Posługiwanie si ę jednostkami miar, skal ą oraz ... · Pytania sprawdzaj ące 17 4 ... pochodzi...

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ

Grzegorz Korzela

Posługiwanie się jednostkami miar, skalą oraz współrzędnymi geodezyjnymi 311[10].O1.02

Poradnik dla ucznia

Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy Radom 2007


1

Recenzenci: dr inŜ. Barbara Gąsowska mgr inŜ. Wanda Brześcińska Opracowanie redakcyjne: mgr inŜ. Grzegorz Korzela Konsultacja: mgr Małgorzata Sienna

Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311.[10].O1.02 „ Posługiwanie się jednostkami miar, skalą oraz współrzędnymi geodezyjnymi”, zawartego w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta.

Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007


2

SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie 3 2. Wymagania wstępne 5 3. Cele kształcenia 6 4. Materiał nauczania 7

4.1. Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe informacje o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie i skali

7

4.1.1. Materiał nauczania 7 4.1.2. Pytania sprawdzające 17 4.1.3. Ćwiczenia 18 4.1.4. Sprawdzian postępów 20

4.2. Jednostki miar stosowane w geodezji 21 4.2.1. Materiał nauczania 21 4.2.2. Pytania sprawdzające 4.2.3. Ćwiczenia 4.2.4. Sprawdzian postępów

4.3. Posługiwanie się współrzędnymi do rozwiązywania podstawowych zadań geodezyjnych

4.3.1 Materiał nauczania 4.3.2 Pytania sprawdzające 4.3.3 Ćwiczenia 4.3.4 Sprawdzian postępów

22 22 24

25 25 34 35 39

5. Sprawdzian osiągnięć 40 6. Literatura 46


3

1. WPROWADZENIE

Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o historii geodezji, jej działach, znaczeniu dla gospodarki narodowej oraz w rozwiązywaniu podstawowych zadań z rachunku współrzędnych.

W poradniku znajdziesz: − wymagania wstępne – wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć juŜ ukształtowane,

abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika, − cele kształcenia – wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem, − materiał nauczania – wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści jednostki

modułowej, − zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy juŜ opanowałeś określone treści, − ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować

umiejętności praktyczne, − sprawdzian postępów, − sprawdzian osiągnięć, przykładowy zestaw zadań; zaliczenie testu potwierdzi

ukształtowanie umiejętności całej jednostki modułowej, − literaturę.


4

Schemat układu jednostek modułowych

311[10].O1.01 Przestrzeganie przepisów bezpieczeństwa i higieny

pracy, ochrony przeciwpoŜarowej

oraz ochrony środowiska

311[10].O1.02 Posługiwanie się jednostkami

miar, skalą oraz współrzędnymi geodezyjnymi

311[10].O1 Podstawy geodezji

i kartografii

311[10].O1.03 Posługiwanie się mapami stosowanymi w geodezji


5

2. WYMAGANIA WST ĘPNE

Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej, powinieneś umieć: − korzystać z róŜnych źródeł informacji, − obsługiwać komputer, − charakteryzować układ współrzędnych prostokątnych, − przestrzegać zasad bezpieczeństwa i higieny pracy, − uczestniczyć w dyskusji.


6

3. CELE KSZTAŁCENIA

W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś, umieć: – określić rolę geodezji w gospodarce, – przedstawić rys historyczny geodezji, – scharakteryzować poszczególne działy geodezji, – posłuŜyć się jednostkami miar stosowanymi w geodezji, – obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych, – obliczyć długość odcinka ze współrzędnych, – obliczyć współrzędne punktu na prostej, – obliczyć wartość kąta ze współrzędnych, – określić wartość kąta w róŜnych jednostkach, – odczytać współrzędne punktu z mapy, – odszukać na mapie punkt o określonych współrzędnych, – posłuŜyć się podziałką poprzeczną, – zastosować do obliczeń geodezyjnych technikę komputerową, – scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzeźby, – obliczyć powierzchnię figury ze współrzędnych – skontrolować poprawność obliczeń geodezyjnych.


7

4. MATERIAŁ NAUCZANIA 4.1. Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe

informacje o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie i skali

4.1.1. Materiał nauczania

Geodezja – nazwa wprowadzona przez Arystotelesa, pochodzi z języka greckiego geo – Ziemia, daiso – będę dzielił, a więc dosłownie oznacza podział ziemi, czyli pomiar i podział posiadłości – nieruchomości, co i w obecnych czasach stanowi jedno z waŜnych zadań geodezji.

Geodezja jest jedną z nauk o Ziemi a zarazem działem techniki. Zajmuje się pomiarami obiektów na powierzchni ziemi oraz pomiarami Ziemi jako planety. Pomiary geodezyjne określają wymiary, kształt i wzajemne połoŜenie w przestrzeni obiektów (naturalnych i sztucznych) znajdujących się na powierzchni ziemi a takŜe kształt i wymiary Ziemi jako planety. Praktyczne zadania geodezji obejmują pomiary topograficzne przydatne do sporządzania map, pomiary gruntów oraz pomiary obiektów inŜynierskich związane z ich budową a takŜe późniejszą eksploatacją. Podstawy teoretyczne geodezji opierają się na takich naukach jak: matematyka, fizyka, astronomia, geografia, mechanika i inne. Rys historyczny geodezji [2]

Początki geodezji sięgają 3–5 tysięcy lat przed naszą erą, kiedy to wykonywane były pomiary katastralne. Z czasów najodleglejszych zachowały się do dzisiaj tylko nieliczne ślady działalności "geodezyjnej". Są to malowidła ścienne w tureckiej Anatolii, niewielkie fragmenty glinianych tablic katastralnych w Mezopotamii, zapisy na papirusie czy teŜ średniowieczne kopie staroŜytnych map. Im bliŜej czasów współczesnych, tym więcej mamy przekazów historycznych i dowodów, mówiących nie tylko o roli i znaczeniu geodezji, ale i kolejnych etapach jej rozwoju. Za niezwykle waŜne w rozwoju geodezji uwaŜa się wyznaczenie wymiarów Ziemi przez Eratostenesa z Cyreny (III w. p.n.e.). Ten grecki astronom i matematyk porównał obserwacje Słońca w dwóch odległych punktach (Asuan i Aleksandria) leŜących w przybliŜeniu na tym samym południku. Dokonał on pomiaru kąta padania promienia słonecznego w Aleksandrii, w momencie, gdy w Asuanie słońce świeciło w zenicie. Określając odległość między tymi miastami na podstawie czasu przejścia karawany, uczony obliczył promień kuli ziemskiej: R~6300 km. Początki geodezji w Polsce [3]

Najwcześniejsze wzmianki o mierniczych na ziemiach polskich pochodzą z XII i XIII wieku. Wykonujących pomiary nazywano wtedy Ŝerdnikami królewskimi, bo teŜ posługiwali się tak prostymi narzędziami, jak Ŝerdź i sznur, za pomocą których mierzyli grunty i tyczyli nowe miasta. Budowę tych ostatnich zaczynano od wytyczenia rynku, z reguły prostokątnego do prowadzenia handlu, potem siatki ulic i parceli budowlanych.

W średniowieczu znana była, równieŜ w Polsce, instytucja Podkomorzego. Na dworze pierwszych Piastów kontrolowali oni zarządzanie dobrami królewskimi i byli zastępcami wojewodów. Jednym z ich obowiązków było rozstrzyganie sporów granicznych. W połowie XV wieku Podkomorzy był juŜ dobrze zakorzenioną, szlachecką instytucją samorządową, swą funkcję sprawował praktycznie doŜywotnio. Podkomorzy rozstrzygał spory graniczne, potrafił oszacować wartość nieruchomości, a z czasem – sklasyfikować grunty.


8

W XVI wieku ukazały się pierwsze podręczniki geodezji w języku polskim, jak chociaŜby „Geometria to jest miernicka nauka...” Stanisława Grzepskiego z 1566 r. Rozwijało się szkolnictwo. Na Akademii Krakowskiej dzięki inicjatywie kanonika Jana BroŜka w 1631 r. utworzono katedrę geodezji. Jej nieliczni adepci nosili – jak na królewską uczelnię przystało – tytuł geometry królewskiego. Zaczęły się pojawiać przyrządy miernicze, wynaleziono lunetę, podziałkę transwersalną (uŜywana jest do dnia dzisiejszego – zostanie omówiona w rozdziale następnym), a matematyka dostarczała juŜ narzędzi do rozwiązywania coraz bardziej skomplikowanych zadań.

W XVIII wieku za panowania Stanisława Augusta Poniatowskiego, spopularyzowano instytucję Geometry Jego Królewskiej Mości. Przywilej uzyskiwało się z rąk królewskich i wymagane były referencje lub poparcie zaufanych króla. Kandydaci na geometrów królewskich nie musieli legitymować się szlacheckim pochodzeniem, nie byli teŜ przypisani do pracy na terenie określonego powiatu, a obszarem ich działania było całe państwo. W końcu XVIII wieku liczbę wszystkich parających się zawodem geometry (mierniczego) moŜna szacować na około 400.

Rozbiory Polski i utrata niepodległości pozostawiły, niestety, na dwa wieki sprawy polskiego miernictwa w rękach trzech państw: Austrii, Prus i Rosji. Dwa pierwsze, dysponujące sprawną administracją, stosowały na podporządkowanych terenach swoje regulacje prawne. Z kolei w zaborze rosyjskim utrzymano, co prawda, instytucję Podkomorzego, ale zlikwidowano wolny zawód. Wyjątkiem był okres Księstwa Warszawskiego. Aby zostać geometrą II klasy, naleŜało legitymować się odpowiednią praktyką i zdać egzamin przed komisją departamentową. Następnie po rocznej praktyce i zaliczeniu egzaminu u NajwyŜszej Komisji Egzaminacyjnej moŜna było zdobyć stopień wyŜszy – geometry klasy I. Tytuły takie uzyskało 70 geometrów, a część z nich stanowili byli geometrzy JKM Stanisława Augusta. Po upadku Księstwa Warszawskiego, przez ponad sto lat, polskich mierniczych egzaminowali Austriacy, Niemcy i Rosjanie, a we wszystkich trzech zaborach zostali oni wprzęgnięci w obce struktury państwowe.

