.

Wielościan- część przestrzeni (bryła) ograniczona ze wszystkich stron wielokątami, leżącymi w różnych płaszczyznach w taki sposób, że każdy bok jest wspólny dla dwóch wielokątów wraz z tymi wielokątami.

Wielościan wypukły - wielościan będący bryłą wypukłą, czyli taki, że dowolny odcinek o końcach w wielościanie zawiera się w nim cały. Bryłą nie spełniającą tego warunku nazywa się bryłą wklęsłą.

Wie

lośc

ian

Modele

Graniastosłupem nazywamy taki wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są wielokątami przystającymi leżącymi na płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami.

G

rani

asto

słupy

Modele

Opis

gran

iast

osłu

pa

wierzchołek

podstawa

ściana boczna

n + 2 ilość ścian (n ścian bocznych i 2 podstawy )

3n ilość krawędzi (n krawędzi bocznych i 2n krawędzi podstaw )

2n ilość wierzchołków

krawędź podstawy

krawędź boczna

Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego

Graniastosłupy

Prosteściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw)

Pochyłeściany boczne są równoległobokami

(nie są prostopadłe do podstaw)

R

odza

je g

rani

asto

słupó

w

Graniastosłupy proste – szczególne przypadki

prostopadłościan – wszystkie jego ściany są prostokątami

sześcian - wszystkie jego ściany są kwadratami

Bryły wykonał-Karol Gołko

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedną ze ścian, zwaną podstawą, jest wielokąt, a pozostałe ściany są trójkątami posiadającymi jeden wspólny wierzchołek, zwany wierzchołkiem ostrosłupa. Trójkąty te nazywamy ścianami bocznymi.

Ostro

słupy

Modele

Opis

ostro

słupa

ściana boczna

podstawa

wierzchołekkrawędź boczna

krawędź podstawy

n + 1 ilość ścian (n ścian bocznych i 1 podstawa)2n ilość krawędzi (n krawędzi bocznych i n krawędzi podstaw)n + 1 ilość wierzchołków

Charakterystyka ostrosłupa n-kątnego

Ostrosłupy - szczególne przypadki

Czworościan - wszystkie jego

ściany są trójkątami

Czworościan foremny - wszystkie

jego ściany są trójkątami

równobocznymi

Rodz

aje

ostro

słupó

wOstrosłup prawidłowy

jest to ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są jednakowymi trójkątami równoramiennymi

Proste Pochyłe

Ostrosłupy

Przekroje graniastosłupów

Przekroje ostrosłupów

Przy

kład

y pr

zekr

ojów

wi

eloś

cianó

w

Wie

lośc

iany

ni

ewyp

ukłe

graniastosłup prawidłowy pięciokątny gwiaździsty ośmiowklęsły ośmiościan

- wklęsły wielościan jednorodny, powstaje z ośmiościanu foremnego.

Bryłą nie spełniającą warunku wypukłości nazywa się bryłą wklęsłą.

Przykłady

oznaczmy: n liczba krawędzi podstawy

w graniastosłupie mamy:S=n+2 W=2nK=3nwtedy: S + W- K=(n+2)+2n-3n=2

np. w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym

mamy: S=6+2=8 W=2•6=12K=3•6=18wtedy: S+W-K=9+12-18 = 2

w ostrosłupie mamy:S=n+1W=n+1K=2n

wtedy: S+W- K=(n+1)+(n+1)- 2n =2

np. w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy:S=6+1=7W=6 +1= 7K=2•6=12wtedy:

S+W-K=7+7-12 = 2

Szczególnymi przykładami wielościanów są wielościany foremne.

Wielościan foremny - wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian.

Istnieje dokładnie pięć wypukłych wielościanów foremnych. Noszą one wspólną nazwę brył platońskich.

Wła

ściw

ości

Modele brył platońskich

Elementy wielościanów foremnych

czworościan foremny

tetraedrem

prostopadłościan foremny heksaedr

ośmiościan foremny oktaedr

dwunastościan foremny

dodekaedr

dwudziestościan foremnyikosaedr

S= 4 trójkątyK= 6 W= 4

S=6 kwadratówK=12W=8

S=8 trójkątówK=12W= 6

S= 12 pięciokątówK=30W=20

S=20 trójkątów K= 30 W=12

Dlaczego „bryły platońskie” To właśnie Platon wyobrażał sobie, że wszechświat tworzą cztery elementy: ogień, ziemia, woda i powietrze, a każda z tych żywiołów zbudowany jest z cząsteczek, które mają kształt wielościanów foremnych. U Platona cząsteczki ognia mają kształt czworościanów, sześcian symbolizował ziemię, ośmiościan symbolizował powietrze, dwudziestościan symbolizował wodę, dwunastościan miał symbolizować eter (wg filozofów była to substancja wypełniająca cały wszechświat).

W starożytności bryłom tym przypisywano też pięć znanych wówczas planet : czworościan był uosobieniem planety Jowisz, sześcian- Saturn, ośmiościan – Merkury, dwunastościan - Mars, dwudziestościan - Wenus. - stąd do dziś nazwa "wielościany kosmiczne".

W XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego - układu słonecznego. Bryły te były umieszczone wewnątrz sfery reprezentującej orbitę Saturna.

Dziś już dzięki Euklidesowi możemy dowieść, że jest ich dokładnie pięć.Źródło:http://en.wikipedia.org/

Źródło:http://gnosis.art.pl

Dlaczego wielościanów foremnych jest tylko 5

O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z twierdzenia Eulera.

Oznaczmy: W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4,K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, S - ilość ścian, S ≥ 4p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. .

Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K

Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/KOno oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi.

Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

WNIOSKI

liczbami ścian wielościanu foremnego mogą być tylko liczby 4, 6, 8, 12, 20.jedynymi wielokątami foremnymi, które mogą być ścianami brył foremnych są te dla których liczba boków b {3, 4, 5}. 3 jest najmniejszą liczbą, dla której mamy wielokąt, dla b = 6 nie jesteśmy już w stanie uzyskać bryły. Sześciokąt foremny ma kąt wewnętrzny 120, a skoro w dowolnym wierzchołku bryły spotkać się muszą co najmniej z = 3 ściany, gdyż 120 × 3 = 360.dla b = 4, 5 w jednym wierzchołku mogą się spotkać jedynie z = 3 ściany,dla b = 3 mogą się spotkać 3, 4, 5 ściany, czyli z {3, 4, 5}.w × z = b × s2k = b × s, podstawiając te wyniki do wzoru Eulera dostajemy :s = s(b, z) = 4z/ 2z + 2b − bzrozważając wszystkie przypadki mamy:s(3, 3) = 4 s(4, 3) = 6 s(3, 4) = 8 s(3, 5) = 20 s(5, 3) = 12.

Bryły platońskie (ze ścianami i bez ścian) narysowane przez Leonarda da Vinci do książki Luca Pacioli pt. Boska proporcja (1509r)

dwunastościan czworościan

ośmiościan

sześcian dwudziestościan

Leonardo Da Vinci - Sześciany

Dwunastościan na obrazie "Ostatnia wieczerza" Salvadora Dali.

Studium fontanny Loenarda Da Vinci (w środku m.in. czworościan wpisany w sześcian)

Dwunastościan gwiaździsty mały znajduje się na posadzce bazyliki św. Marka w Wenecji –

autor Paolo Uccello

Nagrodzony Noblem trójwymiarowy model struktury

atomowej węgla C60 składający się ze ścian pięcio- i

sześciokątnych

Ciekawostki

Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w "Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one:

Dwunastościan i dwudziestościan z brązu z czasów rzymskich, których przeznaczenie nie jest znane.

Pszczeli sekret

Pszczoły poza tym, iż są bardzo pracowite, mają też ogromną wiedzę

matematyczną. Pszczoły budują z wosku komórki w kształcie

prawidłowych graniastosłupów sześciokątnych. Graniastosłupy

takie nie tylko szczelnie wypełniają przestrzeń, tworząc

charakterystyczny "plaster miodu", ale jednocześnie zużywają najmniejszą ilość budulca.

Kształty kryształówStruktura hydratu metanu

Kryształ soli kuchennej

Kryształ hexagonalny

Piłka futbolowa

Piłka futbolowa uszyta jest z wielokątów. Gdyby nie elastyczność materiału, z którego jest wykonana, byłaby wielościanem - dwudziestościanem ściętym.

Dwudziestościan ścięty to wielościan półforemny o 32 ścianach w kształcie 20 sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów foremnych. Posiada 90 krawędzi i 60 wierzchołków.

Wzór Eulera S + W - K= 2

32 + 60 - 90 = 2podana w tw. Eulera równość zachodzi.

Seria graniastosłupów o podstawach takich jak figury w tangramie i

jednakowej wysokości, z których można złożyć jeden prostopadłościan

TANGRAM

Tangram – chińska gra znana od ok. 3000 lat. Tangram to kwadrat, który składa się z 7 części (tan):

Siatki graniastosłupów o podstawach takich jak figury w

tangramie i jednakowej wysokości

Wykonane przez nas

graniastosłupy

Prostopadłościan- seria siedmiu graniastosłupów

Seria brył obrotowych o podstawach przystających

BRYŁY OBROTOWE

Stożek

WalceKula

Seria brył obrotowych- takie same podstawy

Podsumowanie

-Nauczyliśmy się rozpoznawać różne bryły (graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe, wielościany platońskie).-Potrafimy rysować i sklejać siatki tych brył. -Umiemy składać nasze modele w serie brył.-Do tej pory o niektórych bryłach nie uczyliśmy się jeszcze na lekcjach matematyki

Bibliografia• Matematyka dla klas I, II, III Gim.- podręcznik GWO.• Matematyka w Szkole- nr. 17 listopad-grudzień 2002r.• Internet: Wikipedia