podstawy matematyczne elektrotechniki i automatyki dla energetyków

Publikacja współfinansowana

ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt „Plan Rozwoju Politechniki

Częstochowskiej”

Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie na stronie:

www.plan-rozwoju.pcz.pl/energetyka.html

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

WYDZIAŁ INZYNIERII I OCHRONY ŚRODOWISKA

Zygmunt Piątek

PODSTAWY MATEMATYCZNE

ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI

DLA ENERGETYKÓW

CZĘSTOCHOWA 2009

0.5 1 1.5 2Q@ΩD

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

P@ΩD

GHjΩL=2

H1 + jΩL H1 + j5ΩL

Ω=0Ω=¥

1

PRZEDMOWA

Teoria sterowania i obwodów elektrycznych wymaga znajomości matematyki elementarnej i elementów matematyki wyŜszej. Dlatego w niniejszym opracowaniu przypominamy funkcje jednej zmiennej wraz z wykresami i ich granicami, elementy rachunku róŜniczkowego i całkowego, równania róŜniczkowe i funkcje dyskretne, liczby zespolone oraz funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a.

W opracowaniu zamieszczamy wiele staranie dobranych rysunków i przykładów rachunkowych wyjaśniających sens pojęć matematycznych ze szczególnym uwzględnieniem zastosowania matematyki w teorii elektrotechniki i automatyki.

Opracowanie nie pretenduje do pracy z matematyki. Pominięto w nim dowody matematyczne, które czytelnik moŜe znaleźć w podręcznikach z matematyki. Jest ono pewnego rodzaju poradnikiem czy teŜ zbiorem podstaw matematyki elementarnej i wyŜszej, których przyswojenie i biegłe posługiwanie się jest niezbędne do efektywnego uczestnictwa w wykładach z elektrotechniki i automatyki. Jednocześnie opracowanie to moŜe słuŜyć do szybkiego dostępu do tych dziedzin matematyki, które wykorzystywane są podczas wykładu, bez konieczności poszukiwań w wielu podręcznikach z matematyki.

1. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ

Funkcja jest przepisem przyporządkowującym jednym elementom inne i definiujemy ją następująco:

JeŜeli kaŜdemu elementowi x ze zbioru X jest przyporządkowany według pewnego przepisu pewien

element y ze zbioru Y, to mówimy, Ŝe została określona w zbiorze X funkcja o wartościach ze zbioru Y.

)(xfy = (1.1)

Element x nazywamy zmienną niezaleŜną lub argumentem, odpowiedni zaś element y, oznaczający to

samo co , nazywamy zmienną niezaleŜną lub wartością funkcji w punkcie x. Zbiór X nazywamy polem

funkcji lub dziedziną funkcji, a zbiór wartości funkcji , który jest częścią zbioru Y lub pokrywa się z nim, nazywamy zakresem funkcji.

Funkcję moŜemy określać w róŜny sposób, a mianowicie: • za pomocą przepisu słownego, • wzorem lub wzorami, • tabelarycznie, • graficznie.

1.1. Przykłady funkcji

Funkcja moŜe być opisana więcej niŜ jednym wzorem, np. funkcja (1.2) z rysunku 1.1.

>

≤<+−

≤≤−

−<≤

<

=

6 dla 0

63 dla 183

32 dla

23- dla -

-3 xdla 0

2

2

x

xx

xx

xx

y (1.2)

2

-2 2 4 6x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

y

y=x2

y=-x2

y=-3x+18

Rys. 1.1. Wykres funkcji określonej wzorem (1.2)

Przykłady innych funkcji wraz z ich wzorami i wykresami przedstawiamy poniŜej.

-2 -1 1 2x

-40

-20

20

40

y

y=10

y=10x

y=

1

x

-2 -1 1 2x

-40

-20

20

40

y

y=10

y=10x+5

y=

1

x-5

Rys. 1.2. Przykład funkcji stałej, proporcjonalności prostej i proporcjonalności odwrotnej

Rys. 1.3. Przesunięcie funkcji w zakresie funkcji

-2 -1 1 2x

-40

-20

20

40

y

y=10y=10Hx+1L

y=

1

x - 1

-2 -1 1 2x

-40

-20

20

40

y

y=10

y=10Hx+1L+5y=

1

x - 1-5

Rys. 1.4. Przesunięcie funkcji w polu funkcji Rys. 1.5. Przesunięcie funkcji w polu i zakresie funkcji Przyporządkowanie kaŜdej liczbie naturalnej n według pewnego przepisu jakąś liczbę )(na jest teŜ

funkcją nazywaną ciągiem nieskończonym, a wartość tej funkcji w punkcie n – n-tym wyrazem ciągu. Wyraz n-ty )(na oznaczamy krócej przez na ; liczbę n nazywamy wskaźnikiem wyrazu na , Ciąg o wyrazach 0a ,

1a , 2a ,…, na ,… oznaczamy krótko przez na . Funkcje taką moŜemy przedstawić za pomocą tzw. wykresu prąŜkowego (wykresu widmowego).

3

2 3 4 5 6 7 8n

100

200

300

400

500

an

an=nHn2+1L

Rys. 1.6. Wykres prąŜkowy (widmowy)

1.2. Funkcja okresowa

Funkcję )(xf nazywamy okresową o okresie T mierzonym w radianach, jeŜeli

)()( xfTxf =+ (1.3)

dla kaŜdego Xx∈ .

1 2 3 4

x

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

T 2T 3T

Rys. 1.7. Funkcja okresowa

Funkcją okresową często wykorzystywaną w automatyce (i nie tylko) jest funkcja sinusoidalna

)sin( )( αxAxf m += (1.4)

gdzie mA jest amplitudą funkcji, a kąt α przesunięciem fazowym, przy czym argument x tej funkcji jest

zawsze mierzony w radianach, a nie w stopniach, przy czym miara łukowa x kąta mającego ox wyraŜa się

wzorem o

o

180

πxx = .

-Π Π 2Π 3Π

x

-3

-2

-1

1

2

y

y=2sinx

y=2sinHx+Π3L

y=2sinx-1T=2Π

x0=-Α

Rys. 1.8. Funkcje sinusoidalne

4

Funkcję sinusoidalną w automatyce i elektrotechnice wykorzystuje się w postaci tzw. funkcji

harmonicznej względem czasu t, którą zapisujemy

)(sin )( 0ttAtf m += ω (1.5)

gdzie wielkość ω jest pulsacją lub częstotliwością kątową mierzoną w -1srad ⋅ wyraŜaną wzorem

fT

π2 π2

==ω (1.6)

w którym T

f1

= jest częstotliwością mierzoną w Hz (Hertz), a ωα

=0t jest przesunięciem fazowym w

dziedzinie czasu. Funkcja (1.5) jest funkcją okresową o okresie T mierzonym w sekundach, czyli

)(sin )()( 0ttAtfTtf m +==+ ω (1.7)

-Π Π 2Π 3Π

Ωt

-2

-1

1

2

y

y=2sinΩt

y=2sinHΩt+Π3L

y=sin2Ωt

T1=2ΠΩ

T2=T12

Ωt0=-Π3

Rys. 1.9. Funkcje harmoniczne argumentu tω

We wzorze (1.5) pulsacja ω mnoŜona jest przez jedynkę i dlatego funkcję tę nazywamy pierwszą

harmoniczną. Jeśli zaś pulsacja ta mnoŜona jest przez liczbą naturalną 0≠n , czyli gdy

)(sin )( 0nmnn ttnAtf += ω (1.8)

to taką funkcję nazywamy n-tą harmoniczną przy oczywistym związku n

TTn = .

Funkcje z rysunku 1.9. moŜemy przedstawiać, jako funkcje zmiennej t (czasu) – rys.1.10.

-10 10 20 30t@msD

-2

-1

1

2

y

y=2sinΩt

y=2sinHΩt+Π3L

y=sin2Ωt

f=50 Hz

t0=-3.33 ms

Rys. 1.10. Funkcje harmoniczne względem czasu t

5

1.3. Funkcje elementarne

Do funkcji elementarnych naleŜą: • Wielomiany, tj. funkcje postaci

nnn xaxaxaaxPxf ++++== ...)()( 2

210 (1.9)

gdzie n jest stopniem wielomianu, jeŜeli 0≠na .

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x

-2

-1

1

2

y

y=x2+1

y=-x2+3x-2

y=x6-14x5

+80x4-238x3

+387x2-324x+108

Rys. 1.11. Funkcje wielomianowe

Zera (miejsca zerowe, pierwiastki) wielomianu nazywamy kaŜdą liczbę x* taką, Ŝe

0)( * =xf (1.10)

Wielomian )(xPn jest podzielny przez wielomian )(xGm , przy czym nm < , jeŜeli istnieje taki

wielomian )(xS k , Ŝe )( )()( xSxGxP kmn = przy oczywistym związku kmn += .

MoŜemy udowodnić, Ŝe wielomian )(xPn mający pierwiastek x* jest podzielny przez wielomian

pierwszego stopnia )( *xx − , tzn. )( )()( 1* xSxxxP nn −−= . Stąd wynika, Ŝe wielomian n-tego stopnia

)(xPn ma co najwyŜej n pierwiastków. Jeśli ma dokładnie n pierwiastków 1x , 2x ,…, nx , to moŜemy przedstawić go w postaci )( ... )( )( )()( 21 nnn xxxxxxaxPxf −−−== (1.11)

Jeśli jakakolwiek z liczb 1x , 2x ,…, nx powtarza się dokładnie k razy, kx nazywamy k-krotnym

pierwiastkiem wielomianu.

y

x

y=f(x)

x* x* x*

pierwiastek pojedynczy

pierwiastek wielokrotny

nieparzystego rzędu

pierwiastek wielokrotny parzystego

rzędu

Rys. 1.12. Zera wielomianu

6

Wielomian moŜe nie mieć wcale pierwiastków (rzeczywistych). MoŜemy jednak wykazać, Ŝe kaŜdy

wielomian n-tego stopnia nnn xaxaxaaxPxf ++++== ...)()( 2

210 daje się rozłoŜyć na czynniki stopnia

pierwszego postaci )( *xx − lub kwadratowe ) ( 2 qxpx ++ o ujemnym wyróŜniku, przy czym suma stopni wszystkich czynników równa się n. Stąd teŜ dowodzimy twierdzenie, Ŝe kaŜdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek (rzeczywisty).

Przykład 1.1.

Wyznaczyć postacie iloczynowe poniŜszych wielomianów:

1. )2( )1(2 32 −−−=−+− xxxx

2. 3265432 )3( )2( )1(1480238387324108 −−−=+−+−+− xxxxxxxxx

3. 12 +x nie ma postaci iloczynowej albowiem wyróŜnik równania kwadratowego 0<∆

• Funkcje wymierne, tj. ilorazy dwóch wielomianów

)(

)()()(

xM

xLxWxf

n

m== (1.12)

-3 -2 -1 1 2 3x

-40

-30

-20

-10

10

20

30

y

y=x3 + 2 * x - 5

x2 - 1y=

2 * x + 1-2 + 2 x - x2 +

y=1

-4 + 3 x2 + x3

Rys. 1.13. Przykłady funkcji wymiernych

Jeśli nm ≥ , to dzieląc licznik )(xLm przez mianownik )(xM n otrzymujemy rozkład

)(

)()(

)(

)()()(

xM

xRxS

xM

xLxWxf

n

nrnms

n

m <−= +=== mm (1.13)

gdzie wielomian )(xS nms −= jest ilorazem wielomianów )(xLm i )(xM n , a wielomian )(xR nr< jest resztą z dzielenia tych wielomianów.

Przykład 1.2.

Wykonać dzielenie następujących wielomianów:

1. 1

53

1

52)()(

22

3

−

−+=

−

−+==

x

xx

x

xxxWxf

gdzie 52)( 33 −+= xxxL , 1)( 2

2 −= xxM , xxS =)(1 , 53)(1 −= xxR

7

2. 11

1)()(

2

+=−−

== xx

xxWxf

gdzie 1)( 22 −= xxL , 1)(1 −= xxM , 1)(1 += xxS , 0)( =xR

JeŜeli nm < , to funkcję wymierną )(

)()()(

xM

xLxWxf

n

m== nazywamy właściwą i wtedy moŜemy

przedstawić ją jako sumę tzw. ułamków prostych

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) l

ll

k

k

ll

ll

ll

ll

ll

ll

k

k

k

k

k

k

n

m

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

qxpx

CxB

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xM

xLxWxf

β

ββ

β

ββ

β

ββ

α

α

α

α

α

α

++

+++

++

++

++

++

+++

+++

++

++

++

++

+++

+++

++

++

++

++

+−

++−

+−

+

+−

++−

+−

+

+−

++−

+−

=≡=

222

222

11

222

11

2

222

2222

222

2121

112

11

2

112

1212

112

1111

221

2

2

22

22

2

21

1

1

21

12

1

11

...

.................................................................................................

...

...

)(...

)()(

-----------------------------------

)(...

)()(

)(...

)()()(

)()()(

2

22

1

11

2

2

1

1

(1.14)

gdzie kkAA α ,...,11 ,

llBB β ,...,11 , llCC β ,...,11 są to pewne stałe. Stałe te obliczamy mnoŜąc obie strony

toŜsamości (1.14) przez )(xM n i porównując po obu stronach współczynniki wielomianów przy tych samych potęgach zmiennej x albo teŜ innymi sposobami, które pokaŜemy poniŜej. Przykład 1.3.

RozłoŜyć następujące funkcje wymierne na ułamki proste:

1. ( ) ( ) 212 1

12)()(

22 +

++

−≡

+−

+==

x

CBx

x

A

xx

xxWxf

Obie trony powyŜszej toŜsamości mnoŜymy przez wspólny mianownik

( ) ( )2 1)( 23 +−= xxxM

porządkując jednocześnie wyrazy wielomianu po prawej stronie toŜsamości według malejących potęg x. Wtedy otrzymujemy toŜsamość

( ) ( ) ( )CAxBCxBAx −+−++≡+ 2 12 2

8

Następnie porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x po obu stronach ostatniej toŜsamości, otrzymując układ trzech równań z trzema niewiadomymi A, B, C

1 ,1 ,1 12 ,2 ,0 =−==⇒=−=−=+ CBACABCBA

Zatem funkcja wymierna po rozkładzie na ułamki proste ma postać

( ) ( ) 2

1

1

1

2 1

12)()(

22 +

+−+

−≡

+−

+==

x

x

xxx

xxWxf

2. ( )( ) ( )22 2212 1

1)()(

++

++

−≡

+−==

x

C

x

B

x

A

xxxWxf

Po pomnoŜeniu stronami powyŜszego równania przez wspólny mianownik, otrzymujemy

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 −++−++≡ xCxxBxA

Tym razem podstawiamy kolejno za zmienną niezaleŜną x tyle wartości, ile jest niewiadomych współczynników, gdyŜ z równości toŜsamościowej dwóch funkcji wynika równość ich wartości dla kaŜdej wartości zmiennej niezaleŜnej:

( )

9

1 2 41mamy 0 dla

3

1 31mamy 2 dla

9

1 21 1mamy 1 dla 2

−=⇒−−==

−=⇒−=−=

=⇒+==

BCBAx

CCx

AAx

a stąd

( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 3

1

2 9

1

1 9

1

2 1

1)()(

+−

+−

−≡

+−==

xxxxxxWxf

3. ( ) ( )( ) 2112 1 1

)()(−

++

+−

≡−+−

==x

C

x

B

x

A

xxx

xxWxf

Jeśli obie strony powyŜszej toŜsamości pomnoŜymy przez ( )1−x , to otrzymujemy

( )( )

( ) ( )2

1

1

1

2 1 −−

++−

+≡−+ x

xC

x

xBA

xx

x

Następnie zapiszemy otrzymaną toŜsamość dla 1=x , otrzymując

( )( ) 2

1

21 11

1−=⇒≡

−+AA

MnoŜąc z kolei toŜsamość wyjściową przez ( )1+x i wtedy

( )( )

( ) ( )2

1

1

1

2 1 −+

++−+

≡−− x

xCB

x

xA

xx

x

a następnie zapiszemy otrzymaną toŜsamość dla 1−=x . Wtedy mamy, Ŝe

9

( )( ) 6

1

21 11

1−=⇒≡

−−−−−

BB

W podobny sposób wyznaczamy stała C mnoŜąc stronami toŜsamość wyjściowa przez ( )2−x i w otrzymanej

toŜsamości podstawiamy 2=x , a stąd mamy, Ŝe 3

2=C . Ostatecznie funkcja wymierna po rozłoŜeniu na ułamki proste

ma postać

( )( )( ) )2( 3

3

)1( 6

1

)1( 2

1

2 1 1)()(

−+

+−

−−≡

−+−==

xxxxxx

xxWxf

• Funkcje niewymierne są to funkcje algebraiczne nie podpadające pod definicję funkcji

algebraicznych wymiernych.

Rys. 1.14. Przykłady funkcji niewymiernych

• Funkcje trygonometryczne poznaliśmy w kursie matematyki elementarnej. Funkcję )sin( )( αxAxf m += omówiliśmy powyŜej jako jedną z funkcji okresowych. Funkcję

)cos( )( αxAxf m += otrzymamy z funkcji sinusoidalnej, bowiem na podstawie wzoru redukcyjnego mamy

toŜsamość

)2

πsin( )cos( )( αxAαxAxf mm ++=+= (1.15)

co oznacza funkcję sinusoidalną )sin( αxAm + przesuniętą w lewo od osi rzędnych o kąt 2

π. Funkcję

)cos( )( αxAxf m += nazywamy zatem funkcją sinusoidalną albo teŜ harmoniczną względem czasu

określoną wzorem )(cos )( 0ttAtf m += ω (1.16)

Pozostałe elementarne funkcje trygonometryczne mają postać )(tg)( αxxf += (1.17)

oraz )(ctg)( αxxf += (1.18)

10

Rys. 1.15. Funkcje tangens Rys. 1.16. Funkcje cotangens

• Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi względem funkcji trygonometrycznych, czyli mamy

xxf sin arc)( = (1.19)

xxf cos arc)( = (1.20)

tgxarc)( =xf (1.21)

ctgx arc)( =xf (1.22)

Rys. 1.17. Funkcje arc sinx i arc cosx Rys. 1.18. Funkcje arc tgx i arc ctgx • Funkcję logarytmiczną o podstawie 2,71828e = argumentu rzeczywistego 0>x zapisujemy w

postaci xxf ln)( = (1.23) • Funkcją wykładniczą o podstawie 2,71828e = argumentu rzeczywistego x nazywamy funkcję

postaci

]exp[e)( xxf x == (1.24)

11

Rys. 1.19. Funkcje logarytmiczne Rys. 1.20. Funkcja wykładnicza

1.4. Granice funkcji

Funkcja )(xf o polu D ma w punkcie 0x (naleŜącym do D lub nie) granicę skończoną g, jeŜeli do

kaŜdej liczby 0>ε moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla wszystkich Dx∈ i spełniających nierówność

δ<−< 00 xx jest ε<− gxf )( . Granice funkcji zapisujemy w postaci

gxfxx

=→

)(lim0

(1.25)

Przykład 1.4. Wyznaczyć granice funkcji podane na rysunku 1.21:

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

y

y=12

x2

y=x2 - 4x - 2

y=2Sin@xD

xy=ý x ý

x

Rys. 1.21. Granice wybranych funkcji

1. 2

2

1)( xxf = przy 2→x . Po bezpośrednim podstawieniu za 2=x , otrzymujemy granicę 2

2

1lim 2

2=

→x

x, co

oznacza, Ŝe w tym przypadku granica funkcji w punkcie 2=x jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

2. 2

4)( 2

−

−=

x

xxf przy 2→x . W punkcie 2=x funkcja )(xf nie jest określona, ale 4

2

4lim 2

2=

−

−→ x

x

x.

12

3. x

xxf =)( przy 0→x . Funkcja ta jest określona wszędzie z wyjątkiem punktu 0=x . Dla 0<x wartość

funkcji 1)( −=xf , oraz dla 0>x wartość 1)( =xf . Stąd w punkcie 0=x funkcja ta nie ma granicy, poniewaŜ

wartości tej funkcji w Ŝadnym otoczeniu punktu 0=x nie róŜnią się dowolnie mało od pewnej liczby.

4. Dla porównania z powyŜszą funkcją moŜemy wykazać, Ŝe 2sin

2lim0

=→ x

x

x.

Funkcja )(xf ma w punkcie 0x granicę lewostronną (prawostronną) g, jeŜeli dla dowolnej liczby

0>ε moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla x spełniających nierówność 00 xxx <<− δ , (a dla granicy

prawostronnej δ+<< 00 xxx ) jest ε<− gxf )( . Granice te nazywamy granicami jednostronnymi i

zapisujemy w postaci

gxfxx

=−→

)(lim0

lub gxfxx

=+→

)(lim0

(1.26)

Przykład 1.5.

Wyznaczyć granice jednostronne funkcji x

xxf =)( . Funkcja ta ma stale wartość 1, gdy x>0, ma natomiast

wartość -1, gdy x<0. W punkcie x=0 nie jest ona określona, ma natomiast granicę lewostronną 1lim0

−=−→ x

x

xi

prawostronną 1lim0

=+→ x

x

x. Zwykłej granicy nie ma.

Funkcja )(xf określona w pewnym otoczeniu punktu 0x ma w tym punkcie granicę niewłaściwą ∞+

(lub ∞− ), jeśli dla dowolnej liczby 0>N moŜna dobrać taką liczbę 0>δ , Ŝe dla kaŜdego x spełniającego

nierówność δ<−< 00 xx jest Nxf >)( ) (lub Nxf −<)( dla granicy ∞− ). Granice te nazywamy

granicami niewłaściwymi i zapisujemy w postaci

+∞=+∞=

+∞=+∞=

++

−−

→→

→→

)(lim lub )(lim

)(lim lub )(lim

00

00

xfxf

xfxf

xxxx

xxxx (1.27)

jeśli zaś granice jednostronne są tego samego znaku, to mamy

+∞=→

)(lim0

xfxx

lub −∞=→

)(lim0

xfxx

(1.28)

Przykład 1.6.

Wyznaczyć granice funkcji podanych na rysunku 1.22:

1. 2

01.0)(

xxf = przy 0→x . Granica +∞===

→→→ +−)(lim)(lim)(lim

000xfxfxf

xxx. Prosta 0=x jest asymptotą

pionowa tej funkcji.

13

2. 21

1)(

xxf

−= przy 1→x . Granica +∞=

−→)(lim

1xf

x, zaś −∞=

+→)(lim

1xf

x. Granica −∞=

−−→)(lim

1xf

x, zaś

+∞=+−→

)(lim1

xfx

. Proste 1−=x i 1=x są asymptotami pionowymi tej funkcji.

-2 -1 1 2x

-10

-5

5

10

15

20y

y=0.01

x2

y=1

1 - x2

Rys. 1.22. Granice niewłaściwe

Funkcja )(xf ma w ∞+ (lub ∞− ) granicę g, jeśli dla dowolnej liczby 0>ε istnieje liczba 0>N ,

taka Ŝe dla Nx > (lub Nx −< w przypadku −∞→x ) spełniona jest nierówność ε<− gxf )( . Granice

takie zapisujemy w postaci

gxfx

=∞→

)(lim lub gxfx

=−∞→

)(lim (1.29)

Przykład 1.7.

Wyznaczyć granice funkcji podanych na rysunkach 1.23. i 1.24.

1. Dla funkcji xxf

1

e)( = otrzymujemy następujące granice:

0elim1

0=

−→

x

x, +∞=

+→

x

x

1

0elim , 1elim

1

=−∞→

x

x, 1elim

1

=+∞→

x

x.

Wyznaczanie granic w nieskończoności pozostałych funkcji sprowadzimy do przypadku wyznaczania granicy w nieskończoności dla argumentu rzeczywistego 0≥t , czyli przy +∞→t . Dotyczy to poszukiwania funkcji )(tf w tzw.

stanie ustalonym, gdzie zmienna t jest czasem.

-4 -2 2 4x

1

2

3

4

5y

y=e1x

0.5 1 1.5 2 2.5 3t

1

2

3

4

y

y=e-t

y=2

y=2*H1+e-tL

Rys. 1.23. Funkcja o róŜnych granicach dla 0→x Rys. 1.24. Granice w nieskończoności

14

2. Dla funkcji xxf

1

e)( = otrzymujemy następujące granice:

0elim1

0=

−→

x

x, +∞=

+→

x

x

1

0elim , 1elim

1

=−∞→

x

x, 1elim

1

=+∞→

x

x.

Wyznaczanie granic w nieskończoności pozostałych funkcji sprowadzimy do przypadku wyznaczania granicy w

nieskończoności dla argumentu rzeczywistego 0≥t , czyli przy +∞→t . Dotyczy to poszukiwania funkcji )(tf w tzw.

stanie ustalonym, gdzie zmienna t jest czasem.

3. ttf -e)( = przy +∞→t . Granica 0elim =∞→

-t

t, co oznacza teŜ, Ŝe prosta 0=y (oś odciętych) jest asymptotą

poziomą badanej funkcji.

4. ( )ttf −+= e1 2)( przy +∞→t . Granica ( ) 2e1 2lim =+ −

∞→ −

t

t, co oznacza teŜ, Ŝe prosta 2=y jest asymptotą

poziomą tej funkcji.

1.5. Pochodna i różniczka funkcji

W wielu zagadnieniach fizyki, techniki i innych wymaga się określenia, jakim zmianom podlega zaleŜna funkcja procesu, gdy zmienna niezaleŜna tej funkcji wzrasta lub maleje i jaka jest szybkość tych zmian. Zmiany takie moŜna wyznaczyć za pomocą rachunku elementarnego tylko w przypadku proporcjonalności prostej między funkcja a zmienną. W pozostałych przypadkach wprowadzamy pochodną

)(xf ′ funkcji )(xf w punkcie 0x .

Dla funkcji )(xfy = i dwóch róŜnych od siebie punktów 0xx ≠ tworzymy wyraŜenie nazywane

ilorazem róŜnicowym

0

0 )()(

xx

xfxf

−

− (1.30)

w którym )()( 0xfxf∆y −= nazywamy przyrostem zmiennej zaleŜnej (przyrostem funkcji), a róŜnica

0xx∆x −= - przyrostem zmiennej niezaleŜnej.

Pochodną funkcji )(xfy = w punkcie 0x nazywamy granicę (o ile istnieje)

0

000

)()(lim

d

d)()(

00

xx

xfxf

x

yxfxy

xxxx −

−=

=′=′

→=

(1.31)

x0

S

α

x

f(x0)

x

f(x)

T

C

B

A

∆y

∆x=dx

dy

y

f(x)

r

Rys. 1.25. Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej funkcji

15

Gdy 0xx → punkt C zbliŜa się do punktu B, sieczna S obraca się dookoła punktu [ ])( , 00 xfx aŜ do pokrycia się ze styczną T. Współczynnik kierunkowy siecznej dąŜy do współczynnika kierunkowego stycznej, czyli mamy, Ŝe

αtg)( 0 =′ xf (1.33) a to oznacza, Ŝe pochodna funkcji )(xfy = w punkcie 0x równa się tangensowi kata α , jaki styczna do

wykresu funkcji w punkcie [ ])( , 00 xfx tworzy z dodatnim kierunkiem osi x.

Pochodna funkcji jest oczywiście funkcją

∆x

xf∆xxf

x

yxfxy

∆x

)()(lim

d

d)()(

0

−+==′=′

→ (1.34)

Reguły róŜniczkowania i wzory na pochodne niektórych funkcji przedstawiamy w tabeli 1.1.

Tabela 1.1.: Reguły róŜniczkowania i pochodne wybranych funkcji

Numer

wzoru )()( xfxy = )()( xfxy ′=′

Numer

wzoru )()( xfxy = )()( xfxy ′=′

1 )()( xhxg ± )()( xhxg ′±′ 2 c (stała) 0

3 )( xgc )( xgc ′ 4 nx 1 −nxn

5 )( )( xhxg )( )()( )( xhxgxhxg ′+′ 6 nxc

1 −nxnc

7 )(

)(

xh

xg

[ ]2)(

)( )()( )(

xh

xfxgxfxg ′−′

8 n x

n nxn

1

1−

9 [ ])(xgF ,

)(xgu = )( )( xguF ′′

10 n

m

x

1

−n

m

xn

m

11 )(ln xg )(

)(

xg

xg ′ 12 xln

x

1

13 )(e xg )(e )( xgxg ′ 14 xe

xe

15 xsin xcos 16

xtg x2cos

1

17 xcos xsin− 18 xctg x2sin

1−

19 xsin arc 21

1

x− 20 x tgarc 21

1

x+

21 xcos arc 21

1

x−− 22 xctg arc 21

1

x+−

We wzorze (1.34) yd jest róŜniczką funkcji )(xfy = , która określamy jako iloczyn pochodnej przez

dowolny przyrost ∆xx =d , czyli róŜniczkę zmiennej niezaleŜnej x i zapisujemy

xxfy d )(d ′= (1.34)

16

Stąd teŜ mamy, Ŝe x

yxf

d

d)( =′ , co oznacza, Ŝe pochodna )()( xfxy ′=′ równa się stosunkowi róŜniczki

funkcji do róŜniczki zmiennej x. W interpretacji geometrycznej róŜniczka funkcji w punkcie 0x jest

przyrostem stycznej T do funkcji )(xfy = w tym punkcie przy danym przyroście xd zmiennej x, czyli

ABxαxxfyxx

==′==

d tgd )(d 00

(1.35)

RóŜniczka funkcji jest zatem częścią przyrostu (dodatniego lub ujemnego) funkcji, jakim powstaje na

skutek przyrostu (dodatniego lub ujemnego) zmiennej niezaleŜnej x. RóŜniczkę ABy =d nazywamy częścią

główną przyrostu ACy =∆ funkcji )(xfy = , a pozostała część BCx∆yr =−= d przyrostu – błędem

bezwzględnym. RóŜniczka jest wartością przybliŜoną przyrostu funkcji. PrzybliŜenie jest tym lepsze, im mniejszy jest przyrost zmiennej niezaleŜnej. Przykład 1.8.

Wyznaczyć pochodną funkcji

x

xxf

sin)( =

Do wyznaczenia tej pochodnej wykorzystamy wzór 7 z tabeli 1.1., otrzymując

( ) ( )

222

sincossincos sinsinsin)(

x

x

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

xxf −=

−=

′−′=

′

=′

1.6. Całka nieoznaczona

W rachunku róŜniczkowym wyznaczaliśmy pochodną )(xF ′ funkcji )(xF stwierdzając przy tym, Ŝe

pochodna ta teŜ jest funkcją zmiennej niezaleŜnej x, czyli

x

xFxFxf

d

)(d)()( =′= (1.36)

W wielu zagadnieniach mamy funkcję )(xf i chcemy wyznaczyć taką funkcję )(xF , aby między tymi

dwoma funkcjami był spełniony związek )()( xfxF =′ . Funkcję )(xF , której pochodna równa się danej

funkcji )(xf , nazywamy funkcją pierwotną funkcji )(xf . Z łatwością zauwaŜamy, Ŝe kaŜda funkcja

cxF +)( , gdzie c jest dowolną stałą, jest równieŜ funkcją pierwotna funkcji )(xf , bo mamy

[ ] )()()( xfxFcxF =′=′+ . Zatem istnieje rodzina funkcji pierwotnych funkcji danej.

Rodzinę funkcji pierwotnych danej funkcji )(xf nazywamy całką nieoznaczoną funkcji )(xf i

zapisujemy symbolem

cxFxxf +=∫ )(d )( (1.37)

Wtedy teŜ funkcję )(xf nazywamy funkcją podcałkową, a liczbę c stałą całkowania.

Funkcję )(xf , dla której istnieje całka ∫ xxf d )( , nazywamy funkcja całkowalną.

Z definicji całki wynika, Ŝe kaŜdy wzór na pochodną funkcji moŜemy zarazem traktować jako wzór na obliczanie całki jakiejś funkcji dodając do funkcji pierwotnej stałą c. Trzeba jednak zaznaczyć, Ŝe całkowanie jest trudniejsze na ogół niŜ róŜniczkowanie, bowiem łatwo wyznaczamy pochodne funkcji elementarnych, otrzymują kolejną funkcje elementarną, natomiast całkowanie wielu funkcji elementarnych

17

prowadzi do złoŜonych funkcji nieelementarnych. Przykładem niech będzie funkcja elementarna x

xsin,

której pochodną wyznaczymy z reguły róŜniczkowania ilorazu dwóch funkcji. Natomiast wyznaczenie

∫ xx

xd

sin jest zadaniem trudnym, ale moŜliwym do wykonania. NaleŜy takŜe zaznaczyć, Ŝe reguły

całkowania z reguły są inne niŜ róŜniczkowania. Niektóre z nich podajemy w tabeli 1.2.

Tabela 1.2.: Wybrane reguły całkowania i całki niektórych funkcji (bez stałej c)

Nr

wzoru )(xF ∫= xxFxf d )()(

Nr

wzoru )(xF ∫= xxFxf d )()(

1

)()( xhxg ± ∫∫ ± xxhxxg d )(d )( 2 )(xf ′ )(xf

3 )( xgc ∫ xxgc d )( 4 )( )( xhxg ′ ∫ ′−

−

xxhxg

xhxg

d )( )(

)( )(

5 nx

1 1

1 +

+nx

n 6

x

1

xln

7 ( )nbax ± ( )

( ) 1

1

1 +±+

nbax

na 8

bax ±1

( )bax

a

b

a

x±ln

2m

9 xxa +2

1 a

x

a tgarc

1

10 22

1

xa −

axxa

xa

a<

−+

dla ln2

1

axax

ax

a>

+−

dla ln2

1

11 22 xa

a

− a

xsin arc

12 22 xa

x

− 22

xa −−

13 22ax

x

±

22ax ±

14 22

1

axx +

++−

x

axa

a

22

ln1

15 axe

axea

1

15 xln

xxx −ln

Przykład 1.9.

Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji xxxf sin )( =

JeŜeli w całce

xxxxxfI d sin d )( ∫∫ == oznaczymy przez xxg =)( oraz xxh sin)( =′ , to mamy, Ŝe 1)( =′ xg oraz xxh cos)( −= . MoŜemy teraz wykorzystać

wzór 4 z tabeli 1.2., otrzymując

cxxxxxxxI ++−=⋅+−= ∫ sincos d cos1cos

18

przedstawioną wyŜej, często uŜywaną, metodę całkowania nazywamy całkowaniem przez części. Rezultat całkowania osiągnięty tą metodą zaleŜy w znacznym stopniu od umiejętnego rozkładu na czynniki funkcji występującej w całce, która obliczamy.

Przykład 1.10.

Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji

x

xxf

ln)( =

JeŜeli w całce

xxxx

xxxfI d

x

1 lnd

lnd )( ∫∫∫

===

podstawimy za tx =ln i zróŜniczkujemy prawą stronę tego podstawienia względem zmienne x, zaś lewą względem

zmiennej t, to otrzymujemy Ŝe txx

dd 1

= i wtedy całka

cxctttI +=+== ∫ 22 ln2

1

2

1d

Przykład 1.11.

Wyznaczyć całkę nieoznaczoną z funkcji 1

12)(

2

23

−

−−=

x

xxxf .

Funkcję podcałkową moŜemy rozłoŜyć na ułamki proste, czyli mamy, Ŝe

1

2

1

12

1

12)(

2

23

++

−−−≡

−

−−=

xxx

x

xxxf

Jeśli teraz zastosujemy wzór 1 z tabeli 1.2., to otrzymujemy całkę

xx

xx

xxxxxfI d 1

2d

1

1d 2d d )( ∫∫∫∫∫ +

+−

−−==

Całka ta jest sumą całek elementarnych, a więc ma postać

( )

cx

xxxcxxxxxxfI +

−

++

−=+++−−−== ∫ 1

1ln

2

41ln 21ln2

2

1d )(

222

1.7. Całka oznaczona

Całkę oznaczoną obliczamy w następujący sposób: JeŜeli )(xF jest jedną z funkcji pierwotnych dla

funkcji )(xf ciągłej w przedziale bxa ≤≤ , to

)()()(d )( aFbFxFxxfb

a

b

a

−==∫ (1.38)

JeŜeli dla wszystkich punktów ) ,( yx pewnej figury o polu D spełnione są warunki

≤≤

≤≤

0)( yxf

bxa (1.39)

19

to całkę oznaczoną (1.38) moŜemy interpretować geometrycznie jako pole D zawarte między funkcją )(xf ,

a osią odciętych x – rys.1.26., czyli

DaFbFxFxxfb

a

b

a

=−==∫ )()()(d )( (1.40)

b

f(a) x

f(b)

y

f(x)

a c ξ

f(ξ)

f(c) D

Rys. 1.26. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Z istotnych twierdzeń dotyczących całki oznaczonej jest twierdzenie o wartości średniej funkcji )(xf w

przedziale bxa ≤≤ , a mianowicie

∫−=

b

a

xxfab

f d )(1

)(ξ (1.41)

gdzie punkt naleŜy do przedziału bxa ≤≤ . Niektóre własności całek oznaczonych podajemy w tabeli 1.3.

Tabela 1.2.: Niektóre własności całek oznaczonych)

Nr

wzoru Wzór

Nr

wzoru Wzór

1

∫∫ −=a

b

b

a

xxfxxf d )(d )(

2 0d )( =∫a

a

xxf

3 ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

xxfxxfxxf d )(d )(d )( 4 ∫∫ =b

a

b

a

ttfxxf d )(d )(

5 ∫∫ =b

a

b

a

xxfCxxfC d )( d )( 6 ( ) )( d )( ξfabxxf

b

a

−=∫

Przykład 1.12.

Wyznaczyć pole figury ograniczone łukami parabol 21 )( xxf = i xxf =)(2 .

20

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y

f1HxL=x2

f2HxL=!!!!

x

Rys. 1.27. Zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pola ograniczonego dwoma łukami Poszukiwane pole jest róŜnicą pól zawartych między funkcjami a osią odciętych x,

czyli mamy ∫∫∫∫ −=−=−=1

0

2

1

0

1

0

2

1

0

121 d d d )(d )( xxxxxxfxxfDDD , a po obliczeniu tych całek otrzymujemy, Ŝe

3

1

3

1

3

2

3

1

3

21

0

3

1

0

2

3

=−=−= xxD .

2. RÓWNANIA RÓśNICZKOWE ZWYCZAJNE

Wiele problemów fizyki, równieŜ teorii sterowania, polega na rozwiązywaniu pewnej klasy równań, w których występują pochodne funkcji, przy zadanych warunkach granicznych. Równaniami tymi są równania róŜniczkowe zwyczajne i cząstkowe.

2.1. Definicja równań różniczkowych zwyczajnych

JeŜeli poszukujemy funkcji )(xy ϕ= takiej, by dla kaŜdego x z pewnego przedziału zachodziło

[ ] 0)( ..., ),( ),( , )( =′ xxxxf nϕϕϕ (2.1)

to o funkcji )(xy ϕ= mówimy, Ŝe spełnia ona to równanie lub teŜ jest jego rozwiązaniem. Takie równanie

nazywamy równaniem róŜniczkowym zwyczajnym. Rząd najwyŜszej pochodnej poszukiwanej funkcji występującej w równaniu nazywamy rzędem równania róŜniczkowego.

