Prędkość kątowa

dtdΘ

ω

dtdω

α Przyśpieszenie kątowe

r F

Moment siły

• W którym przypadku moment siły jest większy?

(a)(a) 1

(b)(b) 2

(c)(c) 1=21=2

L

L

F F

osie

1 2

Moment siły

Moment siły

= r F sin

= r sin F

= rpF

Z definicji momentu siły:

rr

rp

FF

Ft

Fr

Ruch obrotowy• Załóżmy, że cząstka porusza się po okręgu. Niech na

cząstkę działa siła F. Siła ta powoduje przyspieszenie

styczne:

• at = r

Z II zasady Newtona w kierunku stycznym:

Ft = m at = m r

r Ft = m r 2 r

aat

FF

m

rr^

^

Ft

Ruch obrotowyrFt = mr2niech

Moment siły: = rFt.

• Moment siły ma kierunek:– + z jeśli powoduje ruch w kierunku przeciwnym doruchu wskazówek zegara

- z w przeciwnym przypadku.

•

I=

I=

2mr=I

r

aat

FF

m

rr^

^

Ft

Moment pędu(cząstki)

r

Lp

O

prL

i

j

Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:

kvrmmi

iiii

iiiii

i vrprL

Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:

rr1

rr3

rr2

m2

m1

m3

vv2

vv1

vv3

LL jest w kierunku z.

vi = ri

(ri prostop. do vi )

Analog p = mv!!

krmLi

2

iiˆ

L =I

L =I

Moment pędu cząstki swobodnejMoment pędu cząstki względem początku

układu odniesienia

y

x

vv

L r p

Pokażemy, że moment pędu tej cząstki jest różny od zera, mimo, że cząstka nie obraca się.

Moment pędu cząstki swobodnej cd.

• Rozważmy cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż prostej y= -d z prędkością v. Oblicz moment pędu względem (0,0)?

x

vv

md

y

Moment pędu cząstki swobodnej cd.

Moduł momentu pędu:

rr i pp leżą w płaszczyźnie x-y , więc LL będzie w kierunku osi z

sin sinrp p r pd L r p

ZL pd const

y

x

pp=mvvd

r r

II zasada dynamiki Newtona V;Zasada zachowania momentu pędu

d

dt

L��������������

pr

dt

d dt

d

dt

d prp

r

dt

dpr

netFr

net

(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu.

wyp

d

dtL

��������������

0,wyp to const τ L

np. Jaka jest końcowa prędkość kątowa?

a

Początkowa

b

końcowa

i

?

Początkowy moment pędu (moduł)

aL =a amv2 aa m2 2

Końcowy moment pędu

L mv mb b2

bb = b 2 2

Z zasady zachowania momentu pędu ( moment sił zewnętrznych równy zero): ab

b

a

2

2

Zagadka: Zmiana energii kinetycznej:

01m2

m2

2

m2K 2

2

22

2222

tot

a

ab

b

aa

ab

Kto wykonał pracę?

L

I i II prawo Keplera

rd

L

rdA

I. Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc L=const. Ponieważ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, że ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską.

II. Prędkość polowa jest stała.

.constvr

mm2

1dt

dA

dt

d

2

1 rr

m2

L

Bryła sztywna

Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną.

A

iv

i

irA

Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego.

AiAi rωvv

Środek masy

• Dla bryły sztywnej:

y

x

dm

rr

dmrRM CoM

dVrDRM CoM

dV

dmD

Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii

gęstość,

Centre of mass

End of hammer

1. Ruch postępowy środka masy2. Obrót wokół środka masy

Ruch bryły sztywnej

przykład

Rαa

α52

αIRfτ

MafmgsinβF

cm

2cm

cmx

MR

II zasada dynamiki Newtona (VI)(moment pędu układu cząstek)

dt

dL

i

idtd

l

i

i

dt

d l

i

i,net

i

izewni

iwewn ,, i

izewn, zewn

(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu:

ddt ext

L

i

j

Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:

kvrmmi

iiii

iiiii

i vrprL

Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:

rr1

rr3

rr2

m2

m1

m3

vv2

vv1

vv3

LL jest w kierunku z.

vi = ri

(ri prostop. do vi )

Analog p = mv!!

krmLi

2

iiˆ

L =I

Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi

m1

1

y

x

z

r1

v1

L1

1) Rozważmy masę m1 przyczepioną do pręta o długości 1, który obraca się z prędkością wokół osi z.

pęd masy m1 : p1 = m1v1

gdzie v1 : v1= x 1

moment pędu L1:

L1= r1 x p1

Składowa r1 prostopadła do to p1 (i do v1) to wektor 1 więc składowa

z momentu pędu, Lz1:

Lz1= x p1

Lz1 = 1x mv1 lub Lz1 = x m( x 1)

stąd

moment pędu, L

Lz1= m

m1

1

y

x

z

r1

v1

L1

Ustalona lub chwilowa oś obrotu(II ZDNewtona VIII)

F

F

Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.

