POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 1

Płaska geometria mas

Dla zadanego pola przekroju wyznaczyć:

- połoŜenie środka cięŜkości S(xs, ys) - momenty bezwładności (JxS, JyS) i dewiacji (JXsyS) względem osi xs, ys

(centralnych) - główne centralne osie (1, 2) oraz momenty bezwładności (J1, J2).

Dane: C= 2 [cm]

1. Środek cięŜkości

2c

3c

2c

x

y

o

Śr1(x1,y1)

Śr2(x2,y2) 4c

2c P2

P1

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 2

W pierwszej kolejności naleŜy przyjąć układ osi współrzędnych xy. W podanym przykładzie oś pionowa oy stanowi oś symetrii przekroju. Następnie naleŜy podzielić pole przekroju na figury proste i wyznaczyć dla tych figur środki cięŜkości oraz pola powierzchni. PowyŜsze pole przekroju da się podzielić na 2 figury: kwadrat i trójkąt. Pola powierzchni wynoszą:

cP 42

1=

cccP 3322

2*

2

1 ==

Środek cięŜkości kwadratu znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych. Jego odległość od osi X wynosi:4c = 3c (wysokość trójkąta) + 1c (połowa wysokości kwadratu). Środek cięŜkości trójkąta znajduje się w 2/3 wysokości (Tablica 7.1 na stronie 222 ksiąŜki ”Metodyczny zbiór zadań z mechaniki”), stąd 2/3*3c = 2c. Współrzędne środków cięŜkości figur składowych przekroju są następujące:

- dla kwadratu: (0, 4c) - dla trójkąta: (0, 2c)

Współrzędne środka cięŜkości całego przekroju naleŜy wyznaczyć ze wzorów (1):

(1)

Gdzie: Si - to pole i-tej figury wchodzącej w skład przekroju, xi, yi – współrzędne środka cięŜkości i-tej figury. Korzystając ze wzorów (1) wyznaczamy środek cięŜkości przekroju S0: Współrzędna x środka cięŜkości znajduje się na osi symetrii przekroju – x0 = 0. Współrzędna y0:

Współrzędne środka cięŜkości badanego przekroju: Śr0= (0; 3,15c). W punkcie środka cięŜkości zaczepiony jest układ osi centralnych xs, ys.

( )

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

s

S

xSx

1

1 ( )∑

∑

=

==n

ii

n

iii

s

S

ySy

1

1

ccc

ccccy 15,334

234422

22

0

**=

++

=

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 3

2. Momenty bezwładności względem osi centralnych Momenty bezwładności względem osi centralnych – przechodzących przez środek cięŜkości - wyznaczane są ze wzorów Steinera:

Jxs oraz Jys – momenty bezwładności poszczególnych figur względem osi x i y. Wartości momentów bezwładności dla podstawowych figur – znajdują się w tablicy 7.1 na stronie 222 ksiąŜki ”Metodyczny zbiór zadań z mechaniki”. Jx= Jxs+a2*S momenty bezwładności względem osi x

( ) ( )

−++

−+= 22

322

4

3*)15,32(36

3*24*)15,34(

12

2cc

ccccc

cJ x

1. moment bezwładności kwadratu względem osi x 2. odległość składowej x środka cięŜkości kwadratu od składowej x środka cięŜkości

całego przekroju 3. pole powierzchni kwadratu 4. moment bezwładności trójkąta względem osi x 5. odległość składowej x środka cięŜkości trójkąta od składowej x środka cięŜkości

całego przekroju 6. pole powierzchni trójkąta

x o

Śr0(0; 3,15c)

3,15c

y

SaJJ xsx

2+=

SbJJ ysy

2+=

1 6 5 4 2 3

xs

ys

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 4

Jx = 1,33 c4 + 2,89 c4 + 1,5 c4 + 3,97 c4 = 9,69 c4

Jx = 9,69 * 24 = 155,04 cm4 Jy= Jys+b2*S momenty bezwładności względem osi y

( ) ( )

−++

−+= 22

322

4

3*)00(36

2*34*)00(

12

2c

ccc

cJy

1. moment bezwładności kwadratu względem osi y 2. odległość składowej y środka cięŜkości kwadratu od składowej y środka cięŜkości

całego przekroju (odległość ta wynosi 0 – poniewaŜ oba środki cięŜkości leŜą na osi symetrii)

3. pole powierzchni kwadratu 4. moment bezwładności trójkąta względem osi y 5. odległość składowej y środka cięŜkości trójkąta od składowej y środka cięŜkości

całego przekroju 6. pole powierzchni trójkąta

Jy = 2 * 24 = 32

3. Moment dewiacji (moment dewiacji względem obu osi) JxSyS = Jx1y1+a1b1S1+ Jx2y2+a2b2S2

Jx1y1 – moment dewiacji kwadratu = 0

Jx2y2 – moment dewiacji trójkąta = 72

22hbJ xy −=

JxSyS = 0 + 0,7225c2 *0*4c2 ( ) ( )

72

32 22 cc− + 1,32*0*3c2 = - 0,5 c4

JxSyS = - 0,5 * 24 = - 8

1 6 5 4 2 3

44444

267,033,136

24

12

16ccc

ccJ y =+=

+=

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 5

4. Główne osie centralne Główne osie stanowią układ współrzędnych, względem których moment dewiacji danej figury jest równy zero. Osie główne oznaczane są przez 1, 2. Główne osie centralne obrócone są względem osi centralnych figury płaskiej o pewien kąt, taki Ŝe:

tg2φ = yx

xy

JJ

J

−−

2

tg2φ = 1300,004,123

16

3204,155

)8(*2 ==−

−−

tgφ = 0650 Po odczytaniu z tablic wartości kąta otrzymujemy: φ = 3°40` - oznacza to, Ŝe główne osie centralne obrócone są względem osi centralnych o kąt: φ = 3°40`.

5. Osiowe momenty bezwładności Osiowe momenty bezwładności wyznaczone względem osi głównych (tzw. Główne momenty bezwładności) mają wartości ekstremalne: moment względem jednej z nich jest maksymalny, oznaczamy go przez J1, drugi – minimalny, oznaczamy go przez J2:

2

2

max1 22 xyyxyx J

JJJJJJ +

−+

+==

2

2

max2 22 xyyxyx J

JJJJJJ +

−−

+==

x o

Śr0(0; 3,15c)

y

xs

ys

1

2

φ = 3°40`.

POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych

- Mechanika Stosowana – ____________________________________________________________________

--- PŁASKA GEOMETRIA MAS --- 6

2

24444

max1 )5,0(2

269,9

2

269,9 −+

+++== ccccJJ

2

24444

max1 )5,0(2

269,9

2

269,9 −+

+−+== ccccJJ