PREZENTACJA MULTIMEDIALNA

Obliczanie

prawdopodobieństw

metodą drzewa

Autorzy: Hanna Szmyt

Urszula Szóstka

Jednoetapowe lub wieloetapowe doświadczenia losowe możemy ilustrować za pomocą drzew.

węzłykrawędzie

Doświadczenie jednoetapowe

START

START

I etap

II etap

wierzchołki

gałąź drzewa

Doświadczenie dwuetapowe

p1 p2

q1q2 q3

q4

p1 + p2 = 1 q1 + q2 = 1 q3 + q4 = 1

p1 p2

q1q2 q3

q4

Reguła iloczynów

P(A) = p1q1

Reguła sum

p1 p2

q1q2 q3

q4

P(B) = p1q1 + p2q3

Przykład

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) wyrzucenia trzech reszek; b) wyrzucenia dokładnie dwóch

orłów.

RR,R,;RR,O,;RO,R,;OR,R,;OO,R,;OR,O,;RO,O,;OO,O,Ω

8Ω

RR,R,A 1A

81P(A)

OO,R,;OR,O,;RO,O,B 3B

83P(B)

Rozwiązanie

a)

b)

AP(A)

O R

O R O R

O R O R O R O R

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

I rzut

III rzut

II rzut

O R

O R O R

O R O R O R O R

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

81

21

21

21AP

a)

O R

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

O O

O O O O

RR

R R R R

b)

83

21

21

213BP

W urnie znajduje się 5 kul białych oraz 7 kul czarnych. Losujemy 2 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) wylosowania dwóch kul białych; b) wylosowania dwóch kul różnokolorowych.

Zadanie

117

114

115

116

B C B C

B C

127

125

a)

335

114

125AP

Rozwiązanie

117

114

115

116

B C B C

B C

127

125

6635

13235

115

127

117

125 2BP

b)

Zadanie domowe

Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry, układając je w kolejności losowania w liczbę dwucyfrową. Pierwsza z nich jest cyfrą dziesiątek, druga – cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby dwucyfrowej: a) parzystej; b) większej od 40.

DZIĘKUJĘ

ZA

UWAGĘ