Zam. 248/2008 Nakad 200 strona 1 (tytuowa)

POLITECHNIKA KRAKOWSKAim. Tadeusza Kociuszki

SERIA MECHANIKA

KRAKW 2008

KRZYSZTOF KARBOWSKI

PODSTAWY REKONSTRUKCJIELEMENTW MASZYNI INNYCH OBIEKTW

W PROCESACH WYTWARZANIA

MONOGRAFIA 367

strona 2 (redakcyjna)

Zam. 248/2008 Nakad 200 egz.

Druk i opraw wykonano w Dziale Poligrafii Politechniki Krakowskiej.Ark. wyd. 8. Podpisano do druku 09.01.2009 r.

Cena z 20

Copyright by Politechnika Krakowska, Krakw 2008

Copyright by Krzysztof Karbowski, Krakw 2008

WYDAWNICTWA POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ

PRZEWODNICZCY KOLEGIUM REDAKCYJNEGO

PRZEWODNICZCY KOLEGIUM REDAKCYJNEGO WYDAWNICTW NAUKOWYCH

Jan Kazior

Jzef Nizio

REDAKTOR SERII Micha Dylg

REDAKTOR NAUKOWY Jzef Gawlik

SEKRETARZ SEKCJI I OPRACOWANIE REDAKCYJNE Magdalena Sarkowicz

RECENZENCI Wojciech Kacalak, Tadeusz Markowski

ISSN 0860 - 097X

Wydawnictwo PK, ul. Podchorych 1, 30-084 Krakw; tel./fax: 012 637 42 89, 012 628 23 80e-mail: wydawnictwo pk.edu.pl www.wydawnictwo.pk.edu.pl

Adres do korespondencji: ul. Warszawska 24, 31-155 Krakw@ 5

PROJEKT OKADKI Jadwiga Mczka

Spis treci

Waniejsze oznaczenia ............................................................................................. 5 1. Wstp ................................................................................................................... 7 1.1. Cel i zakres pracy.......................................................................................... 8 2. Inynieria rekonstrukcyjna................................................................................. 11 2.1. Wprowadzenie do inynierii rekonstrukcyjnej ........................................... 11 2.2. Metody digitalizacji stosowane w inynierii rekonstrukcyjnej................... 17 2.2.1. Wsprzdnociowa technika pomiarowa ........................................ 17 2.2.2. Triangulacyjne skanowanie laserowe ............................................... 18 2.2.3. Tomografia komputerowa ................................................................ 22 2.3. Filtracja i triangulacja chmury punktw..................................................... 26 2.3.1. Charakterystyka procesu filtracji i triangulacji................................. 26 2.3.2. Triangulacja chmury punktw z wyodrbnionymi przekrojami obiektu.......................................................................... 34 2.4. Systemy inynierii rekonstrukcyjnej........................................................... 40 2.5. Podsumowanie informacji o inynierii rekonstrukcyjnej ........................... 45 3. Zastosowanie metod interpolacyjnych w inynierii rekonstrukcyjnej ............... 47 3.1. Interpolacja Sheparda ................................................................................. 48 3.2. Zmodyfikowana metoda Sheparda ............................................................. 48 3.3. Metoda odwrotnych odlegoci od punktu wzowego............................... 50 3.4. Metoda funkcji podstaw radialnych............................................................ 50 3.5. Kriging prosty ............................................................................................. 51 3.6. Kriging normalny........................................................................................ 51 3.6.1. Wariogram........................................................................................ 52 3.6.2. Modele wariogramu.......................................................................... 55 3.6.3. Kriging normalny we wsprzdnych cylindrycznych ..................... 56 3.6.4. Zastosowanie metody krigingu w interpolacji.................................. 58 3.7. Dokadno odwzorowania......................................................................... 59 3.8. Wybr metody interpolacji ......................................................................... 64 3.9. Interpolacja chmury punktw jako metoda korekcji promieniowej kocwki pomiarowej ................................................................................ 65 3.10. System inynierii rekonstrukcyjnej wykorzystujcy metod interpolacyjn .............................................................................. 72 3.11. Przykad zastosowania systemu inynierii rekonstrukcyjnej.................... 89 4. Zastosowanie metod analizy obrazw w inynierii rekonstrukcyjnej ............... 91 4.1. Metody detekcji krawdzi........................................................................... 91 4.1.1. Binaryzacja ....................................................................................... 92 4.1.2. Filtry gradientowe............................................................................. 96

4 4.1.3. Detektor Cannyego........................................................................ 99 4.1.4. Inne metody detekcji krawdzi....................................................... 102 4.1.5. Detekcja krawdzi na podstawie analizy luminancji ...................... 103 4.2. Ocena dokadnoci rekonstrukcji.............................................................. 109 4.3. Zastosowanie opracowanej metody detekcji krawdzi............................. 114 4.4. Podsumowanie metod detekcji krawdzi.................................................. 119 4.5. Algorytm budowy modelu warstwowego................................................. 120 5. Grawerowanie w systemie inynierii rekonstrukcyjnej ................................... 126 5.1. Przestrzenne odwzorowanie obrazu.......................................................... 126 5.2. Aproksymacja ptonowa ......................................................................... 127 5.3. Zastosowanie metod analizy obrazu do tworzenia odwzorowa 1-bitowych................................................................................................ 131 6. Podsumowanie ................................................................................................. 134 Literatura............................................................................................................... 136 Streszczenia........................................................................................................... 150

Waniejsze oznaczenia

A funkcja rekonstrukcji obrazu, b ilo poziomw (rozdzielczo) luminancji obrazu, B warto binarna punktu obrazu, C kowariancja, D macierz progowania pseudolosowego, DL rednica koa obliczona na podstawie luminancji, E warto oczekiwana, EP miara bdu filtracji, f funkcja interpolujca nieregularn siatk punktw, fx , fy , fxx , fxy , fyy pochodne czstkowe, F transformata Fouriera, F 1 odwrotna transformata Fouriera, gL gboko matrycy obliczona na podstawie luminancji, G gradient luminancji, h odlego przekrojw lub punktw, Hu dziedzina funkcji pochaniania promieniowania, I natenie promieniowania rentgenowskiego, Iw miara informacji wzajemnej, K maska (kernel) filtru, L luminancja (jasno) punktu obrazu, m warto rednia, p prawdopodobiestwo zdarzenia, q funkcja rzutu akumulacyjnego, r promie wodzcy, t prg binaryzacji, vr wersor normalny, w wspczynnik wagowy funkcji interpolujcej siatk punktw, z( )x, y wysoko punktu siatki prostoktnej, kt anizotropii wariogramu, miara bdu transformacji, parametr aproksymacji, wspczynnik odlegoci przekrojw, wariogram, z bd odwzorowania siatki prostoktnej, wspczynnik pokrycia przekrojw, funkcja pochaniania promieniowania, R zrekonstruowana funkcja pochaniania promieniowania, promie walca odniesienia, wspczynnik wzajemnej relacji przekrojw, funkcjona.

6

1. WSTP

Wspczesne metody projektowania wyrobw i technologii ich wykonywania wymagaj zastosowania systemw komputerowego wspomagania prac inynier-skich, takich jak projektowanie (CAD Computer Aided Designed) oraz wytwa-rzanie (CAM Computer Aided Manufacturing). A zatem projekt wyrobu powstaje przy uyciu oprogramowania do modelowania komputerowego projekt ten jest pniej wykorzystywany do opracowania technologii jego wykonania. Tradycyjne podejcie do projektowania na deskach krelarskich przechodzi ju do historii, gdy systemy komputerowe w znaczcy sposb skracaj czas przygotowa-nia produkcji, co ma decydujce znaczenie w czasach, gdy klienci daj coraz nowszych wyrobw, a konkurencja na rynku tworzy presj na obnianie cen. Inte-resujcym przykadem obrazujcym opisan powyej sytuacj jest zachowanie si rynku motoryzacyjnego. O ile jeszcze w latach szedziesitych dwudziestego wieku ten sam model samochodu mg by produkowany nawet kilkanacie lat, o tyle w chwili obecnej koncerny motoryzacyjne oferuj nowy model po szeciu latach, a niejednokrotnie w trakcie produkcji wprowadzane s zmiany konstrukcji i wygldu samochodu. Aby sprosta konkurencji na rynku, producenci staraj si ograniczy wasne koszty, midzy innymi poprzez obnienie kosztw przygotowa-nia projektu.

W tym miejscu mona zada pytanie: a co z wyrobami, ktre zostay zaprojek-towane w formie modelu na przykad przez artyst z zakresu projektowania form przemysowych, ktry nie zapisa ich w formie elektronicznej czy to oznacza, i nie da si takiego projektu zrealizowa za pomoc skomputeryzowanych systemw projektowania i wytwarzania? Rwnie i tu mona poda przykad z przemysu motoryzacyjnego. Specjalistyczne firmy przygotowuj projekt karoserii samo-chodu w postaci modelu. Model ten musi by przetworzony do postaci elektronicz-nej, inaczej mwic zdigitalizowany gdy tylko taka forma zapisu konstrukcji umoliwia opracowanie technologii produkcji samochodu.

Rozwizaniem powyszego problemu jest zastosowanie inynierii rekonstruk-cyjnej, nazywanej rwnie inynieri odwrotn (ang. reverse engineering), ktra oferuje narzdzia pozwalajce zrealizowa transformacj: model wyrobu zapis elektroniczny (model wirtualny) wyrb.

Za pocztki inynierii rekonstrukcyjnej mona by wskaza opracowanie konstrukcji frezarek-kopiarek, ktre umoliwiaj proste odwzorowanie modelu wy-robu. Natomiast termin reverse engineering jest szerzej znany z zastosowa infor-matycznych, gdzie rozumiany jest jako proces analizy systemu informatycznego majcy na celu skonstruowanie systemu o podobnym, jak najbliszym oryginaowi, dziaaniu.

8 Wedug wikipedia.org inynieria odwrotna to proces badania produktu, ktrym

moe by urzdzenie lub program komputerowy w celu ustalenia, jak on dokadnie dziaa, a take w jaki sposb i jakim kosztem zosta wykonany, co ma najczciej zaowocowa zdobyciem niezbdnych informacji do skonstruowania jego odpo-wiednika. To samo rdo podaje, jako najbardziej znane przykady zastosowania tej techniki, radziecki samolot Tu-4, bdcy kopi amerykaskiego Boeinga B-29, ktrego trzy egzemplarze przymusowo ldoway na Syberii w 1944 roku oraz radziecki komputer osobisty AGATHA, bdcy kopi komputera Apple II.

Naley tutaj zwrci uwag na wany problem, ktry najczciej jest cako-wicie pomijany w pracach na temat inynierii rekonstrukcyjnej problem posza-nowania praw twrcw odwzorowywanego modelu, ktry moe by rozpatrywany na gruncie prawa midzynarodowego (Akt sztokholmski zmieniajcy Konwencj parysk o ochronie wasnoci przemysowej) oraz prawa krajowego (Ustawa Prawo wasnoci przemysowej), definiujcych przedmioty ochrony wasnoci przemysowej, takie jak wynalazki oraz przede wszystkim wzory uytkowe, czyli nowe i uyteczne rozwizania o charakterze technicznym, dotyczce ksztatu, bu-dowy i zestawienia przedmiotu o trwaej postaci oraz wzory przemysowe, czyli nowe i o indywidualnym charakterze postacie wytworu lub jego czci, nadane mu w szczeglnoci przez cechy linii, konturw, ksztat, kolorystyk, struktur lub materia wytworu oraz przez jego ornamentacj. Stosujc inynieri rekonstruk-cyjn, naley mie rwnie na wzgldzie Ustaw o prawie autorskim i prawach pokrewnych, definiujc prawa przysugujce autorowi dziea oraz regulujce uytkowanie dziea przez autora i czerpanie z niego korzyci. Nie ulega wtpliwo-ci, e inynieria rekonstrukcyjna musi by umocowana prawnie na gruncie przy-toczonych przepisw, a jej bezkrytyczne stosowanie moe narusza prawa majt-kowe twrcw lub wacicieli praw do odwzorowywanego obiektu.

1.1. CEL I ZAKRES PRACY

Przez pojcie inynieria rekonstrukcyjna rozumiemy wiele problemw zwiza-nych gwnie z: 1) technikami pomiaru (digitalizacji) modeli, 2) metodami analizy i przetwarzania otrzymanych wynikw pomiarw, 3) technologi wykonania wyrobw.

Opis wszystkich zasygnalizowanych powyej problemw dalece wykracza poza zakres niniejszej pracy, std te skoncentrowano si na zagadnieniach analizy i przetwarzania wynikw pomiarw. Pozostae zagadnienia zostay jedynie oglnie omwione.

