Praca dyplomowa magisterska - Politechnika Gdańska · Praca dyplomowa magisterska Modelowanie...

Praca dyplomowa magisterska

Modelowanie straty przy użyciu GLM i kopuł

Sylwia Piotrowska

Rok akademicki 2017/2018

Spis treści

Wstęp i cel pracy 3

1 Kopuły 4

1.1 Definicja kopuły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Własności kopuł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Twierdzenie Sklara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Kopuły a tau Kendall’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Rodziny kopuł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Estymacja łącznej szkody z wykorzystaniem kopuł 19

2.1 Kopuła dla ciągło-dyskretnych rozkładów brzegowych . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Rozkład łącznej szkody z polisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Rozkłady brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Model rozkładu łącznego dla średniej wartości szody i liczby szkód z wyko-

rzystaniem kopuły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Estymacja łącznej szkoda z polisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Modele regresyjne 30

3.1 Zagadnienie klasyfikacji w ubezpieczeniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Uogólnione modele liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 GLM dla liczby szkód i średniej wartości szkody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Modelowanie niezależne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Modelowanie z wykorzystaniem kopuły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Podsumowanie 52

A Dodatek: podstawowe elementy rachunku prawdopodobieństwa 53

B Dodatek: rozkłady zmiennych losowych 57

C Dodatek: estymatory największej wiarogodności 59

D Dodatek: kody programów 61

Wykaz rysunków i tabel 68

Wykaz literatury 69

2

Wstęp i cel pracy

W życiu każdego człowieka dochodzi do zdarzeń, które są od niego niezależne i w ogólności są

postrzegane jako przypadkowe. Niektóre z tych zdarzeń mogą nieść ze sobą koszty, straty lub innego

rodzaju skutki wyrażane w jednostkach pieniężnych. Aby człowiek mógł zwiększyć poczucie swo-

jego bezpieczeństwa, powstały instytucje takie jak towarzystwa ubezpieczeniowe, które świadczą

ochronę ubezpieczeniową dla swoich klientów. Tak więc, aby zabezpieczyć się przed niekorzystnymi

przypadkami losowymi, zawierane są umowy ubezpieczenia, czyli tzw. polisy ubezpieczeniowe. Poli-

sa jest dokumentem potwierdzającym przeniesienie na ubezpieczyciela odpowiedzialności za szkody

powstałe w wyniku zdarzeń ujętych w wykazie tzw. ryzyk ubezpieczeniowych i z tego tytułu obję-

tych stosowną ochroną. Ponadto w umowie ubezpieczenia ubezpieczony jest zobowiązany zapłacić

składkę. Zasadniczo wyróżnia się dwa działy ubezpieczeń: ubezpieczenia osobowe i ubezpieczenia

majątkowe. Do ubezpieczeń majątkowych zalicza się między innymi ubezpieczenia komunikacyj-

ne (w tym ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej od pojazdów mechanicznych - ubezpieczenia

OC), które są najczęściej zawieranymi umowami ubezpieczeń.

Zasadniczym elementem funkcjonowania zakładu ubezpieczeń jest oszacowanie łącznej wartości

szkód w portfelu ubezpieczeniowym, które jest niezbędne do wyceny wartości umów ubezpieczenio-

wych oraz do kalkulacji składki. Stosując pojęcia teorii ryzyka można powiedzieć, że zagadnienie to

sprowadza się do znalezienia rozkładu zmiennej losowej wyrażającej stratę, która w odniesieniu do

ubezpieczeń komunikacyjnych wyraża łączną wartość szkód. Powszechnie stosowanym podejściem

jest przy tym modelowanie średniej wartości szkody oraz liczby szkód jako wielkości niezależnych od

siebie. Następnie określa się łączną wartość szkód powstałych w wyniku pewnych zdarzeń objętych

ochroną ubezpieczeniową w danym czasie, jako iloczyn dwóch wymienionych wielkości. Jednakże,

jak się okazuje, założenie o niezależności wielkości sterujących jest zbyt restrykcyjne i prowadzi

najczęściej do nadmiernego (lub niedokładnego) oszacowania łącznej szkody odpowiadającej danej

polisie, co w konsekwencji wpływa na błędną estymację łącznej szkody w całym portfelu szkód.

Niniejsza praca ma na celu przedstawienie modelu rozkładu łącznej wartości szkód z polisy ubez-

pieczeniowej, który uwzględnia występowanie zależności pomiędzy średnim rozmiarem szkód oraz

ich liczbą. Osiągniemy to poprzez połączenie rozkładów brzegowych dla obydwu tych zmiennych z

rodzinami dwuwymiarowych kopuł. Następnie rozszerzymy przedstawione podejście, zezwalając na

to, aby zmienne losowe wyrażające średnią wartość szkody oraz liczbę szkód zależały od pewnego

zbioru zmiennych dotyczących ubezpieczonego, zatem zastosujemy uogólnione modele liniowe.

Podstawowe definicje i własności kopuł są przedmiotem rozważań rozdziału pierwszego. Zostało

w nim również przedstawione twierdzenie Sklara jako fundamentalne twierdzenie teorii kopuł. W

rozdziale drugim zajęto się modelowaniem łącznej wartości szkody z wykorzystaniem kopuły, który

zezwala na zależność pomiędzy średnią liczbą szkód a ich liczbą dla polisy na podstawie podejścia

zaprezentowanego w pracy [13]. Rozdział trzeci zawiera zagadnienie klasyfikacji w ubezpieczeniach

oraz teorię modelowania uogólnionych modeli liniowych. W przykładzie wykorzystującym dane dla

ubezpieczeń komunikacyjnych stworzono modele regresyjne dla średniej wartości szkody i liczby

szkód.

3

1 Kopuły

Po raz pierwszy słowo kopuła (ang. copula) zostało wprowadzone przez Abe Sklara w 1956 roku

w twierdzeniu, które obecne nosi jego nazwę. Kopuły są zatem dość nowym pojęciem w probabi-

listyce i statystce, a w ciągu kilkunastu lat można zaobserwować znaczny wzrost zainteresowania

kopułami i ich zastosowaniami. Świadczą o tym liczne prace naukowe oraz międzynarodowe kon-

ferencje poświęcone przedstawionej idei.

Czym są zatem kopuły? Z jednej strony można powiedzieć, że kopuły są funkcjami, które łączą

lub „parują” wielowymiarowe dystrybuanty z ich jednowymiarowymi brzegowymi dystrybuanta-

mi. Bądź alternatywnie, kopuły są wielowymiarowymi dystrybuantami łącznymi, których jedno-

wymiarowe rozkłady brzegowe są jednostajne. Najprościej mówi się też, że kopuły są funkcjami

połaczenia [16]. W tym rozdziale przedstawimy ogólne definicje kopuł oraz twierdzenia i własności

kopuł ograniczając się do dwóch wymiarów.

1.1 Definicja kopuły

Zanim wprowadzimy definicję kopuły potrzebne nam będą dwa pojęcia. Przez I2 oznaczamy

kwadrat jednostkowy, czyli produkt kartezjański I×I, gdzie I = [0, 1]. Niech S1 i S2 będą niepustymi

podzbiorami R oraz H będzie funkcją określoną na S1 × S2 o wartościach w R.

Definicja 1.1. [16]

H-objętość prostokąta [a, b]× [c, d] ⊆ S1 × S2 definiowana jest przez

VH([a, b]× [c, d]) = H(b, d)−H(b, c)−H(a, d) +H(a, c).

Definicja 1.2. [16]

Funkcję H nazywamy 2-rosnącą, jeśli VH 0 dla każdego prostokąta [a, b]× [c, d] ⊆ S1 × S2.

H-objętość na [a, b]× [c, d] można interpretować jako pole prostokąta zadane przez funkcję H,

zaś gdy VH 0 oznacza to, że pole dowolnego prostokąta jest nieujemne.

Warto wspomnieć, że w ogólności sformułowanie „H jest 2-rosnąca” nie implikuje, ani nie jest

implikowane przez sformułowanie „H jest niemająca względem każdego z argumentów”. Natomiast

jeśli dodamy dodatkowe założenie (w literaturze zwane grounded), że zbiór S1 ma najmniejszy

element a0, zbiór S2 ma najmniejszy element b0 oraz H(a, b0) = H(a0, b) = 0 dla wszystkich

a ∈ S1, b ∈ S2, wówczas 2-rosnąca funkcja H jest niemalejąca względem każdego argumentu (dowód

tej implikacji można zaleźć w [16]).

Wprowadzimy teraz definicję kopuły w formie charakteryzacji, czyli przedstawimy warunki,

jakie powinna spełniać dana funkcja, aby mogła być kopułą.

Definicja 1.3 (charakteryzacja). [10]

Kopułą 2-wymiarową (w skrócie kopułą) nazywamy funkcję C : I2 → I spełniającą następujące

warunki:

(C1) Dla każdego u, v ∈ I,C(u, 0) = C(0, v) = 0.

(C2) Dla każdego u, v ∈ I,C(u, 1) = u, C(1, v) = v.

4

(C3) Dla każdego u1, u2, v1, v2 ∈ I takich, że u1 ¬ u2, v1 ¬ v2,

C(u2, v2)− C(u2, v1)− C(u1, v2) + C(u1, v1) 0.

Warunki (C1) i (C2) nazywamy warunkami brzegowymi, natomiast warunek (C3) orzeka, że ko-

puła jest funkcją 2-rosnącą. Bardzo często w literaturze spotyka się alternatywną, probabilistyczną

definicję kopuły.

Definicja 1.4.

Kopuła jest dwuwymiarową dystrybuantę skoncentrowaną na I2 o jednostajnych rozkładach brze-

gowych na I.

Teraz będziemy chcieli pokazać, że definicja 1.3 i 1.4 są równoważne, ale zanim to zrobimy

przypomnijmy, jakie warunki musi spełniać dystrybuanta (oczywiście mamy na myśli dystrybuantę

2-wymiarową).

Twierdzenie 1.1.

Funkcja F : I2 → R jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące warunki:

(i) Funkcja F jest niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych (przy ustalonej wartości drugiej

zmiennej).

(ii)

∀x limy→−∞

F (x, y) = 0, ∀y limx→−∞

F (x, y) = 0

oraz

limx,y→+∞

F (x, y) = 1.

(iii) Funkcja F jest prawostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych (przy ustalonej war-

tości drugiej zmiennej).

(iv) Funkcja F jest 2-rosnąca, tzn.

∀x1¬x2∀y1¬y2 F (x2, y2)− F (x2, y1)− F (x1, y2) + F (x1, y1) 0.

Twierdzenie 1.2.

Definicja kopuły w postaci charakteryzacji jest równoważna definicji probabilistycznej.

Dowód : ”⇐=” Oczywisty wniosek z własności dystrybuanty.

”=⇒” Z warunków (C1) i (C3) wynika, że C jest funkcją niemalejącą względem każdego argumentu,

zaś warunek o tym, że C jest 2-rosnąca dostajemy z założenia. Później okaże się również, że

kopuły są funkcjami prawostronnie ciągłymi (co więcej kopuły, są funkcjami Lipshitzowskimi).

Zatem z twierdzania 1.1 wynika, że C jest dystrybuantą. Ponadto warunki (C1) i (C2) zapewniają

jednostajność jednowymiarowych rozkładów brzegowych na I.

Uwaga. Pomiędzy dystrybuantą a rozkładem (miarą probabilistyczną na zbiorach borelowskich)

istnieje wzajemna jednoznaczna odpowiedniość (patrz: dodatek A).

Ponieważ dystrybuanta indukuje miarę probabilistyczną na zbiorach borelowskich, zatem każda

kopuła C również indukuje miarę probabilistyczną µC na I2. Konstruujemy tę miarę w następu-

jący sposób: na początku bierzemy C-objętość VC prostokąta [a, b]× [c, d] zgodnie z definicją 1.1.

5

Następnie miarę VC można rozszerzyć na σ-ciało B(I2) zbiorów borelowskich, które pokrywa się z

miarą µC [10].

Przez C 2 będziemy oznaczać rodzinę wszystkich 2-wymiarowych kopuł. Możemy również uogól-

nić pojęcie kopuły do większej liczby wymiarów. Niech d 2 będzie liczbą naturalną.

Definicja 1.5. [10]

Kopułą d-wymiarową (w skrócie d-kopułą) nazywamy funkcję C : Id → I spełniającą następujące

warunki:

(C1’) Dla każdego u1, . . . , ud ∈ I oraz i = 1, . . . , d,

C(u1, . . . , ui−1, 0, ui+1, . . . , ud) = 0.

(C2’) Dla każdego u1, . . . , ud ∈ I oraz i = 1, . . . , d,

C(1, . . . , 1, ui, 1, . . . , 1) = ui.

(C3’) Dla każdego prostokąta [a,b] := ×di=1[ai, bi] ∈ Id, gdy ai ¬ bi oraz i = 1, . . . , d

VC([a,b]) =2∑j1

· · ·2∑jd

(−1)j1+···+jdC(u1j1 , . . . , udjd ) 0,

gdzie ui1 = ai i ui2 = bi dla i = 1, . . . , d.

Zauważmy, że również w przypadku wielowymiarowym możemy przedstawić równoważną defi-

nicję kopuły w języku probabilistycznym.

Definicja 1.6. [7]

Kopułą d-wymiarową nazywamy d-wymiarową dystrybuantę skoncentrowaną na Id, której jedno-

wymiarowe rozkłady brzegowe są jednostajne na I.

Poniżej przedstawimy ważną uwagę wynikającą z probabilistycznej definicji kopuły, która odnosi

się do dystrybuanty.

Uwaga. Z każdą kopułą powiązany jest pewien wektor losowy X = (X1, X2, . . . , Xd) taki, że jego

rozkłady brzegowe są jednostajne na I (tj. Xi ∼ U [0, 1] dla i = 1, . . . , d) oraz dystrybuanta jest za-

dana przez kopułę C. I odwrotnie, każdy wektor losowy, którego składniki mają rozkład jednostajny

na I, może być związany z pewną kopułą.

1.2 Własności kopuł

W naszych rozważaniach ograniczymy się do 2 wymiarów, dlatego w dalszej części przedstawimy

pewne własności dla kopuł 2-wymiarowych, które będziemy nazywać krótko kopułami. Jednak

pamiętajmy, że zaprezentowane własności można uogólnić dla przypadku wielowymiarowego.

Ograniczenia Frecheta - Hoeffinga

Twierdzenie 1.3. [16]

Niech C ∈ C 2. Wtedy dla każdego (u, v) ∈ I2 mamy

W (u, v) := max(u+ v − 1, 0) ¬ C(u, v) ¬ min(u, v) =: M(u, v). (1.1)

6

Dowód : Niech (u, v) będzie dowolnym punktem należącym do I2. Zauważmy, że z warunków (C2)

i (C3) wiemy, że kopuła C jest funkcją niemalejącą względem każdego z argumentów, zatem

C(u, v) ¬ C(u, 1) = u oraz C(u, v) ¬ C(1, v) = v, a stąd C(u, v) ¬ min(u, v). Ponadto

VC([u, 1]× [v, 1]) = C(1, 1)− C(1, v)− c(u, 1) + C(u, v) 0,

implikuje C(u, v) u+v−1, co w połączeniu z C(u, v) 0 prowadzi do C(u, v) max(u+v−1, 0).

W istocie ograniczenia w (1.1) są same w sobie kopułami i funkcja M , będąca górnym ograni-

czeniem, zwana jest kopułą komonotoniczną (ang. comonotonicity), natomiast funkcja W , będąca

dolnym ograniczam, nazywana jest kopułą przeciwnie monotoniczną (ang. countermonotonicity).

Ograniczenia Frecheta - Hoeffinga mówią nam, że każda kopuła C, czyli kształt wykresu kopuły,

znajduję się pomiędzy dwiema konkretnym kopułami. Co więcej, powyższe ograniczenia są najlep-

szymi w tym sensie, że punktowe infimum i supremum po wszystkich elementach C 2 pokrywa się

z W i M odpowiednio, to znaczy dla (u, v) ∈ I2:

W (u, v) = infC∈C 2

C(u, v) M(u, v) = supC∈C 2

C(u, v).

Trzecią ważną kopułą jest kopuła produktowa Π(u, v) = uv. Kopuła Π zwana jest też kopułą

niezależną. W literaturze kopuły W , M oraz Π zwane są kopułami fundamentalnymi. Rysunek 1

przedstawia wykresy powierzchniowe kopuł W , M oraz Π.

(a) kopuła przeciwnie monotoniczna W (b) kopuła produktowa Π

(c) kopuła komonotoniczna M

Rysunek 1: Wykresy powierzchniowe kopuł W , Π i M (źródło: opracowanie własne)

7

Innym efektywnym sposobem prezentowania wykresów kopuł jest użycie wykresu poziomico-

wego, czyli wykresu z jego poziomami wartości C(u, v) = a, gdzie a ∈ I. Rysunek 2 przedstawia

wykresy poziomicowe kopuł W , M oraz Π.

(a) kopuła przeciwnie monotoniczna W (b) kopuła produktowa Π

(c) kopuła komonotoniczna M

Rysunek 2: Wykresy poziomicowe kopuł W , Π i M (źródło: opracowanie własne)

Lipschitzowskość


Niech C ∈ C 2. Dla każdego (u1, v1), (u2, v2) ∈ I2

|C(u2, v2)− C(u1, v1)| ¬ |u2 − u1|+ |v2 − v1|. (1.2)

Dowód : Na początku zauważmy, że

v = 0 C(u2, 0)− C(u1, 0) = 0,

v = 1 C(u2, 1)− C(u1, 1) = u2 − u2,

8

zatem z własności kopuły dostajemy, że dla dowolnego v ∈ I zachodzi

0 ¬ C(u2, v)− C(u1, v) ¬ u2 − u2. (1.3)

Analogicznie otrzymujemy, że dla dowolnego u ∈ I zachodzi

0 ¬ C(u2, v)− C(u1, v) ¬ u2 − u2. (1.4)

Ostatecznie nierówność (1.2) wynika z nierówności (1.3) i (1.4), gdyż

|C(u2, v2)− C(u1, v1)| = |C(u2, v2)− C(u1, v2) + C(u1, v2)− C(u1, v1)|

¬ |C(u2, v2)− C(u1, v2)|+ |C(u1, v2)− C(u1, v1)|

= |u2 − u1|+ |v2 − v1|

Powyższe twierdzenie mówi, że kopuła C spełnia warunek Lipschitza ze stałą równą 1. Jak

wiadomo, funkcje Lipschitzowskie są jednostajne ciągłe. Własność ta pociąga za sobą zwykłą cią-

głość, a tym bardziej prawostronną ciągłość. Zatem kopuły posiadają istotną własność dystrybuant

zgodnie z definicją 1.4.

Pochodna kopuły

W dalszej części rozdziału będziemy stosować następujące oznaczenia dla pochodnych cząstkowych

∂

∂uC(u, v) := ∂uC(u, v),

∂

∂vC(u, v) := ∂vC(u, v).


Niech C ∈ C 2. Dla każdego v ∈ I pochodna cząstkowa ∂uC(u, v) istnieje dla prawie wszystkich

u ∈ I oraz

0 ¬ ∂uC(u, v) ¬ 1. (1.5)

Podobnie, dla każdego u ∈ I pochodna cząstkowa ∂vC(u, v) istnieje dla prawie wszystkich v ∈ I oraz

0 ¬ ∂vC(u, v) ¬ 1. (1.6)

Dowód : Jak już wcześniej powiedziano, kopuła C jest funkcją niemalejącą wzgledem każdego z

argumentów, więc istnienie pochodnych cząstkowych ∂vC(u, v) oraz ∂uC(u, v) jest natychmiastowe,

ponieważ z teorii miary wiadomo, że funkcje monotoniczne są różniczkowalne prawie wszędzie [3].

Natomiast nierówności (1.5), (1.6) wynikają z twierdzenia 1.2, gdyż C spełnia warunek Lipschitza

ze stałą równą 1 ze względu na każdą ze zmiennych.

1.3 Twierdzenie Sklara

Przejdziemy teraz do twierdzenie Sklara, które jest fundamentalnym twierdzeniem w teorii

kopuł i podstawą dla wielu zastosowań w różnych dziedzinach nauki, m.in. w statystyce, finansach

i ubezpieczeniach. Wyjaśnia ono rolę kopuł w związku między wielowymiarowymi dystrybuantami

a ich jednowymiarowymi rozkładami brzegowymi. W pracy przeprowadzimy dowód twierdzenia

Sklara dla kopuł 2-wymiarowych. Inne dowody twierdzenia Sklara można znaleźć w [10].

9

Twierdzenie 1.6. [16] (Sklar, 1959)

Niech F będzie dystrybuantą łączną o rozkładach brzegowych F1, F2. Wówczas istnieje kopuła C

taka, że dla każdego x1, x2 ∈ R zachodzi

F (x1, x2) = C(F1(x1), F2(x2)). (1.7)

Ponadto, jeśli F1, F2 są ciągłe, to kopuła C jest wyznaczona jednoznacznie, w przeciwnym wypadku

wyznaczona jest na RanF1×RanF2, gdzie RanFi = Fi(R) oznacza zbiór wartości Fi dla i = 1, 2..

I odwrotnie, jeżeli C jest kopułą oraz F1, F2 są dystrybuantami (jednowymiarowymi), wówczas F

zdefiniowana przez (1.7) jest dystrybuantą łączną o rozkładach brzegowych F1, F2.

Aby udowodnić twierdzenie Sklara, będziemy korzystać z pojęcia uogólnionej dystrybuanty

odwrotnej.

Definicja 1.7. [4]

Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Uogólnioną dystrybuantą odwrotną nazywamy

funkcję F−1 : [0, 1]→ [−∞,+∞] określoną wzorem

F−1(y) = infx ∈ R : F (x) y, y ∈ [0, 1].

Oczywiste jest, że F−1(0) = −∞ oraz F−1(1) = +∞. Ponadto dla każdego y ∈ (0, 1) mamy

∞ < F−1(y) < +∞.

Uwaga. Jeżeli zmienna losowa X jest ściśle rosnąca i ciągła, wówczas uogólniona funkcja odwrotna

jest po prosu funkcją odwrotną dystrybuanty F .

Przedstawimy teraz własności uogólnionej dystrybuanty odwrotnej, które będą dla nas przydatne.

Dowód tych własności można znaleźć w [4].

Lemat 1.1. [4]

Niech F będzie dystrybuantą, a F−1 jej uogólnioną dystrybuantą odwrotną. Wtedy

(i) dla każdego x ∈ R oraz dla każdego y ∈ [0, 1] zachodzi równoważność

F (x) y ⇐⇒ x F−1(y) lub równowanie F (x) < y ⇐⇒ x < F−1(y)

(ii) F (F−1(0)) = 0, F (F−1(0)) = 1

(iii) dla x ∈ R mamy F−1(F (x)) ¬ x

(iv) dla y ∈ [0, 1] mamy F (F−1(y)) y

(v) uogólniona dystrybuanta odwrotna jest niemalejąca i lewostronnie ciągła w przedziale (0, 1]

(vi) jeżeli dystrybuanta jest ciągła, to dla każdego y ∈ [0, 1] F (F−1(y)) = y

W dowodzie będziemy również potrzebowali transformacji kwantyla oraz transformacji praw-

dopodobieństwa, które są określone w kolejnym lemacie.

Lemat 1.2. [15]

Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a F−1 uogólnioną dystrybuantą odwrotną.

1. Transformacja kwantyla: Jeżeli U ∼ U [0, 1], to P(F−1(U) ¬ x) = F (x) (tzn. zmienna

losowa F−1(U) ma taki sam rozkład jak X).

10

2. Transformacja prawdopodobieństwa: Jeżeli Y ma ciągłą dystrybuantę F , to

F (Y ) ∼ U [0, 1].

Możemy teraz przejść do dowodu twierdzenia Sklara. Udowodnimy istnienie i jednoznaczność ko-

puły w przypadku, gdy dystrybuanty brzegowe są ciągłe.

Dowód : (twierdzenia Sklara - dla ciągłych dystrybuant)

Niech F będzie dystrybuantą łączną wektora X = (X1, X2), a F1, F2 dystrybuantami brzegowymi.

Ponieważ F1 oraz F2 są ciągłe, stąd z punktu 2 lematu 1.2 wnioskujemy, że F1(X1) oraz F2(X2)

mają rozkład jednostajny na I, czyli Fi(Xi) ∼ U [0, 1] dla i = 1, 2. Oznacza to, że dystrybuanta,

oznaczmy ją przez C, wektora losowego (F1(X1), F2(X2)) spełnia definicję 1.4 kopuły. Ponadto z

punktu 1 lematu 1.2 wiemy, że F−1(Fi(Xi)) ma taki sam rozkład jak Xi dla i = 1, 2, zatem dla

dowolnych x1, x2 w R, korzystając z własności (i) lematu 1.1, mamy

F (x1, x2) = P(X1 ¬ x1, X2 ¬ x2)

= P(F−1(F1(X1)) ¬ x1, F−1(F2(X2)) ¬ x2)

(i)= P(F1(X1) ¬ F1(x1), F2(X2) ¬ F2(x2))

= C(F1(x1), F2(x2)).

W ten sposób dostajemy równość (1.7). Jeżeli do równości (1.7) podstawiamy za argument xi =

F−1(ui) dla ui ∈ [0, 1], i = 1, 2 oraz stosując własność (vi) lematu 1.1, możemy zapisać

F (F−1(u1), F−1(u2)) = C(F1(F−1(u1)), F2(F−1(u2))) = C(u1, u2),

co daje nam reprezentację C względem F i jej rozkładów brzegowych. Otrzymaliśmy więc jedno-

znaczność kopuły.

Dla przeprowadzenia dowodu w drugą stronę załóżmy, że C jest kopułą oraz F1, F2 są jedno-

wymiarowymi dystrybuantami. Konstruujemy wektor losowy (X1, X2) o dystrybuancie F poprzez

wzięcie wektora losowego U o dystrybuancie C oraz przyjmując

X := (F−11 (U1), F−1

2 (U2)).

Możemy wówczas, przy ponownym użyciu własności (i) uogólnionej funkcji odwrotnej, uzyskać

równość (1.7). Mianowicie

F (x1, x2) = P(X1 ¬ x1, X2 ¬ x2)

= P(F−11 (U1) ¬ x1, F

−12 (U2) ¬ x2)

(i)= P(U1 ¬ F1(x1), U2 ¬ F2(x2))

= C(F1(x1), F2(x2)).

Wniosek 1. Mając dystrybuantę F oraz ciągłe dystrybuanty brzegowe F1 i F2, kopułę C można

wyliczyć

C(u1, u2) = F (F−11 (u1), F−1

2 (u2)), (1.8)

gdzie F−1i oznacza uogólnioną dystrybuantę odwrotną do Fi dla i = 1, 2.

Równości (1.7) oraz (1.8) mają istotne znaczenie w teorii kopuł. Pierwszy wzór pokazuje, że

dystrybuantę łączną F można sformułować poprzez połączenie dystrybuant brzegowych z kopułą,

11

natomiast drugi pokazuje, jak kopuły są wyodrębniane z dwuwymiarowych dystrybuant o ciągłych

rozkładach brzegowych. Twierdzenie Sklara również sugeruje, że w przypadku ciągłych rozkładów

brzegowych naturalne jest definiowanie rozkładu poprzez kopuły.

Uwaga. W przypadku wielowymiarowych rozkładów dyskretnych koncepcja definiowana rozkładu

poprzez kopuły jest mniej naturalna. Dzieje się tak, ponieważ istnieje więcej niż jedna kopuła, która

może być użyta do połączenia z dystrybuantami brzegowymi w celu utworzenia dystrybuanty łącznej.

Zauważmy, że twierdzenie Sklara zapisane jest w postaci równoważności. Jednak druga część

tego twierdzenia jest bardziej użyteczna, ponieważ umożliwia uzyskanie informacji o rozkładzie

łącznym za pomocą funkcji kopuły i rozkładów brzegowych. Taka informacja jest pożądana przy

modelowaniu wielowymiarowych rozkładów, ponieważ z reguły łatwiej jest dysponować rozkładem

brzegowym (czyli tak na prawdę rozkładem jednowymiarowym).

Na zakończenie tego podrozdziału podamy twierdzenie Sklara dla wielowymiaru. Dowód w

przypadku ciągłych dystrybuant brzegowych przebiega analogicznie jak w przypadku 2-kopuł i

można go znaleźć w [15].

Twierdzenie 1.7. [15] (Sklar, 1959)

Niech F będzie dystrybuantą łączną o rozkładach brzegowych F1, . . . , Fd. Wówczas istnieje kopuła

C taka, że dla każdego x1, . . . , xd ∈ R zachodzi

F (x1, . . . , xd) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd)). (1.9)

Ponadto, jeśli F1, . . . , Fd są ciągłe, to kopuła C jest wyznaczona jednoznacznie, w przeciwnym

wypadku wyznaczona jest na RanF1×RanF2 × · · ·×RanFd, gdzie RanFi = Fi(R) oznacza zbiór

wartości Fi dla i = 1, 2, . . . , d. I odwrotnie, jeżeli C jest kopułą oraz F1, . . . , Fd są dystrybuantami

(jednowymiarowymi), wówczas F zdefiniowana przez (1.9) jest dystrybuantą łączną o rozkładach

brzegowych F1, . . . , Fd.

1.4 Kopuły a tau Kendall’a

Jak już zauważyliśmy, każda kopuła odnosi się do dystrybuanty, która jest powiązana z pewnym

wektorem losowym X. Dlatego dalej będziemy chcieli przedstawić probabilistyczne własności kopuł,

które można wnioskować z twierdzenia Sklara.

Na początku przedstawmy jeszcze raz twierdzenie Sklara, używając zmiennych losowych i ich

dystrybuant.

Twierdzenie 1.8.

Niech X1 i X2 będą zmiennymi losowymi o dystrybuantach, odpowiednio, F1 i F2 oraz niech F

będzie ich dystrybuantą łączną. Wówczas istnieje kopuła C taka, że zachodzi (1.7). Jeśli F1, F2

są ciągłe, to kopuła C jest wyznaczona jednoznacznie, w przeciwnym wypadku wyznaczona jest na

RanF1×RanF2.

Kopułę C identyfikowaną ze zmiennymi losowymi X1 i X2 będziemy oznaczać CX1,X2 jeśli takie

rozróżnienie będzie potrzebne.

Okazuje się, że kopuły posiadają bardzo korzystną własność, która jest przydatna przy badaniu

zależności między zmiennymi losowymi. Pokażemy, iż przy przekształceniach ściśle monotonicznych

wektorów losowych kopuły nie zmieniają się, bądź zmieniają się w przewidywalny sposób. Na

początku zajmiemy się translacjami ściśle rosnącymi, o których mówi poniższe twierdzenie.

12


Niech X1, X2 będą ciągłymi zmiennymi losowymi o kopule CX1,X2 . Jeżeli ϕ1, ϕ2 będą przekształ-

ceniami ściśle rosnącymi określonymi, odpowiednio, na RanX1, RanX2, wówczas wektory losowe

(X1, X2) i (ϕ1(X1), ϕ2(X2)) mają taką samą kopułę, tzn.

Cϕ1(X1),ϕ2(X2) = CX1,X2 .

Dowód : Niech F1, F2, G1, G2 będą dystrybuantami zmiennych losowych, odpowiednio, X1, X2,

ϕ1(X1), ϕ2(X2). Ustalmy dodatkowo, że F będzie dystrybuantą łączną wektora (X1, X2), zaś

G wektora (ϕ1(X1), ϕ2(X2)). Ponadto zauważmy, iż funkcje ϕ1 i ϕ2 są ściśle monotoniczne oraz

„na”, zatem są odwracalne, tzn. istnieją funkcje odwrotne ϕ−11 oraz ϕ−2

2 określone, odpowiednio,

na Ranϕ1 i Ranϕ2. Wobec tego dla każdego u, v ∈ R zachodzi

G1(u) = P(ϕ1(X1) ¬ u) = P(X1 ¬ ϕ−11 (u)) = F1(ϕ−1

1 (u))

G2(v) = P(ϕ2(X2) ¬ v) = P(X2 ¬ ϕ−12 (v)) = F1(ϕ−1

2 (v)).

Korzystając z twierdzenia Sklara mamy

Cϕ1(X1),ϕ2(X2)(G1(u), G2(v)) = G(u, v)

= P(ϕ1(X1) ¬ u, ϕ2(X2) ¬ v)

= P(X1 ¬ ϕ−11 (u), X2 ¬ ϕ−1

2 (v))

= F (ϕ−11 (u), ϕ−1

2 (v))

= CX1,X2(F1(ϕ−11 (u)), F2(ϕ−1

2 (v)))

= CX1,X2(G1(u), G2(v)).

Jeżeli co najmniej jedna z ϕ1, ϕ2 są ściśle malejąca, wówczas kopuła Cϕ1(X1),ϕ2(X2) jest prostą

transformacją kopuły CX1,X2 .


Niech X1, X2 będą ciągłymi zmiennymi losowymi o kopule CX1,X2 . Jeżeli ϕ1, ϕ2 będą przekształce-

niami ściśle monotonicznymi określonymi, odpowiednio, na RanX1, RanX2.

1. Jeśli ϕ1 jest ściśle rosnąca i ϕ2 jest ściśle mająca, wtedy

Cϕ1(X1),ϕ2(X2)(u, v) = u− CX1,X2(u, 1− v).

2. Jeśli ϕ1 jest ściśle malejąca i ϕ2 jest ściśle rosnąca, wtedy

Cϕ1(X1),ϕ2(X2)(u, v) = v − CX1,X2(1− u, v).

3. Jeśli ϕ1 i ϕ2 są ściśle malejące, wtedy

Cϕ1(X1),ϕ2(X2)(u, v) = u+ v − 1 + CX1,X2(1− u, 1− v).

Następne twierdzania charakteryzują pewne szczególne własności wektorów losowych za pomo-

cą podstawoowych kopuł M , W oraz Π. Poniższe twierdzenia podajemy bez dowodu.


Niech (X1, X2) będzie wektorem losowym o ciągłej dystrybuancie łącznej. Wówczas kopuła CX1,X2jest kopułą Π wtedy i tylko wtedy, gdy X1, X2 są niezależne.

13


Niech (X1, X2) będzie wektorem losowym o ciągłej dystrybuancie łącznej. Wówczas kopuła CX1,X2jest kopułą M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zmienna losowa Z i rosnące funkcje ϕ1, ϕ2 takie,

że (X1, X2) = (ϕ(X1), ϕ(X2)) prawie na pewno.


Niech (X1, X2) będzie wektorem losowym o ciągłej dystrybuancie łącznej. Wówczas kopuła CX1,X2jest kopułą M wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej ściśle malejącej funkcji ϕ, X2 = ϕ(X1) prawie

na pewno.

Na mocy twierdzenia 1.9 wiemy, że kopuły posiadają własność niezmienniczości względem trans-

lacji ściśle rosnących, zwaną również „niezmiennikiem skali” (ang. scale-invariant). Własność ta

jest pożądana dla miar opisujących siłę związku między zmiennymi losowymi i, jak się w okazuje,

można takie miary zdefiniować za pomocą kopuł. Do najbardziej znanych miar, które posiada-

ją własność „niezmiennika skali”, należą współczynniki tau Kendall’a oraz rho Spearman’a. W

naszych rozważaniach skupimy się na pierwszym z nich.

Definicja 1.8 (tau Kendall’a). [7]

Niech (X1, X2) i (X1, X2) będą niezależnymi wektorami losowymi o takim samym rozkładzie (tj.

(X1, X2) jest niezależną kopią wektora (X1, X2)). Współczynnik tau Kendall’a definiujemy jako

prawdopodobieństwo zgodności minus prawdopodobieństwo niezgodności tj.

τ = τ(X1, X2) = P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0]− P[(X1 − X1)(X2 − X2) < 0].

Występującą w definicji różnicę możemy rozumieć jako różnicę pomiędzy prawdopodobieństwem,

że wartości porównywanych zmiennych losowych układają się w tym samym porządku, a prawdopo-

dobieństwem przeciwnym. Tau Kendall’a należy do współczynników korelacji rangowych (inaczej

porządkowych). Współczynnik ten mierzy monotoniczną (niekoniecznie liniową) zależność między

zmiennymi losowymi i przyjmuje wartości od −1 do 1.

Współczynnik tau Kendall’a można też wyliczyć dla próby statystycznej. W tym celu bierze-

my wszystkie pary obserwacji (x1, x2), (x1, x2) z n-elementowej próbki pochodzącej od wektora

losowego (X1, X2), a następnie dzielimy je na:

• pary zgodne - gdy x1 < x1 oraz x2 < x2 albo x1 > x1 oraz x2 > x2. Liczbę par zgodnych

oznaczmy przez Z.

• pary niezgodne - gdy x1 < x1 oraz x2 > x2 albo x1 > x1 oraz x2 < x2. Liczbę par

niezgodnych znakiem oznaczmy przez NZ.

Wszystkich par jest tyle, ile jest możliwości wyboru 2 elementów ze zbioru n-elementowego. Esty-

mator tau Kendall’a otrzymujemy wówczas ze wzoru [14]

τ =Z −NZ +N

= 2Z −Nn(n− 1)

.

Przedstawimy teraz twierdzenie pokazujące, że τ można wyrazić za pomocą kopuł.


Niech X1, X2 będą ciągłymi zmiennymi losowymi o kopule C. Wówczas współczynnik tau Kendall’a

definiujemy jako

τ = τ(X1, X2) = 4∫∫

I2C(u, v)dC(u, v)− 1.

14

Dowód : Niech X1 i X2 są ciągłymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach, odpowiednio, F1 i F2

oraz niech (X1, X2) będzie niezależną kopią wektora losowego (X1, X2). Tau-Kendall’a wynosi

τ = τ(X1, X2) = P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0]− P[(X1 − X1)(X2 − X2) < 0]. (1.10)

Ponieważ X1, X2 są ciągłymi zmiennymi losowymi (również X1, X2 są ciągłymi zmiennymi loso-

wymi), więc zachodzi

P[(X1 − X1)(X2 − X2) = 0) = P[(X1 − X1) = 0 ∨ (X2 − X2) = 0]

¬ P[(X1 − X1) = 0] + P[(X2 − X2) = 0] = 0,

a zatem otrzymujemy

P[(X1 − X1)(X2 − X2) < 0] = 1− P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0]

i wobec tego równość (1.10) możemy zapisać jako

τ = τ(X1, X2) = 2P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0]− 1. (1.11)

Zauważmy, że powyższe prawdopodobieństwo można rozbić w sposób następujący

P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0] = P[X1 > X1, X2 > X2] + P[X1 < X1, X2 < X2]. (1.12)

Oznaczmy przez F rozkład łączny. Następnie, warunkując jednym z wektorów losowych (w naszym

przypadku (X1, X2)), możemy wyznaczyć te prawdopodobieństwa w postaci całek, a następnie

korzystając z twierdzenia Sklara otrzymujemy

P[X1 < X1, X2 < X2] =∫∫

R2P[X1 < x1, X2 < x2]dF (x1, x2)

=∫∫

R2P[X1 < x1, X2 < x2]dC(F1(x1), F2(x2))

=∫∫

R2C(F1(x1), F2(x2))dC(F1(x1), F2(x2)),

a stąd podstawiając u = F1(x1) oraz v = F2(x2) dostajemy

P[X1 < X1, X2 < X2] =∫∫

I2C(u, v)dC(u, v). (1.13)

Podobnie

P[X1 > X1, X2 > X2] = 1− P[X1 ¬ x1]− P[X2 ¬ x2] + P[X1 ¬ X1, X2 ¬ X2]

=∫∫

R2

[1− P[X1 ¬ x1]− P[X2 − x2] + P[X1 ¬ X1, X2 ¬ X2]

]dF (x1, x2)

=∫∫

R2[1− F1(x1)− F2(x2) + F (x1, x2)] dF (x1, x2)

=∫∫

R2[1− F1(x1)− F2(x2) + C(F1(x1), F2(x2))] dC(F1(x1), F2(x2))

=∫∫

R2[1− u− v + C(u, v)] dC(u, v)

=∫∫

I2[1− u− v + C(u, v)] dC(u, v).

Następnie zauważmy, że kopuła C jest dystrybuantą łączną wektora losowego (X1, X2), którego

rozkłady brzegowe są jednostajne na I, czyli E(X1) = E(X2) = 12 . Zatem poszczególne całki

możemy zapisać ∫∫I2udC(u, v) =

∫∫I2vdC(u, v) =

12,

∫∫I2dC(u, v) = 1.

15

Ostatecznie otrzymujemy

P[X1 > X1, X2 > X2] = 1− 12− 1

2+∫∫

I2C(u, v)dC(u, v) =

∫∫I2C(u, v)dC(u, v). (1.14)

Podstawiając (1.13) i (1.14) do (1.12) dostajemy wzór

P[(X1 − X1)(X2 − X2) > 0] = 2∫∫

I2C(u, v)dC(u, v),

który podstawimy do równości (1.11) na τ , uzyskując tezę twierdzenia

τ = τ(X1, X2) = 4∫∫

I2C(u, v)dC(u, v)− 1.

1.5 Rodziny kopuł

Dzięki twierdzeniu Sklara kopuły znalazły zastosowanie przy modelowaniu wielowymiarowych

rozkładów łącznych, szczególnie w przypadku, gdy między zmiennymi losowymi istnieje pewna

zależność. Jak pokazaliśmy w rozdziale 1.4, informacja o zależności ukryta jest właśnie w kopule.

W praktyce, aby znaleźć nieznany wielowymiarowy rozkład łączny, staramy się dobrać pewną rodzi-

nę kopuł o preferowanych własnościach, która najlepiej pasuje do naszego przypadku. Oczywiście

wyboru kopuły dokonujemy przyjmując określone przez nas kryterium.

Rodziny kopuł zależą od parametru θ, który należy do podzbioru Θ ⊆ Rd. Rodzinę kopuł

indeksowaną parametrami θ ∈ Θ oznaczać będziemy przez Cθθ∈Θ. Wyróżnia się dwie klasy

kopuł: kopuły eliptyczne oraz kopuły archimedejskie. Poniżej przedstawiamy definicje tych rodzin i

kilka standardowych przykładów kopuł, które będą nam potrzebne w późniejszej części dotyczącej

modelowania.

Klasa kopuł eliptycznych

Na początku przypomnijmy pojęcie rozkładu eliptycznego. Mówimy, że wektor losowy

X = (X1, X2, . . . , Xd) ma rozkład eliptyczny o średniej µ ∈ Rd, macierzy kowariancji Σ = (σij)

oraz generatorze g : [0,∞)→ [0,∞), co zapisujemy X ∼ E (µ,Σ, g), jeśli zachodzi

X = µ+RAU

gdzie AAt = Σ, U jest d-wymiarowym wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym na sferze

Sd−1 = u ∈ Rd : u21 + · · · + u2

d = 1, oraz R jest dodatnią zmienną losową niezależną od U o

gęstości

fg(r) =2πd/2

Γ(d/2)rd−1g(r2) dla każdego r > 0.

Funkcja gęstości (o ile istnieje) rozkładu eliptycznego jest dana przez

hg(x) = |Σ|−1/2g((x− µ)tΣ−1(x− µ)) dla każdego x ∈ Rd.

Definicja 1.9. [7]

Niech X będzie wektorem losowym o rozkładzie eliptycznym, X ∼ E (µ,Σ, g). Załóżmy, że dla każ-

dego i ∈ 1, . . . , d, (Xi/√σii) ∼ Fg. Kopułę eliptyczną nazywamy dystrybuantę wektora losowego(Fg

(X1√σii

), Fg

(X2√σ22

), . . . , Fg

(Xd√σdd

)).

16

Zwykle postać kopuły eliptycznej nie ma prostej formy. Przykładami kopuł eliptycznych jest

kopuła Gaussa oraz t Studenta. Podamy wzór pierwszej z nich, ponieważ w dalszej części będzie

ona obiektem zainteresowań.

Kopuła Gaussa

CGaθ (u, v) =∫ Φ−1(u)

−∞

∫ Φ−1(v)

−∞

1

2π√

1− θ2

(−s

2 − 2θst+ t2

2(1− θ2)

)dsdt,

gdzie θ ∈ (−1, 1) oraz Φ−1 oznacza funkcję odwrotną do dystrybuanty standardowego rozkładu

normalnego. Zauważmy, iż kopułę Gaussa możemy zapisać za pomocą dystrybuanty standardowego

dwuwymiarowego rozkładu normalnego Φ2.

CGaθ (u, v) = Φ2(Φ−1(u),Φ−1(v)).

Klasa kopuł archimiedejskich

Zaczniemy od wprowadzenia pojęcia funkcji pseudo-odwrotnej, którą wykorzystuje się w definicji

kopuł archimedejskich.

Definicja 1.10. [15]

Niech φ : I → [0,∞) będzie ciągłą i ściśle malejącą funkcją taką, że φ(1) = 0 oraz φ(0) ¬ ∞.

Pseudo-odwrotność funkcji φ o dziedzinie [0, 1] i przeciwdziedzinie [0,∞) definiujemy przez

φ[−1](t) =

φ−1(t) 0 ¬ t ¬ φ(0),

0 φ(0),¬ t ¬ ∞.(1.15)

Jak łatwo zauważyć, φ[−1] jest ciągła i nierosnąca na [0,∞), oraz ściśle malejąca na [0, φ(0)].

Co więcej, φ[−1](φ(u)) = u na I oraz

φ(φ[−1](t)) =

t, 0 ¬ t ¬ φ(0),

φ(0), φ(0) ¬ t ¬ ∞= mint, φ(0).

Ponadto, jeżeli φ(0) =∞, wówczas φ[−1] = φ−1.


Niech φ : I→ [0,∞) będzie ciągłą i ściśle malejącą funkcją taką, że φ(1) = 0 oraz niech φ[−1] będzie

jej funkcją pseudo-odwrotną zdefiniowaną przez (1.15). Wtedy funkcja C : I2 → I dana przez

C(u1, u2) = φ[−1](φ(u1) + φ(u2)) (1.16)

jest kopułą wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest funkcją wypukłą.

Dowód powyższego twierdzenia można znaleźć w [16]. Kopuły, które można zapisać w postaci

(1.16) nazywamy dwuwymiarowymi kopułami archimedejskimi (lub kopułami Archimedesa).

Definicja 1.11 (Generator kopuły archimedejskiej). [15]

Ciągłą, ściśle malejącą , wypukłą funkcję φ : I→ [0,∞) spełniającą warunek φ(1) = 0 nazywamy

generatorem kopuły Archimedesa. Jeżeli φ(0) =∞, wówczas φ nazywamy generatorem ścisłym.

Zauważmy, że jeżeli generator kopuły jest generatorem ścisłym, wtedy φ[−1] = φ−1, zatem w

równości (1.16) możemy zapisać w następującej postaci

C(u1, u2) = φ−1(φ(u1) + φ(u2)).

Tak określone kopuły nazywamy ścisłymi kopułami Archimedesa. Przedstawimy teraz przykłady

kopuł należących do klasy kopuł archimedejskich, które używamy w niniejszej pracy. Kopuły te

należą do jednoparametrycznych rodzin kopuł archimedejskich.

17

• Kopuła Claytona

CClθ (u, v) = (u+ v − 1)−1θ ,

gdzie θ ∈ (0,∞). W przypadku, gdy θ → 0 to kopuła Claytona odpowiada kopule niezależ-

nej Π, czyli kopule o niezależnych rozkładach brzegowych natomiast, gdy θ → +∞ kopule

komonotonicznej. Ścisły generator kopuły Claytona wynosi φ(t) =1θ

(t−θ − 1),

• Kopuła Gumbela

CGuθ (u, v) = exp(−((− log u)θ + (− log v)θ

) 1θ

),

gdzie θ ∈ [1,∞). W szczególnym przypadku, gdy θ = 1 uzyskujemy kopułę niezależną,

natomiast jeśli θ → +∞ kopułę komonotoniczną. Ścisły generator kopuły Gumbela wynosi

φ(t) = (− log t)θ.

Więcej przykładów kopuł Archimedasa można znaleźć w [16]. Na mocy twierdzenia 1.14 wiemy,

że tau Kendall’a możemy wyrazić za pomocą kopuł, a co za tym idzie zależność między zmiennymi

za pomocą parametru θ. Relację między θ, a τ przedstawiono tabeli.

Tabela 1: Zależność pomiędzy tau Kendall’a a parametrem θ (źródło: [13])

rodzina kopuł przedział θ związek z τ

Gauss (−1, 1) τ =2π

arcsin(θ) ∈ R

Clayton θ ∈ (0,∞) τ =θ

θ + 2∈ (0,∞)

Gumbel [1,∞) τ =θ − 1θ∈ (0,∞)

18

2 Estymacja łącznej szkody z wykorzystaniem kopuł

Oszacowanie łącznej wartości szkód w portfelu ubezpieczeniowym jest kluczowe dla wielu de-

cyzji aktuarialnych, np. do wyceny umów ubezpieczeniowych oraz do kalkulacji składki. Z punktu

widzenia aktuariusza zagadnienie to sprowadza się do znalezienia rozkładu zmiennej losowej wy-

rażającej stratę, co w odniesieniu do ubezpieczeń komunikacyjnych wyraża łączną wartość szkód

z polisy (ang. policy loss). W praktyce ubezpieczeniowej powszechne jest modelowanie średniej

wartości szkody (ang. average claim size) oraz liczby szkód (ang. numer of claims) niezależnie,

a następnie określenie łącznej wartości szkód odpowiadającej pojedynczej polisie w danym czasie

jako iloczynu tych dwóch wielkości. Jednak można się zastanowić, czy w rzeczywistości między

zmiennych losowymi opisującymi liczbę i wielkość szkody istnieje zależność. Rozważmy podział

kierowców na takich, którzy poruszają się głównie po mieście oraz na kierowców poruszających się

po autostradach. Można spodziewać się, że pierwszy typ kierowców, ze względu na mniejszy ruch w

miastach, będzie częściej powodował szkody, ale jednocześnie dotkliwość powstałych szkód będzie

mniejsza niż w drugim typie kierowców. Ten przykład sugeruje ujemną korelację między liczbą i

wartością pojedynczych szkód. W związku z tym założenie o niezależności jest zbyt restrykcyjne i

prowadzić może do nadmiernego lub niedokładnego oszacowania łącznej wartości szkody z polisy,

a w konsekwencji do błędnej estymacji łącznej wartości szkód w portfelu polis.

Z tej przyczyny w niniejszym rozdziale zaprezentujemy model łącznej szkody z polisy, który

dopuszcza zależność między średnią wartością szkody i liczbą szkód. Zagdanienia przedstawione w

tym rodziale zostały zaczerpnięte z pracy [13].

2.1 Kopuła dla ciągło-dyskretnych rozkładów brzegowych

Jak już wiemy z poprzedniego rozdziału, z (dwuwymiarową) kopułą C : I2 → I, czyli dys-

trybuantą łączną wektora losowego (X1, X2), której rozkłady brzegowe są jednostajne na I (tzn.

Xi ∼ U [0, 1] dla i = 1, 2), wiąże się bardzo ważne twierdzenie Sklara (twierdzenie 1.6). Umożli-

wia ono podział dwuwymiarowej dystrybuanty na kopułę i dystrybuanty brzegowe. Dzięki temu

jesteśmy w stanie modelować rozkład łączny za pomocą połączania ze sobą rozkładów brzegowych

z kopułą. Dodatkowo kopuły są niezmiennicze na translacje ściśle rosnące. Zatem zamiast współ-

czynnika korelacji, który mierzy liniowy związek między zmiennymi, stosujemy monotoniczne miary

zależności. Jedną z takich miar jest współczynnik tau Kendall’a, który na mocy twierdzenia 1.14

jest wyrażany za pomocą kopuł.

W tej pracy będziemy wykorzystywać kopułę do modelowania rozkładu łącznego przy ciągło-

dystretnych rozkładach brzegowych. Niech (Ω,F ,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Oznacz-

my przez X ciągłą zmienną losową o wartościach w (0,∞) oraz przez Y dyskretną zmienną losową

przyjmującą wartości w zbiorze 1, 2, . . .. Niech FX , FY będę dystrybuantami, odpowiednio, X,

Y . Na mocy twierdzenia Sklara dystrybuanta wektora losowego (X,Y ) zdefiniowana jest przez

kopułę C poprzez

FX,Y (x, y) = C(FX(x), FY (y)).

Pamiętajmy, że kopuła jest wyznaczona jednoznacznie w przypadku ciągłych dystrybuant brzego-

wych.

Określamy wektor losowy (X,Y ) w następujący sposób

(X,Y ) : (Ω,F ,P)→ ((0,∞)× 1, 2, . . .,S , λ× ν),

19

S to σ-ciało produktowe, generowane przez zbiory postaci B × y, gdzie B to zbiór borelowski

w (0,∞), zaś y = 1, 2, . . .. Miara λ to miara Lebesgue’a oraz ν to miara licząca określona przez

ν(y) = 1, y = 1, 2, . . . .

Miara λ× ν jest miarą produktową. Wektor losowy (X,Y ) ma ciągło-dyskretną strukturę, wobec

tego do dalszej estymacji potrzebujemy łączną gęstości/funkcję prawdopodobieństwa ze względu na

występowanie w rozkładzie łącznym ciągłej zmiennej losowej X oraz dyskretnej zmiennej losowej Y .

Rozkład wektora losowego (X,Y ) dany jest wzorem

µX,Y (A) = P((X,Y )−1(A)), A ∈ S .

Stosując twierdzenie Radoma-Nikodyma, otrzymujemy

µX,Y (A) =∫A

fX,Y (x, y)d(λ× ν)(x, y), A ∈ S ,

a więc w szczególności możemy zapisać

µX,Y (B × y) =∫B

fX,Y (x, y)dλ(x) =∫B

fX,Y (x, y)dx. (2.1)

Przyjmując za B = (0, x] do (2.1) uzyskujemy

µX,Y ((0, x]× y) = P(X ¬ x, Y = y) =∫ x

0fX,Y (t, y)dt. (2.2)

Funkcja fX,Y jest gęstością rozkładu µX,Y względem miary produktowej λ × ν (tzw. pochodną

Radoma-Nikodyma). Zauważmy, że z (2.2) możemy zapisać

fX,Y (x, y) =∂

∂xP(X ¬ x, Y = y). (2.3)

Funkcję fX,Y będziemy po prostu nazywali gęstością łączną wektora losowego (X,Y ).

Następnie wprowadzimy formułę dla gęstości łącznej odnosząc się do kopuły C. Na początku

oznaczmy przez

C ′1(u, v) := ∂uC(u, v)

dla v ∈ I pochodną cząstkową kopuły względem pierwszej zmiennej. Zgodnie z twierdzeniem 1.5

wiemy, że ∂uC istnieje dla prawie wszystkich u ∈ I. Poniższe twierdzenie przedstawia gęstość łączną

fX,Y przy wykorzystaniu kopuły i jej pochodnej cząstkowej względem pierwszej współrzędnej.

Twierdzenie 2.1 (Funkcja gęstości). [13]

Niech X będzie ciągłą zmienną losową oraz Y dyskretną zmienną losową. Gęstość łączna fX,Y

dana jest wzorem

fX,Y (x, y) = fX(x)(C ′1(FX(x), FY (y))− C ′1(FX(x), FY (y − 1))). (2.4)

Dowód : Z definicji wyrażonej wzorem (2.3), z twierdzenia Sklara oraz przy wykorzystaniu wzoru

na pochodną funkcji złożonej mamy

∂

∂xP(X ¬ x, Y = y) =

∂

∂xP(X ¬ x, Y ¬ y)− ∂

∂xP(X ¬ x, Y ¬ y − 1)

=∂

∂xC(FX(x), FY (y))− ∂

∂xC(FX(x), FY (y − 1))

= fX(x)∂xC(FX(x), FY (y))− fX∂xC(FX(x), FY (y − 1))

= fX(x)(C ′1(FX(x), FY (y))− C ′1(FX(x), FY (y − 1)))

20

W naszych rozważaniach skupimy się na 3 jednoparametrycznych rodzinach kopuł C(·, ·|θ).Będą to rodziny Gaussa, Claytona i Gumbela. W rozdziale 1.5 przedstawione zostały wzory dla

tych rodzin oraz ich związek z τ Kendall’a (tabela 1). Aby wyznaczyć funkcję gęstości z twierdze-

nia 2.1, powinniśmy znać pierwsze pochodne cząstkowe dla wybranych rodzin kopuł. W tabeli 2

zamieszczono pochodne cząstkowe C ′1(u, v|θ) dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela.

Tabela 2: Pierwsze pochodne cząstkowe dla wybranych rodzin kopuł (źródło: [13])

rodzina kopuł pierwsza pochodna cząstkowa C ′1(u, v|θ)

Gauss Φ(

Φ−1(v)− θΦ−1(u)√1− θ2

)Clayton

(u−θ + v−θ − 1

)−1/θ−1u−θ−1

Gumbel u−1(− log u)θ−1((− log u)θ + (− log v)θ

)1/θ−1exp

(−((− log u)θ + (− log v)θ

)1/θ)

Uwaga. Zauważmy, że równość (2.4) możemy zapisać

fX,Y (x, y|θ) = fX(x)(C ′1(FX(x), FY (y)|θ)− C ′1(FX(x), FY (y − 1)|θ)). (2.5)

2.2 Rozkład łącznej szkody z polisy

Zagadnienia przedstawione w rozdziale 2.1 mogą być stosowane dla ogólnych ciągło-dyskretnych

wektorów losowych, natomiast teraz wykorzystamy je do naszych potrzeb, czyli do modelu rozkładu

łącznej wartości szkód, powstałych w wyniku pewnych zdarzeń objętych ochroną ubezpieczeniową

(ryzyk), co krócej będziemy nazywali: łączną szkodą z polisy (ang. policy loss). Miejmy na uwadze,

że modelując rozkład łącznej szkody z polisy, tak naprawdę modelujemy rozkład zmiennej losowej

wyrażającej stratę.

2.2.1 Rozkłady brzegowe

Niech X będzie dodatnią zmienną losową opisującą średnią wartość szkody z pojedyn-

czej polisy. W naszym modelu zakładamy, że średnia wartość szkody X ma rozkład Gamma

(X ∼ Gamma(µ, δ)) o parametrze średniej µ > 0 oraz parametrze dyspersji δ > 0. Zmienna

losowa X ma rozkład ciągły o funkcji gęstości danej wzorem

fX(x|µ, δ) =1

xΓ( 1δ )

(x

µδ

) 1δ

exp(− x

µδ

)dla x > 0, (2.6)

gdzie Γ oznacza funkcję Gamma zdefiniowaną następująco:

Γ(p) =∫ ∞

0xp−1e−xdx.

Następnie przyjmujemy, że liczbę szkód opisuje dodatnia zmienna losowa Y o uciętym w zerze

rozkładzie Poissona (ang. zero-truncated Poisson) z parametrem λ > 0 (Y ∼ ZTP (λ)). Funkcja

prawdopodobieństwa zmiennej Y wynosi

fY (y|λ) =λy

y!(1− e−λ)e−λ dla y = 1, 2, . . . . (2.7)

Zauważmy, że zakładamy przyjmowanie dodatnich wartość zarówno przez zmienną losową X,

jak i Y . Oznacza to, iż w naszym modelu bierzemy pod uwagę tylko polisy szkodowe, to znaczy

takie, w których w badanym okresie zaistniała co najmniej jedna szkoda o wartości niezerowej.

21

W ubezpieczeniach korzysta się z różnych rozkładów dla liczby i średniej wartości szkody. Do

najcześciej przyjmowanych rozkładów dla liczby szkód należą rozkład Poissona oraz rozkład ujemny

dwumianowy, natomiast dla średniej wartości szkód, oprócz rozkładu gamma, wykorzystywany jest

również rozkład log-normalny1.

Jak już wspominaliśmy, w praktyce ubezpieczeniowej przyjmuje się założenie o niezależności

średniej wartości szkody X i liczby szkód Y , które nie zawsze jest spełnione. Będziemy jednak do-

puszczali istnienie zależności między rozpatrywanymi zmiennymi losowymi, dlatego posłużymy się

dwuwymiarowym rozkładem łącznym tych zmiennych. Związek między X i Y będziemy opisywali

za pomocą współczynnika τ Kendall’a.

2.2.2 Model rozkładu łącznego dla średniej wartości szody i liczby szkód z wykorzy-

staniem kopuły

Teraz możemy połączyć rozważania na temat kopuł z przyjętymi przez nas rozkładami brzego-

wymi modelującymi liczbę szkód i ich średnią wartość, otrzymując poniższy ogólny model rozkładu

łącznego zmiennych losowych X i Y .

Definicja 2.1 (Rozkład łączny dla średniej wartości szody i liczby szkód). [13]

Niech X będzie dodatnią zmienną losową określającą średnią wartość szkody o rozkładzie Gamma

i funkcji gęstości (2.6) oraz Y dodatnią zmienną losową określająca liczbę szkód o uciętym w zerze

rozkładzie Poissona i funkcji prawdopodobieństwa (2.7). Wówczas model rozkładu łącznego dla X

i Y , oparty na kopule z twierdzenia 2.1, jest zdefiniowany przez gęstość łączną daną wzorem

fX,Y (x, y|µ, δ, λ, θ) = fX(x|µ, δ)(C ′1(FX(x|µ, δ), FY (y|λ)|θ)−C ′1(FX(x|µ, δ), FY (y−1|λ)|θ)) (2.8)

dla x > 0 oraz y = 1, 2, . . ..

Powyższy model rozkładu łącznego fX,Y zależy od 4 parametrów: µ, δ (rozkładu Gamma),

λ (rozkładu ZTP), które są związane z rozkładami brzegowymi, oraz parametru θ związanego z

kopułą. Korzystając z powyższej definicji otrzymujemy elementarne kolejne twierdzenie.


Rozkład warunkowy Y |X = x liczby szkód przy ustalanej średniej wartości szkody x jest dany przez

P(Y = y|X = x, µ, δ, λ, θ) = C ′1 (FX(x|µ, δ), FY (y|λ)|θ)− C ′1 (FX(x|µ, δ), FY (y − 1|λ)|θ)) . (2.9)

Dowód : Teza twierdzenia wynika natychmiast z twierdzenia 2.1 i wzoru na rozkład warunkowy

zmiennej losowej Y przy warunku X = x

P(Y = y|X = x, µ, δ, λ, θ) =fX,Y (x, y|µ, δ, λ, θ)

fX(x|µ, δ).

Przykład 1

Niech X ∼ Gamma(µ, δ) opisuje średnią wartość szkody, wyrażaną w zł, oraz Y ∼ ZTP (λ) liczbę

szkód. Rozważmy pewną grupę posiadaczy polis oraz przyjmijmy, że wartość oczekiwana średniej

wartości szkody wynosi 1000 zł

E(X) = µ = 1000,

1Inne metody modelowania rozkładu liczby szkód i wartości szkody można znaleźć w Otto W.: Ubezpieczenia

majątkowe. Część I Teoria Ryzyka, Wydawnictwa Naukowo-techniczne, 2004

22

natomiast λ = 2.5, wówczas wartość oczekiwana liczby szkód wynosi

E(Y ) =λ

1− e−λ≈ 2.723564.

Dodatkowo załóżmy, że odchylenie standardowe X wynosi 300 zł (√V ar(X) = 300), zatem może-

my policzyć parametr dyspersji następująco:

δ =V ar(X)µ2 =

3002

10002 =9

100.

(a) Wyznaczymy rozkład warunkowy Y |X = x, gdy średnia wartość szkody wynosi x = 1200 zł

dla kopuły Claytona z 4 różnymi wartościami τ = 0, 0.1, 0.3, 0.5, gdzie τ to współczynnik tau

Kendall’a, mierzący zależność między zmiennymi X i Y . W tym celu, korzystając z twier-

dzenia 2.2, wyliczymy rozkład warunkowy w programie SAS (kod D.3), ale najpierw musimy

rozpisać pojawiające się w nim obiekty. Pochodna kopuły Claytona wyraża się wzorem (patrz:

tabela 2)

C ′C1 (u, v) =(u−θ + v−θ − 1

)−1/θ−1u−θ−1 θ ∈ (0,∞).

Z kolei mamy następującą relację miedzy θ a τ dla kopuły Claytona

τ =θ

θ + 2⇒ θ =

2τ1− τ

, θ ∈ (0,∞)

zatem, gdy τ = 0.1, 0.3, 0.5 wartości θ wynoszą, odpowiednio, 29 ,

67 , 2. W przypadku, gdy τ = 0

wiemy, że kopuła Claytona dąży do kopuły produktowej Π, dlatego przyjmiemy wówczas

θ = 0.00001 ≈ 0. Następnie sprowadzamy rozkład X do parametryzacji skalo-kształtej (patrz:

dodatek B2.), gdyż taka parametryzacja jest używana przez SAS

δ =1α⇒ α =

1δ

µ = αβ ⇒ β =µ

α= µδ,

więc w naszym przypadku otrzymujemy β = 90, zaś α = 100/9. Potrzebujemy jeszcze warto-

ści funkcji dystrybuanty zmiennej losowej Y o uciętym w zerze rozkładzie Poissona. Wynosi

ona

FY (y) = P(Y ¬ y) =y∑i=1

P(Y = i) =y∑i=1

λie−λ

i!(1− e−λ).

Ostatecznie wzór (2.9) dla y = 1, 2, . . . . przyjmuje postać

P(Y = y|X = 1200) = FX(1200)−θ−1 (FX(1200)−θ + FY (y)−θ − 1)−1/θ−1

(2.10)

−FX(1200)−θ−1 (FX(1200)−θ + FY (y − 1)−θ − 1)−1/θ−1

,

gdzie θ = 0.00001, 29 ,

67 , 2. Zauważmy, że dla y = 1 powyższy wzór sprowadza się tylko do

pierwszego składnika, ponieważ drugi składnik się zeruje. Istotnie

FY (0) =0∑i=1

P(Y = i) = 0,

zatem (FX(1200)−θ + FY (0)−θ − 1

)−1/θ−1=

(FX(1200)−θ + 0−θ − 1

)−1/θ−1

=(FX(1200)−θ +∞− 1

)−1/θ−1

= (∞)−1/θ−1 = 0.

23

Rysunek 3: Warunkowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej Y |X = 1200 dla kopuły Claytona

z τ = 0, 0.1, 0.3, 0.5 (źródło: opracowanie własne)

Rysunek 3 pokazuje warunkową funkcję prawdopodobieństwa zmiennej Y |X = 1200 dla

kopuły Claytona z τ = 0, 0.1, 0.3, 0.5 (θ = 0.00001, 29 ,

67 , 2). Możemy, zauważyć, że wraz ze

wzrostem τ funkcje prawdopodobieństwa „przesuwają się” w prawo oraz pojawiają się większe

wartości prawdopodobieństwa określonego zdarzenia. Jest to spowodowane zwiększającą się

zależnością między zmiennymi X i Y oraz wynika z faktu, że wartość przyjętego warunku

x = 1200 zł jest wyższa niż oczekiwana wartość średniej wielkości szkód µ = 1000 zł.

(b) Następnie chcemy wyznaczyć warunkowy rozkład prawdopodobieństwa Y |X = x, gdy śred-

nia wartość szkody wynosi x = 1200 zł dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela przy

współczynniku τ = 0.3. Postępujemy analogicznie jak w punkcie (a) stosując odpowiednią

pierwszą pochodną cząstkową C ′1 dla danej kopuły oraz formułę na θ. Mianowicie dla kopuły

Gaussa mamy

C ′Ga1 (u, v) = Φ(

Φ−1(v)− θΦ−1(u)√1− θ2

)oraz

τ =2π

arcsin θ ⇒ θ = sin(τπ

2

),

dla kopuły Gumbela

C ′Gu1 (u, v) = u−1(− log u)θ−1 ((− log u)θ + (− log v)θ)1/θ−1

exp(−((− log u)θ + (− log v)θ

)1/θ)oraz

τ = 1− 1θ⇒ θ =

11− τ

.

