Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Wykład 2.Wykład 2.Rozwiązywanie równańRozwiązywanie równań

Rozwiązywanie pojedynczych równań algebraicznych.

Iteracyjne znajdowanie pierwiastków równań.

x1 f(x1) > 0

x2 f(x2) < 0i

x1 f(x1) < 0

x2 f(x2) > 0i

lub 21, xxx

Metoda połowienia przedziałów 0xf

??

Metoda połowienia przedziałów

x1x2

y1

y2

x3y3x4

y4

223

4xxx

212

3xxx

21

1

iii

xxx

Metoda połowienia przedziałów

x1x2

y1

y2

x3

y3

x4

y4

213

4xxx

Metoda połowienia przedziałów

x1

y1

y2

y3

x3 x2

y3 y1<0 x2 = x3

x3 x2

Metoda połowienia przedziałów Po każdym kroku konieczne jest

wybranie jednego punktu z poprzedniego kroku (x1 lub x2), który wraz z obliczonym środkiem przedziału (x3) utworzy nowy przedział

Poprawny wybór musi dać wartości funkcji o przeciwnych znakach:

• y1*y3<0 to x2 przyjmuje wartość x3

• y2*y3<0 to x1 przyjmuje wartość x3

Metoda połowienia przedziałów - algorytm

1. Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność 2. Obliczyć y1 i y2

3. Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.14. Obliczyć x3 = (x1 + x2)/25. Obliczyć y3 6. Jeżeli |x3-x2 |< to drukuj x3, koniec.7. Jeżeli y1*y3 < 0 to x2 = x3 i y2=y3 w przeciwnym wypadku

x1 = x3 i y1=y3, 8. Idź do punktu 49. Koniec.

koniec

Czytaj: x1, x2,

y1, y2

y1*y2>0

|x2-x3|<

x3=(x1+x2)/2

y3

y1*y3<0

Drukuj: zły przedział

x1=x3

x2=x3

Drukuj: x3

start

y2=y3

y1=y3

koniec

x3=(x1+x2)/2

y3

y1*y3<0

x1=x3

x2=x3

Drukuj: x3

y1=0

|x2-x3|<lub y3=0

Drukuj: x1

y2=0 Drukuj: x2

Metoda: reguła falsi

x3

x2x1

y2

y1

y3

x4

y4

xxxxyyyy

121

211

4,0 xxy

3121

211 xx

xxyyy

21

21131 yy

xxyxx

21

21113 yy

xxyxx

xxxxyyyy

331

313

31

31114 yy

xxyxx

3,0 xxy

Metoda: reguła falsi

x3

x1x2

y1

y2

y3

x4

y4

xxxxyyyy

121

211

4,0 xxy

3121

211 xx

xxyyy

21

21131 yy

xxyxx

21

21113 yy

xxyxx

xxxxyyyy

332

323

32

32224 yy

xxyxx

3,0 xxy

ip

ipppi yy

xxyxx

1

Ogólny wzór na metodę reguła falsi

Reguła falsi - algorytm1. Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz

dokładność 2. xp=x1

3. Obliczyć yp i y2

4. Jeżeli yp*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1

5. Obliczyć

6. Obliczyć y3

7. Jeżeli | xp - x3| lub | x2 - x3| todrukuj x3, koniec.

8. Jeżeli yp*y3>0 to xp= x2, yp= y2

9. x2= x3, y2= y3

10. Powrót do punktu 411. Koniec.

2

23 yy

xxyxx

p

ppp

Metoda siecznych

x3x2

y3x1

y1

y2

x4

x5

4,0 xxy

21

21113 yy

xxyxx

xxxxyyyy

332

323

32

32224 yy

xxyxx

ii

iiiii yy

xxyxx

1

1111

1. Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność

2. Obliczyć y1 i y2

3. Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1

4. Obliczyć

5. Obliczyć y3

6. Jeżeli |x3- x2| todrukuj x3, koniec.7. x1= x2: x2= x3 :y1= y2: y2= y3

8. Powrót do punktu 39. Koniec.

21

21113 yy

xxyxx

Metoda siecznych algorytm

Metoda Newtona

x3 x2x1

111 xfxxyy

2,0 xxy

1

11 xx

yyxf

1121 xfxxy

1

112 xf

yxx

1

112 xf

xfxx

i

iii xf

xfxx

1

1. Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność

2. Obliczyć y1

3. Obliczyć y'1

4. Obliczyć

5. Jeżeli |x2- x1 | todrukuj x2, koniec.

6. x1= x2

7. Powrót do punktu 2

8. Koniec.

1

112 y

yxx

Metoda Newtona algorytm

Rząd Metody NewtonaAby stwierdzić, czy metoda iteracyjna jest I-go rzędu należy sprawdzićczy pierwsza pochodna przekształconego równania jest w punkcie różna od 0.xx

k

kkkk xf

xfxxFx

1

21

k

kkkk

k

kkk xf

xfxfxfxfxfxfxxF

011 2

k

kk

xfxfxf

0xxf kbo

Rząd Metody NewtonaDruga pochodna:

2k

kkk xf

xfxfxF

4

2 2

k

kkkkkkkkkk xf

xfxfxfxfxfxfxfxfxfxF

k

kk xf

xfxF

=0=0

Zbieżność Metody Newtona12 peb

2 xFep

xFb 21

2

Z definicji parametr b2:

Aby proces był zbieżny błąd ep punktu startowego musi spełniać warunek

xFep

2

Zbieżność Metody Newtona

xfxfep

2

Ostatecznie:

Wnioski z powyższej zależności:

Punkt początkowy może być tym bardziej oddalony od rozwiązania (większa wartość ) im:

•Funkcja jest bardziej stroma w okolicy przecięcia z osią OX (większa jest jej pierwsza pochodna)•Funkcja jest mniej zakrzywiona (mniejsza jest jej druga pochodna)

xxe pp

Zbieżność Metody Newtona

0 pp xfxf

Zaleca się by punkt startowy xp metody Newtona spełniał warunek:

Rozwiązywanie układów równań

Metody skończone - eliminacyjne

Zasady metod eliminacyjnych

Dotyczą układów równań liniowych Polegają na stopniowym

przekształceniu macierzy współczynników do postaci trójkątnej lub diagonalnej

Wykorzystują właściwości macierzy:– Mnożenie wiersza przez liczbę– Odejmowanie wierszy od siebie

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda:– Przekształcenie macierzy współczynników

do macierzy trójkątnej ze współczynnikami równymi 1 na przekątnej

– Wyliczenie x n,n

– Wyliczenie kolejnych x n-i,n-i (i=1..n-1)– Wymaga wykonania około n3/3 operacji

mnożenia i dzielenia

Metoda eliminacji Gaussa

Algorytm 1. Wczytać macierz współczynników i

wektor wyrazów wolnych a, b i liczbę równań n

2. Wybrać wiersz pierwszy i=13. Wszystkie współczynniki i wyraz wolny

wybranego wiersza podzielić przez współczynnik w kolumnie o numerze wybranego wiersza

a(i,j)=a(i,j)/a(i,i) dla j=i..n

Metoda eliminacji Gaussa

4. Wybrać wiersz eliminowany k=i+15. Określić mnożnik: parametr w wierszu

eliminowanym, w kolumnie=wierszowi wybranemu: m=a(k,i)

6. Odjąć od parametrów wiersza eliminowanego parametry wiersza wybranego pomnożone przez mnożnik: a(k,j)=a(k,j)-m*a(i,j) dla j=k..n

7. Wybrać kolejny wiersz eliminowany k=k+1 i wrócić do p.5 o ile wiersz kolejny jest <= od ilości równań

8. Wybrać kolejny wiersz i=i+1 i przejść do p.3 o ile i <= n

Metoda eliminacji Gaussa

9. Przyjąć licznik i równy ilości równań n10.Obliczyć x(i) = b(i)11.Przyjąć licznik j większy od i o 1, jeżeli

j>n to przejść do 1412.Obliczyć x(i)=x(i)-x(j)*a(i,j)13.Zwiększyć j o 1 i przejść do p.1214.Zmniejszyć i o 1 i jeżeli większe od 0 to

przejść do p.1015.Wydrukować x

Inne metody skończone

Metoda Jordana– Prowadzi do utrzymania macierzy diagonalnej –

odpadają obliczenia „wsteczne”– Pierwsza eliminacja jest identyczna jak w

metodzie Gaussa– Od drugiej eliminacji eliminuje się elementy także

w wierszach powyżej wiersza wybranego– Wymaga n3/2 operacji mnożenia i dzielenia– Korzystna tylko w przypadku obliczeń dla wielu

wektorów rozwiązań

Inne metody skończone

Metoda Cholesky’ego (Banachiewicza)– Dotyczy symetrycznej macierzy

współczynników– Pozwala znaleźć rozwiązanie wykonując

n3/6 operacji mnożenia i dzielenia

Rozwiązywanie układów równań

Metody iteracyjne (nieskończone)

Metoda– Założenie początkowego rozwiązania

układu równań– Przekształcenie układu równań do postaci

x

xx

,......

,,

222

111

nnn bfx

bfxbfx

Metoda Jacobiego– Dominujące elementy leżą na przekątnej– Każdy wiersz dzielony przez współczynnik

leżący na przekątnej (ai,i) Metoda Gaussa-Siedla

– Przyspieszenie obliczeń przez użycie, tam gdzie to możliwe, przybliżeń z kroku r+1

1,,22,11,

1,2,222,211,2

1,1,122,111,1

.........

...

...

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxa

axaxaxa

1,22,11,

1,2,2211,2

1,1,122,11

.........

...

...

nnnnn

nnn

nnn

bxxbxb

bxbxxb

bxbxbx

ii

jiji a

ab

,

,, 1..1,..1 njnidla

Metoda Jacobiego

11,22,11,1,

,211,21,22

,122,11,11

.........

...

...

nnnnnnnn

nnn

nnn

xbxbxbbx

xbxbbx

xbxbbx

Metoda Jacobiego

)(11,

)(22,

)(11,1,

)1(

)(,2

)(11,21,2

)1(2

)(,1

)(22,11,1

)1(1

...

...

...

...

...

rnnn

rn

rnnn

rn

rnn

rn

r

rnn

rn

r

xbxbxbbx

xbxbbx

xbxbbx

Metoda Gaussa-Siedla

)1(11,

)1(22,

)1(11,1,

)1(

)(,2

)1(11,21,2

)1(2

)(,1

)(22,11,1

)1(1

...

...

...

...

...

rnnn

rn

rnnn

rn

rnn

rn

r

rnn

rn

r

xbxbxbbx

xbxbbx

xbxbbx