9 Cele prowadzenia prac badawczych, bdcych przedmiotem niniejszej mono-

grafii, mona przedstawi w dwch gwnych punktach: 1) opracowanie systemu inynierii rekonstrukcyjnej umoliwiajcego ocen i po-

praw dokadnoci wykonywania wyrobw, co znalazo odzwierciedlenie w omawianych w rozdziale 3 zagadnieniach interpolacji nieregularnej siatki wzw;

2) opracowanie metod i narzdzi informatycznych pozwalajcych na odwzorowy-wanie obiektw zobrazowanych metodami tomografii komputerowej, ktre bd konkurencyjne cenowo w stosunku do systemw komercyjnych, tak aby znala-zy one zastosowanie w polskich orodkach medycznych prace te zaowoco-way opracowaniem i wdroeniem w praktyce klinicznej metody odwzorowy-wania ubytkw koci czaszki oraz projektowania i wykonywania protez na po-trzeby zabiegu kranioplastyki. Zagadnienia te omwione zostay w rozdziale 4. Poniej przedstawiono struktur niniejszej pracy. W rozdziale 2 zdefiniowano pojcie inynieria rekonstrukcyjna oraz omwiono

poszczeglne etapy przetwarzania informacji, poczynajc od digitalizacji modelu, poprzez przetwarzanie uzyskanych wynikw pomiaru oraz budow modelu wir-tualnego. Oglnie przedstawiono metody pomiarowe stosowane w inynierii re-konstrukcyjnej. Nieco szerzej przedstawiono metod uyt w skanerze przestrzen-nym skonstruowanym w Instytucie Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Politechniki Krakowskiej, ktra znalaza zastosowanie w opracowanym przez au-tora oprogramowaniu sterujcym skanerem [67]. Ze wzgldu na bdce przedmio-tem zainteresowa naukowych autora zagadnienia odwzorowywania obiektw na podstawie danych obrazowych uzyskanych metodami tomografii komputerowej, omwiono zasad dziaania tomografu.

Zagadnienia dotyczce przetwarzania wynikw pomiarw w szczeglnoci filtracj zbioru (chmury) punktw oraz konstruowania modeli wirtualnych obiektu omwiono w rozdziale 2.3, za w rozdziale 2.4 opisywane w literaturze systemy inynierii rekonstrukcyjnej.

Rozdzia 3 prezentuje metody interpolacji geostatystycznej, ktrych zastosowa-nie w inynierii rekonstrukcyjnej zostao zbadane przez autora. Szczegowo omwiono interpolacj metod krigingu normalnego (rozdzia 3.6) oraz opraco-wan przez autora modyfikacj tej metody pozwalajc na jej zastosowanie do interpolacji danych uzyskanych skanerami przestrzennymi ze stoem obrotowym (rozdzia 3.6.3). Rozdzia 3.7 przedstawia wykonane przez autora porwnanie do-kadnoci rnych metod interpolacji geostatystycznej. Rozdzia 3.9 prezentuje opracowan przez autora metod korekcji promieniowej kocwki pomiarowej metod interpolacji krigingowej oraz porwnanie tej metody z trzema innymi opi-sanymi w literaturze. Opracowany przez autora system inynierii rekonstrukcyjnej wraz z metod oceny i poprawy dokadnoci wykonania elementw omwiony zosta w rozdziale 3.10.

10 Autor w swej pracy naukowej zajmuje si, midzy innymi, zastosowaniem

inynierii rekonstrukcyjnej w medycynie. W rozdziale 4 omwiono zagadnienia odwzorowywania koci czaszki metodami inynierii rekonstrukcyjnej, ktre znala-zy zastosowanie podczas projektowania i wykonywania protez czaszkowych na potrzeby zabiegu kranioplastyki. Opracowana przez autora metoda i program kom-puterowy detekcji krawdzi obiektw zobrazowanych metodami tomografii kom-puterowej (rozdzia 4.1.5) zostay zweryfikowane dowiadczalnie (rozdzia 4.2) oraz przeszy pozytywn weryfikacj w warunkach klinicznych (rozdzia 4.3). W rozdziale 4.5 omwiono opracowany przez autora algorytm budowy modelu warstwowego na podstawie obrazw tomografii komputerowej, pozwalajcy na obnienie kosztw modelu wykonywanego metodami szybkiego prototypowania.

Dodatkowym osigniciem zwizanym z realizowanymi przez autora pracami naukowymi z zakresu inynierii rekonstrukcyjnej s zagadnienia odwzorowywania obiektw na paszczynie, znajdujce zastosowanie w grawerowaniu. Metody te oraz opracowane przez autora oprogramowanie zostay omwione w rozdziale 5.

W rozdziale 6 przedstawiono podsumowanie i propozycje dalszych prac.

2. INYNIERIA REKONSTRUKCYJNA

Modelowanie komputerowe realizowane za pomoc systemw komputerowo wspomaganego projektowania (CAD) jest obecnie powszechnie uywan technik projektowania wyrobw przemysowych. Jest ono ponadto zintegrowane z syste-mami komputerowo wspomaganego wytwarzania (CAM), co w istotny sposb upraszcza i przyspiesza przygotowanie wyrobu do produkcji. Mona powiedzie, e w wikszoci przypadkw projekt wyrobu musi by przedstawiony w formie elek-tronicznej, gdy tylko ten zapis umoliwia szybkie przygotowanie produkcji. A co z projektami przygotowanymi w postaci modelu wyrobu co zrobi, aby mona je byo wdroy do produkcji? Istnieje zatem potrzeba automatycznego tworzenia komputerowego (wirtualnego) modelu obiektu, ktry speniaby takie same warunki jak model zaprojektowany w systemie komputerowym proces takiej rekonstrukcji jest okrelany w jzyku angielskim terminem reverse engineering [174].

W jzyku polskim czsto uywa si dosownego tumaczenia terminu reverse engineering inynieria odwrotna co nie jest dobrym okreleniem, gdy koja-rzone jest z procesem odwrotnym, czym w swej istocie inynieria odwrotna nie jest. W niniejszej pracy uyto terminu inynieria rekonstrukcyjna, gdy, zdaniem autora, znacznie lepiej oddaje on sens zagadnie wystpujcych w procesie nazy-wanym w jzyku angielskim sowami reverse engineering.

2.1. WPROWADZENIE DO INYNIERII REKONSTRUKCYJNEJ

Komputerowo wspomagane projektowanie jest procesem rozpoczynajcym si od pomysu, ktry przeksztacony zostanie w model wirtualny, a nastpnie za po-moc systemu komputerowo wspomaganego wytwarzania w materialny obiekt (ryc. 2.1a). W inynierii rekonstrukcyjnej model materialny jest mierzony, a zdigi-talizowane dane pomiarowe s przeksztacane w model wirtualny na dalszym etapie procesu system komputerowo wspomaganego wytwarzania umoliwi wyko-nanie materialnego obiektu, bdcego rekonstrukcj mierzonego modelu (ryc. 2.1b). A zatem inynieria tradycyjna przeksztaca inyniersk koncepcj i model w materialny obiekt, natomiast inynieria rekonstrukcyjna transformuje obiekt materialny do postaci modelu i koncepcji [175].

Naley zwrci uwag na fakt, i podczas odwzorowywania obiektu metodami inynierii rekonstrukcyjnej wykonywane s dwie transformacje: analogowo-cy-frowa (digitalizacja modelu) oraz cyfrowo-analogowa (wykonanie elementu) obydwie s rdem bdw procesu rekonstrukcji.

12 a)

Ryc. 2.1. Modelowanie komputerowe: a) tradycyjne, b) inynieria rekonstrukcyjna

Inynieria rekonstrukcyjna znajduje zastosowanie w wielu problemach tech-nicznych [126, 174]. Przykadowo moe ona zosta wykorzystana do opracowania dokumentacji technicznej istniejcego elementu, jeli taka dokumentacja nie jest dostpna. Co wicej, utworzona dokumentacja moe posuy do zmodyfikowania projektu. Inynieria rekonstrukcyjna jest rwnie stosowana, gdy projekt wyrobu powstaje jako model materialny. W przemyle motoryzacyjnym projektanci wyko-nuj model samochodu naturalnej wielkoci gdy model jest ju gotowy, naley go zdigitalizowa, aby mg by wykorzystany w systemie komputerowo wspoma-ganego wytwarzania. Jeszcze innym polem zastosowa inynierii rekonstrukcyjnej jej inynieria biomedyczna na przykad odwzorowywanie ksztatu koci na pod-stawie obrazw tomograficznych, ktre posu do zaprojektowania protez dosto-sowanych do ksztatu anatomicznego pacjenta.

W systemie inynierii rekonstrukcyjnej mona wyrni kilka etapw przetwarzania informacji o obiekcie, ktre pokazane zostay na ryc. 2.2.

Ryc. 2.2. Przetwarzanie informacji w systemie inynierii rekonstrukcyjnej [175]

b)

Digitalizacja

Przetwarzanie wstpne

Dopasowanie powierzchni

Budowa modelu

13 Digitalizacja inaczej mwic pozyskiwanie danych (ang. data acquisition)

to pierwszy z etapw cyklu inynierii rekonstrukcyjnej. Angielski termin data acquisition jest zwykle kojarzony z cyfrowym przetwarzaniem sygnaw analogo-wych. Rwnie w omawianym procesie mona mwi o tego typu transformacji, gdy celem digitalizacji w inynierii rekonstrukcyjnej jest zamiana sygnau analo-gowego (ksztat odwzorowywanego obiektu) w sygna cyfrowy (model wirtualny obiektu w systemie modelowania komputerowego). O procesie digitalizacji mona mwi analogicznie jak o przetworniku analogowo-cyfrowym w szczeglnoci naley zwrci uwag na dwie istotne operacje zachodzce w przetworniku, a mia-nowicie na dyskretyzacj (inaczej prbkowanie) i kwantowanie [164, 216] (ryc. 2.3).

Ryc. 2.3. Przetwarzanie informacji w systemie inynierii rekonstrukcyjnej [175]

Zgodnie z twierdzeniem o prbkowaniu [164], aby odtworzy sygna analo-gowy w postaci cyfrowej, naley go sprbkowa z czstotliwoci, co najmniej dwukrotnie wiksz ni najwiksza czstotliwo wystpujca w sygnale analogo-wym. Niespenienie powyszego twierdzenia powoduje powstanie tak zwanego aliasingu, czyli naoenia si na oryginalny sygna przebiegu o niskiej czstotli-woci (ryc. 2.4). Rwnie systemy wizyjne musz spenia wymogi twierdzenia o prbkowaniu, ktre w tym przypadku interpretowane jest tak, i fotoelement rejestratora wizyjnego musi by dwa razy mniejszy od najmniejszego szczegu obrazu. Niespenienie tego wymogu spowoduje powstanie obrazu, na ktrym mona bdzie zauway regularnie pooone jasne obszary bdce skutkiem alia-singu.

X

Y

warto zarejestrowana (sygna cyfrowy)

Sygna analogowy

x

Krok dyskretyzacji

Poz

iom

y kw

anty

zacj

i

14

Ryc. 2.4. Aliasing

Ryc. 2.5. Klasyfikacja metod digitalizacji

Przywoujc jedn z historycznych prac na temat inynierii rekonstrukcyjnej, mona poda klasyfikacj metod digitalizacji [175], ktra zostaa pokazana na ryc. 2.5. Klasyfikacja ta wynika ze sposobu interakcji pomidzy przyrzdem po-miarowym a odwzorowywanym obiektem. Oglnie mona wyrni metody bez-dotykowe wykorzystujce wiato, dwik lub pole magnetyczne oraz metody dotykowe, w ktrych nastpuje fizyczny kontakt sondy z obiektem. Dla kadej z przedstawionych metod konieczne jest przeprowadzenie odpowiedniej analizy wynikw pomiaru w celu okrelenia pooenia punktu na powierzchni odwzoro-

Metody digitalizacji

bezdotykowe dotykowe

wsprzdnociowe maszyny pomiarowe

ramiona pomiarowe

elektromagnetyczne

akustyczne

optyczne

triangulacyjne przeliczeniowe interferometryczne wiato strukturalne analiza obrazu

wartoci pomiaru

Sygna analogowy

Interpolacja sygnau cyfrowego

15 wywanego obiektu przykadowo moe to by korekcja promieniowa kocwki pomiarowej podczas pomiarw z wykorzystaniem wsprzdnociowej maszyny pomiarowej lub triangulacja w skanerze laserowym. Wszystkie z metod maj swoje wady i zalety, std te wybr metody digitalizacji zaley od cech odwzoro-wywanego obiektu oraz postawionych wymaga dotyczcych dokadnoci odwzo-rowania.

Metody elektromagnetyczne wykorzystuj fale elektromagnetyczne do digita-lizacji obiektu. W gwnej mierze s to metody tomografii komputerowej oraz rezonansu magnetycznego, ktrych gwn cech jest komputerowa analiza pro-mieniowania przechodzcego lub emitowanego przez obiekt, majca na celu ma-tematyczne zrekonstruowanie funkcji obrazujcej wewntrzne struktury obiektu. Zagadnienie tomografii komputerowej zostanie szerzej omwione w dalszej czci pracy, gdy metoda ta zostaa zastosowana przez autora w pracach badawczych dotyczcych inynierii biomedycznej.

Metody akustyczne opieraj si na pomiarze czasu przelotu fali dwikowej odbitej od obiektu. Metody te maj niewielkie znaczenie w inynierii rekonstruk-cyjnej ze wzgldu na niewielk dokadno pomiaru spowodowan pojawiajcymi si zakceniami analizowanej fali dwikowej. Niemniej jednak echolokacja sto-sowana w tworzeniu map dna morskiego moe rwnie zosta zaliczona do metod inynierii rekonstrukcyjnej, std te umieszczenie metod akustycznych w przed-stawionej klasyfikacji.

Metody optyczne cechuj si przede wszystkim du szybkoci digitalizacji: metody triangulacyjne analizuj pooenie i kt pomidzy wizk wiata

padajc na obiekt i odbit od niego [49, 67]. Wizka wiata o duej energii (najczciej wizka laserowa) pada na obiekt pod znanym ktem, a sensor optyczny obserwuje wizk odbit. Pooenie punktu odbicia wizki obliczane jest z wykorzystaniem analizy ktw triangulacji. Triangulacja cechuje si du szybkoci digitalizacji, natomiast dokadno zaley od rozdzielczoci sensora optycznego oraz odlegoci obiektu od skanera wedug danych produ-centw tego typu urzdze bd pomiaru wynosi 0,05 mm;

metody przeliczeniowe mierz odlego pomidzy skanerem a punktem na powierzchni obiektu poprzez pomiar czasu przelotu wizki wiata na drodze rdo wiata obiekt detektor;

metody interferometryczne w ktrych informacja o obiekcie przestrzennym jest zakodowana w postaci dwuwymiarowego obrazu prkowego [134];

wiato strukturalne metoda polega na projekcji wzorca wietlnego na po-wierzchni skanowanego obiektu i analizie odbitego obrazu. Popularn metod tego typu jest metoda prkw mory [81, 185] wzorzec interferencyjny jest rzutowany na powierzchni obiektu, na ktrym tworzy wietlne linie konturowe. Obraz owietlonego obiektu jest analizowany w celu okrelenia odlegoci po-midzy liniami odlego ta jest proporcjonalna do wysokoci powierzchni w analizowanym punkcie, co stanowi podstaw do obliczenia wsprzdnych

16 punktu. Metoda wiata strukturalnego cechuje si du szybkoci digitalizacji, lecz wymaga skomplikowanej analizy geometrycznej w celu okrelenia wsp-rzdnych punktw;

analiza obrazu gwnym celem metod analizy obrazu stosowanych w iny-nierii rekonstrukcyjnej jest wykrycie krawdzi obiektu odwzorowanego na obra-zie, ktry moe by przykadowo cyfrowym zdjciem obiektu lub obrazem uzyskanym metodami tomografii komputerowej, rezonansu magnetycznego lub ultrasonografii metody analizy obrazu zostan opisane szczegowo w dalszej czci pracy, gdy zostay wykorzystane przez autora w pracach dotyczcych in-ynierii biomedycznej. Metody dotykowe to w gwnej mierze pomiary z zastosowaniem wsprzd-

nociowych maszyn pomiarowych cechujcych si najlepsz z opisanych metod dokadnoci pomiaru, ale jednoczenie jego niewielk szybkoci [148].

Przetwarzanie wstpne dane o obiekcie uzyskane wymienionymi wczeniej metodami digitalizacji wymagaj zwykle przetworzenia w sposb umoliwiajcy ich wykorzystanie przez system modelowania komputerowego. W zalenoci od metody digitalizacji przetwarzanie to moe dotyczy, na przykad, korekcji pro-mieniowej kocwki pomiarowej dla wynikw skanowania uzyskanych na wsp-rzdnociowej maszynie pomiarowej lub te filtracji i redukcji iloci punktw bdcych wynikiem pomiaru skanerem laserowym zagadnienia przetwarzania wstpnego zostan szerzej omwione w dalszej czci pracy.

Dopasowanie powierzchni zdigitalizowane i przetworzone wstpnie punkty stanowi podstaw do zbudowania modelu powierzchni obiektu z zastosowaniem systemw komputerowo wspomaganego projektowania.

Systemy modelowania komputerowego mona podzieli na trzy podstawowe grupy. Podzia ten wynika z uytych do opisu modelu form geometrycznych: systemy modelowania bryowego zapis ksztatu modelu przedstawiony jest

w formie opisu bryy, czyli powierzchni i jej wntrza, co mona porwna do formowania przez artyst rzeby z gliny;

systemy modelowania powierzchniowego ksztat modelu oddawany jest przez opis jego powierzchni. Analogi moe tu by wykonywanie modeli kartono-wych, co tylko pozornie jest zajciem jedynie dla hobbistw, gdy sposoby optymalnego rozkroju i formowania tego typu modeli s przedmiotem rozpraw naukowych [123, 158];

systemy modelowania hybrydowego czce w sobie cechy zarwno modelo-wania bryowego, jak i powierzchniowego. Projektowanie w tego typu systemie umoliwia wykonanie fragmentu modelu metod bryow i uzupenienie go mo-delem powierzchniowym. Dowiadczenie autora wskazuje, i w inynierii rekonstrukcyjnej stosowane jest

przede wszystkim modelowanie powierzchniowe.

17 W celu opisu powierzchni wykorzystywane s metody matematyczne z zakresu

rachunku wektorowego oraz geometrii rniczkowej, pozwalajce zdefiniowa elementy modelu, ktrymi s krzywe i powierzchnie.

Oprcz takich krzywych, jak okrg czy elipsa, do modelowania stosowane s parametryczne krzywe trzeciego stopnia, ktrymi s krzywe Hermitea, Beziera, krzywe sklejane (B-spline) oraz NURBS (ang. Non Uniform Rational B-Spline). Z kolei do opisu powierzchni stosowane s powierzchnie Coonsa, Hermitea, Beziera, NURBS oraz parametryczne powierzchnie bikubiczne. Szczegowy opis wymienionych rodzajw krzywych i powierzchni znale mona w pracy [77]. Praktyczne aspekty ich wykorzystania opisuj prace [2, 107].

Jakkolwiek w niektrych pracach z zakresu inynierii rekonstrukcyjnej mona znale opis zastosowania krzywych i powierzchni parametrycznych do odwzoro-wania ksztatu modelu poprzez ich dopasowanie do zbioru (chmury) punktw, bdcych wynikiem digitalizacji [6, 10, 29, 33, 48, 53, 59, 88, 92, 93, 95, 112, 119, 132, 140, 172, 200, 202, 205, 213], niemniej jednak stosowane s one do bardzo wskiej klasy powierzchni. Z dowiadcze autora wynika, i podstawowym sposo-bem odwzorowania ksztatu modelu jest zbudowanie powierzchni fasetkowej ska-dajcej si z przylegajcych do siebie trjktw. Proces ten nazywany jest triangu-lacj (wystpuje tu wieloznaczno nazwy, gdy tym samym terminem okrelana jest procedura wyznaczania pooenia punktu poprzez pomiar ktw, stosowana w skanerach laserowych) i opisany zosta w dalszej czci pracy.

System inynierii rekonstrukcyjnej czsto czony jest z systemem szybkiego prototypowania (ang. rapid prototyping), tworzc narzdzie do szybkiego przygo-towania produkcji [19, 96].

2.2. METODY DIGITALIZACJI STOSOWANE W INYNIERII REKONSTRUKCYJNEJ

W rozdziale tym zostan scharakteryzowane najczciej stosowane w inynierii rekonstrukcyjnej metody digitalizacji obiektw. Jedna z metod tomografia kom-puterowa bdzie omwiona obszerniej ze wzgldu na jej zastosowanie w pracach prowadzonych przez autora i dotyczcych odwzorowywania koci czaszki na pod-stawie obrazw tomograficznych. Prace te zaowocoway opracowaniem i wdroe-niem w praktyce klinicznej technologii projektowania protez czaszkowych na potrzeby zabiegu kranioplastyki.

2.2.1. Wsprzdnociowa technika pomiarowa

Wsprzdnociowa technika pomiarowa charakteryzuje si odmienn od kla-sycznej metrologii strategi pomiarow [147]. Opiera si ona na przetworzonych komputerowo informacjach pomiarowych w postaci dyskretnej i umoliwia wy-

18 znaczenie wymiarw przestrzennie uksztatowanych czci maszyn, ze stosunkowo wysok dokadnoci. Technika ta charakteryzuje si procedurami pomiarowymi opartymi na wartociach wsprzdnych punktw std te jej zastosowanie w inynierii rekonstrukcyjnej.

Jednym z wanych zespow wsprzdnociowej maszyny pomiarowej jest gowica pomiarowa, dziki ktrej moliwe jest umiejscowienie punktu pomiaro-wego w przestrzeni maszyny. Sygna wysyany przez gowic pomiarow umoli-wia odczytanie wsprzdnych lokalizowanego punktu. Gowice pomiarowe mona podzieli na dwa typy [147]: stykowe i bezstykowe, w zalenoci od tego czy po-miar nastpuje przez doprowadzenie gowicy do styku jej trzpienia pomiarowego z mierzonym przedmiotem, czy te lokalizacja punktu odbywa si bezstykowo, na przykad na zasadzie wykorzystania wizki wiata [148]. Do gowic stykowych zalicza si [147]: gowice sztywne, ktre wymagaj obsugi operatora, ktry wyzwala rcznie

impuls po stwierdzeniu, e nastpi styk gowicy z mierzonym przedmiotem; gowice przeczajce, w ktrych po wystpieniu styku kocwki trzpienia

z mierzon powierzchni nastpuje wychylenie trzpienia i wysanie impulsu do ukadu sterujcego maszyny pomiarowej;

gowice mierzce (skaningowe) warto wychylenia trzpienia pomiarowego jest wyznaczana na podstawie sygnaw pochodzcych z przetwornika pomia-rowego gowicy. W przeciwiestwie do pomiarw dynamicznych za pomoc gowicy przeczajcej, pomiar gowic mierzc nastpuje w warunkach sta-tycznych z nastawialnym naciskiem i bez udziau si nacisku. Zasada dziaania takiej gowicy polega na tym, e styk kocwki pomiarowej z przedmiotem jest rejestrowany przez indukcyjne przetworniki pomiarowe. Sygna indukcyjnego systemu pomiarowego gowicy dodawany jest do wartoci wsprzdnych poo-enia gowicy zarejestrowanych przez sterownik maszyny i tak powstaa suma jest wartoci wsprzdnych pooenia kocwki pomiarowej. Gowice tego typu umoliwiaj pomiar skanujcy, a zatem wykorzystywane s podczas digi-talizacji obiektw na potrzeby inynierii rekonstrukcyjnej. Podczas pomiarw za pomoc opisanych powyej gowic naley zwrci uwag

na istotne zagadnienie, jakim jest to, i kocwka pomiarowa ma niezerow red-nic. Tak wic wynikiem pomiaru s wsprzdne rodka kocwki, a nie wsp-rzdne jej styku z powierzchni mierzon, ktre wymagaj obliczenia (ryc. 3.13). Zagadnienie to, noszce nazw korekcji promieniowej kocwki pomiarowej, zostao opisane w dalszej czci pracy.

2.2.2. Triangulacyjne skanowanie laserowe

Dziaanie triangulacyjnych skanerw laserowych opiera si na analizie pooe-nia ladu wizki laserowej padajcej na obiekt (ryc. 2.6).

19

Ryc. 2.6. Schemat pracy skanera triangulacyjnego [67]

Aby obliczy wsprzdne ladu wizki laserowej na obiekcie, naley zrzuto-wa lad teje wizki zarejestrowany przez przetwornik optoelektroniczny (na przykad kamer CCD) na paszczyzn wizki laserowej, co przedstawiono na ryc. 2.7 poniej zostan opisane przeksztacenia trygonometryczne, wykorzystane

Ryc. 2.7. Schemat przeksztace geometrycznych w skanerze triangulacyjnym [67]

X(0)

Y(0)

X(1) = X(2)

Z(1) = Z Z(2)

X(Zd)

Y(Zd)

P(x, y, z)

X

Y

Y(0)

Pp(xp, yp, zp)

Obraz z przetwornika

Paszczyzna obrazu

wr

nr

Laser

lad wizki na obiekcie

Obraz zarejestrowany

przez przetwornik CCD

lad wizki na obrazie

Skanowany obiekt

Paszczyzna wizki

20 w oprogramowaniu skanera laserowego skonstruowanego na Politechnice Kra-kowskiej [67].

Skanowany obiekt usytuowany jest na obrotowym stole. rdo wizki laserowej umieszczone jest na kolumnie i przesuwa si rwnolegle do osi Z. Obraz obiektu rejestrowany jest przez kamer CCD.

