1

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

klasa 2. Wstp Plan wynikowy ksztacenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres podstawowy, autorstwa Marcina Kurczaba, Elbiety Kurczab i Elbiety widy, zamieszczonego na stronie internetowej www.pazdro.com.pl wiosn 2012 roku. Jest on przeznaczony dla nauczycieli oraz uczniw pracujcych z podrcznikiem Matematyka. Podrcznik do licew i technikw. Zakres podstawowy numer ewidencyjny w wykazie podrcznikw: 412/2/2012 oraz zbiorami zada do matematyki, autorstwa Elbiety Kurczab, Marcina Kurczaba i Elbiety widy, wydanymi przez Oficyn Edukacyjn * Krzysztof Pazdro. Plan jest wykazem wiadomoci i umiejtnoci, jakie powinien mie ucze ubiegajcy si o okrelone oceny na poszczeglnych etapach edukacji w liceum lub w technikum.

Wymagania stawiane przed uczniem podzielilimy na trzy grupy:

Wymagania podstawowe (zawieraj wymagania konieczne); Wymagania dopeniajce (zawieraj wymagania rozszerzajce); Wymagania wykraczajce. Wymagania wykraczajce zawieraj w sobie wymagania dopeniajce, te za zawieraj wymagania podstawowe.

Ocen dopuszczajc powinien otrzyma ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice 4060% wymaga podstawowych, za ocen dostateczn ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice powyej 60% wymaga podstawowych.

Ocen dobr powinien otrzyma ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice do 75% wymaga dopeniajcych, za ocen bardzo dobr ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice powyej 75% wymaga dopeniajcych.

Ocen celujc powinien uzyska ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci zawarte w wymaganiach wykraczajcych.

2

Aby uatwi nauczycielom, uczniom i ich rodzicom korzystanie z planu wynikowego, dla poszczeglnych wymaga przedstawiamy przykadowe zadania, ktre dokadniej okrelaj stopie trudnoci problemw wymaganych na poszczeglne oceny. Przedstawione zadania nie mog w adnym wypadku stanowi przykadowego zbioru zada, z ktrego nauczyciel powinien czerpa zadania na ewentualny egzamin sprawdzajcy, lecz maj jedynie wskaza stopie trudnoci zada na poszczeglne oceny.

Plan wynikowy nie moe by dokumentem sztywnym. Zakadamy, e kady nauczyciel zmodyfikuje ten plan, dostosowujc go zarwno do liczby godzin przeznaczonych na realizacj materiau, jak i do moliwoci uczniw.

Nauczycieli, ktrzy bd korzysta z przygotowanego przez nas planu wynikowego, prosimy o wskazwki i uwagi.

Autorzy

3

Spis treci

1. Funkcja liniowa 4 2. Funkcja kwadratowa 10 3. Geometria paska czworokty 15 4. Geometria paska pole czworokta 18 5. Wielomiany 20 6. Uamki algebraiczne. Rwnania wymierne 23 7. Cigi 27

4

1. Funkcja liniowa

Tematyka zaj:

Proporcjonalno prosta

Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej. Wasnoci funkcji liniowej

Znaczenie wspczynnikw we wzorze funkcji liniowej

Rwnolego i prostopado wykresw funkcji liniowych o wspczynnikach kierunkowych rnych od zera

Zastosowanie wiadomoci o funkcji liniowej w zadaniach z ycia codziennego

Rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Ukady rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zastosowanie ukadw rwna liniowych do rozwizywania zada tekstowych

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze: wie, jak zaleno midzy dwiema

wielkociami zmiennymi nazywamy proporcjonalnoci prost; potrafi wskaza wspczynnik proporcjonalnoci; rozwizuje zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalnoci prostej;

zna pojcie funkcji liniowej;

potrafi interpretowa wspczynniki we wzorze funkcji liniowej;

potrafi sporzdzi wykres funkcji liniowej danej wzorem;

potrafi na podstawie wykresu funkcji liniowej (wzoru funkcji) okreli monotoniczno funkcji;

potrafi wyznaczy algebraicznie i graficznie zbir

Ucze: potrafi przeprowadzi dowd warunku na

prostopado wykresw funkcji liniowych o wspczynnikach rnych od zera;

potrafi rozwizywa zadania z wartoci bezwzgldn i parametrem dotyczce wasnoci funkcji liniowej (o rednim stopniu trudnoci);

potrafi naszkicowa wykres funkcji kawakami liniowej i na jego podstawie omwi wasnoci danej funkcji;

potrafi wyznaczy algebraicznie miejsca zerowe funkcji kawakami liniowej oraz wsprzdne punktu wsplnego wykresu funkcji i osi OY;

potrafi wyznaczy algebraicznie zbir tych argumentw, dla ktrych funkcja kawakami

Ucze rozwizuje zadania nietypowe,

o podwyszonym stopniu trudnoci.

