Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)

Wstępu do logiki i teorii mnogościSpis treści1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych..........................................22. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń......................................................................................23. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń........................................................................24. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady..................................................................................................................35. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.................................................................................................36. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady....................................37. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności............................................................................................................48. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki..................................................................................................................49. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady............................................................510. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.........................................................................611. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady................................................612. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych....713. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych........714. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady.........................................................................................................................................................................815. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady.........................916. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady...................................................................1017. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi................................................................................................................1018. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne......................................1119. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych...........................1120. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów................................................................................11

Strona nr 1


1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych.

Zdanie w sensie logicznym – zdanie oznajmujące, któremu w jednoznaczny sposób można przypisać ocenę prawdy lub fałszu.

Spójniki zdaniowe:• ¬ p - negacja („nie”),• p∧q – koniunkcja („i”),• p∨q – alternatywa („lub”),• p⇒q - implikacja („Jeżeli … to …”),• p⇔q - równoważność („… wtedy i tylko wtedy, gdy ...”).

Wartość logiczna zdań złożonych zależy jedynie od podstawowych zdań składowych.

2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń.

Tautologia (prawo rachunku zdań) - taki układ zdania złożonego, który jest zawsze prawdziwy, bez względu na wartość logiczną zdań składowych.

Przykłady:

• ¬¬p ⇔ p ,• ¬ p⇒q⇔ p∧¬q ,• p⇒q∧q⇒ r ⇔ p⇒ r .

3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń.

Reguła dowodzenia – elementarne ogniwo rozumowań dedukcyjnych.

Każda reguła dowodzenia jest tautologią. p1, p2, ... , pn

q⇔ p1∧ p2∧...∧pn⇒q

Przykłady:

• p , p⇒qq

,

• p⇒q ,q⇒rp⇒ r

,

• ¬q⇒¬ pp⇒q

,

• ¬ p⇒q∧¬q p

.

Strona nr 2


4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady.

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce na oznaczenie zwrotów „dla każdego”, „istnieje” i im podobnych.

Funkcja zdaniowa – wyrażenie zawierające zmienne wolne, która w wyniku związania się z kwantyfikatorami staje się zdaniem.

Przykład:

∀0∃N ∀nN∣an−g∣

5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.

¬∀x x ⇔∃x ¬x ¬∃x x ⇔ ∀x ¬x

Przykład:

¬∀n∈ℕ1n4⇔ ∃n∈ℕ1n≤4

6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady.

1. ∀ x∈X x ∧x ⇔ ∀x ∈X x ∧∀x∈ X x 2. ∀ x∈X x ∨∀x ∈X x ⇒∀x ∈X x ∨x

3. ∃x∈X x ∧x ⇒ ∃x ∈X x ∧∃x∈X x 4. ∃x∈X x ∨x ⇔ ∃x∈ X x ∨∃x∈X x

Przykład:

∀ x∈ℤ x0∨∀x∈ℤ x≤0⇒∀ x∈ℤx0∨ x≤0

Kontrprzykład:

∀ x∈ℤ x0∨x≤0⇒ ∀ x∈ℤ x0∨∀x ∈ℤ x≤0

Strona nr 3


7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności.

A⊂B⇔∀x x∈A⇒ x∈B A=B⇔ A⊂B∧B⊂A

A∩B=B∩AA∪B=B∪A A∩B∩C=A∩B∩C A∩B∪C = A∩B∪ A∩C

Działania uogólnione:∑i∈ I

Ai={x :∃i∈ I x ∈Ai } suma uogólniona∏i∈ I A i={x :∀ i∈ I x ∈A i} iloczyn uogólniony

X ∖∑i∈ I Ai⇔∏i∈ I X ∖ Ai X ∖∏i∈ I A i⇔∑i∈ I X ∖ Ai

8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.

Relacja – zależność pomiędzy dwoma bądź większą ilością elementów

DR={x ∈X :∃ y∈Y x , y ∈R } Dziedzina relacji

D−1R={y∈Y :∃x∈ X x , y ∈R } Przeciwdziedzina relacji

R−1={ y , x : x , y∈R} Relacja odwrotna

S° R={x , z :∃ y∈X x , y ∈R∧ y , z ∈S } Złożenie relacji

Przykłady:

• xRy⇔ y=2x ,• ASB⇔ A∩B≠∅

Strona nr 4


9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady.