Po odzyskaniu niepodległości w 1918 r. dostaliśmy w spadku nie tylko niespójne jednostki miar, osnowy, mapy, systemy hipoteczne i instrukcje, ale teŜ mierniczych o przeróŜnych tytułach i zróŜnicowanych umiejętnościach. Potrzeby gospodarcze młodego państwa wymagały szybkiego ujednolicenia odziedziczonych po zaborcach regulacji prawnych, takŜe tych dotyczących naszego zawodu. W 1925 r. wprowadzono ustawą tytuł Mierniczego Przysięgłego. Aby nim zostać, naleŜało mieć: obywatelstwo polskie, wykształcenie miernicze wyŜsze lub średnie i odpowiednio 2- lub 5-letnią praktykę zawodową. Trzeba było równieŜ zaliczyć egzamin przed jedną z dwóch państwowych komisji egzaminacyjnych, z których pierwsza zbierała się we Lwowie, a druga w Warszawie (sesje odbywały się dwa razy do roku, na wiosnę i jesienią). Mierniczy przysięgły był wyłącznym wykonawcą wszelkich prac pomiarowych, które nie były zastrzeŜone dla słuŜb państwowych. Plan czy mapa opatrzone pieczęcią mierniczego były dokumentem urzędowym.

Okres międzywojenny przyniósł duŜo zmian. Uregulowano lub stworzono od podstaw wiele przepisów pomiarowych, dla potrzeb katastru zastosowano na szeroką skalę zdjęcia lotnicze, scalono prawie 5,5 mln ha gruntów, w większych miastach powstały samorządowe jednostki geodezyjne. Według róŜnych szacunków w 1939 r. zarejestrowanych było w kraju 1200-1500 mierniczych przysięgłych, z których 20% miało tytuł inŜyniera, pozostali legitymowali się średnim wykształceniem. W administracji i szkolnictwie pracowało dalsze 750 osób (około 60% z nich miało wyŜsze wykształcenie). Do tego moŜna doliczyć 1800 osób personelu pomocniczego. Razem daje to blisko 4 tysiące osób. Taki był stan liczebny środowiska geodezyjnego u progu II wojny światowej.


9

Po II wojnie światowej nowe ludowe państwo wzięło sprawy zawodowe geodetów w swoje ręce. Według artykułu 1. dekretu Polskiego Komitetu Wyzwolenia Narodowego z 7 października 1944 r. do realizacji reformy rolnej mobilizacji podlegały wszystkie „siły miernicze” (wraz z przyrządami pomiarowymi), które nie ukończyły 60-tego roku Ŝycia. „Siłami mierniczymi” byli: inŜynierowie mierniczy, mierniczy przysięgli, mierniczy, praktykanci i absolwenci szkół mierniczych. Kto nie podporządkował się mobilizacji, ryzykował 2 lata więzienia, a dodatkowo utratę prawa wykonywania zawodu na 5 lat. W kolejnym dekrecie Krajowej Rady Narodowej z 30.03.1945 r., został ustanowiony Główny Urząd Pomiarów Kraju. Wzorcem dla nowopowstałego urzędu był moskiewski WyŜszy Urząd Geodezyjny, utworzony dekretem Rady Komisarzy Ludowych, podpisanym przez samego Włodzimierza I. Lenina. Jedną z głównych bolączek geodezji w 1945 r. były zniszczone i niekompletne archiwa geodezyjne, oraz brak sprzętu pomiarowego. Teodolity i niwelatory rozszabrowano lub zniszczono. Wiele materiałów i map wywieziono w głąb Niemiec. Po kilku latach starań zdołano odzyskać tylko około 20 ton tej dokumentacji. Ocalałe i odzyskane materiały przejęły archiwa geodezyjne zorganizowane przez Główny Urząd Pomiarów Kraju. JuŜ od 1947 r., czyli w czasie akcji ich porządkowania, zaczął funkcjonować przepis o obowiązku rejestrowania pomiarów i oddawania ich wyników do tych archiwów (przepis w duŜej mierze aktualny do dzisiaj).

Wraz z odbudową kraju ruszyły pierwsze prace geodezyjne. Były one związane przede wszystkim z delimitacją granic kraju, przygotowaniem dokumentacji geodezyjnej dla akcji osiedleńczej na Ziemiach Zachodnich i Północnych, pomiarami na potrzeby reformy rolnej, katastrem i odbudową gospodarki. Prace geodezyjne miały wykonywać przedsiębiorstwa państwowe, bowiem dyskryminacyjna polityka podatkowa państwa doprowadziła w 1950 r. do prawie całkowitej likwidacji sektora prywatnego. Było to bowiem sprzeczne z obowiązującą juŜ pod koniec lat 40. linią upaństwowienia gospodarki. Ostatnie biura mierniczych przysięgłych zamknięto w 1953 r. Prace geodezyjne związane z odbudową kraju prowadziły przedsiębiorstwa państwowe, niejednokrotnie z liczną załogą, dochodzącą do 1000 pracowników i więcej (nawet 1500 osób), które miały monopol na takie prace. PoniewaŜ firmy te nie mogły wykonywać niewielkich prac dla zwykłego obywatela, w 1983 r. umoŜliwiono wykonywanie tych prac geodetom posiadającym uprawnienia zawodowe. Określono siedem zakresów, w których moŜna było nadawać takie uprawnienia w dziedzinie geodezji i kartografii oraz wybrano specjalną komisję do egzaminowania. Od 1 stycznia 1989 r. zaczęła obowiązywać ustawa o działalności gospodarczej, fundament Ŝycia gospodarczego w nowej Polsce i podstawa wolnego rynku. W nowy ustrój wkroczyło 6964 geodetów mających uprawnienia zawodowe. Teraz kaŜdy mógł, bez Ŝadnych przeszkód, załoŜyć własną prywatną firmę. Od tego czasu nadano uprawnienia ponad 17 tysiącom ludzi. Zadania geodezji w gospodarce Znaczenie geodezji w gospodarce jest ogromne. Do najwaŜniejszych moŜna zaliczyć: 1. Określanie kształtu i wymiarów Ziemi, jako planety. 2. Opisywanie powierzchni Ziemi poprzez określenie przestrzennego rozmieszczenia

obiektów naturalnych i sztucznych oraz rzeźby terenu. Najpowszechniejszym materiałem wynikowym tego procesu jest mapa w róŜnych skalach (począwszy od 1:500), zarówno tradycyjna jak i cyfrowa realizowana w technologii informatycznej.

3. Budowanie katastru tj. systemu informacji o nieruchomościach (gruntach, budynkach i lokalach) dla potrzeb ksiąg wieczystych i podatków. W skład tych informacji wchodzi min.: sposób uŜytkowania, stan prawny, klasyfikacja gleboznawcza, wartość rynkowa.


10

4. Wytyczanie (realizacja) w terenie projektów budowli (budynków, dróg,zakładów przemysłowych, mostów, kolei itp.) oraz kontrola ich funkcjonowania (pomiary odkształceń i przemieszczeń).

5. Sporządzanie i gromadzenie dokumentacji geodezyjnej zawierającej opis podziemnej infrastruktury technicznej (kanalizacja, wodociągi, energetyka, telekomunikacja, gaz itp.), opis złóŜ mineralnych i wyrobisk górniczych oraz archiwizacja tej dokumentacji w celach uŜytkowych i udostępnianie jej zainteresowanym osobom i instytucjom.

6. Przekształcanie struktury powierzchniowej gruntów (scalenia i wymiany gruntów). 7. Monitorowanie środowiska i przestrzennego zagospodarowania kraju. 8. Dostarczanie danych do Systemu Informacji Przestrzennej (SIP), które określają

lokalizację oraz cechy jakościowe i ilościowe opisywanych obiektów. Jak moŜna się zorientować z powyŜszego zestawienia rola geodezji w codziennym Ŝyciu obywatela, gminy – miasta oraz całego kraju jest nieoceniona. Podział geodezji Geodezja dzieli się na szereg działów zajmujących się określonym zakresem zadań. MoŜna wyróŜnić następujące działy: [1] 1. Geodezja ogólna nazywana dawniej geodezją niŜszą lub miernictwem – zajmuje się

pomiarami na małych obszarach, które moŜna odnieść do płaszczyzny bez uwzględnienia krzywizny Ziemi.

2. Geodezja wyŜsza – zajmuje się badaniem kształtu oraz wymiarów Ziemi i pomiarami na duŜych obszarach z uwzględnieniem jej krzywizny.

3. Kartografia zajmuje się podstawami matematycznymi przedstawienia zakrzywionej powierzchni Ziemi na płaszczyźnie rysunku mapy, poprzez tzw. odwzorowania kartograficzne oraz technikami sporządzania i reprodukcji map.

4. Topografia zajmuje się sporządzaniem map w skalach średnich 1:10 000, 1:50 000, 1: 100 000, w oparciu o opracowania wielkoskalowe lub odrębną technikę pomiarową.

5. Fotogrametria zajmuje się wykonywaniem i wykorzystaniem zdjęć naziemnych, lotniczych i satelitarnych do potrzeb pomiarowych. W oparciu o te zdjęcia mogą być wykonywane mapy, plany oraz badania zjawisk zachodzących na powierzchni Ziemi. Fotogrametria stosowana do celów sporządzania map średnioskalowych nosi nazwę fotogrametrii topograficznej lub fototopografii.

6. Instrumentoznawstwo geodezyjne zajmuje się konstrukcją, badaniem, uŜytkowaniem i konserwacją przyrządów geodezyjnych.

7. Rachunek wyrównawczy zajmuje się metodami obliczeń geodezyjnych, wyrównania wyników pomiarów i szukaniem ich najbardziej prawdopodobnych wartości liczbowych wielkości mierzonych.

8. Geodezja gospodarcza, to geodezja stosowana w róŜnych dziedzinach gospodarki. WyróŜniamy zatem geodezję: inŜynieryjno – przemysłową, rolną, leśną, górniczą, i inne.

9. Astronomia geodezyjna zajmuje się określaniem połoŜenia punktów na powierzchni Ziemi za pomocą astronomicznych obserwacji ciał niebieskich. Polska jest jednym z nielicznych krajów, w których słowa „geodezja” uŜywa się do

określenia dziedziny wiedzy i techniki związanej z pomiarami na małych obszarach (geodezja ogólna). W większości krajów Europy zachodniej termin „geodezja” zarezerwowany jest wyłącznie dla nauki zajmującej się pomiarami na duŜych obszarach i całej Ziemi. Zadania zarezerwowane dla geodezji ogólnej określane są tam mianem miernictwa.

