1

Praca domowa nr 1. Metodologia Fizyki.

Grupa 1. Szacowanie rzędów wartości wielkości fizycznych

Zad. 1.1. A) Jeśli jesteś studentką, proszę oszacować ile metrów kwadratowych materiału krawieckiego

zostałoby zużyte dodatkowo, gdyby w miejsce mini- wprowadzono nakaz ubierania się kobiet polskich w maxi-

spódniczki; jeśli jesteś studentem, proszę oszacować ile metrów kwadratowych materiału krawieckiego

zostałoby zaoszczędzonych, gdyby w miejsce długich spodni wprowadzono nakaz ubierania krótkich spodenek

przez polskich mężczyzn. B) Proszę oszacować masę włosa człowieka o długości 0,03 m.

Zad 1.2. Proszę oszacować: A) liczbę N operacji zmiennoprzecinkowych (arytmetyczne dodawanie,

odejmowanie, mnożenie, dzielenie), które w czasie jednej godziny może wykonać superkomputer; B) liczbę

układów słonecznych potrzebnych do wypełnienia objętości Drogi Mlecznej.

Zad. 1.3. A) Proszę oszacować ile razy w ciągu swego życie przekręcisz klucz w zamku. B) Zakładając, że Twoje

ciało składa się z wody, proszę oszacować swoją objętość oraz liczbę elektronów w swoim ciele.

Zad. 1.4. Proszę oszacować: A) masę wody w ziemskich morzach i oceanach oraz masę chlorku sodu zawartego

w tych wodach; B) powierzchnię własnego ciała.

Zad. 1.5. Proszę oszacować: A) całkowity czas spędzony w Twoim życiu na przechodzeniu przez drzwi; B) masę

wybranego gatunku bakterii.

Zad.1.6. Proszę oszacować: A) całkowitą energię cieplną emitowaną w ciągu doby przez wszystkich ziemian;

B) masę wybranego wirusa grypy.

Zad. 1.7. Proszę oszacować: A) liczbę atomów tlenu w sali ćwiczeń rachunkowych; B) liczbę galaktyk typu Drogi

Mlecznej potrzebnych do wypełnienia objętości Wszechświata.

Zad. 1.8. Proszę oszacować: A) energię Wszechświata, B) wzrost poziomu oceanów, gdyby stopiony został

całkowicie lądolód Antarktydy a o ile gdyby stopił się całkowicie lód Arktyki .

Uwaga: Niezbędne dane proszę postarać się określić/przyjąć/wyznaczyć/wyszukać samodzielnie. Proszę

koniecznie wskazać, cytując źródła wykorzystane do wykonanych oszacowań.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Grupa 2. Podstawy analizy wymiarowej

Zad. 2.1. Proszę wyznaczyć wartości wykładników a, b, c we wzorze tP = (ℏ )a (c)b (G)c określającym jednostkę

czasu (sekunda Plancka1); proszę podać jawną postać wzoru na tP i obliczyć wartość tP.

Zad. 2.2. Proszę wyznaczyć wartości wykładników d, e, f we wzorze lP = (ℏ )d (c)e (G)f określającym jednostkę

długości (metr Plancka); patrz przypis dolny nr 1. Proszę podać jawną postać wzoru na lP i obliczyć jej wartość.

Zad. 2.3. Korzystając ze wzoru na siłę Lorentza � ��F qv B , proszę wyznaczyć jednostkę miary wektora indukcji

pola magnetycznego �B za pomocą jednostek miar wielkości podstawowych w SI.

Zad. 2.4. Korzystając z reguł analizy wymiarowej należy odtworzyć zależności czasu T obiegu gwiazdy o masie

m planety orbitującej wokół tej gwiazdy w odległości r, wiedząc, że szukana zależności jest dana wzorem

(G)a (r)b(m)c, gdzie G – stała grawitacji; należy wyznaczyć wartości wykładników a, b, c.