JeŜeli w równaniu (2.1) mamy wielomiany stopnia k zmiennych )( ..., , , nyyy ′ , to liczba k jest stopniem

równania. JeŜeli 1=k , to równanie jest stopnia pierwszego lub równaniem liniowym. Równanie liniowe stopnia pierwszego, a n-tego rzędu ma postać

0)( )( )(... )( )( 1)1(

1)(

0 =++′+++ −− xbyxayxayxayxa nn

nn (2.2)

przy czym 0)(0 ≠xa , a współczynniki )( ),...,( ),( 10 xaxaxa n są dowolnymi funkcjami zmiennej x.

JeŜeli współczynniki te są liczbami stałymi, to równanie (2.2) nazywamy równaniem róŜniczkowym

zwyczajnym o stałych współczynnikach. W przypadku gdy 0)( =xb , to równanie (2.2) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.

21

KaŜde rozwiązanie )(xy ϕ= równania róŜniczkowego nazywamy całką równania róŜniczkowego, a

krzywą o tym rozwiązaniu, nazywa się krzywą całkową tego równania. W całkach tych występują stałe dowolne i dlatego dla danego równania róŜniczkowego całek takich jest nieskończenie wiele. JeŜeli stałym tym nadamy określone wartości, to otrzymujemy rozwiązanie nazywane całkami szczególnymi, podczas gdy ogólne rozwiązanie nazywa się całka ogólną. Liczba stałych jest równa rzędowi równania róŜniczkowego i stałe te, występujące w rozwiązaniu ogólnym równania róŜniczkowego, wyznacza się z n dodatkowych warunków nazywanych warunkami brzegowymi, jeśli są zadane na krańcach przedziału, w których funkcja jest określona, lub początkowymi (warunkami Cauchy’ego), jeśli zadane są w jednym punkcie. W niniejszym punkcie zajmiemy się niemal wyłącznie prostymi typami równań, a przede wszystkimi równaniami liniowymi o stałych współczynnikach.

2.2. Równania różniczkowe f(x)y =′

Równanie róŜniczkowe )(xfy =′ jest szczególnym przypadkiem równania (2.2), gdzie pochodna y′ występuje tylko w pierwszej potędze ze współczynnikiem 1. Mamy zatem równanie

)(xfy =′ (2.3)

lub inaczej

)(d

dxf

x

y= (2.4)

Następnie powyŜsze równanie moŜemy scałkować stronami względem zmiennej x, otrzymując

∫∫∫∫ =⇒= xxfyxxfxx

yd )(d d )(d

d

d (2.5)

a w rozwiązaniu równania róŜniczkowego mamy, Ŝe

∫=+= xxfcxy d )()(ϕ (2.6)

Otrzymujemy więc nieskończoną liczbę rozwiązań, przy czym funkcja )(xϕ jest pewną całką

szczególną równania (2.3), a więc funkcją pierwotną względem funkcji )(xf . Całka ogólna równania (2.3)

ma postać cx +)(ϕ .

Rozwiązaniami równania róŜniczkowego postaci (2.3) są wszystkie całki nieoznaczone.

Przykład 2.1.

Rozwiązać równanie xy =′ .

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

y

y=

1

2x2

+c

c=1

c=2

c=-1

Rys. 2.1. Całki ogólne równania róŜniczkowego xy =′

22

Mamy zatem do rozwiązania równanie róŜniczkowe

cxyxxyxx

y+=⇒=⇒= 2

2

1 d d

d

d

czyli w rozwiązaniu otrzymujemy całkę ogólną, która przedstawia sobą rodzinę parabol (nieskończenie wiele) – rys. 2.1. Całkę szczególną tego równania róŜniczkowego moŜemy wyznaczyć zadając warunek początkowy, np. 1)0( =y i

wtedy mamy równanie umoŜliwiające nam określenie stałej c, czyli

1 2

1)( 1 0

2

11)0( 22 +==⇒=⇒+== xxyccy ϕ

2.3. Równania różniczkowe f(y)y =′

Zakładamy, Ŝe prawa strona równania

)(yfy =′ (2.7)

jest funkcja ciągłą zmiennej y w pewnym przedziale i nie zaleŜy od x. Z równania (2.7), otrzymujemy

1)(=

′

yf

y (2.8)

a następnie wykonujemy całkowanie

cyGyf

yxxx

x

y

yfxx

yf

y+==⇒=⇒⋅=

′∫∫∫∫ )(

)(

d d

d

d

)(

1 d1d

)( (2.9)

Jeśli teraz znajdziemy funkcję g odwrotną do funkcji G, czyli )( cxgy −= , to będziemy mieć

rozwiązanie równania róŜniczkowego (2.7). Przykład 2.2.

Rozwiązać równanie yy =′ .

-2 -1 1 2x

-5

5

10

15

y

y=Cex C=1

C=2

C=-1

Rys. 2.2. Całki ogólne równania róŜniczkowego yy =′

Z równania wyjściowego, otrzymujemy 1=′

y

y. Następnie wykonujemy całkowanie

cyyy

xx

y

yxxx

x

y

yxx

y

y+===⇒=⇒=

′∫∫∫∫∫ lnd

1d

d

d1 d

d

d1 dd

23

Teraz moŜemy wyznaczyć funkcję odwrotną xxccx cy e e ee 1=== −− , gdzie nowa stała cc −= e1 . Ostatecznie

mamy rozwiązanie równania róŜniczkowego, jego całkę ogólną, w postaci wzoru xCy e = , w którym C oznacza

dowolną stałą. Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 2)0( =y i wtedy

2 2)0( =⇒== CCy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać xy e 2= .

2.4. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Zakładamy, Ŝe prawa strona równania

)()( ygxfy ⋅=′ (2.10)

jest iloczynem dwóch funkcji ciągłych w pewnych przedziałach. PowyŜsze równanie nazywa się równaniem

o zmiennych rozdzielonych. PowyŜsze równanie zapiszemy w postaci

)()(

xfyg

y=

′ (2.11)

i wykonamy całkowanie

∫∫∫∫∫∫ =⇒=⇒=′

xxfyg

yxxfx

x

y

ygxxfx

yg

yd )(

)(

d d )(d

d

d

)(

1 d )(d

)( (2.12)

Jeśli funkcja )(yG jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej całki z lewej strony równania (1.53), a

funkcja )(xF jest funkcją pierwotną funkcji podcałkowej całki z prawej strony tego równania, to równanie

to moŜemy zapisać w postaci

cxFyG += )()( (2.13)

Przykład 2.3.

Rozwiązać równanie x

yy −=′ .

-6 -4 -2 2 4 6x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

y

y=

c

x

c=2c=-2

c=10c=-10

Rys. 2.3. Całki ogólne równania róŜniczkowego x

yy −=′

24

Równanie to moŜemy widzieć w postaci x

yy

11−=′ i po jego scałkowaniu, otrzymujemy

dd

d1

dd

d1 d

1d

1∫∫∫∫∫∫ −=⇒−=⇒−=′

x

x

y

yx

xx

x

y

yx

xxy

y.

Ostatecznie w rozwiązaniu równania róŜniczkowego mamy całkę ogólną x

cy

x

cy =⇒= lnln , która jest

rodzina hiperbol – rys. 2.3. Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 2)1( =y i wtedy

2 2)1( =⇒== CCy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać x

y2

= .

2.5. Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Równanie

)( )( xqyxpy =+′ (2.14)

nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego, a jeŜeli 0)( =xq , to

równanie (2.14) jest równaniem róŜniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego, które ma postać

0 )( =+′ yxpy (2.15) To ostatnie równanie zapisane w postaci

)(xpy

y−=

′ (2.16)

jest szczególnym przypadkiem równania o zmiennych rozdzielonych. Zatem po scałkowaniu go względem zmiennej x

∫∫ −=′

xxpxy

yd )(d (2.17)

a stąd otrzymujemy, Ŝe

cxFy +−= )(ln (2.18)

a więc

)(e e xFcy −= (2.19)

i ostatecznie

)(e xFCy −= (2.20)

gdzie C jest dowolną stałą mogącą przyjmować wartości dodatnie ce i ujemne ce- . Rozwiązanie (2.20) jest całka ogólną równania jednorodnego (2.15), ale nie spełnia ono równania

niejednorodnego (2.14). JeŜeli jednak stałą C zastąpimy odpowiednio dobraną funkcją )(xC zmiennej x, to

okaŜe się, Ŝe funkcja

)(e )( xFxCy −= (2.21)

jest całką ogólną równania niejednorodnego (2.14). Aby znaleźć funkcję )(xC , róŜniczkujemy równanie (2.20), podstawiamy y oraz y′ do równania (2.14)

i wyznaczamy

)(e )()( xFxqxC =′ (2.22)

25

a więc

∫= xxqxC xF d e )()( )( (2.23)

Zatem rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja

[ ]∫−= xxqy xFxF d e )( e )()( (2.24)

NaleŜy tutaj pamiętać, Ŝe z prawej strony powyŜszego rozwiązania występuje całka nieoznaczona, a więc w rozwiązaniu tym pojawi się jedna stała K, którą będziemy mogli wyznaczyć z warunku początkowego. W zagadnieniach fizyki i techniki stałą tą wygodniej jest wprowadzić juŜ w rozwiązaniu (2.23), czyli mamy

KxxqxC xF += ∫ d e )()( )( (2.25)

co oznacza, Ŝe w rozwiązaniu całki nieoznaczonej we wzorze (2.25) podajemy tylko jej funkcję pierwotną. Wtedy teŜ całka ogólna równania niejednorodnego (2.14) ma postać

∫−− += xxqKy xFxFxF d e )(ee )()()( (2.26)

Szczególnym przypadkiem równania niejednorodnego rzędu pierwszego jest równanie liniowe

niejednorodne pierwszego rzędu o stałych współczynnikach

)( xqbyya =+′ (2.27)

gdzie a oraz b są wielkościami stałymi. JeŜeli do tego równania zastosujemy procedurę rozwiązywania pokazaną wyŜej, to w rozwiązaniu

równania jednorodnego

0 =+′ yya (2.28)

otrzymujemy jego całkę ogólną

a

x

Cy−

= e (2.29)

Po uzmiennieniu stałej )(xC mamy

a

x

xCy−

= e )( (2.30)

zróŜniczkowaniu stronami tego równanie i odpowiednim podstawieniu do równania niejednorodnego (2.27), otrzymujemy pochodną uzmiennionej stałej

)( e )( xqa

bxC a

x

=′ (2.31)

a stąd

∫= xxqa

bxC a

x

d )( e )( (2.32)

i ostatecznie całka ogólna równania niejednorodnego

26

= ∫

−xxq

a

by a

x

a

x

d )( e e (2.33)

w której wystąpi jedna stała K, bowiem w rozwiązaniu (2.33) mamy całkę nieoznaczoną. Stała tą typy moŜemy wprowadzić wcześniej, a mianowicie

Kxxqa

bxC a

x

+= ∫ d )( e )( (2.34)

i wtedy rozwiązanie ogólne równania (2.27) ma postać

∫−−

+= xxqa

bKy a

x

a

x

a

x

d )( e e e (2.35)

Przykład 2.4.

Rozwiązać równanie 12

1=+′ yy .

-4 -2 2 4x

-10

10

20

y

y=2+K*Exp@-x

2D

K=0, Hy=2L

K=2

K=-2

K=5

K=-5

Rys. 2.4. Całki ogólne równania róŜniczkowego 22 =+′ yy

PowyŜsze równanie jest równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym pierwszego rzędu o stałych

współczynnikach typu (2.27), bowiem z łatwością uzyskujemy następującą jego postać: 22 =+′ yy . Wtedy moŜemy

powtórzyć procedurę jego rozwiązywania podaną wyŜej lub wykorzystać rozwiązanie (2.33), otrzymując całkę ogólną

22222 e 22e ed e e xxxxx

KKxy−−−

+=

+=

= ∫ , gdzie M i N są dowolnymi stałymi. Jeśli zaś wykorzystamy wzór

(1.76), to mamy rozwiązanie 2222 e 2d e ee xxxx

KxKy−−−

+=+= ∫ . Całka ogólna równania opisuje rodzinę hiperbol i

prostą 2=y (dla 0=K ) – rys. 2.4.

Jeśli chcemy mieć rozwiązanie szczególne, to musimy zadać warunek początkowy, np. 1)0( =y i wtedy

1 21)0( −=⇒+== KKy , a stąd rozwiązanie szczególne równania róŜniczkowego ma postać 2e 2x

y−

−= .

Przykład 2.5.

Rozwiązać równanie xyy sin 42 =+′ .

27

W powyŜszym równaniu 2=a , 4=b , xxq sin)( = . Jeśli wykorzystamy wzór (2.35), to mamy rozwiązanie

∫−−

+= xxKy

xxx

d sin e e 2e 222 . Wykonując całkowanie przez części obliczamy całkę

( ) )sin(52sincos 2 e 5

2d sin e 22 α−=−−=∫ xxxxx

xx

, gdzie 2 tgarc=α . Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

)sin(54e 2 α−+=−

xKy

x

.

Całka ogólna równania opisuje rodzinę sumy sinusoidy i funkcji tłumionej – rys. 2.5.

Π2 Π 3Π2 2Π

x

-20

-15

-10

-5

5

10

y

y=K*Exp@-x

2D+4*

!!!!5 *Sin@x-ΑD

K=0

K=5

K=-5

K=15

K=-15

Rys. 2.5. Całki ogólne równania róŜniczkowego xyy sin 42 =+′

2.6. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Równanie

0 =+′+′′ ybyay (2.36)

gdzie współczynniki a i b są stałe nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym jednorodnym drugiego

rzędu o stałych współczynnikach. JeŜeli przyjmiemy funkcję

xry e= (2.37)

gdzie r jest stałą, a następnie wykonamy jej dwukrotne róŜniczkowanie ze względu na zmienną x i dokonamy podstawień tych pochodnych do równania (2.36), to otrzymamy

( ) 0 e 2 =++ brarxr (2.38) Z równania (2.38) wynika, Ŝe funkcja (2.37) jest rozwiązaniem równania (2.36), gdy stała r spełnia równanie

0 2 =++ brar (2.39) czyli gdy jest jego pierwiastkiem (miejscem zerowym).

Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania (2.36). W tym przypadku jest to równanie kwadratowe, a zatem jego rozwiązanie zaleŜy od znaku jego wyróŜnika.

• Gdy 0>∆ , to równanie (2.39) ma dwa róŜne pierwiastki rzeczywiste 1r i 2r . Wtedy rozwiązanie

ogólne równania (2.36) ma postać

28

2 21 1

2

121 ee yCyCCCyxrxr +=+= (2.40)

gdzie 1C oraz 2C są dowolnymi stałymi, a xry

1

1e= oraz xry

2

2e= .

• Gdy 0=∆ , to równanie (2.39) ma jeden pierwiastek podwójny 0r . Wtedy funkcja

xr

y

10e= (2.41)

jest rozwiązaniem szczególnym równania (2.36). Wiemy jednak, Ŝe rozwiązanie ogólne równania róŜniczkowego drugiego rzędu jest kombinacją liniową dwóch rozwiązań szczególny z dwoma stałymi 1C i

2C . Zatem brakuje nam jeszcze jednego rozwiązania szczególnego. W celu jego wyznaczenia zróŜniczkujemy równanie (2.38) względem r, otrzymując

( ) ( ) 0 2 e e 2 =++++ arbrarx xrxr (2.42) a stąd mamy, Ŝe

( )[ ] 0 2 e 2 =++++ arbrarxxr (2.43)

Jeśli 0r jest pierwiastkiem podwójnym równania charakterystycznego, to z równania (2.43) mamy, Ŝe

0 2 0 002

0 =+∩=++ arbrar (2.44) A zatem dla 0rr = równanie (2.42) jest spełnione, więc funkcja

xr

xy

20e = (2.45)

jest drugim rozwiązanie szczególnym równania (2.36). Wobec czego jego rozwiązanie ogólne ma postać

xrxr

xCCyCyCy

2

12 21 100 e e +=+= (2.46)

• Gdy 0<∆ , to równanie (2.39) nie ma pierwiastków rzeczywistych lecz pierwiastki zespolone*

βα j 4 2

1 j

2

1 22 ,1 ±=−±−= abar (2.47)

gdzie

2 4

2

1 oraz

2

1aba −=−= βα (2.48)

Zatem, zgodnie ze wzorem (2.40), zespolone rozwiązanie ogólne równania (2.36) ma postać

xxxx

CCy -j

2 j

1 e ee e βαβα += (2.49)

a stąd rzeczywiste rozwiązanie ogólne

2 21 1

2

1

-j 1

j 1

cos esin e

e eRee eIm

yCyCxCβxC

CCy

xx

xxxx

+=+=

=+=

βαα

βαβα

(2.50)

gdzie βxy x sin e 1

α= , a βxy x cos e 2

α= .

* Liczby zespolone omówiono w rozdziale 3.

29

MoŜemy łatwo sprawdzić, Ŝe funkcje 1y , 2y jak równieŜ ich suma 21 yy + spełniają równanie (2.36)

przy dowolnie wybranych stałych 1C oraz 2C .

Rozwiązania (2.40), (2.46) lub (2.50) zaleŜą od dwóch stałych 1C i 2C , tj. od tylu stałych, jaki jest rząd

równania. Stałe te wyznaczamy z zadanych warunków początkowych, tj. ze znanych wartości funkcji 0y i

jej pochodnej 0y′ w wybranym punkcie 0x , czyli dla układu dwóch równań 000 )( cyxy == oraz

100 )( cyxy =′=′ .

Przykład 2.6.

Rozwiązać równanie 0 65 =+′+′′ yyy .

W powyŜszym równaniu 5=a oraz 6=b , a stąd równanie charakterystyczne ma postać

06 52 =++ rr

WyróŜnik tego równania 01>=∆ , więc istnieją dwa róŜne pierwiastki rzeczywiste 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką

ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.40), jest funkcja

xx CCy 2

2 3

1 ee −− +=

Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej

xx CCy 2

2 3

1 e 2e 3 −− −−=′

w następującej postaci

=−−=′

=+=

0 2 3)0(

1)0(

2 1

2 1

CCy

CCy

Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 2 1 −=C oraz 3 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego

równania róŜniczkowego ma postać

21 2 3 e 3e 2 yyy xx +=+−= −−

gdzie

xxxx yyy 2

2 3

1 2 3 e 3 oraz e 2e 3e 2 −−−− =−==+−=

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.6.

0.5 1 1.5 2x

-2

-1

1

2

3

y

y=-2e-3 x+3e-2 x

y1=-2e-3 x

y2=3e-2 x

Rys. 2.6. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 65 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)

30

Przykład 2.7.



04 42 =++ rr

WyróŜnik tego równania 0=∆ , więc istnieją jeden rzeczywisty pierwiastek podwójny rzeczywiste 20 −=r . Zatem

całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.46), jest funkcja

xx xCCy 2

2 2

1 e e −− += Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne danego równania róŜniczkowego, zadajemy warunki początkowe dla funkcji y oraz jej pochodnej

( )xxx xCCy 2 2 2

3 1 e 2ee 2 −−− −+−=′

w następującej postaci

=+−=′

==

0 2)0(

1)0(

2 1

1

CCy

Cy

Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =C oraz 2 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego


21 2 2 e 2e yyxy xx +=+= −−

gdzie

xy 2

1 e−= oraz xxy 22 e 2 −=

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.7.

0.5 1 1.5 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

y=e-2 x+2xe-2 x

y1=e-2 x

y2=2xe-2 x

Rys.2.7. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 44 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)

Przykład 2.8.



02 22 =++ rr

WyróŜnik tego równania 04 <−=∆ , więc istnieją dwa pierwiastki zespolone

31

βα j j12 ,1 ±=±−=r gdzie

1−=α oraz 1=β Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.50), jest funkcja

x eCx eCy -x

x

cossin 21 += −


( ) ( )xx eCxx- eCy -x

x

sincossincos 21 +−=′ − w następującej postaci

=−=′

==

0)0(

1)0(

2 1

2

CCy

Cy

Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =C oraz 1 2 =C . Wtedy całka szczególna badanego


( ) ( ) x eyyxx exx- ey -x-x x sin 2sincossincos 21 −=+=+−= −

gdzie

( )xx- ey x sincos1−=

oraz

( )xx ey -x sincos2 +−= czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji wykładniczych – rys. 2.8.

