Wydział Matematyki

kierunek studiów: matematyka stosowana

specjalność:

Praca dyplomowa –

inżynierska/licencjacka/magisterska*

MODEL q-WYBORCY Z DYSKRETNYMI

I CIĄGŁYMI OPINIAMI

Joanna Śmieja

słowa kluczowe:

model q-wyborcy

antykonformizm

model ciągły

krótkie streszczenie:

Celem pracy jest sprawdzenie, w jaki sposób zastąpienie opinii binarnych

opiniami ciągłymi na przedziale wpłynie na przemianę fazową porządek-nieporządek

w modelu q-wyborcy. Odtworzono wyniki modelu q-wyborcy z antykonformizmem

w oryginalnej, dyskretnej wersji. Omówiono problemy występujące przy definiowaniu

modelu ciągłego, a następnie zaproponowano model na ciągłej przestrzeni opinii.

Pokazano, że w nowym modelu występuje zmiana rozkładu opinii, jednak określenie

parametru porządku nie jest jednoznaczne.

opiekun pracy

dyplomowej

prof. dr hab. Katarzyna Weron ....................... ....................... Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis

Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:*

a) kategorii A (akta wieczyste)

b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić

pieczątka wydziałowa

Wrocław, 2017

Faculty of Pure and Applied Mathematics

Field of study: Mathematics/Mathematics and Statistics/Applied Mathematics *

Specialty: Financial and Actuarial Mathematics/Mathematics for Industry and Commerce/

Computational Mathematics/Modelling, Simulation, Optimization/Mathematical

Statistics/Theoretical Mathematics/Mathematics and Statistics/Mathematics*

Master/Bachelor* Thesis

The q-voter model with discrete and continuous

opinions.

Joanna Śmieja

keywords:

q-voter model

anticonformity

continuous model

short summary:

The aim of the paper is to check, how the change of the domain of opinions from binary

set to a continuous interval will influence order-disorder phase transitions in the q-voter

model with anticonformity. The results of the binary q-voter model where reproduced.

Problems in defining the continuous model were discussed. In the proposed model

changes of the distribution of opinions occur, however the order parameter isn’t

explicit.

Supervisor prof. dr hab. Katarzyna Weron ....................... ....................... Title/ degree/ name and surname grade signature

For the purposes of archival thesis qualified to: *

a) Category A (perpetual files)

b) Category BE 50 (subject to expertise after 50 years)

* Delete as appropriate

stamp of the faculty

Wrocław, 2017

Spis treści

1 Wstęp 61.1 Cel i zakres pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Oznaczenia i definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Przejścia fazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem 82.1 Algorytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Przejście fazowe w binarnym modelu q-wyborcy z antykonformizmem . . . . 82.3 Wyniki symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Modele z ciągłymi opiniami 11

4 Propozycja modelu ciągłego 144.1 Algorytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Wyniki symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Zmiana warunków początkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Podsumowanie 21

6 Bibliografia 22

5

Rozdział 1

Wstęp

W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat zostało zaproponowanych wiele tzw. modeli opiniispołecznej, które służą do obserwowania wpływu zmian na poziomie mikroskopowym (opiniipojedynczych osób) na stan makroskopowy (opinii grupy ludzi) [1, 3]. Analogiczne modelewykorzystywane są w fizyce statystycznej do opisywania np. zmian magnetyzacji [8]. Jed-nak w przypadku modeli społecznych brakuje wiedzy, jak to czynić w sposób ścisły, i jakiwpływ na wyniki ma sam sposób budowy modelu [6]. W kontekście modeli binarnych czę-ściowo odpowiedź została zawarta w pracy [6], która zawiera opis modelu zawierającegojako szczególne przypadki inne modele dyskretne oraz wpływ różnych form szumów (po-staw antykonformizmu i niezależności) na wyniki. Równolegle w literaturze znaleźć możnaróżne modele analizujące opinie określone na ciągłej dziedzinie, np. model ograniczonegozaufania [4]. Nie wiadomo jednak, jaki wpływ na końcowe wyniki ma wybór pomiędzy dys-kretnymi a ciągłymi opiniami. Ponieważ tak postawione pytanie jest zbyt ogólne, by mócna nie jednoznacznie odpowiedzieć, w pracy analizowany będzie wpływ zmiany przestrzeniopinii z binarnej na ciągłą tylko w modelu q-wyborcy z antykonformizmem.

1.1 Cel i zakres pracy

Celem pracy jest sprawdzenie w jaki sposób zastąpienie opinii binarnych ze zbioru {−1, 1}zmiennymi ciągłymi z przedziału [−1, 1] wpłynie na przemianę fazową porządek-nieporządekw modelu q-wyborcy. W zakres pracy wchodzić będzie odtworzenie wyników modelu q-wyborcyz binarnymi opiniami, modyfikacja modelu w taki sposób, aby model z ciągłymi opiniamiodwzorowywał budowę modelu dyskretnego, przeprowadzenie symulacji Monte Carlo orazporównanie wyników obydwu modeli.

1.2 Oznaczenia i definicje

Rozważać będziemy graf pełny o n wierzchołkach. Każdy wierzchołek Si(t), w czasie dys-kretnym t = 0, 1, 2, . . ., będzie przybierać wartość z przestrzeni opinii i symbolizować możeopinię jednej osoby na zadany temat w danej chwili. W binarnym modelu q-wyborcy jako dzie-dzinę przyjmuje się zwykle zbiór {−1, 1} lub {0, 1}. Możemy to interpretować jako odpowiedź„tak” lub „nie” na pewne pytanie w ankiecie, albo wybór opcji „A” albo „B” [6]. Ze względuna sposób budowy modelu wybór pomiędzy tymi dwiema dziedzinami nie wpływa na uzyski-wane wyniki — bowiem, żeby przejść z wynikami na drugą dziedzinę wystarczy zastosować

6

1.3. Przejścia fazowe 7

odpowiednie przeskalowanie liniowe. Ponieważ w modelu ciągłym bardziej intuicyjne przyanalizowaniu wydaje się przyjęcie przestrzeni opinii jako zbioru domkniętego [−1, 1], z inter-pretacją stanów {−1, 1} jako opinii skrajnych, a 0 jako stanu niezdecydowania, w przypadkudyskretnym przyjmiemy za dziedzinę zbiór {−1, 1}.

W każdej chwili t będzie mogła się zmienić wartość jednego z wierzchołów (tzw. wyborcy),oznaczmy numer tego wierzchołka przez v (v ∈ {1, 2, . . . , n}). Będzie on za każdym razemlosowany z rozkładu jednostajnego dyskretnego wśród wszystkich wierzchołków, innymi sło-wy w każdej chwili t będzie nową realizacją zmiennej losowej V takiej, że P (V = x) = 1

n

dla x ∈ {1, 2, . . . , n}. Zmiana wartości opinii wyborcy Sv(t) będzie zależna od wartości przy-jętych przez losowych q innych wierzchołków (tzw. sąsiadów) — numery tych wierzchołkówoznaczmy przez ki, i ∈ {1, 2, . . . , q}. Sąsiedzi będą niezależnie losowani z rozkładu V ′(v):P (V ′(v) = x) = 1

n−1 , dla x ∈ {1, 2, . . . , v− 1, v+ 1, . . . , n} (tj. z rozkładu jednostajnego dys-kretnego spośród wszystkich wierzchołków połączonych w danej chwili krawędzią z wyborcą,czyli niebędących w danej chwili wyborcą). Wprowadzamy dodatkowo zmienną p — prawdo-podobieństwo zachowania antykonformistycznego wyborcy (prawdopodobieństwo zachowaniakonformistycznego definiując jako 1− p).

Jako oznaczenie rozkładu jednostajnego na odcinku [a, b] będzie używany zapis: U(a, b).

1.3 Przejścia fazowe

Rozważać będziemy przejścia fazowe występujące w stanie stacjonarnym układu. Za [5,8, 9] przyjmujemy, że w układzie następuje przejście fazowe, jeśli istnieje taka funkcja φ(p)(nazywana parametrem porządku) oraz taki punkt p∗ (tzw. punkt krytyczny), że

∀p < p∗ φ (p) 6= 0,∀p > p∗ φ (p) = 0.

(1.1)

Jeśli φ(p) jest nieciągła w punkcie p∗, mówimy o tzw. nieciągłym przejściu fazowym,w przeciwnym przypadku przejście fazowe nazywamy ciągłym.

Spośród cech charakterystycznych nieciągłych przejść fazowych wymienić należy histerezę,czyli własność modelu polegającą na tym, że z różnych stanów początkowych układ możedojść do różnych stacjonarnych stanów końcowych. Gdy przejście fazowe jest ciągłe histerezanie występuje. Ta własność jest szczególnie cenna, w przypadku gdy rodzaj przejścia fazowegochcemy określić na podstawie symulacji komputerowych.

Rozdział 2

Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem

2.1 Algorytm

W pracy [2] dynamika binarnego modelu q-wyborcy, jak i w [6, 7] (wprowadzenie antykon-formizmu), zamieszczona jest w sposób opisowy. Ze względu na czytelność pracy oraz w celuułatwienia porównywania modelu binarnego z modelami ciągłymi, modele będą opisywaneza pomocą pseudokodu, opartego na algorytmie z [7].

Ponieważ w tym modelu przejście fazowe jest ciągłe [7], zatem, ze względu na brak hi-sterezy, stan początkowy nie wpływa na wyniki, więc można go ustalić dowolnie (tak, żeby∀i ∈ {1, 2 · · · , n} Si(0) ∈ {−1, 1}).

W każdej chwili t+ 1:

1. Generuj v ∼ V. (losowanie wyborcy)

2. Dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , n}:

3. Generuj ki ∼ V ′(v). (losowanie sąsiadów)

4. Jeśli Sk1(t) = Sk2(t) = . . . = Skq(t): (warunek zgodności sąsiadów)

5. Generuj u ∼ U(0, 1).

6. Jeśli u ¬ p to Sv(t+ 1) = −Sk1(t). (antykonformizm)

7. W przeciwnym razie Sv(t+ 1) = Sk1(t). (konformizm)

8. W przeciwnym razie Sv(t+ 1) = Sv(t).

2.2 Przejście fazowe w binarnym modelu q-wyborcy z antykonformizmem

Ten podrozdział zawiera analityczne wyniki, które zostały zaczerpnięte z [7]. Rozważmyśrednią wartość wierzchołków w układzie (magnetyzację):

m(t) =1n

n∑i=1

Si(t). (2.1)

8

2.3. Wyniki symulacji 9

Niech c(t) oznacza ułamek wierzchołków, które przyjęły w chwili t wartość 1, czyli

c(t) =#{i : Si(t) = 1}

n. (2.2)

Zauważmy, że m(t) = c(t)+12 . Rozważając nieskończony układ (n→∞) w stanie stacjonarnym

można uzyskać zależność:

p =c (1− c)q − cq (1− c)

(1− c)q+1 + c (1− c)q − cq (1− c)− cq+1, (2.3)

dla c 6= 12 (gdzie c odpowiada wartości parametru porządku m w stanie stacjonarnym), czyli

dla m 6= 0. Dla m = 0 otrzymujemy p ∈ (p∗, 1]. Punkt przejścia fazowego p∗ wynosi:

p∗(q) =q − 1

2q. (2.4)

Zatem |m(p)| spełnia warunek (1.1) i może być traktowana jako parametr porządku.Dla q > 1 występuje ciągłe przejście fazowe (ze względu na ciągłość (2.1) względem p),

dla q = 1 nie występuje żadne przejście fazowe.

2.3 Wyniki symulacji

0 1 2 3 4 5x 10

4

−1

−0.5

0

0.5

1

t[MCS]

m(t

)

(a)

0 1 2 3 4 5x 10

4

−1

−0.5

0

0.5

1

t[MCS]

m(t

)

(b)

0 1 2 3 4 5x 10

4

−1

−0.5

0

0.5

1

t[MCS]

m(t

)

(c)

Rys. 2.1: Wykresy przykładowych trajektorii m(t) dla n = 100, q = 3 oraz: (a) p = 0, 05,(b) p = 0, 2, (c) p = 0, 9.

Gdy p < p∗ układ oscyluje wokół wartości m lub −m, tzn. wartości stacjonarnych m(t).Dla p = 0 stan, do którego dochodzi układ to stan, w którym wszystkie wierzchołki przyjmujątę samą wartość (i jest on stanem pochłaniającym, tj. żadna z wartości wierzchołków już siępóźniej nie zmieni). Gdy p jest bliskie p∗, można zaobserwować dość częste przejścia pomiędzywartościami m i −m, wokół których układ oscyluje (rys. 2.1). Dla p > p∗ w grafie mniej więcejpołowa wierzchołków przyjmuje wartość 1, a połowa −1, przy czym im większe jest p, tymmniejsza jest wariancja (rys. 2.2a).

10 Rozdział 2. Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

p

m(p

)

q=1q=2q=3q=4q=6q=10

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

p

m(p

)

n=100n=200n=400n=800

(b)

Rys. 2.2: Wykres wartości stacjonarnych magnetyzacji m dla: (a) rozmiaru układu n = 100i różnych wielkości grupy wpływu q ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 10}, (b) q = 3 i różnych wielkościukładu n ∈ {100, 200, 400, 800}. Liniami oznaczono wynik analityczny, otrzymany poprzezodwrócenie zależności 2.3, a symbolami wynik z symulacji na podstawie średnich z wartościbezwzględnych i liczb im przeciwnych z 1000 iteracji modelu po upływie 1000 MCS.

W celu weryfikacji implementacji komputerowej modelu porównamy zależność średniejwartości magnetyzacji od parametru p otrzymaną w ramach symulacji Monte Carlo z wy-nikami analitycznymi. Dla p < p∗ wyniki symulacji pokrywają się dość dobrze z wynikamianalitycznymi, dla p ­ p∗ im większa jest liczba wierzchołków, tym wyniki symulacji bliższesą granicznemu rozwiązaniu analitycznemu dla nieskończonego n (rys. 2.2b). Dla p > p∗ ma-gnetyzacja m oscyluje wokoł zera, zatem, ze względu na liczenie średniej z wartości bezwzględ-nych m, możemy zaobserwować niezerowe wyniki symulacji. Dla p < p∗ możemy zauważyć,że wartości m uzyskane z symulacji są bliższe zeru w porównaniu z wynikiem analitycznym,ponieważ do liczenia średnich brane są wszystkie symulacje, również te, które akurat znaj-dują się w trakcie przejścia pomiędzy oscylowaniem wokół wartości m a oscylowaniem wokółwartości −m, zaniżając średnią z wartości bezwzględnych.

Rozdział 3

Modele z ciągłymi opiniami

Zaproponowanie modelu ciągłego, odpowiadającego modelowi q-wyborcy z antykonformi-zmem wiąże się z koniecznością przyjęcia dodatkowych założeń, wynikających z przyjmowaniaprzez wierzchołki wartości na przedziale [−1, 1]. Założenia te wynikają z niejednoznacznościodpowiedzi na następujące pytania na ciągłej dziedzinie opinii:

1. Co to znaczy, że sąsiedzi mają jednakowe opinie?

2. Co to znaczy, że wyborca przyjmuje opinię sąsiadów? (Jaką wartość ma przyjąć wyborcaw przypadku konformizmu, a jaką w przypadku antykonformizmu?)

W przypadku binarnego modelu q-wyborcy z antykonformizmem jednakowa opinia ozna-cza, że wszyscy sąsiedzi mają dokładnie tę samą wartość. Każdy z wierzchołków przyjmowałjedną z wartości ze zbioru {−1, 1}. Zarówno liczba wierzchołków, jak i liczba stanów, by-ły skończone. Poza nielicznymi przypadkami (doboru pewnych n i q), prawdopodobieństwowystąpienia sytuacji, w której sąsiedzi mają jednakową opinię, jest niezerowe. Przy zmianiedziedziny opinii na przedział [−1, 1] przechodzimy na operowanie na rozkładach ciągłych lubmieszanych. Prawdopodobieństwo, że wśród n wartości znajdzie się q identycznych, częstomoże okazać się zerowe. Żeby model ewoluował, potrzebne jest rozszerzenie pojęcia „jedna-kowych opinii” tak, aby prawdopodobieństwo zmiany było niezerowe. Można rozpatrywać,że sąsiedzi mają „jednakową” opinię kiedy np.:

a) wszyscy mają opinię większą od zera (odpowiadają „tak” w ankiecie) lub wszyscy mająopinię mniejszą od zera (zaznaczają w ankiecie odpowiedź „nie”)

(∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) > 0) ∨ (∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) < 0) , (3.1)

b) wszyscy mają opinię większą od wyborcy (są bardziej przekonani do rozwiązania niżwyborca) lub wszyscy mają opinię mniejszą od wyborcy (są mniej przekonani lub bar-dziej negatywnie nastawieni do rozwiązania niż wyborca)

(∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) > Sv(t)) ∨ (∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) < Sv(t)) . (3.2)

W dalszej części pracy będziemy zakładać wersję b), ponieważ lepsze wydaje się odniesie-nie opinii sąsiadów do wartości opinii wyborcy. W powyższych propozycjach stan, w którym

11

12 Rozdział 3. Modele z ciągłymi opiniami

wszystkie wierzchołki w grafie mają tę samą wartość, jest stanem pochłaniającym. W sytu-acji, w której wartość opinii sąsiada jest identyczna z wartością opinii wyborcy, stan wyborcysię nie zmienia. To ograniczenie jest związane z problemem w definiowaniu antykonformizmuw modelu na ciągłej dziedzinie opinii (Jak zdefiniować antykonformizm, gdy wszystkie wierz-chołki będą miały tę samą wartość? Jaka będzie wartość opinii antykonformistycznej wobecopinii wynoszącej zero?).