Oznaczenia na rycinie 2.7: X(0)Y(0)Z(0) ukad wsprzdnych obiektu; o Z(0) pokrywa si z osi obrotu stou

skanera; o wizki lasera biegnie w paszczynie X(0)Y(0) i jest rw-nolega do osi X(0);

XYZ gwny ukad wsprzdnych; osie X, Y oraz Z s rwnolege do osi X(0), Y(0) i Z(0); w zwizku z tym, e odlego pomidzy tymi uka-dami wsprzdnych nie wpywa na wyniki analizy ksztatu, obiektu mona przyj, e osie obydwu ukadw pokrywaj si, to znaczy: X = X(0), Y = Y(0), Z = Z(0);

kt skrcenia ukadu X(1)Y(1)Z(1) wzgldem ukadu XYZ; X(2)Z(2) ukad wsprzdnych paszczyzny obrazu zarejestrowanego przez

przetwornik; kt skrcenia paszczyzny obrazu wzgldem ukadu X(1)Y(1)Z(1); X(Zd)Y(Zd) ukad wsprzdnych obrazu; kt nachylenia osi X(Zd) wzgldem osi X(2); wr wektor przesunicia lewego dolnego rogu obrazu wzgldem po-

cztku ukadu X(2)Z(2); nr wektor normalny do paszczyzny obrazu; Pp rzut zarejestrowanego przez przetwornik ladu wizki laserowej na

powierzchni skanowanego obiektu; P rzut punktu Pp na paszczyzn obrazu.

Program znajduje lad wizki laserowej uwidoczniony na zarejestrowanym obrazie: Pp(Zd)(x(Zd), y(Zd)).

Na tej podstawie obliczane s wsprzdne punktu Pp wedug nastpujcych wzorw:

( )[ ]( )[ ] yZdyZdZdZd

xZd

xZdZdZd

dsyyxz

dsyyxx

+=

+=)()()(

max)()2(

)()()(max

)()2(

cossin

sincos

(2.1)

gdzie: )(max

Zdy maksymalna warto wsprzdnej y obrazu, )()( , Zdy

Zdx ss wspczynniki skali obrazu [mm/punkt],

dx , dy wsprzdne wektora w.

21 W dalszej kolejnoci naley dokona transformacji obliczonego punktu na

wsprzdne ukadu XYZ.

)1(

)1()1(

)1()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

cossin

sincos

cos

sin

zz

yxy

yxx

zz

zy

xx

=

+=

=

=

=

=

(2.2)

Nastpnie naley wyznaczy pooenie punktu Pp . W tym celu trzeba obliczy wsprzdne punktu przebicia paszczyzny wizki lasera prost przechodzc przez punkt P; prosta jest prostopada do paszczyzny obrazu:

[ ]

sincos

coscos

sin

,,

=

=

=

=

z

y

x

zyx

n

n

n

nnnn

(2.3)

Wsprzdne punktu przebicia:

tnzz

tnyy

tnxx

zp

yp

xp

=

=

=

(2.4)

gdzie:

yn

yt = (2.5)

Obliczone wsprzdne s wsprzdnymi ladu wizki laserowej na obiekcie. Opisany powyej skaner jest skanerem punktowym konstruowane s rwnie

skanery liniowe, ktre owietlaj obiekt wizk w ksztacie linii prostej, ktrej lad jest analizowany przez oprogramowanie skanera, co w znaczcy sposb przyspie-sza proces skanowania.

22 Zagadnienia zwizane z konstrukcj i eksploatacj skanerw przestrzennych s

te opisywane w literaturze. Xi i Shu [195] oraz Lee, Park i Son [99] opisuj metody planowania optymal-

nego przebiegu procesu skanowania za pomoc skanerw laserowych. Podobne zagadnienia poruszaj rwnie Son, Park i Lee [165] oraz Shio, Lin i Chang [161].

Shiou i Chen [162] prezentuj zastosowanie skanera laserowego do digitalizacji powierzchni o zoonym zarysie w 3-osiowym centrum frezarskim. Skaner lase-rowy wsppracuje z sond dotykow w celu zwikszenia dokadnoci pomiaru.

Autorzy pracy [56] zauwaaj, e typow procedur pomiarow skanera lase-rowego jest dokonywanie odczytu wsprzdnych w rwnych odstpach pomidzy kolejnymi punktami. Proponuj wic zastosowanie opracowanej przez nich metody pomiaru z adaptacyjnie dobieranym krokiem.

Zexiao i inni [207] opisuj dziaanie 5-osiowego skanera laserowego, ktry zintegrowany jest ze wsprzdnociow maszyn pomiarow wyposaon w in-deksowany st obrotowy, co pozwala na pomiary elementw o zoonym zarysie, z jednoczesnym zapewnieniem optymalnego padania wizki lasera na powierzch-ni skanowanego elementu.

Sansoni i Docchio [153] prezentuj zastosowanie skanera laserowego w syste-mie inynierii rekonstrukcyjnej, pokazujc przykad odwzorowania zabytkowego samochodu osobowego. W innym artykule [154] opisuj ten sam, co poprzednio skaner dziaajcy w systemie inynierii rekonstrukcyjnej, przeznaczonym do wielu rnych zastosowa, poczynajc od przemysu motoryzacyjnego, a do zastosowa w inynierii biomedycznej.

Fan i Tsai [36] przedstawiaj system pomiarowy skadajcy si skanera lasero-wego i dwch kamer CCD, ktry jest uywany do odwzorowywania powierzchni obiektw o zoonym zarysie.

Analiza bdw pomiarw dokonywanych skanerami laserowymi zostaa przed-stawiona w pracy [38].

2.2.3. Tomografia komputerowa

Pocztki tomografii komputerowej sigaj lat pidziesitych dwudziestego wieku i prac Allana MacLeoda Cormacka oraz Godfreya Newbolda Hounsfielda. Tomografia komputerowa pozwala na zobrazowanie przekrojw obiektu w tym celu wykonywana jest komputerowa analiza promieniowania rentgenowskiego przechodzcego przez badane struktury.

Schemat pracy jednego z pierwszych tomografw [27] tak zwanego tomografu z wizk rwnoleg (tomografu pierwszej generacji) pokazany jest na ryc. 2.8. Lampa rentgenowska wysya wizk promieniowania X, ktre przechodzi przez obiekt i jest rejestrowane przez detektor. Nastpnie ukad lampa-detektor przesuwa si do nastpnego pooenia i wykonywana jest kolejna projekcja pro-

23 mieniowania. Cykl ten jest powtarzany wielokrotnie, a do przewietlenia caego przekroju obiektu. Kolejnym etapem pracy tomografu jest obrt ukadu lampa- -detektor o kt i powtrzenie kolejnych projekcji wraz z przesuwem ukadu. Obrt ukadu powtarzany jest tak dugo, a nastpi wypenienie projekcjami kta 180.

Ryc. 2.8. Schemat pracy tomografu pierwszej generacji

Przekrj obiektu mona opisa funkcj pochaniania promieniowania (x, y). Wizka promieniowania X przechodzca przez obiekt zostanie czciowo pocho-nita, a pozostae promieniowanie zarejestruje detektor. Po wykonaniu skanowania przekroju promieniowanie zarejestrowane przez detektor moe zosta przedsta-wione w postaci funkcji q(, s), zwanej funkcj rzutw akumulacyjnych. Pocha-nianie wizki promieniowania podczas jej przechodzenia przez obiekt wzdu drogi U mona zdefiniowa wzorem [27]:

=

U

duyx

eIUI 0),(

)0()(

(2.6)

gdzie: I(0) pocztkowe natenie promieniowania X, I(U) natenie promieniowania X po przejciu drogi o dugoci U, (x, y) funkcja pochaniania promieniowania przez obiekt.

X

Y

s

(x, y)

lampa

detektor

q(, s)

24 Funkcj rzutu akumulacyjnego mona przedstawi nastpujco [27]:

25 a) b)

Ryc. 2.9. Schematy tomograficznych metod rekonstrukcyjnych dla wizki rwnolegej [27, 135, 141]

Pierwsza z metod filtracji i wstecznej projekcji dokonuje filtracji rzutw akumulacyjnych, ktre nastpnie poddawane s wstecznej projekcji. Filtry uy-wane w tej metodzie, zwane filtrami lub kernelami rekonstrukcyjnymi, omwione zostay w pracach [27, 121].

Metoda inwersji fourierowskiej wykorzystuje twierdzenie mwice o tym, e rekonstrukcja funkcji moe zosta dokonana przez zoenie widm czstotliwo-ciowych rzutw akumulacyjnych.

Rozwj tomografii spowodowa opracowanie konstrukcji tomografw z wizk uformowan w wachlarz oraz spiralnych tomografw wielorzdowych, ktrych za-sadnicz rnic w stosunku do aparatw z wizk rwnoleg jest znaczce skr-cenie czasu badania. Niemniej jednak opisane powyej algorytmy rekonstrukcyjne nadal s uywane, gdy algorytmy dla nowoczesnych tomografw jedynie prze-ksztacaj uzyskane projekcje do postaci akceptowanej przez algorytmy opraco-wane dla wizki rwnolegej.

Projekcje

qp(s, p)

Filtracja

qpf (s, p)

Wsteczna projekcja

R(x, y)

Projekcje

qp(s, p)

Transformacja Fouriera

F1{qp(s, p)}

Qp(f, p) Odwzorowanie widm projekcji w przestrzeni dwuwymiarowej

f1

f2

M(f1, f2)

Odwrotna dwuwymiarowa transformacja Fouriera

F21{M(f1, f2)}

R(x, y)

a) Filtracja i wsteczna projekcja metoda ta ma dwie odmiany: w pierwszej filtracja wykony-wana jest jako splot projekcji z funkcj filtru; w drugiej projekcje poddawane s transfor-macji Fouriera, filtrowane w dziedzinie czsto-tliwoci, a nastpnie przeksztacane odwrotn transformacj Fouriera;

b) Rekonstrukcja z inwersj fourierowsk. Pk widm wymaga interpolowania do postaci siatki prostoktnej, aby mona go byo podda odwrotnej dwuwymiarowej transformacji Fouriera.

26 Podstawowym przeznaczeniem tomografw komputerowych jest wykonywanie

bada obrazowych, std te aspekty dokadnoci odwzorowania, jakkolwiek wane nie maj znaczenia pierwszoplanowego. W niniejszej pracy tomograf traktowany jest jednak jako urzdzenie do digitalizacji obiektw, a wic problemy dokadnoci rekonstrukcji maj istotne znaczenie. W dalszej czci opisano zastosowanie tomo-grafii komputerowej do odwzorowywania ksztatu i wymiarw koci czaszki w celu pniejszego zaprojektowania i wykonania protez ubytkw czaszkowych. Tomograf zosta wic zastosowany jako urzdzenie pomiarowe w procesie inynie-rii rekonstrukcyjnej.

2.3. FILTRACJA I TRIANGULACJA CHMURY PUNKTW

2.3.1. Charakterystyka procesu filtracji i triangulacji

Techniki skanowania uywane w inynierii rekonstrukcyjnej (w szczeglnoci wykorzystujce przestrzenne skanery laserowe) generuj ogromne iloci punktw, co powoduje, i analiza zbioru punktw (chmury punktw) liczcej tysice, a na-wet setki tysicy punktw, staje si powanym problemem. Std te opracowanie wydajnych algorytmw redukujcych liczb punktw przy zachowaniu wymaganej dokadnoci odwzorowania obiektu jest jednym z wanych problemw w syste-mach inynierii rekonstrukcyjnej. Rwnie istotnym aspektem przetwarzania chmury punktw jest filtracja, ktrej celem jest usunicie lub zmniejszenie szu-mw (bdw) pomiarowych. W dalszej czci pracy wymienione powyej aspekty przetwarzania zbioru punktw bd nazywane metodami filtracji chmury punktw.

Analiza cech nieuporzdkowanej chmury punktw jest zwykle trudna, std te wikszo algorytmw filtracji wymaga uporzdkowania zbioru, najczciej doko-nujc triangulacji przez pojcie to rozumiemy budowanie modelu powierzchnio-wego skanowanego obiektu w postaci zbioru trjktw, ktrych wierzchoki s punktami chmury. Z tego wzgldu zagadnienia filtracji cile cz si z metodami konstruowania modeli powierzchniowych skanowanych obiektw.

W niniejszym rozdziale zaprezentowano wybrane przez autora metody filtracji opisywane w literaturze oraz stosowane w systemach komputerowo wspomaga-nego projektowania metody przetwarzania chmury punktw cz z nich szerzej opisano; pozostae jedynie zasygnalizowano.

Metody filtracji chmury punktw mona podzieli nastpujco: metody analizujce uporzdkowane zbiory punktw, takie jak:

punkty uporzdkowane wzdu cieek pomiarowych, punkty bdce wierzchokami powierzchni fasetkowych (ang. tesselation

surface), metody analizujce nieuporzdkowane zbiory (chmury) punktw.

