nierównościRozwiązywanie

w których po jednej stronie jest iloczyn

a po drugiej zero.lub iloraz funkcji liniowych,

Postaraj się przewidziećco pojawi się w następnym polu tekstowym.

Czy nierówność

Wszyscy uczniowie zgodnym chórem odpowiedzą :

0)2)(1)(5( xxxuczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ?

może rozwiązać

nie.

Wszyscy licealiści z poczuciem wyższości stwierdzą, dopiero w 2-giej klacie

liceum.

Niestety, często uczniowie ze szkoły podstawowej zwracając się

słyszą, umiem rozwiązać to zadanie,ale nie na twoim poziomie.Niestety, starsi nie umieją, albo zapomnieli prostych,

Pokazując rozwiązanie będą konstruować tabelkę,lub kreślić jakąś krzywą.

Na pytanie, dlaczego buduje taką tabelkę,czy co ta krzywa prezentuje,

bądź usłyszymy, „ bo tak się uczyłem ”.

do starszych o pomoc przy rozwiązaniu zadania,

odpowiedzi najczęściej brak,

arytmetycznych sposobów rozwiązywania wielu zadań.W szkole uczymy się na ogół sztuczek potrzebnych do

rozwiązywania zadań.Hokus, pokus i wyciągamy królika z kapelusza.

Nic dziwnego, że na tych którzy umieją matematykę, większość społeczeństwa patrzy jak na iluzjonistów.

tą nierówność rozwiążesz

Często brakuje nam wiary w siebie, wiary, że nasze umiejętności

Uczniowie nie potrafią wykorzystać swojej wiedzy, bo

Fakt, że nie potrafię, nie oznacza, że nie mam wiedzy, aby problem rozwiązać.

wykonania zadania.

nie są tego uczeni.Jest to wynikiem nieskutecznego sposobu nauczania matematyki

Warto zwrócić uwagę na pytanie, które brzmi: „ czy może rozwiązać ? ”, a nie„ czy potrafi rozwiązać ? ”

Prawidłowa odpowiedź brzmi : może, a bardzo dobry uczeń

na dwa sposoby.

Zatem, czy nierówność

0)2)(1)(5( xxxuczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ?

może rozwiązać

powinien rozwiązać tą nierówność i to

i wiedza wystarczą do

i nie tylko matematyki, ale obecnegosystemu nauczania i

wychowania.Aby rozwiązać nierówność wystarczy wiedzieć :

1 . kiedy iloczyn jest ujemny ?2 . jak określić znaki czynników ?

0)2)(1)(5( xxx

możliwości,

iloczyn jest ujemny, gdy

Korzystając z tego twierdzenia wnosimy, że nasz iloczyn,

1 . kiedy iloczyn jest ujemny ?

nie od razu dają odpowiedź :

Czynniki dodatnie nie wpływają ……

i żaden nie jest zerem.

Wniosek : na znak iloczynu.

Stąd nasza nierówność

lub wszystkie trzy czynniki są ujemne.

Aby wszystko było jasne i zrozumiałe, należy precyzyjnie

Choć odpowiedź jest prosta dla uczniów kl. VI-tej, licealiści ,

ujemnych

jest ujemny, gdy ma dokładnie jeden czynnik

ujemny( pozostałe dodatnie),

)2)(1)(5( xxx

jest równoważna alternatywie

0)2)(1)(5( xxx

rozumieć znaczenie spójników logicznych i , lub.Spójniki te, wtedy będziemy poprawnie stosować,

i ------- równocześnie

lub --- zachodzi ( spełniony jest ) przynajmniej jeden warunek.

gdy będziemy kojarzyć je z następującymi słowami :

ma nieparzystą ilość czynników

układów nierówności.

Znak którego z czynników określimy natychmiast ?Oczywiście , o ile wiemy kiedy różnica jest

ujemna.x1

O ile odpowiedź w tym konkretnym przypadkuto odpowiedź w przypadku ogólnym,

choć, wiedzieli o tym w szkole podstawowej.

ba

Jaką usłyszymy odpowiedź od pierwszoklasisty, gdydamy mu do wykonania odejmowanie ?95 Nie da się od mniejszej liczby odjąć większą.

Czy jest ono poprawne ?

Często można usłyszeć narzucającą się określenie ba

2. jak określić znaki czynników ?

)2)(1)(5( xxx

kiedynie sprawia kłopotu, przysparza trudności

licealistom,

Skorzystajmy z okazji i przypomnijmy kilka pojęć z arytmetyki.

Odpowiedź w klasach początkowych jest poprawna.Ale na wyższym etapie edukacji matematycznej,

należy zapytać : „ co oznacza, że a jest mniejsze od b ?”

0 baNie i to z dwu powodów.

Po pierwsze, mniejszość wyjaśniamy za pomocą mniejszości,( przysłowiowe masło maślane ).

Po drugie, czy jest to wyjaśnienie, skoro uczeńpoczątkowych klas podstawowej, nie znaliczb ujemnych.

Trzeba wrócić do naturalnej interpretacji mniejszości,

ba istnieje liczba dodatnia c, taka, że bca

( mniejsze, to trzeba dołożyć ).

Warto by teraz dowieść znane własności nierówności.

Do rozwiązania naszej nierówności, przypomnijmy jeszczewłasność odejmowania :

)( baba aby odjąć można dodać liczbę przeciwną.

Wróćmy do rozwiązywania nierówności

0])2([)1(])5([ xxx

przez ucznia szkoły podstawowej.

Dla wygodnego określania znaków czynników, napiszmy je

w postaci różnic

0)2)(1)(5( xxx

Teraz widać kiedy czynniki są ujemne,i łatwo wyznaczyć znak iloczynu dla liczby np. .

3

7

))2()(1)()5(( xxxGdy do iloczynu3

7xza podstawimy

to pierwszy czynnik jest dodatni, bo

drugi czynnik też dodatni, bo

i trzeci ujemny, bo

)5(x

x1)2(x

53

7

23

7

3

71

i liczba spełnia nierówność,3

7

czyli jest rozwiązaniem nierówności.

Jak znaleźć wszystkie rozwiązania ?

Oczywiście, nie będziemy postępować jak wyżej.

Od czego zależą znaki czynników ?)2(,1,)5( xxx

Od tego, czy są mniejsze, czy większe od .2,1,5 Aby „ widzieć ” jakie liczby rozpatrywać, zaznaczmy

liczby na osi liczbowej.2,1,5

5 12x

Teraz każdy powie, że należy rozważyć liczby z czterech wyróżnionych przedziałów.

Zatem iloczyn jest ujemny

])2([)1(])5([ xxxo znakach czynników ( różnic )

).,1()2,5(

Jak bez gadaniny, bez długiego zapisu słownego, krótko zaznaczyć symbolicznie nasze spostrzeżenie,

w poszczególnych przedziałach.

Ustalmy znaki różnic dla zielonych liczb ( mniejszych od 5 )

Należy bacznie uważać, czy odejmujemy mniejszą liczbęod większej, czy odwrotnie.

I mamy rozwiązanie nierówności 0)2)(1)(5( xxx

Rozwiązaniem jest każda liczba z

Jak widać do rozwiązania tej nierówności wystarczyła wiedzaz arytmetyki na poziomie szkoły podstawowej.

Czy ten proces można by uprościć ?Kiedy to rozwiązanie sprawiało trochę kłopotu ?

Przy ustalaniu znaków czynników.

5 12x_

++_++

+ ++_

_

+

pierwszy czynnik

drugi czynniktrzeci czynnik

)5(x

x1)2(x

Iloczyn ujemny

Jak ustalać znaki iloczynu ])2([)1(])5([ xxxmechanicznie, bez zbytniego zastanawiania się.

W przypadku którego czynnika mogły być zawahania ?

Oczywiście, chodzi o wyrażenie .)1( xJak go zatem przedstawić ? )1( x

Teraz ustalanie znaków czynników ])2([)1(])5()[1( xxxjest zupełnie proste.

Pierwszy czynnik, zwany współczynnikiem liczbowym jest ujemny.Znaki pozostałych łatwo wyznaczamy.

I jeszcze jedno usprawnienie,Dobrze by było gdyby czynniki były w takiej kolejności

jak ich miejsca zerowe. 0)1(])2([])5()[1( xxx

Widać regułę w określaniu znaków czynników.Proste ?Mamy odpowiedź :

).,1()2,5( Rozwiązaniem jest każda liczba z

)1( x

5 12x_

___

++++__ +

+

)5(x

1x

)2(x

Iloczyn łącznie z -1 ujemny

Czy tą nierówność można inaczej rozwiązać ?

0)2)(1)(5( xxx

Pomysłów może być kilka.Oto techniczny zapis, ciut inny od poprzedniego rozwiązania :

0)1)(2)(5( xxx

).,1()2,5( Rozwiązaniem jest każda liczba z

Widzimy rozwiązanie nierówności za pomocą tabelki.

Inny techniczny pomysł oparty na obu rozwiązaniach,a raczej na ostatnim fragmencie , ostatniej linijce rozwiązania.

To oś i ostatnia zmodyfikowana linijka tabelki, którą możnaja nazywam „ krzywą znaków ”.

Jak ją kreślić bez tabelki omówimy w prezentacji@ Równania, nierówności wielomianowe. @

5 12x_

___

+_

+++

_ ++

5x2x1x

x

0

0

0

0

0

0

_+

_+

Ustalajmy znaki w kolejnych przedziałach

Iloczyn wraz zewspółczynnikiem liczbowym

5 12x

+ +_ _

Zanim przejdziemy do rozwiązania nierównościprzez gimnazjalistów, zaproponuję rozwiązać nierówność

0)2)(1)(5( xxx

0)2()1)(5( 32 xxx

Licealiści zdziwią się, że i z tą nierównością poradzą sobienawet uczniowie szkoły podstawowej.

W szóstej klasie wszyscy wiedzą, że kwadrat liczby jest liczbą

Rozwiązując jakiekolwiek nowe zadanie, zastanawiamy się,czy z takim lub podobnym mieliśmy już do czynienia.Na ogół udaje się nowe zadanie sprowadzić do znanego,Właśnie o to chodzi, czy nierówność

można sprowadzić do nierówności 0)2)(1)(5( xxxlub podobnej.Macie pomysł ?

dodatnią- fałsz, bzdura !lub równy zeru ( nieujemną ), .23 aaa

że czynnik dodatnioraz, żenie wpływa na znak iloczynu,

Czyli 0)2()1)(5( 32 xxx 0)2)(5( xx źle, błąd !Wyrzucony czynnik może być równy zero.

1 x

Dalej już wiadomo co robić.

0)2()1)(5( 32 xxx

Okazało się, że potrafimy rozwiązywać nierówności postaci 0)()()()( lkmn dxcxbxax

Opuściliśmy kwadraty

które już rozwiązywaliśmy.

0)2)(1)(5( xxx

Nierówność ta jest równoważna alternatywieczterech układów nierówności :

)020105( xxx ii )020105( xxx ii dti ..

5x

x 1x

1x 2x 5x 1x 2x

),1()2,5( xOdpowiedź :

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z ),1()2,5(

suma przedziałów

lub lub

Jak widać, do rozwiązania tej nierówności, nie była potrzebna

Jak nierówność rozwiążą ci, którzy chcą tylko pisać,rozwiązywać nierówności ?

Rozpiszą tą nierównośćliniowych nierówności.

za pomocą

wiedza, nawet na poziomie gimnazjum.

?

Jak gimnazjaliści zaproponują rozwiązać nierówność?0)2)(1)(5( xxx

Mają przewagę nad uczniami szkoły podstawowej, gdyż znająpojęcie funkcji liniowej, jej własności i wykres.

