1

OPTYMALIZACJA BLACHOWNIC O ZMIENNYM PRZEKROJU METODĄ ROJU CZĄSTEK.

mgr inż. Piotr Sych

1. Wstęp

1.1. Opis problemu

Przedmiotem analizy są belki i ramy stalowe nazywane blachownicami, o przekroju

dwuteowym spawane z blach płaskich. Blachy mają zmienne liniowo wysokości i grubości pasów

wzdłuż długości. Konstrukcje takie są znacznie prostsze i szybsze w wykonaniu niż kratownice. Ich

atutem jest też mniejsza powierzchnia całkowita, co czyni ich malowanie tańszym (szczególnie

przy konieczności zabezpieczania przeciwpożarowego).

Istotną część wagi blachownicy stanowi ciężar środnika. Jeśli wymiarowanie blachownicy

sporządzimy według normy uwzględniającej nadkrytyczną rezerwę nośności przekroju przy

zastosowaniu smukłych środników ( na przykład [1] ) uzyskuje się ciężar blachownicy zbliżony do

kratownicy. Blachownice o smukłych środnikach zostały szczegółowo opisane w pracy [2].

Projektowanie takich blachownic wiąże się z przyjęciem wstępnych wymiarów przekroju. W

odróżnieniu od kratownic czy też belek statycznie wyznaczalnych ramy o zmiennym przekroju

opisywane są przez wiele parametrów przekroju. Konieczne jest ustalenie wysokości środnika,

szerokości pasów, grubości blach. Wymiary te musimy określić w przęśle, w miejscu połączenia

słupa z ryglem oraz przy podstawie, to powoduje konieczność optymalizacji co najmniej kilkunastu

zmiennych. Dodatkowo wymiary blach (np. wysokości środników) mogą być dobierane w bardzo

dużym zakresie, z dokładnością praktycznie do 1mm, a nie wybierane spośród kilku wysokości, jak

ma to miejsce w przypadku belki wykonanej z typowego profilu z katalogu. Ze względu na

statyczną niewyznaczalność konstrukcji, zmiana parametrów przekroju w jednym elemencie

blachownicy, powoduje zmianę sił wewnętrznych w pozostałych elementach co wpływa na ich

wymiarowanie, powodujące konieczność kolejnych obliczeń.

1.2. Analiza blachownic

Obliczenia przeprowadzono metodą elementów skończonych za pomocą obiektów i funkcji

opracowanych w ramach pracy magisterskiej i doktoratu. Analiza ram o zmiennym przekroju

metodą elementów skończonych została opisana w [3] i [4].

Założono że blachownice będą miały symetryczny przekrój dwuteowy (pas górny będzie

taki sam jak dolny). Ze względów użytkowych, założono że zewnętrzne krawędzie blachownic

(górne i boczne) będą składać się z linii prostych. Stosownie do zmiennej wysokości środników i i

2

grubości pasów osie środkowe i współrzędne teoretyczne węzłów będą się zmieniać. Obciążenia

jest równomiernie rozłożone na ryglach ze względu na dominujące znaczenie obciążenia śniegiem.

Obliczenia ram wykonano z zastosowaniem analizy pierwszego rzędu według normy EN

1993-1-1 [5]. Dodatkowe obliczenia pozwoliły stwierdzić, że rama portalowa uzyskana w wyniku

optymalizacji nie jest wrażliwa na efekty drugiego rzędu. W programie uwzgledniono wpływ efektu

szerokiego pasa. W przypadku belki jednoprzęsłowej, gdzie szerokość pasów była zmienna,

uwzględnienie efektywnego przekroju z redukcją jego szerokości pozwoliło uzyskać smukły

przekrój. W pozostałych konstrukcjach szerokość pasa była wstępnie ustalana tak aby nie było

wpływu efektu szerokiego pasa.

Dążąc do uproszczenia zagadnienia, podjęto próbę zmniejszenia liczby zmiennych

parametrów w procesie optymalizacji konstrukcji. Z tego powodu analizowano zmienne związane

najbardziej ze zginaniem przekroju, ponieważ mają one decydujący wpływ na całkowity ciężar

analizowanych blachownic. Największy wpływ na wskaźnik wytrzymałości przekroju mają

grubości pasów i wysokość środnika. Przedmiotem analizy nie były natomiast parametry przekroju

związane ze ścinaniem oraz utratą stateczności jak np. grubość środnika. Po przeprowadzonej

optymalizacji wymiarów pasów i wysokości środnika, grubość środnika można policzyć lub

zastosować dodatkowe żebra. Z tego samego powodu pominięto inne obciążenia występujące w

ramach - w szczególności obciążenie wiatrem.

Wstępnie założono, że przekrój będzie zabezpieczony przed zwichrzeniem i wyboczeniem

przez dość gęsto rozmieszczone płatwie, co nie spowoduje zwiększenia wytężenia o więcej niż

kilka procent.

1.3. Optymalizacja metodą roju cząstek

Do optymalizacji zastosowanno metodę roju cząstek (particle swarm optimalization)

opisaną w literaturze [6]. Aby zastosować ten algorytm, konieczne jest wprowadzenie uogólnienia

polegającego na traktowaniu wybranych parametrów konstrukcji, które będziemy chcieli

optymalizować (np. wysokości przekroju, grubości pasa) jako wielkości zmiennych. Zbiór tych

parametrów można zapisać w postaci wektora x i traktować jako wektor współrzędnych położenia

cząstki w wielowymiarowej przestrzeni. Zmiana położenia cząstki w umownym czasie jest opisana

wektorem prędkości v.

W opisywanej metodzie posłużono się zbiorem cząstek nazywanym rojem, przez analogię

do społecznego zachowania zwierząt. Celem uproszczenia zapisu, w prezentowanych wzorach

pominięto indeksy związane z wymiarem w przestrzeni parametrów konstrukcji oraz z numerem

3

cząstki.

W procesie optymalizacji cząstki poruszają się, a ich położenie w i-tej iteracji jest obliczane

ze wzoru:

xi = x i-1 + vi ∆t , (1)

gdzie:

x i-1 – położenie cząstki w poprzedniej iteracji,

vi – prędkość cząstki w i-tej iteracji,

∆t – przyrost czasu.

Ponieważ czas traktujemy jako parametr umowny, w obliczeniach wartość ∆t jest

przyjmowana równa 1.

Wartość prędkości cząstki w i-tej iteracji jest liczona wzorem:

v i=w v i−1+c1r 1

p−x i−1

Δ t+c2r2

g−x i−1

Δ t, (2)

gdzie:

w, c1, c2 – wagi określające proporcje między trzema składnikami zmiany prędkości,

r1, r2 – liczby o wartościach przyjmowanych losowo.

Wektory p i g zawierają współrzędne położenia cząstek, przy czym wektory p odpowiadają

optymalnej wartości znalezionej przez każdą z cząstek. Natomiast wektor g odpowiada globalnemu

minimum dla wszystkich cząstek roju.

Pierwszy składnik sumy we wzorze (2) odpowiada za kontynuację ruchu cząstki w kierunku,

w którym cząstka poruszała się w poprzednim kroku iteracyjnym. Drugi składnik kieruje cząstkę w

stronę najlepszego położenia, uzyskanego do tej pory przez tę cząstkę. Trzeci składnik wzoru

wyznacza kierunek do optymalnego położenia uzyskanego w całym roju.

Na początku procesu iteracji zmienne optymalizacji są wstępnie przyjmowane losowo dla

każdej cząstki w założonym zakresie zmienności. Również elementom wektorów prędkości są

początkowo przypisywane wartości losowe. Aby zapewnić stabilność procesu iteracji wskazane jest

wstępne przyjęcie parametrów tak aby konstrukcja była możliwie mało wytężona dla jak

największej liczby cząstek.

Funkcję celu zdefiniowano jako całkowity ciężar konstrukcji. W procesie optymalizacji

szukana jest cząstka która spełnia ograniczenia optymalizacji i dla której funkcja celu osiąga

wartość minimalną. Ograniczeniami optymalizacji jest warunek normowy na wartość wytężenia

(punkt 6.2.4. i 6.2.5 normy [1]):

4

N ed

N c, Rd+

M ed

M cRd≤1 , (3)

gdzie :

Ned – obliczeniowa wartość siły podłużnej,

Nc,Rd – obliczeniowa nośność przy ściskaniu,

Med – obliczeniowy moment zginający,

McRd – obliczeniowa nośność przy zginaniu.

Dodatkowym ograniczeniem optymalizacji jest warunek stanu granicznego ugięć:

wwmax=L

250 , (4)

gdzie :

w – ugięcie pionowe konstrukcji,

wmax – wartości graniczne ugięć,

L – rozpiętość blachownicy.

Celem wizualizacji procesu optymalizacji, zredukowano problem do minimalnej liczby

trzech zmiennych to znaczy: wysokość na podporze (H1); wysokość w przęśle (H2); powierzchnia

przekroju poprzecznego pasa (tf1 x b). Na rysunku przedstawiono przebieg procesu iteracji dla

jednej cząstki.

Rys.1. Przebieg optymalizacji dla konstrukcji o trzech zmiennych.

Rysunek prezentuje typowy ruch cząstki (przedstawiony strzałkami) podążającej za

najlepszym wynikiem uzyskanym przez inne cząstki.

5

2. Przykłady optymalizacji

2.1. Optymalizacja belki jednoprzęsłowej

Optymalizację przeprowadzono dla prostego przypadku belki obustronnie zamocowanej o

rozpiętości 6m. W procesie otymalizacji przyjęto stałą grubość pasa w przęśle tf2 = 12mm. Grubość

środnika wynosiła 10mm. Stałe, równomiernie rozłożone obciążenie o wartości obliczeniowej

q=40kN/m przyłożono do wszystkich elementów. Założono, że belka jest wykonana ze stali S235.

Pas górny i dolny blachownicy stanowi linię prostą, co powoduje konieczność liczenia

położenia lini środkowej w każdej iteracji w zależności od wysokości środnika i grubości pasów. W

modelu obliczeniowym elementy o zmiennym przekroju zastąpiono trzema elementami o

parametrach przekroju skokowo zmiennej wysokości i grubości pasów. Model obliczeniowy

obejmował siedem węzłów i sześć elementów.

Rys.2. Schemat belki z wymiarami przekroju uzyskanymi w wyniku optymalizacji.

Przyjęto cztery parametry optymalizacji: wysokości środnika przy podporze i w przęśle

(odpowiednio H1 i H2), grubość pasa przy podporze tf1 oraz szerokość belki B.

Zastosowano dziesięć cząstek. Po 20 iteracjach uzyskano następujące wyniki:

H1 = 376 mm, H2= 198 mm, tf1 = 13 mm oraz B = 79 mm.

Przebieg procesu iteracji dla jednej cząstki przedstawiono na rysunku 1. Należy zwrócić

uwagę, że grubość pasa przy podporze ( tf1 ) została zmniejszona w procesie optymalizacji do 13

mm, przy początkowej grubości dochodzącej do 20 mm.

6

2.2. Optymalizacja belki trójprzęsłowej

Przeprowadzono optymalizację belki trójprzęsłowej o rozpiętościach przęseł 38m + 46m +

38m. Belka stanowi model obliczeniowy rygla projektowanej ramy. Założono szerokość

blachownicy równą 500mm, oraz że blachownica jest wykonana ze stali S355. Model konstrukcji

zawierał 21 węzłów i 20 elementów.

Ograniczeniami w procesie optymalizacji były warunki geometryczne aby odległości X1 i X2

nie przekraczały możliwych geometrycznie wartości (na przykład rozpiętości przęsła).

Rys. 3. Schemat blachownicy z zaznaczonymi zmiennymi optymalizacji.

Optymalizację przeprowadzono dla ośmiu zmiennych parametrów przekroju wysokości

środnika H1, H2, H3 (jak na rysunku nr 3), grubości pasów tf1, tf2, tf3 oraz odległości X1 i X2. W

trakcie procesu optymalizacji zmieniane były współrzędne węzłów stosownie do zmiany odległości

X1 i X2 oraz wysokości H2. W kryterium optymalizacji założono, że wytężenie liczone według wzoru

(3) nie może przekroczyć 0,8.

Po 30 iteracjach z 12 cząstkami uzyskano wyniki:

H1 = 1420 mm, H2 = 2150 mm, H3 = 1260 mm, tf1 = 12 mm, tf2 = 21 mm, tf3 = 14 mm,

X1 = 9450 mm i X2 = 11 790 mm.

Konstrukcja o tych parametrach wykazała maksymalne wytężenie liczone według wzoru (3)

równe 0,77 i ugięcia równe 126mm (przy wmax=152mm). Po przeniesieniu modelu do komercyjnego

programu ROBOT [7] i zwymiarowaniu konstrukcji, przy uwzględnieniu stężenia płatwiami w

rozstawie 4m, uzyskano maksymalne wytężenie w pierwszym przęśle i na wewnętrznej podporze

równe 0,91.