Podstawowymi czynnościami technika geodety jest przeprowadzanie pomiarów w terenie, wykonywanie obliczeń, rysunków i szkiców a w oparciu o nie, sporządzanie map do róŜnych celów. Te czynności wykonują geodeci będący pracownikami jednostek


11

wykonawstwa geodezyjnego, urzędów administracji rządowej lub samorządowej. Geodeta zajmuje się równieŜ prowadzeniem spraw dotyczących gospodarki gruntami lub gromadzeniem i archiwizacją dokumentacji geodezyjnej – w przypadku pracy w Ośrodku Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej. Powierzchnia odniesienia Ziemia jest nieregularną bryłą, której w matematyczny sposób nie da się opisać, dlatego wyniki pomiarów i obliczeń geodezyjnych muszą być określane na regularnej powierzchni dającej się opisać równaniami matematycznymi. Powierzchnia ta musi być zbliŜona kształtem do fizycznej powierzchni Ziemi. Powierzchnię, na którą rzutuje się pomierzone w terenie punkty, nazywamy powierzchnią odniesienia. W zaleŜności od wielkości obszaru podlegającego pomiarowi powierzchnię odniesienia moŜe stanowić: płaszczyzna, kula lub elipsoida obrotowa. Elipsoida obrotowa spłaszczona powstaje poprzez obrót elipsy wokół osi małej. Układy współrzędnych Układ współrzędnych jest to zespół obiektów geometrycznych względem, których określa się jednoznacznie połoŜenie punktu lub zbioru punktów. Przy dwuwymiarowym układzie współrzędnych, który występuje na płaszczyźnie, określenie połoŜenia punktu wymaga podania dwóch liczb, w układzie trójwymiarowym natomiast – trzech liczb. Na płaszczyźnie i w przestrzeni stosuje się róŜne typy współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich), ponadto na płaszczyźnie biegunowy układ współrzędnych. Na powierzchniach odniesienia uŜywane są układy współrzędnych krzywoliniowych (sferycznych lub elipsoidalnych), do których zaliczamy współrzędne geograficzne. Na przestrzeni lat, w Polsce stosowane były róŜne państwowe układy współrzędnych prostokątnych [2]. RóŜnice między nimi polegają m. in. na przyjętej powierzchni odniesienia – elipsoidzie obrotowej. W Polsce, podobnie jak w innych państwach byłego Układu Warszawskiego, obowiązywała od roku 1952 elipsoida Krassowskiego, z punktem przyłoŜenia do geoidy w Pułkowie koło Sankt Petersburga. Kształt Ziemi najlepiej wyraŜa geoida - bryła powstała w wyniku przedłuŜenia średniej powierzchni mórz i oceanów w stanie spoczynku pod lądami i nad depresjami. Ze względu na niejednolity rozkład mas wewnątrz Ziemi, bryła ta jest nieregularna. Bryłą regularną, która najbardziej zbliŜona jest do kształtu Ziemi jest elipsoida obrotowa. Wielu uczonych wykonało pomiary, których celem było ustalenie dokładnych wymiarów elipsoidy ziemskiej. Od nazwisk tych uczonych przyjęto nazwy elipsoid. Znane są elipsoidy Bessela, Clarka, Hayforda oraz wymieniona wyŜej elipsoida Krassowskiego. Układ współrzędnych geograficznych – geodezyjnych jest jednym z układów, który składa się na jednolity dla całego kraju, państwowy system odniesień przestrzennych. Stosowanie jednolitych układów współrzędnych dla całego kraju wynika z zasady ciągłości i porównywalności wyników pomiarów oraz powstałej w ich rezultacie dokumentacji sporządzanej przez róŜnych wykonawców, która jest gromadzona w państwowym zasobie geodezyjnym i kartograficznym. Układ ten określa połoŜenie punktu leŜącego na elipsoidzie za pomocą dwóch wielkości: szerokości oraz długości geograficznej geodezyjnej. Szerokość geograficzna geodezyjna B jest to kąt zawarty pomiędzy normalną (prostopadłą) do elipsoidy w danym punkcie a płaszczyzną równika. Długość geograficzna geodezyjna L jest to kąt dwuścienny, zawarty pomiędzy półpłaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt. Płaszczyznę południka na elipsoidzie wyznaczają: oś obrotu elipsoidy i normalna do elipsoidy w danym punkcie.


12

Rys. 1. Układ współrzędnych geograficznych – geodezyjnych [4]

Układ współrzędnych biegunowych określa punkt B – początek układu, czyli biegun

i wychodząca z niego półprosta Z nazywana osią biegunową (Rys. 2). Współrzędnymi biegunowymi danego punktu P są: promień wodzący „r”, czyli długość od bieguna do punktu P oraz kąt kierunkowy α zawarty pomiędzy osią biegunową a promieniem wodzącym mierzony od osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W przypadku, gdy oś Z pokrywa się z kierunkiem południka i kieruje się na północ, kąt kierunkowy α jest zarazem azymutem odcinka BP – czyli α = ABP.

Rys. 2. Układ współrzędnych biegunowych [opracowanie własne]

Układ współrzędnych prostokątnych płaskich stosowany w geodezji róŜni się od układu matematycznego usytuowaniem osi układu X i Y oraz kierunkiem liczenia kątów. Kierunek liczenia kątów w układzie geodezyjnym jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (Rys. nr 3). Dla niewielkiego obszaru kierunek osi X moŜna uznać za zgodny z kierunkiem południka przechodzącego przez środek obszaru. PołoŜenie punktu P wyraŜane jest za pomocą współrzędnych XP i YP (lub x i y).

B

P Z

α r


13

Rys. 3. Geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych [opracowanie własne]

Do połowy lat 60 – tych, obowiązywał w Polsce układ współrzędnych zwany „1942” . Układ ten powstał w wyniku zastosowania odwzorowania Gaussa – Krőgera na elipsoidzie Krassowskiego. Od końca lat 60-tych w słuŜbie cywilnej zaczęto wprowadzać nowy, pięciostrefowy układ współrzędnych prostokątnych, zwany skrótowo układem „1965”. W tym układzie opracowano mapę zasadniczą kraju. Od początku lat 90-tych podjęto prace, mające na celu włączenie obszaru Polski do europejskiego systemu odniesień przestrzennych ETRS (European Terrestial Reference System), będącego częścią światowego systemu ITRS (International Terrestial Reference System). Wszystkie obliczenia wykonano juŜ na nowej elipsoidzie, zwanej w skrócie GRS-80 (nazwa pełna:„Geodetic Reference System 1980”). Zarówno dla poziomych sieci pomiarowych jak i dla opracowań kartograficznych przyjęto dwa nowe układy współrzędnych prostokątnych: 1. układ nazywany skrótowo „1992”, stanowiący podstawę do wykonywania nowych map

urzędowych w skalach 1:10 000 i mniejszych. 2. układ nazywany skrótowo „2000”, stosowany do opracowań map w skalach duŜych oraz

dla osnów geodezyjnych. Układ ten wprowadzono w Polsce do 2000r. Układ „1965” moŜe być wykorzystywany tylko do końca 2009 r. Poza wymienionymi wyŜej państwowymi układami współrzędnych prostokątnych na

terenach niektórych miast wprowadzono lokalne układy współrzędnych. Przykładem takiego układu jest układ współrzędnych nazywany skrótowo „ŁAM” (Łódzka Aglomeracja Miejska), obejmujący dawniej miasto Łódź i okoliczne miejscowości, a obecnie funkcjonujący jedynie na terenie samego miasta. Mapa to rzut prostokątny powierzchni Ziemi na płaszczyznę, wykonany w określonym zmniejszeniu, czyli w skali, w przyjętym układzie odniesienia.

Mapy słuŜą człowiekowi juŜ od kilku tysięcy lat, a najstarsze pochodzą ze staroŜytnego Egiptu i Babilonii (ok. 3 tys. lat p.n.e.).

Przy tworzeniu map dla niewielkich obszarów (o powierzchni nieprzekraczającej 750 km2), fizyczną powierzchnię mierzonego terenu przenosi się na płaszczyznę mapy przyjmując odpowiednią skalę, stosując odpowiednie znaki umowne oddające, wybraną treść. Przy wykonywaniu map bez uwzględnienia krzywizny Ziemi stosuje się układ współrzędnych prostokątnych.

X

P (XP,YP)

Y 0 YP

XP


14

Przy przedstawianiu większych obszarów niŜ 750 km2, występuje trudność związana z przedstawieniem zakrzywionej powierzchni Ziemi na płaszczyźnie mapy. Trudność ta polega na tym, Ŝe fizyczna powierzchnia Ziemi, zbliŜona kształtem do powierzchni kuli lub elipsoidy obrotowej, nie daje się rozwinąć na płaszczyznę bez zniekształceń liniowych, kątowych a takŜe zniekształceń pól powierzchni. Matematycznie określony sposób przeniesienia punktów znajdujących się na powierzchni odniesienia na płaszczyznę rysunku mapy, nazywany jest odwzorowaniem kartograficznym. Odwzorowanie w sposób jednoznaczny ustala zaleŜności pomiędzy współrzędnymi geograficznymi punktu (φ, γ) na kuli lub elipsoidzie obrotowej, a współrzędnymi prostokątnymi (X,Y), rzutu tego punktu na płaszczyznę.

Skalą mapy nazywamy stosunek długości odcinka na mapie do rzutu poziomego jego długości w terenie. Skalę moŜemy wyrazić wzorem:

M1

= Dd

Gdzie: M – mianownik skali. d – długość odcinka na mapie. D – długość rzutu poziomego tego odcinka w terenie.

Skala mapy jest, zatem ułamkiem, którego licznik jest równy jedności, a mianownik jest liczbą, wskazującą stopień zmniejszenia rysunku w porównaniu do obrazu terenu.

Spośród kilku skal ta jest mniejsza, która ma większy mianownik. Skale duŜe stosowane są dla zobrazowania terenów o duŜym zagęszczeniu szczegółów terenowych (naziemnych i podziemnych) – takich jak tereny zurbanizowane. Dla terenów miejskich mapa zasadnicza wykonywana jest zwykle w skali 1:500 lub 1:1000, dla zurbanizowanych obszarów wiejskich w skali 1:1000 i 1:2000, a dla terenów o mniejszym zagęszczeniu obiektów terenowych np. terenów leśnych w skali 1:5000. PoniŜej przedstawiono fragmenty map o róŜnych skalach obrazujących ten sam teren (Rys. 4).

Mapa topograficzna w skali 1:10 000


15

Mapa ewidencji gruntów i budynków w skali 1:5000

Mapa zasadnicza w skali 1:1000

Rys. 4. Mapy w róŜnych skalach [opracowanie własne]

Mapy archiwalne, które jeszcze moŜna spotkać np. w księgach wieczystych i archiwach mogą mieć skale: 1:2880 i 1:4200. Taka wielkość mianownika skali wynika z jednostek długości stosowanych w zaborze austriackim i rosyjskim.

Oko człowieka jest zdolne ocenić wielkość liniową z dokładnością do 0,1 mm. Długość terenową, odpowiadającą tej wielkości, nazywamy dokładnością danej skali. Np. dla skali 1:5000 będzie to 0,5 m.

