Ćwiczenie III. Matematyczny opis zmian zachodzących w przyrodzie – pochodne. Ciągi i szeregi matematyczne

• Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112

Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego (y/x) dla x dążącego do zera i oznaczamy symbolem f’(x0) [ew. dy/dx lub (równanie)’].

y = y2 – y1

x = x2 – x1

Pochodna f’(x0) jest równa tangensowi ką-ta , jaki tworzy z osią OX styczna dowykresu funkcji y = f(x) w punkcie o od-ciętej x0.Interpretacja fizyczna pochodnej:

Jeżeli drogę przebytą przez punkt przyjmiemy za funkcję czasu, to szybkość – jest pierwszą pochodną tej funkcji, a przyśpieszenie – drugą pochodną („pochodna pochodnej”).

dx

dy

x

ylim)x('f

0x

•W danym przedziale wartości zmiennej niezależnej x można wyliczyć pochodną (tzn. funkcja jest w tym przedziale różniczkowalna) tylko wtedy, gdy funkcja jest w tym przedziale ciągła. Trudno jest też wyli-czyć pochodne dla funkcji, które dla danej wartości zmiennej niezale-żnej nie są określone, przyjmują wartość zero lub dążą do . Przykła-dowo: funkcja: y = (ex – e–x)/x nie jest określona dla x = 0. Pomocne

może tu być tw. de l’Hospitala, kt. mówi, że jeżeli 2 funkcje f(x) i g(x) są nieokreślone w danym punkcie a, to prawdziwe jest rów-

nanie:

Dlatego, dla przykładowej funkcji [y = (ex – e–x)/x]:

Funkcje, które dążą do , powinny być przetransformowane do postaci: y = 1/f(x).

2

)x('g

)x('flim

)x(g

)x(flim

axax

21

11

1

eelim

)x('g

)x('flim

xx

0x0x

Pochodne funkcji elementarnych:

Pochodna f. stałej: (c)’ = 0;Pochodna f. liniowej: (ax + b)’ = a;Pochodna f. kwadratowej: (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b;Pochodna f. potęgowej: (a.xb)’ = b.axb–1 ;

Pochodna pierwiastka kwadratowego: ;

Pochodna f. hiperbolicznej: ;Pochodna pierwiastka dowolnego stopnia: ;Pochodna f. sinus: [sin(x)]’ = cos(x); Pochodna f. cosinus: [cos(x)]’ = – sin(x);

Pochodna f. tangens: ;

Pochodna f. cotangens: ;

Pochodna f. wykładniczej – podstawa „a”: (ax)’ = ax.ln(a) (a>0);Pochodna f. wykładniczej – podstawa „e”: (ex)’ = ex; Pochodna f. logarytmicznej (ln): [ln(x)]’ = 1/x (x>0);

x2

1)'x(

2x

a)'

x

a(

0x},1,0{\Nn,x*n

1)'x(

n 1nn

Ck,dla,k2

x;)x(cos

1)]'x[tan(

2

Ck,dla,kx;)x(sin

1)]'x(ctg[

2

•Pochodne funkcji... cd. (2):

Pochodna f. logarytmicznej (dowolna podst. „a”):

Pochodna f. arcus sinus: ;

Pochodna f. arcus cosinus: ;

Pochodna f. arcus tangens: ;

Pochodna f. arcus cotangens: .

Twierdzenia o pochodnych:Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, to:Pochodna iloczynu funkcji przez stałą „c”: [c.f(x)]’ = c.f’(x), dla c R;Pochodna sumy / różnicy funkcji: [f(x) g(x)]’ = f’(x) g’(x); Pochodna iloczynu funkcji: [f(x) . g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x);

Pochodna ilorazu funkcji: .

n

1i

n)

n11(lim

ne

)0x,1a,0a()aln(*x

1)]'x([loga

1|x:|dla,x1

1)]'x[arcsin(

2

1|x:|dla,x1

1)]'x[arccos(

2

2x1

1)]'x[arctan(

2x1

1)]'x(arcctg[

2

( ) '( )* ( ) ( )* '( )[ ]' , : ( ) 0

( ) [ ( )]

f x f x g x f x g xgdy g x

g x g x

Twierdzenia o pochodnych, cd.:

Pochodna f. złożonej: {f[g(x)]}’ = f’[g(x)].g’(x), gdy f. f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x;Jeżeli f. y = f(x) ma f. odwrotną x = g(x), to poch f. odwr.:

Zastosowanie pochodnej do badania przebiegu funkcji:

Miejsca zerowe pierwszej pochodnej funkcji, odpo- wiadają maksimom i minimom badanej funkcji. O tym, czy to jest maksimum, czy minimum – mówi wartość drugiej pochodnej dla tej samej wartości zmiennej x

(ujemna – maksimum; dodatnia – minimum). I-sza po- chodna dla p-ktu xn „+” – funkcja badana rosnąca; I-sza pochodna „ –” – funkcja malejąca. Jeżeli I-sza pochodna = 0 nie dla pojedynczego p-ktu (min.; max.), ale dla pewnego zakresu wart. zm. x – bad. f. jest w tym zakr. stała (stan równowagi). Miejsca zerowe II-giej pochodnej, odp. punktom przegięcia bad. f. Przyrównanie I-szej poch. do 0 znajdowanie min. lub max. funkcji (zast. praktyczne).

dydx1

dy)y(dg

1

)x(dfdx1

dx

)x(df

dx

dy

Ciągi i szeregi matematyczneCiągiem nazywamy wyrażenie typu: a1, a2, a3, ....., an, gdzie poszczególne

elementy ai, nazywamy wyrazami ciągu [ciągi mogą być skończone (o ograniczonej liczbie wyrazów: n 3) i nieskończone, gdy n ]. Ciąg jest rosnący, gdy an+1 > an; zaś jest malejący, gdy an+1 < an. Ciąg nazywamy arytmetycznym każdy jego wyraz, począwszy od II-giego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu. Ciąg nazywamy geometrycznym każdy jego wyraz, począwszy od II-giego powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu. Jeżeli ciąg posiada granicę, to nazywamy go ciągiem zbieżnym (do wartości, która jest granicą). Ciągi nie mające granicy, nazywamy rozbieżnymi; gdy przy n , an , to ciąg jest rozbieżny do ; gdy an – ciąg jest rozbieżny do – . Ciąg, którego wyrazami są liczby nazywamy liczbowym [w zal. od tego, czy będą to liczby całkowite, rzeczywiste czy zespo-lone, ciąg nazywa się odpowiednio całkowitoliczbowym, rzeczywis-tym lub zespolonym. Podobnie ciąg, którego wyrazami są funkcje nazywa się ciągiem funkcyjnym. Nieskończony ciąg, którego kolej-nymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu nieskończonego, nazywamy szeregiem (wyrażenie typu: a1 + a2 + a3 ..... + an, gdy n ). Wyrażenie Sn = a1 + ... + an, nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Jeżeli istnieje granica S = lim n Sn, to nazywamy ją sumą szeregu – a szereg – zbieżny do niej. Szeregi, podobnie jak ciągi mogą być stałe, rosnące, malejące, arytmetyczne, geometryczne oraz rozbieżne do + i – . Istnieją też szeregi liczbowe i funkcyjne.

W zastosowaniach praktycznych, dany wyraz ciągu można wyliczyć – podstawiając do odpowiedniego równania wartość wyrazu poprzedzającego, a kolejny (dalszy) – wartość wyrazu ostatnio wyliczonego. Wykorzystywane jest tu tzw. równanie rekursywne, czyli takie, w którym wynik dla danego etapu „n” zależy od wyniku dla etapu poprzedzającego „n-1” i nie jest możliwe przewidywanie wyniku dla etapu „n” tylko na podstawie założeń/ustaleń początkowych. Wynik z etapu poprzedzającego (n-1) jest podstawiany do równania w danym etapie (n) i przeliczany, a proces takiego, pojedynczego wyliczenia nazywamy iteracją. Powyższy proces, jest zwany procesem rekursywnym I-szego rzędu, ponieważ w wyrażeniu po prawej stronie równania występuje tylko Sn–1 (gdyby dodatkowo występowało: Sn–2, wtedy byłby to proces rekursywny II-go rzędu). Proces rekursywny nie daje się opisać typowym, „pojedy-ńczym” równaniem funkcji.

W praktyce często użytecznym staje się przekształcenie (rozwinięcie) niektórych funkcji w ciąg funkcji, które dają się sumować, czyli w szereg. Może to mieć zastosowanie np. w odniesieniu do skomplikowanych funkcji, których równania trudno jest rozwiązać lub scałkować. Funkcje takie powinny dać się rozwinąć w ogólne równanie funkcji algebraicznej:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3….. =

Warunek ten spełnia tzw. szereg Taylora:

Wyprowadzenie równania na szereg Taylora jest opisane w starym skrypcie W.U. Dowolną funkcję można rozwinąć w ten szereg przy użyciu programów takich, jak np. wxMaxima. Szereg Taylora ma ogromne znaczenie w analizie matematycznej, ponieważ może on być podstawą do przybliżania i upraszczania wielu bardzo skomplikowanych wyrażeń.

Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. III.

• Wskazówki do zadania 1:Wyliczone analitycznie pochodne:

(5x2 – 15x + 4)’ = 10x – 15(50x1,25)‘ = 1,25.50x1,25–1 = 62,5x0,25

[(2x2 – 3x).(x + 4)]’ = (4x – 3 ).(x + 4) + (2x2 – 3x).(1/2x)

Wskazówki do zadania 2:

Ekran wejściowy programu on-line „Wolfram Alpha”: Za pomocą „backspace” usuwamy przykładową funkcję

2

22

)4x(x2

1*)3x2()4x(*)3x4(

)'4x

x3x2(

Następnie wpisujemy w pole „derivative of” „ tylko prawą stronę równania”, czyli: 1.2*x^4-15*x^3+12*x^2-20*x+15 (1):

Dalej – klikamy w przycisk „=” (2)

Klik (2)

Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej:

Wykres funkcji: Pierwiastki:(rzeczywiste i zespolone):

Wprowadzenie równania drugiej funkcji „(x*exp(–x))*log(x)” (1):

Klik (2)

Pojawia się wynik wyliczenia pochodnej:

Wykres funkcji(część rzeczywistai urojona): Pierwiastki:

(wyliczone numerycznie):

Wskazówki do zadania 3:Uruchamiamy program wxMaxima (=> ikona skrótu na pulpicie => pod-wójny klik). Korzystanie z programu polega na wpisaniu równania funk-cji w pole „INPUT:”, a następnie kliknięciu w przycisk, który uruchamia odpowiednią akcję. Stałą e Nepera, wpisujemy jako „%e”, a st. – jako: „%pi”. Ekran wejściowy programu:

Prompt, przyktórym poja-wiają się wy-niki obliczeń

Pole do wpi-sywania równańwyjściowych

Pasek przycisków, które uruchamiają odpowiednie czynności.

Wpisujemy równanie w pole INPUT (przykładowo przedstawiono prze-bieg obliczeń dla II-giej funkcji z zad. 2 i 3): Następnie

klikamy w przycisk „Diff”, kt. uruchamia różniczko- nie

Po tym pojawia się okno opcji różniczkowania:

Akceptujemy klikając w OK

Pojawiają się wyniki:

Możemy przypuszczać, że wynik obliczeń pochodnej nie jest w swej najprostszej postaci algebraicznej. Dlatego w celu jego uproszczenia, klikamy w przycisk „Simplify”

Pojawia się:

Prostsza postać wyniku

Wynik końcowy: [x.ln(x).e–x]’ = [(x – 1).ln(x) – 1].(– e–x)(uwaga! Program wxMaxima wykorzystuje tylko log naturalne, które wpisujemy jako: „log”.

Wyliczenie pochodnych cząstkowych (ze względu na x i t) funkcji:y = x/t. Poch. cząstkowa dla x – wprowadzamy równanie i wykonujemy obliczenia tak, jak w przypadku pochodnych „zwykłych”. Ekran po wprowadzeniu równania i uruchomieniu operacji różniczkowania:

Klikamy w przycisk OK

Wyniki: dy/dx = 1/t

Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia:

W polu „in variable” za- mieniamy domyślny „x” na „t” (1)

Klik (2)

Wyniki: dy/dt = -x/t2

Analogicznie – odpowiednie pochodne cząstkowe dla funkcji: y = x.e–t. Po

wprowadzeniu i uruchomieniu liczenia:

Klik

Wynik: dy/dx = e–t [zamiast: „%e^-t” można wpisać: exp(-t) ]

Pochodna cząstkowa ze względu na t; uruchomienie liczenia:

W „in variable” zamieniamy„x” na „t” (1)

Klik (2)

Wynik: dy/dt = –x.e–t

Wskazówki do zadania 4:Wyliczenie I-szej pochodnej funkcji:y = 4x2/(x2 + 1) wykonujemy podobnie,jak w zadaniu poprzednim (obok).Zakładając, że uzyskany wynik możnauprościć, klikamy w przycisk„Simplify”

Wynik uproszczenia:

W celu obliczenia II pochodnej, upro-szczony wynik zaznaczamy (bierzemydo bloku) i kopiujemy go do schowkapoprzez Ctrl+C (C przy wciśniętymCtrl).Zawartość schowka wklejamy dopola INPUT poprzez Ctrl+V.

1x2x

x8)]'1x/(x4[

2422

Po wklejeniu równania I-szej pochodnej:

Klikamy w przycisk „Diff”, a po po-jawieniu się okna różniczkowania- w przycisk OK.

Uzyskany wynik:

Zakładając, że będzie możliwe algebraiczne uproszczenie uzyskanego wyniku, klikamy w przycisk „Simplify”:

Wynik zostaje uproszczony:

1x3x3x

8x24')]'1x/(x4[

246

222

W pliku „analiza1.xls” (po pobraniu i zapisaniu na dyskietce), kopiuje-my formuły (kolumny B, C i D) od wiersza 3 do 123; w ten sposóbwartości funkcji i obu jej pochodnych zostaną wyliczone dla wszyst-kich interesujących nas wartości x. Dalej wykonujemy wykres(jak na ćwiczeniach poprzednich: XY) – a właściwie 3 wykresy na 1 układzie współrzędnych, co powinno wyglądać:

Wykres funkcji: y = 4x2/(x2 + 1) ma „odwrócony kształt gaussiański” zminimum dla x=0 oraz asymptotą poziomą lewą i prawą dla y=4. Na obecność ekstremum dla x=0 wskazuje zerowa wartość I-szej pochod-nej dla tego punktu, a o tym, że jest to minimum – świadczy dodatnia wartość II-giej pochodnej (maksimum). Na obecność 2 punktów prze-gięcia wskazują: minimum i maksimum I-szej pochodnej, odpowiednio w punktach x= – 0,577 i x = 0,577 oraz miejsca zerowe II-giej pochod-nej w tych samych miejscach.

Wskazówki do zadania 5:

Po uruchomieniu programu wxMaxima i wprowadzeniu w pole „INPUT:” odpowiednich równań, klikamy w przycisk „Series” (ew. Menu: Calculus Get series), co otwiera okno dialogowe szeregu.

Dla pierwszego równania będzie to: (2 + 3*x)*exp(-x) .

Klik

Następnie pojawia się okno dialogowe szeregu: akceptujemy wszystkie wartości domyślne i klikamy OK.

Dalej, uzyskujemy gotowy wynik rozwinięcia w szereg Taylora(następne przeźrocze).

Wynik rozwinięcia w szereg Taylora dla równania funkcjiy = (2 + 3x)e–x: Godnym uwagi jest, że uzyskany szereg

jest naprzemienny,

tzn. poszczególnejego wyrazy majązmieniające sięznaki (+, -, +, -,

+),co jest typowe dlaq < 0*. Tego typu

szereg trudniej osiąga zbieżność, niż szeregi o wyrazach tego samego znaku. Drugie równanie, wprowadzamy następująco: asin(x)*exp(x) .

Dalej, klikamy „Series ” (Calculus

Get series)

Pojawia się okno dialogowe szeregu, które akceptujemy, klikając OK. (nie przedstawione). Po tym uzyskujemy wynik rozwinięcia.

*) q – iloraz ciągu geometrycznego

• Wynik rozwinięcia w szereg Taylora funkcji y = [arc sin(x)]ex:

Szereg nie

jest naprze-

mienny; ma

wyłączniedodatniewyrazy. Dlategopowinien

łatwiej osiągać zbieżność, niż szereg dla funkcji poprzedniej.

Dziękuję

za uwagę ;-)