7

2.3. Optymalizacja ramy portalowej

Optymalizację przeprowadzono dla ramy portalowej o ustalonej rozpiętości liczonej po

zewnętrznym obrysie. W trakcie obliczeń powoduje to zmianę położenia osi środkowej oraz

współrzędnych punktów, które zależą od wysokości środnika i grubości pasów. Uzyskano model

obliczeniowy metody elementów skończonych o 19 węzłach i 18 elementach.

Słup oraz fragment rygla przy narożniku ma zmienny przekrój. W części środkowej rygiel

ma stały przekrój. Przyjęto szerokość pasów równą 180mm. Przy podporze założono wysokość

środnika równą 200mm i grubość pasów 6mm. Przyjęto że rama ma podparcie przegubowe.

Przyjęto obciążenie obliczeniowe stałe, równomiernie rozłożone q równe 15kN/m, przyłożone do

wszystkich elementów rygla.

Przyjęto pięć parametrów optymalizacji: wysokość środnika i grubość pasów w części

środkowej (H3 i tf3) i w narożniku (H2 i tf2) oraz odległość między krawędzią zewnętrzną ramy i

punktem zmiany przekroju rygla ze zmiennego w stały (X1). W kryterium optymalizacji założono

poszukiwanie wytężenia liczonego według wzoru (3) na poziomie 0,8.

Założono następujące przedziały zmienności inicjowanych parametrów:

H2 : od 1661 mm – 2319 mm, tf2 : od 20 mm – 25 mm, H3 : od 462 mm - 741 mm,

tf3 : od 19 mm – 22 mm oraz X1: od 3625 mm – 3705 mm.

Rys.4. Schemat ramy z wysokościami przekroju uzyskanymi w wyniku optymalizacji.

W optymalizacji wykorzystano 12 cząstek. Po 20 iteracjach uzyskano następujące wyniki:

H2 = 1264mm, tf2 = 13mm, H3 = 398mm, tf3 = 12mm oraz X1= 2223mm.

8

3. Uwagi końcowe i wnioski

1. Metoda roju cząstek umożliwia szybką optymalizację wymiarów stalowej blachownicy.

2. Dla analizowanej prostej konstrukcji – belki jednoprzęsłowej zamocowanej z obu stron, można

stwierdzić, że optymalne proporcje wysokości przy podporze do wysokości w przęśle wynoszą ok.

1,9. Taka belka ma mniejszy ciężar niż belka o stałej wysokości.

3. Uzyskane w procesie optymalizacji blachownice mają nie tylko minimalny ciężar ale również

spełniają normowe kryteria wytężenia we wszystkich punktach konstrukcji z zadanym zapasem

bezpieczeństwa. W przedstawionych przykładach założono, że wytężenie liczone wg wzoru (3) nie

może przekroczyć wartości 0,8.

4. Opracowany przez autora program umożliwia ocenę przyjętych wstępnie wymiarów blachownicy

i wskazanie „kierunków” zmiany tych parametrów celem uzyskania bardziej optymalnej

konstrukcji. Przykładowo można uzyskać podpowiedź czy lepiej zwiększyć grubość pasów czy też

wysokość środnika.

5. W wyniku optymalizacji uzyskujemy konstrukcję charakteryzującą się minimalnym ciężarem

dzięki równomiernemu wytężeniu wzdłuż długości (jak opisano to w punkcie 2.2).

6. Algorytm metody roju cząstek umożliwia optymalizację konstrukcji z uwzglednieniem wielu

zmiennych. W opisanych przykładach zastosowano trzy do ośmiu zmiennych.

Pragnę podziękować Profesorowi Zenonowi Waszczyszynowi za merytoryczną pomoc w

przygotowaniu artykułu.

4. PIŚMIENNICTWO

[1] Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-5: Blachownice.

[2] Frejno M.: Hale stalowe z blachownic spawanych. BUILDER, styczeń 2009.

[3] Sych P.: Analiza ram sprężystych o zmiennym przekroju za pomocą ścisłych elementów

skończonych. Praca magisterska. Instytut Metod Komputerowych w Inżynierii Lądowej PK.

Kraków 1993.

[4] Sych P., Waszczyszyn Z.: Analiza ram sprężystych o zmiennym przekroju za pomocą

numerycznej wersji ścisłych elementów skończonych. XL Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN

PziTB Krynica 1994.

[5] Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych.

[6] Bochenek B., Krużelecki J.: Optymalizacja stateczności konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki

Krakowskiej. Kraków 2007.

[7] Podręcznik użytkownika programu AUTODESK ROBOT Structural Analysis. 2013.