PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO -- czesc I

Przykład wprowadzajacyPrawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne

Podstawowe pojecia wnioskowania statystycznegoPodstawy estymacji

PODSTAWY WNIOSKOWANIASTATYSTYCZNEGO – czesc I

Agnieszka Rossa

Agnieszka Rossa PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO – czesc I



Szkic wykładu

1 Przykład wprowadzajacy

2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw.graniczne

3 Podstawowe pojecia wnioskowania statystycznego

4 Podstawy estymacji




Przykład wprowadzajacy

W Polsce rózne głosowania odbywaja sie co kilka lat,a pytanie o preferencje wyborcze jest jednym z czestozadawanych w badaniach sondazowych.

Sondaz PGB przeprowadzony wsód 1018 osób tuz przedwyborami parlamentarnymi w 2007 r. wskazywał m.in., zena kandydatów PiS głosowac bedzie 35% wyborców.Zgodnie z oficjalnymi wynikami wyborów, rzeczywistyodsetek głosów oddanych na PiS w tych wyborach byłrówny 32,11%.Wynik sondazu był zatem zblizony do rzeczywistego pomi-mo, ze próba 1018 respondentów była relatywnie bardzomała wobec populacji ponad 30,6 mln osób uprawnionychdo głosowania (czy tez ok. 16,5 mln faktycznie głosuja-cych).





W Polsce rózne głosowania odbywaja sie co kilka lat,a pytanie o preferencje wyborcze jest jednym z czestozadawanych w badaniach sondazowych.Sondaz PGB przeprowadzony wsód 1018 osób tuz przedwyborami parlamentarnymi w 2007 r. wskazywał m.in., zena kandydatów PiS głosowac bedzie 35% wyborców.

Zgodnie z oficjalnymi wynikami wyborów, rzeczywistyodsetek głosów oddanych na PiS w tych wyborach byłrówny 32,11%.Wynik sondazu był zatem zblizony do rzeczywistego pomi-mo, ze próba 1018 respondentów była relatywnie bardzomała wobec populacji ponad 30,6 mln osób uprawnionychdo głosowania (czy tez ok. 16,5 mln faktycznie głosuja-cych).





W Polsce rózne głosowania odbywaja sie co kilka lat,a pytanie o preferencje wyborcze jest jednym z czestozadawanych w badaniach sondazowych.Sondaz PGB przeprowadzony wsód 1018 osób tuz przedwyborami parlamentarnymi w 2007 r. wskazywał m.in., zena kandydatów PiS głosowac bedzie 35% wyborców.Zgodnie z oficjalnymi wynikami wyborów, rzeczywistyodsetek głosów oddanych na PiS w tych wyborach byłrówny 32,11%.

Wynik sondazu był zatem zblizony do rzeczywistego pomi-mo, ze próba 1018 respondentów była relatywnie bardzomała wobec populacji ponad 30,6 mln osób uprawnionychdo głosowania (czy tez ok. 16,5 mln faktycznie głosuja-cych).





W Polsce rózne głosowania odbywaja sie co kilka lat,a pytanie o preferencje wyborcze jest jednym z czestozadawanych w badaniach sondazowych.Sondaz PGB przeprowadzony wsód 1018 osób tuz przedwyborami parlamentarnymi w 2007 r. wskazywał m.in., zena kandydatów PiS głosowac bedzie 35% wyborców.Zgodnie z oficjalnymi wynikami wyborów, rzeczywistyodsetek głosów oddanych na PiS w tych wyborach byłrówny 32,11%.Wynik sondazu był zatem zblizony do rzeczywistego pomi-mo, ze próba 1018 respondentów była relatywnie bardzomała wobec populacji ponad 30,6 mln osób uprawnionychdo głosowania (czy tez ok. 16,5 mln faktycznie głosuja-cych).




Uwagi do przykładu

Uwaga 1: Wylosowana próba respondentów nie daje peł-nej gwarancji, ze udział głosów na dana partie w tej próbiebedzie taki sam, jak w całej populacji. Istnieje jednak pew-na zaleznosc miedzy licznoscia próby a dokładnosciaoszacowania danego wskaznika, do czego wrócimy.

Uwaga 2: Wskazane byłoby, aby oprócz pojedycznej licz-by podac takze sredni bład oszacowania lub tez podacprzedział liczbowy, który zawierałby, ze znanym prawdopo-dobienstwem, rzeczywista wartosc szukanego wskaznika.Uwaga 3: Zauwazymy, ze gdybysmy osobom głosujacymna PiS przyporzadkowali wartosc 1, a pozostałym wartosc0, to udział głosujacych na te partie bedzie równy sredniejarytmetycznej ze zbioru zer i jedynek (taka srednia moze-my zdefiniowac zarówno dla próby, jak i dla populacji).




Uwagi do przykładu

Uwaga 1: Wylosowana próba respondentów nie daje peł-nej gwarancji, ze udział głosów na dana partie w tej próbiebedzie taki sam, jak w całej populacji. Istnieje jednak pew-na zaleznosc miedzy licznoscia próby a dokładnosciaoszacowania danego wskaznika, do czego wrócimy.Uwaga 2: Wskazane byłoby, aby oprócz pojedycznej licz-by podac takze sredni bład oszacowania lub tez podacprzedział liczbowy, który zawierałby, ze znanym prawdopo-dobienstwem, rzeczywista wartosc szukanego wskaznika.

Uwaga 3: Zauwazymy, ze gdybysmy osobom głosujacymna PiS przyporzadkowali wartosc 1, a pozostałym wartosc0, to udział głosujacych na te partie bedzie równy sredniejarytmetycznej ze zbioru zer i jedynek (taka srednia moze-my zdefiniowac zarówno dla próby, jak i dla populacji).




Uwagi do przykładu

Uwaga 1: Wylosowana próba respondentów nie daje peł-nej gwarancji, ze udział głosów na dana partie w tej próbiebedzie taki sam, jak w całej populacji. Istnieje jednak pew-na zaleznosc miedzy licznoscia próby a dokładnosciaoszacowania danego wskaznika, do czego wrócimy.Uwaga 2: Wskazane byłoby, aby oprócz pojedycznej licz-by podac takze sredni bład oszacowania lub tez podacprzedział liczbowy, który zawierałby, ze znanym prawdopo-dobienstwem, rzeczywista wartosc szukanego wskaznika.Uwaga 3: Zauwazymy, ze gdybysmy osobom głosujacymna PiS przyporzadkowali wartosc 1, a pozostałym wartosc0, to udział głosujacych na te partie bedzie równy sredniejarytmetycznej ze zbioru zer i jedynek (taka srednia moze-my zdefiniowac zarówno dla próby, jak i dla populacji).




Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne

W dalszych rozwazaniach przedstawimy słabe prawo wielkichliczb, bedace jednym z podstawowych zasad rachunku prawdo-podobienstwa oraz centralne twierdzenie graniczne, które wy-korzystamy w zagadnieniach szacowania nieznanych wskaz-ników (parametrów) populacji.

Prawo wielkich liczb zostało sformułowane po raz pierwszyprzez Jakuba Bernoulliego, zyjacego na przełomie XVII i XVIIIwieku, ale opublikowane zostało dopiero w 1913 r., tj. 200 lat posmierci jego twórcy. Bernoulli nazwał je ”złotym twierdzeniem”.Z prawdopodobienstwem dowolnie bliskim 1 mozna sie spo-dziewac, iz przy dostatecznie wielkiej liczbie powtórzen ekspe-rymentu losowego, z których kazdy konczy sie sukcesem lubporazka, czestosc wystapienia sukcesu w serii eksperymentówbedzie sie dowolnie mało rózniła od jego prawdopodobienstwa.





W dalszych rozwazaniach przedstawimy słabe prawo wielkichliczb, bedace jednym z podstawowych zasad rachunku prawdo-podobienstwa oraz centralne twierdzenie graniczne, które wy-korzystamy w zagadnieniach szacowania nieznanych wskaz-ników (parametrów) populacji.Prawo wielkich liczb zostało sformułowane po raz pierwszyprzez Jakuba Bernoulliego, zyjacego na przełomie XVII i XVIIIwieku, ale opublikowane zostało dopiero w 1913 r., tj. 200 lat posmierci jego twórcy. Bernoulli nazwał je ”złotym twierdzeniem”.

Z prawdopodobienstwem dowolnie bliskim 1 mozna sie spo-dziewac, iz przy dostatecznie wielkiej liczbie powtórzen ekspe-rymentu losowego, z których kazdy konczy sie sukcesem lubporazka, czestosc wystapienia sukcesu w serii eksperymentówbedzie sie dowolnie mało rózniła od jego prawdopodobienstwa.





W dalszych rozwazaniach przedstawimy słabe prawo wielkichliczb, bedace jednym z podstawowych zasad rachunku prawdo-podobienstwa oraz centralne twierdzenie graniczne, które wy-korzystamy w zagadnieniach szacowania nieznanych wskaz-ników (parametrów) populacji.Prawo wielkich liczb zostało sformułowane po raz pierwszyprzez Jakuba Bernoulliego, zyjacego na przełomie XVII i XVIIIwieku, ale opublikowane zostało dopiero w 1913 r., tj. 200 lat posmierci jego twórcy. Bernoulli nazwał je ”złotym twierdzeniem”.Z prawdopodobienstwem dowolnie bliskim 1 mozna sie spo-dziewac, iz przy dostatecznie wielkiej liczbie powtórzen ekspe-rymentu losowego, z których kazdy konczy sie sukcesem lubporazka, czestosc wystapienia sukcesu w serii eksperymentówbedzie sie dowolnie mało rózniła od jego prawdopodobienstwa.




Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Przykład.Załózmy, ze przeprowadzamy serie eksperymentów pole-gajacych na rzucaniu moneta.

Niech sukcesem bedzie wyrzucenie orła w pojedynczymrzucie. Jesli moneta jest symetryczna, to prawdopodo-bienstwo sukcesu w kazdym eksperymencie wynosi 1

2 .

Załózmy, ze po kazdym rzucie obliczamy czestosc wyrzu-conych orłów w serii dotychczas wykonanych rzutów (czyliiloraz liczby orłów do liczby rzutów).

Prawo Bernoulliego mówi, ze szansa na to, by obliczonaczestosc była bardzo bliska prawdopodobienstwu 1

2(a dokładniej – aby rózniła sie od niego dowolnie mało),zmierza do 1 wraz ze zwiekszaniem liczby rzutów.




Słabe prawo wielkich liczb

Podobne prawo mozna takze sformułowac w odniesienu dosredniej z próby losowej (w szczególnym przypadku, czestoscwystapienia sukcesu w serii n eksperymentów mozemy trak-towac jak srednia z n-elementowej próby składajacej sie z zeri jedynek – zob. Uwaga 3). Prawo to nazywamy słabymprawem wielkich liczb:

Jesli z dowolnej populacji wylosuje sie próbke o licznosci ni jesli dla takiej próbki obliczy sie srednia arytmetyczna, toprawdopodobienstwo tego, ze srednia próbkowa bedzie róznicsie dowolnie mało od sredniej dla całej populacji, zbliza sie do 1wraz ze wzrostem n.Jest to tzw. zbieznosc wg prawdopodobienstwa. Mówiacw uproszczeniu, zwiekszanie liczebnosci próby, zwiekszaszanse, ze srednia z takiej próby ”trafi” w srednia z populacji.





Podobne prawo mozna takze sformułowac w odniesienu dosredniej z próby losowej (w szczególnym przypadku, czestoscwystapienia sukcesu w serii n eksperymentów mozemy trak-towac jak srednia z n-elementowej próby składajacej sie z zeri jedynek – zob. Uwaga 3). Prawo to nazywamy słabymprawem wielkich liczb:Jesli z dowolnej populacji wylosuje sie próbke o licznosci ni jesli dla takiej próbki obliczy sie srednia arytmetyczna, toprawdopodobienstwo tego, ze srednia próbkowa bedzie róznicsie dowolnie mało od sredniej dla całej populacji, zbliza sie do 1wraz ze wzrostem n.

Jest to tzw. zbieznosc wg prawdopodobienstwa. Mówiacw uproszczeniu, zwiekszanie liczebnosci próby, zwiekszaszanse, ze srednia z takiej próby ”trafi” w srednia z populacji.





Podobne prawo mozna takze sformułowac w odniesienu dosredniej z próby losowej (w szczególnym przypadku, czestoscwystapienia sukcesu w serii n eksperymentów mozemy trak-towac jak srednia z n-elementowej próby składajacej sie z zeri jedynek – zob. Uwaga 3). Prawo to nazywamy słabymprawem wielkich liczb:Jesli z dowolnej populacji wylosuje sie próbke o licznosci ni jesli dla takiej próbki obliczy sie srednia arytmetyczna, toprawdopodobienstwo tego, ze srednia próbkowa bedzie róznicsie dowolnie mało od sredniej dla całej populacji, zbliza sie do 1wraz ze wzrostem n.Jest to tzw. zbieznosc wg prawdopodobienstwa. Mówiacw uproszczeniu, zwiekszanie liczebnosci próby, zwiekszaszanse, ze srednia z takiej próby ”trafi” w srednia z populacji.