W trakcie korzystania z map obrazujących ten sam obszar, a wykonanych w róŜnych skalach, moŜe zaistnieć potrzeba przeniesienia określonego odcinka d1 w skali 1: M1 na mapę w skali 1: M2. Aby odłoŜyć odpowiednią odległość d2 na mapie w skali 1: M2 naleŜy przekształcić zaleŜność:

1

2

dd

= 2

1

MM

Na podstawie powyŜszej zaleŜności moŜna równieŜ określić nieznaną skalę mapy. Aby wykonać to zadanie musimy dysponować mapą o znanej skali na ten sam teren. W celu określenia nieznanej skali mapy musimy zidentyfikować na obydwu mapach odcinki oparte na


16

tych samych punktach i zmierzyć ich długości z największą moŜliwą dokładnością. Na podstawie wzoru:

M2 = 2

1

dd .M1

obliczamy nieznany mianownik skali mapy. Graficzne przedstawienie skali to podziałka. Podziałka wykorzystywana jest do mierzenia

oraz odkładania odległości na mapie. W powszechnym stosowaniu rozróŜnia się podziałki liniowe i poprzeczne – inaczej nazywane transwersalnymi.

Podziałka liniowa podobna jest do linijki z podziałem centymetrowym, ale jej podział opisany jest odległościami terenowymi.

Podziałka poprzeczna ma kształt liniału, zwykle wykonanego z mosiądzu, o długości ok. 25 cm i szerokości 4 cm, z wytrawionymi liniami pionowymi, poziomymi i ukośnymi. Określenie odległości pomierzonej cyrklem – odmierzaczem na mapie, polega na przyłoŜeniu jego ostrzy do odpowiednich linii pionowych i ukośnych podziałki i odczytaniu odległości terenowej.

Jak opisano w początkowej części rozdziału, dla nieduŜych obszarów, wykonuje się mapy z wykorzystaniem układu współrzędnych prostokątnych płaskich. Prowadząc linie równoległe do osi X i Y otrzymamy siatkę kwadratów, która ułatwia odszukanie na mapie punktu o znanych współrzędnych, odczytanie współrzędnych konkretnego punktu lub wniesienie na mapę punktu o zadanych współrzędnych. Siatka kwadratów przedstawiana jest na mapie w postaci krzyŜy, umiejscowionych w punktach przecięcia się prostych równoległych do osi X i Y. KrzyŜe te rozmieszczone są w stałej odległości 10 cm od siebie, co odpowiada (w zaleŜności od skali mapy) odcinkom o długości 50 m, 100 m, 200 m lub 500 m w terenie.

UŜywając podziałki transwersalnej, cyrkla – odmierzacza oraz ekierek, moŜna, wykorzystując siatkę kwadratów, wykonać następujące zadania: − odszukać punkt o znanych współrzędnych, − skartować, czyli wnieść na mapę punkt o znanych współrzędnych, − odczytać współrzędne wybranych punktów obrysu konkretnego obiektu zobrazowanego

na mapie. Aby wykonać te zadania naleŜy ustalić kwadrat siatki, dla którego współrzędne naroŜy będą zbliŜone do współrzędnych interesującego nas punktu. Następnie konieczne jest odłoŜenie lub określenie róŜnicy współrzędnych między liniami siatki kwadratów a szukanym punktem. Graficzne przedstawienie rzeźby terenu na mapie

Rzeźba terenu – czyli jego pionowe ukształtowanie (naturalne lub sztuczne), jest przedstawiane na mapie za pomocą znaków umownych, opisu wysokości charakterystycznych punktów terenowych oraz warstwic.

Znaki umowne są graficznym obrazem obiektów znajdujących się na powierzchni ziemi, których nie moŜna przedstawić w skali mapy. Obiektami mającymi znaczenie dla opisania ukształtowania terenu będą np. skarpy, wąwozy.

Punkty charakterystyczne dla danego obszaru takie jak: szczyty wyróŜniających się wzniesień, najwyŜsze punkty działów wodnych i przełęczy, najniŜsze punkty dolin, wąwozów, parowów, sztucznych zagłębień, rowów, oraz punkty na osiach dróg urządzonych, uzupełnia się opisem wysokości tych punktów nad poziomem odniesienia.

Warstwice są to linie na mapie, łączące punkty o tej samej wysokości względem przyjętego poziomu odniesienia. Obrazami warstwic na mapie są ślady przecięcia powierzchni terenu płaszczyznami poziomymi równoodległymi od siebie. Odległość pionowa między warstwicami nazywana jest cięciem warstwicowym. Wielkość cięcia warstwicowego


17

uzaleŜniona jest od ukształtowania terenu (wielkości nachylenia terenowego) oraz skali mapy. Wartości cięcia warstwicowego dla róŜnych skal mapy zasadniczej podano w tabeli nr 1.

Tabela 1. Cięcie warstwicowe dla mapy zasadniczej [1, s. 176]

Skala mapy zasadniczej

Zasadnicze cięcie warstwicowe

1:500 0,5 m 1:1000 1,0 m 1:2000 1:5000

2,5 lub 5,0 m

W przypadku gdy opracowywany teren jest równinny, z małym nachyleniem terenu, dla lepszego zobrazowania rzeźby terenu moŜna zastosować tzw. warstwice pomocnicze, których cięcie warstwicowe wynosi połowę cięcia zasadniczego podanego w tabeli nr 1, a w razie potrzeby takŜe warstwice uzupełniające, o cięciu równym 1/4 cięcia. Charakterystyczną wartością liczbową kaŜdej warstwicy jest wysokość płaszczyzny tnącej nad poziomem odniesienia, określana jako cecha warstwicy. Opis cechy warstwicy umieszcza się w luce powstałej w wyniku przerwania ciągłości warstwicy (Rys. 5). Liczba, stanowiąca cechę warstwicy, jest zapisana w taki sposób, Ŝe jej podstawa wskazuje kierunek spadku terenu a jej wartość stanowi całkowitą wielokrotność cięcia warstwicowego. Na mapach moŜemy spotkać się z opisem tylko warstwic „pogrubionych”, czyli posiadających cechy stanowiące wielokrotność 5m. Dodatkowym elementem, uzupełniającym rysunek warstwic, są wskaźniki spadu, czyli krótkie kreski przylegające do linii warstwic, pozwalające odróŜnić formy wypukłe od wklęsłych oraz określić na mapie kierunki spadku terenu w zakolach warstwic.

Rys. 5. Opis warstwicy [opracowanie własne]

4.1.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jakimi cechami charakteryzuje się geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych

płaskich? 2. Jakimi cechami charakteryzuje się mapa? 3. Jaką zaleŜność określa skala mapy? 4. Jaka się nazywa graficzna postać skali mapy? 5. W jaki sposób zobrazowany jest układ współrzędnych prostokątnych na mapie? 6. Jakimi narzędziami moŜna odczytywać i odszukiwać współrzędne na mapie? 7. W jaki sposób przedstawiana jest rzeźba terenu na mapie?

195

196


18

4.1.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1

Określ odległość rzeczywistą między punktami wskazanymi na mapie przez nauczyciela. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy, 2) pomierzyć zadany odcinek cyrklem – odmierzaczem, 3) ustalić uŜywając podziałki liniowej lub poprzecznej terenową długość odcinka.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

− wycinek mapy o znanej skali, − cyrkiel – odmierzacz, − podziałka liniowa lub transwersalna, − papier formatu A4. Ćwiczenie 2 OdłóŜ na kartce papieru zadane przez nauczyciela odległości w skali: 1:250, 1:500, 1:1000, 1: 2000.

Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy, 2) odłoŜyć zadane odległości za pomocą cyrkla – odmierzacza i podziałki liniowej lub

transwersalnej. WyposaŜenie stanowiska pracy: − cyrkiel – odmierzacz, − podziałka liniowa lub transwersalna, − papier formatu A4. Ćwiczenie 3 Na mapie o nieznanej skali 1:M2 oraz na mapie w skali 1: 5000 zidentyfikowano i pomierzono długość tego samego odcinka terenowego otrzymując wyniki: d2= 23.1 mm, d1=19.4 mm. Na podstawie pomierzonych długości ustal mianownik skali – M2.


1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) wykonać obliczenie, 3) opisać uzyskany wynik.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator.


19

Ćwiczenie 4 Odszukaj na mapie punkty o podanych przez nauczyciela współrzędnych.


1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy, 2) ustalić kwadraty, w których umiejscowione są zadane punkty, 3) wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y, 4) wykorzystać podziałkę poprzeczną do właściwego określenia usytuowania punktów.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − mapa o znanej skali, − cyrkiel – odmierzacz, − dwie ekierki − podziałka transwersalna, − poradnik dla ucznia. Ćwiczenie 5 Odczytaj współrzędne punktów wskazanych na mapie przez nauczyciela.


1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy, 2) ustalić współrzędne naroŜy kwadratów, w których znajdują się zadane punkty, 3) wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y, 4) wykorzystać podziałkę transwersalną do odczytania współrzędnych.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − mapa o znanej skali, − cyrkiel – odmierzacz, − dwie ekierki, − podziałka transwersalna.


20

4.1.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz:

Tak

Nie 1) zdefiniować pojęcie geodezja? � � 2) przedstawić rys historyczny geodezji? � � 3) scharakteryzować poszczególne działy geodezji? � � 4) podać główne zadania geodezji w gospodarce? � � 5) wymienić rodzaje układów współrzędnych stosowanych w geodezji? � � 6) scharakteryzować geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych? � � 7) scharakteryzować pojęcie skali mapy? � � 8) posłuŜyć się podziałką transwersalną? � � 9) odczytać współrzędne punktu na mapie? � � 10) znaleźć na mapie punkt o zadanych współrzędnych? � � 11) scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzeźby terenu? � �


21

4.2. Jednostki miar stosowane w geodezji 4.2.1. Materiał nauczania Miary długo ści Podstawową jednostką długości stosowaną w geodezji jest metr. Jest to w przybliŜeniu, długość jednej dziesięciomilionowej (10-7) części ćwiartki południka ziemskiego. W metrach wyraŜone są takie wielkości jak: − długości odcinków, − wysokości (rzędne) punktów nad poziomem morza, − współrzędne prostokątne płaskie. Pochodnymi jednostkami długości a wykorzystywanymi w geodezji są: − milimetr (mm) – uŜywany w dokumentacjach projektowych do zwymiarowania

elementów oraz w podziale na łatach niwelacyjnych do niwelacji precyzyjnej 1 mm = 0,001 m.

− kilometr (km) – stosowany przy wyrównywaniu sieci geodezyjnych poziomych i wysokościowych, jako wartość określająca wielkość tych sieci oraz na mapach i w dokumentacji związanej z drogami, 1km = 1000 m = 1 000 000 mm.