27 Powierzchnie fasetkowe budowane s z trjktw, ktrych wierzchoki s punk-

tami chmury, std te proces ten nazywany jest triangulacj [143]. Opracowany zosta specjalny standard zapisu powierzchni fasetkowych, zwany formatem STL Stereolithography Interface Specification [1]. Kady z trjktw definiowany jest poprzez wektor normalny do paszczyzny trjkta, ktrego zwrot skierowany jest na zewntrz opisywanej bryy oraz wsprzdne trzech wierzchokw uporzd-kowanych prawoskrtnie (uwzgldniajc zwrot wektora normalnego) (ryc. 2.10a). Ponadto struktura trjktw musi spenia regu pokazan na ryc. 2.10b i c kady trjkt musi mie wsplne dwa punkty z wszystkimi przylegajcymi trj-ktami.

Zagadnienia zwizane z tworzeniem zapisu powierzchni w formacie STL i ich zastosowaniem w inynierii rekonstrukcyjnej poruszane s midzy innymi w pra-cach [20, 58, 114, 194, 212].

a) wektor normalny b) nieprawidowy ukad c) prawidowy ukad

Ryc. 2.10. Reguy zapisu w formacie STL [1]

Zarwno filtracja, jak i triangulacja chmury punktw wymagaj zdefiniowania miary bdu wykonywanej operacji najczciej jest to strzaka ciciwy (ang. chordal deviation), ktra definiowana jest nastpujco [12]: strzaka ciciwy na krzywej (ang. curve chordal deviation) najwiksza

odlego pomidzy aman, ktrej wzy le na krzywej (mierzona wzdu normalnej do amanej) oraz punktem lecym na tej krzywej (ryc. 2.11),

strzaka ciciwy na powierzchni (ang. surface chordal deviation) najwiksza odlego pomidzy fasetkami (trjktami), ktrych wierzchoki le na powierzchni (mierzona wzdu normalnej do paszczyzny fasetki) oraz punktem na tej powierzchni.

Ryc. 2.11. Strzaka ciciwy (d)

Jedna z najprostszych metod filtracji nieuporzdkowanego zbioru (chmury) punktw zostaa zastosowana w module Digitized Shape Editor systemu CATIA [12].

P1

P2 P3

nr

d

28 Metoda filtracji jednorodnej wymaga podania rednicy sfery, ktra nastpnie przesuwana jest pomidzy kolejnymi punktami chmury wszystkie punkty znaj-dujce si wewntrz sfery (z wyjtkiem rodka sfery) s usuwane ze zbioru.

Kolejn metod filtracji stosowan w systemie CATIA jest metoda nazywana filtracj adaptacyjn, ktra wymaga podania wartoci strzaki ciciwy. Program kolejno analizuje punkty chmury i ich otoczenie, a nastpnie eliminuje te, dla kt-rych warto strzaki ciciwy jest mniejsza od podanej.

Prosty i jednoczenie wydajny algorytm triangulacji chmury punktw zastoso-wano w systemie CATIA [12]. Algorytm przesuwa si pomidzy punktami chmury i poszukuje punktw ssiednich, a nastpnie tworzy powierzchni fasetkow w ten sposb, aby dugoci bokw utworzonych trjktw nie byy wiksze od wartoci bdcej parametrem algorytmu.

W pracach [20, 21] zaprezentowano metody triangulacji i filtracji uporzdko-wanego zbioru punktw, bdcego wynikiem pomiaru skanujcego za pomoc maszyny wsprzdnociowej. Problem jest stosunkowo prosty, gdy algorytm triangulacji polega na analizie dwch ssiednich cieek pomiarowych i czeniu punktw z uwzgldnieniem ogranicze formatu STL. Pniejsza filtracja ma na celu znalezienie punktw lecych na jednej paszczynie (lub w niewielkiej odle-goci od niej) i ich usuniecie. W tym celu zastosowano nastpujcy algorytm: 1) znajd wszystkie trjkty, ktrych wierzchokiem jest analizowany punkt, 2) dla jednego z trjktw oblicz wektor normalny i przyjmij, i jest to wektor

odniesienia

U , a nastpnie kolejno oblicz rnice tego wektora i wektorw

normalnych do pozostaych trjktw:

= UVUV ii , 3) transformuj obliczone wektory wedug wzoru:

kjikji ++=++=

cbaVUcbaUV ii (2.11)

4) oblicz sum

W transformowanych wektorw, 5) jeeli warto

nVnWd ||

= (2.12)

jest niewielka dla rozwaanego punktu, wtedy punkt ten moe by usunity zaley to od przyjtego stopnia filtracji, ktry definiowany jest procentowo, to znaczy przykadowo, jeeli naley usun 10% punktw, wtedy punkty o war-tociach wspczynnika d mieszczcych si w zakresie pocztkowych 10% uszeregowanych rosnco wartoci powyszego wspczynnika s usuwane.

29 W tych samych artykuach opisano kolejn metod filtracji polegajc na anali-

zie grupy przylegajcych trjktw, nazywanych patem powierzchni, ktry za-wiera k trjktw i N punktw. Niech in

r bdzie wektorem normalnym do i-tego trjkta, a Si jego polem powierzchni. Ponadto niech S bdzie sum pl po-wierzchni Si wszystkich trjktw. Wektor zdefiniowany jako:

=

=k

ii

i nSSn

1

(2.13)

okrela wypadkowy wektor normalny do pata powierzchni im wiksze pole trj-kta, tym wikszy udzia jego wektora normalnego w definicji wektora wypadko-wego. Gdy wykorzystuje si wektor wypadkowy, definiowany jest najmniejszy prostopadocian zawierajcy analizowany pat powierzchni (ryc. 2.12). a) b)

Ryc. 2.12. Prostopadocian zawierajcy analizowany pat powierzchni:

a) przed filtracj, b) po filtracji [20]

Mona zdefiniowa wielko bdc miar bdu filtracji (ang. bounded error):

abp DDE = (2.14)

gdzie Db i Da s odpowiednio wysokociami prostopadocianu przed i po filtracji. Usuwanie punktw (wierzchokw) trjktw pata powierzchni prowadzone jest w ten sposb, aby nie przekroczy dopuszczalnej wartoci bdu filtracji.

Autorzy pracy [97] przedstawili kilka metod filtracji chmury, dokonujc ich podziau na metody wykorzystujce regularn (ang. uniform grid) i nieregularn (ang. non-uniform grid) siatk punktw.

Jako pierwszy przykad zastosowania regularnej siatki punktw wymieniaj metod opracowan podczas realizacji projektu Copernicus [116].

Ilo punktw jest zmniejszana poprzez przypisanie punktw do elementw regularnej siatki (ryc. 2.13), a nastpnie wybranie jednego reprezentatywnego punktu

nr

nr

Db Da

30 z kadego elementu siatki. Ilo punktw po redukcji chmury zaley od wielkoci elementw siatki. Reprezentatywnym punktem elementu siatki jest ten, dla ktrego warto z jest median wysokoci wszystkich punktw elementu siatki. Mona zatem mwi o zastosowaniu filtra medianowego [164, 170].

Segment regularnej siatki punktw

Punkty rzutowanena paszczyzn

Punkty pomiarowe

z (w

ysok

o )

Ryc. 2.13. Metoda regularnej siatki wzw [97]

W drugiej grupie metod nieregularnej siatki punktw autorzy wyodrbnili metody siatek jedno- i dwukierunkowych.

Jako przykad metody jednokie-runkowej nieregularnej siatki punktw (ang. one-directional non-uniform grid) autorzy przedstawili metod odchyki kta (ryc. 2.14), ktra przeznaczona jest do filtracji chmury punktw, z wyodrbnionymi rwnolegymi cie-kami pomiarowymi.

Metoda ta polega na analizie wartoci ktw pomidzy wektorami

utworzonymi przez kolejne punkty cieki pomiarowej kt jest miar krzywizny w punkcie. Punkty o duej wartoci odchyki kta reprezentuj obszary o duej krzywinie i nie mog zosta usunite z chmury punktw, gdy miaoby to wpyw na dokadno odwzorowania obiektu. Punkty te utworz granice elementw nie-rwnomiernej siatki wzw (ryc. 2.15). Elementy siatki mog zosta podzielone na mniejsze segmenty w zalenoci od wstpnie przyjtych parametrw dotycz-cych wielkoci siatki punktw. W nastpnym kroku stosowany jest filtr media-nowy, analogicznie jak w poprzednio opisanej metodzie siatki rwnomiernej.

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

A

B

Ryc. 2.14. Metoda odchyki kta [97]

(x1 , y1)

(x2 , y2)

(x3 , y3)

31

Ryc. 2.15. Jednokierunkowa nierwnomierna siatka punktw [97]

Autorzy wspomnianego artykuu [97] zaprezentowali opracowan przez nich

metod filtracji chmury punktw wykorzystujc dwukierunkow nierwnomiern siatk punktw. W pierwszej kolejnoci budowana jest powierzchnia skadajca si z trjktw czcych ssiednie punkty, a nastpnie dla kadego trjkta obliczany jest wektor normalny. W kolejnym kroku dla kadego punktu obliczany jest wektor wypadkowy w tym celu wykorzystywane s wektory normalne ssiednich trj-ktw (ryc. 2.16).

N

Ryc. 2.16. Obliczanie wektora normalnego [97]

W zalenoci od obliczonych wektorw dla kadego punktu tworzona jest dwukierunkowa siatka punktw, ktrej rozmiar jest wstpnie przyjty i zaley od przyjtego stopnia redukcji iloci punktw. Poszczeglne punkty s rzutowane na paszczyzn siatki i przyporzdkowywane poszczeglnym jej segmentom, a na-stpnie obliczane jest odchylenie standardowe wartoci wektorw normalnych punktw nalecych do poszczeglnych elementw siatki (w opisie algorytmu autorzy nie precyzuj, co to znaczy, std te nie jest pewne czy obliczana jest miara

32 zmiennoci dugoci wektorw, czy te innych parametrw okrelajcych ich kie-runek). W zalenoci od obliczonych wartoci podejmowana jest decyzja o ko-niecznoci podziau danego elementu siatki na cztery mniejsze im wiksza warto odchylenia standardowego, tym bardziej skomplikowany ksztat opisuje analizowana grupa punktw, z czego wynika konieczno podziau elementu na mniejsze czci (ryc. 2.17). Proces podziau dokonywany jest a do osignicia przyjtej wartoci odchylenia standardowego lub minimalnej wielkoci elementu siatki prostoktnej. Po zakoczeniu procesu tworzenia dwukierunkowej nierwno-miernej siatki punktw wybierany jest reprezentatywny punkt dla kadego ele-mentu siatki w tym celu wykorzystywany jest filtr medianowy (podobnie jak w dwch poprzednio opisanych metodach).

Rozwinicie powyszej metody opisano w pracy [98]. Zaprezentowana metoda jest przestrzennym uoglnieniem metody dwukierunkowych siatek nierwnomier-nych (ktra zostaa opracowana dla zagadnie dwuwymiarowych) (ryc. 2.18).

Ryc. 2.17. Dwukierunkowa nierwnomierna Ryc. 2.18. Przestrzenna nierwnomierna

siatka punktw [97] siatka punktw [98]

Zastosowanie metod analizy obrazw, takich jak przeksztacenia morfologiczne [170], do filtracji chmury punktw zaprezentowano w pracy [179]. Aby mona byo dokona filtracji, naley przeksztaci chmur punktw do postaci regularnej siatki wykonywane jest to w sposb analogiczny jak opisany w pracy [116]. Utworzona prostoktna siatka punktw moe by analizowana tak jak obraz, w ktrym wysoko punktu nad paszczyzn siatki jest traktowana jak luminancja punktu na obrazie.

Algorytm filtracji wykorzystujcy sferyczn transformat Fouriera (jest to dwuwymiarowa transformata Fouriera we wsprzdnych sferycznych) zaprezen-towano w pracach [214, 215]. Algorytm skada si z czterech etapw: parametryzacja siatka przestrzenna jest przeksztacana do postaci sferycznej, prbkowanie wyrwnanie siatki sferycznej w kierunkach rwnolenikowym

i poudnikowym,

N1 N2

N3 N4 N12 N14 N13

N11

N42

N44 N43

N41

N2

N3

33 analiza czstotliwociowa z wykorzystaniem sferycznej transformaty Fouriera, filtracja sygnau w dziedzinie czstotliwoci.

Porwnanie bdw filtracji przeprowadzonej kilkoma metodami (midzy in-nymi jednokierunkow siatk nierwnomiern oraz siatk rwnomiern) opisano w cytowanej wczeniej pracy [97]. W zalenoci od wspczynnika redukcji punktw (zdefiniowanego jako stosunek liczby punktw po filtracji do liczby punktw przed filtracj), wynosiy od 0,004 mm (wspczynnik redukcji 0,2; me-toda jednokierunkowej siatki rwnomiernej) do 0,2 mm (wspczynnik redukcji 0,001, metoda siatki rwnomiernej).

Zastosowanie metod statystycznych w filtracji chmury punktw przedstawili autorzy pracy [151]. Podstaw dziaania algorytmu jest estymacja funkcji gstoci punktw uwzgldniajcej wymagany stopie wygadzenia powierzchni funkcja ta jest sum funkcji Gaussa opisujcych lokaln gsto punktw. Funkcja gstoci punktw cechuje si lokalnymi minimami, ktre dziel chmur punktw na pod-zbiory, z ktrych kady identyfikuje obszar o duej gstoci. Std te filtracja chmury wykorzystuje operacj progowania, ktra ma na celu zmniejszenie gstoci punktw w tych obszarach.

Zagadnienia triangulacji chmury o duej iloci punktw opisane s w pracy [167]. Przedstawiony tam algorytm przeznaczony jest do analizy danych uzyska-nych ze wsprzdnociowych maszyn pomiarowych oraz skanerw laserowych. Algorytm dokonuje przestrzennej filtracji zbioru, a nastpnie buduje struktur trj-ktw, wykorzystujc metody heurystyczne.

Lin, Tai i Wang [104] przedstawiaj metod triangulacji chmury punktw, ana-lizujc struktur dotychczas uformowanych trjktw i doczajc nastpne punkty. Autorzy nazwali opracowany przez siebie algorytm metod jednorodnego prbkowania.

Peternella i Steiner [139] opisuj metod detekcji i konstrukcji powierzchni pa-skich na podstawie analizy chmury punktw pochodzcej z pomiaru skanerem laserowym.

Meyer i Marin [120] opracowali algorytm wyodrbniajcy obszary z chmury punktw, co ma suy uproszczeniu pniejszej triangulacji. Podobne zagadnienia omwione zostay w pracach [79, 173, 190].

Wang i Yuen [177] oraz Ren i Hagiwara [145] prezentuj metody optymalizacji utworzonej siatki trjktw. Ten sam problem jest opisywany przez autorw prac [43, 100].

Hur, Kim i Lee [58] przedstawiaj algorytm filtracji i triangulacji chmury punktw wykorzystujcy metod triangulacji Delaunaya, charakteryzujc si tym, e aden z wierzchokw utworzonych trjktw nie trafia do wntrza okrgu opisanego na trjkcie jakiegokolwiek innego trjkta powstaego podczas triangulacji. Ten sposb triangulacji wykorzystuj rwnie autorzy pracy [89].

Kolejny przykad zastosowania triangulacji Delaunaya opisano w pracy [57]. Po wykorzystaniu wspomnianej metody triangulacji konstruowana jest powierzchnia

34 fasetkowa na chmurze punktw, a nastpnie jest ona filtrowana opracowanym przez autorw algorytmem.

Detekcj ostrych krawdzi w chmurze punktw przedstawili autorzy prac [30, 156]. Natomiast Wang [184] opisa zagadnienie detekcji ostrych krawdzi na po-wierzchni fasetkowej.

W pracy [14] zaprezentowano metod filtracji zbioru punktw zorganizowa-nego w postaci cieek pomiarowych, otrzymanych ze skanera laserowego, ktra polega na analizie lokalnych wartoci strzaki ciciwy.

Kolejna metoda filtracji, tym razem powierzchni fasetkowych, wykorzystujca algorytm genetyczny, opisana zostaa przez autorw pracy [196].

Liu i Yuen [110] przedstawiaj algorytm triangulacji, ktry umoliwia optyma-lizacj i uproszczenie struktury trjktw skonstruowanych na chmurze punktw. Taki sam cel ma algorytm opracowany przez Kolingerov i Ferko [85].

Metoda triangulacji chmury punktw, bdcej wynikiem pomiaru skanerem laserowym, wykorzystujca do optymalizacji struktury trjktw metody matema-tyczne z dziedziny rwna rniczkowych czstkowych, zostaa opracowana przez Barhaka i Fischera [8].

Zastosowanie do triangulacji metody, nazywanej podziaami Clougha-Tochera, (polegajcej na optymalnym podziale trjkta na trzy mniejsze) zaproponowa Wang [182].

Zintegrowan metod filtracji i triangulacji chmury punktw opublikowali auto-rzy pracy [209]. Interesujcym uzupenieniem metody jest algorytm wypeniania otworw w siatce trjktw powstaych podczas procesu triangulacji. Algorytm triangulacji wypeniajcy otwory zaprezentowano rwnie w pracy [159].

Autorzy pracy [157] zauwaaj, i wiele rnych algorytmw optymalizujcych siatk trjktw, ktre j wygadzaj, upraszczaj lub dziel na podzbiory, wyko-nuje transformacje wierzchokw siatki. Wierzchoki s dodawane bd usuwane lub ich wsprzdne ulegaj modyfikacji, co powoduje zmian ksztatu po-wierzchni fasetkowej. Autorzy zadaj pytanie, jak oceni rnice ksztatu powierzchni przed transformacj i po transformacji i proponuj kompleksow me-tod analizujc dziaanie rnych algorytmw triangulacji z uwzgldnieniem wa-runku zachowania ksztatu obiektu.

Interesujce rozwizanie zagadnienia filtracji pokazali Zhang, Xi i Yan [211], ktrzy chmur punktw potraktowali jako pole temperatur, a filtracj przedstawili w postaci przemiany adiabatycznej.

2.3.2. Triangulacja chmury punktw z wyodrbnionymi przekrojami obiektu

W niniejszym rozdziale zostan przedstawione metody triangulacji chmury punktw, w ktrej mona wyodrbni przekroje obiektu w szczeglnoci algo-rytm triangulacji przekrojw obiektw biomedycznych [90]. Z sytuacj tak mamy

35 najczciej do czynienia podczas digitalizacji obiektu metodami tomografii kom-puterowej lub rezonansu magnetycznego uzyskane obrazy przekrojw obiektu s poddawane analizie w celu wykrycia krawdzi, std te zdigitalizowane punkty odwzorowywanej powierzchni ukadaj si warstwami, na ktrych mona zwykle wyrni krzywe bdce jego przekrojami. Rozdzia ten prezentuje opisywane w literaturze metody digitalizacji chmury skadajcej si z punktw lecych na rwnolegych paszczyznach.

Na krzywych przekrojw naley rozpi powierzchni. Naley w tym miejscu zwrci uwag na fakt, i problem budowy modelu powierzchniowego na tego typu punktach jest o wiele bardziej skomplikowany ni opisany w poprzednim rozdziale. Wynika to std, i przekroje mog obrazowa zarwno stron ze-wntrzn, jak i wewntrzn obiektu, czego nie spotykao si w poprzednio opisy-wanych zagadnieniach digitalizacji. Innym trudnym problemem jest okrelenie wzajemnych relacji pomidzy przekrojami znajdujcymi si na ssiednich war-stwach, co zostao pokazane na ryc. 2.19. Ryciny 2.19a, b oraz c pokazuj relacje pomidzy dwoma przekrojami zrzutowanymi na paszczyzn jednego z nich. Na podstawie analizy wzajemnego pooenia naley ustali czy krzywe przekrojw wymagaj poczenia, czy te s przekrojami niepowizanych ze sob elementw. O ile przypadek z ryc. 2.19c wydaje si by oczywisty, o tyle w przypadkach po-kazanych na ryc. 2.19a oraz b nie ma jednoznacznej odpowiedzi na postawione pytanie.

Ryc. 2.19. Rodzaje wzajemnego pooenia przekrojw elementu [3, 90]

Jeszcze bardziej skomplikowana sytuacja zostaa pokazana na ryc. 2.19eg, gdzie naley rozway relacje pomidzy trzema lub czterema przekrojami znajdu-jcymi si na dwch warstwach. Ponadto na ryc. 2.19f pokazany jest przykad koniecznoci zamknicia jednej z odng elementu pojawia si tu pytanie, jakie przyj kryterium zamknicia, gdy na kolejnej warstwie znajduje si przekrj, ktry nie jest w oczywisty sposb powizany z poprzednim (ryc. 2.19a oraz b). Na rycinie 2.19h przedstawiono jeszcze jeden problem wystpowanie otworw

a) b)

e) f) g) h) d)

c)

36 w przekrojach obiektu. Przykady sygnalizuj problemy, jakie musz zosta rozwi-zane przez algorytmy rozpinajce powierzchni na tego typu chmurach punktw.

Pierwszy z zasygnalizowanych uprzednio problemw okrelenie, czy dwie krzywe s przekrojami tego samego elementu (ryc. 2.19a, b, c) mona rozwiza wprowadzajc wspczynnik wzajemnej relacji pomidzy przekrojami [90] (ryc. 2.20):

( )

hl

AAA

tb

bt

rednie=

=

=

,min (2.15)

Wspczynnik pokrycia przekrojw jest zdefiniowany jako stosunek pl przekrojw aproksymowanych prostoktami opisanymi na przekrojach i przyjmuje wartoci od 0

(brak pokrycia) do 1 (cakowite pokrycie). Gdy krzywa przekroju ma skompliko-wany ksztat, wspczynnik pokrycia nie jest wystarczajcy do opisania relacji pomidzy przekrojami z tego wzgldu wprowadzono wspczynnik odlegoci , ktry jest stosunkiem redniej odlegoci pomidzy punktami rozwaanych krzy-wych przekroju oraz odlegoci pomidzy warstwami. Ostatecznie relacja pomi-dzy przekrojami zdefiniowana jest za pomoc wspczynnika korelacji przekrojw . Arbitralnie przyjta minimalna warto wspczynnika jest wykorzystywana do stwierdzenia, czy na rozwaanych krzywych naley rozpi powierzchni.

Gdy w wyniku analizy relacji pomidzy przekrojami podjta zostanie decyzja o rozpiciu powierzchni pomidzy nimi, naley sprawdzi ich wzajemne pooenie (ryc. 2.19b, c). W zalenoci od niego kada para krzywych jest dzielona na kilka par w celu uatwienia pniejszego rozpinania powierzchni na tych krzywych. Dla przekrojw z ryc. 2.19b krzywe dzielone s w punkcie przecicia, natomiast dla przekrojw z ryc. 2.19c podzia tworzony jest przez najblisze punkty na obydwu krzywych. Po dokonaniu podziau krzywych mona przystpi do rozpicia po-wierzchni pomidzy przekrojami. W tym celu dokonuje si czenia punktw w trjkty tworzona jest powierzchnia fasetkowa inaczej mwic wykonywana jest triangulacja przekrojw. Triangulacja rozpoczyna si od kracowych punktw podzielonych krzywych. Dla przekrojw z ryc. 2.19b konieczne staje si rozwae-nie pooenia punktw wzowych krzywych przekrojw (ryc. 2.21).

Gdy nastpuje przecicie dwch krawdzi (ryc. 2.21a), konstruowane s dwa trjkty. W sytuacji pokrywania si dwch punktw (ryc. 2.21b) zbudowane zostan cztery trjkty oraz w ostatnim przypadku (ryc. 2.21c) pokrywania si krawdzi i punktu skonstruowany zostanie jeden trjkt.

Ryc. 2.20. Relacja pomidzy przekrojami [90]

37

Ryc. 2.21. Trangulacja przekrojw [90]

a) b)

c) d)

Ryc. 2.22. Triangulacja [90]

Po zainicjowaniu triangulacji mona przystpi do konstruowania powierzchni fasetkowej na krzywych przekrojw obiektu. Gdy jedna krzywa przekroju odpo-wiada dwm innym, triangulacja jest przeprowadzana dla dwch rnych par krzywych, co pokazano na ryc. 2.22 w opisywanym przypadku naley wzi pod uwag rwnie rodzaje wzajemnego pooenia przekrojw pokazane na ryc. 2.19dg.

a) przecicie dwch krawdzi

b) pokrywanie si dwch punktw

c) pokrywanie si krawdzi i punktu

38 Gdy zachodzi konieczno wyboru jednego z dwch trjktw mogcych two-

rzy powierzchni fasetkow, stosowane jest kryterium minimalnej siy jeeli nie daje ono rozstrzygnicia, trjkty budowane s naprzemiennie.

Powierzchni fasetkow mona porwna do kratownicy, std te optymaln jej struktur mona uzyska minimalizujc si przenoszon przez ukad prtw kra-townicy pokazany na ryc. 2.23. Dla dwch trjktw PiPi+1Qj oraz PiPi+1Qj+1 obliczane s wartoci si R1 i R2 . Trjktem tworzcym fasetk bdzie ten, dla kt-rego maksimum z R1 i R2 bdzie mniejsze.

a) b)

Ryc. 2.23. Kryterium minimalnej siy [90]

Kolejnym zagadnieniem do rozwizania jest wystpowanie tak zwanych gazi w strukturze elementu (ang. branching) (ryc. 2.24).

a) b)

Ryc. 2.24. Gazie w strukturze elementu [90]: a) nieprawidowa triangulacja, b) obszar

rozgazienia, c) interpolacja rozgazienia, d) prawidowa ga

c) d)

Qj Qj+1

Pi

Qj

Pi+1 Pi+1 Pi

Lk1

Lk

R1 R2 E1 E2 E3

E1 E2

F = 1

39 Po usuniciu nieprawidowo skonstruowanych trjktw (ryc. 2.24a) pozostaje

niewypeniony obszar rozgazienia segmentw (ryc. 2.24b), ktry jest poddawany powtrnej triangulacji (ryc. 2.24c, d).