Gdybysmy posiadali wiele n-elementowych próbek, to histogramsrednich z tych próbek przyblizałby tzw. rozkład sredniej z próby.Przykład histogramu dla 1000 próbek (kazda o licznosci n = 150)przyblizajacego rozkład sredniej z próby przedstawia wykres.

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution




Jesli zwiekszymy liczebnosc kazdej próbki, np. do n = 1000,wówczas histogram srednich obliczonych z tych próbek bedziebardziej ”skupiony” wokół sredniej z populacji (tu srednia zpopulacji= 0,32). Histogram ponizej wykonano dla 1000 próbek.





Załózmy teraz, ze n = 5000. Koncentracja srednich z próbek wokółsredniej z populacji jest tu jeszcze bardziej wyrazna. W tymprzypadku srednie dla wiekszosci próbek sa bardzo bliskie war-tosci sredniej dla całej populacji (równej nadal 0,32).





Centralne twierdzenie graniczne – ilustracja na przykładzie

Wrócmy do wykresu histogramu srednich z próbekliczacych po n = 1000 elementów.

Na wykresie tym na osi pionowej odłozone sa liczbypróbek, dla których srednie nalezały do poszczególnychpodprzedziałów liczbowych, kazdy o długosci 0,01(podprzedziały te sa okreslone przez podstawy słupków).Wykreslimy teraz podobny histogram, odkładajac na osipionowej liczebnosci wzgledne, przeliczone na jednostkedługosci przedziałów (tj. czestosci podzielone przez dłu-gosci podprzedziałów).Na tym samym wykresie umiescmy dodatkowa krzywa,który przybliza kształt histogramu sporzadzonego napodstawie srednich z bardzo wielu próbek (w tym przy-padku z 1000 próbek, zob. nastepny wykres).





Wrócmy do wykresu histogramu srednich z próbekliczacych po n = 1000 elementów.Na wykresie tym na osi pionowej odłozone sa liczbypróbek, dla których srednie nalezały do poszczególnychpodprzedziałów liczbowych, kazdy o długosci 0,01(podprzedziały te sa okreslone przez podstawy słupków).

Wykreslimy teraz podobny histogram, odkładajac na osipionowej liczebnosci wzgledne, przeliczone na jednostkedługosci przedziałów (tj. czestosci podzielone przez dłu-gosci podprzedziałów).Na tym samym wykresie umiescmy dodatkowa krzywa,który przybliza kształt histogramu sporzadzonego napodstawie srednich z bardzo wielu próbek (w tym przy-padku z 1000 próbek, zob. nastepny wykres).





Wrócmy do wykresu histogramu srednich z próbekliczacych po n = 1000 elementów.Na wykresie tym na osi pionowej odłozone sa liczbypróbek, dla których srednie nalezały do poszczególnychpodprzedziałów liczbowych, kazdy o długosci 0,01(podprzedziały te sa okreslone przez podstawy słupków).Wykreslimy teraz podobny histogram, odkładajac na osipionowej liczebnosci wzgledne, przeliczone na jednostkedługosci przedziałów (tj. czestosci podzielone przez dłu-gosci podprzedziałów).

Na tym samym wykresie umiescmy dodatkowa krzywa,który przybliza kształt histogramu sporzadzonego napodstawie srednich z bardzo wielu próbek (w tym przy-padku z 1000 próbek, zob. nastepny wykres).





Wrócmy do wykresu histogramu srednich z próbekliczacych po n = 1000 elementów.Na wykresie tym na osi pionowej odłozone sa liczbypróbek, dla których srednie nalezały do poszczególnychpodprzedziałów liczbowych, kazdy o długosci 0,01(podprzedziały te sa okreslone przez podstawy słupków).Wykreslimy teraz podobny histogram, odkładajac na osipionowej liczebnosci wzgledne, przeliczone na jednostkedługosci przedziałów (tj. czestosci podzielone przez dłu-gosci podprzedziałów).Na tym samym wykresie umiescmy dodatkowa krzywa,który przybliza kształt histogramu sporzadzonego napodstawie srednich z bardzo wielu próbek (w tym przy-padku z 1000 próbek, zob. nastepny wykres).




Zauwazymy, ze wykreslona krzywa przypomina krzywa gestoscirozkładu normalnego. Wykres ten ilustruje w uproszczeniu senscentralnego twierdzenia granicznego przedstawionego dalej.





Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne jest kolejnym, waznymtwierdzeniem rachunku prawdopodobienstwa.

W skócie mówi ono, iz rozkład standaryzowanej sredniejarytmetycznej z próby dazy do rozkładu normalnego N(0,1),gdy liczebnosc n próby dazy do nieskonczonosci (o standa-ryzacji była mowa przy okazji omawiania rozkładów).Upraszczajac nieco, mozemy powyzsze sformułowanie wy-jasnic nastepujaco. Jesli wylosujemy z populacji bardzo wielen-elementowych próbek i obliczymy dla kazdej z nich sredniaarytmetyczna to:

histogram liczebnosci wzglednych (w przeliczeniu na jed-nostke długosci) dla srednich próbkowych bedzie przybie-rac kształt zblizony do krzywej gestosci rozkładunormalnego, o ile licznosci n próbek beda duze.





Centralne twierdzenie graniczne jest kolejnym, waznymtwierdzeniem rachunku prawdopodobienstwa.W skócie mówi ono, iz rozkład standaryzowanej sredniejarytmetycznej z próby dazy do rozkładu normalnego N(0,1),gdy liczebnosc n próby dazy do nieskonczonosci (o standa-ryzacji była mowa przy okazji omawiania rozkładów).

Upraszczajac nieco, mozemy powyzsze sformułowanie wy-jasnic nastepujaco. Jesli wylosujemy z populacji bardzo wielen-elementowych próbek i obliczymy dla kazdej z nich sredniaarytmetyczna to:






Centralne twierdzenie graniczne jest kolejnym, waznymtwierdzeniem rachunku prawdopodobienstwa.W skócie mówi ono, iz rozkład standaryzowanej sredniejarytmetycznej z próby dazy do rozkładu normalnego N(0,1),gdy liczebnosc n próby dazy do nieskonczonosci (o standa-ryzacji była mowa przy okazji omawiania rozkładów).Upraszczajac nieco, mozemy powyzsze sformułowanie wy-jasnic nastepujaco. Jesli wylosujemy z populacji bardzo wielen-elementowych próbek i obliczymy dla kazdej z nich sredniaarytmetyczna to:





Własnosci srednich próbkowych

W uzupełnieniu do przedstawionego wyjasnienia warto jeszczeprzedstawic dwie własnosci srednich próbkowych, z którychkorzysta sie m.in. przy standaryzacji sredniej arytmetycznejz próby (o czym jest mowa w centralnym tw. granicznym):

Własnosc 1. Gdybysmy wylosowali bardzo duzo n-ele-mentowych próbek (teoretycznie zakłada sie nieskoncz-nie wiele próbek losowanych z nieskonczonej populacji)i obliczyli dla kazdej z nich srednia arytmetyczna, czylisrednie próbkowe, a nastepnie srednia ze srednich, tookazałoby sie, ze wielkosc ta jest równa sredniej badanejcechy w całej populacji. Srednia dla populacji bedziemydalej oznaczac przez µ.W jezyku formalnym przedstawiona własnosc zapisujemy:E(X ) = µ.






