PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w InstytucieFizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt ”O teorii prawa rozkładu energiiw widmie normalnym".

K. Zalewski „Mały wykład z mechaniki kwantowej”, 2004

„Całą mechanikę kwantową da się wyprowadzić z doświadczenia z dwiema szczelinami”

„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu widzenia zdrowego rozsądku i w pełni zgadza się z doświadczeniem. Mam więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest –absurdalną”

„Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz mechaniki kwantowej”

Richard Phillips Feynman (1918–1988)

1900 Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego

1905 Einstein - zjawisko fotoelektryczne

1913 Bohr - kwantowa teoria widm

1922 Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach

1924 Pauli - zakaz Pauliego1924 Pauli - zakaz Pauliego

1925 de Broglie - fale materii

1926 Schrodinger - równanie falowe

1927 Heisenberg - zasada nieoznaczoności

1927 Davisson i Germer - dowód własności falowych elektronu

1927 Born - interpretacja funkcji falowej

λλλλλλλλ11

1s

νννννννν 1 1 = = 4 cykle/1s4 cykle/1s = 3Hz= 3Hz

λλλλλλλλνννννννν = c= c

długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne

mała długość fali mała długość fali ((λλλλλλλλ11))duża częstość duża częstość ((11))

duża długość fali duża długość fali ((λλλλλλλλ22))mała częstość mała częstość ((νννννννν22))

barwa promieniowania elektromagnetycznegobarwa promieniowania elektromagnetycznego

widmo promieniowaniawidmo promieniowaniaelektromagnetycznego elektromagnetycznego

widmo promieniowania ciała doskonale czarnegowidmo promieniowania ciała doskonale czarnego

promieniowanie promieniowanie obserwowaneobserwowane

wnęka o temperaturze T

obszar widzialny

prawo przesunięć Wienaprawo przesunięć Wiena

TTλλmaxmax = 1/5 c= 1/5 c22 cc22= 1.44 cmK= 1.44 cmK

druga stała druga stała promieniowaniapromieniowania

Prawo StefanaPrawo Stefana--BoltzmannaBoltzmanna

εε = = EE//VV= = aTaT44

Prawo RayleighaPrawo Rayleigha--JeansaJeansa

pole elektromagnetyczne jako zbiór pole elektromagnetyczne jako zbiór oscylatorówoscylatorów

ddεε = = ρρρρρρρρddλλλλλλλλ ρρρρρρρρ = 8= 8ππππππππkT/kT/λλλλλλλλ44

katastrofa nadfioletowakatastrofa nadfioletowa

obszar widzialny

falowa natura cząstek

doświadczenie Davissonadoświadczenie Davissona--GermerraGermerra

rozpraszanie elektonów na krysztale Nirozpraszanie elektonów na krysztale Ni

wiązka ewiązka e--

kryształ Nikryształ Ni

efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)

wybijanie ewybijanie e-- pod wpływem naświetlania promieniowaniem UVpod wpływem naświetlania promieniowaniem UVen

erg

ia k

inet

yczn

a fo

toel

ektr

on

u,

ener

gia

kin

etyc

zna

foto

elek

tro

nu

, EEkk

wzrost wzrost Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ RbRb KK NaNa

korpuskularny charakter promieniowania

ener

gia

kin

etyc

zna

foto

elek

tro

nu

, en

erg

ia k

inet

yczn

a fo

toel

ektr

on

u,

częstość padającego promieniowania, częstość padającego promieniowania, ν ν ν ν ν ν ν ν

Φ−= νhme

2

21 v

Φ<νh

EFEKT COMPTONAEFEKT COMPTONA

c

hp

ν=

hp =

2c

Em =

λc

h

c

hvm ==

2

relacjarelacjade Brogliede Broglie

19231923λ

hp =

( )Θ−=∆ cos1cλλ

pm426,2==cm

h

e

cλ

cząstce materialnej możemy przypisać falę o długości:

λλλλλλλλ = = hh//mvmv

gdzie: m - masa cząstki, v – prędkość cząstki

falę przypisaną cząstce nazywamy falą de Broglie’a

Dla makroskopowych obiektów fali de Broglie'a niejesteśmy w stanie zaobserwować. Przykładowoczłowiek o masie 100 kg pędzący z prędkością 10 m/s(ok. 36 km/h) ma przypisaną falę o długości:

λλλλλλλλ == 66..6363··1010--3434//100100··1010 == 66..6363··1010--3737 mm

Dla kuli karabinowej o m = 10 g i prędkości 1000 m/s

λλλλλλλλ = 6.63·10= 6.63·10--3535 mm

Dla elektronu o m = 9.11 ·10-31 kg i prędkości 1·107 m/s

λλ == 77..2727··1010--1111 mm(rząd(rząd odległościodległości pomiędzypomiędzy atomamiatomami ww kryształach)kryształach)

9,58 sUsain Bolt

widma promieniowania pierwiastkówwidma promieniowania pierwiastkówskładają się z serii linii o określonych składają się z serii linii o określonych λλλλλλλλ

np. widmo atomów Henp. widmo atomów He

długość fali, długość fali, λλλλλλλλ/ nm/ nm

Podczas całkowitego zaćmienia Słońca, (1868) P. Janssen, badając widmo korony słonecznej, zaobserwował pomarańczowy prążek odpowiadający długości fali 5876 Å, którego nie można było przypisać do żadnego spośród znanych wówczas pierwiastków. Helium od greckiego boga słońca Heliosa.

kwantowanie energii (Max Planck)kwantowanie energii (Max Planck)

νnhE =

rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów

sJ10626,6 34 ⋅⋅= −h

ANALOGIA

Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, żemożna wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody,którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O.

Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposóbciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylkopewnymi porcjami.

WŁAŚCIWOŚCIWŁAŚCIWOŚCI FOTONÓWFOTONÓW

energia energia masa masa pęd pęd

νhE f =2

c

hm f

ν=

λ

ν h

c

hp f ==

energia energia masa masa pęd pęd

hh -- stała Plancka = 6,62 stała Plancka = 6,62 .. 1010--3434 JJ..s s

νννννννν -- częstość częstość

λλλλλλλλ -- długość fali długość fali

cc –– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/s

FaktyFakty doświadczalne,doświadczalne, aa zwłaszczazwłaszcza możliwośćmożliwośćzachodzeniazachodzenia zderzeńzderzeń nienie tylkotylko pomiędzypomiędzy cząsteczkami,cząsteczkami,aleale rórówwnieżnież pomiędzypomiędzy cząsteczkamicząsteczkami aa falamifalami prowadziprowadzi dodownioskuwniosku wyprowadzonegowyprowadzonego przezprzez HeisenbergaHeisenberga

zasada nieoznaczoności Heisenberga zasada nieoznaczoności Heisenberga

iloczyniloczyn niepewnościniepewnościiloczyniloczyn niepewnościniepewnościpołożeniapołożenia ((∆∆∆∆∆∆∆∆x)x) ii pędupędu ((∆∆∆∆∆∆∆∆p)p) musimusi byćbyć większywiększy lublubrównyrówny wartościwartości h/h/44ππππππππ::::::::

∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆p ≥ h/4p ≥ h/4ππππππππ

(( ∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆ppxx ≥ h, ≥ h, ∆∆∆∆∆∆∆∆x·x· ∆∆∆∆∆∆∆∆ppxx ≥ ½≥ ½ηηηηηηηη ))

Fizyka klasyczna:Fizyka klasyczna:

ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne

Mechanika kwantowa: Mechanika kwantowa:

cząstka rozmyta w przestrzeni jak falacząstka rozmyta w przestrzeni jak fala

Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni

P – prawdopodobieństwo napotkania cząstki w objętości dV

ρρρρ = P/dV – gęstość prawdopodobieństwa

ρρρρ = ρρρρ (x, y, z)

∫ =1dVρ

Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera

niezależne od czasu niezależne od czasu dla cząstki o masie dla cząstki o masie mm i energii i energii EE

poruszającej się w jednym wymiarzeporuszającej się w jednym wymiarze

ΨΨ)(Ψ

2

2

22

ExVdx

d

m=+−

η

E – energia cząstkiV(x) – energia potencjalna w punkcie x

– funkcja falowa (psi)

π2

h=η

Ψ

OgólnaOgólna postaćpostać rrównaniaównania SchrodingeraSchrodingera

HΨ = EΨHΨ = EΨ

gdziegdzie HH oznaczaoznacza tzwtzw.. operatoroperator HamiltonaHamiltona(czyli(czyli szeregszereg operacjioperacji matematycznychmatematycznych jakiejakie należynależy wykonaćwykonać nanafunkcjifunkcji falowejfalowej Ψ)Ψ)..

Interpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨInterpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨ

Kwadrat amplitudy fali de Broglie’a, a zatem i gęstość

prawdopodobieństwa znalezienia cząstki są dane przez │ΨΨΨΨ│2

ρ = ρ (x, y, z) = │Ψ(x, y, z)│2

P = ρ (x, y, z) dV = │Ψ(x, y, z)│2dV

∫ =Ψ 1),,(2dVzyx

•• jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1

•• dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych

Rozwiązaniem równania SchrRozwiązaniem równania Schröödingera dingera jest funkcja o następujących właściwościach:jest funkcja o następujących właściwościach:

elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych miejscach)miejscach)

•• ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe (elektron nie może zanikać).(elektron nie może zanikać).

CząstkaCząstka ww jednowymiarowymjednowymiarowym pudlepudle potencjałupotencjału

x = 0 x = L

Ψ(0)=0 Ψ(L) = 0

WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == 00 ΨΨ(x)(x) == 00

sin sin kxkx = 0= 0

cos cos kxkx = 1= 1

ΨΨ(x)(x)x=0x=0 = = BB = 0= 0

ΨΨ(x) = (x) = AA sin sin kxkx

WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == LL ΨΨ((LL)) == 00

Ogólne rozwiązania równania ma postać:Ogólne rozwiązania równania ma postać:

ΨΨ(x) = (x) = AA sin sin kx + kx + B cos kxB cos kx, , EEkk = k= k22ηηηηηηηη / / 2m2m

WarunekWarunek brzegowybrzegowy dladla xx == LL ΨΨ((LL)) == 00

ΨΨ(L)(L) == AA sinsin kLkL == 00

a zatem a zatem albo albo AA = 0= 0 albo albo sin sin kLkL = 0= 0

Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że cząstka nie istnieje cząstka nie istnieje ((ΨΨ(x)= 0 dla 0 < x< (x)= 0 dla 0 < x< LL))

aa zatemzatem sin kL = 0

kL = nπ

1

nn –– liczba całkowitaliczba całkowita

πnh

)mE2(L 2

1

=

2

22

8mL

hnE =

Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej nn

Dla stanu podstawowego Dla stanu podstawowego nn = 1= 1

DlaDla stanustanu wzbudzonegowzbudzonego nn >> 11

MożnaMożna wykazać,wykazać, żeże zz warunkuwarunku

L

∫ =ΨL

dxx0

2 1)(

wynikawynika wzórwzór

L

xn

Lxn

πsin

2)(

2

1

=Ψ

określający funkcję własną dla określający funkcję własną dla nn--tego poziomu energetycznego. tego poziomu energetycznego.

FunkcjaFunkcja falowafalowa ww interpretacjiinterpretacji BornaBorna.. PrawdopodobieństwoPrawdopodobieństwoznalezieniaznalezienia elektronuelektronu ww danymdanym punkciepunkcie jestjest proporcjonalneproporcjonalne dodo

kwadratukwadratu funkcjifunkcji falowejfalowej ((ΨΨ22)):: prawdopodobieństwoprawdopodobieństwo toto jestjestwyrażonewyrażone przezprzez stopieństopień zaczernieniazaczernienia paskapaska uu dołudołu.. Zauważ,Zauważ, żeżegęstośćgęstość prawdopodobieństwaprawdopodobieństwa ww węźlewęźle wynosiwynosi 00.. WęzełWęzeł jestjestpunktem,punktem, ww którymktórym funkcjafunkcja falowafalowa przechodziprzechodzi przezprzez 00..