Dawne miary stosowane w Polsce: 1 pręt = 7,5 łokcia = 15 stóp = 4,32 m 1 łokieć = 0,576 m 1 cal = 0,024 m 1 klafter (sąŜeń wiedeński) = 6 stóp = 1,8965 m – dawna miara austriacka 1sąŜeń = 7 stóp = 2,1336 m – dawna miara rosyjska 1 stopa pruska lub reńska = 0.3139 m 1 krok = 3 stopy = 0.9417 m Miary k ątowe

Najstarszą miarą kątową, liczącą ponad 5000 lat, jest miara sześćdziesiętna, nazywana stopniową [1]. Podział stopniowy powstał przez podzielenie kąta pełnego na 360 części (stopni). Dalszy podział odbywa się w systemie sześćdziesiętnym, tj. jeden stopień dzieli się na sześćdziesiąt minut (') a minuta z kolei na sześćdziesiąt sekund (").

1° = 3601

część kąta pełnego

1' = 60

1°

1" = 601'

Zapis kąta w podziale stopniowym podaje się wpisując kolejno stopnie, minuty i sekundy np.150°02'09"

Niewygoda wynikająca z konieczności przeliczania minut i sekund na części dziesiętne stopnia, wymusiła wprowadzenie dziesiętnej miary kątowej. Jednostka tej miary kata nazywana jest gradem. Jeden grad (g)powstaje przez podział kąta prostego na 100 części, lub podziału kąta pełnego na 400 części. Dalszy podział powstaje przez podzielenie 1 grada na 100 części – centygradów (c), i przez podział 1 centygrada na 100 decymiligradów (cc).

1g = 4001

część kąta pełnego


22

1c = 100

1g

1cc = 100

1c

Zapis kąta w gradach moŜna wykonać w dwóch postaciach: grady-centygrady-decymiligrady lub tylko w gradach, np.: 155g77c96cc lub 155,7796g Zamiana (przeliczanie) miar kątowych Wiedząc, Ŝe 90° = 100g moŜna określić zaleŜności między jednostkami.

1° = 9

10g

=1,1111(1)

oraz 1g = 0,9° Wzory na przeliczenie kątów wyraŜonych w róŜnych miarach moŜna, więc napisać w postaci:

stopnie → grady : αg = 9

10 . α°

grady → stopnie α° = 109 . αg

gdzie: α° - kąt wyraŜony w stopniach, αg - kąt wyraŜony w gradach. Przy zamianie stopni na grady lub odwrotnie – gradów na stopnie, naleŜy na wstępie wyrazić przeliczany kąt w jednostkach „najgrubszych” (stopnie, grady) a następnie zastosować odpowiedni współczynnik zamiany. 4.2.2. Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jakie miary długości stosowane są w geodezji? 2. Jakie są zaleŜności pomiędzy miarami długości? 3. Jakie miary kątowe stosowane są w geodezji? 4. Jaki jest podział kąta pełnego na stopnie i grady? 5. Jaką postać mają zaleŜności niezbędne przy przeliczaniu miar kątowych? 4.2.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Zamień podane długości na metry. a) 11235 km, b) 21352 mm, c) 0,534 km, d) 161 mm, e) 1,010 km, f) 1010 mm.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) przypomnieć sobie zaleŜności pomiędzy miarami długości, 2) przeliczyć podane długości na metry, korzystając z odpowiednich zaleŜności.


23

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator. Ćwiczenie 2 Wykonaj sumowanie i odejmowanie kątów wyraŜonych w tych samych jednostkach. a) 100°10'20" + 181°01'02", b) 269°59'57" + 359°58'57, c) 269°59'57" - 100°10'20", d) 311g22c33cc +399g81c47cc, e) 222g44c55cc - 99g89c71cc.


1) wyrazić kąty w jednolitych jednostkach,np. w stopniach lub w sekundach dla kątów podanych w mierze stopniowej lub w gradach lub decymiligradach – dla kątów podanych w mierze gradowej,

2) wykonać sumowanie lub odejmowanie kątów, 3) wyrazić ponownie kąty w stopniach – minutach – sekundach, lub gradach – centygradach

– decymiligradach, 4) sprawdzić czy otrzymane wyniki nie przekraczają wartości kata pełnego. JeŜeli tak, to

naleŜy je zredukować o wartość kąta pełnego.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator. Ćwiczenie 3 Zamień wartości kątów wyraŜone w stopniach na grady: a) 100°10'20", b) 181°01'02", c) 269°59'57", d) 359°58'57, e) 0°01'01".


1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności między jednostkami miar kątowych, 2) zamienić minuty i sekundy na części stopnia, 3) przeliczyć wartości kątów na grady, stosując odpowiednie zaleŜności.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator.


24

Ćwiczenie 4 WyraŜone w gradach miary kątowe, zamień na stopnie. a) 99g89c71cc, b) 222g44c55cc, c) 311g22c33cc, d) 399g81c47cc, e) 0g02c03cc.


1) odszukać w materiale nauczania zaleŜności między jednostkami miar kątowych, 2) zamienić centygrady i decymiligrady na części grada, 3) przeliczyć wartości kątów na stopnie, stosując odpowiednie zaleŜności, 4) wyrazić otrzymany wynik w stopniach, minutach i sekundach.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator. 4.2.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz:

Tak

Nie 1) podać miary długości stosowane w geodezji? � � 2) przeliczyć miary długości stosowane w geodezji? � � 3) scharakteryzować podział stopniowy i gradowy? � � 4) scharakteryzować sposób zapisu kąta w stopniach i w gradach? � � 5) przeliczyć stopnie na grady i odwrotnie? � �


25

4.3. Posługiwanie się współrzędnymi do rozwiązywania podstawowych zadań geodezyjnych

4.3.1. Materiał nauczania Azymut odcinka Azymutem AAB odcinka AB, jest kąt zawarty pomiędzy kierunkiem południka przechodzącego przez punkt A, a odcinkiem AB, liczony zgodnie z ruchem wskazówek zegara od kierunku południka. Azymut moŜe przybierać wartości od 0° do 360° (0g – 400g) Rys. 6. JeŜeli punktem wyjściowym dla określenia azymutu jest punkt B, wówczas prowadzimy z niego kierunek północy i wyprowadzamy w prawo kąt pomiędzy linią północy a bokiem BA. Otrzymamy wówczas azymut boku odwrotnego BA (azymut odwrotny), oznaczany symbolem ABA, który róŜni się od azymutu boku wyjściowego o wartość kąta półpełnego - 180° (200g). MoŜemy to zapisać wzorem: ABA = AAB ± 180° (lub 200g). Znak „plus” we wzorze dotyczy azymutów wyjściowych do 180° (lub 200g), znak „minus” wprowadzany jest gdy azymut wyjściowy przekracza 180° (lub 200g).

Rys. 6. Azymut odcinka, przyrosty współrzędnych [1, s. 85]

PoniewaŜ południk moŜe być określany róŜnymi sposobami, w związku, z czym

wyróŜnia się kierunki południków: geograficznego, topograficznego i magnetycznego. Południk geograficzny jest to linia na powierzchni kuli ziemskiej, łącząca bieguny

geograficzne Ziemi. Południk topograficzny jest obrazem na mapie południka geograficznego przechodzącego

przez określony punkt na mapie. Na mapach w duŜych skalach opracowanych w prostokątnym układzie współrzędnych, kierunek osi 0X pokrywa się z kierunkiem południka topograficznego, przechodzącego przez środek obszaru przedstawionego na mapie. Przyjmuje się, Ŝe na mapach wielkoskalowych południki topograficzne są do siebie równoległe i równoległe do osi 0X układu współrzędnych prostokątnych.

X

Y

B

A

AAB

∆YAB

∆XAB

XB

XA

YA YB

dAB

0


26

Południk magnetyczny, to linia na powierzchni Ziemi, łącząca bieguny magnetyczne Ziemi. Kierunek południka magnetycznego jest wyznaczany przez igłę magnetyczną busoli. W zaleŜności od przyjętego kierunku odniesienia, wyróŜnia się azymuty: geograficzny, topograficzny i magnetyczny. PoniewaŜ kierunki południków geograficznego, magnetycznego i topograficznego nie pokrywają się, w związku, z tym azymuty odcinka, mającego swój, początek w danym punkcie, będą się róŜniły o wartości kątowe: − azymut geograficzny i magnetyczny o kąt deklinacji magnetycznej „δ”– (jest to kąt

zawarty pomiędzy południkiem geograficznym Ng i magnetycznym Nm. Azymut geograficzny Ag obliczamy sumując azymut magnetyczny i deklinację magnetyczną: Ag = Am + δ,

− azymut geograficzny i topograficzny o kąt zbieŜności południków „γ”– (jest to kąt zawarty pomiędzy południkiem geograficznym Ng i topograficznym Nt). Azymut geograficzny Ag obliczamy sumując azymut topograficzny i kąt zbieŜność południków: Ag = At + γ. (Rys. 7)

Rys. 7. ZaleŜność między azymutem geograficznym, topograficznym i magnetycznym [1, s. 84]

Zgodnie z rys. nr 6, wzór na obliczenie azymutu topograficznego ma postać:

tgAAB = AB

AB

X∆Y∆

gdzie: tgAAB – tangens azymutu odcinka AB, ∆XAB – róŜnica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłuŜ osi X: ∆XAB= XB – XA, ∆YAB – róŜnica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłuŜ osi Y: ∆YAB= YB – YA.. Jak opisano wcześniej wartości azymutu przybierają wielkości od 0° do 360° (0g-400g), a na podstawie podanego wzoru nie jesteśmy w stanie określić wartości kąta AAB. W celu jednoznacznego określenia tej wartości wprowadzono pojęcie czwartaka. Czwartak „φ” jest to kąt ostry, zawarty pomiędzy linią osi X a danym odcinkiem AB obliczony na podstawie podanego wyŜej wzoru. ZaleŜności pomiędzy czwartakiem, a azymutem przedstawia tabela nr 2.

