Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej

Notatki do egzaminu z Algebry LiniowejGrupyDef. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem *, spełniający własności:

1) ∀x , y , z∈G

x∗y∗z=x∗y∗z

2) ∃e ∀x∈Gx∗e=e∗x=x

3) ∀x∈G

∃x−1∈G

x∗x−1=x−1

∗x=e

Jeśli działanie * jest przemienne, to grupę (G,*) nazywamy abelową.

Tw. Niech (G,*,e). Jeżeli a ,b∈G to:1) ab−1

=b−1∗a−1

2) a−1−1=a

3) równanie a∗x=b ma dokładnie jedno rozwiązanie4) równanie x∗a=b ma dokładnie jedno rozwiązanie5) element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie6) element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie7) a∗b=c∗b⇒a=c8) a∗b=a∗c⇒b=c

Tw. Niech G będzie grupą i a∈G . Jeżeli m ,n∈ℤ to:1) amn

=am⋅an

2) am

n=amn

3) amn=anm

Def. ∅≠H⊂G Nazywamy podgrupą grupy G, jeżeli H ,⋅∣H×H , e jest grupą. Jeżeli H jest podgrupą grupy G to piszemy H<G.

Tw. ∅≠H jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy ∀a ,b∈H

a⋅b−1∈H

Tw. Jeżeli R jest rodziną podgrupy G, to ∏ R też jest podgrupą G.

Def. Jeżeli A⊂G , to najmniejszą w sensie inkluzji podgrupę grupy G zawierającą A oznaczamy symbolem <A> i nazywamy grupą generowaną przez zbiór A.

Tw. Niech ∅≠A będzie podzbiorem G. Wówczas:

⟨A⟩={a1k1 , ... , an

kn : a1, ... , an∈A∧k1, ... , kn∈ℤ∧n∈ℕ}Def. Grupę G nazywamy grupą cykliczną, jeżeli istnieje a∈G , że ⟨{a}⟩=G

• Wniosek: Jeśli G jest grupą cykliczną, to istnieje a∈G , że G={an : n∈ℤ}

Tw. Każda grupa cykliczna jest abelowa.

Def. Rzędem grupy G nazywamy liczbę porządkową cardG i oznaczamy symbolem ∣G∣

Def. Rzędem elementu a∈G nazywamy liczbę card ⟨ {a}⟩ i oznaczamy symbolem ∣a∣

Tw. Jeżeli a∈G to ∣a∣=min {n∈N : an=e} .

Def. Niech G będzie grupą. Warstwą prawostronną (lewostronną) grupy G względem podgrupy H i elementu a nazywamy zbiór:

Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

http://piotr.szlagor.net/

Ha={ha∧h∈A} ( aH={ah∧h∈A} )

Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a∈G . Wówczas:1) ∣H∣=∣aH∣=∣Ha∣2) aH∩bH=∅∨aH=bH ( Ha∩Hb=∅∨Ha=Hb )

Def. Niech G będzie grupą i H<G. Indeksem grupy G względem podgrupy H nazywamy liczbę warstw lewostronnych grupy G względem grupy H i oznaczamy symbolem [G:H]

Tw. Lagrange'aNiech G będzie grupą i niech H<G. Wówczas:∣G∣=∣H∣⋅[G : H ]

• Wniosek: Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.Def. Niech G ,⋅ i H ,∗ będą grupami. Wówczas:1) Homomorfizmem grup G i H nazywamy takie przekształcenie, że:∀

x , y∈Gx⋅y =x ∗y

Zbiór homomorfizmów grup G i H oznaczamy Hom(G,H).2) Monomorfizmem nazywamy różnowartościowy homomorfizm.3) Epimorfizmem nazywamy homomorfizm przekształcający grupę G „na” H.4) Izomorfizmem nazywamy monomorfizm będący epimorfizmem.5) Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy G w G. Zbiór endomorfizmów grupy G oznaczamy symbolem End(G).6) Automorfizmem nazywamy endomorfizm będący izomorfizmem. Zbiór automorfizmów grupy G oznaczamy symbolem Aut(G).

Def. Grupy G i H są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm :GH . Grupy izomorficzne oznaczamy: G≃H .

Tw. Niech G,H i L będą grupami. Wówczas:1) G≃G2) G≃L⇔L≃G3) G≃L∧L≃H ⇔G≃H

Def. Niech :GH będzie homomorfizmem grupy G i H. Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór Ker :={x∈G :x =e} (e jest elementem neutralnym w grupie H).

Def. Niech :GH będzie homomorfizmem grupy G i H. Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór Img :={x : x∈G}={y∈H : ∃

x∈Gy=x }

Tw. Niech :GH będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas:1) KerG2) ImgH

Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a∈G . Wówczas następujące warunki są równoważne:1) aH=Ha2) aHa−1

=H

3) ∀h∈H

aha−1∈H

Def. Niech G będzie grupą i H<G. Podgrupę H nazywamy dzielnikiem naturalnym G, jeżeli aH=Ha zachodzi dla każdego a∈G i oznaczamy H◁G.

Tw. Niech :GH będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas Ker◁G .



Def. Niech G będzie grupą i H◁G. W zbiorze G/H wprowadzamy działanie mnożenia warstw:aH ⋅bH =ab⋅H

Tw. Zbiór G/H z działaniem mnożenia jest grupą.

Tw. Zasadnicze twierdzenie teorii grupJeżeli :GH będzie homomorfizmem grupy G i H, to G /Ker≃G

• Wniosek: Każda grupa cykliczna jest izomorficzna z ℤ , lub ℤn ,n dla pewnego n∈ℕ

Def. Niech G będzie grupą i a∈GZbiór Ca :={x∈G :ax=xa} nazywamy zbiorem elementów przemiennych z elementem a.

Zbiór Cg :={a∈G : ∀x∈G

ax=xa} nazywamy centrum grupy.

Tw. Niech G będzie grupą1) Cg◁G2) Cg=G⇔ grupa jest abelowa

Def. Niech G będzie grupą i x , y∈G . Komutatorem elementów x i y nazywamy element:[ x , y] :=x−1 y−1 xy

Kumutant grupy nazywamy zbiór:KG=⟨{[x , y] : x , y∈G}⟩

Tw. Niech G będzie grupą. Wówczas:1) Kg◁G2) G jest abelowa ⇔Kg={e}3) Grupa ilorazowa G/Kg jest abelowa4) H◁G i G/H jest grupą abelową, to Kg<H

Tw. Niech G1,⋅1, e1 , ... ,G n ,⋅n , en będą grupami. Wówczas zbiór G1×...×Gn z działaniem⋅:G1×...×G n×G1×...×GnG1×...×Gn danym wzorema1,... an×b1, ... bn:=a1⋅1 b1, ...an⋅n bn jest grupą.

Def. Grupę G1 z działaniem określonym powyżej nazywamy grupą produktową lub sumą prostą.

Tw. Podstawowe twierdzenie grup abelowychKażda grupa abelowa generowana przez skończenie wiele elementów jest grupą produktową grup cyklicznych.

Def. Niech X≠∅ . f : XX Jest permutacją zbioru X jeśli f jest różnowartościowa i „na”.Zbiór permutacji zbioru X oznaczamy S(X)

S X ={ f : X X : f jest bijekcją}

Tw. Zbiór S(X) z działaniem składania funkcji jest grupą.

Tw. Jeżeli cardX=cardY, to S X ≃S Y

Def. Jeżeli n∈ℕ , to symbolem Sn oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,...,n}.

Tw. Dla każdego n∈ℕ mamy:1) ∣Sn∣=n !2) Sn jest abelowa ⇔n∈{1,2 }

Def. Permutację G∈S n nazywamy permutacją cykliczną (kcyklem), jeżeli istnieje takie



{a1, a2, ... , an}∈{1,2 , ... , n } , że: a1=a2 ,a2=a3 ,... ,ak =a1 oraz a=a dlaa∈{a , ... , n}∖{a1,... , an}

Tw. Każdą permutację można przedstawić jako złożenie permutacji cyklicznych.

Tw. CayleyaKażda grupa G jest podgrupą grupy pewnych permutacji

PierścienieDef. Niech ,⋅ będą działaniami na zbiorze A. Trójkę A , ,⋅ nazywamy strukturą dwudziałaniową.

Def. Niech A , ,⋅ będzie strukturą dwudziałaniową. Mówimy, że ⋅ jest rozdzielne względem +, jeżeli dla wszelkich x , y , z∈A mamy:

x⋅yz= xyxz i yz⋅x=yxzx

Def. A , ,⋅ Jest pierścieniem, jeżeli:1) A , jest grupą (abelową)2) Działanie ⋅ jest łączne3) Działanie ⋅ jest rozdzielne względem +4) Jeżeli ⋅ ma element neutralny, to pierścień nazywamy pierścieniem z jednością.5) Jeżeli ⋅ jest przemienne, to pierścień A jest przemienny.

Def. a≠∅ Pierścienia A , ,⋅ nazywamy lewostronnym dzielnikiem zera, jeżeli dla b≠∅zachodz a⋅b=0 . Analogicznie z prawostronnym dzielnikiem zera.

Tw. Niech P , ,⋅ będzie pierścieniem bez dzielników zera. Wówczas dla wszelkich dla wszelkichx∈P ∖{0 }∧y , z∈P

1) xy=xz⇒ y=z2) yx=zx⇒ y=z

Def. Element a pierścienia P , ,⋅ z jednością nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki element a−1∈P , że aa−1

=a−1 a=eZbiór elementów odwracalnych tego pierścienia oznaczamy P*.

Tw. Jeżeli P , ,⋅ jest pierścieniem z jednością, to zbiór wszystkich elementów odwracalnychP∗ ,⋅ jest grupą.

Def. Niech P , ,⋅ będzie pierścieniem. Podzbiór L⊂P nazywamy podpierścieniem pierścienia P, jeżeli L ,∣L×L ,⋅∣L×L jest pierścieniem.

Tw. Niepusty podzbiór L pierścienia P , ,⋅ jest podpierścieniem, gdy ∀a ,b∈L

a−b∈L∧a⋅b∈L

Tw. Jeżeli R jest niepustą rodziną podpierścieni P , ,⋅ , to jej przekrój też jest podpierścieniem P.

Def. Niech A będzie podzbiorem pierścienia P. Najmniejszy podpierścień pierścienia P zawierający wszystkie elementy zbioru A nazywamy podpierścieniem generowanym przez grupę A i oznaczamy go symbolem [A].

Tw. Jeżeli A jest podzbiorem pierścienia P to:

[A]={∑i=1

n

∏j=1

k j

a ij−∑p=1

n

∏q=1

lq

b pq : aij , b pq∈A∧n ,m , k , j∈ℕ0}

Def. Niech P , ,⋅ i R ,× ,∗ będą pierścieniami. Odwzorowanie : PR nazywamy



homomorfizmem, jeżeli xy = x×y i x⋅y=x ∗y .Monomorfizmem, jeżeli jest różnowartościowym homomorfizmem.Epimorfizmem, jeżeli P =R i jest homomorfizmem.Izomorfizmem, jeżeli jest monomorfizmem i epimorfizmem.Endomorfizmem, jeżeli jest homomorfizmem i P=RAutomorfizmem, jeżeli jest izomorfizmem i P=R.

Def. Pierścienie P i R są izomorficzne (piszemy P≃R ) jeżeli istnieje izomorfizm : PR .

Tw. Niech P,R,L będą pierścieniami. Wówczas:1) P≃P2) P≃R⇒ R≃P3) P≃R∧R≃L⇒P≃L

Przykład:Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością e. Rozważmy zbiór Pℕ

Pℕ={a0, a1, a2, ...:a0, a1, a2,...∈P} W zbiorze P wprowadzamy działania dodawania i mnożenia1) a0, a1, a2, ...b0, b1, b2, ...=a0b0 , a1b1 , a2a2 ,...

2) a0, a1, a2, ...⋅b0, b1, b2,...=c0 , c1 , c2 , ... , gdzie cn=∑i=0

k

a i bk−i , k∈ℕ

Zbiór z działaniami dodawania i mnożenia jest pierścieniem przemiennym z jednością (e,0,0,...).Połóżmy X :=0, e ,0 ,0 ,...∈Pℕ . Wówczas X n

=0, ...,0 , e ,0 ,...∈Pℕ , gdzie e poprzedza n zer.

Ustalmy =a0, a1, ... . Wówczas dostaniemy, że =∑n=0

∞

an ,0 , ...X n. Przyjmując oznaczenie,

an :=an ,0 ,... dostaniemy, że =∑n=0

∞

an X n.

Zbior Pℕ z działaniami dodawania i mnożenia nazywamy pierścieniem wielomianów formalnych i oznaczamy P[[x]]

Def. Niech P będzie pierścieniem. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, jeżeli:

1) ∀a ,b∈I

a−b ∈I

2) ∀a∈I∧x∈P

ax∈I∧xa∈I

Ideał pierścienia P oznaczamy I◁P

Def. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem głównym, jeżeli istnieje element a∈P , że I=aP .

Tw. Przekrój niepustej rodziny ideałów pierścienia P jest ideałem tego pierścienia.

Def. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia. Najmniejszym w sensie inkluzji ideałem pierścienia P zawierającym wszystkie elementy zbioru A nazywamy ideałem generowanym przez A i oznaczamy (A).

Tw. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas

A={∑i=1

n

x i ai y i : a1 ,... , an∈A∧x1 ,... , x n , y1 , ... , yn∈P , n∈ℕ}

Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Mówimy, że element a∈P przystaje do elementu b∈Pmodulo I i piszemy a=b (mod I) jeżeli a−b∈P .Relację przystawania modulo I nazywamy kongruencją.

Tw. Załóżmy, że I jest ideałem pierścienia P i liczby a ,b , c , d∈P . Wówczas:



a) a=amod I b) a=bmod I ⇒b=a mod I c) a=b mod I ∧b=c mod I ⇒a=c mod I d) a=b mod I ∧c=d mod I ⇒ac=bd mod I ⇒ac=bd mod I

• Wniosek: Jeżeli I jest ideałem pierścienia P, to relacja kongruencji jest relacją równoważnościową, a jej klasy abstrakcji są postaci:

aI :={ab :b∈I } , gdzie a∈P i nazywamy je warstwami pierścienia P.

Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. W zbiorze P/ I wprowadzamy działania dodawania + i mnożenia * wzorami:aI bI :=ab IaI ∗bI :=ab I

Tw. Zbiór P/ I z działaniami +,* określonymi w definicji powyżej jest pierścieniem.

Def. Niech P i L będą pierścieniami i niech : PL będzie homomorfizmem. Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór:Ker={x∈P :x =0}=−1

{0 }

Tw. Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie pierścieniNiech P i R będą pierścieniami i niech : PL będzie epimorfizmem. Wówczas:a) Ker jest ideałem.b) P/Ker≈L

Def. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, jeśli I≠P oraz∀

a ,b∈Pab∈I⇒a∈I∨b∈I

Tw. Niech I≠P będzie ideałem pierścienia P. Wówczas I jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie zawiera dzielników zera.

Def. Ideał I pierścienia P nazywamy właściwym, jeżeli {0}≠I≠P .

Def. Ideał I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jest ideałem właściwym, oraz nie zawiera się w różnym od samego siebie ideale właściwym pierścienia P.

Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy ciałem, jeżeliP∗=P /{0 } .

Tw. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy jest ciałem, gdy nie zawiera ideałów właściwych.

Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Jeżeli P zawiera ideał właściwy, to zawiera też ideał maksymalny.

• Wniosek: Niech P będzie pierścieniem przemiennym i P/P∗≠{0 } . WówczasP/P∗=∑ {I : I jest ideałem maksymalnym w P }

Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy całkowitym, jeżeli nie zawiera dzielników zera.

Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy lokalnym, jeżeli zawiera on dokładnie jeden ideał maksymalny.

Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym jednocześnie zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas:a) Pierścień jest lokalny.



b) P/P∗ jest ideałem pierścienia P.c) Istnieje taki ideał maksymalny I, że eI∈P∗

Konstrukcja pierścienia ułamkówNiech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością i niech S⊂P/{0} będzie zbiorem, że e∈S ,

S⋅S⊂S i S nie ma dzielników zera.W zbiorze P×S wprowadzamy relację równoważności wzorem:a ,b~c ,d :⇔ad=bc

Symbolem S−1⋅P oznaczamy zbiór wszystkich klas abstrakcji [a ,b] relacji ~.

W zbiorze S−1⋅P wprowadzamy działania +, ⠂wzorami:

[a ,b][b , c]=[adbc ,bd ][a ,b]⋅[b , c ]=[ac , bd ]

Odtąd: [a , b]=ab

Tw. Skonstruowany wcześniej zbiór S−1⋅P z wprowadzonymi działaniami jest pierścieniem

przemiennym z jednością.[0, e] element neutralny dodawania[e , e] element neutralny mnożenia−[a , b]=[−a , b] element przeciwny

• Wniosek: Każdy pierścień całkowity, że P/P∗≠{0 } jest podpierścieniem pewnego pierścienia lokalnego

• Wniosek: Każdy pierścień całkowity jest podpierścieniem pewnego ciała (to ciało jest nazywane ciałem ułamków prostych pierścienia całkowitego).

Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy, nazywamy netherowskim, gdy każdy niepusty zbiór ideałów pierścienia P zawiera ideał maksymalny w sensie inkluzji.

Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas następujące warunki są równoważne:1) P jest netherowski.2) Jeżeli Pn jest wstępującym, ciągłym ideałem pierścienia P, to istnieje takie n0∈ℕ , że I n0

=I n dlan≥n0

3) Każdy ideał I w pierścieniu P ma skończony zbiór generatorów.

Tw. Załóżmy, że P jest pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/ I jest ciałem

• Wniosek: W każdym pierścieniu przemiennym z jednością, który zawiera co najmniej dwa elementy, ideały maksymalne są ideałami właściwymi.



Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej

Education

Transcript of Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej