Podpatrując Podpatrując naturę naturę

w poszukiwaniuw poszukiwaniu

złotej liczbyzłotej liczby

Koło matematyczne EUREKAKoło matematyczne EUREKA

Złotej liczby, pod kierunkiemZłotej liczby, pod kierunkiem

Aleksandry Kozioł, szukały:Aleksandry Kozioł, szukały:

Kalina, Dominika, Anita,Kalina, Dominika, Anita,

Kinga, Kasia, Kamila,Kinga, Kasia, Kamila,

Agnieszka i nieobecna na zdjęciu Agnieszka i nieobecna na zdjęciu

MałgosiaMałgosia

Gimnazjum nr 2 Gimnazjum nr 2

GłogówGłogów

2006/072006/07

Warto wiedzieć, że…Warto wiedzieć, że… Złoty podział, podział harmoniczny, boski Złoty podział, podział harmoniczny, boski

podziałpodział to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższejto podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej

z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej

Stosunek ten nazywa się Stosunek ten nazywa się złotą liczbązłotą liczbą i oznacza się grecką literą i oznacza się grecką literą φφ. .

φ = (a+b) : a = a : b

Złota liczbaZłota liczba wynosi 1.618033… wynosi 1.618033… Posiada ona ciekawe własności: Posiada ona ciekawe własności: aby podnieść ją do kwadratu, wystarczy dodać jedynkę. aby podnieść ją do kwadratu, wystarczy dodać jedynkę. aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Złota liczbaZłota liczba kojarzy się kojarzy się współczesnym architektom współczesnym architektom ze starożytnością, kiedy byłaze starożytnością, kiedy byłaona powszechnie obowiązującym ona powszechnie obowiązującym kanonem piękna.kanonem piękna.

Graficzne obliczenie złotej Graficzne obliczenie złotej liczbyliczby

w programie Cabriw programie Cabri

Złota Złota liczbaliczba wynosi wynosi 1.618033…1.618033…

Złota liczba

Złoty podział Złoty podział

wokół naswokół nas

Wydaje się być rzeczą zastanawiającą dlaczego Wydaje się być rzeczą zastanawiającą dlaczego przez tysiące lat ludzie tak uparcie w przejawach przez tysiące lat ludzie tak uparcie w przejawach swojej twórczości odwoływali się do tej swojej twórczości odwoływali się do tej wyjątkowej reguły matematycznej dostrzegając w wyjątkowej reguły matematycznej dostrzegając w jej wizualizacjach przejaw naturalnego piękna, jej wizualizacjach przejaw naturalnego piękna, doskonałej równowagi i harmonii.doskonałej równowagi i harmonii.Częściową odpowiedź na to pytanie dał nam już Częściową odpowiedź na to pytanie dał nam już Leonardo da Vinci w swoim Homo Vitruvius.Leonardo da Vinci w swoim Homo Vitruvius.

******

Złoty podział (zwany też boskąZłoty podział (zwany też boską

proporcją – divina proportio) wyrażałproporcją – divina proportio) wyrażał

się liczbą niewymierną, wynoszącą w się liczbą niewymierną, wynoszącą w

przybliżeniu 1,618…. W starożytności,przybliżeniu 1,618…. W starożytności,

a także w okresie renesansu i klasycyzmu, a także w okresie renesansu i klasycyzmu,

w oparciu o złoty podział wyznaczano plany w oparciu o złoty podział wyznaczano plany

świątyń, wysokość i szerokość portyków,świątyń, wysokość i szerokość portyków,

otworów okiennych, drzwi, kształtyotworów okiennych, drzwi, kształty

detali architektonicznych, obrazów i ksiąg.detali architektonicznych, obrazów i ksiąg.

Złoty podział a człowiek

Linia I dzieli całą rzeźbę według złotej proporcji.

Linia E wskazuje tę proporcję między głową a górną częścią tułowia.

Linia O dzieli dolną część człowieka – złoty punkt na wysokości kolan

Rzeźba Leocharesa

Złote proporcje raz jeszcze..Złote proporcje raz jeszcze..

Złota proporcja jestZłota proporcja jest po prostu po prostu częścią człowiekaczęścią człowieka. Ale nie tylko . Ale nie tylko proporcje naszego ciała (kończyny, korpus, głowa) zbudowane są wg tej proporcje naszego ciała (kończyny, korpus, głowa) zbudowane są wg tej reguły. Odnajdziemy ją również w proporcjach naszego uzębienia, naszej reguły. Odnajdziemy ją również w proporcjach naszego uzębienia, naszej głowy, rekigłowy, reki

Złote proporcje w Złote proporcje w przyrodzieprzyrodzie

Istotnie zdumiewające jest również umiejscowienie złotego podziału Istotnie zdumiewające jest również umiejscowienie złotego podziału wśród roślin. Jeśli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej wśród roślin. Jeśli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze, to okaże się, iż między każdymi dwiema parami listków łodydze, to okaże się, iż między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.trzecia leży w miejscu złotego cięcia.

Architektura a złoty podziałArchitektura a złoty podział

Partenon,Partenon,

świątynia Ateny świątynia Ateny

na akropolu na akropolu

w Atenachw Atenach

zbudowana zbudowana

w latach w latach

448-432p.n.e.448-432p.n.e.

Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się złotą liczbą.

Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy,to otrzymamy trójkąt prostokątny,nazywany „trójkątem egipskim”. Stosunek przeciwprostokątnej do podstawy wynosi 1,61804 i różni się od złotej liczby tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

W czasach współczesnych, w dyscyplinach z pozoru odległych od W czasach współczesnych, w dyscyplinach z pozoru odległych od sztuki - w projektowaniu i budowie maszyn - znajdziemy również sztuki - w projektowaniu i budowie maszyn - znajdziemy również piękne przykłady konstrukcji zgodnych z piękne przykłady konstrukcji zgodnych z „boską proporcją”.„boską proporcją”.

Złoty podział w Złoty podział w technicetechnice

Złota proporcja w kosmosieZłota proporcja w kosmosie

Wzajemna zależność między odległością Wenus i Ziemi od Słońca Wzajemna zależność między odległością Wenus i Ziemi od Słońca to również złota proporcja:to również złota proporcja:

Złote liczby w przyrodzieZłote liczby w przyrodzie Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż złotych spiralzłotych spiral. .

Liczby nasion w tych spiralach to tzw. liczby Fibonacciego. Podobnie Liczby nasion w tych spiralach to tzw. liczby Fibonacciego. Podobnie "upakowane" są nasiona w szyszkach."upakowane" są nasiona w szyszkach.

Złote figury Złote figury geometrycznegeometryczne

Złoty kąt

Złotym kątemZłotym kątem jest kąt płaski, który w przybliżeniu wynosi jest kąt płaski, który w przybliżeniu wynosi 137,5 stopnia i nie da się go nigdy wyrazić ułamkiem zwykłym. 137,5 stopnia i nie da się go nigdy wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360° wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, Jego dopełnienie do 360° wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej, ale żadna liczba wymierna nie odpowiada mu ściśle. i tak dalej, ale żadna liczba wymierna nie odpowiada mu ściśle.

Bracia Bravais badając rośliny zauważyli, Bracia Bravais badając rośliny zauważyli, że najczęściej występującym kątem dywergencjiże najczęściej występującym kątem dywergencjijest 137,5 stopnia. Wielkość ta odpowiadajest 137,5 stopnia. Wielkość ta odpowiadazłotemu podziałowi kąta pełnegozłotemu podziałowi kąta pełnego, to znaczy , to znaczy kąt pełny ma się tak do większej części podziału,kąt pełny ma się tak do większej części podziału,jak większa część do mniejszej. Inaczej: stosunekjak większa część do mniejszej. Inaczej: stosunek

większej do mniejszej częściwiększej do mniejszej części tego podziału równytego podziału równy

jest jest liczbie złotej.liczbie złotej.

Złoty trójkąt i prostokątZłoty trójkątZłoty trójkąt to taki trójkąt to taki trójkąt

równoramienny, w którym równoramienny, w którym długość ramienia do długości długość ramienia do długości podstawy tego trójkąta podstawy tego trójkąta jest jest złotą liczbązłotą liczbą..

Złotym prostokątem będziemy nazywać taki prostokąt, w którym stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą

PentagramPentagram z ukrytym złotym z ukrytym złotym

podziałempodziałem Idealny pentagram można narysować Idealny pentagram można narysować

poprzez wyrysowanie przekątnych poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego i następnie pięciokąta foremnego i następnie zamazać oryginał.zamazać oryginał.

W pentagramie ukryty jest złotyW pentagramie ukryty jest złoty

podziałpodział φ = (1+√5)/2 = 1.618….φ = (1+√5)/2 = 1.618….

Φ == czerwonyczerwony = = niebieski niebieski = = zielonyzielony niebieski niebieski zielony zielony fioletowyfioletowy

Złote Złote konstrukcjekonstrukcje

Konstrukcje złotych figur Konstrukcje złotych figur wykonane w programie Cabriwykonane w programie Cabri

w każdym przypadkuw każdym przypadku

a do b jest a do b jest złotą liczbązłotą liczbą

Spiralą trójkątnąSpiralą trójkątną nazwiemy taką konstrukcję, która nazwiemy taką konstrukcję, która

wynika z utworzenia ćwierć łuków na trójkątachwynika z utworzenia ćwierć łuków na trójkątach

odcinanych kolejno w odpowiedni sposób zeodcinanych kolejno w odpowiedni sposób ze

złotego trójkąta.złotego trójkąta.

KonstrukcjaKonstrukcjaZłotej spirali trójkątnejZłotej spirali trójkątnej

krok 1 krok 1krok 2

krok 4krok 3

krok 5

w programie Cabri

Spirala prostokątnaSpirala prostokątna to konstrukcja wynikająca to konstrukcja wynikająca z utworzenia ćwierć łuków na kwadratach z utworzenia ćwierć łuków na kwadratach

odcinanych kolejno w odpowiedni sposób ze odcinanych kolejno w odpowiedni sposób ze złotego prostokąta.złotego prostokąta.

Konstrukcja Konstrukcja złotej spirali prostokątnejzłotej spirali prostokątnej

krok 1 krok 2

krok 3

krok 5

krok 4

w programie Cabri

Na zakończenie…Na zakończenie…

Test - powtórkaTest - powtórka Pytanie 1Pytanie 1Złoty podział nazywamyZłoty podział nazywamyinaczej…inaczej…

Pytanie 2Pytanie 2Złota liczba jest równa 1,618033… .Złota liczba jest równa 1,618033… .Jej kwadrat jest równy …Jej kwadrat jest równy …

Pytanie 3Pytanie 3Wymień przynajmniej dwa punktyWymień przynajmniej dwa punktywyznaczające złote proporcje w cielewyznaczające złote proporcje w cieleczłowiekaczłowieka

Pytanie 4Pytanie 4Jaki prostokąt nazywamy złotymJaki prostokąt nazywamy złotymprostokątem prostokątem

Pytanie 5Pytanie 5Do konstrukcji złotych figur można Do konstrukcji złotych figur można wykorzystać program ……wykorzystać program ……

Odpowiedź 1Odpowiedź 1Boskim podziałem lub podziałemBoskim podziałem lub podziałemharmonicznym.harmonicznym.

Odpowiedź 2Odpowiedź 22,618033…2,618033…

Odpowiedź 3Odpowiedź 3Np. podział całego ciała linią pępka, Np. podział całego ciała linią pępka,

podział twarzy linią oczu. podział twarzy linią oczu.

Odpowiedź 4Odpowiedź 4Prostokąt jest złoty, jeżeli stosunekProstokąt jest złoty, jeżeli stosunekdługości jednego boku do długości długości jednego boku do długości drugiego wyraża się złotą liczbą.drugiego wyraża się złotą liczbą.

Odpowiedź 5Odpowiedź 5CabriCabri

Polecamy ciekawe stronyPolecamy ciekawe strony

http://liczbaipiekno.republika.pl/index.htmlhttp://liczbaipiekno.republika.pl/index.html http://www.naucz31.republika.pl/http://www.naucz31.republika.pl/

http://http://eduseek.interklasa.pleduseek.interklasa.pl//artykulyartykuly//artykulartykul//idaida/107//107/idcidc/3//3/ http://www.gwiazdy.com.pl/32_98/22.htm http://www.gwiazdy.com.pl/32_98/22.htm

http://klubkm.pl/forum/archive/index.php?t-5971.html http://klubkm.pl/forum/archive/index.php?t-5971.html http://bossa.pl/analizy/techniczna/techniki/fibonacci/ http://bossa.pl/analizy/techniczna/techniki/fibonacci/ http://www.zsee.bytom.pl/~iwona/strony/str10.html http://www.zsee.bytom.pl/~iwona/strony/str10.html

http://duch.lublin.pl/fizyk/czerwiec06.html http://duch.lublin.pl/fizyk/czerwiec06.html

http://www.sciaga.pl http://www.sciaga.pl

http://www.wikipedia.plhttp://www.wikipedia.pl

http://www.math.edu.pl http://www.math.edu.pl

   

Warto przeczytaćWarto przeczytać

Książki:Książki: Matila C. Ghyka, „Złota liczba”Matila C. Ghyka, „Złota liczba” J. Conway, R. Guy, „Księga liczb”J. Conway, R. Guy, „Księga liczb” I. Stewart, „Liczby natury”I. Stewart, „Liczby natury” N. Langdon, Ch. Snape, „Ścieżki N. Langdon, Ch. Snape, „Ścieżki

matematyki”matematyki”Artykuły w czasopismachArtykuły w czasopismach Magazyn Miłośników Matematyki – Magazyn Miłośników Matematyki –

kwiecień 2006kwiecień 2006 Rusz głową – numery 3, 4, 19Rusz głową – numery 3, 4, 19

KoniecKoniecDziękujemy za uwagęDziękujemy za uwagę