Mechanika - dynamika Bryła w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Bryła w ruchu postępowym,obrotowym i płaskim

dr inż. Sebastian Pakuła

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i RobotykiKatedra Mechaniki i Wibroakustyki

15 grudnia 2015

e-mail: spakula@agh.edu.pl

dr inż. Sebastian Pakuła – AGH WIMIR Strona 1 \ 5

Mechanika - dynamika Bryła w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Kinematyka bryły:

Ruch obrotowy Ruch obrotowy Ruch płaski

KINEMATYKA

tr

x

y

t

r

x t

1 t

1 t

1R2R

1R2R

2r

1R

2R

M

x t

Kinematyka punktu

l

AV

A

O

Kinematyka w ruchomym ukł. współrzędnych

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

Ruch płaski

r

B

C A

S

O

0V0V

0V

0V

0Vr

B

A

S

O

r

r

r

r

C

B

A

S

O

0V

BV

CV

AV

0SV

C

B

A

S

O

V

B

A

S

O0V

0

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

AV

A

O

OV

1

2

O D

C

AV

CV

DV

S

B

BV

A

K

K 1S T

2S T

K

K 1S T

2S T

I II

Kolokwium - kinematyka

A

B

00

l

l O0

0

r

O

A Bl

s t

x

y

2t t

2 0,5s t t m

22s t t m

O

A

7t t

6OA m

l

2

3

2 3

x t

y t t

3

25

8

x t

y t t

A

B

l

l

O

0 const

O t

3R m

s t

R

2 2s t t

7t t

B

h

t

A

0r

O

A Bl

B C D

A E

F

G

r

B

C A

S

O

0ar

B

A

S

O

O

Ba

C

Ba

A

S

O

0V

0Sxa

C

0a

0a

0a

0a

przyspieszenie styczne punktu B względem punktu O

O

Ana

O

Sa

O

Ca

O

Aa O

Sna

O

Cna

O

Bna

przyspieszenie normalne punktu B względem punktu O

Ba

Aa

Sa

gdy toczenie bez poślizgu

0

S Sna a

Zasada superpozycji:

0

0A Aa a a 0 0

0A A Ana a a a

POSTĘPOWY OBROTOWY PŁASKI=+

O O O O

A B C Sa a a a r 0 0 0B B Bna a a

0 0 0

A A Ana a a

0 0 0

S S Sna a a

0 0 0

C C Cna a a

Przyspieszenia styczne:

2O O O O

An Bn Cn Sna a a a r

Przyspieszenia normalne:

B

A

S

O

V

B

A

S

O

V

aB

A

S

O

Va

oa

A

ona

A

oa

oa

a

A

ona Aoa A

oa

V

Aa

22w

ma

s

21u

ma

s

45o

const

y

z

x

x

s t

uv

wa

A

B

O

s

A Bl

0v const

?

?

B

B

v

a

r

r

t

r

r

C

III

I

II

r

t

C

III

I

II

II

B

EV

E

D

DV

EV DV

B

DV

EV

A

B

wv

uv

v

v MM

cora

a

wa

na

1 t

1R2r

3R

A

1

1r

2R2r

r 1

s t

b

a

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

O1O

S

AV

A

n

AV

O

1O

S

0

AV

A

B

C

AaAVA

B

C

D

E

Rl

l

25t t

A

B

C

t

l

BC AC

B D

AE

const

h

b

v

A

r

B D

A E

const

h

b

KINEMATYKA

tr

x

y

t

r

x t

1 t

1 t

1R2R

1R2R

2r

1R

2R

M

x t

Kinematyka punktu

l

AV

A

O

Kinematyka w ruchomym ukł. współrzędnych

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

Ruch płaski

r

B

C A

S

O

0V0V

0V

0V

0Vr

B

A

S

O

r

r

r

r

C

B

A

S

O

0V

BV

CV

AV

0SV

C

B

A

S

O

V

B

A

S

O0V

0

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

AV

A

O

OV

1

2

O D

C

AV

CV

DV

S

B

BV

A

K

K 1S T

2S T

K

K 1S T

2S T

I II

Kolokwium - kinematyka

A

B

00

l

l O0

0

r

O

A Bl

s t

x

y

2t t

2 0,5s t t m

22s t t m

O

A

7t t

6OA m

l

2

3

2 3

x t

y t t

3

25

8

x t

y t t

A

B

l

l

O

0 const

O t

3R m

s t

R

2 2s t t

7t t

B

h

t

A

0r

O

A Bl

B C D

A E

F

G

r

B

C A

S

O

0ar

B

A

S

O

O

Ba

C

Ba

A

S

O

0V

0Sxa

C

0a

0a

0a

0a

przyspieszenie styczne punktu B względem punktu O

O

Ana

O

Sa

O

Ca

O

Aa O

Sna

O

Cna

O

Bna

przyspieszenie normalne punktu B względem punktu O

Ba

Aa

Sa

gdy toczenie bez poślizgu

0

S Sna a

Zasada superpozycji:

0

0A Aa a a 0 0

0A A Ana a a a

POSTĘPOWY OBROTOWY PŁASKI=+

O O O O

A B C Sa a a a r 0 0 0B B Bna a a

0 0 0

A A Ana a a

0 0 0

S S Sna a a

0 0 0

C C Cna a a

Przyspieszenia styczne:

2O O O O

An Bn Cn Sna a a a r

Przyspieszenia normalne:

B

A

S

O

V

B

A

S

O

V

aB

A

S

O

Va

oa

A

ona

A

oa

oa

a

A

ona Aoa A

oa

V

Aa

22w

ma

s

21u

ma

s

45o

const

y

z

x

x

s t

uv

wa

A

B

O

s

A Bl

0v const

?

?

B

B

v

a

r

r

t

r

r

C

III

I

II

r

t

C

III

I

II

II

B

EV

E

D

DV

EV DV

B

DV

EV

A

B

wv

uv

v

v MM

cora

a

wa

na

1 t

1R2r

3R

A

1

1r

2R2r

r 1

s t

b

a

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

O1O

S

AV

A

n

AV

O

1O

S

0

AV

A

B

C

AaAVA

B

C

D

E

Rl

l

25t t

A

B

C

t

l

BC AC

B D

AE

const

h

b

v

A

r

B D

A E

const

h

b

KINEMATYKA

tr

x

y

t

r

x t

1 t

1 t

1R2R

1R2R

2r

1R

2R

M

x t

Kinematyka punktu

l

AV

A

O

Kinematyka w ruchomym ukł. współrzędnych

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

Ruch płaski

r

B

C A

S

O

0V0V

0V

0V

0Vr

B

A

S

O

r

r

r

r

C

B

A

S

O

0V

BV

CV

AV

0SV

C

B

A

S

O

V

B

A

S

O0V

0

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

AV

A

O

OV

1

2

O D

C

AV

CV

DV

S

B

BV

A

K

K 1S T

2S T

K

K 1S T

2S T

I II

Kolokwium - kinematyka

A

B

00

l

l O0

0

r

O

A Bl

s t

x

y

2t t

2 0,5s t t m

22s t t m

O

A

7t t

6OA m

l

2

3

2 3

x t

y t t

3

25

8

x t

y t t

A

B

l

l

O

0 const

O t

3R m

s t

R

2 2s t t

7t t

B

h

t

A

0r

O

A Bl

B C D

A E

F

G

r

B

C A

S

O

0ar

B

A

S

O

O

Ba

C

Ba

A

S

O

0V

0Sxa

C

0a

0a

0a

0a

przyspieszenie styczne punktu B względem punktu O

O

Ana

O

Sa

O

Ca

O

Aa O

Sna

O

Cna

O

Bna

przyspieszenie normalne punktu B względem punktu O

Ba

Aa

Sa

gdy toczenie bez poślizgu

0

S Sna a

Zasada superpozycji:

0

0A Aa a a 0 0

0A A Ana a a a

POSTĘPOWY OBROTOWY PŁASKI=+

O O O O

A B C Sa a a a r 0 0 0B B Bna a a

0 0 0

A A Ana a a

0 0 0

S S Sna a a

0 0 0

C C Cna a a

Przyspieszenia styczne:

2O O O O

An Bn Cn Sna a a a r

Przyspieszenia normalne:

B

A

S

O

V

B

A

S

O

V

aB

A

S

O

Va

oa

A

ona

A

oa

oa

a

A

ona Aoa A

oa

V

Aa

22w

ma

s

21u

ma

s

45o

const

y

z

x

x

s t

uv

wa

A

B

O

s

A Bl

0v const

?

?

B

B

v

a

r

r

t

r

r

C

III

I

II

r

t

C

III

I

II

II

B

EV

E

D

DV

EV DV

B

DV

EV

A

B

wv

uv

v

v MM

cora

a

wa

na

1 t

1R2r

3R

A

1

1r

2R2r

r 1

s t

b

a

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

O1O

S

AV

A

n

AV

O

1O

S

0

AV

A

B

C

AaAVA

B

C

D

E

Rl

l

25t t

A

B

C

t

l

BC AC

B D

AE

const

h

b

v

A

r

B D

A E

const

h

b

Dynamiczne równania ruchu:m~a = ~F I~ω = ~M m~a = ~F

I~ω = ~M

Przykład:Oblicz przyspieszenie środka masy krążka, który jest ciągnięty za pomocą nawiniętej naniego liny z siła F .

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r r

m m1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

Dane: m, r, F

Szukane: a

Toczący się krążek bez poślizgu jest przykładem ruchu płaskiego. Oznaczamy współrzędneopisujące ruch płaski, uwalniamy układ od więzów i rysujemy siły oddziałujące na bryłę.

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r r

m m1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

x – współrzędna środka masy

ϕ – współrzędna kątowa obrotu bryły

T – siła tarcia

F – siła naciągu liny

Następnie zapisujemy dynamiczne równania ruchu bryły:

{mẍ = F − TIϕ̈ = Fr + Tr

gdzie: I = mr2

2 – moment bezwładności krążka względem głównej centralnej osi bezwład-ności.

dr inż. Sebastian Pakuła – AGH WIMIR Strona 2 \ 5

Mechanika - dynamika Bryła w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Tworzymy równania więzów, wiążące ruch środka masy x z ruchem obrotowym ϕ. Rów-nanie to możemy napisać tylko w przypadku toczenia bez poślizgu!x = ϕrẍ = ϕ̈rPodstawiamy ϕ̈ = ẍ

ri moment bezwładności I do drugiego z układu równań i dzieląc

obustronnie przez r otrzymujemy:mẍ = F − Tm

2ẍ = F + T

Dodając następnie stronami i mnożąc przez 23 otrzymujemy:ẍ = 43FNa podstawie równania więzu możemy też wyznaczyć przyspieszenie kątowe:ϕ̈ = 43Fr

dr inż. Sebastian Pakuła – AGH WIMIR Strona 3 \ 5

Mechanika - dynamika Bryła w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zestaw zadań:Zad.1: 1. Wyprowadź różniczkowe równania ruchu oraz zapisz kinematyczne równaniawięzów dla układu przedstawionego na poniższym rysunku. Która z brył stoczy się szybciejz równi pochyłej?

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r rm m

1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

k

l

l

l

k

m

M

e

m

F

06

0 0

,m l

Zad.2: Pręt o masie m i długości 2l może wykonywać niewielkie obroty w płaszczyź-nie pionowej. Do pręta zamocowano dwie sprężyny o sztywności k. Wyznacz różniczkowerównania ruchu przedstawionego układu.

