O centralizatorach skonczonych podgrup GL(n,Z)

Wprowadzenie Podgrupy centralizatorów w GL(n, Z) Przykłady Podsumowanie

O centralizatorach skonczonych podgrupGL(n, Z)

Rafał Lutowski

Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdanskiego

III Północne Spotkania GeometryczneOlsztyn, 22-23 czerwca 2009


1 WprowadzenieGrupy podstawowe płaskich rozmaitosciAfiniczne równowaznosci płaskich rozmaitosciSkonczone grupy automorfizmów zewnetrznychReprezentacje grup skonczonych

2 Podgrupy centralizatorów w GL(n,Z)TwierdzenieLemat SchuraDowód twierdzenia

3 PrzykładyGrupa alternujaca A5


Płaskie rozmaitosci i grupy Bieberbacha

X – zwarta, spójna rozmaitosc Riemanna z krzywiznasekcyjna równa zero (płaska rozmaitosc).Γ = π1(X) – grupa podstawowa X – grupa Bieberbacha.X jest izometryczne z Rn/Γ.Γ wyznacza X z dokładnoscia do afinicznej równowaznosci.


Grupy Bieberbacha

DefinicjaGrupa Bieberbacha to beztorsyjna grupa zdefiniowana przezkrótki ciag dokładny

0 −→ Zn −→ Γ −→ G −→ 1.

G – skonczona podgrupa GL(n,Z).G działa na Zn przez mnozenie macierzy.Element α ∈ H2(G,M) odpowiadajacy powyzszemurozszerzeniu jest specjalny, tzn. resGHα 6= 0 dla kazdejnietrywialnej podgrupy H grupy G.


Grupa odwzorowan afinicznych

Aff(X) – grupa odwzorowan afinicznych X.Aff(X) jest grupa Lie.

Aff0(X) – składowa identycznosci Aff(X).Aff0(X) jest torusem.Wymiar Aff0(X) równa sie β1(X) – pierwszej liczbie Bettiego X(β1(X) = rkZ(Γ)).

Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973)

Aff(X)/Aff0(X) ∼= Out(Γ)


Skonczone grupy odwzorowan afinicznych

WniosekAff(X) jest skonczona wtedy i tylko wtedy, gdy

1 β1(X) = 0 oraz2 |Out(Γ)| <∞.

Problem (Szczepanski 2006)

Które grupy skonczone realizuja sie jako grupy automorfizmówzewnetrznych grup Bieberbacha z trywialnym centrum.


Wyznaczanie Out(Γ)

Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973)

0 −→ H1(G,Zn) −→ Out(Γ) −→ Nα/G −→ 1.

Nα – stabilizator α ∈ H2(G,Zn) wzgledem działaniaNGL(n,Z)(G) zdefiniowanego nastepujaco

n ∗ a(g1, g2) = n · a(n−1g1n, n−1g2n).

H1(G,Zn) jest grupa skonczona.Indeks [NGL(n,Z)(G) : Nα] jest skonczony.


Skonczone grupy automorfizmów zewnetrznych

Przez naturalna reprezentacje grupy G < GL(n,Z) bedziemyrozumieli odwzorowanie τ = idG.

Twierdzenie (Szczepanski ’96)Nastepujace warunki sa równowazne:

1 Grupa Out(Γ) jest nieskonczona.2 Normalizator NGL(n,Z)(G) grupy G w GL(n,Z) jest

nieskonczony.3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe

lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.


Skonczone grupy automorfizmów zewnetrznych

Przez naturalna reprezentacje grupy G < GL(n,Z) bedziemyrozumieli odwzorowanie τ = idG.

Twierdzenie (Szczepanski ’96)Nastepujace warunki sa równowazne:

1 Grupa Out(Γ) jest nieskonczona.2 Centralizator CGL(n,Z)(G) grupy G w GL(n,Z) jest

nieskonczony.3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe

lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.


Reprezentacje grup skonczonych

R – pierscien Z, Q, R, C, G – grupa skonczona.Homomorfizm % : G→ GL(n,R) nazywamy reprezentacjagrupy G.Reprezentacje %, τ nazywamy R-izomorficznymi, jezeli

∃Q∈GL(n,R)∀g∈G Q%(g) = τ(g)Q.

Reprezentacja % jest przywiedlna, jezeli jest izomorficznaz reprezentacja postaci

%1 ⊕ . . .⊕ %k.

Rn – R[G]-moduł.


Reprezentacje grup skonczonych

R – pierscien Z, Q, R, C, G – grupa skonczona.Homomorfizm % : G→ GL(n,R) nazywamy reprezentacjagrupy G.Reprezentacje %, τ nazywamy R-izomorficznymi, jezeli

∃Q∈GL(n,R) Q% = τQ.