Zad. 2.5. Wartość wyrażenia

black hole

black hole B

h

kA, gdzie

black hole – entropia czarnej dziury,

black holeA – pole powierzchni

czarnej dziury, h – stała Plancka, kB – stała Boltzmanna, jest równa

black hole

black hole B

h0,25 c G

k

a b

A, gdzie c – prędkość

światła, G – stała grawitacji. Proszę wyznaczyć wartości wykładników a i b korzystając z tego, że jednostki miar

black hole

i kB są takie same, tj. J/K. Proszę podać wzór na entropię czarnej dziury; więcej na stronie

http://www.deltami.edu.pl/temat/fizyka/grawitacja_i_wszechswiat/2018/04/07/Stephen_Hawking_1942_2018/

Zad. 2.6. Wartość siły F bezwładności Coriolisa, działającej na ciało o masie m poruszającego się z prędkością

o wartości V w nieinercjalnym układzie odniesienia obracającym się z prędkością kątowa jest zakładamy

proporcjonalna do iloczynu (m)a (V)b()c; proszę wyznaczyć wartości wykładników a, b, c oraz podać jawną postać

wyrażenia, do którego jest proporcjonalna wartość siły bezwładności Coriolisa.

1 Wskazówka: http://pl.wikipedia.org/wiki/Jednostki_Plancka; http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/metodologia_fizyki.pdf

2

Zad. 2.7. Bezwymiarowa liczba Reynoldsa LRE służy do określania charakteru przepływu rzeczywistego płynu

o lepkości dynamicznej , której jednostką jest Pas (Pa to skrót jednostki ciśnienia w SI), gęstości poruszającego

się płynu z prędkością V w rurze o średnicy D2. Zakładając, że wielkość iloczynu LRE jest wprost proporcjonalna

do (V)b(D)c()d, proszę wyznaczyć wartości wykładników b, c i d oraz podać jawną postać wyrażenia na LRE.

Zad. 2.8. Iloczyn Td1/2, gdzie T – okres małych drgań wahadła fizycznego, którego środek masy jest odległy od osi

obrotu o d, jest proporcjonalny do iloczynu Iambgc, gdzie I – moment bezwładności wahadła względem punktu

zawieszenia, m – masa wahadła, g – przyspieszenie ziemskie. Proszę wyznaczyć wartości wykładników a, b, c oraz

podać jawną postać na T.

Grupa 3. Elementy rachunku wektorowego i różniczkowo-całkowego

Zad. 3.1. Korzystając z tablicy wzorów matematycznych, proszę wyznaczyć pochodne następujących funkcji, gdzie

x0, A, są stałymi:

dcos

dv t A t

t , 2d

cosd

v t A tt

, 2dcos ,

dv t A t

t

cosd

d sin

tf t

t t

, d

2sin cos .d

f t t tt

Zad. 3.2. Proszę obliczyć całki nieoznaczone (patrz tablica wzorów matematycznych), gdzie v0 , a, są stałymi:

20 dv a t t , d ,a t 2sin dt t , 4cos d ,t t 1

0 dv a t t .

Zad. 3.3. Proszę pokazać, że prawdziwe są związki a b c b c a c a b � � �� � � � � �

. Można zauważyć, że cykliczne

przestawianie symboli wektorów znacznie pomaga i ułatwia zapamiętywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Patrz

materiał zamieszczony na końcu pracy domowej.

Zad. 3.4. Proszę pokazać, że prawdziwe są związki a b c b c a c a b � � �� � � � � �

. Można zauważyć, że cykliczne

przestawianie symboli wektorów znacznie pomaga i ułatwia zapamiętywaniu powyższych wzorów. Ws-ka: Patrz

materiał zamieszczony na końcu pracy domowej.

