Pm Iaef 2010 Cap 1.5

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Tucumán 612, 4° P. - Cap. Fed., Tel 4322-6222 www.iaef.org.ar

Portfolio Management

Profesor: Luciano E. Buyo

1.5 Index & Market Models

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Single Index ModelA diferencia del CAPM que determina un equilibrio teórico, los modelos de mercado o de índice proporcionan descripciones empíricas de los retornos ex-post. (descripción de los procesos generadores de retornos).

• Modelo de índices (o modelo de factores)– Describe un proceso generador de retornos, descomponiendo las fuentes

generadoras de retornos en dos partes:• Sistemática: sensibilidad ante los movimientos de varios factores comunes• Idiosincrática: la parte específica del activo

•Modelo de índice individual (o de factores individuales)– Modelo de mercado: índice de acciones bien diversificado.

Los factores o modelos de índices pueden ser:• Uno o varios factores o índices• Expresados en términos de retornos o en excedentes de retornos• Pueden estar normalizados a cero o no• Con un término constante o no

Puede ser escrito como ecuaciones estadísticas en forma de regresiones simples:


Single Index Model

Hay más de un factor que puede explicar el comportamiento del mercado de valores.

Factores tales como los ciclos económicos, los tipos de interés, la inflación, los cambios tecnológicos, los precios de los commodities o el desempleo pueden tener un impacto en el comportamiento del mercado.

El modelo más simple que podemos realizar es un modelo de regresión lineal de los retornos de un activo respecto de una única variable “independiente”, el retorno del mercado.

Los supuestos de los modelos de regresión lineal

– La relación entre las variables es lineal.

– Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.

– Los errores son independientes entre las firmas, con covarianza igual a 0 inclusive con el mercado.

– Los errores tienen varianza constante.


Single Index ModelDescomponiendo la varianza El riesgo total se puede descomponer en:

– Riesgo sistemático o de mercado (varianza explicada por el modelo)– Riesgo diversificable o residual (varianza no explicada por el modelo)

Activo Individual:

Portafolio:


Single Index ModelLa varianza de los residuos de la cartera es una media ponderada de las varianzas de cada uno de los residuos. Notar que los ponderadores están al cuadrado.

Este último resultado significa que la varianza de los residuos del portafolio disminuye a medida que crece el número de activos. Esto se debe a que los residuos no están correlacionados. La varianza residual tiende a cero a medida que N tiende a infinito.

Sin embargo, el primer término no disminuye a medida que aumenta Beta. Es el promedio ponderado de las Betas de cada activo.


Single Index ModelCálculo de la covarianza


Single Index Model

Difícilmente el modelo explique el 100% de los retornos. Los errores explican las diferencias. Sin embargo si trabajamos con expectativa de retorno para el activo i podríamos enunciar el modelo de la siguiente forma:

SCL


Single Index Model

Coeficiente de determinación

Representa el porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente explicado por el modelo. Es una medida de bondad del ajuste.

Se puede ver también como 1 menos la porción no explicada.

Es el cuadrado del coeficiente de correlación.


Single Index ModelCoincidencias con CAPM

El Beta de este modelo es el mismo que el que vimos en el CAPM, excepto que reemplazamos el portfolio de mercado teórico, por un índice de observable bien diversificado.

La diferencia es que el CAPM es un modelo ex-ante, sobre valores esperados mientras que este modelo es ex-post, ajustando valores históricos. La variable independiente común es el retorno del portafolio de mercado (Rm).

En el modelo de mercado se interpreta como un indicador de sobre o subvaluación.


Single Index ModelMétodos para estimar Beta

• Estimar beta a través de datos históricos (problema de la inestabilidad de beta para activos individuales)

– Beta actual = A + B * (Beta histórico) – Beta futuro = A + B * (Beta actual)

• Empíricamente beta tiende a moverse en torno a 1.

•Blume sugiere para el mercado de Estados Unidos:

– Beta ajustado = 0,66 * beta histórico + 0,34 * 1

El modelo de mercado permite reducir la cantidad de cálculos a la hora del cálculo de la frontera eficiente en relación al modelo tradicional de Markowitz.


Single Index ModelComponentes del riesgo de mercado

• Se puede descomponer en riesgo de mercado en el riesgo de mercado mundial, del mercado nacional y del riesgo de la industria.

Por ejemplo si estimamos la ecuación de regresión incorporando el índice nacional

En dicho caso el R² nos indicará el porcentaje de la varianza de los retornos explicada por 2 índices (el mundial y el nacional). Para resolverlo:

El proceso podemos seguirlo para el sector industrial, una vez extraída la parte del retorno explicada por el índice mundial, nacional y sectorial debiera quedarnos la varianza específica del activo, la cuál sabemos es diversificable.

Esta varianza en portafolios bien diversificados debiera tender a cero.


Multi Index ModelEstos modelos intentan captar la influencia de otras variables adicionales a los movimientos de mercado.

Mantenemos los mismo supuestos:– La esperanza de retorno de los residuos es igual a 0 para todos los activos– La covarianza entre 2 índices diferentes es igual a 0– La covarianza entre los retornos residuales de un activo y los retornos cualquier

índice es igual a 0– La covarianza entre los residuos de dos activos distintos es igual a 0

El último supuesto implica que no hay otros factores aparte de los índices seleccionados que explique movimientos entre dos activos. Nada asegura que esto ocurra, sin embargo, si fuera cierto, implicaría que existe otro factor, no considerado por el modelo, que explica los movimientos conjuntos entre los activos.

Varianza


Multi Index ModelDe manera similar al modelo de un solo factor los valores para el portafolios son:

Donde:

Si asumimos que los residuos no están correlacionados, entonces:

Si los errores estuvieran correlacionados, significaría que no elegimos correctamente los índices (puede que la inflación proyectada no tenga influencia en el retorno de los activos) o que hay necesidad de agregar otra variable. En general se utilizan entre 4 o 5 índices.


Ejercicio Index Model

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