γ

δ

Am At

Ag

Ng

Nt

Nm

A

B


27

Tabela 2. ZaleŜność pomiędzy czwartakiem a azymutem [1, s. 86]

Znaki Numer ćwiartki azymutu ∆X

cos A ∆Y

sin A

ZaleŜność pomiędzy azymutem „A” i czwartakiem „φ”

I + + A = φ II – + A = 200g - φ III – – A = 200g + φ IV + – A = 400g - φ

Układ ćwiartek i czwartaków przedstawia Rys. nr 8. (a,b,c,d)

X

Y 0

B

A II ćwiartka

φAB

b)

AAB = 200g (180°) - φ

X

Y

φAB

0

A AAB

I ćwiartka

B

AAB = φ

a)


28

Rys. 8. ZaleŜności pomiędzy azymutem i czwartakiem [2, s. 85]

Obliczenia kontrolne azymutu odcinka polegają obliczeniu azymutu powiększonego o kąt 45° (50g):

tg(AAB+45°) = )Y - (X - )Y -(X)Y (X -)YX(

AAB

AABB

B

++ =

AB AB

AB AB

YX

YX

∆−∆∆+∆

Obliczenie odległości ze współrzędnych

Wzór na obliczenie długości odcinka AB ze współrzędnych ma postać:

dAB = 2AB

2AB YX ∆+∆

Dla kontroli poprawności obliczeń moŜna stosować wzór:

dAB = AB

AB

cosAX∆

= AB

AB

sinAY∆

X

Y 0

B

III ćwiartka

φAB

X

Y 0

B

φAB

AAB

IV ćwiartka

A AAB

AAB = 200g (180°) + φ

A AAB = 400g (360°) - φ

c)

d)


29

W praktyce geodezyjnej stosuje się formę tabelarycznego zestawienia danych do obliczeń, wyników oraz obliczeń kontrolnych. Przykład takich obliczeń przedstawia tabela nr 3.

Tabela 3. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych [1, s. 87]

Kontrola XB YB tgφ=

xy

∆∆

cos φ ∆x + ∆y Ψ

Oznaczenie punktów: końcowy B

początkowy - A XA YA Czwartak φ sin φ ∆x - ∆y A+45° (50g) Lp.

Oznaczenie zwrotu

boku: A→B

∆X AB =XB-XA

∆YAB=YB-YA Azymut AAB

Odległość

d=22 yx ∆+∆

tgΨ=y-xyx

∆∆∆+∆

d=ϕcos

x∆=

ϕsin

y∆

1 2 3 4 5 6 7 8 B 2 708,63 4 541,15 0,364 483 9 0,939 537 4 -980,29 27 g74c89,1cc A 4 251,14 3 978,93 22g25c10,9cc 0,342 446 2 -2 104,73 227 g74c89cc 1

A - B -1 542,51 +562,22 177 g 74 c 89 cc 1 641,776 0,465 7557 1 641,776 D 3 978,93 12 561,78 0,804 230 1 0,779 258 4 +144,21 6°11'33,8" C +562,22 13 154,20 38°48'26,2" 0,626 702 8 +1 329,05 6°11'33,8" 2

C - D +736,63 -592,42 321°11'33,8" 945,296 0,108 506 1 945,296

Obliczenie współrzędnych punktu końcowego, gdy znany jest azymut i długość odcinka

JeŜeli znane są współrzędne punktu A (XA,YA) – początku odcinka, azymut linii AB oraz jej długość dAB (Rys. 6) aby obliczyć współrzędne punktu B – końca odcinka, stosujemy wzory:

XB = XA + ∆XAB = XA + dAB. cosAAB

YB = YA + ∆YAB = YA + dAB sinAAB

Obliczenia kontrolne:

dAB = 2AB

2AB )Y-(Y)X-X( +

oraz AAB = arc tg AB

AB

XY

∆∆

Obliczenie współrzędnych punktu na prostej Aby obliczyć współrzędną punktu P połoŜonego na prostej wyznaczonej przez punkty A

i B o znanych współrzędnych (Rys. nr 9),

Rys. 9. Punkt na prostej AB [opracowanie własne] naleŜy posłuŜyć się wzorem:

XP = XA + dAP cosA AB YP = YA + dAP sinA AB

A(XA, YA)

B(XB, YB)

P

dAP


30

Jako obliczenie kontrolne moŜna obliczyć odległości: dAP, dBP oraz dAB, ze współrzędnych a następnie sprawdzić czy spełniona jest równość:

dAB = dAP, + dBP lub obliczyć azymut A AP i sprawdzić czy A Ap = A AB Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Jedną z metod pomiaru połoŜenia obiektów terenowych jest metoda rzędnych i odciętych nazywana równieŜ metodą domiarów prostokątnych. Metoda ta wykorzystuje odcinek – linię pomiarową - oparty na punktach o znanych współrzędnych, do zrzutowania na nią szczegółów terenowych i polega na określeniu ich rzędnej i odciętej. Zgodnie z Rys. 10, odciętą nazywamy odcinek „d” a rzędną - prostopadły do linii AB odcinek „h”. Przy obliczaniu współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów prostokątnych, rzędnym nadaje się róŜne znaki w zaleŜności od tego, po której stronie linii AB znajduje się mierzony punkt. JeŜeli punkt P znajduje się po prawej stronie linii, to rzędna otrzymuje znak plus (+), a jeŜeli po lewej stronie – znak minus (-). Podana zasada jest słuszna przy załoŜeniu, Ŝe linia pomiarowa jest tak zorientowana, Ŝe w punkcie A jest jej początek a w punkcie B – koniec.

Rys. 10. Rzędna i odcięta punktów P i R [opracowanie własne] Do obliczenia współrzędnych punktu P słuŜą wzory:

XP = XA + d cosAAB – h sinAAB

YP = YA + d sinAAB + h cosAAB

Obliczenia kontrolne moŜemy wykonać dwoma sposobami: 1. Ponownie określić współrzędne szukanego punktu, po zmianie kierunku obliczeń na

odwrotny (od B do A). Wymaga to przeliczenia wartości odciętych i zmiany znaku rzędnych.

2. Obliczyć odległość AP i BP ze współrzędnych oraz z danych terenowych:

dAP = 2AP

2AP Y X ∆+∆ = h d 2

22

2 +

dBP = 2BP

2BP Y X ∆+∆ = 2

22

2 h )d - (D +

W przypadku obliczania współrzędnych wielu punktów rzutowanych na tę samą prostą, wskazane i wygodne jest wykonywanie obliczeń w formie tabelarycznej. Przykładową tabelę przedstawiono poniŜej.

A(X

,Y)

B(X

,Y) d

1 .

P

h2 (+

)

R h1 (-) d

2 .

D


31

Tabela 4. Obliczenie współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym [1, s. 91] Domiary

prostokątne Przyrosty domiarów

Bok osnowy Przyrosty

współrzędnych Współrzędne

punktów Oznaczenie

punktów

Odcięta l

Rzędna h

odciętej ∆l

rzędnej ∆h

∆xAB

∆yAB dAB ob.l

fd-fdmax

Współczynniki

Kierunkowe cosA sinA

∆x= ∆lcosA- ∆hsinA

∆y= ∆lsinA- ∆hcosA

X Y

Oznacze-nie

punktów

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 0,00 0,00 4950,12 7251,84 A

+47,93 -22,47 +14,32 -186,89

+0,0763978 -0,9970657 -18,75 -49,49

R 47,93 -22,47 4931,37 7202,35 R

+30,19 +46,41 187,44 +48,59 -26,55

P 78,12 +23,94 4979,96 7175,80 P

0,00 62,94 -23,94

+0,06 ±0,13 -15,52 -110,85

B 187,50 SUMY 187,44 0,00 +14,32 -186,89

4964,44 7064,95 B

Obliczenie kąta ze współrzędnych

JeŜeli dane są trzy punkty o znanych współrzędnych to moŜna na ich podstawie obliczyć kąt zawarty pomiędzy odcinkami opartymi na tych punktach.

Rys. 11. ZaleŜności między wartością kąta a azymutami jego ramion [1, s. 92] Na podstawie Rys. 11, moŜemy stwierdzić, Ŝe kąt β zawarty pomiędzy odcinkami CL i CP równy jest róŜnicy azymutów kierunków, które są jego ramionami.

β = ACP - ACL

MoŜliwe jest równieŜ obliczenie kąta ze współrzędnych na podstawie wzoru:

tgβ = CPCLCP CL

CL . CP CP CL

xYX XYXY X _

∆∆+∆∆∆∆∆∆

••

••

Wykorzystując ten wzór naleŜy zwrócić uwagę na znaki licznika i mianownika w celu ustalenia ćwiartki i prawidłowego obliczenia wartości funkcji arc tg. Obliczenie pola powierzchni figury ze współrzędnych

Powierzchnię czworoboku 1,2,3,4 przedstawionego na Rys. 12 moŜemy przedstawić jako kombinację powierzchni trapezów.

ACL ACP

β

P

C

X L


32

Rys. 12. Powierzchnia wieloboku jako kombinacja powierzchni trapezów [1, s. 115] Są to trapezy o podstawach równoległych do osi X lub o podstawach równoległych do osi Y. Pole wieloboku moŜna rozpatrywać jako sumę pól trapezów zawierających fragmenty wieloboku, pomniejszoną o pola trapezów znajdujących się na zewnątrz wieloboku. Rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi X, moŜemy napisać:

2P = (X2 + X1)(Y2 – Y1) – (X3 + X2)(Y2 – Y3) – (X4 + X3)(Y3 – Y4) + (X1 + X4)(Y1 – Y4) Analogicznie rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi Y moŜemy napisać:

2P = (Y1 + Y2)(X1 – X2) + (Y3 + Y2)(X2 – X3) – (Y4 + Y3)(X4 – X3) – (Y1 + Y4)(X1 – X4) Po odpowiednich przekształceniach i uogólnieniu oznaczeń otrzymamy wzory:

2P = ∑=

++ +n

i 1

i1ii1i )Y - )(YX X(

-2P = )X - )(XYY( i1ii

1

1i +

=

+ +∑n

i

Wzory te noszą nazwę wzorów trapezowych. Po wymnoŜeniu wyraŜeń w nawiasach oraz dokonaniu redukcji wyrazów i uogólnieniu,

otrzymamy wzory:

2P = ∑=

+

n

i 1

i1-i1i )XY - (Y

-2P = i1-i1i

1

)YX - (X +

=∑

n

i

Podczas ustalania kierunku wzrostu wskaźnika „i” dla obliczeń poszczególnych iloczynów naleŜy pamiętać, Ŝe kierunek ten powinien biec zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tj. (w prawo). W przypadku niezachowania tej zasady otrzymamy na podstawie pierwszego wzoru pole ujemne a na podstawie drugiego pole dodatnie.

Kontrolę obliczenia róŜnic Yi+1 – Yi-1 oraz Xi+1 – Xi-1 stanowi warunek, Ŝe suma tych róŜnic równa się zero (wielobok zamknięty):

∑=

+ =n

i 1

1-i1i 0 )X - X(

0 )Y - Y( 1-i1

1

i =+

=∑

n

i

1

2

3

4

X

Y

X1

X2

X4

X3

0 Y4 Y1 Y3 Y2


33

Kontrolą jest równieŜ dwukrotne obliczenie tej samej powierzchni ze wzorów 2P oraz -2P. Otrzymane wartości powinny być takie same.

Obliczenia pośrednie róŜnic współrzędnych, a zwłaszcza iloczynów wchodzących w skład sumy, nie muszą być zapisywane, lecz rejestrowane w pamięci kalkulatora.