5

tych argumentw, dla ktrych funkcja liniowa przyjmuje wartoci dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne);

potrafi sprawdzi algebraicznie, czy punkt o danych wsprzdnych naley do wykresu funkcji liniowej;

potrafi poda wasnoci funkcji liniowej na podstawie wykresu tej funkcji;

wie, e wspczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji y = ax + b, oznacza tangens kta nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX;

wie, e wspczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji liniowej y = ax + b wyraa si wzorem

12

12

xx

yya

, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2) s punktami

nalecymi do wykresu tej funkcji;

potrafi znale wzr funkcji liniowej o zadanych wasnociach (np. takiej, ktrej wykres przechodzi przez dwa dane punkty; jest nachylony do osi OX pod danym ktem i przechodzi przez dany punkt itp.);

potrafi napisa wzr funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie;

potrafi napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o danych wsprzdnych;

potrafi napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt

liniowa przyjmuje wartoci dodatnie (ujemne);

potrafi obliczy warto funkcji kawakami liniowej dla podanego argumentu;

potrafi rozwizywa rwnania i nierwnoci liniowe z wartoci bezwzgldn (o rednim stopniu trudnoci) i interpretowa je graficznie;

potrafi przeprowadzi dyskusj liczby rozwiza rwnania liniowego z parametrem;

potrafi wyznaczy wszystkie wartoci parametru, dla ktrych zbiorem rozwiza nierwnoci liniowej z parametrem jest podany zbir.

6

o danych wsprzdnych;

na podstawie wzorw dwch funkcji liniowych potrafi okreli wzajemne pooenie ich wykresw;

potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem dotyczce wasnoci funkcji liniowej:

potrafi stosowa wiadomoci o funkcji liniowej do opisu zjawisk z ycia codziennego (poda opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru funkcji liniowej, odczyta informacje z wykresu (wzoru), zinterpretowa je, przeanalizowa i przetworzy);

potrafi rozwiza rwnanie liniowe z jedn niewiadom;

potrafi rozwiza nierwno liniow z jedn niewiadom i przedstawi jej zbir rozwiza na osi liczbowej;

potrafi rozwiza ukad nierwnoci liniowych z jedn niewiadom;

potrafi interpretowa graficznie rwnania i nierwnoci liniowe z jedn niewiadom;

potrafi rozwizywa algebraicznie proste rwnania i nierwnoci liniowe z wartoci bezwzgldn i interpretowa je graficznie np.: |x 2|= 3, |x + 4|> 2;

zna pojcia rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

wie, e wykresem rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta;

7

zna pojcie ukadu dwch rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

potrafi rozpozna ukad oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i umie poda ich interpretacj geometryczn;

potrafi rozwizywa algebraicznie (metod przez podstawienie oraz metod przeciwnych wspczynnikw) ukady dwch rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

potrafi graficznie rozwiza ukady dwch rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykadowe zadania

Zadanie 1.

Napisz wzr funkcji liniowej do wykresu, ktrej

nale punkty A(1, 4) i B(10, 26). Naszkicuj

wykres tej funkcji i omw jej wasnoci

Zadanie 2.

a) Napisz wzr funkcji liniowej f, wiedzc, e jej

wykres przechodzi przez punkt A( 3 , 2)

i jest nachylony do osi OX pod ktem 60.

b) Napisz wzr funkcji liniowej g, ktrej miejscem

zerowym jest liczba 4 i ktrej wykres jest

prostopady do wykresu funkcji f.

Zadanie 1.

Naszkicuj wykres funkcji

f(x) =

,1 dla 2

1 ,1 dla

1 , dla 2

xx

xx

xx

.

a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f oraz

wsprzdne punktu wsplnego wykresu

funkcji f i osi OY.

b) Wyznacz algebraicznie zbir tych argumentw,

dla ktrych funkcja f przyjmuje wartoci

nieujemne.

c) Oblicz warto funkcji f dla argumentu 6.

Zadanie 1. Wyznacz wzr funkcji liniowej f, ktra

dla kadego x R spenia warunek: f(2x 1) = 6x + 4. Zadanie 2. Funkcj y = sgn(a) (co oznacza: znak liczby a), definiujemy nastpujco:

sgn(a) =

0 dla 1

0 dla 0

0 dla 1

a

a

a

Na podstawie powyszej definicji naszkicuj wykres funkcji: f(x) = 2sgn(3x + 1) + 5.

8

Zadanie 3.

Funkcj liniow g opisuje wzr

g(x) = 3x + 4 + 2m. Wyznacz wartoci parametru

m, dla ktrych miejscem zerowym funkcji g jest

liczba mniejsza od 9.

Zadanie 4.

Waciciel sklepu z farbami zaopatruje si

w odlegej o 120 km fabryce farb i lakierw lub

w pooonej 10 km od sklepu hurtowni.

W hurtowni za puszk farby sklepikarz paci 26 z,

za w fabryce taka sama puszka farby jest o 20%

tasza. Sklepikarz przywozi towar wasnym

samochodem, ktry pali rednio 8 litrw benzyny

na 100 km. Litr benzyny kosztuje 5z. Napisz wzr

funkcji, ktra opisuje cakowity koszt zakupu farb,

wraz z kosztami transportu, w przypadku

zakupw w hurtowni (y = h(x)), jak i w fabryce

(y = f(x)), gdzie x oznacza liczb puszek farby.

Zadanie 5.

Rozwi nierwno: 5 x > 4x 1.

Zadanie 6.

Przed 10 laty ojciec by dziesi razy starszy od

syna. Za 11 lat bd mie razem 75 lat. Ile lat ma

d) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x) i na jego

podstawie naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x);

omw wasnoci funkcji y = g(x).

Zadanie 2.

Wyznacz zbir tych wartoci parametru m, dla

ktrych funkcja liniowa

f(x) = (|m 3| 5)x m + 10

jest rosnca i jednoczenie wykres tej funkcji

przecina o OY powyej punktu (0, 8).

Zadanie 3.

Wyznacz wszystkie wartoci parametru k, dla

ktrych zbiorem rozwiza nierwnoci liniowej

(4 k2)x + 1 + k > 0 jest zbir wszystkich liczb

rzeczywistych.

9

obecnie kady z nich?

Zadanie 7.

Rozwi algebraicznie i graficznie ukad rwna

3x + y = 6 i 5x + 2y = 8.

10

2. Funkcja kwadratowa

Tematyka zaj:

Wasnoci funkcji kwadratowej y = ax2

Wzr funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

Zwizek midzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci oglnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzr funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej

Szkicowanie wykresw funkcji kwadratowych. Odczytywanie wasnoci funkcji kwadratowej na podstawie wykresu

Najmniejsza oraz najwiksza warto funkcji kwadratowej w przedziale domknitym

Badanie funkcji kwadratowej zadania optymalizacyjne

Rwnania kwadratowe

Nierwnoci kwadratowe

Zadania tekstowe prowadzce do rwna i nierwnoci kwadratowych

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze: potrafi naszkicowa wykres funkcji kwadratowej

okrelonej wzorem y = ax2, gdzie a 0, oraz omwi jej wasnoci na podstawie wykresu;

zna wzr funkcji kwadratowej w postaci oglnej

y = ax2 + bx + c, gdzie a 0; zna wzr funkcji kwadratowej w postaci

kanonicznej y = a (x p)2 + q, gdzie a 0; zna wzr funkcji kwadratowej w postaci

iloczynowej y = a (x x 1 )(x x 2 ), gdzie a 0;

zna wzory pozwalajce obliczy: wyrnik

Ucze: potrafi rozwizywa rwnania, ktre mona

sprowadzi do rwna kwadratowych;

potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna i nierwnoci kwadratowych z jedn niewiadom (w tym zadania geometryczne);

potrafi zastosowa wasnoci funkcji kwadratowej do rozwizywania zada optymalizacyjnych;

potrafi rozwizywa zadania z parametrem,

Ucze potrafi wyprowadzi wzory na

miejsca zerowe funkcji kwadratowej;

potrafi wyprowadzi wzory na wsprzdne wierzchoka paraboli;

potrafi rozwizywa rne problemy dotyczce funkcji kwadratowej, ktre wymagaj niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysw.

11

funkcji kwadratowej, wsprzdne wierzchoka paraboli, miejsca zerowe funkcji kwadratowej (o ile istniej);

potrafi obliczy miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub uzasadni, e funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych;

potrafi obliczy wsprzdne wierzchoka paraboli na podstawie poznanego wzoru oraz na podstawie znajomoci miejsc zerowych funkcji kwadratowej;

potrafi sprawnie zamienia jedn posta wzoru funkcji kwadratowej na drug (wzr funkcji w postaci oglnej, kanonicznej, iloczynowej);

interpretuje wspczynniki wystpujce we wzorze funkcji kwadratowej (wzr funkcji w postaci oglnej, kanonicznej, iloczynowej);

potrafi poda niektre wasnoci funkcji kwadratowej (bez szkicowania jej wykresu) na podstawie wzoru funkcji w postaci kanonicznej (przedziay monotonicznoci funkcji, rwnanie osi symetrii paraboli, zbir wartoci funkcji) oraz na podstawie wzoru funkcji w postaci iloczynowej (miejsca zerowe funkcji, zbir argumentw, dla ktrych funkcja przyjmuje wartoci dodatnie lub ujemne);

potrafi naszkicowa wykres dowolnej funkcji kwadratowej, korzystajc z jej wzoru;

potrafi na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omwi jej wasnoci;

potrafi napisa wzr funkcji kwadratowej na

o rednim stopniu trudnoci, dotyczce wasnoci funkcji kwadratowej;

potrafi rozwizywa zadania na dowodzenie dotyczce wasnoci funkcji kwadratowej.

12

podstawie informacji o jej wykresie;

potrafi napisa wzr funkcji kwadratowej o zadanych wasnociach;

potrafi przeksztaci wykres funkcji kwadratowej (symetria wzgldem osi OX, symetria wzgldem osi OY, symetria wzgldem punktu O(0, 0), przesunicie rwnolege o wektor) oraz napisa wzr funkcji, ktrej wykres otrzymano w danym przeksztaceniu;

potrafi wyznaczy najmniejsz oraz najwiksz warto funkcji kwadratowej w danym przedziale domknitym;

potrafi algebraicznie rozwizywa rwnania i nierwnoci kwadratowe z jedn niewiadom;

potrafi graficznie rozwizywa rwnania i nierwnoci kwadratowe z jedn niewiadom;

potrafi rozwizywa proste zadania prowadzce do rwna i nierwnoci kwadratowych z jedn niewiadom;

potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem dotyczce wasnoci funkcji kwadratowej;

potrafi przeanalizowa zjawisko z ycia codziennego, opisane wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej.