Własnosc 1. Gdybysmy wylosowali bardzo duzo n-ele-mentowych próbek (teoretycznie zakłada sie nieskoncz-nie wiele próbek losowanych z nieskonczonej populacji)i obliczyli dla kazdej z nich srednia arytmetyczna, czylisrednie próbkowe, a nastepnie srednia ze srednich, tookazałoby sie, ze wielkosc ta jest równa sredniej badanejcechy w całej populacji.

Srednia dla populacji bedziemydalej oznaczac przez µ.W jezyku formalnym przedstawiona własnosc zapisujemy:E(X ) = µ.






Własnosc 1. Gdybysmy wylosowali bardzo duzo n-ele-mentowych próbek (teoretycznie zakłada sie nieskoncz-nie wiele próbek losowanych z nieskonczonej populacji)i obliczyli dla kazdej z nich srednia arytmetyczna, czylisrednie próbkowe, a nastepnie srednia ze srednich, tookazałoby sie, ze wielkosc ta jest równa sredniej badanejcechy w całej populacji. Srednia dla populacji bedziemydalej oznaczac przez µ.

W jezyku formalnym przedstawiona własnosc zapisujemy:E(X ) = µ.






Własnosc 1. Gdybysmy wylosowali bardzo duzo n-ele-mentowych próbek (teoretycznie zakłada sie nieskoncz-nie wiele próbek losowanych z nieskonczonej populacji)i obliczyli dla kazdej z nich srednia arytmetyczna, czylisrednie próbkowe, a nastepnie srednia ze srednich, tookazałoby sie, ze wielkosc ta jest równa sredniej badanejcechy w całej populacji. Srednia dla populacji bedziemydalej oznaczac przez µ.W jezyku formalnym przedstawiona własnosc zapisujemy:E(X ) = µ.




Własnosci srednich próbkowych – c.d.

Druga własnosc srednich próbkowych brzmi nastepujaco:

Własnosc 2. Gdybysmy, majac nieskonczenie wielen-elementowych próbek, obliczyli wariancje srednichpróbkowych, to okazałoby sie, ze jest ona n razy mniej-sza niz wariancja w populacji. Wariancje w populacjioznaczac bedziemy dalej przez σ2. W zapisie formalnymwłasnosc ta ma postac: D2(X ) = σ2

n .

Poniewaz w mianowniku po prawej stronie wystepuje n,wiec wynika stad wniosek, ze zwiekszajac licznosc nwszystkich próbek, zmniejszamy tym samym zmiennoscsrednich wyznaczonych z takich próbek. Wyjasnia to m.in.dlaczego wraz ze wzrostem n obserwowalismy rosnacakoncentracje histogramów srednich próbkowych wokółsredniej z populacji (zob. wczesniejsze wykresy).






Własnosc 2. Gdybysmy, majac nieskonczenie wielen-elementowych próbek, obliczyli wariancje srednichpróbkowych, to okazałoby sie, ze jest ona n razy mniej-sza niz wariancja w populacji.

Wariancje w populacjioznaczac bedziemy dalej przez σ2. W zapisie formalnymwłasnosc ta ma postac: D2(X ) = σ2

n .







Własnosc 2. Gdybysmy, majac nieskonczenie wielen-elementowych próbek, obliczyli wariancje srednichpróbkowych, to okazałoby sie, ze jest ona n razy mniej-sza niz wariancja w populacji. Wariancje w populacjioznaczac bedziemy dalej przez σ2.

W zapisie formalnymwłasnosc ta ma postac: D2(X ) = σ2

n .







Własnosc 2. Gdybysmy, majac nieskonczenie wielen-elementowych próbek, obliczyli wariancje srednichpróbkowych, to okazałoby sie, ze jest ona n razy mniej-sza niz wariancja w populacji. Wariancje w populacjioznaczac bedziemy dalej przez σ2. W zapisie formalnymwłasnosc ta ma postac: D2(X ) = σ2

n .





Podsumowanie rozwazanych przykładów

Dotychczasowe rozwazania pokazuja, ze mozliwe jestprzyblizanie rzeczywistych wartosci pewnych wskazników(parametrów) populacji na podstawie próby losowej.

Prawdopodobienstwo ”trafienia” w prawdziwa wartoscparametru jest tym wieksze, im wieksza jest licznosc npróby.Jesli szukanym parametrem jest srednia okreslonej cechyw populacji i jesli dysponujemy duza próba (czestowystarczy n ≥ 30), wówczas mozemy odwołac sie dowłasnosci rozkładu normalnego, w celu wyznaczeniaoszacowania szukanej sredniej.Przyblizanie (estymowanie) nieznanych parametrów popu-lacji na podstawie danych z próby losowej jest zadaniemteorii estymacji, szerzej–wnioskowania statystycznego.





Dotychczasowe rozwazania pokazuja, ze mozliwe jestprzyblizanie rzeczywistych wartosci pewnych wskazników(parametrów) populacji na podstawie próby losowej.Prawdopodobienstwo ”trafienia” w prawdziwa wartoscparametru jest tym wieksze, im wieksza jest licznosc npróby.

Jesli szukanym parametrem jest srednia okreslonej cechyw populacji i jesli dysponujemy duza próba (czestowystarczy n ≥ 30), wówczas mozemy odwołac sie dowłasnosci rozkładu normalnego, w celu wyznaczeniaoszacowania szukanej sredniej.Przyblizanie (estymowanie) nieznanych parametrów popu-lacji na podstawie danych z próby losowej jest zadaniemteorii estymacji, szerzej–wnioskowania statystycznego.





Dotychczasowe rozwazania pokazuja, ze mozliwe jestprzyblizanie rzeczywistych wartosci pewnych wskazników(parametrów) populacji na podstawie próby losowej.Prawdopodobienstwo ”trafienia” w prawdziwa wartoscparametru jest tym wieksze, im wieksza jest licznosc npróby.Jesli szukanym parametrem jest srednia okreslonej cechyw populacji i jesli dysponujemy duza próba (czestowystarczy n ≥ 30), wówczas mozemy odwołac sie dowłasnosci rozkładu normalnego, w celu wyznaczeniaoszacowania szukanej sredniej.