Przy obliczaniu pola powierzchni korzystne jest utworzenie tabeli z punktami ułoŜonymi po obwodzie figury zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w postaci: nr punktu, współrzędna X, współrzędna Y. Dla ułatwienia wyszukiwania z tabeli właściwych wartości współrzędnych, potrzebnych do utworzenia kaŜdego iloczynu, wygodne jest korzystanie z szablonów z wyciętymi okienkami, przedstawionych poniŜej.

Współrzędnymi prostokątnymi, które mogą być wykorzystane do obliczania pól wyŜej wymienionymi wzorami mogą być zarówno współrzędne geodezyjne X i Y jak i domiary prostokątne z metody ortogonalnej: odcięte jako współrzędne X i rzędne jako współrzędne Y. NaleŜy przy tym pamiętać o właściwych znakach odciętych i rzędnych. Ujemna współrzędna X występuje tylko, wtedy, gdy pomierzony punkt obrysu figury znajduje się na przedłuŜeniu linii pomiarowej, przed jej punktem początkowym. Ujemna współrzędna Y występuje wtedy, gdy pomierzony punkt obrysu figury znajduje po lewej stronie linii pomiarowej. Przykład: na rys. nr 13 przedstawiono pomiar działki wykonany metodą domiarów prostokątnych.

Rys. 13. Pomiar działki metodą domiarów prostokątnych [2, s. 114]

Sposób obliczenia powierzchni działki zestawiono w tabeli nr 5.

Tabela 5. Obliczenie pola działki wg. danych pokazanych na rys. 13 [2, s. 116]

Współrzędne punktów

Iloczyny Nr pkt

X i Yi Y i+1-Y i-1 X i+1-X i-1

X i(Y i+1- Yi-1) Y i(X i+1-X i-1)

Pole obiektu

4 +15,40 +13,40 x x x x 1 +19,60 -21,50 -31,10 +16,10 -589,96 -346,15 2 +31,50 -16,70 +30,70 +30,40 +967,05 -507,68 3 +50,00 +9,20 +30,10 -16,10 +1505,00 -148,12 4 +15,40 +13,40 -30,70 -30,40 -472,78 -407,36 1 +19,60 -21,50 Σ=0,00 Σ=0,00 2p=+1409,31 -2p=-1409,31

704,66m2

X i-1

Yi X i+1

Y i-1

X i Y i+1

15,40 13,40

21,50 19,60

16,70 31,50

50,00 9,20

3 4

1 2

działka 245/2


34

Sposób obliczenia powierzchni działki na podstawie znanych współrzędnych zestawiono w tabeli nr 6.

Tabela 6. Obliczenie pola działki wg. danych współrzędnych [opracowanie własne] Współrzędne punktów Iloczyny Nr

Pkt.

X i Yi Y i+1-Y i-

1 X i+1-X i-1 X i(Y i+1- Yi-1) Yi(X i+1-X i-1)

Pole obiektu

63 136,89 623,31 x x x x 1 121,60 778,25 +153,80 -27,67 18702,08 -21534,18 23 109,22 777,11 -156,10 +2,91 -17049,24 2261,39 62 124,51 622,15 -153,80 +27,67 -19149,64 17214,89 63 136,89 623,31 +156,10 -2,91 21368,53 -1813,83 1 121,60 778,25 Σ=0,00 Σ=0,00 2P=3871,73 -2P=-3871,73

1935,86m2

Zastosowanie do obliczeń geodezyjnych programów obliczeniowych Wszystkie podane powyŜej zadania z rachunku współrzędnych moŜna wykonać

z wykorzystaniem komputera i zainstalowanych na nim programów obliczeniowych. Spośród popularnych programów obliczeniowych, wykorzystywanych przez geodetów, moŜna wymienić następujące: Geo89, C-geo, Geonet, WinKalk, GeoMap. W róŜnych programach te zadania mogą być nieco inaczej nazywane, niemniej, jednak jeŜeli szukamy w programie sposobu obliczenia współrzędnych punktu na prostej lub punktu pomierzonego metodą rzędnych i odciętych, to szukamy obliczeń lub pomiarów wykonanych metodą domiarów prostokątnych. JeŜeli mamy obliczyć współrzędną punktu, gdy dany jest punkt zaczepienia, azymut i długość odcinka, to szukamy obliczeń metodą biegunową, nazywaną równieŜ w programie WinKalk tachimetrią. Obliczenie odległości, azymutu, pola powierzchni ze współrzędnych teŜ nie będzie trudnym zadaniem, poniewaŜ rozwijając zakładki w zadaniach obliczeniowych, znajdziemy interesujące nas zadanie obliczeniowe. W przypadku obliczania azymutu lub kąta ze współrzędnych, nie musimy ustalać w której ćwiartce znajdują się szukane wielkości i podstawiać do obliczeń czwartaki, poniewaŜ program obliczeniowy zrobi to za nas i poda nam prawidłową wielkość.

NiezaleŜnie od tego, jaki program obliczeniowy zastosujemy, przed wykonaniem obliczeń musimy załoŜyć obiekt, nadając mu nazwę (najlepiej kojarzącą się nam z konkretną pracą geodezyjną), wprowadzić do tego obiektu dane, takie jak numery i współrzędne punktów. Zapisanie tych danych pozwoli nam wielokrotnie powracać do tego obiektu, a przy wykonywaniu obliczeń operować numerami punktów, co przyśpieszy wykonanie pracy.

W trakcie pracy moŜemy wykonać (w celach kontrolnych) edycję rysunku obliczonej konstrukcji. Po wykonaniu obliczeń, w zaleŜności od zastosowanego programu, moŜemy wykonywać wydruki raportów obliczeniowych, które będą zawierały dane, przyjęte do obliczeń oraz wyniki.

4.3.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jakie układy współrzędnych są stosowane w geodezji? 2. Jak zorientowany jest geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych płaskich? 3. Co to jest czwartak? 4. Przy jakich obliczeniach stosowany jest czwartak? 5. Jakie są rodzaje azymutów? 6. Na jakich zasadach nadaje się odciętym znak (+) lub (–), przy obliczaniu współrzędnych

punktu na domiarze prostokątnym?


35

7. Z jakich zaleŜności korzysta się przy obliczaniu azymutu i długości ze współrzędnych? 8. Jakie wzory stosuje się przy obliczaniu pola powierzchni ze współrzędnych? 9. Jakie czynności naleŜy wykonać, aby wykonać obliczenia geodezyjne przy pomocy

komputerowego programu obliczeniowego? 4.3.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Odcinek AB oparty jest na punktach o znanych współrzędnych XA = 5000.00, YA = 5000.00, XB = 4842.77, YB = 5118.17. W oparciu o podane wartości współrzędnych oblicz azymut odcinka AB wyraŜony w gradach oraz długość tego odcinka. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) obliczyć przyrosty współrzędnych, 3) ustalić ćwiartkę azymutu, 4) obliczyć szukane wielkości, 5) wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator inŜynierski. Ćwiczenie 2

Znany jest odcinek AC o długości 123,45 m, zaczepiony w punkcie A o współrzędnych: XA = 5000.00, YA = 5000.00, zorientowany azymutem AAC = 311g22c33cc. Na podstawie podanych danych oblicz współrzędne końca odcinka – punktu C. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) obliczyć przyrosty współrzędnych, 3) obliczyć szukane wartości, 4) wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator inŜynierski.


36

Ćwiczenie 3 Na rysunku przedstawiono punkty pomierzone na prostej oraz metodą domiarów prostokątnych. Oblicz współrzędne punktów 1,2,3,4.Jako współrzędne punktów A i B przyjmij wartości: XA = 5000.00, YA = 5000.00, XB = 4842.77, YB = 5118.17. Obliczenia wykonaj w formie tabelarycznej.

Rysunek do ćwiczenia 3

Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) ułoŜyć tabelę do obliczeń współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych, 3) określić współczynniki kierunkowe, 4) określić znaki dla domiarów, 5) obliczyć współrzędne pomierzonych punktów, 6) wykonać obliczenia kontrolne.


− papier formatu A4, − kalkulator inŜynierski. Ćwiczenie 4 Odcinki LC i CP zaczepione są we wspólnym punkcie C (Rys.). Znając współrzędne punktów LCP oblicz kąt α (wyraŜony w gradach), zawarty między odcinkiem CL i CP. Dane współrzędne punktów: Punkt L: X = 4325.00, Y = 6467.00 Punkt C: X = 4416.00, Y = 6560.00 Punkt P: X = 4444.00, Y = 6560.00

Rysunek do ćwiczenia 4

0.00 ↑ A

B

1 11,22

7,89

2

3

83.44

19.92 155.66

189,61

196,75

L

P

C α

4


37

Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) obliczyć azymuty ramion kąta, 5) obliczyć kąt z róŜnicy azymutów, 6) wykonać jako kontrolę obliczenie kąta ze współrzędnych wg. odpowiedniego wzoru

kontrolnego, zwracając uwagę na znak licznika i mianownika.

WyposaŜenie stanowiska pracy: − papier formatu A4, − kalkulator inŜynierski. Ćwiczenie 5

Wykorzystując miary z pomiaru metodą domiarów prostokątnych oblicz powierzchnię figury ograniczonej punktami1, 2, 3, 4.

Rysunek do ćwiczenia nr 5 Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) ułoŜyć tabelę do obliczenia pola powierzchni na podstawie rzędnych i odciętych, 3) określić znaki domiarów , 4) przyjąć odcięte i rzędne jako współrzędne punktów do obliczenia powierzchni figury, 5) obliczyć powierzchnię figury 1,2,3,4, 6) wykonać obliczenia kontrolne.


− papier formatu A4, − kalkulator.

0.00

11.15 25.14

133.24 9.15

12.78 198..65

258.48

270.55

1

2

3

4

14,69 A

B


38

Ćwiczenie 6 Znane są współrzędne punktów granicznych działki.

Nr punktu

X Y

11 153.42 608.99 12 138.51 606.87 13 124.51 622.15 14 109.22 777.11 15 136.45 779.62

W podanym wykazie punkty ułoŜone są kolejno po obwodnicy, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Na podstawie podanych wartości współrzędnych oblicz powierzchnię działki. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory, 2) wykonać szablon, przydatny do obliczenia powierzchni ze współrzędnych, 3) obliczyć pole powierzchni działki wykorzystując wykonany szablon, 4) wykonać obliczenia kontrolne.


− papier formatu A4, − kalkulator. Ćwiczenie 7 Wykorzystując komputer i dostępny program do obliczeń geodezyjnych, wykonaj zadania opisane w ćwiczeniach 1 - 6, przyjmując te same dane. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) przestrzegać zasad bezpieczeństwa koniecznych przy pracy z komputerem, 2) odszukać odpowiednie zadanie w programie obliczeniowym, 3) wprowadzić konieczne dane do wykonania obliczeń, 4) ustawić o ile to konieczne odpowiednie jednostki w programie, 5) wykonać niezbędne obliczenia, 6) porównać uzyskane wyniki z obliczonymi bez pomocy komputera.