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r rm m

1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

k

2l

l

l

k

m

M

e

m

F

06

0 0

,m l

Dane: m, k, l

Szukane: równanie różniczkowe ruchu

dr inż. Sebastian Pakuła – AGH WIMIR Strona 4 \ 5

Mechanika - dynamika Bryła w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zad.3: Wibrator mechaniczny o masie m i promieniu bezwładności ρ jest napędza-ny stałym momentem M . Wyznacz równanie ruchu wibratora, który przymocowano dosztywnego fundamentu. Środek masy wibratora jest oddalony od osi obrotu o e.

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r rm m

1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

k

l

l

l

k

m

M

e

m

F

06

0 0

,m lDane: m, ρ,′M ′, e

Szukane: ϕ(t)

Zad.4: Pręt o masie m i długości l jest przymocowany przegubowo do nieważkich suwa-ków. Wyznacz równanie ruchu pręta ϕ(t) przy założeniu, że porusza się on w płaszczyźniepoziomej pod wpływem siły F przyłożonej do jednego z suwaków (jak na rysunku).

hH

bezmasowe krążki

G

R

h

m

m

aa

m

k

P

m m

k

P

ω

x

mA B

CDE

x

s=?

α

R

m

AB

CD E

b

kR

α

l

x=?

b

m

x

F

φ

x

Fbez poślizgu

T

b

x

z

a

Q

F

0 10m

Vs

5m

Vs

A

B

s

const

x

y

x

z

r

B

C A

S

O

r

B

A

S

O

0V

r

r

r

r

B

A

S

O

BV

CV

AV

0SV

C

C

B

A

S

O0V

0

AV

B

A

S

O

AV

SV

AV

AV

A

SV 0V

OV

1

2

AV

A

O D

C

AV

CV

DV

S

O

B

BV

A

0V

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

A

ruch obrotowy

ruch płaski

AV

n

AV

OO

1O1O

S S

A

1O

S

r

x

r

AV

n

AV

0

AV

m

0V

RG

h

m

x

k

1P

2P

3P

1N 2N

t

a

α

m

m

F

0V

0nV

Rv

dmV

dmVRdt

l

Q

G

m

oV

R

Rr

1m

1m

2m

1S

N

T

1m g

2m

2m g

2S

1x

2x

Rr

2S

1S

mbF

mg

2S

P

2S

1S

pS

2S

x

y

la

m

N

bF

mg

2

1

R

x

1m

2m

k

m

l2

l

2

l

k k

x

0U

h

m

k

1O

C

sina t

k

1O

C

x

m

x

m h

2r

A

B

kA

B

l

m

nN

mg

m

R

G x

r r

ll

m

x

Zasada ruchu środka masy

2l

m

M

m

G

l

2Q

l1Q

Kolokwium I - dynamika

M

F

M

F

1m

2m

a

b

M

a

0

m

0

m m

a

y

xm

D

AB

C

y

l

m

xy

m

zN

uF

mg

yz

l

yN

corF

T

G

y

x

ua

Ruch złożony

y

m

const

a

b

O

B

A

ll

Dynamiczne układów o zmiennej masie:

Q

R

P

x

- ciężar jednostkowy liny

x

wv

R

x

Praca, moc, energia

α

ba r

μ

oM

x ba rS

zF

zF

oMR

P

N T

M

R

m

Zasady zachowania i równoważności

energii kinetycznej i pracy

l

A

B

m

Rh

h

l

C

BA

x

m r

m

h

1m

r

2m

l

1

A

O

2

V

B

C

Kolokwium I - dynamika

y

mk

m

0V

m

h

x

m

h

0V

l

h

a

y

m

l

a

Dynamika ruchu w układach złożonych

M

R

m

m

a

bb

a

k

P

Px

I

Rr

1m

2m

1S

N

T

1m g2m g

2S1x

2x

Rr

2m1m

1S

2S

Rr

rr

bezmasowe krążki

1,m

2m

0V

0V

0V

r rm m

1m

4m

2m

3m

2x

4x

3

3x

1x

4m

3m

2 2,m R

1r

1,m

1R

Dynamika punktu materialnego

h

1R

2 2,m I

1m

2R

3 3,m r

4m

r

1m

2m R

3m

F

2 2 2, , ,m r R

3m

oM

3 3,m R

k

m

l2

l

2

l

k k

x

1R

2 2,R r

1r 3r

2R

2r

4r

4l

2l

3l

1R 2R 4l

2l

3l

2R1R

1R

3R

l

3r

4r

1r1R

2R

1r 3r

2R

2r

4r

l 2l

4m

1m

3m

2m 2r

3r3k

1k

2k

Równania więzów

Równania Lagrange a II rodzaju

r

m

x

r

1m

2m R

F

1x

2x

3m

r

Kolokwium II (pęd,kręt,ukł. złożone)

h

0v

/ 2l

ll

x

y

r

3m

2m

1m

r

R

3m

2m

1 1,m I

3m

4m

2m

5m

0

2 2,m I

4m

5m

1m 3m

R

l

?s

E D

B

C

RC

ED

?x

m

B

x

k

m

k

A

A

gg

Kolokwium I poprawkowe

M

F

s

?l

opór powietrza

zaniebać

h

r

k

ma

A

B

g

1 1,I r2 2,I r

2 2 2, ,I r R

4m

0

3m

1 1 1, ,m I r

wvm

l

M

l

wvm

M

k

Kolokwium II poprawkowe

r

m

r

m

s t

m

r

h

0 ?I

3

4

SR

r

,I m

m

xr

g

2 2,m I

1I 3I

5m

4 4,m I

2 2 2 2, , ,m I R r 3 3 3 3, , ,m I R r

4 4 4, ,m I R

1 1 1 1, , ,m I R r

Kolokwium III poprawkowe

m

R k vg

?h

0v

2 2 2, ,I r R

3m

1mA

B

C

h

?l

0

0

m

m

Kolokwium IV poprawkowe

xua

r

R

s t

m

1 1 1 1, , ,J m R r

2 2,J R3 3 3, ,J m R

Kolokwium V zestaw prostych

m

?M

l x

m Ml

kM

m

0v

Mm

M

m

h

0 maxh

x

k

r

m

g

m

m

gJ

0v

h

maxh

maxx

L

g

1t

N

R

G

0v

P

AB

D C

O

l

P

1P

A

B C

D

1s

2s

l

1r

O

M

1m

r2m

x

B

A

C

l

g

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2 2, ,I m R

g

R

mv

x

l

v

l

Ruch postępowy Ruch obrotowy

Ruch płaski

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R3 3,I R

m

m

1 1 1 1, , ,I m R r

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

m

M

2 2,I R

3 3 3, ,I m R

20F N4m

0.3

4 8m kg

ua G

mm

m m

Q

G

a

m

Mh

l l

x

l

m

R

0v2 2,m r

3 3,m r

1 1,m r

h0M

0

1

V

m

Zasada zachowania i zmienności pędu

kv

km

0,8m kg

0V 1V2V

1,2M kg

1v

2v

wvM

2vm

wv

Zasada zachowania i zmienności Krętu

u

y

km

l

a rm

m

20,3I MR

R

0,5M t

l

2dmv1dmv

Fdt

xF dt

yF dt

v

mm

R

M

m

m

v

D

φ

x

F

T

Ftoczenie bez

poślizgu

m

r

k

l

l

l

k

m

M

e

m

F

06

0 0

,m l

Dane: m, l, F, ϕ(0), ϕ̇(0)

Szukane: ϕ(t)

dr inż. Sebastian Pakuła – AGH WIMIR Strona 5 \ 5