1

Płaszczyzna.

Równanie ogólne płaszczyzny:

gdzie jest punktem płaszczyzny π,

zaś liczby A, B, C są współrzędnymi wektora niezerowego,

prostopadłego do tej płaszczyzny.

Uzasadnienie:

π

Jeżeli zastąpimy symbolem D to otrzymujemy

inną postać równania ogólnego:

Przypadki szczególne:

OzC

OyB

OxA

D

0

0

0

)0,0,0(0

[A, B, C]

(x0,y0,z0)

2

Własność 4:

Niech

1)

2) gdy

3) gdy

Uwaga:

Własności te wynikają z własności działań na wektorach.

Przykład:

Podać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (3,0,-2) i

prostopadłej do wektora [2,-3,3].

Rozwiązanie:

Wstawiamy odpowiednie wartości do równania płaszczyzny:

A=2, B=-3, C=3, x0=3, y0=0, z0=-2.

Przykład:

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej

przez punkt (3,4,-2) i prostopadłej do płaszczyzn:

3

05:

024:

2

1

zx

zyx

Rozwiązanie:

Szukamy wektora prostopadłego do szukanej płaszczyzny π.

Jest to iloczyn wektorowy wektorów prostopadłych do płaszczyzn π1 i

π2:

1,18,52025

501

214],,[

]5,0,1[

]2,1,4[

jkji

kji

baCBA

b

a

Stąd szukane równanie płaszczyzny to:

lub

.

Przykład:

Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (-1,3,-2)

i zawierającej oś Ox.

Rozwiązanie:

Skoro Ox π to A=0 i D=0.

Stąd π: By+Cz=0.

Skorzystamy z faktu, ze punkt (-1,3,-2) należy do π.

Otrzymujemy

Teraz wystarczy przyjąć (np.) C=1.

4

Równanie płaszczyzny:

Równanie odcinkowe płaszczyzny:

1c

z

b

y

a

x

Płaszczyzna przechodzi przez punkty (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c),

Uzasadnienie:

01111

1 zc

yb

xac

z

b

y

a

x

Korzystając z tego równania ogólnego stwierdzamy, że:

),0,0(

011

01

01

)0,,0(

01011

01

)0,0,(

0101

011

c

ccba

b

cb

ba

a

cba

a

a

b c

5

Przykład.

Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P=(-1,2,3)

i odcina na osiach układu odcinki jednakowej długości.

Rozwiązanie:

Skoro odcinki jednakowej długości to a=b=c.

4

1321

)3,2,1(

1

a

aaa

P

a

z

a

y

a

x

Równanie odcinkowe:

1

444

zyx

Równanie ogólne:

Przykład:

Obliczyć objętość czworościanu ograniczonego płaszczyzną:

i płaszczyznami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Równanie odcinkowe tej płaszczyzny to:

1236

zyx

6

Możemy więc wyznaczyć trzy wektory, na których zbudowany jest

nasz czworościan:

,

A teraz skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu:

Stąd V=6.

Prosta

Równanie kierunkowe:

c

zz

b

yy

a

xx 000

gdzie punkt , a wektor i nazywamy go wektorem

kierunkowym prostej .

Uzasadnienie:

Równanie krawędziowe:

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

Prosta jest w nim przedstawiona jako wspólna część (krawędź) dwóch

płaszczyzn.

7

Fakt.1.

Wektor kierunkowy prostej o równaniu krawędziowym ma postać:

Przykład:

Wyznaczyć wektor kierunkowy prostej o równaniu:

Rozwiązanie:

Dzielimy wszystkie strony równości przez 12=NWW(4,2,3).

Stąd:

6

3

4

2

3

1

zyx

I wektor kierunkowy ma współrzędne: [3,4,-6]

Przykład:

Znaleźć punkty przecięcia prostej o równaniu:

1

5

4

2

2

1

zyx

z płaszczyznami układu współrzędnych:

Rozwiązanie:

xOy: z=0

8

22,9

1

5

4

2

2

1

yx

yx

Punkt: (-9,-22,0)

xOz: y=0

5,5,2

1

5

4

2

2

1

zx

zx

Punkt: (2,0;5,5)

yOz: x=0

5,4,4

1

5

4

2

2

1

zy

zy

Punkt: (0,-4;4,5)

Przykład.

Znaleźć punkt przecięcia prostej l:

023

04

zyx

zyx

z płaszczyzną xOz.

Rozwiązanie:

9

Zakładamy y=0 i rozwiązujemy układ równań:

023

04

zx

zx

Stąd

i punkt ma współrzędne: (-1,5;0,-2,5).

Krzywe stożkowe (przegląd)

Elipsa:

Dane są na płaszczyźnie dwa punkty F1 i F2 zwane ogniskami oraz

pewna liczba 2a większa niż odległość między ogniskami. Elipsa to

zbiór punktów płaszczyzny X spełniających warunek: XF1+XF2=2a.

Niech F1=(-c,0), F2=(c,0) oraz . Wówczas otrzymujemy

równanie elipsy:

10

Parabola:

Dana jest prosta k i punkt F. Parabola to zbiór punktów płaszczyzny,

których odległość od prostej k równa jest odległości od punktu F.

Niech prosta k określona jest równaniem

, a ognisko to punkt

.

Równanie paraboli:

b

-b

a -a

F1 F2

11

k

F

12

Hiperbola:

Dane są na płaszczyźnie dwa punkty F1 i F2 (ogniska) oraz liczba 2a

mniejsza od odległości między ogniskami. Hiperbola to zbiór punktów

płaszczyzny P spełniających warunek:

Niech F1=(-c,0), F2=(c,0) oraz . Wówczas otrzymujemy

równanie hiperboli:

Tw.2.

Każdą krzywą stopnia drugiego o równaniu

022 JIyHxGxyFyEx

Można przez odpowiedni obrót z przesunięciem przekształcić tak, aby

miała ona jedno z następujących równań:

1.

(elipsa)

2.

(zbiór pusty)

F1 F2

13

3.

(punkt)

4.

(hiperbola)

5. (parabola)

6.

(dwie proste przecinające się)

7.

(dwie proste równoległe)

8.

(jedna prosta)

9.

(zbiór pusty)

Powierzchnie II stopnia

Elipsoida:

Równanie:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

o półosiach a, b i c.

Hiperboloida jednopowłokowa

Równanie:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

y z

c

a

b

14

o półosiach rzeczywistych a i b, oraz półosi urojonej c.

Hiperboloida dwupowłokowa

Równanie:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

lub

12

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

o półosi rzeczywistej c i półosiach urojonych a i b

x

y

z

15

Stożek

Równanie:

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

16

Walec eliptyczny

Równanie:

12

2

2

2

b

y

a

x

Walec hiperboliczny.

Równanie:

12

2

2

2

b

y

a

x

17

Paraboloida eliptyczna.

Równanie:

zb

y

a

x2

2

2

2

2

Paraboloida hiperboliczna.

zb

y

a

x2

2

2

2

2

18

Walec paraboliczny

Równanie:

Tw.3.

Każdą powierzchnię stopnia drugiego o równaniu:

0222 UTzSyRxQyxPxzNxyMzLyKx można tak obrócić i przesunąć, aby miała ona jedno z następujących równań:

1. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x (elipsoida)

2. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(zbiór pusty)

3. 0

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(punkt)

19

4. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(hiperboloida jednopowłokowa)

5. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(hiperboloida dwupowłokowa)

6. 0

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(stożek)

7. pz

b

y

a

x2

2

2

2

2

(paraboloida eliptyczna)

8. pz

b

y

a

x2

2

2

2

2

(paraboloida hiperboliczna)

9. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(walec eliptyczny)

10. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(zbiór pusty)

11. 0

2

2

2

2

b

y

a

x(prosta)

12. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(walec hiperboliczny)

13. 0

2

2

2

2

b

y

a

x(dwie przecinające się proste)

20

14. pyx 22 (walec paraboliczny)

15. 1

2

2

a

x(dwie równoległe płaszczyzny)

16. 0

2

2

a

x(płaszczyzna)

17. 1

2

2

a

x(zbiór pusty)

Odsyłacze do strony z rysunkami powierzchni 2 stopnia.

www.pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka