Programowanie sieciowe

Programowanie sieciowe

wykład przygotowano w oparciu o: D. Witkowska „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu, Menadżer, Łódź 2000 i D. Witkowska „Zbiór

zadań z badań operacyjnych, Horyzont, Łódź 2004.

April 21, 2023 dr inż. Iwona Staniec

Przedsięwzięcie

to zorganizowane działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasu - z wyróżnionym początkiem i końcem - oraz zrealizowane przez skończoną liczbę osób, środków technicznych, energii i materiałów, środków finansowych i informacji.


Zdarzeniami

są pewne ważne punkty analizowanego przedsięwzięcia, którym przyporządkowuje się pewne momenty czasu.

Zaistnienie konkretnego zdarzenia nie pochłania żadnych kosztów i nie jest rozłożone w czasie.


Czynność polega na wykonaniu pewnego zadania, na

realizację którego potrzebny jest pewien okres czasu, a także (najczęściej) określone środki materialne, stanowiące koszty realizacji danej czynności.

Czynności pozorne (fikcyjne), które nie wymagają nakładów czasu ani środków. Są one wprowadzane do sieci w celu zaznaczenia kolejności występowania innych czynności.


Ciągiem czynności

nazywa się kolejne, następujące po sobie czynności takie, że zdarzenie końcowe pewnej czynności jest jednocześnie zdarzeniem początkowym dla czynności następnej. Przy czym każde zdarzenie w ciągu czynności jest zdarzeniem początkowym i końcowym tylko dla jednej czynności.


Pod pojęciem sieci zależności rozumie się graficzne przedstawienie planu przedsięwzięcia, uwzględniające wzajemne logiczne zależności między czynnościami.

Zdarzeniem początkowym w sieci nazywamy zdarzenie, które nie jest końcem żadnej czynności, a zdarzeniem końcowym - zdarzenie, które nie jest początkiem żadnej czynności.


Ścieżka krytyczna

to nieprzerwany ciąg czynności, prowadzący od zdarzenia zerowego do zdarzenia końcowego, posiadający najdłuższy czas trwania. Warunkuje najkrótszy czas wykonania przedsięwzięcia.

Natomiast czynności krytyczne to czynności leżące na ścieżce krytycznej.


Do najbardziej znanych metod analizy sieciowej należą:

analiza ścieżki krytycznej CPM (Critical Path Method) - metoda deterministyczna;

PERT (Program Evaluation and Review Technique) - metoda probabilistyczna.


Analiza CPM

Postępowanie przy budowie sieci można podzielić na następujące etapy:

• ustalenie listy czynności wchodzących w skład przedsięwzięcia,

• ustalenie zdarzenia początkowego i końcowego przedsięwzięcia,

• określenie kolejności wykonywania czynności,

• numeracja węzłów w sieci.


Dla wszystkich zdarzeń w sieci wyróżnia się dwa momenty ich zaistnienia tj. najwcześniejszy i najpóźniejszy (termin zajścia zdarzenia i-tego).

zapas całkowity, który informuje o ile można opóźnić daną czynność bez wydłużania terminu realizacji całego zadania, opisanego przez sieć, co można zapisać w następujący sposób:

ijijcij tttF 01


PrzykładCzas trwania czynności

(w dniach)Czynność(i - j)

normalny nijt

1-21-32-32-43-44-5

222341

ABCDEF

AAB,CD, E


1

0 0

2

2 2

3

4 4

4

8 8

5

9 9

2(1)

32

2(1)

4(2)

1

A

B C

D

E F


Analiza CPM-COST

Przyjmujemy, że funkcję kosztów w przedziale określonym przez czas graniczny i czas normalny można aproksymować za pomocą funkcji liniowej oraz, że skrócenie czasu trwania jednej czynności nie wpływa na czas trwania pozostałych.


Przyjmujemy, że czas realizacji czynności (i - j) możemy maksymalnie skrócić o , co można zapisać jako:

Skrócenie czasu realizacji czynności

(i-j) o spowoduje przyrost kosztów o , który wyznaczymy z relacji:

Wówczas iloraz:

określa wzrost kosztów związany ze skróceniem czasu trwania czynności (i - j) o jednostkę czasu.

ijt

gij

nijij ttt

ijknij

gijij kkk

ij

ijij t

ks

ijt


Podstawowym założeniem analizy czasowo - kosztowej jest przyjęcie, że koszty realizacji całego przedsięwzięcia są sumą kosztów bezpośrednich i pośrednich, czyli:

Koszty bezpośrednie rosną wraz ze skracaniem czasu realizacji przedsięwzięcia.

Koszty pośrednie maleją wraz ze skracaniem się czasu realizacji przedsięwzięcia.

PB KKK


Przykład

Czas trwania czynności(w dniach)

Koszty bezpośrednie(w tys. zł)

Czynność(i - j)

normalny nijt graniczny gijt normalne nijk graniczne gijk

1-21-32-32-43-44-5

222341

121321

9710988

147139128

5

3

2

Przyjmijmy, że skrócenie czasu trwania przedsięwzięcia o jeden dzień powoduje zmniejszenie kosztów pośrednich o 4 tys. zł. Natomiast koszt pośredni realizacji całego przedsięwzięcia w czasie normalnym wynosi 70 tys. zł.


Zestawienie kosztówCzas trwania

przedsięwzięcia(w dniach)

Kosztbezpośredni

(w tys. zł)

Kosztypośrednie(w tys. zł)

Koszt całkowity(w tys. zł)

9 51 70 1218 53 66 1197 55 62 1176 58 58 1165 63 54 117


Analiza PERT

Parametry opisujące poszczególne czynności projektu mają charakter probabilistyczny. Zatem do oceny parametrów poszczególnych czynności wykorzystano wartości stochastyczne, przyjmując, że rozkład prawdopodobieństwa występowania różnych czasów trwania odpowiada znanemu w probabilistyce rozkładowi beta, którego szczególnym przypadkiem jest rozkład normalny.


W uproszczonej postaci wartość przeciętna zmiennej losowej T wyraża się wzorem:

a-czas optymistyczny (najkrótszy możliwy czas trwania czynności);

b-czas pesymistyczny (najdłuższy możliwy czas trwania czynności);

m-czas modalny, najbardziej prawdopodobny.

6

4)(

bmatTE e


Wariancję czasów trwania poszczególnych czynności obliczmy według wzoru:

Natomiast wariancja terminu wykonania przedsięwzięcia jest równa sumie wariancji dla czynności krytycznych, ponieważ czasy trwania czynności są niezależnymi zmiennymi losowymi.

2

2

6

ab

ij


Przykład

Czynność Czas trwania czynności (w dniach)optymistyczny modalny pesymistyczny

1-2 1 2 31-3 3 3 32-3 1 4 72-5 3 4 53-4 1 1 13-5 2 3 44-5 1 1 1


Przykład c.d.

Czynność Czas trwania czynności(w dniach)

Czasoczekiwany

Wariancja czasutrwania

a m b te2

ij

1-2 1 2 31-3 3 3 32-3 1 4 72-5 3 4 53-4 1 1 13-5 2 3 44-5 1 1 1

6

4)(

bmatTE e

23

4413

1

2

2

6

ab

ij

0,11010,1100,110

22,111,0111,02

53

2

32

2

21

2 wt


Przykład c.d.

1

0 0

2

2 2

3

6 6

4

7 8

5

9 9

1,2,3 3,4,5

3,3,31,4,2 2,3,4

1,1,1

1,1,1

2 4

34 3

1

1


W celu określenia prawdopodobieństwa

że przedsięwzięcie zostanie zakończone w czasie td, korzystamy z własności zmiennej losowej o rozkładzie normalnym

wwww t

wd

t

wd

t

wd

t

wd

ttttuP

ttttPttP

wtwtNt ;


Ocena prawdopodobieństwa

Wartość tego prawdopodobieństwa powinna znajdować się w granicach od 0,25 do 0,6.

Jeśli p<0,25 to istnieje znikoma szansa dotrzymania terminu td.

Jeśli p>0,6 to istnieją nie wykorzystane moce produkcyjne do wykonania przedsięwzięcia w terminie td.


Przykład

Dla poprzedniego przykładu określić prawdopodobieństwo dotrzymania terminu dyrektywnego 8 dni.

1,19 Czas wykonania przedsięwzięcia

wwww t

wd

t

wd

t

wd

t

wd

ttttuP

ttttPttP

1841,08159,019,019,01,1

98


Jeżeli w sieci występują dwie lub więcej ścieżek krytycznych

dla każdej ścieżki obliczamy odchylenie standardowe;

dla każdej ścieżki obliczmy prawdopodobieństwo;

prawdopodobieństwo dla całego projektu to iloczyn prawdopodobieństw, gdyż są to zdarzenia niezależne.


1

0 0

2

2 2

3

4 4

4

6 6

5

7 7

2(1)

32

2(1)

2

1

Graf zależności po skróceniu czynności (3-4)


1

0 0

2

2 2

3

4 4

4

5 5

5

6 6

2(1)

21

2

1

3



1

0 0

2

1 1

3

2 2

4

4 4

5

5 5

1

32

1

2

1


Programowanie sieciowe

Documents

Transcript of Programowanie sieciowe