Zad. 3.5. Proszę wyznaczyć całki oznaczone3 (patrz tablica wzorów matematycznych), gdzie v0, a, są stałymi:

2

1

20 d

t

tv a t t , 2

1

d ,t

ta t 2

1

2sin dt

tt t , 2

1

9cos d ,t

tt t

1

2 10 d

t

tv a t t , gdzie n jest liczbą

całkowitą; rozpatrzyć różne wartości n. Ws-ka: Wartość całki oznaczonej jest, w odróżnieniu od całki

nieoznaczonej będącej rodziną funkcji, liczbą, której wartość obliczamy, jako różnicę wartości całki nieoznaczonej,

odpowiednio, dla górnej i dolnej granicy całkowania. Zastosowania w fizyce przedstawione m.in. w rozdziale 3.6

podręcznika https://openstax.org/details/books/fizyka-dla-szkół-wyższych-polska.

Zad. 3.6. Proszę wyznaczyć pochodne (patrz tablica wzorów matematycznych) następujących funkcji, gdzie x0, A,

są stałymi:

dsin

dv t A t

t , 2d

sind

v t A tt

, 2dsin ,

dv t A t

t

sind

d cos

tf t

t t

, d

sin cos .d

f t t tt

Zad. 3.7. Proszę obliczyć całki nieoznaczone (patrz tablica wzorów matematycznych), gdzie v0 , a, są stałymi, n

jest liczbą całkowitą 0 dv a t t , d ,a t sin dt t , cos d ,t t 0 dnv a t t (rozpatrzyć różne przypadki

n). Zastosowania w fizyce przedstawione m.in. w rozdziale 3.6 podręcznika

https://openstax.org/details/books/fizyka-dla-szkół-wyższych-polska.

Zad. 3.8. Proszę wyznaczyć całki oznaczone (patrz tablica wzorów matematycznych i zad. 3.5), gdzie v0 , a, są

stałymi, n jest liczbą całkowitą: 2

1

0 dt

tv a t t , 2

1

d ,t

ta t 2

1

sin dt

tt t , 2

1

cos d ,t

tt t

1

2

0 dt n

tv a t t ,

gdzie n jest liczbą całkowitą; rozpatrzyć różne wartości n. Ws-ka: Wartość całki oznaczonej jest, w odróżnieniu od

całki nieoznaczonej będącej rodziną funkcji, liczbą, której wartość obliczamy, jako różnicę wartości całki

nieoznaczonej, odpowiednio, dla górnej i dolnej granicy całkowania.

Wrocław, 1 października 2018 W. Salejda

2 Dla LRE > 2100 przepływ jest płynu jest turbulentny (nielaminarny).

3Przykład: 2 2

11

2 2 2 1 1 1ln d ln const, ale ln d ln ln ln .t t

ttx x x x x x x x x x t t t t t t Można sprawdzić

bezpośrednim rachunkiem, że pochodna funkcji pierwotnej ln constx x x jest równa funkcji podcałkowej ln .x

3

Pożyteczne materiały dostępne w Internecie

http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki

http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany

Dowód ze strony: http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach#Iloczyn_mieszany

Iloczyn mieszany

Pierwsza równość w (1.23) jest iloczynem skalarnym wektorów c�

i a b��

. Tożsamości (1.24) są następstwem właściwości

wyznacznika z (1.23). Przestawiając pierwszy wiersz kolejno z drugim i trzecim otrzymujemy pierwszą równość (1.24), tj.

x y c

x y z

x y c

a a a

b b b

c c c

.

Podobnie przestawiając ostatni wiersz kolejno z drugim i pierwszym dostajemy drugą równość w (1.24), tj.

x y c

x y z

x y c

b b b

c c c .

a a a

Wrocław, 1 X 2018 W. Salejda

4

5

6

Wrocław, 12 X 2009 K. Tarnowski

7

Tabela rzędów 3 podstawowych wielkości fizycznych: długości, mas i czasu; źródło podręcznik dostępny on-line i do

pobrania w postaci pdf pod adresem Tom 1: https://openstax.org/details/books/fizyka-dla-szkół-wyższych-polska