WyposaŜenie stanowiska pracy: – papier formatu A4, – komputer, – program do obliczeń geodezyjnych zainstalowany na komputerze.


39

4.3.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz:

Tak

Nie 1) zdefiniować pojęcie azymutu kierunku? � � 2) zdefiniować pojęcie czwartaka? � � 3) obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych? � � 4) obliczyć długość odcinka ze współrzędnych? � � 5) obliczyć współrzędną punktu na prostej i na domiarze prostokątnym? � � 6) obliczyć wartość kąta ze współrzędnych? � � 7) obliczyć pole powierzchni figury ze współrzędnych? � � 8) wykonać obliczenia z zakresu rachunku współrzędnych,

wykorzystując oprogramowanie komputerowe? � �


40

5. SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ

INSTRUKCJA DLA UCZNIA 1. Przeczytaj uwaŜnie instrukcję. 2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi. 3. Zapoznaj się z zestawem zadań testowych. 4. Test zawiera dwadzieścia trzy zadania. Do kaŜdego zadania dołączone są cztery

moŜliwości odpowiedzi. Tylko jedna jest prawidłowa. 5. Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi stawiając w odpowiedniej rubryce

znak „X”. W przypadku pomyłki naleŜy błędną odpowiedź zaznaczyć kółkiem a następnie ponownie zakreślić odpowiedź prawidłową.

6. Zadania wymagają stosunkowo prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem poprawnego wyniku.

7. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania. 8. JeŜeli udzielanie odpowiedzi będzie sprawiało Ci trudność, wtedy odłóŜ jego rozwiązanie

na później i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas. 9. Po zakończeniu testu podnieś rękę i zaczekaj aŜ nauczyciel odbierze od Ciebie pracę. 10. Na rozwiązanie testu masz 80 minut.

Powodzenia!

ZESTAW ZADA Ń TESTOWYCH 1. Geodezja jako nauka zajmuje się

a) budową wnętrza Ziemi. b) określeniem wymiarów i kształtu Ziemi. c) budową geologiczną Ziemi. d) badaniem jądra Ziemi.

2. Jako jeden z pierwszych pomiary i obliczenia kształtu Ziemi wykonywał a) Tales z Miletu. b) Pitagoras. c) Erastostenes. d) Galileusz.

3. Układ współrzędnych geodezyjnych róŜni się od układu współrzędnych matematycznych a) połoŜeniem osi X i Y oraz kierunkiem liczenia kątów. b) promieniem wodzącym i kierunkiem liczenia kątów. c) kierunkiem osi pionowej, która jest zgodna z kierunkiem południka magnetycznego. d) oznaczeniem osi: H i Z.

4. Podział gradowy polega na podziale kąta pełnego na a) 100 części. b) 360 części. c) 400 części. d) 1000 części.


41

5. Kąt wyraŜony w mierze stopniowej wynosi: 259°16'25". Ten sam kąt wyraŜony w gradach ma wielkość a) 288g08c18cc. b) 288g18c18cc. c) 289g28c08cc. d) 295g18c08cc.

6. Kąt wyraŜony w mierze gradowej ma wielkość 135g33c76cc. Ten sam kąt wyraŜony w mierze stopniowej ma wielkość a) 121°58'34". b) 164°56'24". c) 125°13'26". d) 121°48'14".

7. Skala mapy oznacza a) wielkość arkusza, na którym wykreślona jest mapa. b) wielkość terenu objętego mapą. c) stosunek długości odcinka na mapie do długości rzutu poziomego tego odcinka

w terenie. d) odległość pionową między warstwicami.

8. Podziałka poprzeczna (transwersalna) jest stosowana do a) pomiaru i odkładania odległości na mapie. b) podziału odcinka na równe części. c) sprawdzania prawidłowości naniesienia podziału na taśmach geodezyjnych. d) nanoszenia siatki kwadratów na mapach.

9. Na mapie o nieznanej skali 1:M2 oraz na mapie w skali 1:5000 zidentyfikowano i pomierzono ten sam odcinek terenowy, otrzymując wynik: d2 = 46,2 mm, i d1 = 38,8 mm. Nieznany mianownik skali - M2 to a) 1000. b) 2000. c) 2880. d) 4199.

10. Ta terenach byłego zaboru rosyjskiego moŜna się spotkać ze skalą mapy a) 1:2000. b) 1:2880. c) 1:4200. d) 1:5000.

11. Na mapie w skali 1:500 pomierzono odcinek o długości 125.3 mm. W terenie odpowiada mu odcinek o długości a) 62.65 m. b) 105.30 m. c) 125.30 m. d) 626.50 m.


42

12. Odcinek łączący dwa punkty geodezyjnej sieci pomiarowej o znanych współrzędnych ma długość: 201.60 m. Po naniesieniu tych punktów na mapę w skali 1:2000, ten sam odcinek będzie miał na mapie długość a) 100.8 mm. b) 151.1 mm. c) 201.6 mm. d) 403.2 mm.

13 Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00, YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00. Prawidłowa wartość azymutu odcinka AB wyraŜona w gradach to a) 50g00c00cc. b) 150g00c00cc. c) 250g00c00cc. d) 350g00c00cc.

14. Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00, YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, prawidłowa długość odcinka AB to a) 50.71 m. b) 70.07 m. c) 70,71 m. d) 107.71 m.

15. Od punktu A o współrzędnych XA= 100.00, YA= 100.00, odmierzono odcinek o długości 110.00 m i azymucie: 335g00c00cc. Współrzędne końca odcinka będą miały wartość a) X = 107.47, Y = 56.21. b) X = 160.00, Y = 150.00. c) X = 160.00, Y = 56.21. d) X = 107.47, Y = 6.21.

16. Na odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00, YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, wtyczono punkt D w odległości 50.00 m od punktu A. Prawidłowa wartość współrzędnych punktu D to a) X = 54.64, Y = 136.56. b) X = 64.64, Y = 64.64. c) X = 34.34, Y = 36.36. d) X = 164.64, Y = 136.35.

17. Podczas obliczania współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów prostokątnych, odcięte pomierzonych punktów przyjmuje się ze znakiem (-), w przypadku, gdy punkt znajduje się a) na prawo od prostej. b) na lewo od prostej. c) na przedłuŜeniu prostej, za punktem końcowym. d) na przedłuŜenie prostej, przed punktem początkowym.


43

18. Na linię pomiarową poprowadzoną przez punkty A i B o znanych współrzędnych: XA= 100.00, YA= 100.00, XB= 50.00, YB= 50,00, zrzutowano punkt E, otrzymując wartości: odcięta d = 25.00 m, rzędna h = -15.00 m. Przyjmując, Ŝe odcinek jest zorientowany A→B oraz podane dane, właściwe współrzędne punktu E to

a) X = 93.93, Y = 128.28. b) X = 71.72, Y = 107.07. c) X = 71.72, Y = 92.93. d) X = 100.00,Y = 135.36.

19. Czwartakiem nazywamy a) azymut kierunku znajdującego się w IV ćwiartce. b) kąt zawarty pomiędzy południkiem magnetycznym i geograficznym. c) kąt zawarty pomiędzy południkiem geograficznym i topograficznym. d) kąt ostry zawarty pomiędzy osią X a danym kierunkiem.

20. Znane są odcinki LF i FP zaczepione we wspólnym punkcie F.(Rys.) Współrzędne punktów mają wartości:

L: X = 200.00, Y = 100.00 F: X = 150.00, Y = 150.00 P: X = 100.00, Y = 100.00.

Rysunek do zadania nr 20 Przyjmując oznaczenia zgodne z rysunkiem oraz podane wartości współrzędnych, kąt wyraŜony w gradach będzie miał wartość

a) 275g00c00cc. b) 300g00c00cc. c) 335g00c00cc. d) 350g00c00cc.

21. Warstwica jest to linia a) oddzielająca warstwy gleby na profilu glebowym. b) łącząca na mapie punkty o tym samym azymucie. c) łącząca punkty na mapie o tej samej wysokości względem przyjętego poziomu

odniesienia. d) łącząca punkty na mapie o tej samej wartości współrzędnej X lub Y.

L

F

P

α


44

22. Metodą domiarów prostokątnych pomierzono punkty graniczne działki przedstawionej na rysunku.

Rysunek do zadania 22 Pole powierzchni pomierzonej w ten sposób działki ma wartość

a) 3100 m2. b) 3110 m2. c) 3112 m2. d) 3118 m2.

23. Pomierzono połoŜenie i obliczono współrzędne punktów granicznych działki. Punkty połoŜone na obwodnicy działki mają wartości współrzędnych:

Nr X Y 63 136,89 623,31 64 121,60 778,25 23 109,22 777,11 62 124,51 622,15

Przyjmując, Ŝe punkty ułoŜone są po obwodnicy działki zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, pole powierzeni działki ma wartość

a) 1926 m2. b) 1936 m2. c) 1946 m2. d) 1956 m2.

0.00

7.57 21.01

83.04 12.12

14.81 171.29

205.65

227.45

3 4

11.12

1 2

A

B


45

KARTA ODPOWIEDZI Imię i nazwisko:.......................................................................................... Posługiwanie się jednostkami miar, skalą oraz współrzędnymi geodezyjnymi Zakreśl poprawną odpowiedź.

Nr zadania

Odpowiedź Punkty

1. a b c d 2. a b c d 3. a b c d 4. a b c d 5. a b c d 6. a b c d 7. a b c d 8. a b c d 9. a b c d 10. a b c d 11. a b c d 12. a b c d 13. a b c d 14. a b c d 15. a b c d 16. a b c d 17. a b c d 18. a b c d 19. a b c d 20. a b c d 21. a b c d 22. a b c d 23. a b c d

Razem:


46

6. LITERATURA 1. Jagielski A.: Geodezja I, Wydawnictwo P.W. „Stabil” Kraków 2002 2. Przywara J.: www.geoforum /geodezja/ od katastru do 3. Przywara J.: www.geoforum /geodezja/w Polsce 4. Szeliga K.: www.geoforum /geodezja/ wprowadzenie do geodezji 5. Ząbek J.: Geodezja I, Oficyna, Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003 6. Ząbek J.: Ćwiczenia z geodezji I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe 1984

Posługiwanie si ę jednostkami miar, skal ą oraz ... · Pytania sprawdzaj ące 17 4 ... pochodzi...

Documents

Transcript of Posługiwanie si ę jednostkami miar, skal ą oraz ... · Pytania sprawdzaj ące 17 4 ... pochodzi...