• R jest zwrotna w X ⇔∀ x∈X xRx• R jest symetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy⇒ yRx• R jest przechodnia w X ⇔∀ x , y , z∈X xRy∧ yRz ⇒ xRz• R jest antysymetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy∧ yRx ⇒ x= y• R jest spójna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy∨ yRx• R jest asymetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy⇒¬ yRx • R jest przeciwzwrotna w X ⇔∀ x∈X ¬ xRx

Przykładowe wykresy relacji:

R jest relacją:– równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia,– porządkującą, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia,– liniowo porządkującą gdy jest relacją porządkującą i jest spójna.

Strona nr 5

Relacja zwrotna Relacja symetryczna

Relacja przechodnia

Relacja Antysymetryczna

Relacja spójna Relacja asymetryczna

Relacja przeciwzwrotna


10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.

R jest relacją równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia,

Przykłady:• xRy⇔∣x∣=∣y∣ ,• A SB⇔ A=B .

11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady.

[ x ] - klasa równoważności elementu x względem relacji R[ x ]={y∈X : xRy } (zbiór wszystkich elementów zbioru X równoważnych z x)

Gdy R jest relacją równoważnościową to:• ∀ x∈X [ x ]≠∅ ,• ∑x∈X

[ x ]=X ,• ∀ x , y∈X [ x ]∧[ y ]≠∅⇔[x ]=[ y ]⇔ xRy

X /R={[x ] : x∈X } - iloraz zbioru przez klasę równoważności R (dowolnemu podziałowi zbioru odpowiada pewna relacja równoważności).

Przykłady:• Kierunek na płaszczyźnie .

Weźmy lRm⇔l∥m - relacja równoległości prostych na płaszczyźnie.[ l ]={p : l∥p} - zbiór prostych równoległych do l (kierunek).Kierunkiem na płaszczyźnie określamy klasę równoważności tej prostej względem relacji równoległości.

• Wektor swobodny .Weźmy AB SCD⇔AB=CD - relacja równości wektorów.[AB ]={CD :AB=CD } - zbiór wektorów równych wektorowi ABWektorem swobodnym na płaszczyźnie nazywamy klasę równoważności ustalonego wektora względem relacji równości wektorów.

Strona nr 6


12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych.

Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych:ℕ - zbiór liczb naturalnych.

1. 0 jest liczbą naturalną.2. ' :ℕℕ ( n '=n1 ).3. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.4. ∀n∈ℕ∖{0}∃m∈ℕ m'=n .5. ∀m ,n∈ℕm'=n '⇒m=n 6. A⊂ℕ∧0∈A∧∀n∈ℕn∈A⇒n '∈A⇒ A=ℕ

Zasada indukcji matematycznej:

A⊂ℕ∧k 0∈A∧∀n≥k 0n∈A⇒n1∈A⇒ A=ℕ

Przykłady:

• 1222...n2=n n12n1

6 ,

• 10∣34n2 .

13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych.

Zbiór liczb całkowitych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb naturalnych, zdefiniowanej następująco:a ,b R c ,d ⇔ad=bc ,gdzie a , b , c , d∈ℕ(liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu).

Przykłady:Liczbę 2 można skonstruować jako zbiór {2,0 , 3,1 ,4,2 ,}Liczbę -3 można skonstruować jako zbiór {1,4 ,2,5 ,3,6 ,}

Zbiór liczb wymiernych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb całkowitych, zdefiniowanej następująco: p , r R q , s ⇔ p⋅s=r⋅q , gdzie p ,q∈ℤ∧r , s∈ℤ∖ {0}(liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą).

Przykłady:

Liczbę12 można skonstruować jako zbiór { ,−1,−2 , 1,2 ,2,4 ,}

Strona nr 7


14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady.

Definicja funkcji:Relacja f ⊂X ×Y jest funkcją jeżeli:

1. D f =X .2. D f

−1⊂Y3. ∀ x , y1∧x , y2

xfy1∧xfy2⇒ y1= y2

xfy= f x

Funkcja jest iniekcją, gdy ∀ x1, x2∈X f x1= f x2⇒ x1= x2 .

Przykład: f x =xKontrprzykład: f x =∣x∣

Funkcja jest suriekcją, gdy ∀ y∈Y ∃x∈ X f x = y .

Przykład: f x =x 2 , gdy f :ℝ [0,∞ Kontrprzykład: f x =x 2 , gdy f :ℝℝ

Funkcja jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.

Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca lub malejąca.

Strona nr 8


15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady.

Obraz zbioru przez funkcję to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów branych z danego zbioru.f : X YA⊂Xf A={ f x : x ∈A }

f A∩B⊂ f A∩ f Bf A∪B= f A∪ f Bf A∖ f B ⊂ f A ∖ B

Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję to zbiór tych elementów z dziedziny funkcji, które funkcja przeprowadza na elementy danego zbioru.f : X YB⊂Yf −1 B={x∈D f : f x ∈B}

f −1A∩B= f −1 A∩ f −1Bf −1A∪B= f −1 A∪ f −1Bf −1A ∖ B= f −1 A ∖ f −1B

Funkcja odwrotna:

Funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej. Funkcja jest odwracalna, gdy jest bijekcją (iniekcją i suriekcją).f −1 x :Y X

Złożenie funkcji:

f : X Y ∧g :Y Z ⇒ f °g : X Z f °g x = f g x

Przykład:

•

f x =2x1g x =x 2

f °g x = f g x = f x2=2x21g ° f x =g f x =g 2x1=2x12=4x24x1

Strona nr 9


16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady.

Relacja jest porządkująca, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

Przykład:

• xRy⇔ x≤ y ,• x1, y2S x 2, y2⇔ [x1≤ x2∧ y1≤ y2] .

Kontrprzykład:

• xRy⇔ x y ,• x1, y2S x 2, y2⇔ [x1 x2∧ y1 y2] .

Relacja jest liniowo porządkująca, gdy jest relacją porządkująca i jest spójna.

Przykład:

• x1, y2T x 2, y2⇔x 1x 2∨[ x1=x 2∧ y1≤ y2 ] .Kontrprzykład:

• x1, y2T x 2, y2⇔x 1x 2 .

17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi.

Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych:R⊂A×A• x 0∈A jest największy w A ⇔∀ x∈A xRx 0 ,• x 0∈A jest najmniejszy w A ⇔∀ x∈A x 0 Rx ,• x 0∈A jest elementem maksymalnym w A ⇔∀ x∈A x 0 Rx⇒ x0=x ,• x 0∈A jest elementem minimalnym w A ⇔∀ x∈A xRx 0⇒ x0=x .

Związki pomiędzy elementami specjalnymi:1. W zbiorze uporządkowanym każdy element największy (najmniejszy) jest elementem

maksymalnym (minimalnym).2. W zbiorze uporządkowanym może istnieć co najwyżej jeden element największy (najmniejszy).3. Gdy w zbiorze liniowo uporządkowanym element x 0 jest maksymalny (minimalny), to jest

największy (najmniejszy) .

Przykład:

• A= {1,2 ,3 , ...,7 }xRy⇔ x≤ y

element największy (i zarazem maksymalny) to x 0=7 , bo ∀ x∈A x≤7 .element najmniejszy (i zarazem minimalny) to x 0=1 , bo ∀ x∈A 1≤ x .

Strona nr 10


18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne.

Zbiory A i B są równoliczne (co zapisujemy jako A~B), jeśli istnieje f : AB bijekcja.

Relacja równoliczności jest jest równoważnościowa.

Przykład zbiorów równolicznych:A={a1, a2, a3, ... , an}B={b1, b2, b3, ... , bn}

Przykład zbiorów nierównolicznych:A={a1, a2, a3, ... , an}B={b1, b2, b3, ... , bm }

dla m≠n

A - moc zbioru A (ilość elementów w zbiorze)A=B⇔ A~B

A=ℵ0⇔ A~ℕ (Istnieje f :ℕ A )

19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych.

Zbiór jest przeliczalny, jeśli jest skończony lub A~ℕZbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego można ustawić w ciąg – "wypisać je po kolei".

Własności zbiorów przeliczalnych:• podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. • suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. • iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Przykłady:• 2ℕ ,• ℤ .

20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów.

Zbiór X jest mocy continuum, jeśli X jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

A=C⇔ A~ℝ (Istnieje f :ℝ A )

Przykład:

• −2,

2 ( f x =arctan x ).

Strona nr 11

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

Education

Transcript of Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej