第17章 量子物理基础

§17.1 黑体辐射与普朗克的能量子假设§17.2 光的粒子性§17.3 玻尔的氢原子理论§17.4 电子的波动性§17.5 波函数的统计解释§17.6 不确定关系§17.7 薛定谔方程§17.8 一维定态问题§17.9 氢原子和角动量§17.10 多电子原子

微观粒子具有波动性，并且

λν hphE ==

自由粒子的德布罗意波的波函数

)(

0

Etrpi

e−⋅

=rr

hΨ)(0

trkie ωΨΨ −⋅=rr

量子力学的一项基本假设是，微观粒子的运动状态可

以用波函数来描述。

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§17.5 波函数的统计解释

波恩（Max Born）于1926年提出了波函数的统计解释

物质波是一种概率波

)( t,rrΨ 概率幅复共轭

)()()( 2 t,rt,rt,rrrr ∗= ΨΨΨ 概率密度

在t 时刻 附近单位体积内找到粒子的概率rr

Vt,r d)( 2rΨ

粒子在t时刻、出现在 附近 体积元内的概率rr

Vd

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xx d)( 2Ψ 在 间隔内发现粒子的概率xx d附近

∫2

1

d)( 2x

x

xxΨ 在 间隔内发现粒子的概率21 xx到

自由粒子的波函数

)()(

tErpi

Aet,r−⋅

=rr

hr

Ψ

2)()(2)( AAeAet,rtErp

itErp

i

=⋅=−⋅

−−⋅

rr

h

rr

hr

Ψ

在空间各点发现自由粒子的概率相同

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波恩的理论赋予波函数以下基本性质：

标准条件： 波函数是单值、连续和有限的

∫ =Ω

dVt,r 1)( 2rΨ )( 全空间−Ω归一化条件：

Max Born shared the 1954 Nobel Prize for his fundamental research in quantum mechanics，especially for his statistical interpretation of the wave function. (Copenhagen interpretation)

哥本哈根学派退出返回

电子双缝衍射实验 约恩孙(C. Jonsson) 1961年

在20世纪80年代用电子全息术做出来双路衍射的结果

概率波

到达电子数最多的地方形成干涉极大值

∗∝ΨΨ找到电子的概率

CAI

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2

22

)(x

exfα

−=

例：将波函数 归一化)x(f

设归一化因子为C，则归一化的波函数为

2

22

)(x

Cexα

Ψ−

=∫+∞

∞−

= 1)( 2 dxxΨ

计算积分得

取 δ＝0，则归一化的波函数为

212

/Cπα

= δ

πα i/

/ eC 2121 )(=

22/12/1

22

)()(x

exα

παΨ

−=

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§17.6 不确定关系

由于微观粒子的波动性

λhp =

波长 不可能是坐标x 的函数

坐标x 和动量p 在原则上不可能同时确定

λ

说“在x 处的波长”是没有意义的

动量p不可能由x 值来完全确定

问“在x 处的的动量是多少”是毫无意义的

不可能同时正确地确定微观粒子的坐标和动量

只能给出微观粒子的坐标x 和动量 p 的一个不确定范围

px ∆∆ 和退出返回

ϕsin0 ppx ≤≤

λϕ∆ =sinx

xh

xpppx ∆∆λ

ϕ∆ ==≈ sin

x∆λ

ϕ =sin

hpx x ≥∆∆ 不确定关系

电子的单缝衍射

电子x坐标的不确定范围 x∆

动量 的不确定范围xp

将在下述范围内被测定xpx∆ ϕ

xpv

xpv∆忽略衍射次极大

若把衍射次极大也考虑进来hpx x ≈∆∆ hpx x ≥∆∆

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hpz z ≥∆∆hpy y ≥∆∆

不确定关系中的不确定范围并不是由实验误差引起的

随着科学的发展，测量精度越来越高，但这丝毫也不影响不确定关系所规定的原则。

htE ≥∆∆

能级自然宽度和平均寿命

t∆设体系处于某能量状态的平均寿命为

thE∆

∆ ≥能级宽度

用不确定关系作数量级估算退出返回

例1. 原子中电子运动不存在“轨道”设电子的动能 T =10 eV，平均速度

速度的不确定范围

m/s102 6==mTv

m/s1037 6×≈≥= .xm

hmpv

∆∆∆

m10 10−≈x∆

∆v ~ v 轨道概念不适用!

例2. 假定原子中的电子在某激发态的存留时间为 s10 8−=τ

eV1014 7−×≈≥ .hEτ

∆则该激发态的能级宽度为

由于能级有一定宽度，所辐射的光谱也存在一定宽度

hE∆ν∆ =谱线的自然宽度

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例3.一原子的激发态发射波长为 600 nm 的光谱线，假设测量波长的精度为 , 试问该原子态的寿命为多长？

710−=λλ∆

λchE =辐射光子的能量

对上式两边取微分，可得能量的变化量(均取绝对值)

λ∆λ

∆ 2

hcE =

由上式可得波长的相对变化量

chE∆λ

λλ∆=

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chE∆λ

λλ∆=

假设该原子态的寿命为 ，则根据不确定关系可得能量的不确定量（即能级宽度)

t∆

thE∆

∆ =

tc∆λ

λλ∆=

s10210103

10600 878

9−

−

−

×≈××

×==

λλ∆

λ∆c

t

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例4. 用不确定关系估算氦原子基态能量

氦原子能量是两个电子在氦核库仑场中的势能、两个电子的动能以及两个电子之间的库仑相互作用势能之和, 即

eere

re

mpE

0

2

0

22

4)

42

2(2

πεπε+−=

(设两电子排斥, 趋于远离) rree 2≈

xp ∆∆ ⋅ ~ ~ hrp ⋅由不确定关系

re

re

mrhp,rE

24)

42

2(2)(

0

2

0

2

2

2

⋅+−=

πεπε)(rE=

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0dd

=rE

基态能量为E 最小值

024

722

0

2

3

2

=+−r

emr

hπε

2

20

716

meh

rπε

=

20

2

4

)4(1649

πεhmeEmin −≈ eV 84 −=

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§17.7 薛定谔方程

1926 薛定谔 ( E. Schrodinger ) 微观粒子 低速

实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，它

的正确性只能靠实验来检验。

处于势场V 中的非自由粒子

)()(2

)( 22

t,rt,rVm

t,rt

i vrhvh ΨΨ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇−=

∂∂

薛定谔方程

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ 2

2

2

2

2

22

zyx 拉普拉斯算符

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