Co to znaczy, że wyborca przyjmuje opinię sąsiadów? W binarnym modelu q-wyborcy są-siedzi mają identyczne opinie, więc odpowiedź jest prosta. W modelu ciągłym odpowiedzi za-leżą od odpowiedzi na pytanie 1. Można zaproponować, żeby po spełnieniu warunku (3.2) np.:

A. wyborca przyjmował średnią (lub wartość innej statystyki) z opinii sąsiadów bądź liczbęjej przeciwną

Sv(t+ 1) ={− 1n

∑qi=1 Ski(t) z prawdopodobieństwem p,

1n

∑qi=1 Ski(t) z prawdopodobieństwem 1− p,

(3.3)

B. wyborca przybliżał się o pewną stałą wartość ∆s do opinii sąsiadów bądź od niej oddalał

Sv(t) = min{1, max{−1, A}}, (3.4)

gdzie

A ={Sv(t)−∆s · sgn(Skq(t)− Sv(t)) z prawdopodobieństwem p,

Sv(t) + ∆s · sgn(Skq(t)− Sv(t)) z prawdopodobieństwem 1− p. (3.5)

Postać (3.4) zapewnia pozostanie opinii wyborcy w dziedzinie. Wzór (3.5) oznacza, żejeśli opinia wyborcy jest większa od opinii sąsiadów (skoro wyborca z założenia spełnia(3.2), to wystarczy sprawdzić relację z jednym z sąsiadów), to w przypadku konfor-mistycznym maleje o ∆s, a antykonformistycznym rośnie o ∆s. Jeśli opinia sąsiadówjest mniejsza od opinii wyborcy, to w przypadku konformistycznym opinia wyborcyrośnie o ∆s, a antykonformistycznym maleje o ∆s. Może się okazać, że po przybraniunowej opinii przez wyborcę relacja mniejszości pomiędzy nim, a opiniami sąsiadów,się odwróciła (np. jeśli wyborca miał opinię mniejszą od sąsiadów, ale nieznacznie, tow przypadku konformistycznym w wyniku dodania ∆s może mieć nową opinię od nichwiększą).

C. wyborca przyjmował opinię będącą realizacją zmiennej losowej (np. z rozkładu jedno-stajnego):gdy Skq(t) > Sv(t) (z założenia (3.2) jest to równoważne sytuacji, w której opiniawyborcy jest mniejsza od opinii każdego z sąsiadów):

Sv(t+ 1) ∼{U(−1, Sv(t)) z prawdopodobieństwem p,U(Sv(t), 1) z prawdopodobieństwem 1− p, (3.6)

gdy Skq(t) < Sv(t):

Sv(t+ 1) ∼{U(Sv(t), 1) z prawdopodobieństwem p,U(−1, Sv(t)) z prawdopodobieństwem 1− p, (3.7)

13

W modelu A, gdy stan początkowy przyjmiemy jako jednostajny na odcinku [−1, 1], mo-żemy zaobserować zbieganie wartości wszystkich wierzchołków do zera dla różnych wartościn i q. W związku z tym modelu nie występują przejścia fazowe i model nie będzie dalej anali-zowany. W modelu B każdy z wierzchołków będzie miał opinię zawartą w zbiorze skończonym

Si(t) ∈ {Si(0) + a ·∆s : a ∈ Z} ∪ [−1, 1] (3.8)

dla każdego t. Model również nie będzie dalej analizowany, ponieważ przestrzeń opinii nie jestciągła. W kolejnej części pracy zostanie omówiony model C.

Rozdział 4

Propozycja modelu ciągłego

4.1 Algorytm

Stan początkowy: ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} Si(0) ∼ U(0, 1).W każdej chwili t:

1. Generuj v ∼ V. (losowanie wyborcy)

2. Dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , n}:

3. Generuj mi ∼ V ′(v). (losowanie sąsiadów)

4. Jeśli (∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) > Sv(t)) to: (warunek zgodności sąsiadów)

5. Generuj u ∼ U(0, 1).

6. Jeśli u ¬ p to generuj Sv(t+ 1) ∼ U(−1, Sv(t)). (antykonformizm)

7. W przeciwnym razie generuj Sv(t+ 1) ∼ U(Sv(t), 1). (konformizm)

8. W przeciwnym razie jeśli (∀i ∈ {1, . . . , q} Ski(t) < Sv(t)) to: (drugawersja warunku zgodności sąsiadów)

9. Jeśli u ¬ p to generuj Sv(t+ 1) ∼ U(Sv(t), 1). (antykonformizm)

10. W przeciwnym razie generuj Sv(t+ 1) ∼ U(−1, Sv(t)). (konformizm)

11. W przeciwnym razie Sv(t+ 1) = Sv(t).

4.2 Wyniki symulacji

Można zauważyć, że dla każdej wartości p ∈ [−1, 1] rozkład wartości jest trochę inny(rys. 4.1). W przeciwieństwie do zachowania modelu binarnego, dla każdej wartości p liczbastanów, w których się znajduje układ, wynosi zawsze jeden (nie ma przeskoków). Układnie zmienia się od stanu z dwiema współistniejącymi fazami dla małych p do stanu równowagimiędzy skrajnymi opiniami dla p > p∗, tylko od stanu ze znikomą ilością wierzchołków zeskrajnymi wartościami do stanu, w którym większość wierzchołków przybiera skrajne wartości(rys. 4.5, 4.6).

14

4.2. Wyniki symulacji 15

−1 −0.5 0 0.5 10

100

200

300

(a)−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

15

20

(b)

−1 0 10

0.5

1

x

F(x

)

(c)

−1 −0.5 0 0.5 10

100

200

300

(d)−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

15

20

(e)

−1 0 10

0.5

1

x

F(x

)

(f)

−1 −0.5 0 0.5 10

100

200

300

400

(g)−1 −0.5 0 0.5 10

5

10

15

(h)

−1 0 10

0.5

1

xF

(x)

(i)

−1 −0.5 0 0.5 10

500

1000

1500

(j)−1 −0.5 0 0.5 10

10

20

30

(k)

−1 0 10

0.5

1

x

F(x

)

(l)

−1 −0.5 0 0.5 10

2000

4000

6000

(m)−1 −0.5 0 0.5 10

20

40

60

(n)

−1 0 10

0.5

1

x

F(x

)

(o)

Rys. 4.1: Rozkłady opinii po upływie 1000MCS dla q = 3 i różnych p: (a)–(c): p = 0,(d)–(f): p = 0, 25, (g)–(i): p = 0, 5, (j)–(l): p = 0, 75, (m)–(o): p = 1. Pierwszą kolumnętworzą histogramy z jednej trajektorii dla n = 104. Drugą — przykładowe histogramy z jednejtrajektorii dla n = 100. Trzecią — empiryczne dystrybuanty 1000 trajektorii dla n = 100.

16 Rozdział 4. Propozycja modelu ciągłego

Si=1

Si=−1

Si=0

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(a)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(b)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(c)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(d)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(e)

Rys. 4.2: Średnie liczby wierzchołków przyjmujących wartości −1, 0, 1 z 1000 symulacji poupływie 1000MCS dla n = 100 oraz: (a) q = 1, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6.

Najwięcej wartości wierzchołków znajduje się w otoczeniu punktów {−1, 0, 1}. Dla ma-łych wartości p większość wierzchołków przyjmuje wartości w pobliżu zera (rys. 4.1c, 4.1f).Wraz ze wzrostem parametru p maleje liczba wierzchołków przyjmujących opinię bliską zeru,a wierzchołki zaczynają przyjmować coraz bardziej skrajne opinie. Dla p = 1 można zaob-serwować polaryzację — znaczna liczba wartości wierzchołków wynosi dokładnie 1 lub −1(rys. 4.2).

Jest to o tyle ciekawe, że początkowo wartości wierzchołków pochodziły z rozkładu jed-nostajnego na całej dziedzinie opinii, a później zmieniały się na wartości losowe z rozkładuciągłego. Zmiana na wartości losowe zachodziła poza sytuacją, kiedy wierzchołek przyjmo-wał wartość −1 lub 1, który to stan jest pochłaniający dla p = 1 (analizowany rozkład jestwtedy jednopunktowy). Zjawisko polaryzacji można zrozumieć przeprowadzając następującerozumowanie.

Zauważmy, że dla p = 1 i dla ustalonego v mamy

E (Sv (t+ 1)) = E (U (Sv(t), 1)) · P q (Si(t) < Sv(t)) ++E (U (−1, Sv(t))) · P q (Si(t) > Sv(t)) ,

(4.1)

4.2. Wyniki symulacji 17

0 1 2 3 4 5x 10

4

0

0.25

0.5

0.75

1

t[MCS]

Var

(S)

(a)

0 1 2 3 4 5x 10

4

0

0.25

0.5

0.75

1

t[MCS]

Var

(S)

(b)

0 1 2 3 4 5x 10

4

0

0.25

0.5

0.75

1

t[MCS]

Var

(S)

(c)

Rys. 4.3: Trajektoria wariancji wartości wierzchołków w przykładowej iteracji algorytmu dlan = 100, q = 3 oraz: (a) p = 0, (b) p = 0, 4, (c) p = 1.

gdzie U(a, b) ∼ U(a, b). Wartości oczekiwane spełniają poniższe zależności

E (U (Sv(t), 1)) =1 + Sv(t)

2­ Sv(t) > Ski(t),

E (U (−1, Sv(t))) =Sv(t)− 1

2¬ Sv(t) < Ski(t),

(4.2)

zatem wartości przyjmowane przez wierzchołki stają się coraz bardziej skrajne. Dodatkowow przypadku p = 1 układ bardzo długo nie dochodzi do stanu stacjonarnego (zwiększają-ca się wariancja wartości wierzchołków grafu na rys. 4.3c wskazuje na przyjmowanie przezwierzchołki coraz skrajniejszych opinii), zatem rys. 4.1m, 4.1n, 4.1o, 4.5e, 4.6e, 4.2e nie przed-stawiają układu w stanie stacjonarnym.

Dla n = 100 można zaobserwować bardzo duży rozrzut wyników w stanie stacjonarnympomiędzy poszczególnymi powtórzeniami symulacji (rys. 4.1c, 4.1f, 4.1i, 4.1l). Im większa licz-ba wierzchołków n, tym układ ulega mniejszym fluktuacjom i rozkład wartości wierzchołkówjest bardziej symetryczny względem zera (rys. 4.1).

Centralnym zagadnieniem badanym w ramach binarnego modelu q-wyborcy były przej-ścia fazowe. Identyfikacja punktu przejścia następowała dzięki wprowadzeniu odpowiedniegoparametru porządku, w tamtym przypadku magnetyzacji. W przypadku modelu ciągłegomagnetyzacja układu, tj. średnia opinia, wynosi zero dla każdego p. Mimo to na rys. 4.1 wy-raźnie widzimy jakościową zmianę zachowania układu. Pojawia się pytanie jak zdefiniowaćpunkt przejścia.

Jako punkt przejścia można przyjąć takie p, dla którego średnia spinów w otoczeniupunktów −1, 0, 1 są sobie równe. Wtedy dla n = 100 i q = 3 ten punkt wynosiłby ok.0, 4 (rys. 4.6c), natomiast dla q = 1 przejście fazowe by nie zachodziło (rys. 4.6a). Gdybyjednak przyjąć odmienną definicję, i jako p∗ traktować punkt, w którym liczba wierzchołkówo wartościach skrajnych jest równa liczbie wierzchołków bliskich zeru,

#{i : Si ∈(−x

2,x

2

)} = #{i : Si ∈ [−1, −1 + x) ∪ (1− x, 1]}, (4.3)

18 Rozdział 4. Propozycja modelu ciągłego

Si>0.95

Si<−0.95

Si ∈ (−0.025, 0.025)

0 50000

20

40

t[MCS]lic

zba

opin

ii(a)

0 50000

20

40

t[MCS]

liczb

a op

inii

(b)

0 50000

20

40

t[MCS]

liczb

a op

inii

(c)

Rys. 4.4: Liczba wierzchołków o wartościach w przedziałach [−1; −0, 95), (−0, 025; 0, 025),(0, 95; 1] w przykładowej iteracji algorytmu dla n = 100, q = 3 oraz: (a) p = 0, (b) p = 0, 4,(c) p = 1.

dla pewnego x > 0 wyznaczającego długość rozpatrywanych przedziałów, to dla n = 100,q = 3 i x = 0, 05 ten punkt wynosiłby ok. 0, 5 (rys. 4.6c), a dla q = 1 przejście fazowe bywystępowało (rys. 4.6a).

Trudno jednoznacznie ustalić, czym w tym modelu jest „porządek”, a czym „nieporzą-dek”; co stanowi istotę porządku (i jaką cechę modelu przyjąć za uporządkowanie). W związ-ku z tym nie udało się wyznaczyć parametru porządku. Oczywiście możnaby rozpatrywaćparametry typu φ = max{a, 0}, gdzie a jest pewną zmienną, np.

a = #{i : Si ∈(−x

2,x

2

)} −#{i : Si ∈ [−1, −1 + x) ∪ (1− x, 1]}, (4.4)

lub pewną proporcją liczebności jednej grupy wierzchołków do innej grupy, tylko w ten spo-sób każdy punkt dziedziny, w zależności od przyjętej definicji, można traktować jako punktprzejścia. Takie sztuczne podejście zdaje się zatracać istotę pojęcia przejścia fazowego.

4.2. Wyniki symulacji 19

Si>0.95

Si<−0.95

Si ∈ (−0.025, 0.025)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(a)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(b)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(c)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(d)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(e)

Rys. 4.5: Średnie liczby wierzchołków należących do przedziałów [−1; −0, 95),(−0, 025; −0, 025), (0, 95; 1] z 1000 symulacji po upływie 1000MCS dla n = 100oraz: (a) q = 1, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6.

Si>0.95

Si<−0.95

Si ∈ (−0.05, 0.05)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(a)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(b)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(c)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(d)

0 0.5 10

1020304050

p

liczb

a op

inii

(e)

Rys. 4.6: Średnie liczby wierzchołków należących do przedziałów [−1; −0, 95),(−0, 05; −0, 05), (0, 95; 1] z 1000 symulacji po upływie 1000MCS dla n = 100 oraz:(a) q = 1, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6.

20 Rozdział 4. Propozycja modelu ciągłego

4.3 Zmiana warunków początkowych

W modelu binarnym zmiana warunków początkowych nie wpływa na uzyskiwane wyniki[7, 6], dlatego, aby zobaczyć wpływ wielkości parametru p na wyniki, można w chwili t = 0ustawić wartości wszystkich wierzchołków na tę samą wartość. Ponieważ niezależność od sta-nu początkowego jest pewną przesłanką, jakiego typu przejście fazowe następuje [9], dlategowarto sprawdzić, jak na zmianę wartości początkowych wierzchołków reaguje model ciągły.

Ze względu na to, że w modelu ciągłym sytuacja, w której wszystkie wierzchołki przybie-rają tę samą wartość, jest stanem pochłaniającym, jako stany początkowe sprawdzimy:

1. realizacje zmiennej z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, 1],

2. realizacje zmiennej z rozkładu P (Si(0) = 1) = P (Si(0) = −1) = 12 .

W przypadku 1. wyniki nie różnią się od tych prezentowanych wcześniej dla rozkładujednostajnego na odcinku [−1, 1]. W przypadku 2. można zaobserwować wydłużenie czasudochodzenia układu do stanu stacjonarnego, co jest szczególnie widoczne dla dużych q. Dlap = 1 stan początkowy jest zarazem stanem pochłaniającym.

Rozdział 5

Podsumowanie

Na początku pracy zostały odtworzone wyniki binarnego modelu q-wyborcy z antykonfor-mizmem. Zostało sprawdzone, że dla rosnącego n wyniki zbiegają do analitycznego wynikuz [7].

Budowa modelu na ciągłej przestrzeni opinii wiąże się z koniecznością zdefiniowania poję-cia antykonformizmu i jednakowości opinii na przestrzeni ciągłej. Zostało zaproponowanychkilka modeli.

Wyniki modeli, jak i zachodzenie w nich przejść fazowych, całkowicie zależą od sposobuprzełożenia dyskretnego modelu q-wyborcy na model ciągły. Dla modelu ciągłego z losowa-niem opinii z rozkładów jednostajnych na odpowiednich przedziałach można zaobserwowaćzmianę rozkładu opinii w stanie stacjonarnym zachodzącą na całej dziedzinie p. Zwiększanierozmiaru układu n spowodowało zwiększenie symetryczności rozkładu wartości wierzchołków.Ponieważ nie można jednoznacznie zdefiniować parametru porządku bez przyjęcia kolejnychzałożeń, co do definicji stanu uporządkowania układu, zarówno diagram fazowy, jak i rodzajprzejścia fazowego, nie zostały przealizowane.

21

Rozdział 6

Bibliografia

[1] Castellano C., Fortunato S., Loreto V., Statistical physics of social dynamics, Rev. Mod.Phys. 81 (2009)

[2] Castellano C., Munoz M, Pastor-Sartorras R., Nonlinear q-voter model, Phys. Rev. E 80(2009)

[3] Flache A., Mas M., Feliciani T., Chattoe-Brown E., Deffuant G., Huet S., Lorenz J.,Models of Social Influence: Towards the Next Frontiers, J. Artif. Soc. Soc. Simul. 20(4) 2(2017)

[4] Hegselmann R., Krause U., Opinion Dynamics and Bounded Confidence Models, Ana-lysis, and Simulation, J. Artif. Soc. Soc. Simul. 5 (2002)

[5] Landau L., Lifszyc J., Fizyka statystyczna, t.1, Warszawa, Wyd. Naukowe PWN, 2011,s. 250–253, 256–258, 433–459, 479–483

[6] Nyczka P., Sznajd-Weron K., Anticonformity or Independence? — Insights from Stati-stical Physics, J. Stat. Phys. 151 (2013)

[7] Nyczka P., Sznajd-Weron K., Cisło J. Phase transitions in the q-voter model with twotypes of stochastic driving, Phys. Rev. E 86 (2012)

[8] Stanley H., Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford, Claren-don Press, 1971, s. 1–21

[9] Yeomans J., Statistical mechanics of Phase Transitions, Nowy Jork, Oxford UniversityPress Inc., 1993, s. 1–30, 54–56

22