PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ · PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki...
Transcript of PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ · PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki...
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w InstytucieFizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt ”O teorii prawa rozkładu energiiw widmie normalnym".
K. Zalewski „Mały wykład z mechaniki kwantowej”, 2004
„Całą mechanikę kwantową da się wyprowadzić z doświadczenia z
dwiema szczelinami”
„Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu
widzenia zdrowego rozsądku i w pełni zgadza się z doświadczeniem.
Mam więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest –
absurdalną”
„Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz
mechaniki kwantowej”
Richard Phillips Feynman (1918–1988)
1900 Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego
1905 Einstein - zjawisko fotoelektryczne
1913 Bohr - kwantowa teoria widm
1922 Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach
1924 Pauli - zakaz Pauliego
1925 de Broglie - fale materii
1926 Schrodinger - równanie falowe
1927 Heisenberg - zasada nieoznaczoności
1927 Davisson i Germer - dowód własności falowych elektronu
1927 Born - interpretacja funkcji falowej
długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne
mała długość fali (λλλλ1)duża częstość (1)
duża długość fali (λλλλ2)mała częstość (νννν2)
λλλλ1
1s
νννν 1 = 3 cykle/1s = 3Hz
λλλλνννν = c
barwa promieniowania elektromagnetycznego
widmo promieniowaniaelektromagnetycznego
widmo promieniowania ciała doskonale czarnego
promieniowanie obserwowane
wnęka o temperaturze T
obszar widzialny
prawo przesunięć Wiena
Tλmax = 1/5 c2 c2= 1.44 cmK
druga stała promieniowania
Prawo Stefana-Boltzmanna
ε = E/V= aT4
Prawo Rayleigha-Jeansa
pole elektromagnetyczne jako zbiór oscylatorów
dε = ρρρρdλλλλ ρρρρ = 8ππππkT/λλλλ4
katastrofa nadfioletowa
obszar widzialny
falowa natura cząstek
doświadczenie Davissona-Germerra
rozpraszanie elektonów na krysztale Ni
kryształ Ni
wiązka e-
efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905)
wybijanie e- pod wpływem naświetlania promieniowaniem UVen
erg
ia k
inet
yczn
a fo
toel
ektr
on
u, E
k
częstość padającego promieniowania, ν ν ν ν
Φ−= νhme2
21 v
wzrost Φ Φ Φ Φ Rb K Na
Φ<νh
korpuskularny charakter promieniowania
EFEKT COMPTONA
relacjade Broglie
1923
c
hp
ν=
λh
p =
( )Θ−=∆ cos1cλλ
pm426,2==cm
h
e
cλ
2c
Em =
λch
c
hvm ==
2
cząstce materialnej możemy przypisać falę o długości:
λλλλ = h/mv
gdzie: m - masa cząstki, v – prędkość cząstki
falę przypisaną cząstce nazywamy falą de Broglie’a
Dla makroskopowych obiektów fali de Broglie'a niejesteśmy w stanie zaobserwować. Przykładowoczłowiek o masie 100 kg pędzący z prędkością 10 m/s(ok. 36 km/h) ma przypisaną falę o długości:
λλλλ = 6.63∙10-34/100∙10 = 6.63∙10-37 m
Dla kuli karabinowej o m = 10 g i prędkości 1000 m/s
λλλλ = 6.63∙10-35 m
Dla elektronu o m = 9.11 ∙10-31 kg i prędkości 1∙107 m/s
λ = 7.27∙10-11 m(rząd odległości pomiędzy atomami w kryształach)
9,58 sUsain Bolt
widma promieniowania pierwiastkówskładają się z serii linii o określonych λλλλ
długość fali, λλλλ/ nm
np. widmo atomów He
Podczas całkowitego zaćmienia Słońca, (1868) P. Janssen, badając widmo korony słonecznej, zaobserwował pomarańczowy prążek odpowiadający długości fali 5876 Å, którego nie można było przypisać do żadnego spośród znanych wówczas pierwiastków. Helium od greckiego boga słońca Heliosa.
kwantowanie energii (Max Planck)
νnhE =
sJ10626,6 34 ⋅⋅= −h
rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów
Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, żemożna wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody,którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O.
Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposóbciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylkopewnymi porcjami.
ANALOGIA
WŁAŚCIWOŚCI FOTONÓW
energia masa pęd
νhE f =2c
hm f
ν=
λν h
c
hp f ==
h - stała Plancka = 6,62 . 10-34 J.s
νννν - częstość
λλλλ - długość fali
c – prędkość światła 3.108 m/s
Fakty doświadczalne, a zwłaszcza możliwośćzachodzenia zderzeń nie tylko pomiędzy cząsteczkami,ale również pomiędzy cząsteczkami a falami prowadzi downiosku wyprowadzonego przez Heisenberga
zasada nieoznaczoności Heisenberga
iloczyn niepewnościpołożenia (∆∆∆∆x) i pędu (∆∆∆∆p) musi być większy lubrówny wartości h/4ππππ::::
∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆p ≥ h/4ππππ
( ∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆px ≥ h, ∆∆∆∆x∙ ∆∆∆∆px ≥ ½hhhh )
Fizyka klasyczna:
ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne
Mechanika kwantowa:
cząstka rozmyta w przestrzeni jak fala
Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni
P – prawdopodobieństwo napotkania cząstki w objętości dV
ρρρρ = P/dV – gęstość prawdopodobieństwa
ρρρρ = ρρρρ (x, y, z)
∫ =1dVρ
Równanie Schrödingera
niezależne od czasu dla cząstki o masie m i energii E
poruszającej się w jednym wymiarze
ΨΨ)(Ψ
2 2
22
ExVdx
d
m=+−
h
E – energia cząstkiV(x) – energia potencjalna w punkcie x
– funkcja falowa (psi)
π2
h=h
Ψ
Ogólna postać równania Schrodingera
HΨ = EΨ
gdzie H oznacza tzw. operator Hamiltona
(czyli szereg operacji matematycznych jakie należy wykonać na
funkcji falowej Ψ).
Interpretacja Borna funkcji ΨΨΨΨKwadrat amplitudy fali de Broglie’a, a zatem i gęstość
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki są dane przez │ΨΨΨΨ│2
ρ = ρ (x, y, z) = │Ψ(x, y, z)│2
P = ρ (x, y, z) dV = │Ψ(x, y, z)│2dV
∫ =Ψ 1),,(2dVzyx
• jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1
• dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych miejscach)
• ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe (elektron nie może zanikać).
Rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcja o następujących właściwościach:
Cząstka w jednowymiarowym pudle potencjału
x = 0 x = L
Ψ(0)=0 Ψ(L) = 0
Warunek brzegowy dla x = 0 Ψ(x) = 0
sin kx = 0
cos kx = 1
Ψ(x)x=0 = B = 0
Ψ(x) = A sin kx
Warunek brzegowy dla x = L Ψ(L) = 0
Ψ(L) = A sin kL = 0
a zatem albo A = 0 albo sin kL = 0
Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że cząstka nie istnieje (Ψ(x)= 0 dla 0 < x< L)
Ogólne rozwiązania równania ma postać:
Ψ(x) = A sin kx + B cos kx, Ek = k2hhhh / 2m
a zatem sin kL = 0
kL = nπ
πnh
)mE2(L 2
1
=
n – liczba całkowita
2
22
8mL
hnE =
Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n
Dla stanu podstawowego n = 1
Dla stanu wzbudzonego n > 1
Można wykazać, że z warunku
∫ =ΨL
dxx0
2 1)(
wynika wzór
L
xn
Lxn
πsin
2)(
2
1
=Ψ
określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego.
Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwoznalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do
kwadratu funkcji falowej (Ψ2): prawdopodobieństwo to jestwyrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. Zauważ, żegęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jestpunktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.