Niepewność

Niepewność

Niepewność (przyszłe ceny, zdarzenia, choroba itp.)

Jakie są racjonalne sposoby radzenia sobie z niepewnością?

– ubezpieczenia (zdrowotne, na życie, samochodowe itp.)

– dywersyfikacja.

Stany natury Możliwe stany natury:

– “wypadek samochodowy” (a)– “brak wypadku” (na).

Pr. Wypadku = a, Pr. Braku wypadku=na ;

a + na = 1. Wypadek powoduje stratę $L.

Ubezpieczyciel wypłaca odszkodowanie jedynie kiedy wypadek miał miejsce (kontrakt warunkowy)

Konsumpcja uzależniona od przyszłych stanów, tj. konsumpcja warunkowa.

Warunkowe ograniczenie budżetowe Każda złotówka szkody (wypłaconego ubezpieczenia)

kosztuje . m – dochód konsumenta Cna – konsumpcja kiedy zdarzenie nie zachodzi Ca – konsumpcja kiedy wypadek ma miejsce

Warunkowe ograniczenie budżetowe

Cna

Ca

Warunkowe ograniczenie budżetoweCna

Ca

20

17

Warunkowa konsumpcja bez ubezpieczenia

Warunkowe ograniczenie budżetowe Konsumpcja bez ubezpieczenia, Ca = m - L Cna = m.


Cna

Ca

m Zasób początkowy

m L

Masz możliwość wykupienia ubezpieczenia. Jak będzie wyglądało warunkowe ograniczenie budżetowe?


Polisa ubezpieczeniowa o wartości $K Cna = m - K Ca = m - L - K + K = m - L + (1- )K

K = (Ca - m + L)/(1- ) Cna = m - (Ca - m + L)/(1- )

C m L Cna a

1 1


Cna

Ca


Który punkt jest optymalny?

C m L Cna a

1 1

slope1

m L

m L

Preferencje w warunkach niepewności

Loteria Możesz wygrać $90 z p=1/2 lub $0 z p= 1/2.

U($90) = 12, U($0) = 2.

Ile wynosi użyteczność oczekiwana? Ile wynosi wartość oczekiwana wygranej na

loterii?


EU U($90) U($0)

12

12

1212 1

22 7.

EM $90 $0 12

12

45$ .

Preferencje w warunkach niepewności EU = 7 i EM = $45.

U($45) > 7 $45 (woli wartość oczekiwaną z p=1 niż grę) niechętny ryzyku (awersja do ryzyka)

U($45) < 7 woli grę niż wartość oczekiwaną z p=1 lubi ryzyko

U($45) = 7 neutralny względem ryzyka


Dochód$0 $90

2

12

$45

EU=7


Dochód$0 $90

12U($45)

U($45) > EU awersja do ryzyka

2

EU=7

$45


Dochód$0 $90

12U($45)

U($45) > EU awersja do ryzyka

2

EU=7

$45

Malejąca krańcowa użyteczność dochodu!


Dochód$0 $90

12

2

EU=7

$45


Dochód$0 $90

12U($45) < EU lubi

ryzyko

2

EU=7

$45

U($45)


Dochód$0 $90

12U($45) < EU lubi

ryzyko

2

EU=7

$45

MU rośnie wraz ze wzrostem dochodu

U($45)


Dochód$0 $90

12

2

EU=7

$45


Dochód$0 $90

12U($45) = EU neutralny względem ryzyka

2

U($45)=EU=7

$45


Dochód$0 $90

12U($45) = EU neutralny

względem ryzyka

2

$45

MU stałe wraz ze wzrostem dochodu

U($45)=EU=7

Przykład 1

Zygmunt kocha ryzyko, jeżeli drużyna piłkarska, której kibicuje ma prawdopodobieństwo wygranej równe 0.5 i takie samo prawdopodobieństwo przegranej, to Zygmunt wolałby postawić raczej100 zł niż 10 zł?

Przykład 2Ronald ma $18 000. Zmuszony jest obstawić swój majątek na rzut monetą. Jeśli wygra – będzie miał $36000. Jeśli przegra – nie będzie miał nic.

Funkcja oczekiwanej użyteczności Ronalda to EU(x, y) = 0.5x0.5 + 0.5y0.5, gdzie x jest jego majątkiem jeśli wypadnie orzeł, a y jego majątkiem gdy wypadnie reszka.

Musząc grać, ma się tak samo dobrze, jak gdyby posiadał pewny majątek w jakiej wysokości?


Cna

Ca

EU1

EU2

EU3

EU1 < EU2 < EU3


c1 z p=1 i c2 z p= 2 (1 + 2 = 1). EU = 1U(c1) + 2U(c2). Dla stałego EU, dEU = 0

Ile wynosi MRS?