Przyblizanie (estymowanie) nieznanych parametrów popu-lacji na podstawie danych z próby losowej jest zadaniemteorii estymacji, szerzej–wnioskowania statystycznego.





Dotychczasowe rozwazania pokazuja, ze mozliwe jestprzyblizanie rzeczywistych wartosci pewnych wskazników(parametrów) populacji na podstawie próby losowej.Prawdopodobienstwo ”trafienia” w prawdziwa wartoscparametru jest tym wieksze, im wieksza jest licznosc npróby.Jesli szukanym parametrem jest srednia okreslonej cechyw populacji i jesli dysponujemy duza próba (czestowystarczy n ≥ 30), wówczas mozemy odwołac sie dowłasnosci rozkładu normalnego, w celu wyznaczeniaoszacowania szukanej sredniej.Przyblizanie (estymowanie) nieznanych parametrów popu-lacji na podstawie danych z próby losowej jest zadaniemteorii estymacji, szerzej–wnioskowania statystycznego.




Teoretyczne podejscie do zagadnien wnioskowania

Przypuscmy, ze chcemy zbadac np. wartosc srednia lubinne charakterystyki pewnej cechy X (zmiennej losowej)w populacji generalnej.

W tym celu przeprowadzamy eksperyment losowypolegajacy na n-krotnym losowaniu ze zwracaniemelementów z tej populacji (tzw. losowanie niezalezne)oraz rejestrowaniu wartosci badanej cechy w kolejnychlosowaniach.Oznaczmy przez Xi potencjalny wynik pomiaru badanejcechy, jaki moze pojawic sie u i-tego elementu.Przed wykonaniem eksperymentu wynik pomiaru Xi jestzmienna losowa, poniewaz nie wiemy, jaki elementzostanie wylosowany w i-tej kolejnosci, a tym samym – jakibedzie wynik pomiaru dla tego elementu.





Przypuscmy, ze chcemy zbadac np. wartosc srednia lubinne charakterystyki pewnej cechy X (zmiennej losowej)w populacji generalnej.W tym celu przeprowadzamy eksperyment losowypolegajacy na n-krotnym losowaniu ze zwracaniemelementów z tej populacji (tzw. losowanie niezalezne)oraz rejestrowaniu wartosci badanej cechy w kolejnychlosowaniach.

Oznaczmy przez Xi potencjalny wynik pomiaru badanejcechy, jaki moze pojawic sie u i-tego elementu.Przed wykonaniem eksperymentu wynik pomiaru Xi jestzmienna losowa, poniewaz nie wiemy, jaki elementzostanie wylosowany w i-tej kolejnosci, a tym samym – jakibedzie wynik pomiaru dla tego elementu.





Przypuscmy, ze chcemy zbadac np. wartosc srednia lubinne charakterystyki pewnej cechy X (zmiennej losowej)w populacji generalnej.W tym celu przeprowadzamy eksperyment losowypolegajacy na n-krotnym losowaniu ze zwracaniemelementów z tej populacji (tzw. losowanie niezalezne)oraz rejestrowaniu wartosci badanej cechy w kolejnychlosowaniach.Oznaczmy przez Xi potencjalny wynik pomiaru badanejcechy, jaki moze pojawic sie u i-tego elementu.

Przed wykonaniem eksperymentu wynik pomiaru Xi jestzmienna losowa, poniewaz nie wiemy, jaki elementzostanie wylosowany w i-tej kolejnosci, a tym samym – jakibedzie wynik pomiaru dla tego elementu.





Przypuscmy, ze chcemy zbadac np. wartosc srednia lubinne charakterystyki pewnej cechy X (zmiennej losowej)w populacji generalnej.W tym celu przeprowadzamy eksperyment losowypolegajacy na n-krotnym losowaniu ze zwracaniemelementów z tej populacji (tzw. losowanie niezalezne)oraz rejestrowaniu wartosci badanej cechy w kolejnychlosowaniach.Oznaczmy przez Xi potencjalny wynik pomiaru badanejcechy, jaki moze pojawic sie u i-tego elementu.Przed wykonaniem eksperymentu wynik pomiaru Xi jestzmienna losowa, poniewaz nie wiemy, jaki elementzostanie wylosowany w i-tej kolejnosci, a tym samym – jakibedzie wynik pomiaru dla tego elementu.





Po wylosowaniu i dokonaniu pomiaru uzyskujemykonkretna wartosc xi , tj. pojedyczna realizacje zmiennej Xi .

Poniewaz losowanie z populacji jest niezalezne, wieczmienne:

X1,X2, . . . ,Xn

sa takze niezalezne i maja taki sam rozkład jak rozkładbadanej cechy X .

Przedstawiony ciag zmiennych losowych nazywamyn-elementowa próba losowa (prosta).

Realizacja próby losowej jest ciag konkretnych wartosci

x1, x2, . . . , xn

zaobserwowanych w trakcie pomiaru badanej cechy.





Niech X1,X2, . . . ,Xn bedzie n-elementowa próba losowa.

Statystyka nazywamy zmienna losowa Tn bedaca dowolnafunkcja próby losowej, co zapisujemy ogólnie w postaci:

Tn = f (X1,X2, . . . ,Xn).

Przykładami statystyk sa: srednia arytmetyczna z próby orazodchylenie standardowe z próby, zdefiniowane wzorami:

X =1n

n∑i=1

Xi , S =

√√√√1n

n∑i=1

(Xi − X )2.

Zauwazymy, ze zarówno srednia arytmetyczna, jak i odchy-lenie standardowe sa tu oznaczone duzymi literami, dla pod-kreslenia, iz nie sa to pojedyncze liczby, ale zmienne losowe,poniewaz dotycza losowej próby.





Niech X1,X2, . . . ,Xn bedzie n-elementowa próba losowa.Statystyka nazywamy zmienna losowa Tn bedaca dowolnafunkcja próby losowej, co zapisujemy ogólnie w postaci:

Tn = f (X1,X2, . . . ,Xn).

Przykładami statystyk sa: srednia arytmetyczna z próby orazodchylenie standardowe z próby, zdefiniowane wzorami:

X =1n

n∑i=1

Xi , S =

√√√√1n

n∑i=1

(Xi − X )2.

Zauwazymy, ze zarówno srednia arytmetyczna, jak i odchy-lenie standardowe sa tu oznaczone duzymi literami, dla pod-kreslenia, iz nie sa to pojedyncze liczby, ale zmienne losowe,poniewaz dotycza losowej próby.