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

y

y=-2e-x*sinx

y1=e-xHcosx-sinxL

y2=e-xHcosx+sinx

Rys. 2.8. Całki szczególne równania róŜniczkowego 0 22 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)

2.7. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Równanie

)( xqybyay =+′+′′ (2.51)

gdzie współczynniki a i b są stałe nazywamy równaniem róŜniczkowym liniowym niejednorodnym

drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Zakładamy, Ŝe rozwiązaniem równania jednorodnego (2.36) jest funkcja

2 21 1

2

121 ee yCyCCCyxrxr +=+= (2.52)

32

gdzie funkcje 1y oraz 2y mają postać zaleŜna od wyróŜnika ∆ równania charakterystycznego (2.39).

MoŜemy wykazać, Ŝe jeśli stałe w równaniu (2.51) zastąpimy odpowiednio dobranymi funkcjami )(1 xC

oraz )(2 xC zmiennej x, to funkcja

2211

2

1 )( )(e )(e )( 21 yxCyxCxCxCyxrxr +=+= (2.53)

jest rozwiązaniem ogólnym równania (2.51). Aby wyznaczyć funkcje )(1 xC i )(2 xC , róŜniczkujemy równanie (2.53), otrzymując

22112211 )( )( )( )( yxCyxCyxCyxCy ′+′+′+′=′ (2.54) śądamy aby

0 )( )( 2211 =′+′ yxCyxC (2.55) a wtedy

2211 )( )( yxCyxCy ′+′=′ (2.56) i stąd druga pochodna

22112211 )( )( )( )( yxCyxCyxCyxCy ′′+′′+′′+′′=′′ (2.57)

Jeśli teraz wzory (2.54), (2.56) i (2.57) wstawimy do równania (2.52) zauwaŜając przy tym, Ŝe 0 111 =+′+′′ ybyay oraz 0 222 =+′+′′ ybyay , bo 1y oraz 2y są rozwiązaniami równania jednorodnego

(2.36), to otrzymujemy warunek

0 )( )( 2211 =′′+′′ yxCyxC (2.58)

Równania (2.55) i (2.58) tworzą układ równań z niewiadomymi )(1 xC ′ i )(2 xC ′ . Wyznacznik funkcyjny

(wrońskian) tego układu

0)(21

21 ≠′′

=yy

yyxW (2.59)

jest róŜny od zera, gdy funkcje 1y i 2y są niezaleŜne. Stąd otrzymujemy

)(

)()( oraz

)(

)()( 1

22

1xW

yxqxC

xW

yxqxC =′−=′ (2.60)

Szukane funkcje mają zatem postać

+=+=

+=+−=

∫

∫

2221

2

1112

1

)(d )(

)()(

)(d )(

)()(

KxFKxxW

yxqxC

KxFKxxW

yxqxC

(2.61)

gdzie )(1 xF i )( 2 xF są funkcjami pierwotnymi funkcji podcałkowych w całkach (2.61), a 1K i 2K są

dowolnymi stałymi. Rozwiązaniem ogólnym równania róŜniczkowego niejednorodnego (2.51) jest zatem funkcja

[ ] [ ] 222111 )( )( yKxFyKxFy +++= (2.62) lub w postaci

33

22112211 )( )( yKyKyxFyxFy +++= (2.63) Rozwiązania (2.62) lub (2.63) zaleŜą od dwóch stałych 1K i 2K , tj. od tylu stałych, jaki jest rząd

równania. Stałe te wyznaczamy z zadanych warunków początkowych, tj. ze znanych wartości funkcji 0y i

jej pochodnej 0y′ w wybranym punkcie 0x , czyli dla układu dwóch równań

=′=′

==

100

000

)(

)(

cyxy

cyxy

(2.64)

Postać rozwiązania (2.63), równieŜ (2.62), zaleŜy takŜe od wyróŜnika ∆ równania charakterystycznego

(2.39). • Gdy 0>∆ , to

xrxrxrxr

xFxFKKy

2

1

2

12121 e )(e )(ee +++= (2.65)

• Gdy 0=∆ , to

xrxrxrxr

xxFxFxKKy

2

1

2

10000 e )(e )(e e +++= (2.66)

• Gdy 0<∆ , to

xxFβxxFxKβxKy xxxx ββ αααα cos e )(sin e )(cos esin e 2

1

2

1 +++= (2.67)

Przykład 2.9.


Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe. W równaniu tym 5=a , 6=b oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać

przedstawioną w przykładzie 2.6 z dwoma róŜnymi pierwiastkami rzeczywistymi 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką


xxxx xFxFKKy 2

2 3

1 2

2 3

1 e )(e )(ee −−−− +++=

Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu

0e2e-3e-

ee)( 5

23

23

21

21 ≠==′′

= −−−

−−x

xx

xx

yy

yyxW

Funkcje pierwotne

===

−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xx

x

x

xx

x

x

xxxF

xxxF

2 2

5

3

2

3 3

5

2

1

e2

3d e 3d

e

e 3)(

ed e 3d e

e 3)(

Zatem postacią ostateczną całki ogólnej jest funkcja

2

1ee 2

2 3

1 ++= −− xxKKy


xx KKy 2

2 3

1 e 2e 3 −− −−=′

w następującej postaci (w chwili początkowej 0 00 == tx napięcie i prąd na kondensatorze są równe zeru)

34

=−−=′

=++=

0 2 3)0(

02

1)0(

2 1

2 1

KKy

KKy

Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 1 1 =K oraz 2

3 2 −=K . Wtedy całka szczególna badanego


up

xxyyy +=+−= −−

2

1e

2

3e 2 3

gdzie

xx

py 2 3 e

2

3e −− −=

oraz

2

1=uy

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.

2

1

2

1

2

1e

2

3elimlim 21

2 3 =

++=+−== −−

∞→∞→yyyy

xx

xxu

Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.9.

0.5 1 1.5 2x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

y

y=e-3 x-

32

e-2 x+

12

yp=e-3 x-

32

e-2 x

yu=12

Rys. 2.9. Całka szczególna równania róŜniczkowego 3 65 =+′+′′ yyy (zerowe warunki początkowe)

Przykład 2.10.


W równaniu tym 4=a , 4=b

oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w

przykładzie 2.7 z jednym rzeczywistym pierwiastkiem podwójnym 20 −=r . Równanie tego typu opisuje np. przebieg

napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe w przypadku rezystancji obwodu równej rezystancji krytycznej. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.66), jest funkcja

xxxx xxFxFxKKy 2

2 2

1 2

2 2

1 e )(e )(e e −−−− +++= Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu

0ee)2-(12e-

ee)( 4

22

22

21

21 ≠==′′

= −−−

−−x

xx

xx

x

x

yy

yyxW

Funkcje pierwotne

35

===

−−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xx

x

x

xx

x

x

xxxF

xxxxx

xF

2 2

4

2

2

2 2

4

2

1

e2

3d e 3d

e

e 3)(

e2

1

2

3d e 3d

e

e 3)(


( )4

3e 2

21 ++= − xxKKy


( ) xKxKKy 2221 e 2 2 −+−−=′


=+−=′

=+=

0 2)0(

04

3)0(

2 1

1

KKy

Ky

Z tak utworzonego układu równań wyznaczamy stałe 4

3 1 −=K oraz

2

3 2 =K . Wtedy całka szczególna badanego


up

xyyxy +=+

+−= −

4

3e

2

3

4

3 2

gdzie

x

p xy 2e

2

3

4

3 −

+−= oraz

4

3=uy

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.

4

3

4

3e

2

3

4

3limlim 2 =

+=+

+−== −

∞→∞→up

x

xxu yyxyy

Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.10. Funkcję y w takim przypadku nazywamy przebiegiem aperiodycznym krytycznym (nieokresowym krytycznym).

0.5 1 1.5 2x

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

y

y=e-3 x-

32

e-2 x+

12

yp=e-3 x-

32

e-2 x

yu=12


36

Przykład 2.11.




przykładzie 2.8 z dwoma pierwiastkami zespolonymi


1−=α oraz 1=β

Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe w przypadku rezystancji obwodu mniejszej niŜ rezystancja krytyczna. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.67), jest funkcja

xxFxxFxKxKy xxxx cos e )(sin e )(cos esin e -2

-1

- 2

- 1 +++=

Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu

( )0e

e)sincos(-e sincos

cosesine)( 2

21

21 ≠−=+−

=′′

= −−−

−−x

xx

xx

xxx

xx

yy

yyxW

Funkcje pierwotne

( )

( )

−−===

+−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xx

x

x

xx

x

x

xxxxxx

xF

xxxxxx

xF

e cossin2

3d e sin 3d

e

sine 3)(

e sincos2

3d e cos 3d

e

cose 3)(

22

21


( )

−−+=−++=

42sin

2

2 3cos esin e2sin2cos

2

3cos esin e -

2 -

1 -

2 -

1

πxxKxKxxxKxKy xxxx


( ) ( )[ ] ( )xxxxKxxKy x 2sin2cos3e sincossincos 21 +−+−−=′ −


=−−=′

=+=

03)0(

02

3)0(

2 1

2

KKy

Ky


3 1 =K oraz

2



( ) ( ) up

xx yyxxxxxxy +=

−−

−=−+−=

42sin

2

2 3e

42sin

2

2 32sin2cos

2

3e cossin

2

3 - - ππ

gdzie

x

p xy -e 4

2sin2

2 3

−=π

oraz

−−=

42sin

2

2 3 πxyu

37

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej, która odpowiada tzw. funkcji ustalonej funkcji, tzn.

−−=

−−

−==

∞→∞→ 42sin

2

2 3

42sin

2

2 3e

42sin

2

2 3limlim - πππ

xxxyyx

xxu

Rozwiązanie badanego równania róŜniczkowego ilustruje rysunek 2.11. Funkcję y w takim przypadku nazywamy przebiegiem oscylacyjnym tłumionym.

Π4 Π2 3Π4 Π

x

-2

-1

1

2

y

y=yp+yu

yp=3 !!!!

2

2sinH2x-

Π4Le-x

yu=-3 !!!!

2

2sinH2x-

Π4L


Przykład 2.12.

Rozwiązać równanie xyyy sin 3 65 =+′+′′ . Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu

go na napięcie sinusoidalne. W równaniu tym 5=a , 6=b oraz xxq sin 3)( = . Równanie charakterystyczne ma postać

przedstawioną w przykładzie 2.6 z dwoma róŜnymi pierwiastkami rzeczywistymi 31 −=r oraz 21 −=r . Zatem całką


xxxx xFxFKKy 2

2 3

1 2

2 3

1 e )(e )(ee −−−− +++=

Wyznacznik funkcyjny (wrońskian) tego układu przykładu poprzedniego 0e)( 5 ≠= − xxW .

Funkcje pierwotne

( )

( )

−−===

−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xxxxxx

xF

xxxxxx

xF

xx

x

x

xx

x

x

sin 2cose5

3d e sin 3d

e

e sin 3)(

sin 3cose10

3d e sin 3d

e

e sin 3)(

2 2

5

3

2

3 3

5

2

1


( )

−++=−++= −−−−

4sin

10

2 3eecossin

10

3ee 2

2 3

1 2

2 3

1

πxKKxxKKy xxxx


38

−+−−=′ −−

4cos

10

2 3e 2e 3 2

2 3

1

πxKKy xx


=+−−=′

=−+=

010

3 2 3)0(

010

3)0(

2 1

2 1

KKy

KKy


3 1 −=K oraz

10



up

xx yyxy +=

−++−= −−

4cos

10

2 3e

10

6e

10

3 2 3 π

gdzie

( )xx

py 2 3 e 2e 10

3 −− −−= oraz

−=

4cos

10

2 3 πxyu

czyli całka ta jest zatem sumą funkcji wykładniczej i wielkości sinusoidalnej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.

−=

−++−== −−

∞→∞→ 4cos

10

2 3

4cos

10

2 3e

10

6e

10

3limlim 2 3 ππ

xxyyxx

xxu


Π4 Π2 3Π4 Π

x

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

y

y=yp+yu

yp=-3

10He-3 x

-2e-2 xL

yu=3 !!!!

2

10sinHx-

Π4L

Rys. 2.12. Całka szczególna równania róŜniczkowego xyyy sin 3 65 =+′+′′ (zerowe warunki początkowe)

Przykład 2.13.

Rozwiązać równanie xyyy sin 3 44 =+′+′′ .



przykładzie 2.7 z jednym rzeczywistym pierwiastkiem podwójnym 20 −=r . Równanie tego typu opisuje np. przebieg

napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie sinusoidalne w przypadku rezystancji obwodu równej rezystancji krytycznej. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.66), jest funkcja y oraz wyznacznik funkcyjny są takie jak w przykładzie 2.10. Funkcje pierwotne

39

===

−−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xx

x

x

xx

x

x

xxxx

xF

xxxxxxx

xF

2 2

4

2

2

2 2

4

2

1

e2

3d e sin 3d

e

e sin 3)(

e2

1

2

3d e sin 3d

e

e sin 3)(


( ) ( )xxxKKy x cos 4sin 325

3e 2

21 −++= −


( ) ( )xxKxKKy x sin 4cos 325

3e 2 2 2

221 +++−−=′ −


=++−=′

=−=

025

9 2)0(

025

12)0(

2 1

1

KKy

Ky


12 1 =K oraz

5



( ) up

xyyxxxy +=−+

+= − cos 4sin 3

25

3e

5

4

5

3 2

gdzie

x

p xy 2e

5

4

5

3 −

+= oraz ( )xxyu cos 4sin 3

25

3−=

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej

( ) ( )α−=−= xxxyu sin5

3cos 4sin 3

25

3 gdzie

3

4 tgarc=α


Π4 Π2 3Π4 Π

x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

y

y=yp+yu

yp=35H

45

+xLe-2 x

yu=3

25H3sinx-4cosxL


40

Przykład 2.14.

Rozwiązać równanie xyyy sin 3 22 =+′+′′ .

W równaniu tym 2=a , 2=b oraz 3)( =xq . Równanie charakterystyczne ma postać przedstawioną w przykładzie 2.8

z dwoma pierwiastkami zespolonymi


1−=α oraz 1=β

Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie sinusoidalne w przypadku rezystancji obwodu mniejszej niŜ rezystancja krytyczna. Zatem całką ogólną badanego równania, zgodnie ze wzorem (2.67), jest funkcja y oraz wyznacznik funkcyjny podany w przykładzie 2.11. Funkcje pierwotne

( )

( )

−−===

−−=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

−

−

xx

x

x

xx

x

x

xxxxxxx

xF

xxxxxxx

xF

e cos2sin10

3d e sin 3d

e

sine sin 3)(

e 2cos22sin10

3d e 2sin

2

3d

e

cose sin 3)(

2

22

21


( ) ( )xxxKxKy x cos 2sin5

3e cos sin -

21 −−+=


( ) ( )[ ] ( )xxxxKxxKy x sin 2cos5

3e sincossincos 21 +−+−−=′ −


=−−=′

=+=

05

3)0(

05

6)0(

2 1

2

KKy

Ky


3 1 −=K oraz

5



( ) ( ) up

x yyxxxxy +=−−+−= cos 2sin5

3e cos 2sin

5

3 -

gdzie

( ) x

p xxy -e cos 2sin5

3+−= oraz ( )xxyu cos 2sin

5

3−−=

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej (przejściowej) i wielkości sinusoidalnej

( ) ( )α−=−−= xxxyu sin5

5 3cos 2sin

5

3 gdzie tg2arc=α


41

Π4 Π2 3Π4 Π

x

-1

-0.5

0.5

1

y

y=yp+yu

yp=-35Hsinx+2cosxLe-x

yu=-35Hsinx-2cosxL


3. LICZBY I FUNKCJE ZESPOLONE

Liczby i funkcje zespolone są waŜnym działem matematyki stosowanym w elektrotechnice i automatyce. Szczególne dotyczy to funkcji sinusoidalnych oraz rachunku operatorowego.

3.1. Liczba zespolona

Najprostszą postacią liczby zespolonej z jest postać algebraiczna (postać kartezjańska)

zzyxz Im jRe j +=+= (3.1)

gdzie: zx Re= - oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej,

zy Im= - oznacza część urojoną liczby zespolonej,

1-j= - oznacza jednostkę urojoną, ( -1j2 = ).

którą moŜemy przedstawić na płaszczyźnie zespolonej (płaszczyźnie liniowej) w postaci punktu ) ,( yxz lub

wektora Ozz = , jak to ilustruje rys. 3.1. Punktom osi x odpowiadają liczby rzeczywiste, a punktom osi y – liczby urojone. Dlatego tez oś x nazywamy osią rzeczywistą, a oś y – osią urojoną.

x

x

y

y

z

j Im(z)

z*

φ

-φ

z

O

1

-1

j

-j Re(z)

Rys. 3.1. Ilustracja geometryczna liczby zespolonej z i liczby zespolonej sprzęŜonej z*

42

Modułem lub wartością bezwzględną liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą

22 yxz += (3.2)

i jest on równy długości wektora Ozz = . Argumentem, oznaczanym przez zarg , liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą określoną

równaniami

sin ,cosz

y

z

x== ϕϕ (3.3)

przy czym naleŜy pamiętać, Ŝe jest to kąt skierowany mierzony od osi rzeczywistej do wektora. Ponadto kaŜda liczba zespolona 0≠z ma nieskończenie wiele argumentów róŜniących się od siebie wielokrotnością liczby π, czyli

... 2, ,1 ,0 gdzie , 2arg ±±=+= kkz πϕ (3.4)

Argument określony nierównością πϕπ ≤≤− nazywamy argumentem głównym i oznaczamy przez z Arg . JeŜeli wykorzystamy równania (3.3), to liczbę zespolona (3.1) przedstawiamy w postaci

trygonometrycznej

( )ϕϕ sin jcos += zz (3.5)

Liczbami sprzęŜonymi nazywamy dwie liczby zespolone o jednakowych częściach rzeczywistych i częściach urojonych róŜniących się tylko znakiem, czyli

yxz j* −= (3.6)

i jest to wektor *z , który jest symetryczny do wektora z względem osi rzeczywistej x. Postacią wykładniczą liczby zespolonej jest

ϕ je zz = (3.7)

Te trzy postacie są równowaŜne, czyli mamy

( ) ϕϕϕ je sin jcos j zzyxz =+=+= (3.8)

( ) ϕϕϕ -j* e sin jcos j zzyxz =−=−= (3.9)

RównieŜ jedynkę urojoną moŜemy przedstawić w postaci wykładniczej jako

2

jej

π

= i odpowiednio 2 j-

ej-π

= (3.10)

Postać wykładnicza liczby zespolonej pozwala nam wyrazić funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej x przez liczby zespolone, a mianowicie

j 2

eesin

-j j xx

x−

= (3.11)

2

eecos

-j j xx

x+

= (3.12)

43

NaleŜy przypomnieć, Ŝe dla liczb zespolonych istnieje tylko równość dwóch liczb zespolonych, tzn., jeŜeli 111 j yxz += , 222 j yxz += , to z1= z2 pociąga za sobą odpowiednio równość części rzeczywistych i

urojonych, czyli: 21 xx = i 21 yy = . Nie istnieją pomiędzy liczbami zespolonymi znaki nierówności (większy

>, mniejszy <).

3.2. Algebra liczb zespolonych

Do dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += wykorzystujemy ich postacie algebraiczne, otrzymując

( ) ( )212121 j yyxxzzz ±+±=±= (3.13)

Wtedy teŜ, w odniesieniu do liczb zespolonych sprzęŜonych yxz j+= i yxz j* −= mamy

zxzzz Re 2 2* ==+= (3.14)

oraz

zyzzz Im j 2 j 2* ==−= (3.15)

Interpretacje geometryczne dodawania i odejmowania liczb zespolonych przedstawiamy odpowiednio na rysunku 3.2. i 3.3.

x1 x

y

y j Im(z)

z1

O

z2

z

x2

y1

y2

x

Re(z)

x1 x

y

y j Im(z)

z1

z2

z

x2

y1

y2

x

Re(z)

-z2

O

Rys. 3.2. Ilustracja geometryczna dodawania dwóch liczb zespolonych

Rys. 3.3. Ilustracja geometryczna odejmowania dwóch liczb zespolonych

MnoŜenie dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += najwygodniej wykonać na ich

postaciach wykładniczych, czyli w postaci 1 j11 e ϕ

zz = oraz 21 j22 e ϕ

zz = otrzymując

)( j

21 j

2 j

1212121 e e e ϕϕϕϕ +=== zzzzzzz (3.16)

W interpretacji geometrycznej operacja ta oznacza, Ŝe długość wektora iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równa iloczynowi modułów liczb składowych, a jego połoŜenie otrzymuje się poprzez obrót jednego wektora w stosunku do drugiego o kąt równy argumentowi jednego z nich w kierunku zgodnym ze znakiem tego argumentu – rys. 3.4.

44

x1 x

y

y j Im(z)

z1

O

z2

z

x2

y1

y2

x

Re(z)

φ1

φ1

φ2

x

x

y

y

z

j Im(z)

φ

z

O

j

-j Re(z)

-j z

j z

Rys. 3.4. Ilustracja geometryczna

mnoŜenia dwóch liczb zespolonych Rys. 3.5. Ilustracja geometryczna

mnoŜenia liczby zespolonej prze j oraz –j Stąd teŜ mnoŜenie liczby yxz j+= przez jedynkę urojoną j lub –j oznacza obrót wektora z dokładnie

o 2

π odpowiednio w lewo bądź w prawo – rys. 3.5.

W szczególnym przypadku mnoŜenia liczby zespolonej z przez jej sprzęŜoną *z , otrzymujemy

222* yxzzzz +=== (3.17)

MnoŜenie dwóch liczb zespolonych moŜemy takŜe wykonać posługując się ich postaciami kartezjańskimi, otrzymując

( ) ( ) ( ) ( )12212121221121 j j j yxyxyyxxyxyxzzz ++−=++== (3.18)

x1

x

y

y j Im(z)

z1

O

z2

z

x2

y1

y2

x

Re(z) -φ2

Rys. 3.6. Ilustracja geometryczna dzielenia dwóch liczb zespolonych

Dzielenie dwóch liczb zespolonych 111 j yxz += oraz 222 j yxz += najwygodniej wykonać na ich

postaciach wykładniczych, czyli w postaci 1 j11 e ϕ

zz = oraz 21 j22 e ϕ

zz = otrzymując

45

)( j

2

1

j2

j1

2

1 21

2

1

e e

e ϕϕϕ

ϕ−===

z

z

z

z

z

zz (3.19)

W interpretacji geometrycznej operacja ta oznacza, Ŝe długość wektora ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równa ilorazowi modułów liczb składowych, a jego połoŜenie otrzymuje się poprzez obrót w prawo wektora z licznika o kąt równy argumentowi liczby z mianownika wyraŜenia (1.126) – rys. 3.6.

Stąd teŜ dzielenie liczby yxz j+= przez jedynkę urojoną j lub –j oznacza obrót wektora z dokładnie

o 2

π odpowiednio w prawo bądź w lewo.

Dzielenie dwóch liczb zespolonych moŜemy takŜe wykonać posługując się ich postaciami kartezjańskimi, otrzymując

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]211221212

22

22

21122121

2222

2211

22

11

2

1

j 1 j

j j

j j

j

j

yxyxyyxxzyx

yxyxyyxx

yxyx

yxyx

yx

yx

z

zz

−++=+

−++=

=−+

−+=

+

+==

(3.20)

3.3. Wzory Moivre’a

Potęgowanie liczby zespolonej wyraŜamy wzorem

( ) ϕ je j nnnn zyxz =+= (3.21)

Pierwiastkowanie liczby zespolonej wyraŜamy wzorem

++

+=+=

n

k

n

kzyxz nnn πϕπϕ 2

cos j 2

cos j (3.22)

gdzie: k = 0, 1, 2, .., (n-1).

W zbiorze liczb zespolonych istnieje zatem pierwiastek dowolnego stopnia z kaŜdej liczby, a stąd wynika, Ŝe kaŜde równanie algebraiczne n-tego stopnia ma n pierwiastków.

Jeśli zaś równanie algebraiczne o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony z, to liczba

sprzęŜona *z jest takŜe pierwiastkiem tego równania.

Przykład 3.1.

Rozwiązać równanie 0222 =++ yy .

WyróŜnik tego równania 04 <−=∆ , a zatem równanie to nie ma rozwiązań w zakresie liczb rzeczywistych. Ale

j 2=∆ , a stąd mamy pierwiastki

j12

j 221 −−=

−−=x oraz j1

2

j 222 +−=

+−=x

Zatem równanie to ma dwa pierwiastki zespolone, przy czym są to liczby sprzęŜone, bowiem *12 xx = ( i oczywiście

*21 xx = )

46

3.4. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

Funkcja zespolona

)(tzz = (3.23)

jest funkcją zmiennej rzeczywistej t jeśli kaŜdej liczbie rzeczywistej t naleŜącej do pewnego przedziału I βα ≤≤ t jest przyporządkowana według pewnego przepisu liczba zespolona )( j)()( tytxtz += . Zbiór

linii określony równaniem (3.23) nazywamy linią krzywą o początku )(αz i końcu )(βz .Kierunek

wzrastającego parametru nazywamy zwrotem linii. Jeśli np.

)( dla j 0 ∞<<−∞+=+= ttmzyxz (3.24)

gdzie baz j0 += i 0 j ≠+= qpm są dowolnymi liczbami zespolonymi, przedstawia linię prostą

przechodzącą przez punkt 0z i tworzącą z osią x kąt równy argumentowi liczby m. Wynika stąd, Ŝe

równanie (3.24) moŜemy zastąpić równaniami

tqbytpax , +=+= (3.25)

które są równaniami parametrycznymi prostej. Jej postać kierunkowa

( ) ( ) 00 yxxp

qbax

p

qy +−=+−= (3.26)

czyli jest to prosta przechodząca przez punkt ( )byax == 00 , i nachylona do osi x pod kątem, którego

tangens (współczynnik kierunkowy) jest równy p

q - rys. 3.7.

a x

y

y j Im(z)

z0

O

m

z

x1=a+p

b

y1=b+q

x

Re(z)

z1 t=1

q

p

t

x

y

D’

j Im(z)

D

O Re(z)

Rys. 3.7. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej tmzyxz j 0 +=+=

Rys. 3.8. Krzywa Jordana

W przypadku ogólnym funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej moŜe zakreślać dowolną krzywą, w

tym krzywą zamkniętą. Krzywa Jordana jest krzywą zamkniętą nie mających punktów wielokrotnych.

Krzywa ta dzieli płaszczyznę zespoloną na dwie części: wnętrze D oraz zewnętrze D’ –rys. 3.8. Krzywa

Jordana jest skierowaną dodatnio względem obszaru wewnętrznego D, jeśli w czasie obiegu po krzywej w zwrocie odpowiadającym wzrastającemu parametrowi mamy wnętrze D po lewej stronie. Krzywa Jordana skierowana dodatnio jest konturem.

47

W elektrotechnice oprócz działań na liczbach zespolonych wykorzystuje się działania na funkcjach zespolonych zmiennej rzeczywistej czasu. Wprowadźmy mianowicie następującą postać funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej (czasu)

)(jjjj eeee)( αωωαω +=⋅== tm

tm

tm FFFtF (3.27)

Funkcji tej przyporządkujemy na płaszczyźnie zespolonej wektor Fm zaczepiony w początku układu i

wirujący z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim (rys. 3.9). MnoŜnik ejωt stanowi wersor obrotu wektora Fm o kąt ωt w kierunku matematycznie dodatnim. Zatem funkcję F(t) dla dowolnego czasu t reprezentuje wektor Fm dla czasu t=0 obrócony o kąt ωt, jak to przedstawiono na rys. 3.9.

x

y

Fm

j Im(z)

O Re(z)

ωt

Fmejωt

t

t=0

ω

α

Rys. 3.9. Interpretacja funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej (czasu) F(t)

Przedstawiając funkcję F(t) określoną wzorem (3.27) w postaci trygonometrycznej, otrzymujemy:

[ ].)(sinj)(cosee)( )(jj αωαωαωω +++=== + ttFFFtF mt

mt

m (3.28)

Analizując wzór (3.28) moŜna zauwaŜyć, Ŝe istnieje ścisły związek pomiędzy funkcją sinusoidalną f(t) a

funkcją zespoloną F(t), mianowicie:

)(Im)(sin )( tFtFtf m =+= αω (3.29)

albo )(Re)(cos )( tFtFtg m =+= αω (3.30)

MoŜna wykazać, Ŝe w odniesieniu do działań Im, Re obowiązuje prawo przemienności względem dodawania, odejmowania, róŜniczkowania i całkowania. Spełnione są zaleŜności:

)(j2

)(j1

)(j2

)(j1

2121 eeImeImeIm αωαωαωαω ++++ ±=± tm

tm

tm

tm FFFF (3.31)

= ++ )(j)(j e

d

dImeIm

d

d αωαω t

m

t

m Ft

Ft

(3.32)

tFtF t

m

t

m deImdeIm )(j)(j αωαω ++ ∫∫ = (3.33)

Prawo przemienności działań Im, Re nie dotyczy mnoŜenia i dzielenia, np.

)(j2

)(j1

)(j1

)(j1

2111 eeImeImeIm αωαωαωαω ++++ ⋅≠ t

m

t

m

t

m

t

m FFFF (3.34)

48

ZaleŜności (3.31), (3.32), (3.33) są wykorzystywane do wprowadzenia metody symbolicznej do analizy liniowych obwodów elektrycznych przy wymuszeniach sinusoidalnych.

Jest oczywiste, Ŝe moduł i argument funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej teŜ sa funkcjami tej zmiennej. W elektrotechnice i automatyce zmienną tą jest częstotliwość kątowa ω, tzn. mamy funkcję

)(ωzz = . ZaleŜność takiej funkcji od ω nazywamy charakterystykami częstotliwościowymi. JeŜeli

przedstawiamy zaleŜność )(ωz , to charakterystykę taką nzywamy charakterystyką amplitudową, dla funkcji

)( Arg ωz - charkterystyka fazowa. Łączne przedstawienie graficzne funkcji )(ωzz = nazywamy

charakterystyką amplitudowo-fazową.

Przykład 3.2.

Wyznaczyć charakterystyki: amplitudową, fazową i amplitudowo-fazową członu inercyjnego drugiego rzędu opisanego funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej

( )( ) 5 j1 j1

2)j(

ωωω

++=G

Charakterystyki: amplitudową, fazową i amplitudowo-fazową powyŜszej funkcji przedstawiamy na rysunku 3.10. a)

2 4 6 8 10Ω

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

A@ΩD

GHjΩL=2


b)

5 10 15 20Ω

-Π

-3 Π4

-Π2

-Π4

j@ΩD

GHjΩL=2


c)

0.5 1 1.5 2Q@ΩD

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

P@ΩD

GHjΩL=2


Ω=0Ω=¥

Rys. 3.10. Charakterystyki częstotliwościowe funkcji

( )( ) 5 j1 j1

2)j(

ωωω

++=G : a) amplitudowa, b) fazowa, c) amplitudowo-fazowa

49

3.5. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona

)(zfw = (3.35)

jest funkcją zmiennej zespolonej z naleŜącej do pewnego zbioru płaskiego E jeśli kaŜdej takiej zmiennej jest przyporządkowana według pewnego przepisu liczba zespolona )(zfw = . Zbiór E jest polem funkcji, a zbiór

E’ wartości funkcji jest jej zakresem. Jeśli zmienna yxz j+= oraz funkcja vuw j+= , to

),( j),() j()( yxvyxuyxfzfw +=+== (3.36)

co oznacza, Ŝe funkcja )(zfw = jest wyznaczona jeśli wyznaczone są dwie funkcje rzeczywiste ),( yxu

oraz ),( yxv .

Pochodną funkcji )(zfw = w punkcie 0z nazywamy granicę (o ile istnieje)

0

000

)()(lim)()(

0 zz

zfzfzfzw

zz −

−=′=′

→ (3.37)

Jeśli pochodna ta istnieje, to w punkcie 000 j yxz += część rzeczywista ),( yxu oraz urojona ),( yxv

mają pochodne cząstkowe i spełniają warunki nazywane równaniami Cauchy-Riemanna

),(),( oraz ),(),( 00000000 yxvyxuyxvyxu xyyx −== (3.38)

Funkcję ),( j),()( yxvyxuzfw +== nazywamy holomorficzną w punkcie 0z , jeŜeli posiada

pochodną skończoną w kaŜdym punkcie pewnego otoczenia tego punktu. Funkcja holomorficzna w pewnym obszarze (w kaŜdym punkcie tego obszaru) jest funkcją harmoniczną w tym obszarze, tzn. jej część rzeczywista i część urojona spełniają równanie Laplace’a, czyli

0),(),(

oraz 0),(),(

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

y

yxv

x

yxv

y

yxu

x

yxu (3.39)

Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej ),( j),()( yxvyxuzf += wzdłuŜ krzywej zamkniętej

C określamy wzorem

∫∫∫∫∫ ++−=CCCCC

yyxvxyxvyyxvxyxuzzf d ),(d ),( jd ),(d ),(d )( (3.40)

Całka krzywoliniowa wzdłuŜ dowolnej drogi regularnej C zawartej w obszarze D o początku a i końcu b nie zaleŜy od drogi całkowania i wyraŜa się wzorem

)()(d )( aFbFzzf

C

−=∫ (3.41)

gdzie )(zF jest funkcją pierwotną.

Jeśli funkcja ),( j),()( yxvyxuzf += jest holomorficzna w obszarze jednospójnym E i ma w tym

obszarze ciągłą pochodną, to całka krzywoliniowa wzdłuŜ kaŜdej krzywej zamkniętej C jest równa zeru. Jest tzw. twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Twierdzenie to pozwala wyprowadzić tzw. wzór całkowy Cauchy’ego

∫ −=

Cz

fzf ξ

ξξ

d )(

j π2

1)( (3.42)

50

który pozwala na wyznaczanie funkcji holomorficznej ),( j),()( yxvyxuzf += w obszarze domkniętym D

(równieŜ w D) przez swoje wartości )(ξf na brzegu obszaru, tzn. wartości )(ξf funkcji )(zf na brzegu C

tego obszaru. Jeśli C jest dowolną krzywą regularną na płaszczyźnie, zamkniętą lub nie, oraz )(ξf jest dowolną

funkcją określoną i ciągłą na C , a z jest punktem nie leŜącym na C , to wzór (3.42) określa pewną funkcję )(zF zmiennej z , którą wyraŜamy tzw. całką typu Cauchy’ego

∫ −=

Cz

fzF ξ

ξξ

d )(

j π2

1)( (3.43)

Jeśli funkcja ta ma pochodne wszystkich rzędów, to

∫ +−=

C

n

n

z

fnzF ξ

ξξ

d )(

)(

j π2

! )(

1)(

(3.44)

Szereg Taylora

( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ... !

)(... )()()( 00100

0)(

000 ++++=+++′+= n

n

nn

z-zaz-zaaz-zn

zfz-zzfzfzf (3.45)

gdzie

...) 2, 1, ,0( d )(

)(

j π2

11

=−

= ∫ +n

z

fa

C

nn ξξ

ξ (3.46)

umoŜliwia rozwijanie funkcji )(zf holomorficznej w pewnym kole K o środku 0z w szereg potęgowy,

gdzie C jest okręgiem o tym środku, w którego wnętrzu leŜy punkt z i który sam leŜy we wnętrzu koła K. Szereg Laurenta o współczynnikach ka i środku 0z ma postać

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )∑∑∑∞

=

∞

=

−−−∞

∞−

+=++++++=0

01 0

202010

0

12

0

20 ... ...

k

k

k

kk

kk

k z-zaz-z

az-zaz-zaa

z-z

a

z-z

az-za (3.47)

przy czym część główna szeregu

( ) ( ) ( )...

20

2

0

1

1 0

++= −−∞

=

−∑z-z

a

z-z

a

z-z

a

kk

k

(3.48)

i część regularna

( ) ( ) ( ) ... 202010

00 +++=∑

∞

=

z-zaz-zaaz-zak

k

k (3.49)

Jeśli funkcja )(zf holomorficzna w pewnym pierścieniu Rzzr <−< 0 jest rozwijalna w szereg

Laurenta o współczynnikach

...) 2, 1, ,0( d )(

)( j π2

11

0

±±=−

= ∫ +n

z

fa

K

kk ξξ

ξ (3.50)

gdzie K jest dowolnym okręgiem o środku 0z leŜącym wewnątrz tego pierścienia.

Residuum funkcji )(zf w punkcie ∞≠0z definiujemy jako współczynnik

∫== −

K

z fazf ξξ d )( j π2

1)(res 10 (3.51)

51

rozwinięcia tej funkcji w szereg Laurenta w otoczeniu pierścieniowym punktu 0z .

Pojęcie residuum odgrywa waŜną rolę w wielu rozumowaniach wykorzystujących funkcje zespolone, np. przy obliczaniu całek, transformat odwrotnych Laplace’a, itp., w szczególności w przypadku punktów osobliwych funkcji )(zf .

Punkt 0z nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji )(zf jeśli funkcja ta jest holomorficzna

w pewnym otoczeniu pierścieniowym o środku 0z i promieniu R.

Punkt 0z jest istotnie osobliwy jeśli część główna szeregu Laurenta funkcji )(zf zawiera

nieskończenie wiele wyrazów. Jeśli część główna jest skończona, czyli ma postać

( ) ( ) ( )kk

z-z

a

z-z

a

z-z

a

02

0

2

0

1 ... −−− +++ (3.52)

to punkt 0z jest biegunem k-krotnym funkcji )(zf .

Jeśli zaś część główna jest równa zeru, to szereg Laurenta staje się szeregiem potęgowym o środku 0z .

Wtedy funkcja )(zf jest określona i holomorficzna w punkcie 0z , bądź staje się holomorficzna w tym

punkcie po odpowiednim określeniu jej lub po odpowiednim zmodyfikowaniu określenia jej w tym punkcie i wtedy mówimy, Ŝe punkt 0z jest osobliwością usuwalną.

Przykład 3.3.

Funkcja

zzf

1

e)( =

jest holomorficzna wszędzie poza punktem 00 =z . Po rozwinięciu w szereg Laurenta w pierścieniu ) 0, ;0( ∞P ma ona

postać

... !

1...

! 2

1

! 1

11e)(

2

1

+++++==n

z

znzzzf

którą moŜemy otrzymać z definicji funkcji wykładniczej ze zmiennej zespolonej z w postaci szeregu potęgowego

...!

...! 2! 1

1!

e2

0

+++++==∑∞

= n

zzz

n

z n

n

nz

poprzez podstawienie z

z1

= . Część główna tego rozwinięcia zawiera nieskończenie wiele wyrazów, zatem punkt

00 =z jest istotnie osobliwy.

Funkcja

( )( )22 4-z 3

)2( )1()(

+

+−=

z

zzzf

ma dwa bieguny jednokrotne 3 j1 −=z , 3 j2 =z i jeden biegun dwukrotny 43 =z .

Funkcja

z

sin)(

zzf =

jest holomorficzna wszędzie poza punktem 00 =z . Po rozwinięciu w szereg Laurenta w pierścieniu ) 0, ;0( ∞P ma ona

postać

...! 5! 3

1sin

)(42

−+−==zz

z

zzf

52

Część główna rozwinięcia jest równa zeru, ale wiemy, Ŝe 1)0( =f , a to oznacza, Ŝe funkcja staje się holomorficzna w

punkcie 00 =z , więc punkt ten jest osobliwością usuwalną.

W przypadku, gdy 00 =z jest biegunem k-krotnym funkcji )(zf , to jej rozwiniecie w pewnym

otoczeniu pierścieniowym tego punktu w szereg Laurenta ma postać

( ) ( ) ( )( )∑

∞

=

−−

+−− ++++=0

00

11

0

1

0

...)(k

n

nk

k

k

k z-zaz-z

a

z-z

a

z-z

azf (3.53)

Wtedy residuum funkcji w tym biegunie

( )[ ])( d

dlim

! )1(

1)(res 01

1

10

0zfzz

zk-azf

k

k

k

zzz −==

−

−

→− (3.54)

W przypadku, gdy 00 =z jest biegunem jednokrotnym, to

( )[ ])( lim)(res 010

0zfzzazf

zzz −==

→− (3.55)

Jeśli funkcja

)(

)()(

z

zzf

ψϕ

= (3.56)

jest w otoczeniu punktu 0z ilorazem dwóch funkcji holomorficznych spełniających warunki 0)( 0 ≠zϕ ,

0)( 0 =zψ oraz 0)( 0 ≠′ zψ , to wtedy 0z jest biegunem jednokrotnym funkcji )(zf i jej residuum w tym

punkcie

)(

)()(res

0

010 z

zazfz ψ

ϕ′

== − (3.57)

Przykład 3.4.

Wyznaczyć residuum funkcji:

( )( )22 4-z 3

)2( )1()(

+

+−=

z

zzzf

Na podstawie poprzedniego przykładu funkcja ta ma dwa bieguny jednokrotne 3 j1 −=z , 3 j2 =z i jeden

biegun dwukrotny 43 =z . Do pierwszych dwóch biegunów zastosujemy wzór (3.55), a stąd dla pierwszego bieguna

mamy, Ŝe

( ) ( )( )( ) ( )( )( )722

3 j1 27

4-3j 3j3j

)23j( )13j(

4-z 3jz 3jz

)2( )1(3jz lim)(res

223j13j0

+−=

−−−

+−−−=

−+

+−+==

−→−−=

zzazf

zzz

W podobny sposób otrzymujemy residuum w punkcie 3 j2 =z , otrzymując

( ) ( )( )( )( )

722

3 j1 27

4-z 3jz 3jz

)2( )1(3jz lim)(res

23j13j0

+−=

−+

+−+==

→−=

zzazf

zzz

PowyŜsze wyniki moŜemy takŜe otrzymać ze wzoru (3.57). Do obliczenia residuum w punkcie 43 =z , wykorzystamy

wzór (3.54), a mianowicie

53

( )[ ]( )

( ) 361

27

3

3 10lim

3

)2( )1(

d

dlim)( 4

d

dlim)(res

2

2

4

224

2

4140

=+

++−=

=

+

+−=−==

→

→→−=

z

zz

z

zz

zzfz

zazf

zz

zzzzz

Przykład 3.5.

Wyznaczyć residuum funkcji:

sinz

1)( =zf

Funkcja ta ma bieguny jednokrotne w punktach πkz k = , ... 2, 1, ,0 ±±=n . Do tych biegunów zastosujemy wzór

(3.57), otrzymując

( )kkzk

azf 1) πcos(

1)( res 1 π0

−=== −=

Odwzorowania konforemne obszaru D na obszar 1D nazywamy kaŜde odwzorowanie )(zfw = za

pomocą funkcji holomorficznej i jednolistnej w D. Pochodna )(zfw ′=′ musi być wówczas róŜna od zera.

Odwzorowanie konforemne jest więc odwzorowaniem równokątnym (kaŜdym dwóm łukom 1C i 2C wychodzącym z punktu 0z odpowiadają w obszarze dwie krzywe 1Γ i 2Γ mające w punkcie )( 00 zfw =

styczne i spełniające warunek ) ,() ,( 2121 CCΓΓ ∠=∠ ) i jednolistnym (funkcja )(zfw = jest jednolistna,

tzn. dla 21 zz ≠ mamy )()( 21 zfzf ≠ ).

Odwzorowania konforemne wykorzystuje się przy wyznaczaniu miejsc geometrycznych prądu i napięcia sinusoidalnego, impedancji i admitancji dwójników, czy teŜ transmitancji przy zmianie parametru k, wyraŜającego liczbę rzeczywistą, np. częstotliwość kątową ω. Przy ciągłej zmianie tego parametru zmienia się rozpatrywana wielkość zespolona, przy czym zmienia się zarówno jej moduł, jak teŜ i argument. Graficzne przedstawienie tej zmiany moŜna przedstawić poprzez dwa wykresy, a mianowicie poprzez wykres modułu oraz wykres argumentu w zaleŜności od parametru k albo teŜ osobno przedstawiając cześć rzeczywistą i część urojoną.

Wielkość zespoloną moŜna równieŜ przedstawić graficznie za pomocą jednego wykresu na płaszczyźnie zespolonej przez wektor, którego koniec przy zmianie parametru k kreśli miejsce geometryczne (hodograf) w postaci krzywej. Krzywa ta jednocześnie wskazuje na zmianę modułu i fazy rozpatrywanej wielkości zespolonej w zaleŜności od zmian parametru k. Krzywa ta nazywa się krzywą wskazową lub wektorową, bądź teŜ charakterystyką amplitudowo-fazową lub biegunową. Taki sposób przedstawiania stanu pracy obwodu elektrycznego nazywa się metodą miejsc geometrycznych.

Zmiennym parametrem k moŜe być w zasadzie kaŜda dowolna wielkość fizyczna wyraŜająca się liczbą rzeczywistą. Wobec tego za parametr k moŜna przyjąć rezystancję R , indukcyjność L, pojemność C,

pulsację ω, wartość skuteczną napięcia U itp.

W ogólnym przypadku krzywe wskazowe mają postać dowolną. JednakŜe w zastosowaniach często krzywe te są liniami prostymi lub okręgami. Te ostatnie nazywa się wykresami kołowymi.

W ogólnym przypadku parametr zmienny obwodu elektrycznego jest pewną zmienną zespoloną yxz j+= (3.58)

zadaną w określonym obszarze płaszczyzny zmiennej zespolonej. KaŜdej liczbie zespolonej z odpowiada określona wartość funkcji badanej ),( j),() j()( yxvyxuyxfzfw +=+== , wyraŜającej prawo zmienności

tej wielkości zespolonej. Zbiór wartości funkcji )(zfw = odpowiadających zadanej wartości z wypełnia

pewien obszar nowej płaszczyzny zmiennej zespolonej. Zatem funkcja )(zf przekształca płaszczyznę Z w

płaszczyznę W lub – co oznacza to samo – odwzorowuje obszar Z w obszar W.

54

W ogólnym przypadku badana wielkość zespolona moŜe być funkcją homograficzną

zDC

zBAw

++

= (3.59)

PokaŜemy, Ŝe gdy koniec wektora z opisuje na płaszczyźnie zespolonej okrąg, to koniec wektora w opisuje równieŜ okrąg lub prostą; jeśli natomiast z opisuje linię prosta, to w opisuje prostą lub okrąg. Ze wzoru (3.59) mamy

WDB

wCAz

+−−

= (3.60)

co oznacza odwzorowanie obszaru W w obszar Z czyli przekształcenie okręgu w okrąg lub prostą. W przypadku gdy parametrem jest pulsacja ω, charakter badanej funkcji i odpowiedniej krzywej zaleŜy od wykładnika potęgi ω. Jeśli jest to zaleŜność w pierwszej potędze, to własność kołowa zostaje zachowana. Przy większych wykładnikach potęgi otrzymuje się krzywe wyŜszego rzędu.

Równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej moŜe być przedstawione w postaci odcinkowej. Z geometrii analitycznej znamy równanie prostej w postaci odcinkowej (rys. 3.11)

1=+b

y

a

x (3.61)

Z teorii liczb zespolonych wiemy, Ŝe dla liczby (1.165) wyznacza się część rzeczywistą i część urojoną w postaci wzorów

−=

+=

)( j 2

1

)( 2

1

*zzy

zzx *

(3.62)

Po podstawieniu powyŜszego wzoru do (3.61), otrzymujemy

1 j 2 2

**

=−

++

b

zz

a

zz (3.63)

i po dalszych przekształceniach

1 2

1 j

2

1

2

1 j

2

1 * =

++

−ba

zba

z (3.64)

Jeśli teraz przyjmiemy, Ŝe pewna liczba zespolona

−=ba

z 2

1 j

2

1 0 (3.65)

to otrzymamy równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej

1 *0

*0 =+ zzzz (3.66)

W przypadku prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych (rys. 3.12.) wektory *zz +

oraz *zz − są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego i dla kąta φ przylegającego do przyprostokątnej *zz + mamy równanie tej prostej w postaci zespolonej

55

ϕctg j*

*

−=−

+

zz

zz (3.67)

lub

0)ctg j1( )ctg j1( * =−++ ϕϕ zz (3.68)

x

y

z

j Im(z)

z

O

b

Re(z) a

x

y z

j Im(z)

z

O

Re(z)

φ

z-z*

z+z*

z*

Rys. 3.11. Prosta w postaci odcinkowej

na płaszczyźnie zespolonej Rys. 3.12. Prosta przechodząca przez

początek układu współrzędnych

Równanie prostej prostopadłej do osi rzeczywistej (rys. 3.13.) ma postać

yaz j+= (3.69)

zaś prostej równoległej do tej osi (rys. 3.14.) xbz j+= (3.70)

x=a

y

z

j Im(z)

z

O Re(z)

x

z

j Im(z)

z

O Re(z)

y=b

Rys. 3.13. Prosta prostopadła do osi rzeczywistej Rys. 3.14. Prosta prostopadła do osi urojonej

Równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej wyraŜamy poprzez połozenie zespolone jego środka i promień R . Dla okręgu o środku w punkcie 0z i promieniu R (rys. 3.15), zgodnie z definicją okręgu ,

mamy Rzz =− 0 (3.71)

a stąd

220 Rzz =− (3.72)

lub teŜ

2*00 )( )( Rzzzz =−− (3.73)

56

skąd otrzymujemy równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej

2*0

*0 )( )( Rzzzz =−− (3.74)

albo, po wymnoŜeniu otrzymujemy

2*000

**0

* Rzzzzzzzz =+−− (3.75)

W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.16.), dla 0 * == zz

otrzymujemy, ze 2*00 Rzz = i wtedy równanie okręgu ma postać

0 0**

0* =−− zzzzzz (3.76)

x

z

j Im(z)

z

O Re(z)

y

z0

R

y0

x0

z0

x

z

j Im(z)

z

O Re(z)

y

z0

R

y0

x0

z0

Rys. 3.15. Okrąg na płaszczyźnie zespolonej

Rys. 3.16. Okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych

Inwersja jest przekształceniem typu

z

w1

= (3.77)

Dla okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych (rys. 3.17. i rys. 3.18.) w wyniku

podstawienia

w

z1

= (3.78)

do równania (3.76) otrzymujemy

01

2*

002*

00

*0*

2*00

0* =−

+−

−−

−RzzRzz

zw

Rzz

zwww (3.79)

lub teŜ

22*

00

2

22*00

*00

2*00

*0*

2*00

0*

)()(

Rzz

R

Rzz

zz

Rzz

zw

Rzz

zwww

−=

−+

−−

−− (3.80)

Jeśli następnie porównamy powyŜszy wzór ze wzorem (3.76), to stwierdzimy, Ŝe w wyniku inwersji

okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych płaszczyzny Z otrzymaliśmy równieŜ okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny W, o środku w punkcie zespolonym

57

0

2*00

*0

0

1

zRzz

zw ≠

−= (3.81)

i promieniu

) ( 2*

00 Rzz

R

−=ρ (3.82)

Analogicznie, wychodząc z równania okręgu na płaszczyźnie W

2*000

**0

* ρ=+−− wwwwwwww (3.83)

w wyniku podstawienia z

w1

= otrzymujemy równanie okręgu

22*

00

2

22*00

*00

2*00

*0*

2*00

0*

)()(

ρρ

ρρρ −=

−+

−−

−−

wwww

ww

ww

wz

ww

wzzz (3.84)

o środku w punkcie

0

2*00

*0

0

1

www

wz ≠

−=

ρ (3.85)

i promieniu

)( 2*

00 ρρ−

=ww

R (3.86)

y

j Im(z)

Re(z) O

x

z

Z

z

w

j Im(w)

Re(w)

W

O

u

v

w

Rys. 3.17. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar na zewnątrz odwzorowanego okręgu

y

j Im(z)

Re(z) O x

z

Z

z

w

j Im(w)

Re(w)

O

u

v

W

w

Rys. 3.18. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar wewnątrz odwzorowanego okręgu

58

Okrąg stanowi granicę dwóch obszarów: obszaru wewnątrz i na zewnątrz okręgu. W zaleŜności od tego, czy

początek układu współrzędnych znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz okręgu, funkcja z

w1

= realizuje

przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu odpowiednio na obszar na zewnątrz (rys. 3.17.) lub na obszar wewnątrz (rys. 3.18.) odwzorowanego okręgu. Punktowi okręgu z najbardziej oddalonemu od początku układu współrzędnych odpowiada przy tym punkt okręgu w połoŜony najbliŜej względem początku układu współrzędnych i odwrotnie. Średnice odpowiednich okręgów przechodzące przez początek układu współrzędnych tworzą z osią rzeczywistą jednakowe kąty, odliczane w przeciwne strony. W kaŜdym z przypadków zachodzi przekształcenie okręgu w okrąg.

W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych – równanie (3.76), rys. 3.15. –

w wyniku podstawienia w

z1

= otrzymujemy

1 *0

*0 =+ zwzw (3.87)

i jest to równanie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli w tym przypadku zachodzi przekształcenie okręgu w prostą.

y

j Im(z)

Re(z) O

z

Z

x

z

w

j Im(w)

O

v

u

Re(w)

W

w

Rys. 3.19. Przekształcenie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych w prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz

przekształcenie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych w okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych

Gdy prosta nie przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.19) i dana jest równaniem (3.87).

to w wyniku podstawienia z

w1

= otrzymujemy z tego równania

0 0**

0* =−− wwwwww (3.88)

i jest to równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych. W tym przypadku zachodzi przekształcenie prostej w okrąg.

Gdy prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys. 3.20.) i dana jest równaniem (3.67) lub

(3.68), to w wyniku podstawienia w

z1

= otrzymujemy

ϕctg j*

*

=−

+

ww

ww (3.89)

lub

0)ctg j1( )ctg j1( * =++− ϕϕ ww (3.90)

59

co przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. W tym przypadku zachodzi przekształcenie prostej w prostą.

x

y z

j Im(z)

z

O

Re(z)

φ

z-z*

z+z*

z*

u

-v

w

j Im(z)

w*

O Re(w) -φ

w

v

w*

Rys. 3.20. Przekształcenie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w prostą przechodzącą przez

początek układu współrzędnych

Reasumując, stwierdzamy, Ŝe poprzez inwersję z

w1

= uzyskujemy następujące przekształcenia

krzywych wektorowych: • okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie

przechodzący przez początek układu współrzędnych W, • okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą nie

przechodzącą przez początek układu współrzędnych W, • prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą przechodzącą

przez początek układu współrzędnych W, • prosta przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie

przechodzący przez początek układu współrzędnych W.

Przekształcenie homograficzne realizuje się według funkcji homograficznej. ZałóŜmy, Ŝe badana wielkość elektryczna (zespolona) moŜna wyrazić za pomocą funkcji homograficznej (bilingowej)

kDC

kBAw

++

= (3.91)

gdzie A, B, C, D są liczbami zespolonymi, zaś k jest zmiennym parametrem rzeczywistym.

Zgodnie z własnością kołowa funkcji homograficznej przy zmianie parametru k koniec wektora W opisuje okrąg. NaleŜy zatem wyznaczyć środek i promień tego okręgu.

Ze wzoru (3.91) otrzymujemy

wDB

wCAk

+−−

= (3.92)

Współczynnik k jest rzeczywisty więc

***

****

wDB

wCAkk

+−

−== (3.93)

Porównując prawe strony równań (3.92) i (3.93) otrzymamy

60

************ wwDCwCBwDABAwwDCwCBwDABA −++−=−++− (3.94) lub

0

**

***

**

**

**

*** =

−

−+

−

−+

−

−+

DCDC

BABAw

DCDC

DACBw

DCDC

CBDAww (3.95)

Porównując równanie (3.95) z równaniem okręgu 2*000

**0

* ρ=+−− zzzzzzzz wyznaczamy środek

okręgu

DCDC

CBDAw

**

**

0−

−= (3.96)

Ponadto mamy

2*00**

**

ρ−=

−

−ww

DCDC

BABA (3.97)

a stąd wyznaczamy promień okręgu

DCDC

BABA

DCDC

DACBCBDA

) (

) ( ) (**

**

2**

****

−

−−

−

−−=ρ (3.98)

W przypadku szczególnym, gdy 0=B , funkcja homograficzna

kDC

Aw

+= (3.99)

Postępując podobnie jak wyŜej, otrzymujemy równanie

0

*

**

*

**

** =

−−

−+ w

DCDC

DAw

DCDC

DAww (3.100)

po porównaniu którego z równaniem 0 0**

0* =−− zzzzzz , stwierdza się, Ŝe jest to okrąg przechodzący

przez początek układu współrzędnych. Środek tego okręgu

DCDC

DAw

**

*

0−

= (3.101)

a jego promień

2**2**

22

2**

**

) (

1

) (

) (

DCDCDA

DCDC

DA

DCDC

DADA

−−=

−−=

−−=ρ (3.102)

Jeśli rozpatrywana zespolona wielkość fizyczna opisana jest przez funkcję homograficzną

kDC

AFw

++= , (3.103)

której obrazem jest okrąg uzyskany po przesunięciu równoległym o wektor F kaŜdego punktu poprzednio rozpatrywanego okręgu.

61

Przykład 3.6.

Wyznaczyć miejsce geometryczne funkcji

XRRZ j)( += oraz jej odwrotności

XRRZRY

j

1

)(

1)(

+==

jeśli

∞≤≤ R0 Miejscem geometrycznym końca wektora XRRZ j)( += , w teorii obwodów elektrycznych nazywanego

impedancją układu szeregowego R, X przy zmianie parametru (rezystancji) R ≥ 0 jest półprosta równoległa do osi rzeczywistej (rys. 3.21.).

2 4 6 8 10 12 14Re@ZD

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Im@ZD

y=R+jXy=R+jX 0£R£¥

X=0.5

R=¥R=0

R=0

jX

-jX

Rys. 3.21. Miejsce geometryczne impedancji XRRZ j)( += układu szeregowego RX przy zmianach rezystancji w zakresie ∞≤≤ R0

Wtedy dla odwrotności tej funkcji )(

1)(

RZRY = (admitancji) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji

homograficznej (3.99) są następujące:

1 , j ,0 ,1 , ===== DXCBARk

Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest półokrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Y (rys. 3.22.) o środku w punkcie

XXXXDCDC

DAY

2

1 j

j 2

1

1) j(1 j

11

**

*

0 −==⋅−−⋅

⋅=

−=

i promieniu

XXXDCDC

DA2

1

]1) j(1 j[

111

) (

1

22**=

⋅−−⋅−⋅⋅=

−−=ρ

czyli średnicy

X

12 == ρδ

Druga połowa okręgu odpowiadająca ujemnym wartościom R nie jest rozpatrywana. Wartości 0=R odpowiada

na okręgu Y punkt najbardziej oddalony, a wartości ∞=R punkt O - początek układu współrzędnych płaszczyzny Y.

62

0.2 0.4 0.6 0.8 1Re@YD

-2

-1

1

2

Im@YD

y=

1

R + I * X

X<0

X>0

0£R£¥

X=0.5

R=¥

R=0

R=0

1X

1X

Rys. 3.22. Miejsce geometryczne admitancji XRRZ

RY j

1

)(

1)(

+==

układu szeregowego RX przy zmianach rezystancji w zakresie ∞≤≤ R0

Dla 0>X miejsce geometryczne wektora Z jest prosta połoŜona ponad osią rzeczywistą, a dla 0<X - poniŜej osi rzeczywistej. Odpowiednio półokrąg Y dla 0>X jest połoŜony poniŜej osi rzeczywistej, a dla 0<X - ponad osią rzeczywistą. Przykład 3.7.


XRXZ j)( += oraz jej odwrotności

XRXZXY

j

1

)(

1)(

+==

jeśli

∞≤≤−∞ X

Dla badanej funkcji )(XZ parametrem jest rzeczywista wielkość X i wtedy jej miejscem geometrycznym jest

prosta równoległa do osi urojonej – rys. 3.23.

R

j X

z

j Im(z)

z

O Re(z)

j X=var

X=0

X>0

X<0

Rys. 3.23. Miejsce geometryczne impedancji XRXZ j)( += układu szeregowego RX przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X

63

Wtedy dla admitancji )(XY parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (1.198) są następujące:

j , ,0 ,1 , ===== DRCBAXk

Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest zatem okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych

płaszczyzny zespolonej Y (rys. 3.24.) o środku w punkcie R

Y 2

1 0 = i promieniu

R2

1=ρ , czyli średnicy

R

12 == ρδ . Wartościom 0>X odpowiada półokrąg dolny, a wartościom 0<X półokrąg górny. Przy 0=X

obwód jest rezystancyjny i odpowiednio kondukcyjny. Przy ±∞=X admitancja jest równa zeru.

0.5 1 1.5 2Re@YD

-1

-0.5

0.5

1

Im@YD

y=

1

R + I * X

X<0

X>0

0£R£¥

R=0.5

X±=¥ X=01

R

Rys. 3.24. Miejsce geometryczne admitancji XRXZ

XY j

1

)(

1)(

+==

układu szeregowego RX przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X

Przykład 3.8.


2

21 j

)(

RX

RXRXZ

−+=

jeśli

∞≤≤−∞ X

PowyŜsza funkcja jest impedancją szeregowego połączenia rezystancji 1R z równoległym połączeniem układu

XR 2 . Funkcje te przedstawiamy następująco:

2

21

2

12

1 j

1

j1

11

RX

RXR

XR

RY

RZ−

+=−

+=+=

co jest rozpatrywanym juŜ okręgiem 2

22 j

RX

RXZ

−= z rys. 3.24. przesuniętym względem początku układu

współrzędnych o wektor zespolony 11 RZ = - rys. 3.25.

64

R2

Z

j Im(Z)

Z

O Re(Z)

X=var

X=0

X>0

X<0

X=±¶ R1

Rys. 3.25. Miejsce geometryczne impedancji 2

21 j

)(

RX

RXRXZ

−+=

przy zmianach reaktancji w zakresie ∞≤≤−∞ X

4. TRANSFORMATA LAPLACE’A

Przekształcenie całkowe Laplace’a – transformata Laplace’a – polega na przeniesieniu rozwiązywania równań róŜniczkowych o stałych współczynnikach z obszaru funkcji zmiennej rzeczywistej w obszar funkcji zmiennej zespolonej, gdzie działania przyjmują postać prostszą w wyniku algebraizacji tych równań. Przekształcenie to jest metodą operatorową rozwiązywania obwodów elektrycznych w stanach nieustalonych i w opisie liniowych układów automatycznej regulacji, czyli w opisie układów dynamicznych.

Sygnały wejściowe i wyjściowe, zadane i zakłócające w układach automatycznego sterowania oraz prądy i napięcia w obwodach elektrycznych są funkcjami argumentu rzeczywistego – zazwyczaj czasu t. W ogólnym przypadku mamy więc funkcję )(tf , którą nazywamy oryginałem.

W odniesieniu do tej funkcji czynimy załoŜenia: • znika ona dla argumentów ujemnych, tzn.

0 dla 0)( <= ttf (4.1)

• jest jednoznacznie określona w całym przedziale czasu ∞<≤ t0 , jest w tym przedziale ciągła, z

wyjątkiem co najwyŜej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, • rośnie co do wartości bezwzględnej nie szybciej niŜ funkcja wykładnicza. Wtedy kaŜdej takiej funkcji zmiennej rzeczywistej )(tf moŜemy przyporządkować funkcję )(sF

argumentu zespolonego ωσ j+=s , zwanego parametrem zespolonym. Funkcję tę nazywamy transformatą

funkcji czasu lub jej funkcją przekształconą, lub obrazem.

4.1. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a

Przekształcenie Laplace’a proste jednostronne definiujemy za pomocą całki

ttfsF ts d e )()(0

∫∞

−= (4.2)

Taka całka jest jednostajnie zbieŜna i jest funkcją analityczną (holomorficzną) zmiennej zespolonej

ωσ j+=s w obszarze

10sRe σσσ >≥= (4.3)

65

przy warunku

tffsFMtf tst d e )()(e )(0

1 ∫∞

−=< σ (4.4)

gdzie M jest dowolna liczbą dodatnią.

j Im(s)=j ω

O Re(s)=σ σ0

Rys. 4.1. Obszar zbieŜności transformaty Laplace’a

Oznacza to, Ŝe całka (4.2) jest funkcją jednoznaczną, ciągłą i róŜniczkowalną zmiennej zespolonej s w kaŜdym punkcie obszaru połoŜonego z prawej strony prostej oraz na granicy tego obszaru.

Transformatę Laplace’a zapisujemy symbolicznie w postaci

[ ] )()( )( )( sFtfsFtf =≡÷ L (4.5)

Przekształcenie Laplace’a odwrotne określamy całką

ssFtf ts d e )(j π2

1)(

j

j

0

0

∫+

−

=ωσ

ωσ

(4.6)

i zapisujemy symbolicznie

[ ] )()( )( )( 1 tfsFtfsF =≡÷ −L (4.7)

4.2. Transformata skoku jednostkowego

f(t)

O t

1

1(t)

Skokiem jednostkowym (funkcją Heaviside’a) jest

funkcja opisana wzorem

0 tdla 0

0 dla 1)()(

<

>==

tttf 1 (4.8)

i którą przedstawia rysunek 4.2. Rys. 4.2. Funkcją Heaviside’a )(t1

Zgodnie ze wzorem (4.2) mamy, Ŝe dla σ>sRe

[ ]s

tss

tsFts

ts 1)(

1ed e 1)(

0

0

=≡=−=⋅=∞−∞

−∫ 1L (4.9)

66

4.3. Transformata funkcji wykładniczej

f(t)

O t

1

e-a t

Funkcję wykładniczo malejącą określamy wzorem

0 tdla 0

0 dla e)(

<

>=

− ttf

ta

(4.10)

i przedstawiamy na rysunku 4.3.

Rys. 4.3. Funkcja wykładniczo malejąca

Transformata tej funkcji dla σ>sRe

[ ]asasas

tsF tatas

tsta

+=≡

+=

+−== −

∞+−∞−−∫

1e

1ed e e)(

0

)(

0

L (4.11)

f(t)

O t

1

ea t

Funkcję wykładniczo rosnącą określamy wzorem

0 tdla 0

0 dla e)(

<

>=

ttf

ta

(4.12)

i przedstawiamy na rysunku 4.4.

Rys. 4.4. Funkcja wykładniczo rosnąca

Transformata tej funkcji dla σ>sRe

[ ]asasas

tsF tatas

tsta

−=≡

−=

−−==

∞−−∞−∫

1e

1ed e e)(

0

)(

0

L (4.13)

Liczba a moŜe być takŜe liczbą zespoloną, np. mającą niezerową tylko część urojoną, i wtedy

[ ] ωω

ω jgdy j

1e j =

+=− a

s

tL (4.14)

albo

[ ] ωω

ω jgdy j

1e j −=

−= a

s

tL (4.15)

67

4.4. Transformata funkcji impulsowej Diraca

f(t)

O t

¶

δ(t)

Funkcję impulsową Diraca określamy wzorem

0 tdla 0

0 tdla

0 dla 0

)(

<

=∞

>

=

t

tf (4.16)

dla warunku

1d )( =∫∞

∞−

ttδ (4.17)

i przedstawiamy na rysunku 5.5. Rys. 4.5. Funkcja impulsowa Diraca

Warunek (4.17) oznacza, Ŝe przyjmujemy pole powierzchni tej funkcji równe jedności (skończona energia impulsu) mimo, Ŝe funkcja ta jest impulsem o nieskończenie wielkiej amplitudzie i nieskończenie krótkim czasie trwania.

Do wyznaczenia transformaty Laplace’a impulsu Diraca wykorzystamy jego własność filtrowania w postaci wzoru

)( )0()( )( tfttf δδ = (4.18) a dla całki mamy

btaftttf

b

a

≤=≤=∫ 0 dla )0(d )( )( δ (4.19)

co oznacza, Ŝe całka z iloczynu pewnej funkcji czasu i impulsu Diraca jest równa wartości tej funkcji w chwili, w której pojawił się impuls Diraca, czyli następuje wydzielenie, wyfiltrowanie wartości tej funkcji w chwili 0=t .

Zatem po podstawieniu za tstg e)( −= mamy

[ ]

=

==⋅==== ∫∫∫∞∞∞

1)(

1e1)0(d (t))0(d )0( )(d )( )()( 0

000

t

gtgtgtttgtsF

δ

δδδ

L

(4.20)

4.5. Transformata kombinacji liniowej funkcji czasu

Jeśli funkcja )(tf jest kombinacją liniowa funkcji )(tf i , to jej transformata Laplace’a

)( )( 11

sFatfa i

n

i

ii

n

i

i ∑∑==

=

L (4.21)

W szczególnym przypadku iloczynu stałej i funkcji mamy zatem

[ ] )( )( sFatfa =L (4.22)

68

4.6. Transformata funkcji trygonometrycznych ωtsin i ωtcos

Funkcja

j 2

eesin

-j j tt

tωω

ω−

= (4.23)

zatem

[ ] ( )

[ ]

+=

+=

−−

−=

−==

22

22 j- j

sin

j

1

j

1

j 2

1ee

j 2

1sin)(

ωω

ω

ωω

ωωω ωω

st

ssstsF tt

L

LL

(4.24)

Funkcja

j 2

eecos

-j j tt

tωω

ω+

= (4.25)

i w podobny sposób jak wyŜej, otrzymujemy

[ ]22

cosω

ω+

=s

stL (4.26)

4.7. Transformata funkcji hiperbolicznych atsh i atch

Uwzględniając, Ŝe

2

eesh

- tata

at−

= (4.27)

oraz

2

eech

- tata

at+

= (4.28)

otrzymujemy transformaty

[ ]22

shas

aat

+=L (4.29)

oraz

[ ]22

chas

sat

−=L (4.30)

4.8. Transformata pochodnej funkcji względem czasu

Jeśli t

tftf

d

)(d)( =′ , to

[ ] )0()( )( +−=′ fsFstfL (4.31)

a dla n-tej pochodnej mamy

[ ] ∑=

+−−−=n

k

kknnnfssFstf

1

)1()( )0()( )(L (4.32)

69

4.9. Transformata całki oznaczonej funkcji czasu

Transformata całki oznaczonej funkcji czasu w granicach od 0 do t ma postać

s

sFttf

t)(

d )(0

=

∫L (4.33)

4.10. Twierdzenie o opóźnieniu w obszarze zmiennej rzeczywistej

Twierdzenie o opóźnieniu nazywane teŜ twierdzeniem o przesunięciu dotyczy wyznaczania transformaty Laplace’a z funkcji )( 0ttf − , czyli funkcji )(tf przesuniętej w prawo w dziedzinie czasu o

wielkość 0t . Postać tego twierdzenia jest następująca

[ ] )( e)( 0 -s0 sFttf

t=−L (4.34) Przykład 4.1.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego przedstawionego na rysunku 4.6. Impuls prostokątny otrzymujemy ze złoŜenia dwóch skoków jednostkowych przesuniętych w czasie o wartości

odpowiednio 1t oraz 2t , a mianowicie

[ ])()( )( 21 ttttAtf −−−= 11

f(t)

O t

A

A 1(t-t1)

t

t

O

O

-A

A

t1

t1

t2

t2

-A 1(t-t2)

Rys. 4.6. Konstrukcja impulsu prostokątnego

Jeśli teraz wykorzystamy wzory (4.9), (4.22) i (4.34), to wyznaczymy transformatę Laplace’a impulsu prostokątnego o amplitudzie A w postaci

[ ] ( )21 ee )( tsts

s

Atf

−− −=L

70

4.11. Twierdzenie o przesunięciu zespolonym

Twierdzenie o przesunięciu zespolonym lub tłumieniu dotyczy tłumionej funkcji czasu i wyraŜamy je następującym wzorem [ ] )()( e λλ +=− sFtftL (4.35)

Przykład 4.2.

Π8 Π4 3Π8 Π2Ωt

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

f@tD

f HtL=e-tcosΩt a=1Ω=8

Rys. 4.7. Kosinusoida tłumiona Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji tłumionej (rys. 4.7)

ttf ta ωcos e)( −= Wykorzystując wzór (4.26) oraz (4.34) mamy

[ ]( ) 22

cos eω

ω++

+=−

as

ast

taL

4.12. Transformata funkcji okresowej

Jeśli transformata Laplace’a funkcji okresowej wyznaczana za okres ma postać

[ ] )()( sFtf TT =L (4.36)

to transformata funkcji

[ ]Ts

T sFTtfsF

e1

)()()(

−−=+= L (4.37)

Przykład 4.3.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a sinusoidy wyprostowanej przedstawionej na rysunku 4.8a. Okresem funkcji sin tω jest T , a funkcji badanej (wyprostowanej sinusoidy) jest T/2. Aby zatem wykorzystać

wzór (4.37) utworzymy funkcję )(2/ tfT jako sumę dwóch funkcji

)()()( 212/ tftftfT +=

gdzie )( sin)(1 tttf 1ω=

przedstawionej na rysunku 4.8b. oraz

71

−

−=

2

2sin)(2

Tt

Tttf 1ω

przedstawionej na rysunku 4.8c. Sumę tych funkcji przedstawiamy ma rysunku 4.8d. Zatem jej transformata

[ ] 2

22222/2/ e )()(T

s

TTss

sFtf−

++

+==

ωω

ωω

L

a)

T2 T 3T2t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f@tD

f HtL=ÈsinΩtÈ

b)

T2 T 3T2t

-1

-0.5

0.5

1

f1@tD

fHtL=sinΩt

c)

T2 T 3T2t

-1

-0.5

0.5

1

f2@tD

f HtL=sinHΩt-T2L1HtL

d)

T2 T 3T2t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f T2@tD

fT2HtL=f1HtL+f2HtL

Rys. 4.8. Ilustracja do przykładu 4.3. Ze wzoru (4.37) mamy

+=

−

+

+=

−

+

+=

−=

−

−

−

−

− 4cth

ee

ee

e1

e1

e1

)()(

22

4

4

4

4

22

2

2

222/

2/ Ts

sss

sFsF

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

T

ωω

ωω

ωω

4.13. Twierdzenie o wartościach granicznych

Twierdzenia o wartościach granicznych dotyczą zachowania się transformaty Laplace’a dla czasu 0→t oraz ∞→t i maja postać

)( lim)( lim0

sFstfst ∞→→

= (4.38)

oraz )( lim)( lim

0sFstf

st →∞→= (4.39)

Wzory te umoŜliwiają wyznaczanie wartości początkowej i końcowej funkcji )(tf , gdy dana jest jej

transformata Laplace’a )(sF .

72

Przykład 4.4.

Wyznaczyć wartość początkowa i końcową funkcji, której transformata laplace’a

as

sF+

=1

)(

Jak wiemy ze wzoru (4.11), jest to transformata funkcji te)( atf −= . Zatem mamy

1 lim1e lim t

0=

+==

∞→

−

→ as

s

s

a

t oraz 0 lim0e lim

0

t =+

==→

−

∞→ as

s

s

a

t

4.14. Transformata funkcji nt

Transformata funkcji

[ ]1ns

! +

=n

t nL (4.40)

Przykład 4.5.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji przedstawionej na rysunku 4.9a.

O t

A

f(t)

T O

A

-A

T

t

-A /T (t-T) 1(t-T)

A /T t 1(t)

-A 1(t-T)

a)

b)

Rys. 4.9. Impuls piłokształtny i jego konstrukcja z funkcji elementarnych Funkcję piłokształtną moŜemy złoŜyć z funkcji elementarnych w postaci wzoru

)( )( )( )( )( TtATtTtT

Att

T

Atf −−−−−= 111

Zatem transformata tej funkcji

( )TsTsTsTssT

sT

A

ssTsTAsF

2

22e e1

e

1e

1111)( −−−− −−=

−−=

73

4.15. Twierdzenie o podobieństwie

Twierdzenie o podobieństwie dotyczy zmiany skali zmiennej niezaleŜnej i zapisujemy je następująco

[ ]

=a

sF

ataf

1) (L (4.41)

Przykład 4.6.

Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji

ttf ω2sin)( =

Wykorzystamy tutaj wzór (4.24) oraz (4.41), otrzymując

[ ] [ ]( )22

22 2

2

2

s

2

1)2(sin2sin

ω

ω

ω

ωωω

+=

+

==

stt LL

4.16. Twierdzenie o transformacie splotu funkcji

Splotem funkcji określamy funkcję

∫ −=∗=t

tfftftftf

0

2121 d )( )()()()( τττ (4.42)

i jeśli funkcje splotu maja transformaty Laplace’a

[ ][ ]

=

=

)())

)())

22

11

sFtf

sFtf

L

L (4.43)

to transformata [ ] )( )()()( 2121 sFsFtftf =∗L (4.44)

czyli transformata splotu jest równa iloczynowi transformat – twierdzenie Borela. Twierdzenie to wykorzystujemy do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a oraz transmitancji układów elektrycznych i automatycznej regulacji. Przykład 4.7.

Wyznaczyć transformatę odwrotną Laplace’a funkcji operatorowej

( )( )bsas

sF++

=1

)(

PowyŜszą transformatę przedstawimy w postaci iloczynu dwóch transformat

( )( ) ( ) ( )

111

)(bsasbsas

sF++

=++

=

a stąd

( ) ( )

tbta

bstf

astf

1-2

1-1 e

1 )( oraz e

1 )( −− =

+==

+= LL

Zatem

74

( )tbta

t

batb

t

batb

t

ba

abba

tftftf

0

)(

0

)(

0

)-(t 21

ee1

e)(

1e

d e ed e e)()()(

−−−−−

−−−−−

−−

=−−

=

===∗= ∫∫

τ

τττ ττ

4.17. Wyznaczanie oryginału z transformaty odwrotnej

Całkę (4.6) określającą transformatę odwrotną Laplace’a z funkcji operatorowej )(sF o n biegunach

moŜemy wyznaczać z pojęcia residuum, tzn.

[ ] [ ]∑∫=

=

+

−

− ===n

l

tsts sFssFsFtf1

ss

j

j

1 e )(resd e )(j π2

1)()(

l

0

0

ωσ

ωσ

L (4.45)

gdzie ls jest biegunem funkcji operatorowej )(sF . Jeśli biegun ten jest biegunem k-krotnym, to

[ ] ( )[ ]tsk

lk

k

ss

tss sFss

sk-sF

l

1

1 e )(

d

dlim

! )1(

1e )(res

l

−=−

−

→ (4.46)

Jeśli funkcja operatorowa jest ma biegun jednokrotny 0s i jest funkcją wymierną postaci

)(

)()(

s

ssF

ψϕ

= (4.47)

to

[ ] tstss

s

ssF

l

0

0 0e )(

)(e )(res

ψϕ′

= (4.48)

Przykład 4.8.


( )ass

sF+

=

1)(

PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne 01 =s oraz as −=2 . Ze wzoru (4.45) mamy

( ) ( )

( ) )( e11

)( e 11

e )(

1lime

1lim)(

0t

at

aaas

asss

asstf

tatats

as

ts

s11

−−

−→→−=

−

+=++

++

=

Funkcja w mianowniku

( ) asssasasss +=′⇒+=+= 2)( )( 2 ψψ

i jeśli zaś wykorzystamy wzór (4.48), to otrzymujemy

( ) )( e11

)( e 11

e 2

1e

2

1)(

0

t

at

aaasastf

tata

as

ts

s

ts11

−−

−==

−=

−

+=+

++

=

75

4.18. Twierdzenie o rozkładzie

Twierdzenie o rozkładzie wykorzystujemy do wyznaczania transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji operatorowej typu (1.257), przy następujących załoŜeniach:

• ułamek (4.47) jest nieskracalny, • stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.

Jeśli pierwiastki mianownika są jednokrotne, to transformata odwrotna

[ ] ∑=

−

′==

n

l

ts

l

l l

s

ssFtf

1

1 e )(

)()()(

ψϕ

L (4.49)

przy czym

)()(1

il

n

lil

l sss −∏=′

≠=

ψ (4.50)

Przypadek ten jest teŜ szczególnym rozwiązaniem z wykorzystaniem residuum określonym wzorem

(4.48) – patrz przykład 4.8. Jeśli jeden z pierwiastków jest równy zeru, tzn. 00 =s , to wtedy funkcja operatorowa ma postać

)(

)(

)(

)()(

1 ss

s

s

ssF

ψϕ

ψϕ

== (4.51)

a transformata odwrotna

[ ] ∑=

−

′+==

n

l

ts

ll

l l

ss

ssFtf

1

11

1 e )(

)(

)0(

)0()()(

ψϕ

ψϕ

L (4.52)

Przykład 4.9.


( )ass

sF+

=

1)(

PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne 01 =s oraz as −=2 i moŜemy ja przedstawić w postaci

)(

1)(

1 sssF

ψ=

gdzie 1)( )( 11 =′⇒+= sass ψψ

Ze wzoru (4.49) mamy

[ ] ( ) )( e11

e 1

11)()( 1

tasa

sFtfta

as

ts1

−

−=

− −=⋅

+== L

Jeśli jeden z pierwiastków jest zespolony o zerowej wartości części rzeczywistej, tzn. ω j0 =s , to wtedy

funkcja operatorowa ma postać

)( ) j(

)(

)(

)()(

1 ss

s

s

ssF

ψωϕ

ψϕ

−== (4.53)


76

[ ] ∑=

−

′+==

n

l

ts

ll

lt l

ss

ssFtf

1

1

j

1

1 e )( ) j-(

)(e

) j(

) j()()(

ψωϕ

ωψωϕ ωL (4.54)

Przykład 4.10.


( )( )ass

sF+−

=ω j1

)(

PowyŜsza funkcja ma dwa bieguny jednokrotne ω j1 =s oraz as −=2 i moŜemy ja przedstawić w postaci

)(

1)(

1 sssF

ψ=

gdzie 1)( )( 11 =′⇒+= sass ψψ

Ze wzoru (4.54) mamy

[ ] ( ) )( ee j

1e

1) j(

1e

j

1)()( j j1 t

asasFtf tat

as

tst 1−

−=

− −+

=⋅−

++

== ωω

ωωωL

Jeśli funkcja operatorowa ma jeden k-krotny biegun is− , to moŜemy ją przedstawić w postaci

( ) ( ) ( ) ( )ki

ik

r

i

ir

i

i

i

i

k

i ss

K

ss

K

ss

K

ss

K

ss

s

s

ssF

+++

+++

++

+=

+== ......

)(

)(

)()(

221ϕ

ψϕ

(4.55)

gdzie

( ) ( ) ( ) ik

rk

iir

k

ii

k

ii KssKssKssKs ++++++++= −−− ......)( 22

11ϕ (4.56)

issik sK−=

= )(ϕ (4.57)

( )iss

rk

rk

irs

s

rkK

−=−

−

−=

d

)(d

!

1 )( ϕ (5.58)

Wtedy transformata odwrotna

[ ]( )∑

=

−−

−

−==

k

r

tsr

iri

r

tKsFtf

1

1

1 e ! 1

)()( L (4.59)

Z powyŜszego wzoru dla As =)(ϕ mamy, Ŝe

( ) ( )

tsk

k k

t

ss

Atf

1

0

1 0e ! 1

)( −−

−

−=

+= L (4.60)

Przykład 4.11.


( )32

2

1 2)(

+

++=

s

sssF

77

PowyŜsza funkcja ma jeden biegun trzykrotny 20 −=s . MoŜemy ja przedstawić w postaci

( ) ( )3

13

2

1211

222)(

)()(

++

++

+==

s

K

s

K

s

K

s

ssF

ψϕ

Obliczamy współczynniki

( ) 11 2)(2

2

213 =++==−=−= ss

sssK ϕ

( ) 22 2d

(s)d

! 1

12

212 −=+==

−=−=

ss

ss

Kϕ

oraz ( ) 122

1

d

)(d

! 2

12

2

2

2

11 ===−=

−=s

ss

sK

ϕ

Zatem funkcję operatorowa moŜemy przedstawić w postaci

( ) ( ) ( )323

2

2

1

2

2

2

1

2

1 2

)(

)()(

++

+

−+

+=

+

++==

ssss

ss

s

ssF

ψϕ


( )

tttttt

ttt

s

sstf

22 22

21

20

3

21 e

2

1 21e

! 21e

! 1)2(e

! 01

2

1 2)( −−−−−

+−=⋅+−+⋅=

+

++= L

Jeśli funkcja operatorowa ma n pierwiastków w tym pierwiastki is są ir -krotnymi, to transformata odwrotna

[ ]( )

( )∑= =

−

−−

−

−==

n

i ss

tsr

ir

r

ii

ii

i

i

sssr

sFtf1

1

11 e

(s)

(s)

d

d

! 1

1)()(

ψϕ

L (4.61)

Przykład 4.12.


( ) 321

2)(

ss

ssF

−

+=

PowyŜsza funkcja ma 2=n pierwiastki 01 =s oraz 12 =s , przy czym pierwszy z nich jest pierwiastkiem trzykrotnym,

czyli 31 =r , a drugi jest pierwiastkiem dwukrotnym, czyli 22 =r . Zatem dla pierwszego pierwiastka mamy

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

8 5

e 1-s

2e

1-s

5e

1-s

5se

1-s

1-s 3 5s-1-s

2

1

e 1-s

2e

1-s

5s

d

d

2

1

e1-s

2s

d

d

2

1e0

1-s

2s

d

d

! 13

1)(

2

0

2

2

3

3

6

23

0

2

3

0

22

2

0

3

322

2

1

−+

=

+−

+−

+−

+−=

=

++

+−=

=

+=

−

+

−=

=

=

==

tt

ts

ts

t

ts

s

ss

sstf

s

tstststs

s

tsts

s

ts

s

ts

Dla 12 =s , otrzymujemy

78

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) t

s

tsts

s

ts

s

ts

ttss

s

sss

sstf

e 8 3e 2s

es 3 2s-

e2s

d

de1

1-s

2s

d

d

! 12

1)(

1

3

6

23

1

3

1

3

322

−=

++

+=

=

+=

−

+−

=

=

==

Ostatecznie otrzymujemy

( )

( ) tttt

ss

stf e 8 38 5

1

2)( 2

32

1 −+−+=

−

+= −L

4.19. Rozkład na ułamki proste

W przypadku ogólnym funkcja operatorowa )(sF moŜe mieć k biegunów rzeczywistych kα -krotnych i

l biegunów zespolony lβ -krotnych. Wtedy funkcję taka moŜemy przedstawić w postaci

k

k

k

k

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

B

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

x

xsWsF

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

n

m

α

β

α

β

α

β

α

α

α

α

α

α

ψϕ

)(...

)()(

...)(

...)()()(

...)()(

)(...

)()(...

)(...

)()(

)(...

)()()(

)()()(

22

21

2

2

22

22

2

21

1

1

21

12

1

11

22

21

2

2

22

22

2

21

1

1

21

12

1

11

2

2

1

1

2

2

1

1

−++

−+

−+

+−

++−

+−

+−

++−

+−

+

+−

++−

+−

++−

++−

+−

+

+−

++−

+−

=≡=

(4.62)

Na podstawie o liniowości i znanych odwrotnych transformat odpowiadających ułamkom prostym

moŜemy wyznaczać transformaty odwrotne w ten sposób określone funkcje zespolone. Przykład 4.13.


( )( ) ( ) ( )4242

1)(

++

+=

++=

s

B

s

A

sssF

korzystając z rozkładu jej na ułamki proste.

PowyŜsze równanie pomnoŜymy stronami przez wspólny mianownik, to otrzymamy

2

1 oraz

2

1 2 4 )(1 −==⇒+++= BABAsBA

Zatem funkcja

( )( ) ( ) ( )42

1

2

1

2

1

42

1)(

+−

+=

++=

s

B

ssssF

została sprowadzona do ułamków prostych, których transformaty odwrotne znamy. Ostatecznie

[ ] ( )ttsFtf

4 21 ee2

1)()( −−− −== L

79

4.20. Transformaty Laplace’a wybranych funkcji

W tabeli 4.1. podajemy transformaty Laplace’a wybranych funkcji.

Tabela 4.1.: Transformaty Laplace’a niektórych funkcji

Nr

wzoru )(tf )(sF

Nr

wzoru )(tf )(sF

1 )(tδ 1 2 )(t1 s

1

3

nt 1

! +ns

n

4

ta e − as +

1

5 tωsin 22 ω

ω+s 6 tωcos

22 ω+s

s

7 tta ωsine − ( ) 22 ω

ω

++ as 8 tta ωcose −

( ) 22 ω++

+

as

as

4.21. Transmitancja operatorowa

W teorii sygnałów (w automatyce i elektrotechnice) poszukuje się odpowiedzi (sygnały wyjściowego) )(ty układu na wymuszenie (sygnał wejściowy ) )(tx - rys. 4.10.

x(t) y(t) g(t)

Rys. 4.10. Schemat blokowy układu w dziedzinie czasu Dla kaŜdego układu liniowego związek miedzy tymi sygnałami jest następujący

∫∞

∞−

= τττ d )( ) ,()( xtgty (4.63)

gdzie ) ,()( τtgty = jest funkcją dwóch zmiennych i nazywamy ją impulsową funkcją przejścia lub

charakterystyka impulsową układu liniowego. W dziedzinie czasu

∫∞

=∗=0

d )( )-()()()( τττ xtgtxtgty (4.64)

Jeśli )()( ttx δ= (4.65)

to

)(d )( )-()(0

tktgty == ∫∞

ττδτ (4.66)

a stąd wynika, Ŝe na wymuszenie impulsem Diraca odpowiedzią układu jest impulsowa funkcja przejścia. W dziedzinie transformat Laplace’a wymuszenie [ ])()( txsX L= , a odpowiedź układu [ ])()( tysY L= -

rys. 4.11.

80

X(s) Y(s) G(s)

Rys. 4.11. Schemat blokowy układu w dziedzinie operatorowej

Transmitancja operatorową )(sG nazywamy stosunek transformaty odpowiedzi )(sY do transformaty

wymuszenia )(sX , czyli

)(

)()(

sX

sYsG = (4.67)

przy zerowych warunkach początkowych układu. Jeśli sygnałem wejściowym jest impuls Diraca (4.65), to sygnał wyjściowy określony jest wzorem

(4.66), a w dziedzinie transformat mamy, Ŝe

)()( )()( sGsXsGsY == (4.68)

co oznacza, Ŝe dla sygnału wejściowego )(tδ czasowy sygnał wyjściowy jest charakterystyką impulsową

układu. Jeśli sygnałem wejściowym jest skok jednostkowy

)()( ttx 1= (4.69) to

∫∫ ==∞ t

gtgty

00

d )(d )( )-()( τττττ 1 (4.70)

a stąd

)(d

)(dtg

t

ty= (4.71)

co oznacza, Ŝe impulsowa funkcję przejścia układu otrzymuje się po zróŜniczkowaniu sygnału wyjściowego jako odpowiedzi na skok jednostkowy. Wtedy teŜ

s

sGsY1 )()( = (4.72)

Jeśli na wejście zadamy dowolny sygnał )(sX i w odpowiedzi otrzymamy )(sY , to układ liniowy

będzie opisany transmitancją (4.67), co oznacza równieŜ, Ŝe transmitancja )(sG , czyli operatorowa funkcja

przejścia przy wymuszeniu impulsem Diraca, wystarcza do uzyskania odpowiedzi )(sY na dowolny sygnał

wejściowy )(sX .

Przykład 4.14.

Wyznaczyć czasowy sygnał wyjściowy dla sygnały wejściowego

)( sin)( tttx 1ω=

jeśli widomo, Ŝe operatorowa transmitancja skokowa układu sksG )( = . Operatorowa postać sygnału wyjściowego

22s

)( )()(ω

ω+

== k ssXsGsY

81

Zatem sygnał wyjściowy w postaci czasowej

[ ]( )( )

[ ]

[ ]tkt

tωtktk

tkttks

k

ss

sk k ssYty

tt

tttt

ωωω

ωωωωω

ωω

ωωωω

ωω

ω

ωω

ωωωω

sin d

d)( cos )(

2

ee

)( j 2

ee je )( sin je

s

j

j

1

j j

j j

s )()(

j- j

j- j j- j-

22

1

1

22

1 1

==+

=

=

−+=+=

++

+=

=

−+

−+=

+==

−

−−−

11

11L

LLL

albowiem transmitancja sksG )( = opisuje tzw. idealny człon róŜniczkujący.

4.22. Metoda przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych

Rozpatrzmy niejednorodne równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach

)( ... 1)1(

1)( tfyayayay nn-

nn =+′+++ − (4.73) Metoda operatorowa rozwiązania równania (4.73) polega na zastąpieniu tego równania, po obustronnym przekształceniu Laplace’a, równowaŜnym równaniem algebraicznym pierwszego stopnia z niewiadomą

)(ty , w postaci

)()()( )( sFsMsYsN += (4.74)

gdzie )(sN i )(sM są wielomianami operatora s odpowiedni stopni n i m, przy czym nm < .

Wtedy

)(

)(

)(

)()(

sN

sB

sN

sMsY += (4.75)

Dokonując odwrotnej transformaty Laplace’a wyznaczamy funkcję )(ty , przy czym wielomian )(sM zaleŜy od warunków początkowych.

Szczegółowe sposoby rozwiązywania równań róŜniczkowych metoda operatorowa rozpatrzymy na poniŜszym przykładzie.

Przykład 4.15.

Rozwiązać równanie

)( 3 6 5 tuuu 1=+′+′′ z warunkami początkowymi

0)0( oraz 1)0( =′= uu Równanie tego typu opisuje np. przebieg napięcia na kondensatorze w układzie szeregowym RLC po załączeniu go na napięcie stałe przy napięciu początkowym na kondensatorze róŜnym od zera i zerowej wartości prądu.

Po obustronnym przekształceniu Laplace’a

[ ] [ ])( 3 6 5 tuuu 1LL =+′+′′

otrzymujemy równanie algebraiczne

ssUusUsuussUs

1 3)( 6)0( 5)( 5)0()0( )( 2 =+−+′−− +++

a stąd

[ ]s

uuussssU1

3)0( 5)0()0( 6 5 )( 2 =−′−−++ +++

i ostatecznie

82

6 5

1 3

6 5

)0( 5)0()0(

)(

)(

)(

)()(

22 +++

++

−′−=+=

+++

ss

s

ss

uuus

sN

sB

sN

sMsU

Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy zaś

( ) ( )( )3 2

3 5-

6 5

3

6 5

5 )(

2

22 ++

+=

+++

++

−=

sss

ss

sssss

ssU

Po rozłoŜeniu powyŜszej funkcji na ułamki proste, otrzymujemy

3

1 9

2

1

2

17

1

2

1)(

++

+−=

ssssU

a wtedy odwrotna transformata Laplace’a

[ ] up

ttuusU +=++−= −−−

2

1e 9e

2

17)( 3 21L

gdzie

tt

pu 3 2 e 9e

2

17 −− +−= oraz 2

1=uu

czyli całka ta jest zatem sumą dwóch funkcji: wykładniczej i wielkości stałej, która odpowiada tzw. wartości ustalonej funkcji, tzn.

2

1

2

1e 9e

2

17lim)(lim 3 2 =

++−== −−

∞→∞→

tt

xxu tyu

Wartość ustaloną funkcji moŜemy wyznaczyć takŜe bezpośrednio z transformaty, wykorzystując twierdzenie o wartości granicznej (4.39), a mianowicie

( )( ) ( )( ) 2

1

3 2

3 5- lim

3 2

3 5- lim)( lim)( lim

2

0

2

00=

++

+=

++

+===

→→→∞→ ss

ss

sss

ssssFstuu

ssstu

Podobnie z drugiego twierdzenia (4.38) o wartościach granicznych wyznaczamy wartość początkową funkcji bezpośrednio z transformaty

( )( )

16 5

3 5- lim

3 2

3 5- lim)( lim)( lim

2

22

0=

++

+=

++

+==

∞→∞→∞→→ ss

ss

sss

ssssUstu

ssst


0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

y

u=up+uu

up=9e-3 x-

172

e-2 x

uu=12

Rys. 4.12. Rozwiązanie równania róŜniczkowego )( 3 6 5 tuuu 1=+′+′′

przy warunkach początkowych 0)0( oraz 1)0( =′= uu . Czytelnik zechce porównać otrzymane rozwiązanie z rozwiązaniem przy zerowych warunkach początkowych

przedstawione w przykładzie 2.9. i na rysunku 2.9.

83

Literatura:

1. Palczewski A.: Równania róŜniczkowe zwyczajne. WNT, Warszawa 1999. 2. Fichtenholz G. M.: Rachunek róŜniczkowy i całkowy. WN PWN, Warszawa 1995. 3. Janowski W.: Matematyka – podręcznik dla wydziałów elektrycznych i mechanicznych politechnik. Tom I i tom

II. PWN, Warszawa 1962. 4. Leitner R.: Zarys matematyki wyŜszej. Część I. II i II. WNT, Warszawa 19994. 5. Trajdos T.: Matematyka dla inŜynierów. WNT, Warszawa 1974. 6. Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inŜynierów. Część 1 i Część 2. PWN,

Warszawa 1983. 7. śakowski W., Decewicz G.: Matematyka. Część I, II, III i IV. WNT, Warszawa 1997. 8. Grzymkowski R.: Matematyka dla studentów wyŜszych uczelni technicznych. Wyd. Pracowni Komputerowej J.

Skalmierskiego, Gliwice 1999. 9. Osiowski J.: Zarys rachunku operatorowego. Teoria i zastosowania w elektrotechnice. WNT, warszawa 1972. 10. Bolkowski s.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT, Warszawa 2008. 11. Walczak J., Pasko M.: Elementy dynamiki liniowych obwodów elektrycznych. Wyd. Pol. Śl., Gliwice 2001. 12. Leja F.: Funkcje zespolone. WN PWN, Warszawa 2006.

podstawy matematyczne elektrotechniki i automatyki dla energetyków

Documents

Transcript of podstawy matematyczne elektrotechniki i automatyki dla energetyków