Przykadowe zadania

Zadanie 1. Dana jest funkcja kwadratowa w postaci

iloczynowej f(x) = 2(x 3)(x + 2), x R.

Zadanie 1.

Rozwi rwnanie 8 01733 2 xx

Zadanie 1. Wiadomo, e miejscami zerowymi funkcji f(x) = 3x2 + bx + 15 s liczby

13

a) Napisz wzr funkcji f w postaci kanonicznej oraz oglnej.

b) Naszkicuj wykres funkcji f. c) Okrel zbir wartoci funkcji f, przedziay

monotonicznoci oraz zbir tych argumentw, dla ktrych funkcja f przyjmuje wartoci niedodatnie.

Zadanie 2. Dana jest funkcja kwadratowa okrelona wzorem

f(x) = 84

1 2 xx , x R.

a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. b) Rozwi nierwno f(x) > 8. c) Wyznacz najwiksz oraz najmniejsz warto

funkcji f w przedziale 1, 3. Zadanie 3. Napisz wzr funkcji kwadratowej, jeli wiadomo, e do jej wykresu naley punkt A(1, 3) i dla argumentu 2 funkcja przyjmuje sw najwiksz warto rwn 4. Zadanie 4. Liczb osb zwiedzajcych wystaw n-tego dnia od momentu jej otwarcia opisuje wzr:

W(n) = 4n2 + 48n 24, gdzie n {1, 2, ..., 11}. Odpowiedz na pytania: a) W ktrym dniu wystaw odwiedzio najwicej

osb?

Zadanie 2. Wyznacz wszystkie wartoci parametru m

(m R), przy ktrych funkcja okrelona wzorem

f(x) = (m 1)x2 + 2 x + m jest funkcj kwadratow i przyjmuje wartoci

dodatnie, dla kadego x R. Zadanie 3. Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8, za suma kwadratw jej cyfr jest rwna 30. Jeli w liczbie zamienimy cyfry skrajne, to otrzymana liczba bdzie o 396 wiksza od pocztkowej. Znajd t liczb. Zadanie 4. Wyka, e funkcja kwadratowa f okrelona wzorem f(x) = ax2 + (a + c)x + c, gdzie a i c s

dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a 0, ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Zadanie 5. Firma zajmujca si wynajmem lokali ma do dyspozycji 180 pomieszcze uytkowych. Wszystkie pomieszczenia s zajte wwczas, gdy koszt wynajmu lokalu za jeden miesic wynosi 1200 z. Firma oszacowaa, e kada kolejna podwyka czynszu o 40 z zmniejsza o 5 liczb wynajmowanych pomieszcze. a) Zapisz wzorem przychd firmy w zalenoci od

cakowite. Oblicz b.

14

b) Ile osb odwiedzio wystaw podczas jej trwania?

Zadanie 5.

Naszkicuj wykres funkcji y = 2x2, x R,

a nastpnie przesu go o wektor u = [4, 2]; otrzymany wykres przekszta przez symetri wzgldem punktu (0, 0). Napisz wzr funkcji, ktrej wykres otrzymae. Omw wasnoci otrzymanej funkcji. Zadanie 6.

Dana jest funkcja f(x) = 32

1 2 bxx , x R.

a) Wyznacz b tak, aby najmniejsza warto funkcji wynosia (4).

b) Wyznacz b tak, aby najwikszy zbir, w ktrym funkcja jest malejca, by rwny przedziaowi

(, 6. c) Wyznacz b tak, aby wierzchoek paraboli, ktra

jest wykresem tej funkcji, nalea do prostej o rwnaniu y = 2x.

liczby podwyek czynszu, z ktrych kada wyniosa 40 z.

b) Jaki miesiczny koszt wynajmu powinna ustali firma, aby jej przychd by maksymalny? Ile wynosi maksymalny przychd?

15

3. Geometria paska czworokty

Tematyka zaj:

Podzia czworoktw. Trapezoidy

Trapezy

Rwnolegoboki

Wielokty podstawowe wasnoci

Podobiestwo. Figury podobne

Podobiestwo czworoktw

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze:

zna podzia czworoktw;

potrafi wyrni wrd trapezw: trapezy prostoktne i trapezy rwnoramienne; poprawnie posuguje si takimi okreleniami, jak: podstawa, rami, wysoko trapezu;

wie, e suma ktw przy kadym ramieniu

trapezu jest rwna 180 i umie t wasno wykorzysta w rozwizywaniu prostych zada;

zna twierdzenie o odcinku czcym rodki ramion trapezu i umie zastosowa je w rozwizywaniu prostych zada;

potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce wasnoci trapezw;

zna podstawowe wasnoci rwnolegobokw i umie je stosowa w rozwizywaniu prostych zada;

wie, jakie wasnoci ma romb;

Ucze:

umie na podstawie wasnoci czworokta podanych w zadaniu wywnioskowa, jaki to jest czworokt;

umie udowodni twierdzenie o odcinku czcym rodki ramion trapezu;

potrafi rozwizywa zadania o rednim stopniu trudnoci dotyczce czworoktw, w tym trapezw i rwnolegobokw;

potrafi uzasadni, e suma miar ktw zewntrznych wielokta wypukego jest staa

i wynosi 720.

Ucze:

potrafi rozwizywa nietypowe zadania o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce czworoktw.

16

zna wasnoci prostokta i kwadratu;

wie, co to s trapezoidy, potrafi poda przykady takich figur;

wie, czym charakteryzuje si deltoid;

rozwizujc zadania dotyczce czworoktw, korzysta z wczeniej poznanych twierdze, takich jak twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa, wykorzystuje wiedz na temat trjktw, stosuje rwnie wiadomoci z trygonometrii;

zna i potrafi stosowa wzr na liczb przektnych wielokta wypukego;

zna i potrafi stosowa w zadaniach wzr na sum miar ktw wewntrznych wielokta wypukego;

wie, co to jest kt zewntrzny wielokta wypukego i ile wynosi suma miar wszystkich ktw zewntrznych wielokta wypukego;

wie, jaki wielokt jest wieloktem foremnym;

zna i rozumie definicj podobiestwa;

potrafi wskaza figury podobne;

potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce podobiestwa czworoktw.

Przykadowe zadania

Zadanie 1. Rnica miar ktw przeciwlegych trapezu

rwnoramiennego wynosi 20. Oblicz miary ktw trapezu.

Zadanie 1. Udowodnij, e w dowolnym czworokcie odcinki czce rodki przeciwlegych bokw dziel si w punkcie przecicia na poowy

Zadanie 1. Uzasadnij, e odcinek czcy rodki przektnych dowolnego trapezu jest rwnolegy do podstaw i jego dugo jest rwna poowie rnicy dugoci podstaw.

17

Zadanie 2. Z kawaka materiau w ksztacie trapezu prostoktnego o podstawach dugoci 1,2 m i 0,4 m oraz wysokoci 1,5 m wycito chorgiewk w ksztacie trjkta rwnoramiennego, ktrego podstaw jest dusze rami trapezu, a jeden z wierzchokw naley do krtszego ramienia trapezu. a) Wyznacz dugoci odcinkw, na jakie ten

wierzchoek podzieli krtsze rami trapezu. b) Oblicz dugoci bokw chorgiewki. Wyniki podaj z dokadnoci do 0,01 m. Zadanie 3. Skwer ma ksztat rombu o boku majcym dugo 65 m. Wzdu przektnych rombu biegn alejki spacerowe, z ktrych jedna jest o 70 m dusza od drugiej. Oblicz dugo tych alejek. Zadanie 4. W jakim wielokcie wypukym liczba przektnych jest 5 razy wiksza od liczby wierzchokw?

Zadanie 2. W czworokcie ABCD poczono rodki bokw i otrzymano prostokt. Czy mona twierdzi, e ABCD jest rombem? Odpowied uzasadnij. Zadanie 3. Wyka, e: a) jeli przektne prostokta zawieraj si

w dwusiecznych jego ktw, to prostokt jest kwadratem

b) jeli przektne rombu maj rwn dugo, to romb jest kwadratem.

18

4. Geometria paska pole czworokta

Tematyka zaj:

Pole prostokta. Pole kwadratu

Pole rwnolegoboku. Pole rombu

Pole trapezu

Pole czworokta zadania rne

Pola figur podobnych

Mapa. Skala mapy

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

zna wzory na pola czworoktw, takich jak: kwadrat, prostokt, romb, rwnolegobok oraz trapez i potrafi je stosowa w prostych zadaniach, korzystajc z wczeniej zdobytej wiedzy (w tym take z trygonometrii);

zna i potrafi stosowa w prostych zadaniach zaleno midzy skal podobiestwa czworoktw a polami tych czworoktw;

potrafi rozwizywa proste zadania z zastosowaniem skali mapy.

wie, jak obliczy pole czworokta, jeli dane s dugoci jego przektnych i miara kta, pod jakim przecinaj si te przektne;

potrafi rozwizywa zadania dotyczce pl czworoktw o rednim stopniu trudnoci.

potrafi rozwizywa zadania o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce pl czworoktw.

Przykadowe zadania

Zadanie 1. Wysokoci rwnolegoboku pozostaj w stosunku 3 : 5, a jeden bok jest o 6 cm duszy od drugiego. a) oblicz obwd rwnolegoboku;

Zadanie 1. Rnica pl dwch kwadratw jest rwna 27. Oblicz dugo bokw kwadratw, wiedzc, e s one liczbami naturalnymi.

Zadanie 1. Pola trjktw, ktrych podstawami s podstawy trapezu, a wsplnym wierzchokiem jest punkt przecicia

19

b) wiedzc dodatkowo, e sinus kta ostrego

rwnolegoboku jest rwny3

5, oblicz pole

rwnolegoboku i jego wysokoci. Zadanie 2. Pole trapezu jest rwne 21 cm2, a wysoko jest rwna 7 cm. Oblicz dugoci podstaw trapezu, jeli jedna z nich jest o 3 cm dusza od drugiej. Zadanie 3. Pole kwadratu A1B1C1D1 jest o 69% wiksze od pola kwadratu ABCD. Oblicz skal podobiestwa tych kwadratw.

Zadanie 2. Oblicz pole rwnolegoboku, ktrego przektne dugoci 13 cm i 8 cm przecinaj si pod ktem

120. Zadanie 3. Przektne rombu maj dugo 10 cm i 24 cm. Oblicz sinus kta ostrego tego rombu i na tej podstawie ustal, czy kt ostry rombu ma miar

wiksz od 45, czy mniejsz.

si przektnych tego trapezu, wynosz P1 i P2. Oblicz pole trapezu.

20

5. Wielomiany

Tematyka zaj:

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej

Dodawanie, odejmowanie i mnoenie wielomianw

Rozkadanie wielomianw na czynniki

Rwnania wielomianowe

Zadania prowadzce do rwna wielomianowych

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze:

zna pojcie jednomianu jednej zmiennej i potrafi okreli stopie tego jednomianu;

potrafi wskaza jednomiany podobne;

potrafi rozpozna wielomian jednej zmiennej rzeczywistej;

potrafi uporzdkowa wielomian (malejco lub rosnco);

potrafi okreli stopie wielomianu jednej zmiennej;

potrafi obliczy warto wielomianu dla danej wartoci zmiennej;

potrafi wykona dodawanie, odejmowanie, mnoenie wielomianw;

potrafi sprawdzi, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu;

potrafi rozoy wielomian na czynniki poprzez wyczanie wsplnego czynnika poza nawias,

Ucze: potrafi rozwizywa rwnania wielomianowe,

ktre mona sprowadzi do rwna kwadratowych przez odpowiednie podstawienie;

potrafi rozwizywa zadania o wielomianach o rednim stopniu trudnoci;

potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna wielomianowych.

Ucze:

potrafi rozwizywa zadania dotyczce wielomianw wymagajce niekonwencjonalnych metod lub pomysw, a take zadania o podwyszonym stopniu trudnoci z zastosowaniem poznanej wiedzy.

21

zastosowanie wzorw skrconego mnoenia: (a b)2 = a2 2ab + b2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a b)(a + b) = a2 b2

oraz zastosowanie metody grupowania wyrazw;

potrafi rozwizywa rwnania wielomianowe, ktre wymagaj umiejtnoci rozkadania wielomianw na czynniki wymienionych w poprzednim punkcie;

potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce wasnoci wielomianw, w ktrych wystpuj parametry.

Przykadowe zadania

Zadanie 1.

Okrel stopie jednomianu F(x) = 3(x7)3 (x4)5. Zadanie 2. Oblicz warto wielomianu W(x) = x2 2x dla

x = 12 . Zadanie 3. Dane s wielomiany: W(x) = 2x3 3x + 1 oraz P(x) = 4x2 x + 5. Wykonaj dziaania: a) W(x) 2P(x); b) W(x) + [P(x)]2.

Zadanie 1. Rozwi rwnania: a) 2x4 x2 1 = 0 b) 8x6 65x3 + 8 = 0. Zadanie 2. Dany jest wielomian

W(x) = x3 + (2a3 6a2)x2 + 9a 28,

ktrego suma wspczynnikw wynosi zero.

a) Wyznacz a.

b) Dla znalezionej wartoci a rozwi rwnanie

W(x) = 0.

Zadanie 1. Roz na czynniki wyraenie (ab + ac + bc)(a + b + c) abc. Zadanie 2. Roz na czynniki, moliwie najniszego stopnia, wielomian W(x) = 9x4 + 9.

22

Zadanie 4. a) Roz wielomian

W(x) = 2x 3 + 8x x2 + 4 na czynniki liniowe.

b) Wypisz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie 5. Dany jest wielomian W(x) = 3x3 2x2 + kx. a) Wyznacz k tak, aby pierwiastkiem tego

wielomianu bya liczba 1. b) Dla wyznaczonej wartoci k wyznacz pozostae

pierwiastki tego wielomianu. Zadanie 6. Rozwi rwnanie (2x 3)(x2 1) = (5x + 6)(x2 1).

Zadanie 3. Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 wikszy od rnicy kwadratw liczby najwikszej i najmniejszej. Znajd te liczby.

23

6. Uamki algebraiczne. Rwnania wymierne

Tematyka zaj:

Uamek algebraiczny. Skracanie i rozszerzanie uamkw algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie uamkw algebraicznych

Mnoenie i dzielenie uamkw algebraicznych

Proste rwnania wymierne

Zadania tekstowe prowadzce do rwna wymiernych

Wykres i wasnoci funkcji y =x

a

Proporcjonalno odwrotna

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze:

potrafi okreli dziedzin uamka algebraicznego;

potrafi napisa uamek algebraiczny o zadanej dziedzinie;

potrafi wykonywa dziaania na uamkach algebraicznych, takie jak: skracanie uamkw, rozszerzanie uamkw, dodawanie, odejmowanie, mnoenie i dzielenie uamkw algebraicznych;

potrafi rozwizywa proste rwnania wymierne;

potrafi narysowa wykres funkcji f(x) = x

a,

gdzie a R {0}, x R {0};

Ucze:

zna definicj funkcji homograficznej

f(x) = qpx

a

, gdzie a 0

potrafi przeksztaci wzr funkcji f(x) = cx

bax

,

gdzie x c, tak by znany by wzr funkcji

y = x

a i wsprzdne wektora przesunicia

rwnolegego;

potrafi narysowa wykres funkcji f(x) = cx

bax

,

gdzie x c;

potrafi opisa wasnoci funkcji homograficznej

Ucze: potrafi rozwizywa zadania

o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce wyrae wymiernych.

24

potrafi opisa wasnoci funkcji f(x) = x

a,

a R {0}, x R {0};

wie, jak zaleno pomidzy dwiema wielkociami zmiennymi nazywamy proporcjonalnoci odwrotn;

potrafi wskaza wspczynnik proporcjonalnoci odwrotnej;

potrafi rozwizywa proste zadania tekstowe z zastosowaniem wiadomoci o proporcjonalnoci odwrotnej.

f(x) = cx

bax

, gdzie x c, na podstawie jej

wykresu;

potrafi obliczy miejsce zerowe funkcji homograficznej oraz wsprzdne punktu, w ktrym wykres przecina o OY;

potrafi wyznaczy przedziay monotonicznoci funkcji homograficznej;

potrafi rozwizywa rwnania i nierwnoci zwizane z funkcj homograficzn;

potrafi przeksztaci wykres funkcji homograficznej w symetrii wzgldem osi OX, symetrii wzgldem osi OY, symetrii wzgldem punktu (0, 0), w przesuniciu rwnolegym o dany wektor oraz napisa wzr funkcji, ktrej wykres otrzymano w wyniku tego przeksztacenia;

potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna wymiernych.

Przykadowe zadania

Zadanie 1. a) Wyznacz te wartoci x, dla ktrych podane

uamki algebraiczne maj sens liczbowy:

3

2

x

x,

12

12

2

xx

x,

824 23 xxx

x

b) Podaj przykad uamka algebraicznego, ktrego dziedzin jest zbir R {2, 3, 7}.

Zadanie 1. Wykres funkcji homograficznej o wzorze

f(x) = 2

32

x

x otrzymamy w wyniku przesunicia

rwnolegego wykresu funkcji y = x

a o pewien

wektor.

Zadanie 1.

Z rwnania 11

1

1

1

xy

wyznacz y jako funkcj zmiennej x. Nastpnie naszkicuj wykres tej funkcji i omw jej wasnoci.

25

Zadanie 2.

a) Skr uamki algebraiczne: 2

24

8

42

x

xx oraz

14

)4)(12(2

x

xx;

podaj konieczne zaoenia. b) Wykonaj dodawanie oraz odejmowanie uamkw algebraicznych:

94

3

32

5oraz

4

32

2 2

xx

x

x

x

x

x;

podaj konieczne zaoenia. c) Wykonaj mnoenie oraz dzielenie wyrae

wymiernych: xx

x

2

2

2

4

105

12

x

x oraz

16

442

2

x

xx :

82

2

x

x; podaj konieczne zaoenia.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja o wzorze f(x) = x

2, gdzie

x R {0}. a) Naszkicuj wykres funkcji f i na jego podstawie

omw wasnoci funkcji. b) Dla jakiego argumentu warto funkcji f wynosi

22? c) Wyznacz warto funkcji f dla argumentu 100. d) Sprawd, czy do wykresu funkcji f naley punkt

a) Wyznacz wzr funkcji y = x

a oraz wsprzdne

wektora przesunicia. b) Oblicz miejsce zerowe funkcji f oraz

wsprzdne punktu, w ktrym wykres funkcji przecina o OY.

c) Naszkicuj wykres funkcji f. d) Podaj przedziay monotonicznoci funkcji f.

Zadanie 3. Dwie sekretarki wykonay pewn prac w cigu 12 godzin. Gdyby pierwsza wykonaa sama poow pracy, a nastpnie druga reszt, to zuyaby na to 25 godzin. W cigu ilu godzin kada z sekretarek, pracujc oddzielnie, moe wykona t prac? Zadanie 3. Rozwi rwnania:

a) 6

10

23

22

xxx

x

x

x

b) 3x

1

9x6x

x2

.

26

o wsprzdnych

13,

13

2.

Zadanie 4.

Rozwi rwnanie 2

5

5

32

x

x

x

x.

Zadanie 5. Promie duego koa bicyklu ma dugo 54 cm, a promie maego kka 20 cm. Oblicz, ile obrotw wykonao mae kko, jeli w tym samym czasie due koo obrcio si 50 razy. Jak odlego pokona wtedy bicykl?

