Opis matematyczny elementów i układów liniowych

Równania różniczkowe, transmitancja operatorowa i widmowa, równania stanu,

charakterystyki częstotliwościowe

Opis matematyczny ciągłego elementu lub układu automatyki o jednym wejściu i jednym wyjściu składa się w ogólnym przypadku z dwóch części:1. Równania lub wykresu charakterystyki statycznej, określającego zależność

wyjścia od wejścia w stanach ustalonych,2. Równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego własności

statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego na charakterystyce statycznej punktu pracy.

Własności ciągłego elementu lub układu liniowego o parametrach stałych (stacjonarnego) można opisać za pomocą równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach, którego postać ogólna jest następująca:

przy czym n≥m dla wszystkich elementów i układów rzeczywistych. W równaniu tym przyjęto oznaczenia: y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, t – czas, ak, bl – współczyniki stałe (k=0, 1, ..., n; l=0, 1, ..., m).

xbdt

xdb

dt

xdbya

dt

yda

dt

yda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 ......

Z poprzedniego równania wynika charakterystyka statyczna (w stanie ustalonym wszystkie pochodne są równe zeru)

przy czym dla elementów linearyzowanych jest to równanie stycznej linearyzującej.

Własności dynamiczne określa się zwykle na podstawie przebiegów y(t) następujących po wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego x(t).

xa

by

0

0

Transmitancja operatorowa i macierz transmitancji

Transmitancję operatorową G(s) elementu lub układu nazywamy stosunek transformaty wielkości wyjściowej Y(s) do transformaty wielkości wejściowej X(s) przy zerowych warunkach początkowych.

Transformując równanie różniczkowe opisujące własności elementu lub układu liniowego (przedstawione wcześniej) otrzymamy:

Ogólna zatem postać transmitancji operatorowej będzie ilorazem dwóch wielomianów zmiennej zespolonej s

)...)(()...)(( 01

101

1 bsbsbsXasasasY mm

mm

nn

nn

)(

)()(

sX

sYsG

)(

)()(

sM

sLsG

)...(

)...()(

01

1

01

1

asasa

bsbsbsG

nn

nn

mm

mm

przy czym n≥m.

Transmitancję tę zapisuje się często w postaci

gdzie:

01

1

01

1

...)(

...)(

asasasM

bsbsbsLn

nn

n

mm

mm

W przypadku elementów o wielu wejściach i wielu wyjściach należy określić macierz transmitancji G(s)

)(

)()(

gdzie

)(...)()(

............

)(...)()(

)(...)()(

)(

11

22221

11211

sX

sYsG

sGsGsG

sGsGsG

sGsGsG

s

i

iik

nmnn

m

m

G

G(s)... ...

x1

x2

xm

y1

y2

yn

Odpowiedzi na wymuszenia w dziedzinie czasu

Na podstawie transmitancji operatorowej wyznacza się charakterystyki czasowe będące odpowiedzią układu na odpowiednie wymuszenia. Do tych wymuszeń zaliczamy: impuls (deltę) Diraca, skok jednostkowy, wymuszenie liniowe. Pamiętając, że transmitancja operatorowa jest stosunkiem transformaty odpowiedzi do transformaty wymuszenia, znając własności przekształcenia Laplace’a wyznaczamy odpowiednie charakterystyki czasowe:a) impulsową g(t) jako odpowiedź na impuls Diraca – X(s)=1b) skokową h(t) jako odpowiedź na skok jednostkowy – X(s)=1/sc) liniową jako odpowiedź na wymuszenie liniowe – X(s)=1/s2

)]()([)]([)( 11 sXsGLsYLty

Opis układów z wykorzystaniem równań stanuStanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości, który należy określić w chwili t = t0, aby można było przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu w każdej chwili t ≥ t0, dla każdego sygnału wymuszającego należącego do danego zbioru sygnałów wymuszających, przy założeniu, że wszystkie elementy zbioru wymuszeń są znane dla t ≥ t0. Wielkości te są nazywane zmiennymi lub współrzędnymi stanu. Wektor będący zbiorem n zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu. Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych względem pierwszych pochodnych, nazywamy równaniem stanu. Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie rozwiązaniu układu równań różniczkowych pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metodą zmiennych stanu. W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu najczęściej przyjmuje się prądy i1,i2,... w cewkach i napięcia uC1,uC2... na kondensatorach. Wybór zmiennych stanu nie jest jednak jednoznaczny. Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogół liczbie elementów reaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i kondensatorów w obwodzie. Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można sformułować n równań różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno równanie różniczkowe n-tego rzędu.

Oznaczmy:• u(t) – wektor sygnałów sterujących (wymuszeń)• y(t) – wektor sygnałów wyjściowych (odpowiedzi)• x(t) – wektor współrzędnych (zmiennych) stanu• A – macierz stanu• B – macierz wejść• C – macierz wyjść (odpowiedzi)• D – macierz przejść (transmisyjna)

Równania stanu przyjmą postać:

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

Schemat blokowy układu opisanego równaniami stanu przedstawia się następująco:

Jeżeli sygnały wejściowe nie oddziałują bezpośrednio na wyjście, to macierz D jest macierzą zerową i połączenie z wejścia na wyjście nie istnieje. W przypadku układów jednowymiarowych wektory x(t), u(t) i y(t) stają się sygnałami, macierze B i C stają się wektorami a macierz D stałą wielkością.

Formułowanie równań stanu Przystępując do analizy obwodu elektrycznego metodą zmiennych stanu przede wszystkim wybieramy zmienne stanu, a następnie formułujemy równania obwodu tak, aby miały one postać znormalizowaną. Oznacza to, że po lewej stronie wystąpią tylko pierwsze pochodne zmiennych stanu, a po prawej stronie same zmienne oraz funkcje wymuszające. Współczynniki tych równań są kombinacją parametrów obwodu. W przypadku obwodów prostych, zawierających kilka elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) oraz dla kilku wymuszeń napięciowych i prądowych, stosujemy pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych. Metodę praw Kirchhoffa omówimy na przykładzie obwodu pokazanego na rysunku poniżej.

Przyjmiemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy i że w chwili t = 0 zamykamy jednocześnie łączniki W1 i W2. W obwodzie powstaje stan nieustalony. Rozpatrywany obwód jest obwodem drugiego rzędu, ma jedną cewkę i jeden kondensator. Jako zmienne stanu wybieramy prąd i1 w cewce o indukcyjności L i napięcie uc na kondensatorze o pojemności C. Oznaczamy

Zgodnie z prawami Kirchhoffa

Eliminujemy następnie te zmienne, które nie są zmiennymi stanu, czyli prądy i2(t) oraz i3(t). Po uporządkowaniu otrzymamy

a po uwzględnieniu oznaczeń wstępnych

A w postaci macierzowej

Oznaczając: pochodna wektora stanu wektor stanu wektor wymuszeń

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

2

1

2

1

2

1

tu

tut

tx

txt

tx

txt uxx

macierz układu macierz wymuszeń

Ostatecznie równanie przyjmie postać

Jest to równanie stanu. W przedstawiony sposób zawsze można równania obwodu doprowadzić do postaci układu równań różniczkowych i ująć jednym równaniem macierzowo-wektorowym. W rozpatrywanym przykładzie nie wystąpiło równanie wyjścia, gdyż nie poszukiwano innych wielkości poza zmiennymi stanu.

Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostaje wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie. Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako funkcje częstotliwości.Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja widmowa, którą definiujemy następująco:

x

yjG

sGjGjs

)(

lub

)()(

gdzie jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a wartością zespoloną tego wymuszenia.

yx

yx iPodstawiając za parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej

otrzymamy

gdzie M()=A2()/A1() jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).Wykres G(j) nazywa się charakterystyką amplitudowo – fazową lub zespoloną charakterystyką częstotliwościową, lub wykresem transmitancji widmowej lub hodografem.

)]([21 )()( tjtj eAyeAx

)(

1

)]([2 )(

)(

)()(

jtj

tj

eMeA

eAjG

Do pozostałych charakterystyk częstotliwościowych, oprócz charakterystyki amplitudowo – fazowej zaliczamy:- amplitudową charakterystykę częstotliwościową M(w) lub A(w)- fazową charakterystykę częstotliwościową j(w)- charakterystykę częstotliwościową części rzeczywistej transmitancji widmowej P(w)- charakterystykę częstotliwościową części urojonej transmitancji widmowej Q( )w

Charakterystyki częstotliwościowe amplitudową i fazową przedstawiane są zwykle we współrzędnych logarytmicznych i nazywają się wówczas:- L(w)=20 log A(w) – logarytmiczna charakterystyka amplitudowa- j(w) – logarytmiczna charakterystyka fazowa.

)(

)()(

)]([)]([)(

)()()(

22

P

Qarctg

QPA

jQPjG

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe

Dziękuję za uwagę