Wnioskowanie statystyczne

Wnioskowaniem statystycznym nazywamy zbiór regułuogólniania wyników z próby losowej na populacjegeneralna.

W ramach wnioskowania statystycznego wyrózniamy:– estymacje,– weryfikacje hipotez statystycznych.

Teoria estymacji zajmuje sie metodami szacowania(estymacji) nieznanego rozkładu lub nieznanychparametrów rozkładu badanej cechy X w populacjigeneralnej.Teoria weryfikacji hipotez zajmuje sie metodamitestowania dowolnego przypuszczenia dotyczacegonieznanego rozkładu lub nieznanych parametrów rozkładubadanej cechy X w populacji generalnej.





Wnioskowaniem statystycznym nazywamy zbiór regułuogólniania wyników z próby losowej na populacjegeneralna.W ramach wnioskowania statystycznego wyrózniamy:

– estymacje,– weryfikacje hipotez statystycznych.







– estymacje,

– weryfikacje hipotez statystycznych.








Teoria estymacji zajmuje sie metodami szacowania(estymacji) nieznanego rozkładu lub nieznanychparametrów rozkładu badanej cechy X w populacjigeneralnej.

Teoria weryfikacji hipotez zajmuje sie metodamitestowania dowolnego przypuszczenia dotyczacegonieznanego rozkładu lub nieznanych parametrów rozkładubadanej cechy X w populacji generalnej.




Podstawy estymacjiRodzaje estymacji

Wyrózniamy:1. estymacje parametryczna,2. estymacje nieparametryczna.

Inny podział na:1. estymacje punktowa,2. estymacje przedziałowa.

Estymacja parametryczna zajmuje sie szacowaniemparametrów rozkładu populacji w przypadku, gdy znamyklase rozkładów, do której nalezy rozkład badanej cechy X(np. wiemy, ze jest to rozkład normalny, ale nie znamy jegoparametrów µ i σ, które estymujemy).Jezeli nie znamy klasy rozkładów, do której nalezy rozkładbadanej zmiennej X , to estymacje nazywamy niepara-metryczna.







Estymacja parametryczna zajmuje sie szacowaniemparametrów rozkładu populacji w przypadku, gdy znamyklase rozkładów, do której nalezy rozkład badanej cechy X(np. wiemy, ze jest to rozkład normalny, ale nie znamy jegoparametrów µ i σ, które estymujemy).

Jezeli nie znamy klasy rozkładów, do której nalezy rozkładbadanej zmiennej X , to estymacje nazywamy niepara-metryczna.







Estymacja parametryczna zajmuje sie szacowaniemparametrów rozkładu populacji w przypadku, gdy znamyklase rozkładów, do której nalezy rozkład badanej cechy X(np. wiemy, ze jest to rozkład normalny, ale nie znamy jegoparametrów µ i σ, które estymujemy).Jezeli nie znamy klasy rozkładów, do której nalezy rozkładbadanej zmiennej X , to estymacje nazywamy niepara-metryczna.




Podstawy estymacjiEstymacja punktowa

Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartosci(wzglednie wektora wartosci) bedacej oszacowaniemnieznanego parametru (wzglednie wektora parametrów).Ilustracja takiego sposobu estymacji jest oszacowanieudziału głosów na PiS (0,35 lub zamiennie 35%)przedstawione w przykładzie wprowadzajacym.Okreslenie ”estymacja punktowa” bierze sie stad, ze dlakazdego parametru populacji znajdujemy jedna liczbe (napodstawie realizacji próby), w taki sposób, aby była onamozliwie najlepszym przyblizeniem nieznanego parametru.Jest to tzw. ocena punktowa parametru.Ocena punktowa jest wyznaczana na podstawie wartoscipewnej statystyki, o własnosciach upowazniajacych nas doszacowania za jej pomoca danego parametru.Statystyka taka nosi nazwe estymatora.





Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartosci(wzglednie wektora wartosci) bedacej oszacowaniemnieznanego parametru (wzglednie wektora parametrów).Ilustracja takiego sposobu estymacji jest oszacowanieudziału głosów na PiS (0,35 lub zamiennie 35%)przedstawione w przykładzie wprowadzajacym.

Okreslenie ”estymacja punktowa” bierze sie stad, ze dlakazdego parametru populacji znajdujemy jedna liczbe (napodstawie realizacji próby), w taki sposób, aby była onamozliwie najlepszym przyblizeniem nieznanego parametru.Jest to tzw. ocena punktowa parametru.Ocena punktowa jest wyznaczana na podstawie wartoscipewnej statystyki, o własnosciach upowazniajacych nas doszacowania za jej pomoca danego parametru.Statystyka taka nosi nazwe estymatora.





Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartosci(wzglednie wektora wartosci) bedacej oszacowaniemnieznanego parametru (wzglednie wektora parametrów).Ilustracja takiego sposobu estymacji jest oszacowanieudziału głosów na PiS (0,35 lub zamiennie 35%)przedstawione w przykładzie wprowadzajacym.Okreslenie ”estymacja punktowa” bierze sie stad, ze dlakazdego parametru populacji znajdujemy jedna liczbe (napodstawie realizacji próby), w taki sposób, aby była onamozliwie najlepszym przyblizeniem nieznanego parametru.Jest to tzw. ocena punktowa parametru.

Ocena punktowa jest wyznaczana na podstawie wartoscipewnej statystyki, o własnosciach upowazniajacych nas doszacowania za jej pomoca danego parametru.Statystyka taka nosi nazwe estymatora.





Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartosci(wzglednie wektora wartosci) bedacej oszacowaniemnieznanego parametru (wzglednie wektora parametrów).Ilustracja takiego sposobu estymacji jest oszacowanieudziału głosów na PiS (0,35 lub zamiennie 35%)przedstawione w przykładzie wprowadzajacym.Okreslenie ”estymacja punktowa” bierze sie stad, ze dlakazdego parametru populacji znajdujemy jedna liczbe (napodstawie realizacji próby), w taki sposób, aby była onamozliwie najlepszym przyblizeniem nieznanego parametru.Jest to tzw. ocena punktowa parametru.Ocena punktowa jest wyznaczana na podstawie wartoscipewnej statystyki, o własnosciach upowazniajacych nas doszacowania za jej pomoca danego parametru.

Statystyka taka nosi nazwe estymatora.





Estymacja punktowa polega na podaniu jednej wartosci(wzglednie wektora wartosci) bedacej oszacowaniemnieznanego parametru (wzglednie wektora parametrów).Ilustracja takiego sposobu estymacji jest oszacowanieudziału głosów na PiS (0,35 lub zamiennie 35%)przedstawione w przykładzie wprowadzajacym.Okreslenie ”estymacja punktowa” bierze sie stad, ze dlakazdego parametru populacji znajdujemy jedna liczbe (napodstawie realizacji próby), w taki sposób, aby była onamozliwie najlepszym przyblizeniem nieznanego parametru.Jest to tzw. ocena punktowa parametru.Ocena punktowa jest wyznaczana na podstawie wartoscipewnej statystyki, o własnosciach upowazniajacych nas doszacowania za jej pomoca danego parametru.Statystyka taka nosi nazwe estymatora.




Podstawy estymacji

Nalezy zaznaczyc, ze ocena punktowana na ogół nie pokrywasie z prawdziwa wartoscia parametru. Na rozwazanychwczesniej histogramach mozna było zauwazyc, ze dla pewnejczesci próbek wartosci srednie odbiegały w mniejszym lubwiekszy stopniu od sredniej w populacji (zob. wykres ponizej).





Podstawy estymacjiEstymacja przedziałowa

W praktyce mamy tylko jedna próbe, zatem nie mamypewnosci, jak bardzo wartosc obliczona z dostepnej próbyrózni sie od szukanego parametru.

Bardziej realistyczne, zamiast oceny punktowej, wydaje sieskonstruowanie przedziału, który z zadanym z góryprawdopodobienstwem, bliskim jednosci, pokrywałbynieznana wartosc tego parametru. Jest to zadanieestymacji przedziałowej.Przedział taki nosi miano przedziału ufnosci.Konstrukcja przedziału ufnosci jest równoznaczna z po-daniem jego dwóch kranców. Poniewaz krance te sazaleznego od wyników w losowej próbie, wiec całyprzedział ma takze charakter losowy.





W praktyce mamy tylko jedna próbe, zatem nie mamypewnosci, jak bardzo wartosc obliczona z dostepnej próbyrózni sie od szukanego parametru.Bardziej realistyczne, zamiast oceny punktowej, wydaje sieskonstruowanie przedziału, który z zadanym z góryprawdopodobienstwem, bliskim jednosci, pokrywałbynieznana wartosc tego parametru. Jest to zadanieestymacji przedziałowej.

Przedział taki nosi miano przedziału ufnosci.Konstrukcja przedziału ufnosci jest równoznaczna z po-daniem jego dwóch kranców. Poniewaz krance te sazaleznego od wyników w losowej próbie, wiec całyprzedział ma takze charakter losowy.





W praktyce mamy tylko jedna próbe, zatem nie mamypewnosci, jak bardzo wartosc obliczona z dostepnej próbyrózni sie od szukanego parametru.Bardziej realistyczne, zamiast oceny punktowej, wydaje sieskonstruowanie przedziału, który z zadanym z góryprawdopodobienstwem, bliskim jednosci, pokrywałbynieznana wartosc tego parametru. Jest to zadanieestymacji przedziałowej.Przedział taki nosi miano przedziału ufnosci.

Konstrukcja przedziału ufnosci jest równoznaczna z po-daniem jego dwóch kranców. Poniewaz krance te sazaleznego od wyników w losowej próbie, wiec całyprzedział ma takze charakter losowy.





W praktyce mamy tylko jedna próbe, zatem nie mamypewnosci, jak bardzo wartosc obliczona z dostepnej próbyrózni sie od szukanego parametru.Bardziej realistyczne, zamiast oceny punktowej, wydaje sieskonstruowanie przedziału, który z zadanym z góryprawdopodobienstwem, bliskim jednosci, pokrywałbynieznana wartosc tego parametru. Jest to zadanieestymacji przedziałowej.Przedział taki nosi miano przedziału ufnosci.Konstrukcja przedziału ufnosci jest równoznaczna z po-daniem jego dwóch kranców. Poniewaz krance te sazaleznego od wyników w losowej próbie, wiec całyprzedział ma takze charakter losowy.




Podstawy estymacjiWyprowadzenie przedziału ufnosci dla sredniej w populacji na podstawie duzejpróby

Do budowy przedziału ufnosci dla wartosci sredniej µ wpopulacji wykorzystamy wnioski płynace z centralnego tw.granicznego, w tym takze własnosci 1 i 2 (bedziemy zakła-dac, ze dysponujemy odpowiednio duza próba).

Wyprowadzimy wzór na przedział, który z prawdopodo-bienstwem 1− α ∈ (0,1) zawierac bedzie srednia µ.Liczbe 1−α nazywamy poziomem ufnosci. Przyjmuje siez reguły, ze jest on równy 0,9 lub 0,95 (niekiedy 0,99).Do wyznaczenia przedziału ufnosci wystarcza nam danez jednej próbki. W przypadku, gdy jej licznosc jest duza(czesto wystarczy n ≥ 30), wówczas przyjmujemy, ze roz-kład sredniej X z próbki jest zblizony do rozkładu N(µ, σ√

n ).





Do budowy przedziału ufnosci dla wartosci sredniej µ wpopulacji wykorzystamy wnioski płynace z centralnego tw.granicznego, w tym takze własnosci 1 i 2 (bedziemy zakła-dac, ze dysponujemy odpowiednio duza próba).Wyprowadzimy wzór na przedział, który z prawdopodo-bienstwem 1− α ∈ (0,1) zawierac bedzie srednia µ.

Liczbe 1−α nazywamy poziomem ufnosci. Przyjmuje siez reguły, ze jest on równy 0,9 lub 0,95 (niekiedy 0,99).Do wyznaczenia przedziału ufnosci wystarcza nam danez jednej próbki. W przypadku, gdy jej licznosc jest duza(czesto wystarczy n ≥ 30), wówczas przyjmujemy, ze roz-kład sredniej X z próbki jest zblizony do rozkładu N(µ, σ√

n ).





Do budowy przedziału ufnosci dla wartosci sredniej µ wpopulacji wykorzystamy wnioski płynace z centralnego tw.granicznego, w tym takze własnosci 1 i 2 (bedziemy zakła-dac, ze dysponujemy odpowiednio duza próba).Wyprowadzimy wzór na przedział, który z prawdopodo-bienstwem 1− α ∈ (0,1) zawierac bedzie srednia µ.Liczbe 1−α nazywamy poziomem ufnosci. Przyjmuje siez reguły, ze jest on równy 0,9 lub 0,95 (niekiedy 0,99).

Do wyznaczenia przedziału ufnosci wystarcza nam danez jednej próbki. W przypadku, gdy jej licznosc jest duza(czesto wystarczy n ≥ 30), wówczas przyjmujemy, ze roz-kład sredniej X z próbki jest zblizony do rozkładu N(µ, σ√

n ).





