Operatory

Operator : zbiór działań matematycznych przekształcających pewną funkcję wyjściową w inną funkcję

Q̂

Przykład operatora : w przypadku ruchu cząstki wzdłuż osi OX pędowi przypisujemy operator :

xix

p

Operator ten w działaniu na funkcję oznacza: utwórz nową funkcję będącą pierwszą pochodną funkcji po zmiennej x , a otrzymany wynik pomnóż przez stałą Plancka oraz i.

x

ix p

W mechanice kwantowej każdej wielkości fizycznej przypisujemy pewien operator Q̂

W niektórych przypadkach rozwiązanie równania na wartości własne uzyskać można jedynie dla ściśle określonych wartości qn.. Oznacza to, że dana wielkość fizyczna przyjmować może

tylko pewne ściśle określone, a nie dowolne wartości.

Dozwolone wartości qn jakie może posiadać wielkość fizyczna opisana operatorem wyznaczyć można rozwiązując tzw. równanie na wartości własne operatora

Q̂

nqQ̂

qn jest wartością własną operatora Q̂

Jeżeli dokonywać będziemy pomiarów, to zawsze otrzymamy jedną z wartości qn..

Funkcje własne i wartości własne operatora

Funkcje własne i wartości własne operatora

ikxikxikx kAeAex

iAe )()(xp

Przykład. Pęd cząstki swobodnej ikxAe

kx p

Dozwolone wartości pędu cząstki swobodnej : p = (h/2)k

Momentowi pędu przypisujemy cztery operatory: operator kwadratu momentu pędu -

2L

Równocześnie określoną wartość może mieć tylko kwadrat momentu pędu i jeden z jego rzutów na oś współrzędnych. Dwa pozostałe rzuty są nieokreślone.

Oznacza to, że równocześnie można zmierzyć jedynie wartość momentu pędu oraz wartość jednego z jego rzutów na wybraną oś ( np. Lz - czyli wartość rzutu na oś OZ) .

oraz

Operator momentu pędu

2222zyx LLLL

trzy operatory rzutu momentu pędu na poszczególne osie układu współrzędnych : Lx, Ly, Lz

lll L 22L

Kwantowanie momentu pędu

...3,2,1,0)1( lgdziellLl

l - orbitalna liczba kwantowa

Wniosek:

moment pędu jest wielkością skwantowaną.

Oznacza to, że dowolny obiekt fizyczny może posiadać moment pędu tylko o pewnych, ściśle określonych wartościach.

Dozwolone wartości jakie może przybierać kwadrat momentu pędu muszą być wartościami własnymi operatora 2L̂

x

z

y

(x,y,z)

,,r

współrzędne w układzie sferycznym

r

sinr

cossinr

sinsinr

cosr

cosrz sinsinry cossinrx

Sferyczny układ współrzędnych

,,rfunkcja falowa

współrzędne w układzie kartezjańskim

Kwantowanie rzutu momentu pędu

r

(r,

x

y

zOś OZ jest osią na którą rzutować będziemy wektor momentu pędu

W tym przypadku operator Lz ma postać operatora różniczkowania po kącie , a równanie na wartości własne ma postać

mzm Li

Rozwiązaniem tego równania są funkcje postaci Ce )(

AeLAeiAei z

zL

i

Kwantowanie rzutu momentu pędu

r

(r,

x

y

z )/()( zLim Ce

Obrót układu współrzędnych o kąt 2 wokół osi OZ nie zmienia wartości funkcji falowej:

)/()/(2)2)(/( zzzz LiLiLiLi eeee

2)/(21)/(2 mLe zLi z

...3,2,1,0 mgdziemLz

)1( llLLz

lmllm )1(

lm ...,2,1,0

Kwantowanie momentu pędu i jego rzutu

mLz

Momentu pędu - podsumowanie

Dozwolone wartości momentu pędu

...3,2,1,0

)1(

lgdzie

llLl

Dozwolone wartości rzutu momentu pędu na oś OZ

...3,2,1,0

m

gdzie

mLz

Model atomuBohr aPostulaty Bohr a• 1. Elektrony poruszają wokół jądra po orbitach

stacjonarnych. • 2. Atom emituje promieniowanie, gdy elektron przechodzi

z jednej orbity stacjonarnej na drugą. • 3. Częstotliwość promieniowania jest dana wzorem

hf = Em - En

gdzie Em i En oznaczają energie tych stanów.• 4. Moment pędu elektronu jest skwantowany :

mevr =n

zyxEzyxzyxVzyxm

,,,,,,2 2

2

2

2

2

22

zyxEzyxH ,,,,ˆ

R ó w n a n i e S c h r ö d i n g e r aA t o m w o d o r u

E n e r g i a p o t e n c j a l n a w e w s p ó ł r z ę d n y c h s f e r y c z n y c h .

R ó w n a n i e r ó ż n i c z k o w e n a p o c h o d n e c z ą s t k o w e z 3 n i e z a l e ż n y m i w s p ó ł r z ę d n y m i

r

erV

2

04

1)(

x

z

y

( x , y , z )

,,r

w s p ó ł r z ę d n e w u k ł a d z i es f e r y c z n y m

r

sinr

cossinr

sinsinr

cosr

cosrz sinsinry cossinrx

S f e r y c z n y u k ł a d w s p ó ł r z ę d n y c h

,,rf u n k c j a f a l o w a

w s p ó ł r z ę d n e w u k ł a d z i ek a r t e z j a ń s k i m

P o p r z e j ś c i u d o w s p ó ł r z ę d n y c h s f e r y c z n y c h :

)()(,,,),,( , ll mmlnll mnl rRYrRrzyx

F u n k c j a r a d i a l n a F u n k c j a k ą t o w a i

A t o m w o d o r u

F u n k c j e i s ą t a k i e s a m e d l a k a ż d e j s f e r y c z n i e s y m e t r y c z n e j e n e r g i i p o t e n c j a l n e j .

R ó w n a n i e z t r z e m a n i e z a l e ż n y m i w s p ó ł r z ę d n y m i p r z e c h o d z i w 3 n i e z a l e ż n e z a l e ż n e t y l k o o d j e d n e j w s p ó ł r z ę d n e j .

RozwiązanieRozwiązanie jest określone przez warunki graniczne:

- R(r) musi dążyć do zera dla dużych r (stan związany -elektron jest zlokalizowany w pobliżu jądra);

i muszą być periodyczne:

(r,i (r,opisują ten sam punkt, więc

i muszą być skończone.

Liczby kwantowe:

n - główna l – orbitalna ml - magnetyczna

2220

2

4 1

32

n

eEn

Liczby kwantowe: n

n - liczba naturalna ,numeruje energię n = 1,2,3,4,5,…;

2

16.13

neVEn

E = - 13.6 eV

- 3.4 eV

Zjoniz. atom

n = 1

n = 2

n = 3

n- główna liczba kwantowa

masa zredukowana

Ne

Ne

mm

mm

0

-R 1

-R/4

-R/9-R/16-R/25

2

345n= 2

1

iin

n

RyE 2

1

ffn

n

RyE

22

111

ifinn

nnRyEEE

f

Lyman

Balmer

Paschen

Widma emisyjne atomu wodoru

Energia

eVRy 6.131

if nnR

111

Długość emitowanej fali

R stała Rydberga

R=1.097 107 m-1

Seria Balmera

• Absorption spectrum of sodium

• Flame spectrum of strontium

7000 Å600050004000

(reproduced from Spectroscopy in Chemistry)

7000 Å600050004000

(Å) k(cm-1)H Czerwony 6565 15234

H Zielono-niebieski 4862 20565

H Niebieski 4342 23033

H Fioletowy 4103 24374

31 n

41 n

51 n

61 n

)1( llL ...,2,1,0l

Kwantyzacja orbitalnego momentu pędu

Dozwolone wartości L orbitalnego momentu pędu L wynikają z żądania, aby funkcja była skończona dla i

Istnieje n różnych wartości L dla n –tego poziomu energetycznego.

Orbitalna liczba kwantowa

K w a n t y z a c j a s k ł a d o w e j z - o w e j m o m e n t u p ę d u

r

( r ,

x

y

z

r

( r ,

x

y

z )/()( zLi

m Ce( r , i ( r , o p i s u j ą t e n s a m p u n k t , z a t e m :

m m

)/()/(2)2)(/( zzzz LiLiLiLi eeee

2)/(21)/(2 lz

Li mLe z

. . .3,2,1,0 llz mgdziemL

D o z w o l o n e w a r t o ś c i s k ł a d o w e j z - o w e j m o m e n t u p ę d u

m a g n e t y c z n a l i c z b a k w a n t .

LL z lmllm ll )1(

Liczby kwantowe: n, l, m

l - określa wartości momentu pędu elektronu na orbicie; liczba naturalna z zakresu [0, n-1 ]

l - orbitalna liczba kwantowa

l = 0,1,2,…n-1;

ml - magnetyczna liczba kwantowa

m - określa rzut momentu pędu elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni;liczba całkowita z zakresu [-l, l ]

lm ...,2,1,0

n - główna liczba kwantowan- określa dozwolone wartości energii elektronu na orbicie; n=1,2,3, ...

1&1

0&1

1&1

0&0

2

l

l

l

l

ml

ml

ml

ml

n

0&0

1

lml

n

2&2

1&2

0&2

1&2

2&2

1&1

0&1

1&1

0&0

3

l

l

l

l

l

l

l

l

l

ml

ml

ml

ml

ml

ml

ml

ml

ml

n

Stany elektronu

Stan podstawowy - radialna gęstość stanów

rrVrrP 2224)(

or

r

er

rrP

2

30

2

4)(100

or

r

o

er

r

3100

1),,(

Maksimum prawdopodobieństwa dla r = r0

Funkcje radialne

pierwszy stan wzbudzony: n=2, =0, m=0

or2

r

o3o

200 err

2r32

1

or

r2

o3o

2

200r err

2rr

81

P

Atom wodoru - funkcje falowe

Pierwszy stan wzbudzony - radialna gęstość stanów