W kodzie D.4 znajdują się wyliczenia w SAS do tej części przykładu. Rysunek 4 przedstawia

warunkową funkcję prawdopodobieństwa Y |X = 1200 dla kopuły Gaussa, Claytona i Gum-

bela przy ustalonej wartości współczynnika τ = 0.3. Możemy zauważyć, że przy ustalonej

zależności między zmiennymi losowymi rozkład warunkowy w zależności od kopuły nieznacz-

nie się różni. Ponadto dla kopuły Gumbela prawy ogon rozkładu jest bardziej przesunięty w

prawo w porównaniu z pozostałymi kopułami.

24

Rysunek 4: Warunkowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej Y |X = 1200 przy τ = 0.3 dla

kopuły Gaussa, Claytona i Gumbela (źródło: opracowanie własne)

Na podstawie tego przykładu możemy wysunąć wniosek, że znacznie większy wpływ na rozkład

warunkowy ma wybór zależności niż wybór rodziny kopuł, a co za tym idzie wpływ ten jest za-

uważalny również dla rozkładu łącznego liczby i średniej wartości szkód. Zatem założenie o braku

zależności miedzy zmiennymi losowymi może prowadzić do błędów estymacji.

2.2.3 Estymacja łącznej szkoda z polisy

Możemy teraz przejść do głównego celu niniejszej pracy, czyli do wprowadzania rozkładu łącz-

nej wartości szkód odpowiadającej pojedynczej polisie. Na początku zdefiniujemy zmienną losową

określającą tę wielkość.

Definicja 2.2 (Łączna szkoda z polisy). [13]

Niech X będzie dodatnią zmienną losową określającą średnią wartość szkody oraz Y dodatnią

zmienną losową określającą liczbę szkód. Łączna szkoda z polisy jest definiowana jako iloczyn tych

wielkości, tj.

L := X · Y. (2.11)

Łączna szkoda z polisy jest dodatnią, ciągłą zmienną losową i zależy od 4 parametrów, o

których mowa była już wcześniej. Poniższe twierdzenie przedstawia rozkład łącznej wartości szkód

(lub równoważnie mówiąc łącznej szkody z polisy), czyli rozkład zmiennej losowej L.

Twierdzenie 2.3.

Rozkład łącznej szkody z polisy L jest dany przez funkcję gęstości

fL(l|µ, δ, λ, θ) =∞∑y=1

[C ′1

(FX

(l

y|µ, δ

), FY (y|λ) |θ

)− C ′1

(FX

(l

y|µ, δ

), FY (y − 1|λ) |θ

)]·1yfX

(l

y|µ, δ

)(2.12)

dla l > 0.

25

Dowód : Dla uproszczenia notacji pominiemy parametry modelu zapisane w powyższej formule.

Rozważmy dwuwymiarowy wektor losowy

(L, Y )T ∈ R+ × 1, 2, . . .

Zatem widzimy, że wektor losowy (L, Y ) ma ciągło-dyskretną strukturę, wobec tego możemy za-

stosować wzór (2.3) na gęstość łączną

fL,Y (l, y) =∂

∂lP(L ¬ l, Y = y). (2.13)

Przekształcając wzór (2.11) do X = L/Y i w kolejnym kroku podstawiając x = l/y, otrzymujemy

fL,Y (l, y) =∂

∂lP(X ¬ l

y, Y = y

)= fX,Y

(l

y, y

)· 1y.

Korzystając z twierdzenia 2.1 dostajemy rozkład łączny wektora (L, Y )

fL,Y (l, y) = fX

(l

y

)[C ′1

(FX

(l

y

), FY (y)

)− C ′1

(FX

(l

y

), FY (y − 1)

)]· 1y,

a następnie, stosując wzór na rozkład brzegowy, gdy Y jest zmienną losową o rozkładzie dyskret-

nym, otrzymujemy tezę twierdzenia

fL(l) =∫

1,2,...

fL,Y (l, y)dν =∑

y=1,2,...

fL,Y (l, y),

gdzie ν jest miarą liczącą.

Twierdzenie 2.3 daje nam formułę, dzięki której możemy odczytać pewne własności rozkładu.

Ponadto mamy możliwość oszacowania gęstości dla łącznej szkody z polisy L przy ustalonym

zbiorze parametrów µ, δ, λ, związanych z zadanymi rozkładami brzegowymi, oraz parametrze θ

związanym z rodziną kopuł.

W pierwszej kolejności zilustrujemy gęstości L w zależności od wyboru kopuły oraz stopnia

zależności między średnią wartością szkody X oraz liczbą szkód Y , przy takich samych para-

metrach rozkładu dla rozkładów brzegowych jak w przykładzie 1. Następnie zilustrujemy gę-

stość L przy założeniu niezależności między omawianymi zmiennymi. Ponadto, korzystając z pa-

kietu CopulaRegression2 wyznaczymy wartość oczekiwaną łącznej wartości szkód z polisy.

Przykład 1 - kontynuacja

(c) Przypomnijmy, że

X ∼ Gamma(1000, 0.09)

oraz

Y ∼ ZTP (2.5).

Korzystając z twierdzenia 2.3 w programie SAS wyliczamy teoretyczne wartości funkcji gęsto-

ści fL dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela i dla 3 różnych parametrów współczynnika

τ Kendall’a, równych 0.1, 0.3 i 0.5 (kod D.5). Otrzymane wyniki przedstawia rysunek 5.

2Pakiet CopulaRegression programu R został stworzony przez autorów pracy [13] i zawiera zaimplementowane

zagadnienia z owej pracy

26

Rysunek 5: Gęstości łącznej szkody z polisy dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela przy trzech

wartościach τ Kendall’a (źródło: opracowanie własne)

27

Po pierwsze zauważamy, że rozkład łącznej szkody z polisy cechuje się prawostronną asyme-

trią, gdyż prawy ogon rozkładu jest dłuższy. Na wykresach widoczne również są dwa mak-

sima, co oznacza, iż rozkład posiada dwie najczęściej występujące wartości (mody). Zatem

teoretyczne gęstości fL mają tendencję do wielomodalności. W dodatku występujące „gór-

ki” stają się bardziej wyraźne przy wzroście współczynnika τ . Te dwie własności (skośność i

wielomodalność) można łatwo wyjaśnić z twierdzenia 2.3. Wprowadzając oznaczenie

κ(y, l|µ, δ, λ, θ) :=1yP(Y = y|X =

l

y, µ, δ, λ, θ

),

gęstość szkody z polisy Lmożemy zapisać jako nieskończoną „kombinację” rozkładów Gamma

fL(l|µ, δ, λ, θ) =∞∑y=1

κ(y, l|µ, δ, λ, θ) · fX(l

y|µ, δ

).

Ponieważ poszczególne gęstości Gamma charakteryzują się skośnością, to wydaje się być na-

turalnym, że „kombinacja” tych gęstości również posiada tę własność. Ponadto „kombinacja”

jednomodalnych gęstości Gamma także może być wielomodalna. Niewątpliwie zbiór przyję-

tych parametrów µ, δ, λ, θ wpływa na liczbę najczęściej występujących wartości oraz na to,

jak wyraźne one są. Jednak najważniejszym spostrzeżeniem wynikającym z rysunku 5 jest

to, że wykresy gęstości fL są prawie identyczne dla wszystkich trzech kopuł, a więc wybór ro-

dziny kopuł w bardzo małym stopniu wpływa na rozkład łącznej szkody z polisy. Natomiast

na rozkład L zdecydowanie wpływa współczynnik τ .

Następnie przedstawimy oszacowaną gęstość łącznej wartości szkód L przy założeniu nie-

zależności między średnią wartością szkody X a liczbą szkód Y . W tym celu w programie

SAS stworzono symulację (kod D.6) n = 1000 wartości łącznej szkody z polisy, będących

iloczynem obserwacji pochodzących z rozkładu Gamma oraz ZTP

li = xi · yi, i = 1, . . . , 1000,

gdzie xi, yi są niezależnie losowane z odpowiedniego rozkładu. Za pomocą procedury proc

kde oszacowano gęstość jądra dla L, co przedstawia rysunek 6.

Rysunek 6: Oszacowana gęstość L przy założeniu niezależności X i Y . (źródło: opracowanie własne)

28

Statystyczne szacowanie gęstości obejmuje przybliżenie hipotetycznej funkcji gęstości praw-

dopodobieństwa z obserwowanych danych3. Na podstawie rysunku 6 widzimy, że gęstość

zmiennej L = X ·Y przy założeniu niezależności między X i Y również cechuje się asymetrią

prawostronną. Jednak w tym przypadku nie zauważamy wielomodalności.

W kolejnym kroku wyznaczymy wartość oczekiwaną zmiennej losowej L wyrażającej łączną

wartość szkód z polisy dla różnych wartości współczynnika τ , wynoszących 0.1, 0.3 i 0.5 dla

kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela. Zauważmy, że wartość oczekiwaną L = X · Y , przy

założeniu niezależności zmiennych X od Y , wynosi

E(L) = E(X · Y ) ⊥= E(X) · E(Y ) = 1000 · 2.723 = 2723 (zł)

Korzystając z funkcji epolicyloss wyznaczamy w programie R wartości oczekiwane łącznej

szkody z polisy (kod D.7). Otrzymane wyniki przedstawia tabela 3.

Tabela 3: Wartość oczekiwana łącznej szkody z polisy L w złotych dla kopuły Gaussa, Claytona

oraz Gumbela (źródło: opracowanie własne)

rodzina kopuł wartość τ

0.1 0.3 0.5

Gauss 2788 2912 3020

Clayton 2778 2881 2974

Gumbel 2801 2934 3037

Wartość oczekiwana łącznej szkody z polisy przy założeniu niezależności X i Y wynosi 2723

zł. Natomiast przy zwiększającej się wartości współczynnika τ , wyrażającego związek miedzy

X i Y , zauważamy, że dla wszystkich kopuł wartości oczekiwane L są większe od 2723 zł.

Oznacza to, że założenie o niezależności średniej wartości szkody i liczby szkód prowadzi do

niedoszacowania łącznej szkody z polisy.

Bazując na przedstawionych w tym rozdziale przykładach widzimy, że wybór rodziny kopuł nie

wpływa w znacznym stopniu na rozkład łącznej wartości szkód z polisy L. Natomiast obserwujemy

silną zależność rozkładu tej zmiennej w stosunku do wielkości współczynnika τ , który mówi o

występowaniu zależności między średnią wartością szkody X a liczbą szkód Y .

3Szacowanie gęstości jądra jest nieparametryczną techniką oceny gęstości, w której znaną funkcję gęstości (jądro)

uśrednia się w obserwowanych punktach danych, aby uzyskać gładkie przybliżenie.

29

3 Modele regresyjne

Jak już zostało powiedziane, głównym zadaniem firm ubezpieczeniowych jest problem kalkulacji

składki i należy tego dokonać w taki sposób, aby zapewniała ona zdolność wypłacenia wszystkich

należnych świadczeń. W poprzednim rozdziale przedstawiliśmy ten problem z punktu widzenia

aktuariusza, bowiem poszukiwaliśmy rozkładu łącznej wartości szkód z polisy, jednak teraz rozwa-

żymy go pod kątem wyceny umów ubezpieczeniowych. Oczywistym jest, że firma ubezpieczeniowa

nie powinna stosować tej samej składki dla wszystkich polis. Składka powinna być ustalona ze

względu na indywidualne cechy klienta, na podstawie których przejawia on podatność na ryzyko

wystąpienia dowolnego roszczenia. Tak więc kolejnym podejściem do omawianego zagadnienia jest

przeprowadzenie poprawnego podziału klientów na tzw. grupy taryfowe.

3.1 Zagadnienie klasyfikacji w ubezpieczeniach

Klasyfikacja klientów w ubezpieczeniach komunikacyjnych polega na tym, aby wyznaczyć zbiór

cech charakteryzujących daną grupę taryfową, w której klienci będą generować podobną wysokość

roszczeń. Należy przez to rozumieć, że osoby należące do tej samej klasy taryfowej przejawia-

ją podobną podatność na ryzyko. Wyznaczenie grup taryfowych odbywa się w oparciu o zbiór

zmiennych (zbiór danych statystycznych) opisujących danego klienta, czyli tak zwanych czynni-

ków ryzyka. Przy poprawnie przeprowadzonej klasyfikacji powstaje (względnie) jednorodny portfel

polis ubezpieczeniowych. W ten sposób aktuariusz może sprawiedliwie i uczciwie wycenić składkę

dla osób o podobnym profilu ryzyka. Z punktu widzenia firmy ubezpieczeniowej jest to niezwykle

ważne, gdyż poprawne określenie taryfy daje przewagę na rynku ubezpieczeń.

W obecnej praktyce ubezpieczeń komunikacyjnych ratemaking, czyli proces klasyfikacji ryzyka,

składa się zasadniczo z dwóch etapów. Pierwszy z nich to klasyfikacja a priori, czyli proces kla-

syfikacji kierowców na grupy ryzyka w momencie zakładania polisy na podstawie obserwowalnych

czynników. Do zmiennych objaśniających (zwanych też klasyfikującymi) w tym procesie należą mię-

dzy innymi: wiek; płeć; miejsce zamieszkania; wykonywany zawód; status materialny; rodzaj, kolor,

marka samochodu; pojemność silnika, cel użytkowania samochodu, jak i wiele innych. Zauważmy,

że wymienione zmienne, czyli czynniki ryzyka, możemy podzielić na następujące grupy [17]:

• czynniki opisujące kierowcę,

• czynniki dotyczące pojazdu,

• czynniki zawierające cele,

• pozostałe czynniki.

Ponadto zmienne objaśniające można również podzielić ze względu na ich rodzaj: zmienne liczbo-

we (np. pojemność silnika), zmienne kategorialne (np. wiek), zmienne dychotomiczne (np. płeć).

Jednakże system klasyfikacji a priori nie jest w stanie uwzględnić wszystkich ważnych czynników,

ponieważ niektórych z nich nie możemy w żaden sposób zmierzyć. Do takich zmiennych należą mię-

dzy innymi: umiejętność prowadzenia samochodu, stan techniczny samochodu, stan wzroku, stan

zdrowia, szybkość odruchów, agresywność podczas prowadzenia samochodu, respektowanie prze-

pisów ruchu drogowego, przebieg samochodu. Mimo iż wymienione zmienne niewątpliwie powinny

być brane pod uwagę przy ustalaniu składki klienta, to ze względu na ich indywidualny charakter

nie ma jednak możliwości wprowadzenia ich do systemu taryfikującego. Tak więc nawet najdo-

kładniejsza klasyfikacja a priori, uwzględniająca szereg zmiennych klasyfikujących, nie przedstawi

30

całkowitej podatności na ryzyko, co w konsekwencji będzie prowadzić do niejednorodności całego

portfela. Z tego powodu klasyfikacja a posteriori jest niezbędna, aby umożliwić ponowną ocenę

składki, uwzględniającą zwyżki i zniżki na podstawie indywidualnej historii zgłoszonych roszczeń

ubezpieczonego, gdy stanie się ona dostępna [2]. W pracy ograniczymy się do taryfikacji a priori.

Aby skonstruować strukturę taryfową, która odzwierciedla różne profile ryzyka w portfelu polis

ubezpieczeniowych, stosuje się modele statystyczne. Techniki regresyjne pozwalają na włączenie

różnych zmiennych objaśnianych, tak aby aktuariusz był w stanie skonstruować klasy ryzyka z

mniej lub bardziej podobnymi profilami ryzyka. Dla ubezpieczeń majątkowych typowymi zmienn-

zmi objaśnianymi w tych modelach są: częstość zgłoszonych roszczeń (ang. claim frequency) oraz

odpowiadająca jej kwota roszczenia (ang. claim severity). W odniesieniu do polis komunikacyjnych

(np. polis OC/AC) możemy mówić o modelach regresyjnych dla liczby szkód i ich średniej wartości.

Ze względu na charakter profili ryzyka i danych ubezpieczeniowych do najczęściej wykorzystywa-

nych technik regresyjnych należą uogólnione modele liniowe (ang. generalized linear models)[19].

3.2 Uogólnione modele liniowe

Uogólnione modele liniowe (ozn. GLM) służą do modelowania relacji pomiędzy zmienną obja-

śnianą (zmienną zależną) a zmiennymi objaśniającymi (zmiennymi niezależnymi) i są uogólnieniem

zwykłej regresji liniowej. Przypomnijmy teraz założenia klasycznego modelu regresji liniowej.

Klasyczny model regresji liniowej ([9])

KMRL zakłada, że zmienna zależna Z (zmienna losowa) składa się z liniowej kombinacji zmiennych

niezależnych (predyktorów) oraz składnika losowego. Dokładniej model regresji liniowej przyjmuje

formę

Z = β0 + β1x1 + . . .+ βmxm + ε

gdzie β0, β1, . . . , βm to współczynniki modelu, x1, . . . , xm to zmienne objaśniające, zaś ε to skład-

nik losowy (błąd). Dla n niezależnych obserwacji Z i powiązanych z nimi wartościami xi model

przyjmuje postać

Z1 = β0 + β1x11 + β2x12 + ...+ βmx1m + ε1

Z2 = β0 + β1x21 + β2x22 + ...+ βmx2m + ε2

...

Zn = β0 + β1xn1 + β2xn2 + ...+ βmxnm + εn

gdzie εj jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N (0, σ2) dla każ-

dego 1 ¬ j ¬ n. Przechodząc na postać macierzową dostajemyZ1

Z2...

Zn

=

1 x11 x11 . . . x1m

1 x21 x22 . . . x2m...

......

. . ....

1 xn1 xn2 . . . xnm

β0

β1...

βm

+

ε1

ε2...

εn

.

Równanie modelu przyjmuje postać

Z = Xβ + ε

ε ∼ N (0, σ2I)

31

gdzie β oraz σ2 są nieznanymi parametrami modelu, których szukamy. Zakładamy, że istnieją

parametry βi, i = 0, 1, . . . ,m takie, że

E(Z) = µ = β0 + β1x1 + . . .+ βmxm,

V ar(Z) = σ2.

Zauważmy, że normalność składnika losowego implikuje normalność zmiennej zależnej Z, zatem

Z ∼ N (µ, σ2).

Współczynniki regresji liniowej β można estymować za pomocą metody najmniejszych kwadra-

tów, która jest w tym przypadku jednocześnie metodą największej wiarogodności. Jest to jedna z

najstarszych metod estymacji.

Uogólnione modele liniowe ([5], [6], [1])

GLM uogólniają podejście w klasycznej regresji liniowej w dwóch zasadniczych kwestiach:

• rozkład zmiennej objaśnianej jest wybierany z wykładniczej rodziny rozkładów, tak więc nie

musi mieć rozkładu normalnego,

• przekształcenie wartości oczekiwanej zmiennej objaśnianej jest liniowo związane ze zmienny-

mi objaśniającymi.

W konsekwencji przynależenia zmiennej zależnej do wykładniczej rodziny rozkładów modelowa-

na relacja może być heteroskedastyczna, a zatem wariancja będzie się zmieniać w zależności od

średniej, a ta z kolei będzie się zmieniać w zależności od zmiennych objaśniających.

Główne założenia uogólnionych modeli liniowych: Załóżmy, że mamy ciąg niezależ-

nych zmiennych losowych Zj , j = 1, . . . , n o realizacji zj oraz odpowiadające każdemu z nich

wartości xj1, . . . , xjm. Związek tych zmiennych często zapisuje się za pomocą notacji indeksowanej

następująco:

Zj = Z(xj), j = 1, . . . , n,

gdzie xj = (xj1, . . . , xjm)t. Równanie predykcji dla zmiennej zależnej Zj ma postać

g(E(Zj)) = β0 + β1xj1 + . . .+ βmxjm.

gdzie g nazywamy funkcją łączącą (ang. link function). Powyższe równanie przedstawia związek

zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi poprzez funkcję g, która nie musi być liniowa.

Dodatkowo zakładamy, że funkcja łącząca g jest różniczkowalna i ściśle monotoniczna. Ponieważ

jest ona ściśle monotoniczna, wówczas istnieje funkcja odwrotna, więc powyższe równanie może

być zapisane jako

E(Zj) = g−1(β0 + β1xj1 + . . .+ βmxjm). (3.1)

Zmienne objaśniające są nadal połączone w funkcję liniową, ale zmienna objaśniana może być

nieliniową funkcją tej kombinacji. Liniowa kombinacja m zmiennych objaśniających tworzy pre-

dyktor liniowy (ang. linear predictor) oznaczany przez η:

ηj = β0 + β1xj1 + . . .+ βmxjm.

Po jego uwzględnieniu i wprowadzaniu zapisu µj = E(Zj) równanie (3.1) przyjmuje postać

µj = g−1(ηj),

32

a zapisane w postaci macierzowej

E(Z) = µ = g−1(η).

gdzie

Z = (Z1, . . . , Zn)t,

µ = (µ1, . . . , µn)t,

η = (η1, . . . , ηn)t = Xβ.

Następnym bardzo ważnym założeniem GLM jest to, że zmienne objaśniane Zj muszą być

członkami wykładniczej rodziny rozkładów. Podczas modelowania możemy wybrać rozkład

z tej rodziny, który będzie odpowiedni dla modelowanej zależności.

Wartości współczynników β0, β1, . . . , βm są estymowane z danych za pomocą metod największej

wiarogodności.

Wykładnicza rodzina rozkładów: W GLM zakładamy, że zmienna objaśniana Z (a tym

samym zmienne Zj , j = 1, . . . , n) należy do wykładniczej rodziny rozkładów, to znaczy rozkład

prawdopodobieństwa może być zapisany w następującej postaci:

f(z|θ, φ) = expzθ − b(θ)a(φ)

+ c(z, φ), (3.2)

gdzie

a(φ) jest dodatnia i ciągła,

b(θ) jest dwukrotnie różniczkowalna oraz jej druga pochodna jest dodatnia i odwracalna,

c(z, φ) nie jest zależna od θ.

Parametr θ nazywamy parametrem kanonicznym i jest on związany ze średnią, natomiast φ

nazywamy parametrem dyspersji (skali) związanym z wariancją. Zmienna objaśniana możne być

dyskretna lub ciągła, wobec tego funkcja f(·|θ, φ) reprezentuje albo funkcję prawdopodobieństwa

albo gęstość. Funkcje b(θ), a(φ) oraz c(z, θ) determinują różne klasy rozkładów, a tym samym

rozwiązania problemów GLM. Oznacza to, że rozkład zmiennej zależnej należy dostosować do

modelowanej sytuacji. Ta własność daje przewagę GLM nad KMRL, gdyż nie musimy zakładać,

że analizowana zmienna objaśniana ma rozkład normalny.

Wartość oczekiwana oraz wariancja dla rozkładów pochodzących z wykładniczej rodziny roz-

kładów wynoszą

E(Z) = b′(θ) (3.3)

V ar(Z) = a(φ)b′′(θ), (3.4)

gdzie b′(θ) oraz b′′(θ) oznaczają odpowiednio pierwszą i drugą pochodną względem θ. Udowodni-

my teraz równości (3.3) oraz (3.4). Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji f(z) z (3.2)

względem θ. Wynoszą one

f ′(z) = f(z) ·[z − b′(θ)a(φ)

], f ′′(z) = f(z) ·

[z − b′(θ)a(φ)

]2

− f(z)b′′(θa(φ)

.

Całkując obustronnie powyższe równości względem z otrzymujemy

0 =E(Z)− b′(θ)

a(φ), 0 =

E(Z − b′(θ))2

a(φ)2 − b′′(θ)a(φ)

(3.5)

Zakładając, że całkę i pochodną możemy zamieniać miejscami, lewe strony powyższych równości

wynoszą zero ∫f ′(z)dz =

∂

∂θ

∫f(z)dz = 0,

∫f ′′(z)dz =

∂2

∂θ2

∫f(z)dz = 0.

33

Równości (3.3) oraz (3.4) wynikają z (3.5).

Do rodziny rozkładów wykładniczych należą miedzy innymi rozkład normalny, Poissona, Gam-

ma, dwumianowy i wykładniczy. Pokażemy teraz w poniższym przykładzie, że rozkład Poissona

należy do wykładniczej rodziny rozkładów.

Przykład 2

Funkcję rozkładu prawdopodobieństwa dla rozkładu Poissona (patrz: dodatek B.3) możemy zapisać

f(y|λ) =λye−λ

y!

= exp

log(λye−λ

y!

)= exp

y log λ− λ

1− log y!

.

Podstawiając θ = log λ lub równoważnie eθ = λ dostajemy

f(y|λ) = expyθ − eθ

1− log y!

.

Zatem b(θ) = eθ, a(φ) = φ = 1 oraz c(y, φ) = − log y!. Możemy również obliczyć średnią oraz

wariancję rozkładu na podstawie wzorów (3.3) oraz (3.4):

E(Y ) = b′(θ) = eθ = λ,

V ar(Y ) = a(φ)b′′(θ) = eθ = λ.

W tabeli 4 przedstawiono cztery przykładowe rozkłady należące do wykładniczej rodziny roz-

kładów z uwzględnieniem wyboru funkcji b(θ), a(φ) oraz c(z, φ).

Tabela 4: Wykładnicza rodzina rozkładów (źródło: [5])

rozkład θ b(θ) φ a(φ) c(z, φ)

Normalny(µ, σ2) µ θ2/2 σ2 φ −12

[z2

φ+ log(2πφ)

]Poissona(λ) log λ eθ 1 1 − log(y!)

Dwumianowy (p, n) log[p/(1− p)] n log(1 + eθ) 1 1 log(nz

)Gamma(µ, δ) − 1

µ− log(−θ) δ φ 1

φ log zφ − log y − log Γ( 1

φ )

Niekiedy w literaturze możemy spotkać się z sytuacją, że funkcja a(φ) w równości (3.2) jest

zastąpiona przez φ/w, gdzie w > 0 oznacza wagę. Zatem funkcja prawdopodobieństwa/gęstość

przybiera postać

f(z|θ, φ, w) = expzθ − b(θ)φ/w

+ c(z, φ/w).

Zwykle zakłada się, że parametr dyspersji φ jest stały dla wszystkich zmiennych objaśnianych w

próbce. Parametr φ albo jest znany z góry (np. dla regresjii Poissona φ = 1) albo musi być estymo-

wany. W przypadku gdy φ jest traktowany jako kolejny parametr modelu, może być estymowany

metodą największej wiarogodności. Niestety wadą takiego podejścia jest to, że nie można uzyskać

jednoznacznej formuły dla φ i rozwiązanie równania największej wiarogodności dla φ jest trudne.

34

Inne możliwości estymowania parametru φ można znaleźć w [1]. Nie będziemy dalej skupiać się na

tym problemie.

Użycie wag w przypadku postaci funkcji prawdopodobieństwa/gęstości jest przydatne, gdy dane

są zgrupowane lub określają częstotliwość, wówczas w jest częstością poszczególnej obserwacji. W

przypadku regresji Poissona wagi w = 1 i z tego powodu nie wpływają na modelowane zagadnienie.

Funkcja wariancji: Poprzez zastąpienie funkcji a(φ) przez φ/w w formule na wariancję (3.4)

otrzymujemy, że

V ar(Z) =φ

wb′′(θ). (3.6)

Przy założeniu odwracalności funkcji b′(θ) z równości (3.3) parametr θ możemy wyznaczać jako

funkcję wartości oczekiwanej µ = E(Z)

θ = b′−1(µ). (3.7)

Wiemy również, że µ jest funkcją predyktora liniowego η, który wyraża się za pomocą kombinacji

liniowej m zmiennych objaśniających

µ = g−1(η) = g−1(β0 + β1x1 + . . .+ βmxm).

Stąd też otrzymujemy, że θ jest funkcją parametrów β0, β1, . . . , βm

θ = b′−1(g−1(β0 + β1x1 + . . .+ βmxm))

Następnie, podstawiając (3.7) w (3.6), otrzymujemy

V ar(Z) =φ

wV (µ).

gdzie V (µ) = b′′(b′−1(µ)). Funkcję V (µ) nazywamy funkcją wariancji. Powyższe równanie określa

związek między wariancją a wartością oczekiwaną dla wykładniczej rodziny rozkładów, mianowicie

wariacja zmiennej objaśnianej jest funkcją jej wartości oczekiwanej. Ponadto wiedząc, że µ jest

funkcją predyktora liniowego, a tym samym parametrów β0, β1, . . . , βm, możemy zauważyć, że

zmienność parametrów w GLM będzie pociągała za sobą zmienność wartości oczekiwanej, a ta z

kolei będzie wpływać na zmienność wariancji. W tabeli 5 przedstawiono funkcje wariancji V (µ) dla

przykładowych rozkładów.

Tabela 5: Funkcje wariancji V (µ) (źródło: [5])

rozkład V (µ)

Normalny µ0 = 1

Poissona µ

Dwumianowy µ(1− µ)

Gamma µ2

Funkcja łącząca: W założeniach modelu GLM funkcja g musi być różniczkowalna oraz ści-

śle monotoniczna - albo ściśle rosnąca albo ściśle malejąca. Wtedy wówczas istnieje jej funkcja

odwrotna

g(µ) = η,

µ = g−1(η).

35

Z tego względu powszechnie stosuje się kilka typowych funkcji łączących, które są przestawione w

tabeli 6.

Tabela 6: Standardowe funkcje łączące g (źródło: [5])

g(µ) g−1(η) dziedzina g−1(η)

identyczność µ η (−∞,+∞)

logarytmiczna logµ eη (0,+∞)

logitowa log(µ/(1− µ)) eη/(1 + eη) (0, 1)

probitowa Φ−1(µ) Φ(η) (0, 1)

odwrotność 1µ

1η (−∞, 0) ∪ (0,+∞)

Metoda największej wiarogodności dla współczynników modelu: Współczynniki

β0, β1, . . . , βm są estymowane metodą największej wiarogodności (ang. maximum likelhood esti-

mation, ozn. MLE). Załóżmy standardowo, że mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych Zj ,

j = 1, . . . , n o realizacji zj . Funkcja wiarogodności dana jest wzorem

L(β) =n∏j=1

f(zj |θj , φ) =n∏j=1

expzjθj − b(θj)

aj(φ)+ c(zj , φ)

gdzie β = (β0, β1, . . . , βm)t. Celem metody największej wiarogodności jest wyznaczenie wektora

parametrów β współczynników regresji β poprzez maksymalizację funkcji logarytmu wiarogodno-

ści:

`(β) = log(L(β)) = log

n∏j=1

f(zj |θj , φ)

=n∑j=1

log f(zj |θj , φ)

=n∑j=1

[zjθj − b(θj)

aj(φ)+ c(zj , φ)

]. (3.8)

Aby tego dokonać, należy obliczyć pierwsze pochodne cząstkowe względem βi, a następnie przy-

równać je do zera, czyli trzeba rozwiązać układ równań

∂

∂βi`(β) = 0, i = 0, . . . ,m

z m+ 1 niewiadomymi. Zauważmy, że w równości (3.8) tylko θj są funkcjami βi, natomiast zj oraz

φ nie zależą od βi. Oznaczając przez `j := log f(zj |θj , φ), logarytm funkcji wiarogodności możemy

również zapisać w następującej postaci

`(β) =n∑j=1

`j .

Korzystając z reguły łańcucha dostajemy, że

∂`

∂βi=

n∑j=1

∂`j∂θj

∂θj∂µj

∂µj∂ηj

∂ηjβi

.

Ponieważ

µj = b′(θj),

g(µj) = ηj ,

36

ηj = β0 + β1xj1 + · · ·+ βkxjm,

poszczególne pochodne cząstkowe wynoszą

∂`j∂θj

=zj − b′(θj)aj(φ)

=zj − µjaj(φ)

,

(∂θj∂µj

∂µj∂ηj

)−1

=∂µj∂θj

∂ηj∂µj

= b′′(θj)g′(µj),

∂ηjβi

= xji.

Zatem ostatecznie, podstawiając V ar(zj) = aj(φ)b′′(θj), otrzymujemy

∂

∂βi`(β) =

n∑j=1

(zj − µj)xjiaj(φ)b′′(θj)g′(µj)

=n∑j=1

(zj − µj)xjiV ar(zj)g′(µj)

.

Pamiętając, że V ar(zj) możemy zapisać za pomocą funkcji wariancji oraz wag, mianowicie V ar(zj) =φwiV (µj), dostajemy równania wiarogodności

∂

∂βi`(β) =

n∑j=1

wj(zj − µj)xjiφV (µj)g′(µj)

= 0, i = 0, 1, . . . ,m, (3.9)

gdzie nieznane parametry β0, β1, . . . , βm są uwzględnione w µj przez

µj = g−1(β0 + β1xj1 + · · ·+ βkxjm).

Zauważmy, że xj0 = 1, ponieważ β0 to stała. Rozwiązania równań (3.9), oznaczane przez β0, β1, . . . , βm,

są estymatorami największej wiarogodności współczynników β0, β1, . . . , βm i w praktyce do ich zna-

lezienia używa się metod numerycznych.

Uwaga. Dla GLM zestaw nieznanych parametrów to β, φ, więc logarytm największej wiarogodno-

ści jest funkcją l(β, φ), która jest ona wyznaczona równaniem (3.8). Ponadto zauważmy, że roz-

wiązanie równania (3.9) nie zależy od φ, czyli estymator największej wiarogodności β liczony jest

niezależnie od φ. Z tego powodu w powyższym rozumowaniu ograniczyliśmy się do funkcji logarytmu

wiarogodności tylko dla parametru β.

Kategorialne zmienne objaśniające: Modelując dane zagadnienie możemy również użyć

zmiennych kategorialnych, to znaczy takich, które posiadają ograniczoną liczbę pewnych warto-

ści lub kategorii. Zmienna opisująca płeć przyjmująca kategorie ”M” dla mężczyzny oraz ”F” dla

kobiety oraz zmienna opisująca miejsce zamieszkania jako miejskie, wysoko miejskie, wiejskie, wy-

soko wiejskie są przykładami zmiennych kategorialnych. W praktyce GLM zmienne kategorialne,

które przyjmują różne poziomy, lepiej jest sparametryzować. Gdy zmienna objaśniająca x ma r

poziomów należy wprowadzić r − 1 nowych zmiennych binarnych

xi =

1 dla poziomu i

0 w pozostałych przypadkachi = 1, . . . , r − 1,

przy czym poziom r, który nie został użyty, nazywamy poziomem bazowym. Wprowadzone nowe

zmienne modelują różnicę pomiędzy każdym poziomem, a poziomem bazowym. Wybór poziomu

bazowowego zależy od modelującego, ale byłoby najkorzystniej przyjmować go jako najczęściej

występującą kategorię wśród zestawu danych [6].

37

Uwaga. Program zazwyczaj wybiera poziom bazowy jako najwyższy poziom numeryczny bądź alfa-

betyczny. W programie SAS można również samemu zdefiniować poziom bazowy, zwany poziomem

odniesienia, przy użyciu deklaracji class w procedurze proc genmod.

Na zakończenie tej części przedstawimy krótkie podsumowanie GLM:

• zmienne objaśniane Zj są niezależne i pochodzą z wykładniczej rodziny rozkładów, czyli ich

rozkład zdefiniowany jest przez

f(z|θj , φ, wj) = expzθj − b(θj)φ/wj

+ c(zj , φ/wj),

gdzie θj jest parametrem, który zależy od j, zaś φ jest stały dla każdego j. Wagi mogą być

identyczne lub być włączone do GLM,

• zmienne objaśniające xji tworzą liniowy predyktor

ηj = β0 + β1xj1 + . . .+ βmxjm,

• funkcja łącząca g jest różniczkowalna oraz ściśle monotoniczna, a zatem posiada funkcję

odwrotną g−1,

• wartości oczekiwane Zj , µj = E(Zj) są oszacowane przez równania

g(µj) = ηj lub µj = g−1(ηj) j = 1, . . . , n,

• wariacja Zj jest funkcją wartości oczekiwanej

V ar(Zj) =φ

wjV (µj),

• współczynniki β0, β1, . . . , βm są estymowane metodą największej wiarogodności,

• należy wybrać rozkład oraz funkcję łączącą właściwą do modelowanego zagadnienia.

3.3 GLM dla liczby szkód i średniej wartości szkody

Jak już powiedzieliśmy na wstępie tego rozdziału, modele regresyjne GLM są niezbędnym na-

rzędziem aktuariuszy do wyceny umów ubezpieczeniowych. W tej części pracy skupimy się na

modelowaniu dwóch zmiennych: liczby szkód (lub częstości szkód) oraz średniej wartości szkody

(lub wielkości szkód) w zależności od pewnego zestawu zmiennych. Na początku oszacujemy te

zmienne w osobnych modelach, wykorzystując procedurę proc genmod w programie SAS, a na-

stępnie połączymy GLM dla dwóch brzegowych modeli regresji z rodzinami kopuł, wykorzystując

pakiet CopulaRegression programu R.

3.3.1 Modelowanie niezależne

Naszym celem będzie modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi objaśnianymi, które w na-

szym przypadku oznaczają liczbę szkód oraz średnią wartość szkody, w oparciu o pewien zbiór

zmiennych objaśniających dotyczących danego ubezpieczonego, np. płeć, wiek, miejsce zamieszka-

nia. Oznaczmy przez X zmienną losową określająca średnią wartość szkody, natomiast przez Y

zmienną losową określającą liczbę szkód. Wykorzystamy GLM do oszacowania, w osobnych mode-

lach, wartości oczekiwanych tych zmiennych. Pamiętajmy, że decydując się na modelowanie GLM,

na początku musimy wybrać rozkład oraz funkcję łączącą dla modelowanej zmiennej.

38

Model regresji dla średniej wartości szkody

Ciągłe zmienne losowe używane są do modelowania kosztów, ze względu na to, że zmienne te są

zwykle dodatnie i cechują się asymetrią. Dlatego też wybieramy rozkład Gamma do modelowa-

nia średniej wartości szkody X. Ponadto chcemy, aby model wartości szkód był multiplikatywny

zamiast addytywny, więc wybieramy funkcję logarytm jako funkcję łączącą. Co więcej, średnia war-

tość szkody X jest zmienną dodatnią, zatem tym bardziej funkcja logarytmiczna jest rozsądnym

wyborem.

Niech Xj , j = 1, . . . , n (n oznacza liczbę polis bądź liczbę ubezpieczonych) będą niezależnymi

zmiennymi losowymi o rozkładzie Gamma, reprezentującymi średnią wartość szkody (roszczenia)

dla j-tej polisy. Poszukujemy modelu zmiennej Xj pod względem zmiennych rj1, . . . , rjm. Model

regresji Gamma dla średniej wartości szkody przyjmuje postać

log (E[Xj ]) = α0 + α1rj1 + · · ·+ αmrjm (3.10)

lub równoważnie

E[Xj ] = expα0 + α1rj1 + · · ·+ αmrjm. (3.11)

gdzie α0, α1, . . . , αm są nieznanymi współczynnikami regresji. Zauważmy, że multiplikatywny efekt

zmiennych objaśniających w modelu wynika z (3.11), gdyż

E[Xj ] = expα0 expα1rj1 · · · expαmrjm.

Oznaczając przez E[Xj ] = µj w równościach (3.10) oraz (3.11) możemy model zapisać w następu-

jące postaci wektorowej

log(µj) = rj tα lub

µj = exprj tα (3.12)

gdzie

rj t = (1, rj1, rj2, . . . , rjm),

α = (α0, α1, . . . , αm)t.

Do wyznaczenia estymatorów współczynników regresji α stosujemy wspomnianą wcześniej me-

todę największej wiarogodności. Niech xj będą realizacjami Xj oraz niech rj1, . . . , rjm określa

komplet wartości zmiennych objaśniających dla j polisy, j = 1, . . . , n. Zgodnie z tabelą 4 oraz

wzorem (3.8) funkcja logarytmu wiarogodności dla rozkładu Gamma wynosi

`(α) =n∑j=1

wjφ

logwjx

φµj− wjx

φµj− log x− log Γ

(wjφ

).

Zwykle przy modelowaniu wielkości roszczeń za wagi wj przyjmuje się liczbę roszczeń j-tej obserwa-

cji. Jednak przyjmujemy dla uproszenia, że wagi wj = 1 dla każdego j. Następnie, aby wyznaczyć

estymatory największej wiarogodności α parametrów regresji α, korzystamy z wyprowadzonego

wzoru (3.9), czyli rozwiązujemy układ (m+ 1) równań

∂`(α)∂αi

=n∑j=1

(xji − µj)rjiφµj

= 0, i = 0, 1, . . . ,m.

Model regresji dla liczby szkód

W przypadku, gdy zmienna objaśniana reprezentuje zmienną zliczającą, często stosowany jest

rozkład Poissona jako rozkład tej zmiennej. Zatem załóżmy, że rozkład Poissona jest rozkładem

39

liczby szkód Y . Jako funkcję łączącą wybieramy logarytm, który jest dobrym wyborem funkcji

łączącej z dwóch powodów. Po pierwsze funkcja odwrotna g−1 funkcji łączącej działa ze zbioru

(−∞,+∞), będącego zbiorem wartości predyktora liniowego η, w zbiór (0,∞), będący zbiorem

przyjmowanych wartości przez liczbę szkód. Po drugie funkcja logarytmiczna powoduje, że model

staje się multiplikatywny.

Niech Yj , j = 1, . . . , n (n oznacza liczbę polis bądź liczbę ubezpieczonych) będą niezależnymi

zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona reprezentującymi liczbę szkód dla j-tej polisy. Poszu-

kujemy modelu zmiennej Yj pod względem zmiennych sj1, . . . , sjm. Model regresji Poissona dla

liczby szkód przyjmuje postać

log (E[Yj ]) = log(ej) + β0 + β1sj1 + · · ·+ βmsjm (3.13)

lub równoważnie

E[Yj ] = ej expβ0 + β1sj1 + · · ·+ βmsjm, (3.14)

gdzie β0, β1, . . . , βm są nieznanymi współczynnikami regresji. Zmienna ej oznacza ekspozycję (w

przypadku rozważania liczby szkód oznacza najczęściej czas trwania polisy), zaś log(ej) zmienną

przesunięcia (nazywaną offset). Uwzględnienie w modelu zmiennej ej powoduje, że E[Yj ] zmienia

się proporcjonalnie do ekspozycji. Innymi słowy, jeżeli czas trwania polisy rośnie, wówczas wartość

oczekiwana Yj również rośnie. Jest to zgodne z naturalną obserwacją, że liczba szkód zależy od

liczby obserwowanych lat posiadania polisy przez ubezpieczanego. Dla regresji Poissona również

efekt zmiennych objaśniających w modelu na zmienną objaśnianą jest multiplikatywny, mianowicie

E[Yj ] = ej expβ0 expβ1sj1 · · · expβmsjm.

Oznaczając przez E[Yj ] = λj w równaniach (3.13) oraz (3.14) możemy zapiać model w następującej

postaci wektorowej

log(λj) = log(ej) + sj tβ lub

λj = ej + expsj tβ (3.15)

gdzie

sj t = (1, sj1, sj2, . . . , sjm),

β = (β0, β1, . . . , βm)t.

Analogicznie jak w przypadku regresji Gamma stosujemy metodę największej wiarogodności

do wyznaczenia estymatorów współczynników regresji. Niech yj będą realizacjami Yj oraz niech

sj1, . . . , sjm określa komplet wartości zmiennych objaśniających dla j polisy, j = 1, . . . , n. Zgodnie

z tabelą 4 oraz wzorem (3.8) funkcja logarytmu wiarogodności dla rozkładu Poissona wynosi

`(β) =n∑j=1

yj log λj − λj − log(yj !).

Estymatory największej wiarogodności β współczynników β otrzymujemy rozwiązując układ (m+

1) równań zgodnie z (3.9), tj.

∂`(β)∂βi

=n∑j=1

(yj − λj)sji = 0, i = 0, 1, . . . ,m,

przy czym zakładamy, że φ = 1 oraz wj = 1.

40

Uwaga. Gdy znamy estymatory największej wiarogodności α oraz β oraz gdy zmienne objaśniające

rj oraz sj w powyższych modelach są zmiennymi kategorialnymi, wówczas wielkości

ηXj = α0 + α1rj1 + · · ·+ αmrjm, j = 1, . . . , n

oraz

ηYj = β0 + β1sj1 + · · ·+ βmsjm, j = 1, . . . , n

pozwalają na zakwalifikowanie ubezpieczonych do poszczególnych grup ryzyka (grup taryfowych).

Dokładniej mówiąc, jeżeli zmienne objaśniające przyjmą określony profil klienta wyznaczony pozio-

mem ηXj oraz ηYj , wtedy możemy wyestymować odpowiednie wartości oczekiwane µj oraz λj. W

ten sposób tworzy się względnie jednorodny portfel, w którym klienci należący do tej samej grupy

ryzyka przejawiają podobną wartość szkody oraz liczbę szkód.

Przykład empiryczny

Teraz przy pomocy procedury proc genmod programu SAS stworzymy dwa osobne modele GLM

dla średniej wartości szkody i liczby szkód, z wykorzystaniem danych pochodzących z książki [6],

umieszczonych na stronie Macquarie University, Sydney. Ten zestaw danych dotyczy rocznych polis

(czas trwania polisy wynosi rok) ubezpieczeń komunikacyjnych wykupionych w 2004 lub 2005 roku.

Zbiór zawiera 67856 polis, z których 4624 (6,8%) miało co najmniej jedną szkodę (roszczenie), czyli

są to polisy szkodowe. Dane zostały opisane przez 10 zmiennych. Do naszej analizy wykorzystamy

5 zmiennych.

W modelach GLM przyjmujemy następujące zmienne dotyczące j-tego ubezpieczonego, dla

j = 1, . . . , 67856:

1. zmienne objaśniane:

• clamcst0 - średnia wartość szkody

• numclaims - liczba szkód

2. zmienne objaśniające:

• gender - płeć: M, F

• agecat - wiek: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (1-najmłodsza grupa, 6-najstarsza grupa wiekowa)

• area - miejsce zamieszkania: A, B, C, D, E, F

Ponadto przyjmujemy, że powyższe zmienne objaśniające są użyte dla obydwu modeli zmiennych

objaśnianych oraz że ekspozycja wynosi rok, czyli ej = 1 dla każdego j. Zauważamy, że wszystkie

zmienne objaśniające są kategorialne, zatem w kolejnym etapie przygotowania danych musimy

określić poziom bazowy każdej ze zmiennych objaśniających. Odpowiednio będą to najliczniejsze

poziomy danej zmiennej. Rysunek 7 przedstawia procentowy udział poszczególnych poziomów dla

płci, wieku oraz miejsca zamieszkania. Na jego podstawie jako ogólny poziom bazowy przyjmujemy

F dla płci, grupę 4 dla wieku, grupę C dla miejsca zamieszkania

41

(a) Zmienna agecat (b) Zmienna area

(c) Zmienna gender

Rysunek 7: Zastawienie poziomów zmiennych objaśniających (źródło: opracowanie własne)

Po wyborze poziomu bazowego możemy przejść do parametryzacji zmiennych objaśniających

na odpowiednią ilość nowych zmiennych binarnych, z których każda związana jest z określonym

poziomem danej zmiennej objaśniającej (to znaczy przyjmuje wartość 1 dla określonego poziomu),

przy czym poziom bazowy nie ma swojego binarnego odpowiednika. Całościowy wpływ poziomu

bazowego na zmienne objaśniane wyrażany jest przez wyraz wolny α0 bądź β0. Zatem zapis binarny

zmiennych gender, agecat, area jest następujący:

rj1 = sj1 =

1 jeżeli gender=M

0 w pozostałych przypadkachrj2 = sj2 =

1 jeżeli agecat=1

0 w pozostałych przypadkach

rj3 = sj3 =

1 jeżeli agecat=2


1 jeżeli agecat=3


rj5 = sj5 =

1 jeżeli agecat=5


1 jeżeli agecat=6


rj7 = sj7 =

1 jeżeli area=A


1 jeżeli area=B


rj9 = sj9 =

1 jeżeli area=D


1 jeżeli area=E


rj11 = sj11 =

1 jeżeli area=F


42

Przy uwzględnieniu powyższych zmiennych model regresji Gamma dla średniej wartości szkody

przyjmuje postać

µj = expα0 +11∑i=1

αirji

dla j = 1, . . . , 4624, natomiast model regresji Poissona dla liczby szkód, przy założeniu, że ej = 1

dla każdego j, przyjmuje postać

λj = expβ0 +11∑i=1

βisji

dla j = 1, . . . , 67853. W powyższych modelach deklarujemy inną liczbę ubezpieczonych. Jest to

spowodowane tym, że regresja Gamma modeluje dodatnią zmienną losową, zatem w odniesieniu

do modelowanej zmiennej X możemy wziąć pod uwagę tylko te polisy, w których wystąpiło co

najmniej jedna szkoda. Natomiast dla regresji Poissona nie mamy takiego ograniczenia, stąd do

modelu brane są pod uwagę wszystkie polisy (włącznie z polisami bezszkodowymi).

Możemy teraz przejść do oszacowania współczynników regresji α = (α0, . . . , α11)t oraz β =

(β0, . . . , β11)t przy pomocy procedury proc genmod programu SAS. Rysunki 8 oraz 9 przedsta-

wiają wyniki estymacji tych parametrów odpowiednio dla regresji Gamma oraz Poissona. Należy

zauważyć, że dla poszczególnych poziomów bazowych zmiennych objaśniających, które zostały włą-

czone do ogólnego poziomu bazowego, oszacowane parametry oraz statystyki wynoszą zero bądź

są pomijane.

Rysunek 8: Analiza ocen parametrów dla regresji Gamma (źródło: opracowanie własne)

43

Rysunek 9: Analiza ocen parametrów dla regresji Poissona (źródło: opracowanie własne)

Przyjmijmy poziom istotności 0.05. Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić

istotność parametrów α0, α1, α2, α5, α7, α11, a tym samym zmiennych rj0 = 1, rj1, rj2, rj5, rj8, rj11

dla regresji Gamma, gdyż wartość p-value jest mniejsza od przyjętego poziomu istotności. Na-

tomiast dla regresji Poissona stwierdzamy istotność parametrów β0, β2, β5, β6, β9, a tym samym

zmiennych sj0 = 1, sj2, sj5, sj6, sj9. Poszukujemy modeli, w których wszystkie parametry danej

regresji będą istotne. Stosujemy w tym celu metodę eliminacji kolejnych nieistotnych zmiennych

objaśniających w analizowanych modelach. Ostateczne wyniki estymacji dla regresji Gamma oraz

Poissona przedstawiają rysunki 10 oraz 11.

Rysunek 10: Analiza ocen parametrów dla regresji Gamma w przypadku istotności wszystkich

parametrów (źródło: opracowanie własne)

44

Rysunek 11: Analiza ocen parametrów dla regresji Poissona w przypadku istotności wszystkich

parametrów (źródło: opracowanie własne)

Na podstawie przedstawionych wyników stwierdzamy istotność parametrów α0, α1, α2, α3, α5, α11

dla regresji Gamma, natomiast dla regresji Poissona β0, β2, β5, β6, β9. Zatem ostatecznie oszacowa-

ne wartości oczekiwane średniej wartości szkody i liczby szkód mają następującą postać

µj = exp7.4686+0.1671rj1+0.2805rj2+0.0907rj3−0.1124rj5+0.3411rj11, j = 1, . . . , n, (3.16)

λj = exp−2.5721 + 0.1946sj2 − 0.2191sj5 − 0.2302sj6 − 0.1349sj9, j = 1, . . . , n. (3.17)

W przypadku klasycznej regresji liniowej wpływ zmiany zmiennej objaśniającej na zmienną

objaśnianą jest addytywny, więc wzrost pewnej zmiennej objaśnianej o jednostkę przy pozosta-

łych zmiennych niezmienionych powoduje zmianę zmiennej objaśnianej o współczynnik stojący

przy danej zmiennej objaśniającej. W powyższych regresjach wpływ zmiennych objaśniających na

zmienną objaśnianą jest multiplikatywny w zależności od poziomu bazowego.

Ponadto na podstawie (3.16) oraz (3.17) możemy dla j-tego ubezpieczonego, którego profil

ryzyka charakteryzujemy poprzez przyjmowanie konkretnych wartości zmiennych objaśniających,

wyznaczyć wartości oczekiwane µj oraz λj . Przykładowo rozważmy ubezpieczonego o następują-

cych cechach:

gender=F, agecat=1, area =A.

Powyższy profil sugeruje, że bierzemy pod uwagę kobietę z grupy wiekowej 1 zamieszkałej w A.

Wartość oczekiwana dla średniej wartości szkody oraz wartość oczekiwana dla liczby szkód wynoszą

odpowiednio

µj = 2071.23,

λj = 0.093.

Oznacza to, że klientka o takim profilu średnio generuje szkody na kwotę 2071.23 zł oraz śred-

nia liczba szkód wynosi 0.093. Tak mała wartość dla liczby szkód spowodowana jest tym, że w

analizowanym zbiorze danych występuje duża liczba polis bezszkodowych - w dalszej części pracy

będziemy chcieli stworzyć model regresji tylko dla polis szkodowych.

Przy modelowaniu zmiennej losowej zliczającej, tak jak w naszym przypadku dla zmiennej

określającej liczbę szkód, regresją Poissona mamy tę własność, że wartość oczekiwana jest równa

wariancji. Jednakże okazuje się, że dane empiryczne często nie posiadają takiej cechy i zwykle

wariancja jest większa od średniej. Mówimy wówczas o zjawisku nadrozproszenia (and. overdi-

spersion). Nadrozproszenie można modelować na przykład za pomocą rozkładu dwumianowego

45

ujemnego bądź mieszanych rozkładów Poissona. Ponadto dane mogą przejawiać dużą liczę zer,

świadczących o braku roszczenia. Wtedy aby poradzić sobie z tym problemem, stosowane są mo-

dele Zero-inflated Poisson lub Hurdle models [8], [2]. Istnieje wiele pozycji poświęconych zasygna-

lizowanym zagadnieniom, jednak w pracy nie będziemy ich rozwijać.

Na zakończenie warto dodać, że przedstawiona analiza jest swego rodzaju pierwszym podejściem

do modelowania wartości oczekiwanej średniej wartości szkody i wartości oczekiwanej liczby szkód

przy użyciu GLM przy najprostszych założeniach.

Uwaga. Podstawowym celem modelowania GLM, czy jakiegokolwiek modelowania regresyjnego,

jest znalezienie możliwie najlepszego modelu pasującego do danych. Więc w ogólności osoba mo-

delująca nie ogranicza się do budowania jednego modelu dla danego zagadnienia, tylko tworzy ich

kilka, a wyboru najlepszego dokonuje na podstawie przyjętego kryterium, np. stosując kryterium

Akaike AIC; najlepszy model to ten o najmniejszej wartości AIC, dany wzorem

AIC = −2LL+ 2p (3.18)

gdzie p to liczba estymowanych parametrów modelu, a LL oznacza wartość funkcji logarytmu wia-

rogodności dla oszacowanych parametrów.

Uwaga. Powyższe modele regresyjne dla średniej wartości szkody X i liczby szkód Y stosuje się do

oszacowania składki czystej (ang. pure risk premium) [19]. Składkę czystą określa się jako wartość

oczekiwaną zmiennej losowej opisującej wysokość łącznych szkód dla j-tej polisy (ryzyka), tj.

πj = E(Lj) = E(Xj) · E(Yj), j = 1, . . . , n.

Powyższa równość zachodzi przy założeniu niezależności średniej wartości szkody Xj od liczby

szkód Yj. Wówczas oszacowana wartość składki czystej dla j-tej polisy wyznacza się za pomocą

oszacowanych parametrów modelu (3.12) oraz (3.15), czyli

πj = ej exprj tα expsj tβ

gdyż oszacowane wartości oczekiwane w modelach GLM wynoszą

E(Xj) = µj = exprj tα,

E(Yj) = λj = ej expsj tβ.

3.3.2 Modelowanie z wykorzystaniem kopuły

W rozdziale 3.3.1 pokazaliśmy, jak w praktyce możemy modelować pewne zmienne losowe przy

użyciu GLM. Oszacowaliśmy w osobnych modelach wartości oczekiwane X oraz Y przy danym

zbiorze danych ubezpieczeń komunikacyjnych. Teraz rozszerzymy model rozkładu łącznego fX,Y

(definicja 2.1) dla średniej wartości szkody X i liczby szkód Y zezwalając na to, aby rozkłady

brzegowe zależały od pewnego zbioru zmiennych objaśniających. Innymi słowy zastosujemy GLM

dla rozkładów brzegowych i połączymy je z rodzinami dwuwymiarowych kopuł. Ponadto pamiętaj-

my, że w tym modelu zakładamy istnienie zależności między X i Y , a informacja o tej zależności

zawarta jest w parametrze kopuły θ. Zaprezentujemy formalną postać modelu regresji opartego

na kopule przedstawioną w pracy [13]. Następnie użyjemy pakietu CopulaRegression, który im-

plementuje to podejście w programie R. Na przykładzie zbioru polis komunikacyjnych uzyjemy

funkcji copreg do oszacowania parametrów regresji oraz parametru kopuły θ, a co za tym idzie

współczynnika τ Kendall’a.

46

Model regresji oparty na kopule

Niech Xj ∈ R+, j = 1, . . . , n będą niezależnymi zmiennymi losowymi oraz niech Yj ∈ N>0, j =

1, . . . , n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, gdzie n oznacza liczbę polis. Modelujemy zmienną

Xj względem wektora zmiennych rj ∈ Rp+1 oraz zmienną Yj względem wektora zmiennych sj ∈Rq+1. Brzegowe modele regresji są zatem określone przez

Xj ∼ Gamma(µj , δ) gdzie log(µj) = rj tα

Yj ∼ ZTP (λj) gdzie log(λj) = log(ej) + sj tβ. (3.19)

gdzie ej oznacza ekspozycję, czyli jak poprzednio czas trwania polisy. Zwróćmy uwagę, że wektory

rj oraz sj mogą się różnić.

Chcemy oszacować nieznany wektor parametrów

υ := (αt,β t, θ, δ)t ∈ Rp+q+4

opierając się na n parach obserwacji (xj , yj) wektora losowego (X,Y ). Do estymacji υ wykorzy-

stamy metodę największej wiarogodności. Funkcja logarytmu wiarogodności (ang. loglikelihood)

wynosi

`(υ|x,y) =n∑j=1

log (fX,Y (xj , yj |υ)) (3.20)

gdzie

x = (x1, . . . , xn)t ∈ Rn,y = (y1, . . . , yn)t ∈ Rn.Estymator największej wiarogodności dany jest przez

υ = arg maxυ

`(υ|x,y),

W ogólności nie ma rozwiązania analitycznego tego problemu w zbiorze otwartym, dlatego aby

zmaksymalizować funkcję logarytmu wiarogodności `(υ|x,y) określoną przez (3.20) używa się me-

tod numerycznych. Do oszacowania nieznanego wektora parametrów υ, a tym samym współczyn-

ników regresji α, β, stosowano w pracy [13] algorytm BFGS (metoda guasi-Newtona). Jest to

rekurencyjna metoda znajdowania wielkości estymatora największej wiarogodności, w naszym przy-

padku estymatora υ. Kolejno zauważmy, że parametr kopuły θ zwykle jest ograniczony (zobacz

tabela 1), tak więc wprowadzamy przekształcenie h : Θ → R tak, aby h(θ) było nieograniczone.

Przykładowo dla kopuły Gaussa parametr kopuły θ należy do przedziału (−1, 1), zatem dla tej

kopuły definiujemy następujące przekształcenie

h(θ) =12

log(

1 + θ

1− θ

).

Wówczas zagadnienie optymalizacji logarytmu wiarogodności sprowadza się do znalezienia wektora

parametrów (αt,β t, h(θ), δ)t.

W celu skonstruowania przedziałów ufności można użyć macierzy informacji Fishera zdefinio-

wanej jako

I(υ) := E

[∂`(υ|x,y)

∂υ·(∂`(υ|x,y)

∂υ

)t]∈ R(p+q+4)×(p+q+4).

Na podstawie twierdzenia C.1 istnieje estymator największej wiarogodności oraz

√n(υ − υ) −→ Np+q+4(0, I−1(υ)) (3.21)

47

gdzie Nk oznacza k-wymiarowy rozkład normalny. Aby oszacować macierz informacji Fishera sko-

rzysta się z faktu, że

I(υ) = −E[∂2`(υ|x,y)

∂2υ

],

i wówczas zaobserwowana (próbkowa) informacji Fishera wynosi

I(υ) := −∂2`(υ|x,y)∂2υ

.

Powyższe równości zachodzą w przypadku, gdy zakładamy istnienie prawdziwego stanu υ.

Przykład empiryczny

Przy pomocy funkcji copreg pakietu CopulaRegression programu R stworzymy model regre-

syjny dla średniej wartości szkody i liczby szkód oparty na kopule Gaussa dla tego samego zbioru

danych co w poprzednim przykładzie empirycznym, w którym modelowane były te zmienne w

osobnych modelach GLM.

Niech zmienna objaśniana Xj oznacza średnią wartość szkody, natomiast zmienna Yj liczbę

szkód dla j-tej polisy, a ich modele regresyjne będą określone przez (3.19). Przyjmijmy również takie

same zmienne objaśniające rj = sj ∈ R12 (zmienne binarne określone w poprzednim przykładzie).

Ze względu na fakt, iż zakładamy rozkład Poissona ucięty w zerze dla liczby szkód, to zbiór danych

zostaje ograniczony tylko do polis szkodowych, tak jak w przypadku zmiennej oznaczającej średnią

wartość szkody. Zatem analizowany zbiór danych zawiera 4624 obserwacji.

Przy uwzględnieniu zmiennych objaśniających rj , sj dla brzegowych modeli regresji, model re-

gresji Gamma dla średniej wartości szkody oraz model regresji ZTP dla liczby szkód, przy założeniu,

że ej = 1 dla każdego j, przyjmują następujące postaci

µj = expα0 +11∑i=1

αirji

λj = expβ0 +11∑i=1

βisji

dla i = 1, . . . , 4624. Ponadto zakładamy istnienie zależności między Xj oraz Yj , która wyrażana

jest w kategoriach parametru θ kopuły Gaussa.

Korzystając z funkcji copreg, otrzymano oceny α = (α1, . . . , α11) oraz β = (β1, . . . , β11)

współczynników regresji, odpowiednio dla regresji Gamma i regresji ZTP w modelu, w którym

struktura zależności między średnią wartością szkody a liczbą szkód modelowana jest za pomocną

kopuły Gaussa. Wyliczono statystki testu Walda dla poszczególnych oszacowań parametrów oraz

p-value. Ponieważ estymatory parametrów współczynników regresji mają asymptotyczny rozkład

normalny, o czym mówi równość (3.21), zatem możemy przeprowadzić prosty test statystyczny dla

poszczególnych oszacowań parametrów (oznaczmy pojedynczy parametr modelu przez %). W tym

celu stosuje się z test Walda, którego hipoteza zerowa brzmi

H0 : % = 0,

natomiast alternatywna

HA : % 6= 0.

Do weryfikacji tej hipotezy wykorzystujemy statystykę testową określoną wzorem [1], [6]

W =%2

SE(%)2 ,

48

gdzie SE(%) jest błędem standardowym estymatora % parametru %. Powyższa statystyka przy zało-

żeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład χ2 z 1 stopniem swobody. Ponadto dla porównania

przedstawiono oszacowania parametrów dla modelu zakładającego niezależność między X i Y , w

którym współczynniki regresji Gamma dla X oraz regresji ZTP dla Y oszacowuje się w osobnych

modelach GLM. Wyniki estymacji przedstawiono w tabeli 7.

Tabela 7: Analiza ocen parametrów dla modelu regresyjnego z wykorzystaniem kopuły Gaussa oraz

modelu regresyjnego z założeniem niezależności (źródło: opracowanie własne)

Para- Model zakładający niezależność Model z kopułą Gaussa

metr ocena błąd st. stat. Walda p-value ocena błąd st. stat. Walda p-value

α0 7.5180 0.0656 13123 < .0001 7.5219 0.0445 28578 < .0001

α1 0.1663 0.0656 10.75 0.0010 0.1666 0.0343 23.59 < .0001

α2 0.2682 0.0920 8.50 0.0036 0.2659 0.0620 18.41 < .0001

α3 0.0871 0.0759 1.31 0.2516 0.0862 0.0510 2.86 0.0909

α4 -0.0073 0.0724 0.01 0.9197 -0.0101 0.0488 0.04 0.8364

α5 -0.1206 0.0858 1.98 0.1595 -0.1213 0.0576 4.43 0.0352

α6 -0.0479 0.1029 0.03 0.6413 -0.0499 0.0693 0.52 0.4712

α7 -0.0704 0.0687 1.05 0.3054 -0.0718 0.0461 2.42 0.1201

α8 -0.0951 0.0711 1.79 0.1811 -0.0961 0.0479 4.02 0.0450

α9 -0.0889 0.0889 0.99 0.3176 -0.095 0.0599 2.52 0.1255

α10 0.0800 0.0978 0.67 0.4132 0.0795 0.0658 1.46 0.2266

α11 0.2986 0.1120 7.11 0.0077 0.2986 0.0753 15.73 < .0001

β0 -2.0725 0.1490 193.38 < .0001 -2.0365 0.1480 189.41 < .0001

β1 -0.0612 0.1139 0.29 0.5909 -0.0516 0.1134 0.21 0.6488

β2 -0.22350 0.2143 1.20 0.2729 -0.2456 0.2136 1.32 0.2502

β3 -0.0299 0.1633 0.03 0.8547 -0.0208 0.1619 0.02 0.8979

β4 -0.0847 0.1584 0.29 0.5926 -0.0968 0.1575 0.38 0.5389

β5 -0.2706 0.2025 1.79 0.1815 -0.2836 0.2012 1.99 0.7617

β6 -0.0572 0.2267 0.06 0.8008 -0.0684 0.2254 0.09 0.7617

β7 0.4256 0.1493 8.13 0.0044 0.4053 0.1481 7.495 0.0062

β8 -0.0136 0.1723 0.006 0.9370 -0.0095 0.1712 0.003 0.9558

β9 -0.0112 0.2175 0.003 0.9588 -0.0756 0.2192 0.12 0.7301

β10 0.1989 0.2200 0.82 0.3664 0.1791 0.2185 0.67 0.4125

β11 0.4316 0.2276 3.30 0.0578 0.4324 0.2253 3.68 0.0550

Po pierwsze możemy zauważyć, że oszacowane współczynniki regresji dla modelu zakładającego

niezależność między X i Y oraz modelu, w którym zależność między liczbą szkód a ich średnią

wartością szkody jest uwzględniona za pomocą kopuły Gaussa, są do siebie zbliżone, ale jednak nie

identyczne. Oznacza to, że zależność między tymi wielkościami ma wpływ na ocenę parametrów.

Dodatkowo program oszacowuje parametr θ kopuły Gaussa, który wynosi

θ = 0.25.

Na jego podstawie otrzymujemy, że współczynnik τ Kednall’a wynosi

τ = 0.16,

co sugeruje słabą zależność miedzy średnią wartością szkody a liczbą szkód dla polisy.

49

Następnie, przyjmując poziom istotności 0.05, stwierdzamy istotność parametrów α0, α1, α2, α11

regresji Gamma w modelu zakładającym niezależność, zaś parametrów α0, α1, α2, α5, α8α11 w mo-

delu z kopułą Gaussa. W przypadku regresji ZTP w modelu zakładającym niezależność oraz w

modelu z kopułą Gaussa istotne są parametry β0, β7. Istotność współczynników regresji pocią-

ga za sobą istotność odpowiadających im zmiennych objaśniających. Szukamy modelu, w którym

wszystkie zmienne objaśniające będą istotne, jednakże wymaga to ręcznego usuwania nieistotnych

zmiennych w programie R. Z tego względu w dalszych rozważaniach przyjmiemy dla uproszenia

oceny parametrów tylko dla istotnych współczynników regresji otrzymane w tabeli 7. Zatem po

usunięciu nieistotnych zmiennych w analizowanych modelach otrzymujemy następujące modele

regresji:

dla modelu zakładającego niezależność

regresja Gamma

µj = exp7.5180 + 0.1663rj1 + 0.2682rj2 + 0.2986rj11, j = 1, . . . , n (3.22)

regresja ZTP

λj = exp−2.0725 + 0.4256sj7, j = 1, . . . , n. (3.23)

dla modelu z kopułą Gaussa

regresja Gamma

µzj = exp7.5219+0.1666rj1+0.2659rj2−0.1213rj5−0.0961rj8+0.2986rj11, j = 1, . . . , n (3.24)

regresja ZTP

λzj = exp−2.0365 + 0.4053sj7, j = 1, . . . , n. (3.25)

Zauważmy, że w przypadku regresji Gamma zależność między zmiennymi wpłynęła na istotność

zmiennych objaśniających, mianowicie w modelu Gaussa otrzymaliśmy dwie dodatkowe istotne

zmienne objaśniające r5 i r8, które wpływają na wartość oczekiwaną średniej wartości szkody.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie oszacujemy teraz wartości oczekiwane średniej wartości

szkody i liczby szkód, stosując powyższe wzory dla modelu zakładającego niezależność (wzory 3.22

- 3.23) i modelu z kopułą Gaussa (wzory 3.24 - 3.25) dla pewnego ubezpieczonego o następujących

cechach:

gender=F, agecat=1, area =A.

Otrzymane oszacowania przedstawiono w poniższym zestawieniu.

profil klienta: model zakładający model

gender=F,agecat=1, area=A niezależność z kopułą Gaussa

E(X) 2407 2411

E(Y ) 0.1926 0.1956

Zauważmy, że oszacowane wartości oczekiwane dla danego profilu klienta różnią się nieznacznie.

Jest to spowodowane tym, że zależność średniej wartości szkody X i liczby szkód Y jest zbyt mała,

aby spowodować bardziej zauważalne różnice w prezentowanych modelach. Możemy przypuszczać,

że jeśli związek między tymi zmiennymi byłby większy, to otrzymalibyśmy większe różnice w esty-

macji parametrów, a co za tym idzie w oszacowaniach wartości oczekiwanych dla średniej wartości

szkody oraz liczby szkód przy analizowanym zbiorze danych.

50

Na zakończenie zastanowimy się nad tym, który model jest lepszy dla naszych danych. Może

mimo występującej małej zależności między średnią wartością szkody a liczbą szkód to model

zakładający niezależność tych zmiennych lepiej odwzorowuje nasze dane. W wyborze optymalnego

modelu posłużymy się kryterium informacyjnym Akaike określonym wzorem (3.18).

dla modelu zakładający niezależność AIC = 83208

dla modelu z kopułą Gaussa AIC = 81498

Wobec powyższego za lepszy model uznajemy model regresji, w którym zależność między średnią

wartością szkody a liczbą szkód jest modelowana kopułą Gaussa.

51

4 Podsumowanie

Głównym zadaniem teorii ryzyka w ubezpieczaniach jest modelowanie zmiennej losowej wyra-

żającej stratę, m.in. do kalkulacji składki czy wyceny wartości umów ubezpieczeniowych, dlatego

w niniejszej pracy zaprezentowano zupełnie inne podejście do modelowania tego zagadnienia wy-

korzystujące dwuwymiarowe kopuły.

Na początku pracy przedstawiliśmy pojęcie kopuły oraz jej własności. Ponadto udowodniliśmy

fundamentalne w teorii kopuł twierdzenie Sklara, które wyjaśnia rolę kopuł w związku między

wielowymiarowymi dystrybuantami a ich jednowymiarowymi dystrybuantami brzegowymi.

Kluczowym wynikiem naszych rozważań było przedstawienie modelu rozkładu łącznej warto-

ści szkód dla polisy ubezpieczeniowej zezwalając na to, aby zależność między średnią wartością

szkody a liczbą szkód była opisana za pomocą kopuły. Pokazaliśmy, że rozkład ten cechuje się

asymetrią prawostronną oraz - w zależności od parametrów modelu - wielomodalnością. Ponadto

wyznaczyliśmy wartość oczekiwaną łącznej wartości szkód przekonując się, że założenie o niezależ-

ności średniej wartości szkody i liczby szkód prowadzi do niedoszacowania modelowanej zmiennej.

Na podstawie przedstawionego przykładu zauważyliśmy, że na rozkład łącznej szkody z polisy

w znacznym stopniu wpływa stopień zależności między średnią wartością szkody a liczbą szkód,

a w mniejszym wybór rodziny kopuł. Podkreśla to przydatność modelowania za pomocą kopuły

rozkładu rozkładu łącznej szkody z polisy w porównaniu z modelowaniem, w którym zakłada się

niezależność wymienionych wielkości.

Następnie rozszerzyliśmy analizowane zagadnienie do modeli regresyjnych dla średniej wartości

szkody i liczby szkód, a dokładniej użyliśmy uogólnionych modeli liniowych, aby modelować relację

pomiędzy wymienionymi zmiennymi a zbiorem zmiennych dotyczących ubezpieczonego. W pracy

przedstawiliśmy dwa podejścia do modelowania GLM. W pierwszym modelowaliśmy w osobnych

modelach zmienne wyrażające średnią wartość szkody i liczbę szkód, stosując dla tych zmiennych

regresję Gamma i Poissona odpowiednio. W drugim przedstawiliśmy model regresji oparty na

kopule, w którym przyjęliśmy regresję Gamma dla średniej wartości szkody oraz regresję ZTP dla

liczby szkód. W modelu tym skorzystano z wyprowadzonego rozkładu łącznego tych zmiennych. W

przykładzie empirycznym, wykorzystującym dane dla ubezpieczeń komunikacyjnych, ostatecznie to

model, w którym struktura zależności między średnią liczbą szkód a liczbą szkód była modelowana

kopułą Gaussa, okazał się lepszy od modelu zakładającego niezależność między tymi wielkościami.

52

A Dodatek: podstawowe elementy rachunku prawdopodo-

bieństwa

W tym dodatku przedstawimy krótko podstawowe zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa.

Są one niezbędne, aby w pełni zrozumieć pojawiające się w niniejszej pracy obiekty. Wiadomości

zawarte w dodatku zostały opracowane na podstawie [4], [12], [18].

A.1 Zmienne losowe jednowymiarowe

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy uporządkowaną trójkę (Ω,F ,P), gdzie Ω jest niepu-

stym zbiorem, F jest σ-ciałem zbiorów Ω oraz P miarą prawdopodobieństwa na F .

Zmienna losowa i jej rozkład

Zmienną losową nazywamy odwzorowanie X : Ω→ R, które jest F mierzalne, tzn. że dla każdego

zbioru A ∈ B(R) zbiór X−1(A) ∈ F . Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (krótko

rozkładem X) nazywamy miarę probabilistyczną µX na (R,B(R)) określoną w następujący sposób

µX(A) := P(X−1(A)) = P(X ∈ A), dla każdego A ∈ B(R).

Tak zdefiniowana miara daje nam wszystkie istotne informacje o zmiennej losowej X: o jej zbiorze

wartości i o tym, jak na tym zbiorze rozłożone jest prawdopodobieństwo. Zatem dzięki zmiennej lo-

sowej umożliwiającej „transport” miary pracujemy na przestrzeni probabilistycznej (R,B(R), µX),

zamiast na abstrakcyjnej przestrzeni (Ω,F ,P).

Dystrybuanta

Innym ważnym obiektem związanym ze zmienną losową, równoważnym z jej rozkładem, jest dys-

trybuanta, czyli funkcja FX : R→ [0, 1] określona wzorem

FX(x) := P(X ¬ x) = µX((−∞, x]).

Powyższa definicją mówi nam tyle, że każdy rozkład prawdopodobieństwa wyznacza jednoznacznie

pewną dystrybuantę. Dystrybuanta FX ma następujące własności:

1. 0 ¬ FX(x) ¬ 1 dla każdego x ∈ R

2. FX jest funkcją niemalejącą

3. limx→∞ FX(x) = 1 oraz limx→−∞ FX(x) = 0

4. FX jest funkcją (co najmniej) prawostronnie ciągłą, tzn.

limx→x+0

FX(x) = F (x0)

5. P(a < X ¬ b) = FX(b)− FX(a) dla a < b oraz a, b ∈ R.

Zauważmy, że przy zadanej funkcji FX wzór w punkcie 5. określa rozkład µX , czyli dystrybuanta

zmiennej losowej jednoznacznie wyznacza rozkład, to znaczy gwarantuje pełną informację o roz-

kładzie zmiennej losowej i jednocześnie jest o wiele prostszym obiektem do badania. W związku

z tym często mówi się, że dystrybuanta indukuje miarę probabilistyczną na zbiorach bolerowskich

B(R). Z powyższego wynika, że między funkcjami FX i µX istnieje wzajemna jednoznaczna odpo-

wiedniość.

Można również wykazać, że jeżeli dowolna funkcja spełnia warunki 1-4, wówczas funkcja ta jest

dystrybuantą pewnego rozkładu (pewnej zmiennej losowej).

53

Typy zmiennych losowych

Wyróżnia się dwa zasadnicze typy zmiennych losowych: zmienne losowe typu dyskretnego (skoko-

wego) oraz zmienne losowe typu ciągłego (absolutnie ciągłego). Pamiętajmy, że ze zmienną losową

powiązany jest jej rozkład, więc równowanie możemy mówić o dwóch klasach rozkładów zmiennych

losowych. Mówimy, że zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeżeli rozkład µX na (R,B(R)) jest

absolutnie ciągły względem miary Lebesgue’a (µX λ). Przypomnijmy teraz to twierdzenie

Twierdzenie A.1 (Twierdzenie Radoma-Nikodyma). [4] Niech (X ,A) będzie przestrzenią mie-

rzalną, a µ i ν miarami na niej. Załóżmy, że µ jest σ-skończona, a ν jest miarą absolutnie ciągłą

względem miary µ (ν µ). Wtedy istnieje nieujemna funkcja mierzalna h taka, że

ν(E) =∫E

h(x)µ(x). (A.1)

Jeśli istnieje druga nieujemna mierzalna funkcja g spełniająca (A.1) to h = g µ prawie wszędzie.

Ponadto h jest skończenie całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy ν jest miarą skończona, a µ- p.w.

skończona wtedy i tylko wtedy, gdy ν jest skończona.

Funkcję h nazywamy pochodną Radoma-Niodyma i oznaczamy ją symbolem

h =dν

dµ.

Korzystając z twierdzenia Radona-Nikodyma mamy, że istnieje funkcja borelowska f : R→ [0,∞)

taka, że

µX(A) =∫A

f(x)dλ(x), A ∈ B(R).

Funkcję f nazywamy gęstością zmiennej losowej X (bądź gęstością rozkładu µX). Zauważmy, że

gęstość spełnia warunek unormowania:∫Rf(x)dλ(x) = µX(R) = 1.

Zmienna losowa X jest typu dyskretnego, gdy istnieje przeliczany zbiór W ⊂ R taki, że µX(W ) = 1.

Niech W = xii∈I , gdzie I oznacza zbiór indeksów (może być również skończony) oraz pi =

µX(xi) = P(X = xi) > 0, wówczas dla A ∈ B(R) mamy

µX(A) =∑i∈I

piδxi(A) =∑xi∈A

pi,

gdzie δ to miara Diraca. Zauważmy, że spełniony jest warunek unormowania:∑i∈I

pi = µX(R) = 1.

Rozkład µX zmiennej losowej typu dyskretnego jest absolutnie ciągły względem miary liczącej ν

na zbiorze W , gdzie

ν =∑i∈I

δxi (ν(xi) = 1) .

Ponieważ miara ν jest σ-skończona to z twierdzenia Radona-Nikodyma miara µX wyraża się przez

µX(A) =∫A

f(x)dν(x) A ∈ B(R),

gdzie

f(x) =

pi x = xi dla pewnego i ∈ I0, x 6= xi dla każdego i ∈ I.

Funkcję f nazywa się w przypadku dyskretnym funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

54

A.2 Wielowymiarowe zmienne losowe

Niech X1, X2, . . . , Xn będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej

(Ω,F ,P). Pojęcia przedstawione w A.1 możemy przenieść w naturalny sposób dla wyższych wy-

miarów.

Wektor losowy, rozkład łączny, rozkłady brzegowe

Wektorem losowym bądź n-wymiarową zmienną losową nazywamy n-wymiarowy wektor X =

(X1, X2, . . . , Xn) o wartościach w Rn, którego każda składowa Xi dla i = 1, . . . , n jest zmien-

ną losową. Inaczej mówiąc odwzorowanie X : Ω → Rn jest odwzorowaniem mierzalnym (Ω,F ) w

(R,B(Rn)). Rozkładem prawdopodobieństwa wektora losowego X nazywamy miarę probabilistycz-

ną µX na (Rn,B(Rn)) zdefiniowaną

µX(A) := P(X−1(A)) = P(X ∈ A), dla każdego A ∈ B(Rn).

Rozkład µX nazywamy rozkładem łącznym zmiennych losowych X1, X2, . . . , Xn, bądź rozkładem

łącznym wektora losowego X, natomiast rozkładami brzegowymi wektora X nazywamy rozkłady

jego współrzędnych, tzn. jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Xi dla i = 1, . . . , n.

Fakt. Niech X będzie wektorem losowym, a ϕ : Rn → Rm funkcją borelowską. Wówczas ϕ(X) jest

wektorem losowym o wartościach w Rm.

Dystrybuanta

Rozkład wektora losowego może być określany, podobnie jak w przypadku zmiennych losowych,

poprzez jego dystrybuantę. Dystrybuantą (n-wymiarową dystrybuantą) wektora losowego X nazy-

wamy funkcję FX : Rn → [0, 1] określoną wzorem

FX(x1, x2, . . . , xn) := P(X1 ¬ x1, . . . , Xn ¬ xn) = µX((−∞, x1]× · · · × (−∞, xn]).

Czasami dystrybuantę FX nazywa się też dystrybuantą łączną zmiennych losowych X1, X2, . . . , Xn.

Uwaga. Mówimy, że X jest skoncentrowany na A, jeśli P(X ∈ A) = 1. Wówczas dystrybuanta

jest jednoznacznie zadana poprzez wartości jakie przyjmuje na A, a poza tym zbiorem zwykle się

jej nie definiuje. Mówimy również wtedy, że FX jest skoncentrowana na A.

Niezależność

Mówimy, że zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelow-

skich A1, A2, . . . , An ∈ B(R) zachodzi

P(X1 ∈ A1, . . . , Xn ∈ An) = P(X1 ∈ A1) · · ·P(Xn ∈ An),

co równoważnie możemy zapisać

P(X1 ¬ x1, . . . , Xn ¬ xn) = P(X1 ¬ x1) · · ·P(Xn ¬ xn),

dla dowolnych x1, . . . , xn ∈ R. Zatem rozkład łączny niezależnych zmiennych losowych jest wyzna-

czony przez ich rozkłady brzegowe.

Fakt. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x1, . . . , xn ∈ Rzachodzi

FX(x1, x2, . . . , xn) = FX1(x1)FX2(x2) · · ·FXn(xn).

55

Dwuwymiarowe zmienne losowe

Teraz bliżej zajmiemy się dwuwymiarowymi zmiennymi losowymi, czyli wektorem losowym (X,Y ).

Dystrybuanta łączna określona jest wzorem

FX,Y (x, y) = P(X ¬ x, Y ¬ y).

oraz ma następujące własności:

1. 0 ¬ FX,Y (x, y) ¬ 1 dla każdego x, y ∈ R

2. FX,Y jest niemalejąca względem każdego argumentu

3. FX,Y jest prawostronnie ciągła (tj. prawostronnie ciągła ze względem każdego argumentu)

4. limx→−∞ FX,Y (x, y) = 0, limy→−∞ FX,Y (x, y) = 0 oraz limx,y→∞ FX,Y (x, y) = 1

5. dla każdych x1 ¬ x2, y1 ¬ y2

FX,Y (x2, y2)− FX,Y (x2, y1)− FX,Y (x1, y2) + FX,Y (x1, y1) 0.

Punkt 4. interpretuje się, że miara kostki ma być nieujemna (kostka ma nieujemne prawdopodo-

bieństwo). Rozkład łączny zmiennych X i Y jednostajnie wyznacza rozkłady brzegowe, ale nie na

odwrót (wyjątkiem jest przypadek, gdy rozpatrujemy zmienne losowe niezależne). Funkcje

FX(x) := limy→∞

FX,Y (x, y) FY (y) := limx→∞

FX,Y (x, y)

są funkcjami jednej zmienną, posiadają wszystkie własności dystrybuanty jednowymiarowej i na-

zywane są dystrybuantami brzegowymi.

56

B Dodatek: rozkłady zmiennych losowych

W tym dodatku przedstawimy szczegółowe informacje o rozkładach zmiennych losowych wy-

stępujących w pracy.

B.1 Rozkład jednostajny

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równomierny) skoncentrowany na prze-

dziale [a, b] (ozn. X ∼ U [a, b]), jeśli jej gęstość jest określona wzorem

f(x) =

1

b− adla a ¬ x ¬ b,

0 dla pozostałych x.(B.1)

Dystrybuantą tego rozkładu jest funkcja

F (x) =

0 dla x ¬ a,x− ab− a

a < x ¬ b,

1 x > b.

(B.2)

Dla rozkładu jednostajnego mamy następujące charakterystyki

Wartość oczekiwana E(X) = a+b2

Wariancja V ar(X) = 112 (b− a)2.

B.2 Rozkład Gamma

Rozkład Gamma jest dwu-parametrycznym ciągłym rozkładem. Można wyróżnić dwie różne

parametryzacje tego rozkładu. Pierwsza z nich to parametryzacja skalo-kształtna. Zmienna losowa

X ma rozkład Gamma z parametrami α, β > 0 (ozn. X ∼ Gamma(α, β)), jeśli jej funkcja gęstości

jest określona wzorem

f(x|α, β) =

1

βαΓ(α)xα−1 exp

(−xβ

)dla x > 0,

0 dla x ¬ 0,(B.3)

przy czym β jest parametrem skali tego rozkładu, zaś parametr α nazywany jest parametrem

kształtu. Przy takiej parametryzacji mamy następujące charakterystyki rozkładu:

Wartość oczekiwana E(X) = αβ

Wariancja V ar(X) = αβ2.

Uwaga. [14] Mamy następujące przypadki rozkładu Gamma

1. gdy α = 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy o parametrze β,

2. gdy α = n, gdzie n ∈ N otrzymujemy rozkład Erlanga z parametrami n i β,

3. gdy α = 12n, β = 2 otrzymujemy rozkład χ2 z n stopniami swobody.

W przypadku parametryzacji z użyciem średniej mówimy, że zmienna losowa ma rozkład Gamma

z parametrami µ, δ > 0 (ozn. X ∼ Gamma(µ, δ)), jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem

f(x|µ, δ) =

1

xΓ( 1δ )

(x

µδ

) 1δ

exp(− x

µδ

)dla x > 0,

0 dla x ¬ 0,

(B.4)

gdzie µ jest parametrem średniej, zaś δ parametrem rozproszenia. Zatem µ = pλ oraz δ = 1p , stąd

tym przypadku dostajemy

57

Wartość oczekiwana E(X) = µ

Wariancja V ar(X) = µ2δ.

B.3 Rozkład Poissona oraz ucięty w zerze rozkład Poissona

Na początku potrzebujemy zdefiniować rozkład Poissona. Rozkład Poissona jest dyskretnym

rozkładem prawdopodobieństwa, który wyraża prawdopodobieństwo wystąpienia szeregu zdarzeń

w określonym czasie, przy czym zdarzenia te występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób

niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zdarzenia. Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład

Poissona z parametrem λ > 0 (ozn. X ∼ Poiss(λ)), jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest

postaci

f(x|λ) = P(X = x) =

λx

x! e−λ dla x = 0, 1, 2 . . .

0 dla x < 0,(B.5)

gdzie λ > 0 jest parametrem częstotliwości. Dla rozkładu Poissona wartość oczekiwana i wariancja

są równe parametrowi λ:

E(X) = λ = V ar(X).

Ucięty w zerze rozkład Poissona (ang. zero-truncated Poisson) definiowany jest jako rozkład Po-

issona pod warunkiem przyjmowania przez zmienną losową wartości dodatnich, tzn. niech X ma

rozkład Poissona z parametrem λ > 0, wówczas zmienna losowa Y = X|X > 0 ma ucięty w ze-

rze rozkład Poissona z parametrem λ (ozn. Y ∼ ZTP (λ)). Funkcja prawdopodobieństwa w tym

przypadku jest postaci

fY (y|λ) := P(Y = y) = P(X = y|X > 0) =P(X = y)P(X > 0)

=P(X = y)

1− P(X = 0)=

λye−λ

y!(1− e−λ). (B.6)

Wartość oczekiwaną i wariancję tego rozkładu oblicza się jako

E(Y ) = E(X|X > 0) =∞∑y=1

yfY =∞∑y=1

yλye−λ

y!(1− e−λ)

=1

(1− e−λ)

∞∑y=1

yλye−λ

y!=

1(1− e−λ)

∞∑y=0

yλye−λ

y!︸︷︷︸=E(X)

=λ

(1− e−λ),

E(Y 2) = E(X2|X > 0) =∞∑y=1

y2fY =∞∑y=1

y2 λye−λ

y!(1− e−λ)

=1

(1− e−λ)

∞∑y=1

y2λye−λ

y!=

1(1− e−λ)

∞∑y=0

y2λye−λ

y!︸︷︷︸=E(Y 2)=V ar(X)+(E(X))2

=λ+ λ2

(1− e−λ),

V ar(Y ) = E(Y 2)−(E(Y ))2 =λ+ λ2

(1− e−λ)− λ2

(1− e−λ)2 =(λ+ λ2)(1− e−λ)− λ2

(1− e−λ)2 =λ(1− e−λ(1 + λ))

(1− e−λ)2 ,

gdzie λ jest parametrem częstotliwości pierwotnego rozkładu Poissona.

58

C Dodatek: estymatory największej wiarogodności

W tym dodatku przedstawimy krótko najważniejsze zagadnienia za teorii estymatorów naj-

większej wiarogodności opracowane na podstawie [9], [4].

Niech (Xn,Bn, Pnϑ ) będzie przestrzenią statystyczną indukowaną przez próbę prostą X1, . . . ,Xn

o realizacji x1, . . . ,xn, czyli

(Xn,Bn,Pnϑ ) = (X ⊗ · · · ⊗ X ,B ⊗ · · · ⊗ B, Pϑ ⊗ · · ·⊗, Pϑ)

gdzie X jest podzbiorem bolerowskim w Rk, B jest σ-ciałem zbiorów bolerówskich na X oraz Pϑto miary indeksowane ϑ ∈ Θ, gdzie zbiór parametrów Θ to zwykle zbiór otwarty. Zakładamy, że

istnieje miara referencyjna µ σ-skończona, taka że Pϑ jest absolutnie ciągła względem miary µ,

zatem istnieją gęstości

fϑ =dPϑdµ

, ϑ ∈ Θ

Gęstość na Xn oznaczamy przez

αϑ(x) =n∏j=1

fϑ(xj), x = (x1, . . . ,xn).

Ponadto zakładamy

1. dla dwóch dowolnych θ1, θ2 ∈ Θ

µ(x ∈ X : fθ1(x) 6= fθ2(x)) > 0.

2. zbiory Aθ = x ∈ X : fθ(x) > 0 są µ takie same, czyli istnieje zbiór A, że dla dowolnych θ1,

θ2

(Aθ2 ÷Aθ2) := (Aθ1\Aθ2) ∪ (Aθ2\Aθ1) ⊂ A, µ(A) = 0.

Funkcję logarytmu-wiarogodności definiujemy jako

`(ϑ|x) = `x(ϑ) = logαϑ(x) =n∑j=1

log fϑ(xj).

Przyjmujemy konwencję, że log 0 = −∞. Jeżeli próbka x jest związana z prawdziwym ale dowolnym

elementem ϑ0 ∈ Θ, wtedy

Eϑ0`(ϑ|x) =n∑j=1

∫Xn

log fϑ(xj)αϑ0dµn(x) = n

∫X

log fϑ(x)fϑ0dµ(x).

Definicja C.1. [9]

Estymatorem największej wiarogodności dla próbki x jest taki ϑ = ϑ(x), że dla dowolnego ϑ ∈ Θ

`(ϑ|x) `(ϑ|x).

Co możemy zapisać również

ϑ = arg max`(ϑ|x) : ϑ ∈ Θ.

Definicja C.2. [9]

Równaniem największej wiarogodności nazywamy równanie postaci

∂

∂ϑ`(ϑ|x) = 0.

Rozwiązanie tego równania (najczęściej równań) daje naturalnego kandydata na estymator naj-

większej wiarogodności.

59

Niech ϑ0 będzie prawdziwnym stanem oraz niech spełnione będą formalne założenia analityczne

na z [9] (s. 31-34). Z ważniejszych założeń jest możliwość różniczkowana pod znakiem całki oraz

istnienie odpowiednich całek, z których wynika, że

Eϑ

[∂

∂ϑlog fϑ(x)

]= 0,

oraz równość macierzy I oraz J

I(ϑ) = Eϑ

[(∂

∂ϑlog fϑ(x)

)(∂

∂ϑlog fϑ(x)

)t]= −Eϑ

[∂2 log fϑ(x)∂ϑ∂ϑt

]= −J(ϑ).

Fakt. (Nierówność informacyjna) Niech ϑ0 będzie prawdziwym stanem. Dla dowolnego ϑ ∈ Θ i

ϑ 6= ϑ0 zachodzi

Eϑ0 log fϑ < Eϑ0 log fϑ0 .

Powyższa nierówność informacyjna mówi o tym, że estymator największej wiarogodności jest

dobrym podejściem do szukania prawdziwego stanu ϑ0.

Twierdzenie C.1. [9]

Istnieje rozwiązanie równania największej wiarogodności ϑ0(x) z prawdopodobieństwem dążącym

do 1 takie, że

1. ϑ0 zbiega do ϑ0 według prawdopodobieństwa (zgodność estymatora)

2. zachodzi Centralne Twierdzenie Graniczne

√n(ϑ0 − ϑ0)→ N (0, [I(ϑ0)]−1)

gdzie I(ϑ0) jest wartością Informacji Fishera I(ϑ) dla ϑ = ϑ0.

Drugi punkt powyższego twierdzenia oznacza, że estymatory największej wiarogodności ϑ0 mają

asymptotyczny rozkład normalny. Estymatory największej wiarogodności są też asymptotycznie

efektywne, to znaczy, posiadają najmniejszą z możliwych wariancji, jaką można uzyskać z procesu

estymacji [4].

60

D Dodatek: kody programów

Kod 1

Kod użyty do wyrysowania wykresów powierzchniowych i poziomicowych kopuł W, Π oraz M.

data kopuly;

krok=0.1;

do u = 0 to 1 by krok ;

do v = 0 to 1 by krok;

W = max(u+v-1,0);

I = u*v;

M = min(u,v);

output;

end;

end;

drop krok;

run;

/*wykresy kopul W, Pi, M*/

proc g3d data=kopuly;

plot v*u=W/ *plot v*u=I, plot v*u=M

side

ctop=black

rotate=25

caxis=black;

run;

proc gcontour data=kopuly;

plot v*u=W/ /*plot v*u=I, plot v*u=M */

clevels=black black black black black black

levels=0.01 to 1 by 0.2

caxis=black;

run;

Kod 2

Kod użyty do zdefiniowania własnych funkcji wyliczających wartości funkcji pochodnych cząstko-wych dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela.

options cmplib=sasuser.funcs;

proc fcmp outlib=sasuser.funcs.math;

function Gauss(u,v,t);

wynik=cdf("Normal", (quantile("Normal", v) - t*quantile("Normal", u))/(sqrt(1-t**2)));

return(wynik);

endsub;

function Clayton(u,v,t);

wynik=(u**(-t-1))*((u**(-t)+v**(-t)-1)**(-1/t-1));

return(wynik);

endsub;

function Gumbel(u,v,t);

wynik=1/u*((-log(u))**(t-1))*(((-log(u))**t+(-log(v))**t)**(1/t-1))*(exp(-((-log(u))**t+(-log(v))**t)**(1/t)));

return(wynik);

endsub;

run;

Kod 3

Kod użyty wyliczenia rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y |X = x, gdy x = 1200.

61

/*przykład 1(a)*/

data warunkowa;

x=cdf(’Gamma’,1200,100/9,90);

do Tau=0,0.1,0.3,0.5;

if Tau=0 then t=0.00001;

else t=2*Tau/(1-Tau);

f_y1=0;

f_y2=0;

l=2.5; /*lambda_poissona*/

do y=1 to 12;

f_y2=f_y2+(exp(-l)*l**y)/(fact(y)*(1-exp(-l)));

z=x**(-t-1);

if y=1 then do

P_y1=Clayton(x,f_y2,t);

f_y1=f_y2;

output;

end;

else do;

P_y1=Clayton(x,f_y2,t)-Clayton(x,f_y1,t);

f_y1=f_y2;

output;

end;

end;

end;

label t=’Theta’;

drop x z f_y1 f_y2 l;

run;

title ’Kopuła Claytona’;

proc sgplot data=warunkowa;

yaxis label="Prawdopodbieństwo" grid;

xaxis label="Liczba szkód";

vbar y / response=P_y1 stat=sum group=t groupdisplay=cluster;

run;

Kod 4

Kod użyty wyliczenia warunkowej funkcji prawdopodobieństwa Y |X = 1200 dla kopuły Gaussa,Claytona oraz Gumbela dla ustalonego współczynnika tau Kendall’a τ = 0.3.

/*przykład 1(b) - kopuły Claytona, Gasussa, Gumbela */

data warunkowa2;

x=cdf(’Gamma’,1200,100/9,90);

pi=constant("pi");

t=0.3; /*tau=0.3*/

t_Ga=sin(pi*t/2); /* theta kopuły Gaussa */

t_C=2*t/(1-t); /* theta kopuły Claytona */

t_G=1/(1-t); /* thera kopuły Gumbela */

f_y1=0;

f_y2=0;

l=2.5; /*lambda poissona*/

do y=1 to 12;

f_y2=f_y2+(exp(-l)*l**y)/(fact(y)*(1-exp(-l)));

if y=1 then do

P_yGa=Gauss(x,f_y2,t_Ga);

P_yC=Clayton(x,f_y2,t_C);

P_yG=Gumbel(x,f_y2,t_G);

62

f_y1=f_y2;

output;

end;

else do;

P_yGa=Gauss(x,f_y2,t_Ga)-Gauss(x,f_y1,t_Ga);

P_yC=Clayton(x,f_y2,t_C)-Clayton(x,f_y1,t_C);

P_yG=Gumbel(x,f_y2,t_G)-Gumbel(x,f_y1,t_G);

f_y1=f_y2;

output;

end;

end;

label t=’Tau - Kendala’;

drop x pi l t f_y1 f_y2;

run;

data warunkowa3;

length kopula $10;

set warunkowa2 (in=zmienna1) warunkowa2 (in=zmienna2) warunkowa2 (in=zmienna3);

zm1=zmienna1;

zm2=zmienna2;

zm3=zmienna3;

if zm1=1 then do

P=P_yGa;

Theta=t_Ga;

kopula="Gauss";

end;

if zm2=1 then do

P=P_yC;

Theta=t_C;

kopula="Clayton";

end;

if zm3=1 then do

P=P_yG;

Theta=t_G;

kopula="Gumbel";

end;

format kopula $10.;

drop t_Ga t_G t_C P_yGa P_yC P_yG zm1 zm2 zm3;

run;

title ’Porównanie kopuł dla tau=0.3’;

proc sgplot data=warunkowa3;

yaxis label="Prawdopodbieństwo" grid;

xaxis label="Liczba szkód";

vbar y / response=P stat=sum group=kopula groupdisplay=cluster;

run;

Kod 5

Kod użyty do wyliczenia funkcji gęstości łącznej szkody z polisy dla kopuły Gaussa, Claytona orazGumbela i dla 3 różnych wartościach parametru tau Kendall’a τ równych 0.1, 0.3, 0.5.

data Lgauss;

pi=constant("pi");

do tau=0.1, 0.3, 0.5;

t_Ga=sin(pi*tau/2); /*Theta*/

l_poiss=2.5; /*lambda poissona*/

do i=100 to 4700 by 10;

63

f_y1=0;

f_y2=0;

f_policy=0;

do y=1 to 11;

/*zmienne pomocnicze*/

x=cdf(’Gamma’,i/y,100/9,90);

xx=pdf(’Gamma’,i/y, 100/9,90);

f_y2=f_y2+(exp(-l_poiss)*l_poiss**y)/(fact(y)*(1-exp(-l_poiss)));

if y=1 then do

f=xx/y*Gauss(x,f_y2,t_Ga);

f_y1=f_y2;

end;

else do;

f=xx/y*(Gauss(x,f_y2,t_Ga)-Gauss(x,f_y1,t_Ga));

f_y1=f_y2;

end;

f_policy=f_policy+f;

end;

output;

end;

end;

run;

title ’Kopuła Gaussa’;

proc sgplot data= Lgauss;

yaxis label="Gęstość" max=.00065;

xaxis label="L";

series x=i y=f_policy/group=tau;

run;

data Lclayton;

do tau=0.1, 0.3, 0.5;

t_C=2*tau/(1-tau); /*Theta*/


do i=100 to 4700 by 10;

f_y1=0;

f_y2=0;

f_policy=0;

do y=1 to 11;


x=cdf(’Gamma’,i/y,100/9,90);



if y=1 then do

f=xx/y*Clayton(x,f_y2,t_C);

f_y1=f_y2;

end;

else do;

f=xx/y*(Clayton(x,f_y2,t_C)-Clayton(x,f_y1,t_C));

f_y1=f_y2;

end;


end;

output;

end;

end;

run;

64

title ’Kopuła Claytona’;

proc sgplot data= Lclayton;


xaxis label="L";


run;

data Lgumbel;

do tau=0.1, 0.3, 0.5;

t_G=1/(1-tau); /*Theta*/


do i=100 to 4700 by 10;

f_y1=0;

f_y2=0;

f_policy=0;

do y=1 to 11;


x=cdf(’Gamma’,i/y,100/9,90);



if y=1 then do

f=xx/y*Gumbel(x,f_y2,t_G);

f_y1=f_y2;

end;

else do;

f=xx/y*(Gumbel(x,f_y2,t_G)-Gumbel(x,f_y1,t_G));

f_y1=f_y2;

end;


end;

output;

end;

end;

run;

title ’Kopuła Gumbela’;

proc sgplot data= Lgumbel;


xaxis label="L";


run;

Kod 6

Symulacja 1000 danych z rozkładu Gamma oraz ZTP oraz oszacowanie gęstości łącznej szkody zpolisy L (procedura proc kde) przy założeniu niezależności między średnią wartością szkody Xoraz liczby szkód Y .

data niezalezny;

do i=1 to 1000;

x=RAND(’GAMMA’, 100/9, 90);

wejscie=1;

do while(wejscie=1);

y=RAND(’POISSON’,2.5);

if (y<>0) then do;

L=x*y;

output;

wejscie=0;

65

end;

end;

end;

run;

proc kde data=niezalezny;

univar L/ plots=(density);

run;

Kod 7

Kod użyty do wyznaczenia wartości oczekiwanych łącznej szkody z polisy L dla τ = 0.1, 0.3, 0.5 wprogramie R.

mu=1000

delta=9/100

lambda=2.5

tau=c(0.1,0.3,0.5)

theta_gaus=c()

theta_cla=c()

theta_gu=c()

for (i in 1:3)

theta_gaus= c(theta_gaus,BiCopTau2Par(tau=tau[i],family=1))

theta_cla= c(theta_cla, BiCopTau2Par(tau=tau[i],family=3))

theta_gu= c(theta_gu, BiCopTau2Par(tau=tau[i],family=4))

w_ga=c()

w_cl=c()

w_gu=c()

for (i in 1:3)

w_ga=c(w_ga, epolicy_loss(mu, delta, lambda, theta_gaus[i], 1, y.max = 300,zt=TRUE,compute.var=FALSE)$mean)

w_cl=c(w_cl, epolicy_loss(mu, delta, lambda, theta_cla[i], 3, y.max = 300,zt=TRUE,compute.var=FALSE)$mean)

w_gu=c(w_gu, epolicy_loss(mu, delta, lambda, theta_gu[i], 4, y.max = 300,zt=TRUE,compute.var=FALSE)$mean)

w_ga

w_cl

w_gu

Kod 8

GLM dla średniej wartości szkody (regresja Gamma) oraz GLM dla liczby szkód (regresja Poisso-na). Stworzono osobne modele regresji za pomocą procedury proc genmod programu SAS.

PROC IMPORT OUT = car

DATAFILE = "C:\Users\Desktop\car.xlsx"

DBMS = xlsx REPLACE;

sheet="car";

getnames=yes;

RUN ;

/*poziomy odniesienia*/

proc freq data=car;

tables gender agecat area veh_age/ nocum;

run;

/*model gamma*/

proc Genmod data=car;

class gender (ref=’F’) agecat (ref=’4’) area (ref=’C’);

Model claimcst0= gender agecat area / dist=gamma link=log ;

66

output out=fitted p=pred;

run;

/*model poissona*/

proc Genmod data=car;

class gender (ref=’F’) agecat (ref=’4’) area (ref=’C’);

Model numclaims= gender agecat area / dist=poi link=log ;

output out=fitted p=pred;

run;

Kod 9

Model regresji opartej na kopule Gaussa, gdzie brzegowe modele regresji to: regresja Gamma dlaśredniej wartości szkody i regresja ZTP dla liczby szkód. Model stworzony za pomocą funkcjicopreg w programie R.

library(VineCopula)

library(CopulaRegression)

library(MASS)

library(readxl)

#dane wejściowe (binarne)

dane<- data.matrix(read_xlsx("/Users/Desktop/cars.xlsx", sheet = "CARS", range = "A2:M4625", col_names

= FALSE, col_types = NULL, na = "", trim_ws = TRUE, skip = 0, n_max = Inf, guess_max = 4625))

n<-length(dane[,1])

y<-dane[,1]

x<-dane[,2]

exposure<-rep(1,n)

R<-S<-cbind(rep(1,n),dane[,3:13])

model_Gaus<-copreg(x,y,R,S,family=1,exposure,sd.error=TRUE,joint=TRUE,zt=TRUE)

model_Gaus

alfy0=model_Gaus$alpha0

bety0=model_Gaus$beta0

stalfy0=model_Gaus$sd.alpha0

stbety0=model_Gaus$sd.beta0

alfy=model_Gaus$alpha

bety=model_Gaus$beta

stalfy=model_Gaus$sd.alpha

stbety=model_Gaus$sd.beta

walda0=c() #statystyka Walda a0

waldb0=c() #statystyka Walda b0

walda=c() #statystyka Walda a

waldb=c() #statystyka Walda b

for (i in 1:12)

walda0=c(walda0,(alfy0[i])^2/(stalfy0[i])^2)

waldb0=c(waldb0,(bety0[i])^2/(stbety0[i])^2)

walda=c(walda,(alfy[i])^2/(stalfy[i])^2)

waldb=c(waldb,(bety[i])^2/(stbety[i])^2)

pa0=c() #pvalue a0

pb0=c() #pvalue b0

pa=c() #pvalue a

pb=c() #pvalue b

for (i in 1:12)

pa0=c(pa0,1-pchisq(walda0[i],1))

pa=c(pa,1-pchisq(walda[i],1))

pb0=c(pb0,1-pchisq(waldb0[i],1))

pb=c(pb,1-pchisq(waldb[i],1))

67

Spis tabel

1 Zależność pomiędzy tau Kendall’a a parametrem θ (źródło: [13]) . . . . . . . . . . 18

2 Pierwsze pochodne cząstkowe dla wybranych rodzin kopuł (źródło: [13]) . . . . . . 21

3 Wartość oczekiwana łącznej szkody z polisy L w złotych dla kopuły Gaussa, Clay-

tona oraz Gumbela (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Wykładnicza rodzina rozkładów (źródło: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Funkcje wariancji V (µ) (źródło: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Standardowe funkcje łączące g (źródło: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Analiza ocen parametrów dla modelu regresyjnego z wykorzystaniem kopuły Gaussa

oraz modelu regresyjnego z założeniem niezależności (źródło: opracowanie własne) 49

Spis rysunków

1 Wykresy powierzchniowe kopuł W , Π i M (źródło: opracowanie własne) . . . . . . 7

2 Wykresy poziomicowe kopuł W , Π i M (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . 8

3 Warunkowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej Y |X = 1200 dla kopuły Clayto-

na z τ = 0, 0.1, 0.3, 0.5 (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Warunkowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej Y |X = 1200 przy τ = 0.3 dla

kopuły Gaussa, Claytona i Gumbela (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . 25

5 Gęstości łącznej szkody z polisy dla kopuły Gaussa, Claytona oraz Gumbela przy

trzech wartościach τ Kendall’a (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . . . . . 27

6 Oszacowana gęstość L przy założeniu niezależności X i Y . (źródło: opracowanie

własne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Zastawienie poziomów zmiennych objaśniających (źródło: opracowanie własne) . . 42

8 Analiza ocen parametrów dla regresji Gamma (źródło: opracowanie własne) . . . . 43

9 Analiza ocen parametrów dla regresji Poissona (źródło: opracowanie własne) . . . . 44

10 Analiza ocen parametrów dla regresji Gamma w przypadku istotności wszystkich

parametrów (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11 Analiza ocen parametrów dla regresji Poissona w przypadku istotności wszystkich

parametrów (źródło: opracowanie własne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

68

Wykaz literatury

[1] Anderson D.: Practicioner’s Guide to Generalized Linear Models, Towers Watson, 2005, s.

10-36

[2] Antonio K., Valdez E.A.: Statistical concepts of a priori and a posteriori risk classification in

insurance, AStA Advances in Statistical Analysis, 2012, s. 187-244

[3] Beśka M.: Wstęp do teorii miary, Politechnika Gdańska 2018, http://www.mif.pg.gda.pl/

homepages/beska/TM/ (dostęp: 02.06.2018), s. 122-135,140

[4] Beśka M.: Wykłady z statystyki matematycznej, Politechnika Gdańska 2018, http://www.mif.

pg.gda.pl/homepages/beska/Stat/ (dostęp: 02.06.2018) s. 1-20; 48-53; 63-70.

[5] Dean C.G.: Generalized Linear Models W: Frees E.W., Derrig R.A., Meyers G.: Predictive mo-

deling applications in actuarial science. Volume I: Predictive Modeling Techniques Cambridge

University Press, 2014, s. 108-137

[6] De Jong P., Heller G.Z.: Generalized linear models for insurance data, Cambridge University

Press, 2008

[7] Durante F., Sempi C.: Copula Theory: An Introduction W: Jaworski P., Durante F, Hardle

W, Rychlik T.: Copula Theory and Its Applications, Lecture Notes in Statistics, Vol. 198,

Springer-Verlag, 2010, s. 3-31

[8] Dziedziul K.: Wprowadzenie do diagnostyki danych w SAS, Politechnika Gdańska 2018, http:

//www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/diagnostics/diagnostic.pdf (dostęp: 02.06.2018)

[9] Dziedziul K.: Statystyka II w SAS - wykład, Politechnika Gdańska 2018, http://www.mif.

pg.gda.pl/homepages/kdz/StatystykaII/statystykaIlecture.pdf (dostęp: 02.06.2018)

[10] Flores M.U. Artero de A.E., Durante F., Fernandez-Sanchez J.: Copulas and Dependence

Models with Applications, Springer International Publishing AG, 2017, s. 1-20

[11] Frees E.W.: Frequency and Severity Models W: Frees E.W., Derrig R.A., Meyers G.: Pre-

dictive modeling applications in actuarial science. Volume I: Predictive Modeling Techniques

Cambridge University Press, 2014, s. 108-137

[12] Jakubowski J., Sztencel R.: Wstep do teorii prawdopodobienstwa, Wydanie II. SCRIPT, 2001.

[13] Kramer N., Brechmann E.C., Silvestrini D., Czado C.,: Total loss estimation using copula-

based regression models, Insurance: Mathematics and Economics, 2013 2012

[14] Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K. , Wasilewski M.: Rachunek prawdopodo-

bieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012

[15] McNeil A.J., Frey R., Embrechts P.: Quantitative risk managemant: Concepts, Techniques &

Tools, Princeton University Press, 2005, s. 184-210

69

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/beska/TM/

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/beska/TM/

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/beska/Stat/

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/beska/Stat/

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/diagnostics/diagnostic.pdf

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/diagnostics/diagnostic.pdf

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/StatystykaII/statystykaIlecture.pdf

http://www.mif.pg.gda.pl/homepages/kdz/StatystykaII/statystykaIlecture.pdf

[16] Nelsen R.B.: An Introduction to Copulas Second Edition, Springer Science+Business Media,

2006

[17] Ohlsson E., Jahansson B.: Non-life insurance pricing with generalized linear models Springer,

2010, s. 1-38

[18] Plucińska A., Pluciński E.: Probabilistyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000.

[19] Wolny-Dominiak A., Wanat S.: Taryfikacja a priori z wykorzystaniem kopuli W: Prace Na-

ukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu nr 415 Ubezpieczenia wobec wyzwań XXI

wieku, 2016, s. 259-265

[20] Dokumentacja SAS: SAS/STAT 9.2 User’s Guide: The GENMOD Procedure, SAS Institute

Inc., 2008.

[21] Dokumentacja pakietu CopulaRegression: Bivariate Copula Based Regression Models, R,

2014.

70

Praca dyplomowa magisterska - Politechnika Gdańska · Praca dyplomowa magisterska Modelowanie...

Documents

Transcript of Praca dyplomowa magisterska - Politechnika Gdańska · Praca dyplomowa magisterska Modelowanie...