Sądzę, że wszyscy już wiedzą, bo tak rozwiązywaliśmy równaniai nierówności z wartościami bezwzględnymi.

Szkicujemy wykresy funkcji liniowych,ustalamy znaki funkcji w odpowiednich przedziałach i ….

mamy gotowe rozwiązanie.

).,1()2,5( Rozwiązaniem jest każda liczba z

Ten sposób rozwiązania jest ciekawy i wygodny do rozwiązaniakażdej nierówności postaci

0)()()()( xkxhxgxfgdy znamy ich wykresy.

5 12x+

+_

+ ++ + +

+

__

_

badamy znak iloczynu i

Warto zwrócić uwagę, że nie wykraczając poza programgimnazjum, potrafimy rozwiązać równania, którymi w szkole

spotykamy się dopiero w drugiej klasie liceum.

Umiemy rozwiązać równania postaci :

,0)12)(32)(3( xxx ,0)14)(34)(13( 2 xxx

,0)12)(2()52( 32 xxx

,016102 xx,09124 2 xx ,0793 2 xx

Czy damy radę rozwiązać równanie .01553 23 xxx

Jak na razie odpowiedź jest jedna ;jeżeli doprowadzimy równanie do postaci : 0)()()( xhxgxf

to rozwiążemy, jeżeli nie

Kto pamięta i opanował rozkład sumy na czynniki sposobemgrupowania, to zauważa, że jest szansa.

01553 23 xxx 0)3(5)3(2 xxx 0)5()3( 2xx

0)5)(5()3( xxx i tak dalej ……

to niestety, nie.

,01052 23 xxxRozwiązać nierówności :

01052 23 xxx )2(2 xx

()2( x 02x 2x

52 xbo zawsze dodatnie

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od 2.

.0)1(2 4 xx

.0)1(2 4 xx

*

* Ponieważ umówiliśmy się równaniai nierówności rozwiązywać metodą równań równoważnych

musimy zadbać o ich dziedzinę.W poprzednich przykładach nie badaliśmy dziedzin, bo zawszebyły one zbiorem liczb rzeczywistych ( na ogół taka umowa ).

Tym razem jest inaczej.

02: xD ),2 D,2x

0)1(2 4xxbo zawsze nieujemne2x

źle. błąd 2x

212 xx 21|| xx 211 xx 11 xbo zawsze dodatnie12 x

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z ).1,1( 1,1( x

0)2(5 x

0)52x

0)1)(1( 22 xx

Rozwiązujemy nierówności coraz bardziej skomplikowane.Jakkolwiek rozwiązujemy nierówności, z których nie spotkaliśmy

w gimnazjum, ale ciągle są to nierówności pewnych postaci.

Pokażmy jeszcze, że i te nierówności :

,0)12)(1(

12

xx

x,0

12

1

x

x,0

3

12

2

x

x.0

)12(12

12 2

xx

x

z którymi spotyka się licealista dopiero w drugiej klasie, a które potrafi rozwiązać gimnazjalista.

Czym te nierówności różnią się od poprzednich ?Oprócz postaci ( poprzednio iloczyny, a tu ilorazy ),

różnią się tylko dziedziną.Jeżeli uświadomimy sobie, że w klasie szóstej wiedzieliśmy,

iż reguły ustalanie znaków iloczynu i ilorazu,są takie same, to

Jak rozwiązywać te nierówności ?Tak jak poprzednio, trzeba wpierw tylko ustalić dziedzinę.

W tym momencie warto zauważyć, że każdy licealista, powyższe ilorazy, zamieni na iloczyny.

Po co ? Dlaczego ?Odpowiedzi na ogół brak, lub„ bo tak uczyliśmy się ”.

jesteśmy w domu.

Gdzie matematyka ?Gdzie uzasadnienie swoich tez, które jest nieodłączną

metodą postępowania w matematyce ?

Przyrodnik akceptuje rzeczywistość,matematyk żąda dowodu.

Pokażmy rozwiązanie dwu nierówności :

,0)12)(1(

12

xx

x

01: xD

.0)12(32

12 2

xx

x

0

)12)(1(

12

xx

x

* 1x }

2

1,1{\ RD

Trochę logiki ( prawa de Morgana ).

Poziom gimnazjum : wykresy funkcji liniowych

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z 2

1,

2

1()1,(

Uwaga na dziedzinę !

12

1

x

_

+_

_+

_+ +

+

_

_2

1

+

Iloraz ujemny

012x2

1x

0)12)(1(

12

xx

x

* }2

1,1{\ RD

za pomocą krzywej znaków

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z 2

1,

2

1()1,(

Widać, że dla dużych x-sów ( większych od ) wartości ilorazusą dodatnie, dlatego krzywą znaków kreślimy od końca

i od góry, na przemian przez miejsca zerowe.

2

1

Rozwiążmy tą nierówność jeszcze raz,

0

)12(32

12 2

xx

x

* 032x

2

3x

012

)2

1)(2

1(2

x

xx

}2

1{\),

2

3( x

}2

1{\),

2

3( D

bo zawsze dodatnie

32 x

12

1

x

2

1

:D 012x 2

1x

2

1

x

2

1

2

1

2

3

++

+++

_

+_

___

_

D

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z ),2

1()

2

1,

2

1(

Miejsca zeroweczynników„widać”

Iloraz dodatni

0)12(32

12 2

xx

x

* 012

)2

1)(2

1(2

x

xx

}2

1{\),

2

3Dza pomocą krzywej znaków.

Tak jak poprzednio, widać, że dla dużych x-sów ( większych od )są dodatnie, dlatego krzywą znaków

2

1

Rozwiążmy tą nierówność jeszcze raz,

wartości ilorazukreślimy od końcai od góry, na przemian przez miejsca zerowe.

0

)12(32

12 2

xx

x

Przy rozwiązywaniu dwu ostatnich nierówności z pomocąkrzywej znaków,

kreśliliśmy ją od końca i od góry,a w pierwszym ćwiczeniu ( slajd 10 ) od końca i z dołu.

2

1

x

2

1

2

1

2

3

D

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z ),2

1()

2

1,

2

1(

Miejsca zerowe

Należy ustalić, od czego to zależy ( krótkie wyjaśnienie było),i czy krzywa zawsze będzie przechodzić na przemian przez

kolejne miejsca zerowe.Odpowiedziami na te pytania zajmiemy się w prezentacji

@ Równania i nierówności wielomianowe. @.

Pomimo, że wykorzystywaliśmy podstawowe wiadomościo równaniach i nierównościach liniowych, potrafiliśmy

Stąd przed nami zadanie, by znaleźć dalsze sposoby zamiany

rozwiązywać nierówności o dosyć skomplikowanej postaci.

Ale są to takie równania, które za pomocą znanychwzorów z gimnazjum, potrafiliśmy przekształcić do postaci

Iloczynu lub ilorazu funkcji liniowych, bądź dzięki bystremu oku ( doświadczeniu ), zobaczyliśmy

za które podstawiającproste równanie.

sumy na iloczyn, zwany rozkładem sumy na czynniki.

W tej prezentacji odwoływałem się do sposobu grupowania, omawianego w drugiej klasie liceum, choć znają go gimnazjaliści.

nową niewiadomą otrzymaliśmy

powtarzające się wyrażenie,

@ Równania, nierówności kwadratowe. @

a rozwiązywane teraz nierówności, rozwiążemy jeszcze szybciej.

Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów.Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji

by po korekcie,

Z góry dziękuję.można było ją uznać za poprawną.

i przekazanie uwag,

belferwww.one.pl

Koniec prezentacji

tel. 14 690 87 61

Zapraszam

Przy okazji badania własności wielomianów, poznamy nowewzory i nowe twierdzenia pozwalające na rozkład wyrażeń

na czynniki.

Na razie w następnej prezentacji

wyznaczymy szybszą drogę rozwiązywani równań kwadratowych