Operatory
Operator : zbiór działań matematycznych przekształcających pewną funkcję wyjściową w inną funkcję
Q̂
Przykład operatora : w przypadku ruchu cząstki wzdłuż osi OX pędowi przypisujemy operator :
xix
p
Operator ten w działaniu na funkcję oznacza: utwórz nową funkcję będącą pierwszą pochodną funkcji po zmiennej x , a otrzymany wynik pomnóż przez stałą Plancka oraz i.
x
ix p
W mechanice kwantowej każdej wielkości fizycznej przypisujemy pewien operator Q̂
W niektórych przypadkach rozwiązanie równania na wartości własne uzyskać można jedynie dla ściśle określonych wartości qn.. Oznacza to, że dana wielkość fizyczna przyjmować może
tylko pewne ściśle określone, a nie dowolne wartości.
Dozwolone wartości qn jakie może posiadać wielkość fizyczna opisana operatorem wyznaczyć można rozwiązując tzw. równanie na wartości własne operatora
Q̂
nqQ̂
qn jest wartością własną operatora Q̂
Jeżeli dokonywać będziemy pomiarów, to zawsze otrzymamy jedną z wartości qn..
Funkcje własne i wartości własne operatora
Funkcje własne i wartości własne operatora
ikxikxikx kAeAex
iAe )()(xp
Przykład. Pęd cząstki swobodnej ikxAe
kx p
Dozwolone wartości pędu cząstki swobodnej : p = (h/2)k
Momentowi pędu przypisujemy cztery operatory: operator kwadratu momentu pędu -
2L
Równocześnie określoną wartość może mieć tylko kwadrat momentu pędu i jeden z jego rzutów na oś współrzędnych. Dwa pozostałe rzuty są nieokreślone.
Oznacza to, że równocześnie można zmierzyć jedynie wartość momentu pędu oraz wartość jednego z jego rzutów na wybraną oś ( np. Lz - czyli wartość rzutu na oś OZ) .
oraz
Operator momentu pędu
2222zyx LLLL
trzy operatory rzutu momentu pędu na poszczególne osie układu współrzędnych : Lx, Ly, Lz
lll L 22L
Kwantowanie momentu pędu
...3,2,1,0)1( lgdziellLl
l - orbitalna liczba kwantowa
Wniosek:
moment pędu jest wielkością skwantowaną.
Oznacza to, że dowolny obiekt fizyczny może posiadać moment pędu tylko o pewnych, ściśle określonych wartościach.
Dozwolone wartości jakie może przybierać kwadrat momentu pędu muszą być wartościami własnymi operatora 2L̂
x
z
y
(x,y,z)
,,r
współrzędne w układzie sferycznym
r
sinr
cossinr
sinsinr
cosr
cosrz sinsinry cossinrx
Sferyczny układ współrzędnych
,,rfunkcja falowa
współrzędne w układzie kartezjańskim
Kwantowanie rzutu momentu pędu
r
(r,
x
y
zOś OZ jest osią na którą rzutować będziemy wektor momentu pędu
W tym przypadku operator Lz ma postać operatora różniczkowania po kącie , a równanie na wartości własne ma postać
mzm Li
Rozwiązaniem tego równania są funkcje postaci Ce )(
AeLAeiAei z
zL
i
Kwantowanie rzutu momentu pędu
r
(r,
x
y
z )/()( zLim Ce
Obrót układu współrzędnych o kąt 2 wokół osi OZ nie zmienia wartości funkcji falowej:
)/()/(2)2)(/( zzzz LiLiLiLi eeee
2)/(21)/(2 mLe zLi z
...3,2,1,0 mgdziemLz
)1( llLLz
lmllm )1(
lm ...,2,1,0
Kwantowanie momentu pędu i jego rzutu
mLz
Momentu pędu - podsumowanie
Dozwolone wartości momentu pędu
...3,2,1,0
)1(
lgdzie
llLl
Dozwolone wartości rzutu momentu pędu na oś OZ
...3,2,1,0
m
gdzie
mLz
Model atomuBohr aPostulaty Bohr a• 1. Elektrony poruszają wokół jądra po orbitach
stacjonarnych. • 2. Atom emituje promieniowanie, gdy elektron przechodzi
z jednej orbity stacjonarnej na drugą. • 3. Częstotliwość promieniowania jest dana wzorem
hf = Em - En
gdzie Em i En oznaczają energie tych stanów.• 4. Moment pędu elektronu jest skwantowany :
mevr =n
zyxEzyxzyxVzyxm
,,,,,,2 2
2
2
2
2
22
zyxEzyxH ,,,,ˆ
R ó w n a n i e S c h r ö d i n g e r aA t o m w o d o r u
E n e r g i a p o t e n c j a l n a w e w s p ó ł r z ę d n y c h s f e r y c z n y c h .
R ó w n a n i e r ó ż n i c z k o w e n a p o c h o d n e c z ą s t k o w e z 3 n i e z a l e ż n y m i w s p ó ł r z ę d n y m i
r
erV
2
04
1)(
x
z
y
( x , y , z )
,,r
w s p ó ł r z ę d n e w u k ł a d z i es f e r y c z n y m
r
sinr
cossinr
sinsinr
cosr
cosrz sinsinry cossinrx
S f e r y c z n y u k ł a d w s p ó ł r z ę d n y c h
,,rf u n k c j a f a l o w a
w s p ó ł r z ę d n e w u k ł a d z i ek a r t e z j a ń s k i m
P o p r z e j ś c i u d o w s p ó ł r z ę d n y c h s f e r y c z n y c h :
)()(,,,),,( , ll mmlnll mnl rRYrRrzyx
F u n k c j a r a d i a l n a F u n k c j a k ą t o w a i
A t o m w o d o r u
F u n k c j e i s ą t a k i e s a m e d l a k a ż d e j s f e r y c z n i e s y m e t r y c z n e j e n e r g i i p o t e n c j a l n e j .
R ó w n a n i e z t r z e m a n i e z a l e ż n y m i w s p ó ł r z ę d n y m i p r z e c h o d z i w 3 n i e z a l e ż n e z a l e ż n e t y l k o o d j e d n e j w s p ó ł r z ę d n e j .
RozwiązanieRozwiązanie jest określone przez warunki graniczne:
- R(r) musi dążyć do zera dla dużych r (stan związany -elektron jest zlokalizowany w pobliżu jądra);
i muszą być periodyczne:
(r,i (r,opisują ten sam punkt, więc
i muszą być skończone.
Liczby kwantowe:
n - główna l – orbitalna ml - magnetyczna
2220
2
4 1
32
n
eEn
Liczby kwantowe: n
n - liczba naturalna ,numeruje energię n = 1,2,3,4,5,…;
2
16.13
neVEn
E = - 13.6 eV
- 3.4 eV
Zjoniz. atom
n = 1
n = 2
n = 3
n- główna liczba kwantowa
masa zredukowana
Ne
Ne
mm
mm
0
-R 1
-R/4
-R/9-R/16-R/25
2
345n= 2
1
iin
n
RyE 2
1
ffn
n
RyE
22
111
ifinn
nnRyEEE
f
Lyman
Balmer
Paschen
Widma emisyjne atomu wodoru
Energia
eVRy 6.131
if nnR
111
Długość emitowanej fali
R stała Rydberga
R=1.097 107 m-1
Seria Balmera
• Absorption spectrum of sodium
• Flame spectrum of strontium
7000 Å600050004000
(reproduced from Spectroscopy in Chemistry)
7000 Å600050004000
(Å) k(cm-1)H Czerwony 6565 15234
H Zielono-niebieski 4862 20565
H Niebieski 4342 23033
H Fioletowy 4103 24374
31 n
41 n
51 n
61 n
)1( llL ...,2,1,0l
Kwantyzacja orbitalnego momentu pędu
Dozwolone wartości L orbitalnego momentu pędu L wynikają z żądania, aby funkcja była skończona dla i
Istnieje n różnych wartości L dla n –tego poziomu energetycznego.
Orbitalna liczba kwantowa
K w a n t y z a c j a s k ł a d o w e j z - o w e j m o m e n t u p ę d u
r
( r ,
x
y
z
r
( r ,
x
y
z )/()( zLi
m Ce( r , i ( r , o p i s u j ą t e n s a m p u n k t , z a t e m :
m m
)/()/(2)2)(/( zzzz LiLiLiLi eeee
2)/(21)/(2 lz
Li mLe z
. . .3,2,1,0 llz mgdziemL
D o z w o l o n e w a r t o ś c i s k ł a d o w e j z - o w e j m o m e n t u p ę d u
m a g n e t y c z n a l i c z b a k w a n t .
LL z lmllm ll )1(
Liczby kwantowe: n, l, m
l - określa wartości momentu pędu elektronu na orbicie; liczba naturalna z zakresu [0, n-1 ]
l - orbitalna liczba kwantowa
l = 0,1,2,…n-1;
ml - magnetyczna liczba kwantowa
m - określa rzut momentu pędu elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni;liczba całkowita z zakresu [-l, l ]
lm ...,2,1,0
n - główna liczba kwantowan- określa dozwolone wartości energii elektronu na orbicie; n=1,2,3, ...
1&1
0&1
1&1
0&0
2
l
l
l
l
ml
ml
ml
ml
n
0&0
1
lml
n
2&2
1&2
0&2
1&2
2&2
1&1
0&1
1&1
0&0
3
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
ml
n
Stany elektronu
Stan podstawowy - radialna gęstość stanów
rrVrrP 2224)(
or
r
er
rrP
2
30
2
4)(100
or
r
o
er
r
3100
1),,(
Maksimum prawdopodobieństwa dla r = r0
Funkcje radialne
pierwszy stan wzbudzony: n=2, =0, m=0
or2
r
o3o
200 err
2r32
1
or
r2
o3o
2
200r err
2rr
81
P
Atom wodoru - funkcje falowe
Pierwszy stan wzbudzony - radialna gęstość stanów
Top Related