27

7. Cigi

Tematyka zaj:

Okrelenie cigu. Sposoby opisywania cigw

Monotoniczno cigw

Cig arytmetyczny

Suma pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego

Cig geometryczny

Suma pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego

Lokaty pienine i kredyty bankowe

Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania wykraczajce

Ucze:

zna definicj cigu (cigu liczbowego);

potrafi wyznaczy dowolny wyraz cigu liczbowego okrelonego wzorem oglnym;

potrafi narysowa wykres cigu liczbowego okrelonego wzorem oglnym;

potrafi poda wasnoci cigu liczbowego na podstawie jego wykresu;

zna definicj cigu arytmetycznego;

zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na n-ty wyraz cigu arytmetycznego;

zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego;

zna definicj cigu geometrycznego;

zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na n-ty wyraz cigu geometrycznego;

Ucze: potrafi wypisa kilka kolejnych wyrazw cigu

danego wzorem rekurencyjnym; potrafi sprawdzi, ktre wyrazy cigu nale do

danego przedziau;

potrafi zbada na podstawie definicji monotoniczno cigu okrelonego wzorem oglnym;

potrafi zbada na podstawie definicji, czy dany cig okrelony wzorem oglnym jest arytmetyczny;

potrafi zbada na podstawie definicji, czy dany cig okrelony wzorem oglnym jest geometryczny;

potrafi wykorzysta redni arytmetyczn do obliczenia wyrazu rodkowego cigu arytmetycznego;

potrafi wykorzysta redni geometryczn do

Ucze:

ucze potrafi rozwizywa zadania na dowodzenie dotyczce cigw i ich wasnoci;

potrafi udowodni wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego;

potrafi udowodni wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego.

28

zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego;

potrafi wyznaczy pierwszy wyraz i rnic cigu arytmetycznego na podstawie informacji o innych wyrazach cigu;

potrafi znale wzr na wyraz oglny cigu arytmetycznego;

potrafi wyznaczy pierwszy wyraz i iloraz cigu geometrycznego na podstawie informacji o wartociach innych wyrazw cigu;

potrafi znale wzr na wyraz oglny cigu geometrycznego;

potrafi rozwizywa zadania z ycia codziennego dotyczce cigu arytmetycznego i geometrycznego;

potrafi stosowa procent prosty i skadany w zadaniach dotyczcych oprocentowania lokat i kredytw.

obliczenia wyrazu rodkowego cigu geometrycznego;

potrafi rozwizywa rne zadania dotyczce cigu arytmetycznego lub cigu geometrycznego, ktre wymagaj rozwizania ukadw rwna o podwyszonym stopniu trudnoci;

potrafi rozwizywa zadania mieszane dotyczce cigu arytmetycznego i geometrycznego.

Przykadowe zadania

Zadanie 1.

Dany jest cig o wyrazie oglnym an = 4 n

2.

a) Wypisz sze pocztkowych wyrazw cigu. b) Narysuj wykres tego cigu. c) Czy cig jest cigiem rosncym? Odpowied

uzasadnij. d) Zbadaj, czy istnieje taki wyraz cigu, ktry jest

Zadanie 1. Dla jakich x liczby 2x3 + 9x, x2 + x, 3x 4 s trzema pocztkowymi wyrazami cigu arytmetycznego (an)? Dla znalezionej wartoci x napisz wzr oglny cigu (an) i zbadaj na podstawie definicji jego monotoniczno.

Zadanie 1. Udowodnij, e trzy liczby a, b, c tworzce cig geometryczny speniaj warunek: (a + b + c)(a b + c) = a2 + b2 + c2. Zadanie 2. Wyka, e jeli Sn, S2n, S3n oznaczaj

29

rwny 4

15.

Zadanie 2. Maszynistka miaa do przepisania ksik liczc 586 stron. Przez pierwsze 3 dni przepisywaa po 14 stron dziennie. Aby jednak przyspieszy przepisywanie caoci, postanowia, e czwartego dnia przepisze o 2 strony wicej ni trzeciego i kadego nastpnego dnia przepisze o 2 strony wicej ni poprzedniego. W cigu ilu dni przepisaa ca ksik?

Zadanie 3. Pika, odbijajc si od ziemi, osigna za kadym

razem wysoko wynoszc 3

2 poprzedniej. Jak

wysoko wzniosa si pika po pierwszym uderzeniu, jeli po szstym odbia si na wysoko 32 cm? Zadanie 4. Pan X umwi si z panem Y, e bdzie mu wypaca codziennie przez trzy tygodnie pienidze, przy czym pierwszego dnia 10 z, drugiego 20 z, trzeciego 30 z, czwartego 40 z itd. W zamian pan Y wypaci mu pierwszego dnia 1 grosz, drugiego 2 grosze, trzeciego 4 grosze, czwartego 8 groszy itd. Ktry z panw zyska na tej umowie i ile?

Zadanie 2. Za trzy ksiki, ktrych ceny tworz cig geometryczny, zapacono 61 z. Za pierwsz i drug razem zapacono o 11 z wicej ni za trzeci. Ile zapacono za trzeci ksik?

Zadanie 3. Trzy liczby, ktrych suma wynosi 15, tworz cig arytmetyczny. Jeeli do pierwszej z nich dodamy 2, do drugiej 3, a do trzeciej 8, to otrzymane liczby utworz cig geometryczny. Znajd te liczby. Zadanie 4. Rozwi rwnanie: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155, jeli wiadomo, e po lewej stronie rwnania wystpuje suma wyrazw cigu arytmetycznego.

odpowiednio sum n, 2n, 3n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego (an), to S3n = 3(S2n Sn).

30

Zadanie 5. Pan Kowalczyk wpaci 2500 z na cztery lata na lokat w banku. Jak kwot bdzie mia na koncie po tym okresie, jeli oprocentowanie lokaty wynosi 10% w skali roku, a odsetki kapitalizuje si co 6 miesicy?