Na początek zbadamy jak obliczyć sumie miar n-kąta wypukłego.
Gry dwuosobowe o sumie zero - dydaktyka.polsl.pldydaktyka.polsl.pl/KWMIMKM/gry_dwuosobowe.pdf ·...
Transcript of Gry dwuosobowe o sumie zero - dydaktyka.polsl.pldydaktyka.polsl.pl/KWMIMKM/gry_dwuosobowe.pdf ·...
Gry dwuosobowe o sumie zero
Zastosowanie:
Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występujądwie antagonistyczne strony.
Najbardziej znane modele:
- wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
3
firmy
- wybór strategii postępowania przedwyborczego przez konkurujących ze sobą polityków
- analiza strategicznych konfliktów międzynarodowych
- problem wspólnego pastwiska (problem of commons)
- problem gazeciarza
Gry dwuosobowe o sumie zero
Założenia:
- każdy z graczy dysponuje pewną ilością strategii
- każdy z graczy zna możliwe strategie przeciwnika
- gracze podejmują decyzje równocześnie i niezależnie *
4
- gracze podejmują decyzje równocześnie i niezależnie *
- żaden z graczy nie wie, którą strategię wybierze przeciwnik
- gracze postępują ostrożnie i zakładają, że przeciwnik postępuje racjonalnie
Gry dwuosobowe o sumie zero
Rozwiązanie gry:
- określenie optymalnych strategii dla każdego z graczy
5
Gry dwuosobowe o sumie zero
ad. założenie *:
gracze podejmują decyzję równocześnie i niezależnie
skutki jednoczesnego zastosowania przez graczy swoich strategii opisuje tzw. macierz wypłat
6
Interpretacja macierzy wypłat:macierz korzyści Gracza 1. i macierz strat Gracza 2.
Gracz 1. – maksymalizuje wygranąGracz 2. – minimalizuje przegraną
Gry dwuosobowe o sumie zero
Przykład 6.
Sztaby wyborcze dwóch polityków, kandydujących do senatuspodziewają się, że decydujący wpływ na wynik kampaniimogą mieć jej dwa ostatnie dni. Obaj politycy zdają sobiesprawę, że kluczową rolę w wyborach mogą odegrać głosymieszkańców dwóch dużych miast: X i Y.Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategii
7
Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategiipostępowania:- spędzić dwa dni w mieście X- spędzić dwa dni w mieście Y- spędzić jeden dzień w mieście X i jeden w mieście YSztab wyborczy Polityka 1. przygotował prognozy przyrostugłosów na Polityka 1. kosztem Polityka 2. w zależności odwybranych przez nich strategii.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Polityk 1. Polityk 2.Przyrost głosów na Polityka 1., kosztem Polityka 2.
( w tys. głosów)
XX XX -50
XX YY -30
XX XY 40
YY XX 20
8
YY YY -10
YY XY 20
XY XX 50
XY YY 10
XY XY 20
Tabela 6.1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Na podstawie tablicy prognoz, zbudować macierz wypłat.
Polityk 1. – Gracz 1. Polityk 2. – Gracz 2.
9
XX – strategia 1.
YY – strategia 2.
XY – strategia 3.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Polityk 2.
strategie XX YY XY
XX -50 -30 40
10
Polityk 1. YY 20 -10 20
XY 50 10 20
Tabela 6.2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3
1 -50 -30 40
11
Gracz 1. 2 20 -10 20
3 50 10 20
Tabela 6.3.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Przykład 7.
Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynkupewnego kraju. Koncern A rozważa uruchomienie w lokalnejfabryce jednego z czterech modeli samochodów. Koncern Bnatomiast jednego z pięciu modeli samochodów.W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (stratykoncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, w
12
koncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, wzależności od decyzji podjętych przez koncerny.Należy podjąć decyzję o rodzaju produkcji, będącdyrektorem koncernu A.
Koncern A – Gracz 1. Koncern B – Gracz 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3 4 5
1 200 70 10 30 120
2 70 80 100 80 110
13
Gracz 1.2 70 80 100 80 110
3 80 150 0 80 30
4 70 70 90 20 60
Tabela 7.1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
I. ETAP: REDUKCJA MACIERZY WYPŁAT
Poszukiwanie strategii zdominowanych
14
aij – element macierzy wypłat
i = 1...m m – ilość strategii Gracza 1. (ilość wierszy)
j = 1...n n – ilość strategii Gracza 2. (ilość kolumn)
Gry dwuosobowe o sumie zero
Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 1.
Porównujemy parami strategie Gracza 1.
Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek:
15
1...zj dja a j n≤ =
to strategia z jest zdominowana przez strategię d.
(strategia d to strategia dominująca strategię z)
oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro,
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 1 i 2:
1 200 70 10 30 120
2 70 80 100 80 110
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.2.a.
16
Strategie 1 i 3:
1 200 70 10 30 120
3 80 150 0 80 30
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.2.b.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 1 i 4:
1 200 70 10 30 120
4 70 70 90 20 60
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.2.c.
17
Strategie 2 i 3:
2 70 80 100 80 110
3 80 150 0 80 30
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.2.d.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 2 i 4:
2 70 80 100 80 110
4 70 70 90 20 60
Warunek dominacji jest spełniony
Strategia 4. – zdominowana Strategia 2. - dominująca
Tabela 7.2.e.
18
Strategia 4. – zdominowana Strategia 2. - dominująca
Z macierzy wypłat usuwamy strategię 4. Gracza 1.
Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 1.
Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3 4 5
Gracz 1.
1 200 70 10 30 120
2 70 80 100 80 110
19
Gracz 1. 2 70 80 100 80 110
3 80 150 0 80 30
Tabela 7.3.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 2.
Porównujemy parami strategie Gracza 2.
Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek:
20
1...iz ida a i m≤ =
to strategia d jest zdominowana przez strategię z.
(strategia z to strategia dominująca strategię d)
oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro,
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 1 i 2:
1 2
200 70
70 80
80 150Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.a.
21
Strategie 1 i 3:
1 3
200 10
70 100
80 0Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.b.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 1 i 4:
1 4
200 30
70 80
80 80Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.c.
22
Strategie 1 i 5:
1 5
200 120
70 110
80 30Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.d.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 2 i 3:
2 3
70 10
80 100
150 0Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.e.
23
Strategie 2 i 4:
2 4
70 30
80 80
150 80Warunek dominacji
jest spełniony
Tabela 7.4.f.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategia 2. – zdominowanaStrategia 4. - dominująca
24
Z macierzy wypłat usuwamy strategię 2. Gracza 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 3 i 4:
3 4
10 30
100 80
0 80Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.4.g.
25
Strategie 3 i 5:
3 5
10 120
100 110
0 30Warunek dominacji
jest spełniony
Tabela 7.4.h.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategia 5. – zdominowanaStrategia 3. - dominująca
26
Z macierzy wypłat usuwamy strategię 5. Gracza 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 2.
27
Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 3 4
Gracz 1.
1 200 10 30
2 70 100 80
28
Gracz 1. 2 70 100 80
3 80 0 80
Tabela 7.5.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Zmieniła się ilość strategii dla Gracza 2.
29
Ponownie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 1 i 2:
1 200 10 30
2 70 100 80
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.6.a.
30
Strategie 1 i 3:
1 200 70 10
3 80 0 80
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.6.b.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Strategie 2 i 3:
2 70 100 80
3 80 0 80
Warunek dominacji nie jest spełniony
Tabela 7.6.c.
31
Gry dwuosobowe o sumie zero
Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 1.
Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 1.
Nie zmieniła się ilość strategii dla Gracza 1.
32
Nie zmieniła się ilość strategii dla Gracza 1.
Nie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Uwaga!!!W przypadku wyeliminowania strategii Gracza 1., należy ponownie sprawdzić strategie dla Gracza 2. itd....
33
Gry dwuosobowe o sumie zero
II. ETAP: POSZUKIWANIE PUNKTU SIODŁOWEGO
- dla każdego wiersza znajdujemy wartość minimalną
- dla każdej kolumny znajdujemy wartość maksymalną
34
- dla każdej kolumny znajdujemy wartość maksymalną
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 3 4
Gracz 1.
1 200 10 30 10
2 70 100 80 70
min ijj
a
35
Gracz 1. 2 70 100 80 70
3 80 0 80 0
200 100 80
Tabela 7.7.
max iji
a
Gry dwuosobowe o sumie zero
- dla wyznaczonych minimalnych wartości z wierszy określamy wartość maksymalną:
max(min ) max(10,70,0) 70ijji
a = =
- dla wyznaczonych maksymalnych wartości z kolumn
36
- dla wyznaczonych maksymalnych wartości z kolumn określamy wartość minimalną:
min(max ) min(200,100,80) 80ijj i
a = =
Gry dwuosobowe o sumie zero
Punkt siodłowy istnieje, gdy spełniony jest warunek:
max(min ) min(max )ij ija a=
37
max(min ) min(max )ij ijj ji i
a a=
Gry dwuosobowe o sumie zero
W tym przykładzie warunek istnienia punktu siodłowego nie jest spełniony
Stwierdzamy brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych
38
Stwierdzamy brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych
Szukamy rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych
Gry dwuosobowe o sumie zero
III. ETAP: DEFINICJA ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
Macierz wypłat: 200 10 30
70 100 80
80 0 80
=
A
39
T
200 70 80
10 100 0
30 80 80
=
A
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 1. będzie stosował:
Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) p1
Strategię 2. z częstością (prawdopodobieństwem) p2
Strategię 3. z częstością (prawdopodobieństwem) p3
40
(dla wyeliminowanej strategii 4. p4 = 0)
v – wartość gry
Gry dwuosobowe o sumie zero
Na podstawie transponowanej macierzy wypłat:
- wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będziestosował strategię 1:
1 2 3200 70 80p p p v+ + = �
- wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będziestosował strategię 3:
41
stosował strategię 3:
1 2 310 100 0p p p v+ + = �
- wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będziestosował strategię 4:
1 2 330 80 80p p p v+ + = �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1:
1 2 3 1p p p+ + = �
42
Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 2.powinna zapewnić Graczowi 1. wygraną nie mniejszą niżwartość gry v.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Czyli ograniczenia przyjmują postać:
1 2 3200 70 80p p p v+ + ≥ �
1 2 310 100 0p p p v+ + ≥ �
1 2 330 80 80p p p v+ + ≥ �
43
oraz:
1 2 3 1p p p+ + = �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 1. dąży do maksymalizacji swojej wygranej.
Funkcja celu:
44
MAXv → �
Gry dwuosobowe o sumie zero
v – jest wartością nieznaną
Rozwiązanie zadania programowania liniowego jest niemożliwe
45
Aby się uniezależnić od wartości v:
- układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v
- podstawiamy:i
i
px
v=
Gry dwuosobowe o sumie zero
1 2 3200 70 80 1x x x+ + ≥ �
10 100 0 1x x x+ + ≥ �
46
1 2 310 100 0 1x x x+ + ≥ �
1 2 330 80 80 1x x x+ + ≥ �
Gry dwuosobowe o sumie zero
1 2 3
1x x x
v+ + =
Korzystając z �:
Otrzymujemy funkcję celu:
MAXv → �
47
1 2 3
1MINx x x
v+ + = → �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Model matematyczny:
1 2 3
1MINx x x
v+ + = → �
1 2 3200 70 80 1x x x+ + ≥ �
10 100 0 1x x x+ + ≥ �
48
1 2 310 100 0 1x x x+ + ≥ �
1 2 330 80 80 1x x x+ + ≥ �
1 2 3, , 0x x x ≥
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2. będzie stosował:
Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) q1
Strategię 3. z częstością (prawdopodobieństwem) q3
Strategię 4. z częstością (prawdopodobieństwem) q4
49
Gry dwuosobowe o sumie zero
Na podstawie macierzy wypłat:
- przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będziestosował strategię 1:
1 3 4200 10 30q q q v+ + = �
- przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będziestosował strategię 2:
50
stosował strategię 2:
1 3 470 100 80q q q v+ + = �
- przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będziestosował strategię 3:
1 3 480 0 80q q q v+ + = �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1:
1 3 4 1q q q+ + = �
51
Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 1.powinna zapewnić Graczowi 2. przegraną nie większą niżwartość gry v.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Czyli ograniczenia przyjmują postać:
1 3 4200 10 30q q q v+ + ≤ �
1 3 470 100 80q q q v+ + ≤ �
1 3 480 0 80q q q v+ + ≤ �
52
oraz:
1 3 4 1q q q+ + = �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2. dąży do minimalizacji swojej przegranej.
Funkcja celu:
53
M INv → �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Aby się uniezależnić od wartości v:
- układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v
- podstawiamy:
54
- podstawiamy:j
j
qy
v=
Gry dwuosobowe o sumie zero
1 3 4200 10 30 1y y y+ + ≤ �
70 100 80 1y y y+ + ≤ �
55
1 3 470 100 80 1y y y+ + ≤ �
1 3 480 0 80 1y y y+ + ≤ �
Gry dwuosobowe o sumie zero
1 3 4
1y y y
v+ + =
Korzystając z �:
Otrzymujemy funkcję celu:
MINv → �
56
1 3 4
1MAXy y y
v+ + = → �
Gry dwuosobowe o sumie zero
Model matematyczny:
1 3 4
1M AXy y y
v+ + = → �
1 3 4200 10 30 1y y y+ + ≤ �
70 100 80 1y y y+ + ≤ �
57
1 3 470 100 80 1y y y+ + ≤ �
1 3 480 0 80 1y y y+ + ≤ �
1 3 4, , 0y y y ≥
Gry dwuosobowe o sumie zero
IV. ETAP: ROZWIĄZANIE
Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 1.:
3 3 31 2 30.584 10 9.941 10 2.339 10x x x− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅
58
Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 2.:
3 3 31 3 43.654 10 0.365 10 8.844 10y y y− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅
Gry dwuosobowe o sumie zero
Obliczenie wartości gry v.
Gracz 1.: 1 2 3
1FC : x x x
v+ + =
1 2 3
1 177.73
0.012864v
x x x= = =
+ +
59
Gracz 2.: 1 3 4
1FC : y y y
v+ + =
1 3 4
1 177.73
0.012864v
y y y= = =
+ +
Gry dwuosobowe o sumie zero
Obliczenie częstości stosowania strategii.
Gracz 1.:1 1 0.045455p x v= ⋅ =
2 2 0.772727p x v= ⋅ =
3 3 0.181818p x v= ⋅ =
60
Gracz 2.:1 1 0.284091q y v= ⋅ =
3 3 0.028409q y v= ⋅ =
4 4 0.6875q y v= ⋅ =
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 3 4
Gracz 1.
1 200 10 30 0.045455
2 70 100 80 0.772727
ip
61
Gracz 1. 2 70 100 80 0.772727
3 80 0 80 0.181818
0.284091 0.028409 0.6875
Tabela 7.8.
jq
Gry dwuosobowe o sumie zero
Wartość gry v = 77.73
Wartość gry zawsze mieści się w przedziale:
( )max(min ),min(max )ij ijj ji i
a a
62
Tutaj: ( )70,80v ∈
Gry dwuosobowe o sumie zero
Przykład 8.
Dana jest następująca macierz wypłat:
Gracz 2.
strategie 1 2 3
63
Gracz 1.
1 520 350 250
2 650 420 400
3 750 600 540
Tabela 8.1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3
Gracz 1.
1 520 350 250 250
2 650 420 400 400
min ijj
a
64
Gracz 1. 2 650 420 400 400
3 750 600 540 540
750 600 540
Tabela 8.2.
max iji
a
Gry dwuosobowe o sumie zero
max(min ) 540ijji
a = min(max ) 540ijj i
a =
Punkt siodłowy istnieje
65
Punkt siodłowy istnieje
Stwierdzamy, że istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych
Gry dwuosobowe o sumie zero
Wartość gry: v = 540
Gracz 1. powinien stosować strategię 3.
Gracz 2. powinien stosować strategię 3.
66
Gracz 2. powinien stosować strategię 3.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Przykład 9.
Dana jest macierz wypłat:Gracz 2.
strategie 1 2 3
67
Gracz 1.1 -2 8 2
2 3 -1 0
Tabela 9.1.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3 min ijj
a
68
Gracz 1.1 -2 8 2 -2
2 3 -1 0 -1
3 8 2
Tabela 9.2.
max iji
a
Gry dwuosobowe o sumie zero
max(min ) 1ijji
a = − min(max ) 2ijj i
a =
Wartość gry: ( 1,2)v ∈ −
69
W przypadku, gdy nie wiadomo, czy v jest liczbą dodatnią czyujemną należy przekształcić macierz wypłat.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Znajdujemy w macierzy wypłat element najmniejszy:
11 2a = −
70
Do każdego elementu macierzy wypłat dodajemy wartość bezwzględną tego elementu, czyli 2.
Gry dwuosobowe o sumie zero
Gracz 2.
strategie 1 2 3 min ijj
a
72
Gracz 1.1 0 10 4 0
2 5 1 2 1
5 10 4
Tabela 9.4.
max iji
a