Do budowy przedziału ufnosci dla wartosci sredniej µ wpopulacji wykorzystamy wnioski płynace z centralnego tw.granicznego, w tym takze własnosci 1 i 2 (bedziemy zakła-dac, ze dysponujemy odpowiednio duza próba).Wyprowadzimy wzór na przedział, który z prawdopodo-bienstwem 1− α ∈ (0,1) zawierac bedzie srednia µ.Liczbe 1−α nazywamy poziomem ufnosci. Przyjmuje siez reguły, ze jest on równy 0,9 lub 0,95 (niekiedy 0,99).Do wyznaczenia przedziału ufnosci wystarcza nam danez jednej próbki. W przypadku, gdy jej licznosc jest duza(czesto wystarczy n ≥ 30), wówczas przyjmujemy, ze roz-kład sredniej X z próbki jest zblizony do rozkładu N(µ, σ√

n ).




Podstawy estymacjiWyprowadzenie przedziału ufnosci dla sredniej w populacji w przypadku duzejpróby – c.d.

Skoro X ma w przypadku duzej próby rozkład zblizony dorozkładu N(µ, σ√

n ), to zmienna losowa:

U =X − µ

σ√n

ma rozkład zblizony do rozkładu N(0,1) (o tym mniejwiecej mówi centralne twierdzenie graniczne).

Ustalmy poziom ufnosci 1− α. Niech uα bedzie kwantylemrzedu 1− α

2 rozkładu N(0,1).Wówczas dla wyzej zdefiniowanej zmiennej U zachodzi:

P(|U| < uα) = P(−uα < U < uα) ≈ 1− α.







U =X − µ

σ√n

ma rozkład zblizony do rozkładu N(0,1) (o tym mniejwiecej mówi centralne twierdzenie graniczne).Ustalmy poziom ufnosci 1− α. Niech uα bedzie kwantylemrzedu 1− α

2 rozkładu N(0,1).

Wówczas dla wyzej zdefiniowanej zmiennej U zachodzi:

P(|U| < uα) = P(−uα < U < uα) ≈ 1− α.







U =X − µ

σ√n

ma rozkład zblizony do rozkładu N(0,1) (o tym mniejwiecej mówi centralne twierdzenie graniczne).Ustalmy poziom ufnosci 1− α. Niech uα bedzie kwantylemrzedu 1− α

2 rozkładu N(0,1).Wówczas dla wyzej zdefiniowanej zmiennej U zachodzi:

P(|U| < uα) = P(−uα < U < uα) ≈ 1− α.





Po podstawieniu w miejsce zmiennej U wyrazenia X−µσ√

ni po

dokonaniu kilku przekształcen, otrzymujemy:

P(X − uασ√n< µ < X + uα

σ√n

) ≈ 1− α,

co oznacza, iz z prawdopodobienstwem równym w przy-blizeniu 1− α mozemy oczekiwac, iz przedział o podanychponizej krancach zawiera nieznany parametr µ:

X − uα ·σ√n, X + uα ·

σ√n

Uwaga: Jesli nie znamy takze parametru populacji σ,wówczas zastepujemy go przyblizeniem z próby, tj.statystyka S.




Przykład zastosowania przedziału ufnosci dla sredniej populacji

W ramach ilustracji, wyznaczymy przedział, który zawierał-by rzeczywisty udział wyborców głosujacych na PiS w wy-borach 2007 r. (zob. przykład wprowadzajacy).

Niech 1− α = 0,95, wówczas α = 0,05, α2 = 0,025,

a stad 1− α2 = 0,975. Kwantyl rzedu 0,975 rozkładu

N(0,1) jest równy 1,96 (zob. tablice dystrybuanty N(0,1)).Mamy na podstawie danych z próby (dane z sondazu):n = 1018, x = 0,35, s ≈ 0,48.Krance przedziału ufnosci dla szukanego wskaznika to:

0,35− 1,96 · 0,48√1018

; 0,35 + 1,96 · 0,48√1018

Otrzymujemy przedział [0,32; 0,38]. Mozemy wiec ocze-kiwac z prawdopodobienstwem 0,95, ze w przedziale tymznalazł sie rzeczywisty udział głosów oddanych na PiS.





W ramach ilustracji, wyznaczymy przedział, który zawierał-by rzeczywisty udział wyborców głosujacych na PiS w wy-borach 2007 r. (zob. przykład wprowadzajacy).Niech 1− α = 0,95, wówczas α = 0,05, α

2 = 0,025,a stad 1− α

2 = 0,975. Kwantyl rzedu 0,975 rozkładuN(0,1) jest równy 1,96 (zob. tablice dystrybuanty N(0,1)).

Mamy na podstawie danych z próby (dane z sondazu):n = 1018, x = 0,35, s ≈ 0,48.Krance przedziału ufnosci dla szukanego wskaznika to:

0,35− 1,96 · 0,48√1018

; 0,35 + 1,96 · 0,48√1018







2 = 0,025,a stad 1− α

2 = 0,975. Kwantyl rzedu 0,975 rozkładuN(0,1) jest równy 1,96 (zob. tablice dystrybuanty N(0,1)).Mamy na podstawie danych z próby (dane z sondazu):n = 1018, x = 0,35, s ≈ 0,48.

Krance przedziału ufnosci dla szukanego wskaznika to:

0,35− 1,96 · 0,48√1018

; 0,35 + 1,96 · 0,48√1018







2 = 0,025,a stad 1− α

2 = 0,975. Kwantyl rzedu 0,975 rozkładuN(0,1) jest równy 1,96 (zob. tablice dystrybuanty N(0,1)).Mamy na podstawie danych z próby (dane z sondazu):n = 1018, x = 0,35, s ≈ 0,48.Krance przedziału ufnosci dla szukanego wskaznika to:

0,35− 1,96 · 0,48√1018

; 0,35 + 1,96 · 0,48√1018





Przykład zastosowania przedziału ufnosci dla sredniej populacjiKomentarze do przykładu

1. W tym przykładzie szacowanym wskaznikiem był udział(lub zamiennie – odsetek) głosujacych na PiS.Uzyskalismy 95-procentowy przedział ufnosci [0,32; 0,38]lub zamiennie [32%,38%].

2. Zgodnie z Uwaga 3, ten wskaznik mozemy traktowac takzejako srednia w populacji składajacej sie z jedynek (np. gdywyborca popiera PiS) i zer (w innych przypadkach).

3. Innymi słowy, badana cecha w populacji była tu pewnacecha zero-jedynkowa, a nasze zadanie polegało naestymacji przedziałowej wartosci sredniej tej cechy.

4. Jesli chcemy w tym zadaniu skorzystac z wyprowadzonegowzoru na przedział ufnosci, nalezy takie oszacowanieoprzec na próbie liczacej co najmniej 100 elementów.


PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO -- czesc I

Documents

Transcript of PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO -- czesc I