§17.9 氢原子和角动量

1. 算符的引进

)()()(2

22

rErrVm

vvvh ψψ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇−

)(2

22

rVm

H vh+∇−=能量算符

∇−= hv ip动量算符

)( ∇−×= hvv

irL角动量算符

退出返回

球坐标系

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

2

222

sin1)(sin

sin1

ϕθθθ

θθhL

ϕ∂∂

−= hiLz

算符 作用在任意波函数 上时，其结果不一定是同一个

波函数 乘以一个常量，往往是另外一个函数。

F ΨΨ

只有在特殊的状态下，表示力学量 的算符 作用在波

函数 上时，才满足

F FnΨ

nnnF ψλψ =返回 退出

nnnF ψλψ =

(力学量F 的)算符 的本征值方程F

波函数 ψn 称为算符 的本征函数或本征态F

λn 称为算符 的本征值F

量子力学认为，凡是满足上述本征值方程的任何一个

λn 值，都可认为就是力学量F 的一个可能取值。

由力学量算符的本征值方程解出的全部本征值，就是

相应力学量的可能取值。

退出返回

如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得

其本征值。

如果属于本征值 λn 的本征态不是一个，而是 个。nf

)21( nnnn f,,,F L== αψλψ αα

本征值λn是 重简并的nf

nf 简并度

退出返回

利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是

一个能量算符的本征值问题。

)()( rErH rrΨΨ = 能量算符 的本征值方程H

能量算符的本征函数（本征态）)(rr

Ψ

E 能量算符的本征值

为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到了限制

同理，通过求解动量算符、角动量算符…的本征值方程可得到相应算符的本征函数和本征值。

退出返回

2. 氢原子和角动量

氢原子中的电子在原子核的库仑电场中运动

rerV

0

2

4)(

πε−= )( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

O)()()](

2[ 2

2

rErrVm

vvvh ψψ =+∇−

球坐标

2

2

2222

22

sin1)(sin

sin1)(1

ϕθθθ

θθ ∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

退出返回

ψψπε

ψϕθθ

θθθ

Er

er

rrmr

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−0

2

2

2

22

2

2

4sin1)(sin

sin1)(

2h

)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =

)( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

O

)(rR l,n 拉盖尔函数

)( ϕθ ,Ylm,l 球谐函数

…= 3 2 1 ，，，n 主量子数

)1( 2 1 0 −…= nl ，，，， 角量子数

lml ±±±= 2 1 0 ，，，， L 轨道磁量子数退出返回

)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =

)( ϕθ ,Ylm,l 球谐函数

)( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

Oπ

ϕθ41)(00 =,Y ,

θπ

ϕθ cos43)(01 =,Y ,

ϕθπ

ϕθ i, e,Y sin

83)(11 =

ϕθπ

ϕθ i, e,Y −− = sin

83)(11

……退出返回

)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =

)( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

O

)(rR l,n 拉盖尔函数

02)1()( 23

001

ar

/, e

arR

−

=

02

0

23

002 )2()

21()( a

r/

, ear

arR

−

−=

02

0

23

012 3

)21()( a

r/

, ea

ra

rR−

=

……退出返回

)( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

O

)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =

这个波函数是归一化的

∫∞ = 1d)(2

V,,rlm,l,n ϕθψ

ϕθθ ddsindd 2 rrV =

∫∞∗ = 1ddsind)()( 2 ϕθθϕθψϕθψ rr,,r,,r

ll m,l,nm,l,n

∫ ∫ =∗π πϕθθϕθϕθ

0

2

01dd)sin()( ,Y,Y

ll m,lm,l

ϕθθΩ ddsind =∫∞ ∗ =

0

2 1d)()( rrrRrR l,nl,n退出返回

ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 222rr,YrRV,,r

ll m,ll,nm,l,n =

在空间一点 附近体积元

内找到量子态为 (n、l、ml) 的电子的概率)( ϕθ ,,r ϕθθ dddsind 2 rrV =

rrrR l,n d)( 22在 r 到 r + dr壳层内发现电子的概率

ϕθθϕθΩϕθ ddsin)(d)(22

,Y,Yll m,lm,l =

在 附近的立体角 内发现电子的概率ϕθθΩ ddsind =)( ϕθ ,

退出返回

氢原子的电子云

001 === lmln ，，

002 === lmln ，， 返回 退出

012 === lmln ，，

112 −=== lmln ，， 退出返回

003 === lmln ，，

123 === lmln ，， 退出返回

023 === lmln ，，

113 === lmln ，， 退出返回

ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 222rr,YrRV,,r

ll m,ll,nm,l,n =

在各种 值的量子态中，概率密度分布与 角

无关，所以它们是绕 z轴旋转对称的。lmln 、、 ϕ

)( ϕθ ,,rP

θ r

ϕx

y

z

O

退出返回

(1)氢原子的能量本征值

) 3 2 1 ( 12)4( 222

0

4

…=−= ，，，nn

meEnhπε

主量子数n能量是量子化的

当 时， 连续值∞→n →nE

与玻尔的氢原子理论得到的能级公式相同

退出返回

(2)电子轨道角动量的量子化

) 1 3 2 1 0 ( −= n,,,,,l Lh)1( += llL

s, p, d, f, …角量子数l

注意：玻尔理论 hnL =

(3)电子轨道角动量空间取向的量子化

) 2 1 0 ( l,,,,mmL llz ±±±== Lh

轨道磁量子数lm退出返回

角动量空间取向量子化是指角动量在空间一个确定方

向（例如 z 方向）上的投影是量子化的，它适合于所有角动量。

0

h2h

h－h2－

Bzr

2=l

hh 6)12(2 =+=L

hlz mL =

21 0 ±±= ，，lm

塞曼效应证明了角动量空间取向的量子化

塞曼效应的发现和研究获1902年诺贝尔物理学奖退出返回

1896年，荷兰物理学家塞曼(P. Zeeman)和他的学生发现磁场中的原子发光时光

谱线将发生分裂。

这种现象后人称为塞曼效应

当镉放在强磁场中时就分裂成三条谱线

镉灯不受磁场作用时发射一条 643.847nm 谱线 P. Zeeman

例如：

一条和原谱线相同，另一条频率增大，第三条频率减小，

增大和减小的量值相等，且与外磁场的 有关。Br

强磁场引起的这种谱线一分为三的现象 正常塞曼效应

在强磁场作用下一条谱线分裂成三条谱线以上的分裂现象

反常塞曼效应退出返回

返回 退出

BMErr

⋅−= BM z−=

meBπ

νν4

−=− meBπ

νν4

+=+

−ν +νν

Br

加

0=lm1=lm

1−=lm

ν

1 2 == l,n

0 1 == l,n

LmeM

rr

2−=

Bmeh

2

Bmeh

2−

0=

1=lmzz L

meM

2−=

BLme

z2= 0=lm

1=l 1−=lm

) 1 0 ( ±== ,mmL llz h

ϕ∂∂

−= hiLz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

2

222

sin1)(sin

sin1

ϕθθθ

θθhL

球坐标系

角动量算符的本征值问题

)()1()( 22 ϕθϕθ ,Yll,YLlm,llm,l h+= 22 )1( h+= llL

h)1( += llLL210 ,,,l =

)()( ϕθϕθ ,Ym,YLlm,lllm,lz h= hlz mL =

l,,,,ml ±±±= 210 L退出返回

主量子数 n …= 3 2 1 ，，，n

角量子数 l )1( 2 1 0 −…= nl ，，，，

轨道磁量子数 ml lml ±±±= 2 1 0 ，，，， L

对于确定的主量子数n , l 可取n个值

对于确定的角量子数l , ml可取(2l+1)个值

一个能级对应一个以上的波函数 简并

属于任一能级 的量子态 的数目nE )( ϕθψ ,,rlm,l,n

∑−

=

=+=1

0

2)12(n

ln nlf 氢原子能级的简并度

退出返回