Idt

dI

dt

dL ,ext ,extI

Moment bezwładności

A

A

Układ cząstek :

I m rA i ii

'2

Ciało stałe

ciało

A dmrI 2'

r’

dm

ri’

mi

Osie główne• Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których L jest zawsze równoległe do :

L= I.

Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają sie głównymi momentami bezwładności. • Jesli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii. np. sześcian, kula.

np. Moment bezwładności jednorodnego pręta

dxL

MxI 2

y0

L

L

0

3

3

x

L

M 2ML3

1y

dx

x

L

cmI

2/L

2/L

2 dxL

Mx

2/L

2/L

3

3

x

L

M 2ML12

1

Obrót wokół końca

Obrót wokół środka

np. Moment bezwładności jednorodnego koła

d

dr

r

okrąg

A dmrI 2 drrd

R

Mr 2

2

0

R

0

2

R

0

2

0

32 drdr

R

M

4

R

R

M2

4

22MR

2

1

Twierdzenie Steinera

I = ICM + MD2

L

D=L/2M

xCM

ICM ML1

122

IEND ML ML

ML

1

12 2

1

32

22

ICMIEND

Momenty bezwładności

I MR 2

R

I 1

22MRR

Moment bezwładności

I 2

52MR

R

I 1

22MR

R

Moment bezwładności

I 1

122ML

L

I 1

32ML

L

Moment pędu i prędkość kątowa

l

L

W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej.

i

vrL iii m

iirr

ii m i

i2ii rm irr

r’

i

2ii

i

2i

2ii

iii

2iiz 'rmzrmzzrmL

;

iiiix xzmL ;

iiiiy yzmL

Wpływ symetrii

i

2iiz 'rmL

0xzmLi

iiix

0yzmLi

iiiy

Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej

i

2ii 'rmI

jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi

II zasada dynamiki Newtona ( VII)(dla ruchu obrotowego bryły sztywnej)

dt

dI

dt

dL

extI

Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.

extI

Praca w ruchu obrotowym• Praca siły FF działającej na ciało, które może obracać się wokół

ustalonej osi.

• dW = FF.drdr = F R dsin()= FR sin() d

dW = dW po scałkowaniu:

W = • Analog W = F •r• W < 0 jeśli i mają przeciwne zwroty!

R

FF

dr = R ddoś

Praca i moc w ruchu obrotowym

rd

F

d

d

dW rdF rF

d

Fr

d

d

ddW P

a)(cbb)(acc)(ba

Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa

i

i,oo, KK i

2ii 'rm

2

1

i

2iivm

2

1

2

i

2ii 'rm

2

1 2I2

1

2o,o, I

2

1K

Praca i energia kinetyczna:

K = Wwyp

Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

wyp22 WI

21 ifK

Praca i energia kinetyczna:

K = Wwyp

Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.

• Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

wyp22 WI

21 ifK

T

Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet.

(całkowita energia kinet.)Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu

cdW dKcW Klub

Wr

d

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej

i

2iitot vm

2

1K

i

2iAim

2

1rv

i

iAii

2ii

i

2Ai 2m

2

1m

2

1vm

2

1rvr

i

iiA

22i

ii

2A

ii m'rm

2

1vm

2

1rv

Jeśli środek masy jest w punkcie A:

2cmMv

2

1 2cm,I

2

1 0totK TK cm,K

Praca i energia• Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach

ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach.

– Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura?

(a)(a) 1

(b)(b) 2

(c)(c) 1=2 FF

1 2

Praca i energia

FF

1 2

d

Praca jest ta sama!W = Fd

Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = K.

K 12

2I

Ponieważ I1 = I2

1 = 2

Spadający ciężarek i krążek

• Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej:

K = Wwyp= mgL I

m

R

T

v

L

22f

2f

ii2f

2f

2i

2f

2i

2f

R/vI21

vm21

KΔ

)0ω0;(vωI21

vm21

KΔ

ωωI21

vvm21

KΔ

Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =Wwyp =K a stądK + U = 0 czyli E=K + U = constTen sam wynik można zatem otrzymać korzystając z

zasady zachowania energii mechanicznej:Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL.Dla ciężarka na wysokości y=0:

E=K=Ktransl+Kobrot

zatem:

Ktransl+Kobrot =mgL

I

m

R

T

v

L

y

0

Żyroskop

Żyroskop

Irw

LdtLdL

dtd /

Prędkość precesji

w

N