Reprezentacja % jest przywiedlna, jezeli jest izomorficznaz reprezentacja postaci

%1 ⊕ . . .⊕ %k.

Rn – R[G]-moduł.


Charaktery

Charakterem reprezentacji % nazywamy funkcje χ% : G→ R

∀g∈Gχ%(g) = Tr(%(g)).

R = C – charaktery klasyfikuja reprezentacje.


Pytania

Mamy krótki ciag dokładny

0→ H1(G,Zn)→ Out(Γ)→ Nα/G→ 1

Czy Nα/G moze byc dowolna grupa?Niech

Cα = Nα ∩ CGL(n,Z)(G)

Czy Cα ·G/G ∼= Cα/Z(G) moze byc dowolna grupa?Czy istnieje grupa, która nie realizuje sie jako podgrupaskonczonego centralizatora dowolnej podgrupy GL(n,Z)?


Struktura skonczonych centralizatorów

Niech A oznacza rodzine grup skonczonych, bez grupytrywialnej, taka ze dla kazdego A ∈ A mamyA ma dokładnie jedna C-nieprzywiedlna reprezentacje stopnia 1.Kazda C-nieprzywiedlna reprezentacja A moze byc zrealizowananad R.

{An}n≥5 ⊂ A (Riese, 2002).

TwierdzenieNiech G < GL(n,Z) bedzie grupa skonczona, taka ze CGL(n,Z)(G)jest skonczony. Wtedy

∀A<CGL(n,Z)(G)A 6∈ A.


Lemat Schura

Niech R oznacza pierscien, M i N – lewe R-moduły.

LematNiech f : M → N bedzie homomorfizmem R-modułów. Jezeli Mi N sa proste, to f jest izomorfizmem, badz f = 0. Ponadto, jezeliM = N oraz R = C[G] jest pierscieniem grupowym, dla pewnejgrupy skonczonej G, to f jest homotetia, tzn.

∃λ∈C∀m∈Mf(m) = λm.

WniosekNiech M i N beda półprostymi modułami, które nie majaizomorficznych podmodułów. Wtedy

HomR(M,N) = 0.


Izomorfizmy reprezentacji

K – ciało charakterystyki 0.G – grupa skonczona.% : G→ GL(n,K) – reprezentacja grupy G o nastepujacymrozkładzie nad K

% =k⊕i=1

mi%i.

%i : G→ GL(ni,K) – nieprzywiedlne, parami nieizomorficzne.mi%i =

⊕mij=1 %i.

B ∈ GL(n,K) wyznacza izomorfizm %:

B% = %B.


Izomorfizmy reprezentacji

LematB jest blokowa macierza diagonalna

B =k⊕i=1

Bi,

gdzie Bi ∈ GL(mini,K) wyznaczaja izomorfizmy reprezentacjimi%i.


Szkic dowodu

Załózmy, ze A < CGL(n,Z)(G) oraz A ∈ A. Pokazemy, zeCGL(n,Z)(G) jest nieskonczony.Niech τ = idG, % = idA beda naturalnymi reprezentacjami grupodpowiednio G i A.Niech %′ =

⊕ki=1mi%i bedzie rozkładem % nad Q, tzn.

∃Q∈GL(n,Q) %′ = Q−1%Q.

τ ′ = Q−1τQ.Poniewaz τ ′%′ = %′τ ′, wiec τ ′ =

⊕ki=1 τi, gdzie

τi(mi%i) = (mi%i)τi.


Szkic dowodu

Załozenie: %1 nie jest trywialna.Przypadek 1: %1 jest C-nieprzywiedlna. Wtedy

τ1 = np

gdzie n > 1 oznacza stopien reprezentacji %1,a p : G→ GL(m1,Q) jest reprezentacja grupy G.Przypadek 2: %1 jest R-przywiedlna. Wtedy mamy rozkład τ1 nadR:

τ1 =s⊕i=1

dipi.

Jezeli dla pewnego 1 ≤ j ≤ s, pj nie jest reprezentacja wymierna,to τ1 zawiera Q-nieprzywiedlna, ale R-przywiedlna reprezentacje.


Wniosek – reprezentacje centralizatorów

Wniosek: Centralizator CGL(n,Z)(G) jest nieskonczony.

WniosekR-nieprzywiedlna podreprezentacja reprezentacji naturalnejpodgrupy skonczonego centralizatora jest albo trywialna, badzC-przywiedlna.


Realizacja A5 jako Out(Γ)

Γ – grupa Bieberbacha zdefiniowana przez krótki ciagdokładny

0 −→ Zn −→ Γ −→ G −→ 1.

α ∈ H2(G,Zn) – klasa definiujaca Γ.(Zn)G = {z ∈ Zn|∀g∈G gz = z} = 0 – centrum Γ jest trywialne.Nα = {n ∈ NGL(n,Z)(G)|n ∗ α = α}.Cα = Nα ∩ CGL(n,Z)(G).

StwierdzenieJezeli Out(Γ) ∼= A5, to

Cα = Z(G).


Izomorfizm Out(Γ) z A5


0 −→ H1(G,Zn) −→ Out(Γ) −→ Nα/G −→ 1.

Out(Γ) ∼= A5 jest grupa prosta, wiec:H1(G,Zn) = 0.Nα/G ∼= A5.

Mozliwe sa tylko dwa przypadki:Cα = Z(G).Nα = G · Cα.


Centralne rozszerzenie przez A5


1 −→ Z(G) −→ Cα −→ A5 −→ 1.

Cα – cetralne rozszerzenie centrum grupy G przez A5 – zalezytylko od klasy kohomologii β ∈ H2(A5, Z(G)) definiujacejpowyzszy ciag.Niech Zpq bedzie trywialnym A5-modułem, gdzie p jest liczbapierwsza, q ∈ N. Mamy

H2(A5,Zpq) ={

Z2, p = 20, p ≥ 3

Jezeli Z2 6↪→ Z(G) lub β = 0, to Cα = Z(G)×A5, co jestniemozliwe.


Grupa SL(2, 5)

Jezeli Z2 ↪→ Z(G) oraz β 6= 0, to% : SL(2, 5) ↪→ Cα.

SL(2, 5) = 〈a, b, c|a2c, b3, (ab)5, [a, c], [b, c], c2〉.Z(SL(2, 5)) = 〈c〉.Tablica charakterów SL(2, 5)

1 b a ba b2a c cb (ba)2 c(ba)2

χ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

χ2a 2 −1 0 −ω − ω4 ω + ω4 − 2 1 ω2 + ω3 −ω2 − ω3

χ2b 2 −1 0 −ω2 − ω3 ω2 + ω3 − 2 1 ω + ω4 −ω − ω4

χ3a 3 0 − 1 − ω2 − ω3 − ω2 − ω3 3 0 − ω − ω4 − ω − ω4

χ3b 3 0 − 1 − ω − ω4 − ω − ω4 3 0 − ω2 − ω3 − ω2 − ω3

χ4a 4 1 0 − 1 − 1 4 1 − 1 − 1

χ4 4 1 0 1 −1 − 4 −1 −1 1

χ5 5 − 1 1 0 0 5 − 1 0 0

χ6 6 0 0 −1 1 − 6 0 1 −1

c 7→ −I.


Centrum G

Z dokładnoscia do izomorfizmu, istnieja trzy Z-nieprzywiedlnereprezentacje grupy Z2, dane przez obraz generatora a tejgrupy:

(1) a 7→[1]

(2) a 7→[−1]

(3) a 7→[0 11 0

]Reprezentacja % zawiera podreprezentacje trywialna.W przeciwnym wypadku %(c) = −I ∈ G, a wiec grupa Γ niejest beztorsyjna.Element %(c) ∈ Z(G) jest macierza blokowa postaci

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 −1

lub[1 00 −1

].


Elementy grupy G

Niech g ∈ G. W postaci blokowej g ma postac:

g =

g11 g12 g13 g14

g21 g22 g23 g24

g31 g32 g33 g34

g41 g42 g43 g44

.g · %(c) = %(c) · g, wiec

g =

g11 g12 g12 0g21 g22 g23 g24

g21 g23 g22 −g24

0 g42 −g42 g44

.


Elementy grupy G

Niech g ∈ G. W postaci blokowej g ma postac:

g =[g11 g12

g21 g22

].

g · %(c) = %(c) · g, wiec

g =[g11 00 g22

].


Grupy kohomololgii

Pokazemy, ze H1(G,Zn) 6= 0.H2(G,Zn) ∼= H1(G,Qn/Zn).Centrum grupy Γ jest trywialne, wiec

H1(G,Zn) ∼= H0(G,Qn/Zn) = (Qn/Zn)G = {v ∈ Qn/Zn|gv = v}.Niech γ ∈ H1(G,Qn/Zn) odpowiada klasie α ∈ H2(G,Zn),h ∈ γ. Dla dowolnego g ∈ G mamy

(%(c)− 1)h(g) = (g − 1)h(%(c)).Otrzymujemy

%(c) =[1 00−1

]⇒[0 00−2

] [h1(g)h2(g)

]=[g11 − 1 0

0 g22 − 1

] [h1(%(c))h2(%(c))

]⇓

0 6=[v0

]∈ (Qn/Zn)G ⇒ H1(G,Zn) 6= 0


Grupy kohomololgii

Pokazemy, ze H1(G,Zn) 6= 0.H2(G,Zn) ∼= H1(G,Qn/Zn).Centrum grupy Γ jest trywialne, wiec

H1(G,Zn) ∼= H0(G,Qn/Zn) = (Qn/Zn)G = {v ∈ Qn/Zn|gv = v}.Niech γ ∈ H1(G,Qn/Zn) odpowiada klasie α ∈ H2(G,Zn),h ∈ γ. Dla dowolnego g ∈ G mamy

(%(c)− 1)h(g) = (g − 1)h(%(c)).Otrzymujemy

%(c) =[1 00−1

]⇒[0 00−2

] [h1(g)h2(g)

]=[g11 − 1 0

0 g22 − 1

] [v0

]⇓

0 6=[v0

]∈ (Qn/Zn)G ⇒ H1(G,Zn) 6= 0


Reprezentacje SL(2, 5) oraz G

Niech %′ bedzie rozkładem % nad Q postaci

%′ = 1⊕ %1,

gdzie %1 nie zawiera reprezentacji trywialnej.τ = idG – naturalna reprezentacja G.Niech τ ′ = Q−1τQ, gdzie %′ = Q−1%Q. Otrzymujemy

τ ′ = τ0 ⊕ τ1,

gdzie τ1%1 = %1τ1.


Macierz sprzezenia

Niech

Q =

q11 q12 q13 q14

q21 q22 q23 q24

q31 q32 q33 q34

q41 q42 q43 q44

bedzie postacia blokowa Q odpowiadajaca postaci %(c).Q%′(c) = %(c)Q, wiec

Q =

q11 q12 0 0q21 q22 q23 q24

q21 q22 −q23 −q24

0 0 q43 q44

.


Pierwsza grupa kohomologii

τ ′ = Q−1τQ = τ0 ⊕ τ1.τ ′(G) < 〈τ0(g)⊕ 1, 1⊕ τ1(g)|g ∈ G〉 = Q−1G′Q.G < G′ oraz

(Qn/Zn)G′< (Qn/Zn)G.

Otrzymujemy

G′ =

⟨g11 g12 g12 0g21 −1− g23 g23 0g21 g23 −1− g23 00 0 0 1

,

1 0 0 00 1− g′23 g′23 g′24

0 g′23 1− g′23 −g′24

0 g′42 −g′42 g′44

⟩



τ ′ = Q−1τQ = τ0 ⊕ τ1.τ ′(G) < 〈τ0(g)⊕ 1, 1⊕ τ1(g)|g ∈ G〉 = Q−1G′Q.G < G′ oraz

H1(G′,Zn) ↪→ H1(G,Zn).

Otrzymujemy

G′ =

⟨g11 g12 g12 0g21 −1− g23 g23 0g21 g23 −1− g23 00 0 0 1

,

1 0 0 00 1− g′23 g′23 g′24

0 g′23 1− g′23 −g′24

0 g′42 −g′42 g′44

⟩



0 6= v ∈ 12Zk/Zk, k = deg(g23). Mamyg11 g12 g12 0g21 −1− g23 g23 0g21 g23 −1− g23 00 0 0 1

0vv0

=

2v− v− v0

1 0 0 00 1− g′23 g′23 g′24

0 g′23 1− g′23 −g′24

0 g′42 −g′42 g′44

0vv0

=

0vv0

Otrzymujemy

H1(G′,Zn) 6= 0⇒ H1(G,Zn) 6= 0.



0 6= v ∈ 12Zk/Zk, k = deg(g23). Mamyg11 g12 g12 0g21 −1− g23 g23 0g21 g23 −1− g23 00 0 0 1

0vv0

=

0vv0

1 0 0 00 1− g′23 g′23 g′24

0 g′23 1− g′23 −g′24

0 g′42 −g′42 g′44

0vv0

=

0vv0

Otrzymujemy

H1(G′,Zn) 6= 0⇒ H1(G,Zn) 6= 0.


Podsumowanie

Nie kazda grupe skonczona mozna zrealizowac jakocentralizator pewnej podgrupy GL(n,Z).Nie kazda grupe skonczona mozna zrealizowac jako podgrupeskonczonego centralizatora pewnej podgrupy GL(n,Z).Jezeli A5 da sie zrealizowac jako grupa automorfizmówzewnetrznych pewnej grupy Bieberbacha z trywialnymcentrum, to Nα \G nie zawiera elementów przemiennych z G.


Dziekuje za uwage!

O centralizatorach skonczonych podgrup GL(n,Z)

Documents

Transcript of O centralizatorach skonczonych podgrup GL(n,Z)