Podsumowujc opisany powyej algorytm, mona zauway, e jego autorzy nie rozwizali jednego z problemw triangulacji przekrojw pokazanego na ryc. 2.19h wystpowania otworw w obiekcie.

Zagadnienie wystpowania otworw rozwizuje algorytm triangulacji przekro-jw opisany w pracy [3], ktrego gwn ide jest wykorzystanie funkcji pola zde-finiowanej w kadym punkcie bryy poprzez funkcje opisujce poszczeglne prze-kroje. Algorytm ten skada si z trzech zasadniczych czci: kady z przekrojw obiektu opisywany jest wielobokiem, w ktrym mog za-

wiera si inne wieloboki, a zatem algorytm dopuszcza wystpowanie otworw. Pierwsz operacj wykonywan przez algorytm jest rozwarstwienie przekrojw paszczyznami prostopadymi do przekroju i przechodzcymi przez wierzchoki wieloboku wynikiem rozwarstwienia jest zbir trapezw, ktre s pniej wy-korzystywane do zdefiniowania funkcji opisujcych wieloboki w kadej pasz-czynie przekroju;

po rozwarstwieniu definiowane s funkcje pola dla kadej krzywej przekroju, ktre s skojarzone z funkcj zamykajc przekrj i zdefiniowan w postaci powierzchni cignionej (ang. loft surface [12]);

jeeli to konieczne, funkcja pola definiowana jest jako kombinacja kilku funkcji sytuacja ta moe zaj wtedy, gdy w obiekcie wystpuj otwory. Kocowym efektem dziaania algorytmu jest funkcja opisujca powierzchni

obiektu. W tym samym roku, co wyej opisany algorytm, zaprezentowano w literaturze

inny starajcy si rozwiza problem konstrukcji powierzchni fasetkowej na pod-stawie przekroju obiektu [54]. Algorytm nazwany przez autorw algorytmem szybkiej triangulacji (ang. Fast Triangulation Algorithm FTA) przeznaczony jest do budowy modeli biomedycznych, gwnie koci dugich. Algorytm rozwizuje najprostszy problem fasetkowania przekrojw pokazany na ryc. 2.19c, d w pozostaych przypadkach autorzy odsyaj do metod optymalizacyjnych, takich jak algorytmy genetyczne, nie precyzujc szczegw rozwizania.

Knopf i Al-Naji [83] zastosowali sie neuronow do rozwizania problemu bu-dowy modelu na podstawie serii przekrojw. Autorzy wykorzystali sie Bernsteina (ang. Bernstein Basis Function BBF), ktra przeznaczona jest do aproksymacji za pomoc krzywych i powierzchni. Wspczynniki wagowe neuronw s utosa-miane z punktami kontrolnymi krzywych Beziera. Metoda ta zostaa rwnie opi-sana w pracy [84].

Modelowanie koci dugich zaprezentowane zostao rwnie w artykule [150]. Opisany algorytm umoliwia budow modeli z gaziami (ryc. 2.19e, f, ryc. 2.24) nie rozwizuje zagadnienia wystpowania otworw. W algorytmie zastosowano

40 rwnie metod wygadzania modelu, zarwno w paszczyznach przekrojw jak i w kierunku nich prostopadym.

Autorzy artykuu [180] przedstawili algorytm wykorzystujcy triangulacj Delaunaya [141]. Ten typ triangulacji polega na poczeniu punktw w trjkty w taki sposb, aby aden z punktw nie znalaz si we wntrzu okrgu opisanego na jakimkolwiek trjkcie zbudowanym podczas triangulacji. Pokazali rwnie przykady zastosowania opracowanej metody do budowy modeli serca, puc, koci stopy, czaszki oraz koci dugich.

Park [131] opisuje metod konstruowania powierzchni rozpitej na przekrojach. W odrnieniu od wikszoci prac z tego zakresu konstruowana powierzchnia nie jest powierzchni fasetkow, ale powierzchni gadk typu B-splajn.

Algorytm aproksymacji ksztatu powierzchni rozpitej na przekrojach, rozwi-zujcy problem wystpowania wielu gazi (ryc. 2.19f, g) opracowany zosta przez autorw pracy [63]. Problem ten rozkadany jest na zbir pojedynczych gazi, z ktrych kada analizowana jest oddzielnie. Ksztaty przekrojw aprok-symowane s krzywymi typu splajn. Ksztat modelu aproksymowany jest zbiorem powierzchni typu splajn. Jak zatem wida, w odrnieniu od poprzednio opisanych metod, algorytm ten nie tworzy powierzchni fasetkowej. Niestety nie mona uzna tego za zalet, gdy pokazane przez autorw przykady obrazuj wiele niedosko-naoci odwzorowania ksztatu obiektu.

2.4. SYSTEMY INYNIERII REKONSTRUKCYJNEJ

W niniejszym rozdziale zostan przedstawione opisywane w literaturze systemy inynierii rekonstrukcyjnej, co umoliwi ich porwnanie oraz zapoznanie si ze stosowanymi metodami digitalizacji i przetwarzania uzyskanych wynikw. Poka-zane zostan rwnie dziedziny zastosowania inynierii rekonstrukcyjnej oraz pozwoli oceni kierunki dalszego ich rozwoju. Poniewa opis prezentowanych rozwiza bdzie prowadzony w kolejnoci chronologicznej ich publikowania, mona bdzie rwnie zapozna si z rozwojem inynierii rekonstrukcyjnej w ostatnim dziesicioleciu.

Chen i Lin [16] opisuj wykorzystanie systemu inynierii rekonstrukcyjnej, w ktrym proces digitalizacji prowadzony jest za pomoc wsprzdnociowej ma-szyny pomiarowej wyposaonej w gowic dotykow oraz w system wizyjny. Digitalizacja wykonywana jest w dwch etapach. W pierwszym z nich dokony-wane jest skanowanie powierzchni za pomoc systemu wizyjnego, a otrzymane wyniki pozwalaj na zbudowanie powierzchni fasetkowej skadajcej si z trjk-tw; dokadno odwzorowania powierzchni jest sprawdzana za pomoc maszyny pomiarowej. Autorzy nie wyjanili czy opisywany system jest stosowany w prak-tyce przemysowej. Pokazali jedynie jego zastosowanie w odwzorowywaniu ele-

41 mentw obudowy oraz zabawek (masek karnawaowych). Wedug autorw opra-cowania maksymalny bd digitalizacji wynosi 0,04 mm.

Peng i Loftus [136] pokazuj zastosowanie systemu odwzorowujcego obiekty przestrzenne na podstawie analizy ich paskich odwzorowa za pomoc systemu wizyjnego. Digitalizacja obiektu polega na wykonaniu trzech zdj obiektu przy tym samym ustawieniu kamery cyfrowej, ale owietlonych pod innym ktem. Autorzy zamiecili w swej pracy opis algorytmu analizy wykonanych obrazw, ktrego zadaniem jest digitalizacja obiektu. W artykule przedstawiono rwnie weryfikacj dowiadczaln zastosowanej metody digitalizacji bdy wzgldne odwzorowania sigay 6%.

Werner i in. [187] opisuj system inynierii rekonstrukcyjnej wykonujcy digi-talizacj za pomoc wsprzdnociowej maszyny pomiarowej. Wyniki pomiarw stanowi podstaw do dopasowania metod najmniejszych kwadratw powierzchni typu NURBS. Ostatnim etapem pracy systemu jest przygotowanie programu tech-nologicznego dla obrabiarki sterowanej numerycznie. Ocena dokadnoci przepro-wadzona podczas odwzorowywania powierzchni typu fala pokazaa, e maksy-malne bdy odwzorowania wynosz 0,3 mm.

Au i Yuen [5] przedstawiaj system inynierii rekonstrukcyjnej zaprojektowany na potrzeby przemysu odzieowego. Odwzorowywanymi obiektami byy torsy manekinw ludzkich sylwetek, ktre skanowano przy uyciu wsprzdnociowej maszyny pomiarowej. Bd wzgldny odwzorowania wynis 2%, co autorzy uznaj za dopuszczalne w opisywanym zastosowaniu, ktrym jest projektowanie ubra.

Wang i Chuang [181] opisuj system inynierii rekonstrukcyjnej przeznaczony do odwzorowywania powierzchni swobodnych metod bezdotykowego skanowa-nia 4-osiowego. Skaner zbudowany zosta na podstawie dalmierza laserowego; skanowany przedmiot ustawiany jest na stole sterowanym w trzech osiach. Wyniki pomiarw przetwarzane s do postaci, ktra umoliwia ich aproksymacj za po-moc paskich krzywych typu splajn. Uzyskane krzywe czone s ze sob, two-rzc powierzchni modelu wirtualnego. Autorzy pokazali przykady zastosowania systemu do odwzorowania przykadowych modeli (model samochodu, podeszwa buta, zabawka). Bdy odwzorowania zabawki o gabarytach okoo 60 mm 40 mm 4 mm wyniosy od 0,2 mm do 0,8 mm, w zalenoci od zastosowanego modelu matema-tycznego powierzchni modelu.

Chen i Lin [17] zastosowali metody inynierii rekonstrukcyjnej podczas pro-jektowania opatek turbin dla siowni jdrowych.

Tai i Huang [171] opracowali metod, pozwalajc na aproksymowanie wyni-kw pomiarw skanujcych, wykonanych za pomoc wsprzdnociowej ma-szyny pomiarowej krzywymi typu splajn. Istotnym zaoeniem przyjtym przez autorw jest to, i punkty bdce wynikiem pomiaru znajduj si na paszczynie.

Carbone i in. [11] zaprezentowali system inynierii rekonstrukcyjnej wykorzy-stujcy do skanowania poczenie wsprzdnociowej maszyny pomiarowej oraz systemu wizyjnego. Pocztkowym etapem pracy systemu jest pomiar za pomoc

42 skanera laserowego. Wyniki pomiarw su do zbudowania modelu wirtualnego. Model ten pozwala na okrelenie parametrw kolejnego pomiaru tym razem za pomoc wsprzdnociowej maszyny pomiarowej wyposaonej w gowic mie-rzc. W pokazanym przykadzie zastosowania systemu, rednie bdy odwzoro-wania opatki turbiny o wymiarach 60 mm 20 mm 30 mm wyniosy 0,025 mm.

Rwnie Chan, Bradley i Vickers [13] zaprojektowali system inynierii rekon-strukcyjnej, czcy system wizyjny ze wsprzdnociow maszyn pomiarow. Kamera CCD uywana jest do lokalizacji krawdzi skanowanego obiektu (w tym celu wykorzystano metody przestrzennej analizy obrazu). Uzyskane t metod dane pozwalaj na optymalizacj procesu skanowania na wsprzdnociowej ma-szynie pomiarowej.

Zastosowanie samoorganizujcej si sieci neuronowej do przetwarzania wyni-kw pomiarw uzyskanych metod skanowania laserowego, a nastpnie budowy modelu wirtualnego zaprezentowali Barhak i Fischer [9]. Zastosowanie sieci neuronowych w systemie inynierii rekonstrukcyjnej opisali rwnie Peng i Loftus [137] oraz Lin [103].

Inynieria rekonstrukcyjna znajduje rwnie zastosowanie podczas prb zderzeniowych, pozwalajc ograniczy ich koszty, co opisano w pracy [23].

Chow i inni [24] opisuj zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej do odwzoro-wywania elementw samolotu. Digitalizacja wykonywana jest skanerem lasero-wym; wyniki pomiarw przetwarzane s przez system komputerowo wspomaga-nego projektowania, a nastpnie przygotowywany jest program sterujcy dla centrum obrbkowego. Podawana przez autorw dokadno odwzorowania wy-niosa 0,127 mm (0,005).

Chuang, Chen i Yau [26] opracowali system umoliwiajcy generowanie tra-jektorii narzdzia na podstawie wynikw pomiaru skanujcego. Digitalizacja obiektu wykonywana jest kilkakrotnie skanerem przestrzennym i powoduje utwo-rzenie kilku zbiorw punktw, ktre s ze sob czone tworzc jedn chmur, na ktrej rozpinana jest powierzchnia fasetkowa zbudowana z trjktw, tworzca powierzchni modelu. Dla tak utworzonego modelu generowana jest trajektoria freza trzpieniowego (promieniowego lub walcowego z zaokrglonymi naroami).

Kolejne zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej w przemyle odzieowym opisuj autorzy pracy [80]. W przedstawionym systemie wykorzystano skaner przestrzenny, umoliwiajcy digitalizacj ksztatu caego ciaa modelki. Zbudo-wany model wirtualny pozwala na komputerowo wspomagane projektowanie ubra.

Li i in. [102] pokazali zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej do wytwarzania metod szybkiego prototypowania odwzorowa twarzy. Do digitalizacji wyko-rzystano skaner przestrzenny.

Chang i Chiang [15] opisali wykonywanie protez stomatologicznych metodami inynierii rekonstrukcyjnej.

43 Zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej w projektowaniu i wytwarzaniu form

odlewniczych przedstawili Ferreira i Alves [39]. Modele obiektw digitalizowane s za pomoc skanera laserowego, a nastpnie budowany jest model wirtualny, ktry suy do analizy wytrzymaociowej metod elementw skoczonych. Po ewentualnych zmianach wprowadzonych do konstrukcji projektowana jest i wyko-nywana forma odlewnicza.

Hsiao i Chuang [52] opisuj projektowanie zabawek, wykorzystujce inynieri rekonstrukcyjn. Projektant (artysta rzebiarz) wykonuje z pianki poliuretanowej model zabawki, ktry jest digitalizowany metod bezdotykow. Na podstawie uzyskanych wynikw generowany jest model wirtualny, ktry po wprowadzeniu poprawek oraz innych niezbdnych elementw suy do opracowania technologii wykonania elementu. Gwnym celem opisywanego systemu jest skrcenie czasu przygotowania wyrobu do produkcji.

Digitalizacj ludzkich sylwetek wykonywan za pomoc skanera laserowego, stosowan midzy innymi podczas projektowania odziey, opisali autorzy artykuu [178]. Zastosowany przez autorw algorytm, wykorzystujc logik rozmyt, umoliwia rwnie rozpoznawanie elementw ciaa, takich jak gowa, koczyny lub tuw.

Migacz, Kwaczyski i Nazzal [122] oraz Zhang [208] opisali systemy inynierii rekonstrukcyjnej, w ktrych wykorzystano wsprzdnociow maszyn pomia-row, system komputerowo wspomaganego projektowania i wytwarzania oraz trjosiowe centrum frezarskie.

Niecodzienne zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej opisali Lee, Hong oraz Kim [94]. Prowadzone przez nich badania polegay na skanowaniu metod bezdo-tykow damskich biustw. Celem prac byo zaprojektowanie optymalnego ksztatu damskiej bielizny.

Projektowanie korbowodw oraz matryc do ich wykonania, wykorzystujce inynieri rekonstrukcyjn przedstawili autorzy referatu [118].

Yao [199] opisa zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej w kontroli jakoci wyrobw. Projekt wyrobu zapisany w formacie STL (zbir trjktw interpolu-jcych powierzchni bryy) wykonywany jest metod szybkiego prototypowania, a nastpnie digitalizowany skanerem laserowym. Budowany jest model wirtualny, ktry porwnywany jest z projektem.

Podsumowanie prac z zakresu inynierii rekonstrukcyjnej realizowanych na Uniwersytecie w Edynburgu zaprezentowano w artykule [37].

Zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej do odwzorowywania ksztatu gowy, na podstawie pomiarw skanerem laserowym, przedstawiono w artykule [210]. Szersze omwienie zastosowania inynierii rekonstrukcyjnej w odwzorowywaniu wewntrznych struktur ciaa, przede wszystkim na podstawie wynikw diagnostyki obrazowej, przedstawiono w pracy [168].

Lin, Wang i Dai [106] opisuj projektowanie sztucznych staww kolanowych. Model stawu digitalizowany jest za pomoc wsprzdnociowej maszyny pomia-

44 rowej, a nastpnie budowany jest jego model wirtualny. Korzystajc z bazy danych zawierajcej informacje o parametrach geometrycznych staww, wprowadzane s modyfikacje modelu wirtualnego, co w rezultacie daje projekt protezy przygoto-wany dla konkretnego pacjenta.

Wu i Yu [192] stwierdzaj, i wiele obiektw, bdcych wytworami czowieka ma ksztat, w ktrym mona wyrni krzywe oraz rozpite na nich powierzchnie. Std te digitalizacja krzywych moe posuy do zbudowania modelu wirtualnego obiektu. Do digitalizacji autorzy pracy wykorzystali system fotogrametryczny.

Yang i Chen [198] opisuj metod digitalizacji nazywan haptic volume removing, ktra polega na wirtualnym rzebieniu skanowanego obiektu. Uy-wajc specjalnego skanera, operator prowadzi kocwk skanujc po powierzchni obiektu, a oprogramowanie skanera traktuje te ruchy jako ciek duta usuwaj-cego materia z bryy.

Integracj systemu wizyjnego ze wsprzdnociow maszyn pomiarow wy-posaon w st obrotowy opisuj autorzy pracy [206]. Skaner laserowy digitali-zuje linie, bdce przeciciem paszczyzny wizki wiata z powierzchni obiektu. Maszyna wsprzdnociowa stosowana jest do digitalizacji ostrych krawdzi. Wedug autorw dokadno odwzorowania obiektw wynosi 0,03 mm.

Mohaghegh i inni [124] prezentuj system inynierii rekonstrukcyjnej umoli-wiajcy odwzorowywanie ksztatu opatek turbin, ktre digitalizowane s skane-rem laserowym. Otrzymany zbir punktw aproksymowany jest powierzchni, z uwzgldnieniem parametrw otrzymanych na drodze analityczno-eksperymen-talnej.

System inynierii rekonstrukcyjnej wykorzystujcy sie neuronow do optyma-lizacji powierzchni fasetkowej interpolujcej ksztat obiektu, przedstawili autorzy artykuu [152].

Zagadnienia inynierii rekonstrukcyjnej s rwnie omawiane w literaturze patentowej. Bae i Lee [7] otrzymali patent dotyczcy zagadnie oceny dokadnoci odwzorowywania obiektw w systemie inynierii rekonstrukcyjnej. Kim i Ko [78] opatentowali system inynierii rekonstrukcyjnej, w ktrym zastosowali system wizyjny kalibrowany za pomoc czujnika dotykowego. Chen, Jeng i Shiou [18] opracowali metod umoliwiajc zastosowanie inynierii rekonstrukcyjnej do wspomagania zabiegw chirurgicznych. Morikawa, Kaneo i Motoyama [125] otrzymali patent na algorytm budowy powierzchni modelu, zdigitalizowanego metodami bezdotykowymi. Rabello wraz z zespoem [146] opatentowali komplek-sowy system inynierii rekonstrukcyjnej. Podobne zagadnienia s przedmiotem patentu [197].

45 2.5. PODSUMOWANIE INFORMACJI O INYNIERII

REKONSTRUKCYJNEJ

Reasumujc zamieszczone wczeniej informacje na temat inynierii rekonstruk-cyjnej mona stwierdzi, i: dominujc rol wrd sposobw digitalizacji peni dwie metody:

pomiar za pomoc skanerw laserowych (lub szerzej rozumianych systemw wizyjnych),

pomiar z wykorzystaniem wsprzdnociowej techniki pomiarowej; autorzy wielu prac prezentuj rnorodne metody filtracji chmury punktw

niemniej jednak naley w tym miejscu zada podstawowe pytanie co jest celem filtracji? Oczywicie zredukowanie iloci punktw, ktre ma zmniejszy wymagania dotyczce rozmiarw wykorzystywanej pamici operacyjnej oraz poprawi wydajno obliczeniow systemu komputerowo wspomaganego pro-jektowania. Ponadto zdigitalizowane punkty s obarczone bdem pomiaru, w literaturze nazywanym szumem (ang. noise) szum ten mona stara si odfiltrowa (ryc. 2.25). Ale naley rwnie zauway, i z kadym kolejnym rokiem wzrasta wydajno systemw komputerowych i maleje ich cena, std te wydaje si, i problem filtracji ktry jeszcze niedawno by jednym z najwa-niejszych problemw inynierii rekonstrukcyjnej traci na swoim znaczeniu. O ile dotychczas wykonywano filtracj redukujc liczb punktw, kosztem utraty dokadnoci odwzorowania obiektu (gdy bez tego rozmiar pliku danych i czas oblicze byyby nie do zaakceptowania), o tyle obecnie coraz czciej fil-tracja jest wykonywana w granicach bdu pomiaru skanujcego i ma na celu usunicie szumu pomiarowego, a wic nie powoduje zmniejszenia dokadno-ci odwzorowania;

Ryc. 2.25. Filtracja odwzorowania twarzy uzyskanego za pomoc

skanera wiata strukturalnego [151]

46 jakkolwiek spotyka si w literaturze prby dopasowania powierzchni krzywoli-

niowych do chmury punktw, niemniej jednak w wikszoci przypadkw na chmurze punktw rozpinana jest powierzchnia fasetkowa (wykonywana jest triangulacja, polegajca na skonstruowaniu powierzchni skadajcej si z przyle-gajcych trjktw, ktrych wierzchoki s punktami chmury);

metody rozpinania powierzchni fasetkowych na chmurach punktw uzyskanych metodami skanowania laserowego lub pomiarw wsprzdnociowych osi-gny znaczny stopie doskonaoci i nie wida w tym zakresie istotnego po-stpu;

algorytmy triangulacji chmury punktw z wyodrbnionymi przekrojami obiektu cechuj si duym stopniem komplikacji i w znaczcy sposb zwikszaj koszt oprogramowania (na przykad systemy Mimics i Amira);

nie ma jednoznacznej metody oceny dokadnoci wykonania elementw odwzo-rowanych metodami inynierii rekonstrukcyjnej, co jest zwizane z konieczno-ci porwnywania powierzchni krzywoliniowych;

inynieria rekonstrukcyjna ma zastosowanie do odwzorowywania obiektw zdigitalizowanych metodami diagnostyki obrazowej (tomografia komputerowa, rezonans magnetyczny), ale brakuje jednoznacznego opisu metod detekcji kra-wdzi zobrazowanych obiektw do detekcji krawdzi stosowane s metody analizy obrazw, ktrych przeznaczeniem nie jest inynieria rekonstrukcyjna, std te nie ma oceny dokadnoci takich odwzorowa. Powysze wzgldy zdecydoway, i autor podj prb opracowania metody

oceny dokadnoci odwzorowania obiektw i jej wykorzystania w systemie iny-nierii rekonstrukcyjnej.

Rwnie zagadnienia odwzorowywania obiektw na podstawie obrazw tomo-graficznych znalazy si w dziedzinie zainteresowa naukowych autora, co zaowo-cowao opracowaniem metody detekcji krawdzi i jej zastosowaniem w praktyce klinicznej, polegajcej na projektowaniu protez do zabiegw chirurgii koci czaszki.

Natomiast zagadnienia metod analizy obrazw skoniy autora do zajcia si tematem odwzorowywania obiektw na paszczynie i ich zastosowaniem w gra-werowaniu.

3. ZASTOSOWANIE METOD INTERPOLACYJNYCH W INYNIERII REKONSTRUKCYJNEJ

Wynikiem pomiaru skanujcego jest zbir (chmura) punktw, ktre nie tworz regularnej siatki wzw. Gdyby dao si przeksztaci chmur punktw do postaci regularnej siatki, mona by w znaczcy sposb uproci jej analiz i ewentualne transformacje. Ponadto regularna siatka wzw mogaby zosta traktowana tak jak obraz (zdjcie) obiektu, a zatem otwaraby si moliwo zastosowania metod analizy obrazu do przetwarzania informacji uzyskanej poprzez pomiar skanujcy. Transformacja chmury punktw do postaci regularnej siatki wzw daaby moli-wo jednolitego opisu i analizy wynikw pomiarw skanujcych z zastosowaniem maszyn wsprzdnociowych lub skanerw optycznych, jak rwnie danych obra-zowych uzyskanych na przykad metodami tomografii komputerowej.

W dalszej czci rozdziau opisano interpolacj i aproksymacj zbioru punktw w przestrzeni 3-wymiarowej. W szczeglnoci opisano zastosowanie interpolacji Sheparda w wersji przedstawionej przez Liszk [108] oraz opracowan przez autora modyfikacj i zastosowanie w inynierii rekonstrukcyjnej geostatystycznej metody krigingu. Zaprezentowano rwnie porwnanie dokadnoci opisanych metod wykonanych przez autora.

W rozdziale opisano rwnie opracowan przez autora metod korekcji pro-mieniowej kocwki pomiarowej, wykorzystujc interpolacj krigingow.

Rozdzia koczy opis opracowanego przez autora systemu inynierii rekon-strukcyjnej wykorzystujcego metody interpolacyjne.

Zagadnienie interpolacji mona zdefiniowa nastpujco: Dany jest zbir N punktw Pi(xi , yi , zi), zi = F(xi , yi), i = 1, ..., N. Naley znale

funkcj f (x, y), ktra interpoluje (lub aproksymuje) f