Niepewność liczby rozmyte, Losowość Niedokładność logika ... - Fuzzy.pdflogika rozmyta W...
Transcript of Niepewność liczby rozmyte, Losowość Niedokładność logika ... - Fuzzy.pdflogika rozmyta W...
2013-06-12
1
Zbiory rozmyte,
liczby rozmyte,
logika rozmyta
Modelowanie niepewności
Niepewność
Losowość Niedokładność
Zmienna
losowa
Przedziały,
zbiory rozmyte
Rozmyta Zmienna
losowa
• Niepewność stochastyczna:
Np. rzut kostką, wypadek, ryzyko ubezpieczenia
- rachunek prawdop.
• Niepewność pomiarowa
Około 3 cm; 20 punktów - statystyka.
• Niepewność informacyjna:
Wiarygodny kredytobiorca, spełniający warunki
- data mining.
• Niepewność lingwistyczna
Np. mały, szybki, niska cena - logika rozmyta
Rodzaje niepewności Logika rozmyta i klasyczna
Przykład zbioru klasycznego
Przynależność
do zbioru
studentów
UEk
Liczba punktów uzyskanych podczas rekrutacji
Przykład zbioru rozmytego
Przynależność
do zbioru
„młodzież”
Wiek
2013-06-12
2
ZBIORY ROZMYTE
Zbiorem rozmytym A, określonym na przestrzeni X jest zbiór uporządkowanych par:
A x x x XA , ( ) |
gdzie A jest funkcją przynależności (funkcją charakterystyczną) zbioru A.
A 0 1,
Zbiory klasyczne
młody(x)
Funkcja
charakterystyczna
młody = { x M | wiek(x) 20 }
młody(x) = 1 : wiek(x) 20
0 : wiek(x) > 20
A=“młody”
x [lata]
1
0
Przykłady
Klasyczne i rozmyte pojęcie „młody
człowiek”
„Temperatura wrzenia” ma wartość około 100 stopni (ciśnienie, skład chemiczny).
2
2 100T
W T e
A=“młody”
x [lata]
1
0
A=“młody”
x [lata]
1
0
=0.8
x=23 x=20
ZBIORY ROZMYTE I FUNKCJA PRZYNALEŻNOŚCI
Zbiór rozmyty
Funkcja przynależności A
Inny przykład zbiorów rozmytych.
Na rysunku pokazano przykładowy przebieg funkcji
przynależności dla trzech zbiorów rozmytych:
• mała liczba
• średnia liczba
• duża liczba
ROZMYWANIE - FUZZIFICATION
2013-06-12
3
Nośnik zboru rozmytego i jego jądro OPERATORY LOGIKI ROZMYTEJ
zbiory rozmyte osoby niskie LUB średnie
osoby NIE średnie osoby średnie I wysokie
Rozmyta relacja Jeszcze jeden przykład
RxxxAA
,,~
~
Liczby rzeczywiste znacznie większe od 10
10 dla )101
10 dla 0
12~
xx
xx
A
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25 30
xf.
prz
yn
ale
żn
oś
ci
Rozmyta interpretacja określenia „około”
RxxxBB
,,~
~
14~ ))11(1()( xxB
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25
x
f. p
rzyn
ale
żn
ości
11x
Jednym z często stosowanych
narzędzi sztucznej inteligencji jest
logika rozmyta
W logice tej przynależność określonego obiektu do określonej
kategorii opisywana jest funkcją przynależności przyjmującą
dowolne wartości z przedziału od 0 do 1
2013-06-12
4
Przykład
rozmytego opisu
środowiska dla
prostego robota
Przykład rozmytej kategoryzacji dla
sensorów odległości (dla sterowania
robota wymijającego przeszkody)
Proces tworzenia rozmytego lingwistycznego
modelu systemu rzeczywistego
Interpretacja i wyznaczanie funkcji
przynależności
Stopień podobieństwa – miara bliskości elementu x do wzorca
(rozmyte grupowanie danych, rozmyte sterowanie
Stopień preferencji – A przedstawia zbiór mniej lub bardziej
preferowanych obiektów. μA(x) to określenie preferencji dotyczącej
obiektu x (rozmyta optymalizacja).
Stopień niepewności - μA(x) to stopień możliwości, że zmiennej
X przypisujemy wartość x, gdy jedyną wiedzą, jaką posiadamy
jest „X jest A” (teoria możliwości)
Definicje Support (baza) zbioru rozmytego A:
supp(A) = { x X : A(x) > 0 }
Core (jądro) zbioru rozmytego A:
core(A) = { x X : A(x) =1 }
a-cut (a-cięcie) zbioru rozmytego A:
Aa = { x X : A(x) > a }
a=0.6
Wysokość = max x A(x) 1
Zbiór rozmyty normalny: sup x X A(x) = 1
2013-06-12
5
Terminologia
MF
X
.5
1
0 Core
Crossover points
Support
a - cut
a
Typy Funkcji Przynależności
x
(x)
1
0 a b c d
Trapezoid: <a,b,c,d>
x
(x)
1
0
Gaus/Bell: N(m,s)
c
s
; , , , max min , ,1 ,0x a d x
Trap x a b c db a d c
2 2/ 2
;x a
G x a es
2
1; ,
1
bB x a b
x a
b
Funkcje Przynależności
(x)
Singleton: (a,1) i (b,0.5)
x
1
0 a b
(x)
x
1
0 a b c
Trójkątna: <a,b,c>
; , , max min , ,0x a c x
T x a b cb a c b
Zmienne lingwistyczne
Zmienne lingwistyczne są reprezentowane przez czwórkę
danych (x, T(x), U, M~ ), gdzie
x jest nazwą zmiennej,
T(x) to zbiór wartości zmiennej x,
U – uniwersum,
M~ – reguła przyporządkowania zmiennej lingwistycznej
do zbiorów rozmytych.
Zmienna lingwistyczna WIEK
x = „wiek”
T(x)= (b. stary, stary, w średnim wieku, młody, ...)
U=[0,130]
M~(stary)={u,stary(u), u U}
50 udla 5
501
50 udla 0
)(1
2uustary
x [C]
(x)
1
0
zimno ciepło gorąco
40 20
2013-06-12
6
Na zbiorach rozmytych można
wykonywać działania
Iloczyn zbiorów rozmytych
Funkcja przynależności zbioru BAC~~~
jest mniejszą z wartości funkcji przynależności zbiorów A i B
Xxxxx BAc dla ))(),(min()(
Uogólnieniem pojęcia iloczynu zbiorów
na zbiory rozmyte są tzw. t - normy
Operator t-normy (T) określa sposób znalezienia części wspólnej
zbiorów rozmytych. Charakteryzuje się następującymi cechami:
T:[0,1] [0,1] [0,1] przestrzenie odwzorowania
T(0,0) = 0 zerowanie
T(A(x), 1) = A(x) tożsamość jedynki
T(A(x), B(x)) = T(B(x), A(x)) przemienność
T(A(x), T(B(x), C(x))) = T(T(A(x), B(x)), C(x)) łączność
A(x) C(x), B(x) D(x) T(A(x), B(x)) T(C(x), D(x))
monotoniczność
t-normy
minimum (MIN) AB(x)=MIN(A(x), (B(x))
iloczyn (PROD) AB(x)=A(x)* (B(x)
ograniczona
różnica
AB(x)=MAX(0, A(x)+B(x)-1)
Suma zbiorów rozmytych
Funkcja przynależności zbioru BAC~~~
jest większą z wartości funkcji przynależności zbiorów A i B.
Xxxxx BAc dla ))(),(max()(
s-normy operatory realizujące sumowanie zbiorów rozmytych
Cechy operatów s-normy:
T: [0,1] [0,1] [0,1] przestrzenie odwzorowania
T(0,0) = 0 zerowanie
T(A(x), 1) = 1 tożsamość jedynki
T(A(x), B(x)) = T(B(x), A(x)) przemienność
T(A(x), T(B(x), C(x))) = T(T(A(x), B(x)), C(x)) łączność
A(x) C(x), B(x) D(x) T(A(x), B(x)) T(C(x), D(x))
monotoniczność
2013-06-12
7
Operatory sumy zbiorów
MAX AB(x)=MAX(A(x), B(x))
suma algebraiczna AB(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)
suma ograniczona AB(x)=MIN(1, A(x)+B(x))
Przykłady Suma
x
1
0
AB(x)=min{A(x),B(x)}
A(x) B(x)
x
1
0
AB(x)=max{A(x),B(x)}
A(x) B(x)
Iloczyn
x
1
0
AB(x)=A(x) B(x)
A(x) B(x)
x
1
0
AB(x)=min{1,A(x)+B(x)}
A(x) B(x)
x
1
0
AB(x)=min{A(x),B(x)}
A(x) B(x)
Przykłady
MIN(a,b), a•b MAX(a,b), a+b
BAC~~~
10x dla )])11(1[,]10)-(xmin([1
10x dla )])11(1[,0min()(
1412-
14
~
x
xx
C
BAD~~~
10x dla )])11(1[,]10)-(xmax([1
10x dla )])11(1[,0max()(
1412-
14
~
x
xx
D
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25
x
f. p
rzyn
ale
żn
ości
iloczyn
suma
2013-06-12
8
Czasami użyteczne bywa także
dopełnienie zbioru rozmytego
)~
(~ AC
Xxxx Ac dla )(1)(
Wybrane T-normy i S-normy T-norma T(z(x), y(x)) S-norma T(z(x), y(x))
Minimum
)(),(min xx yz
Maximum
)(),(max xx yz
Iloczyn algebraiczny
)()( xx yz
Suma algebraiczna
)()()()( xxxx yzyz
Iloczyn silny
przypadkuprzeciwnymw
xxgdyxx yzyz
0
1)(),(max)(),(min
Silna suma
przypadkuprzeciwnymw
xxgdyxx yzyz
1
0)(),(min)(),(max
AND Łukasiewicza
1)()(,0max xx yz
OR Łukasiewicza
)()(,1min xx yz
Iloczyn Einsteina
)()()()(2
)()(
xxxx
xx
yzyz
yz
Suma Einsteina
)()(1
)()(
xx
xx
yz
yz
Iloczyn Hamachera
)()()()(
)()(
xxxx
xx
yzyz
yz
Suma Hamachera
)()(1
)()(2)()(
xx
xxxx
yz
yzyz
T-Operator Yagera
bb
y
b
z xx1
)(1)(1,1min1
S-Operator Yagera
bb
y
b
z xx1
)()(,1min
Liczby rozmyte
Zwykle wypukłe, unimodalne (jedno maksimum).
Liczby: jądro = punkt, x (x)=1
Monotonicznie maleją po obu stronach jądra.
Typowy wybór: trójkątne funkcje (a,b,c) lub singletony.
Dodawanie liczb rozmytych
około trzy dodać około pięć to jest około osiem
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Operacje na liczbach rozmytych
Dodawanie: A+B(x) = max{A(y), B(z) | x = y+z}
x
(x)
1
0
A(y) B(z) A+B(x)
Iloczyn: AB(x) = min{A(y), B(z) | x = yz}
x
(x)
1
0
A(y) B(z) AB(x)
Funkcja
Jeśli y=f(x), i x=a to y=b.
Dla punktów - krzywa dla interwałów - pasmo.
a
b
y
x x
y
a
b
y = f(x) y = f(x)
Dla rozmytych zmiennych x ?
2013-06-12
9
Rozmyte funkcje
Dla dowolnej funkcji f:
f(A)(y) = max{A(x) | y=f(x)}
f
x
A(x)
Mamy zbiór rozmyty A i funkcję f :
Jak wygląda f(A)?
f
x
A(x) max
• Relacje klasyczne
R X Y def: R(x,y) =
Rozmyte relacje
• Relacje rozmyte
R X Y def: R(x,y) [0,1]
R(x,y) opisuje stopień powiązania x i y
Inna interpretacja: stopień prawdziwości zdania x R y
{ 1 iff (x,y) R
0 iff (x,y) R
Przykłady rozmytych relacji
X = { deszczowo, pochmurnie, słonecznie }
Y = { opalanie, wrotki, kamping, lektura }
deszczowo
pochmurnie
słonecznie
X/Y opalanie wrotki kamping lektura
0.0 0.2 0.0 1.0
0.0 0.8 0.3 0.3
1.0 0.2 0.7 0.0
Relacje rozmyte związane są z korelacjami.
Bliskie: X Y; X zależy od Y; X podobne do Y ...
Reguły rozmyte
Wiedzę potoczną można często zapisać w naturalny sposób
za pomocą reguł rozmytych.
Jeśli zm. lingw-1 = term-1 i zm. lingw-2 = term-2
to zm. lingw-3 = term-3
Jeśli Temperatura = zimno i cena ogrzewania = niska
to grzanie = mocno
Co oznacza reguła rozmyta:
Jeśli x jest A to y jest B ?
Korelacja A i B, lub implikacja A =>B
Zastosowania logiki rozmytej
Wszędzie tam, gdzie trudno jest utworzyć matematyczny model ale daje się opisać sytuację w sposób jakościowy, za pomocą reguł rozmytych.
Kontrolery rozmyte:
jeśli się przewraca to popchnąć.
Inteligentne lodówki, pralki, windy, opiekacze do grzanek,
aparaty fotograficzne.
Zastosowania medyczne: nieprecyzyjny język daje się
przełożyć na reguły rozmyte.
Wiele zastosowań przemysłowych, głównie dotyczących
kontroli procesów.
Metody logiki rozmytej
są bardzo często łączone
z metodami sieci
neuronowych
2013-06-12
10
Różne sposoby łączenia zbiorów
rozmytych i sieci neuronowych
Architektura systemu
neuronowo-rozmytego
Zbiory
rozmyte
Sieci
neuronowe
Uczenie parametrów
zbioru rozmytego
Rozmyta sieć
neuronowa
Siła i atrakcyjność logiki rozmytej bierze się
stąd, że zostały opracowane i oprogramowane
metody sprawnego wnioskowania
na podstawie rozmytych przesłanek i reguł
Kluczem są tu implikacje rozmyte
A B
gdzie A i B to zbiory rozmyte określone przez swoje funkcje
przynależności
Implikacja rozmyta AB(x,y)
opisana jest funkcją przynależności zdefiniowaną na zbiorze
będącym iloczynem kartezjańskim zbiorów przesłanki i konkluzji.
Rozmyta implikacja
Jeśli korelacja to wystarczy T-norma T(A,B).
A=>B ma wiele realizacji
Istnieje wiele reguł obliczania funkcji
prawdziwości implikacji rozmytych
2013-06-12
11
W rezultacie często systemy, które oryginalnie dostarczają
danych pewnych (a nie rozmytych) są przekształcane do
rozwiązań opartych na logice rozmytej
Przykładowe funkcje przynależności
różnych kategorii związanych ze
sterowaniem bezzałogowego samolotu
Cel: zbudować rozmyty system ekspertowy wspomagający
wnioskowanie o operacjach wydobycia na podstawie:
• cen ropy
• wykazanych rezerw korporacji.
Dane są:
• zbiory rozmyte dla cen ropy
• zbiory rozmyte dla wykazanych rezerw korporacji
• zbiory rozmyte zaangażowania w operację wydobycia
(wyjcie).
• reguły postępowania przy zadanych wejściach.
Przykład: www.intelligentsolutionsinc.com
Przykład – rezerwy korporacji Przykład – cena ropy
2013-06-12
12
Przykład – zaangażowanie w
zwiększenie wydobycia
Przykład – reguły rozmyte
Reguła 1:
IF cena ropy jest wysoka
AND wykazane rezerwy są niskie
THEN zwiększenie operacji wydobycia wysoce wskazane.
Przykład - fuzzyfikacja
Cena ropy $20.00 za baryłkę i zapasy korporacji 9
MMBBLs (million barrels).
Przykład – rozmyta wartość wynikowa
2013-06-12
13
Wyostrzanie
wielkości
rozmytych 1 2 3 4 5 6 7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u(y
)
y
Interpretacja graficzna metody wyostrzania
średnią geometryczną
d+c+ba
badc=y
a=Ywyn up(0), b=Ywyn up (1),
c=Ywyn down(1),
d=Ywyn down(0)
Wyostrzanie metodą średniej parametrycznej przy
różnych wartościach parametru p
y = mean(Ywyn up(p), Ywyn down(p))
p – parametr mieszczący się przedziale funkcji przynależności
µ [0, 1] określający poziom, na którym zostają obliczone wartości
funkcji up i down zbioru Ywyn
1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u(y
)
y
ROZMYTE SIECI NEURONOWE
SKŁADNIKI ROZMYTEJ SIECI NEURONOWEJ
FNN
SIEĆ NEURONOWA -APROKSYMACJA DOWOLNEJ FUNKCJI WIELOWYMIAROWEJ
-- UCZENIE SIĘ NA PRZYKŁADACH
LOGIKA ROZMYTA
-FUNKCJE PRZYNALEŻNOSCI
-WNIOSKOWANIE ROZMYTE
- PROSTA IMPELMENTACJA
RODZAJE INTEGRACJI NN I FS
NEURONOWY I ROZMYTY NEURONOWY/ROZMYTY ROZMYTY-NEURONOWY
NEURONO-PODOBNY ROZMYTY ROZMYTO-PODOBNY NEURONOWY
2013-06-12
14
RODZAJE INTEGRACJI NN I FS
NEURONOWY Z ROZMYTYM WEJŚCIEM/WYJŚCIEM
NEURONOWO ROZMYTY ROZMYTY NEURONOWY
KOOPERACYJNA SIEĆ ROZMYTA
WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWYCH W CELU TWORZENIA
FUNKCJI PRZYNALEŻNOSCI
KOOPERACYJNA FNN - WYKORZYSTANIE
FAM – Fuzzy Associative Memory – Rozmyta Pamięć Skojarzeniowa –macierzowy opis funkcji przynależności
WSPÓŁBIEŻNE SIECI FNN
WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO PRZYGOTOWANIE DANYCH WEJSCIOWYCH
DLA CZĘŚCI ROZMYTEJ
NEURON KLASYCZNY I ROZMYTY
Prosta, klasyczny sieć
neuronowa:
NEURON ROZMYTY
AND OR
2013-06-12
15
NURON ROZMYTY Kwan & Cai REGULARNA SIEĆ FNN
HYBRYDOWE SYSTEMU FNN
Przykłady hybrydowych sieci FNN:
- FALCON
- ANFIS
- GARIC
- Takagi Sugeno
- Mamdani
- NEFCLASS (Neuro-Fuzzy Classification)
Fuzzy Adaptive Learning Control Network (FALCON)
Pierwsza warstwa odpowiada za rozmywanie
W drugiej warstwie następuje wyliczenie stopnia spełnianie części IF wnioskowania rozmytego
W czwartej warstwie wyliczamy część THEN wnioskowania rozmytego
Warstwa trzecia odpowiada zasadom wnioskowania
Piąta warstwa odpowiada za wyostrzanie
Nienadzorowane tworzenie prototypów funkcji przynależności
Wykorzystanie propagacji wstecznej
Trening sieci FALCON
Trening sieci opiera się na poszukiwaniu właściwej postaci trzecie warstwy sieci – zasad wnioskowania
Przy pomocy dostępnych danych tworzymy pary rozmyte wejście rozmyte wyjście w oparciu o ustalone funkcje przynależności
Warstwa trzecie będzie tworzona tak, aby z każdego węzła wejściowego i wyjściowego połączyć się do wariantu o najwyższej przynależności
Waga reguły będzie zależeć od stopnia przynależności
węzłów wyjściowych z którymi jest połączona
ANFIS (Adaptive Network Based Fuzzy Inference System)
- jeden z pierwszych hybrydowych FNN (1992)
- ustalona struktura
- adaptacja odbywa się tylko w ramach wartości paramentów
- podczas treningu zostają ustalone funkcje przynależności
2013-06-12
16
GARIS (Generalized Approximate Reasoning Based Intelligent Control)
- sieć neuronowa i sieć FNN
- ASN (Action Selection Network)
- AEN (Action State Evaluation )
- SAM (Stochastic Action Modifier)
ASN (Action Selection Network)
- sieć FNN 5-cio warstwowa
PRASA WALCOWA HITACHI
- WCZESNE ZASTOSOWANIE METOD NN+FS (ROK 1992)
- SIEĆ NEURONOWA ODPOWIADA ZA ROZPOZNAWNIE WZORCÓW
-LOGIKA ROZMYTA RALIZUJE REAKCJE NA PODSTAWIE STOPNIE DOPASOWANIA DO WZORCÓW
WENTYLATOR AUTOMATYCZNY SANYO
- logika rozmyta szacuje odległość wiatrak – pilot
- sieć neuronowa określa kierunek między osią wiatraka a pilotem
- lepsze możliwości śledzenia pilota od otrzymanych wprost z danych czujników
BIBLIOGRAFIA - Robert Full´er, Neural Fuzzy Systems, ˚Abo 1995
- Justyna Signerska i Krzysztof Bartoszek, Logika rozmyta
- Hideyuki Takagi, Fusion Technology of Neural Networks and Fuzzy Systems: A Chronicled Progression from the Laboratory to Our Daily Lives
- Sushmita Mitra, Neuro–Fuzzy Rule Generation: Survey inSoft Computing Framework
- Zadeh, Fuzzy Sets, 1965
- Ajith Abraham, Neuro Fuzzy Systems: State-of-the-art Modeling Techniques
- HR Berenji, P Khedkar, Learning and tuning fuzzy logic controllers through reinforcements