Preferencje w warunkach niepewnościEU U(c ) U(c )1 2 1 2

dcdc

MU(c )MU(c )

21

12

12

.

dEU MU(c )dc MU(c )dc1 1 2 2 1 2

dEU MU(c )dc MU(c )dc1 1 2 2 0 01 2

1 2MU(c )dc MU(c )dc1 1 2 2

Preferencje w warunkach niepewnościCna

Ca

EU1

EU2

EU3

EU1 < EU2 < EU3

dcdc

MU(c )MU(c )

naa

ana

ana

Optymalny wybór w warunkach niepewności

Optymalny wybór?

Warunkowy plan konsumpcji, który zapewnia najwyższy poziom użyteczności przy danym warunkowym ograniczeniu budżetowym.


Cna

Ca


C m L Cna a

1 1

Racjonalny wybór?slope1

m L

m L


Cna

Ca


Optymalny wybór?

Osiągalneplany

C m L Cna a

1 1

slope1

m L

m L

Warunkowe ograniczenie budżetoweCna

Ca

mOptymalny wybór

MRS = Nachyleniu ograniczenia budżetowego

m L

m L

1

ana

MU(c )MU(c )

ana

'Uczciwe' ubezpieczenie

Nie ma barier wejścia Oczekiwany ekonomiczny zysk= 0.

Zapisz zysk firmy ubezpieczeniowej

Ubezpieczenie 'uczciwe'

Brak barier wejścia Oczekiwany ekonomiczny zysk= 0. => K - aK - (1 - a)0 = ( - a)K = 0. = a. Koszt ubezpieczenia 1 zł szkody () =

pr. zdarzenia (a) => ubezpieczenie 'uczciwe'


m = 36 L= 11 a= 0.1 K – koszt ubezpieczenia o wartości K Ubezpieczenie jest 'uczciwe' Czy osoba z awersją (U(m)=m^0.5) do ryzyka

wykupi pełne ubezpieczenie? Czy osoba lubiąca ryzyko (U(m)=m^2) wykupi

pełne ubezpieczenie?


Jeżeli ubezpieczenie jest 'uczciwe', to optymalny wybór spełnia warunek:

1 1

aa

ana

MU(c )MU(c )

ana

MU(c ) MU(c )a na

Krańcowa użyteczność dochodu musi być identyczna w obu stanach.

Ubezpieczenie 'uczciwe' Czy racjonalny konsument z awersją do

ryzyka wykupi pełne ubezpieczenie?

MU(c ) MU(c )a na

Awersja do ryzyka MU(c) gdy c .

c c .a na

Pełne ubezpieczenie

Ubezpieczenie wg stawki ‘nieuczciwej’

Oczekiwany ekonomiczny zysk > 0

I.e. K - aK - (1 - a)0 = ( - a)K > 0.

Wtedy > a

1 1

aa

.

1

ana

MU(c )MU(c )

ana

Optymalny wybór:

Ubezpieczenie wg stawki ‘nieuczciwej’ Optymalny wybór

=> osoba z awersją do ryzykanie wykupi pełnego ubezpieczenia.

1

ana

MU(c )MU(c )

ana

1 1

aa

, MU(c ) > MU(c )a na

c < ca na

Przykład 3

Maria jest właścicielką statku wartego 200 milionów zł. Jeśli statek zatonie Maria straci 200 mln zł. Prawdopodobieństwo zatonięcia wynosi 0.2. Cały majątek Marii, włączając statek, to 225 mln zł. Maria maksymalizuje użyteczność zgodnie z funkcją von Neumana- Morgensterna U(W)=W0.5, gdzie W to jej majątek.

Czy Maria wykupi pełne ubezpieczenie uczciwe?Ile Maria jest gotowa zapłacić za uczciwe ubezpieczenie?

Dywersyfikacja ryzyka

Dwie firmy, A i B. Udziały kosztują $10. Z Pr 1/2 zysk firmy A wynosi $100, a

firmy B $20. Z Pr 1/2 zysk firmy B wynosi $100, a

firmy A $20. Dysponujesz 100 $, jak optymalnie

zainwestować?

Rozkładanie ryzyka

Każda ze 100 osób z awersją do ryzyka może ponieść stratę $10,000 (strata niezależna)

Pr straty= 0.01. Początkowy zasób $40,000. Ile wynosi oczekiwana wartość

majątku

Oczekiwany majątek

0 99 40 000 0 01 40 000 10 00039 900

$ , ($ , $ , )$ , .

Rozkładanie ryzyka

Oczekiwana strata

Każda ze 100 osób wpłaca 1$ do wspólnego funduszu

Wartość oczekiwana majątku w przypadku rozłożenia ryzyka:

0 01 10 000 100 $ , $ .

$ , $ $ , $ , .40 000 1 39 999 39 900

Niepewność

Documents

Transcript of Niepewność