. .

1998

1

n m n O W I K O W A

moskwa

( )osnowy optimizacii

KURS LEKCIJ

. .

,( ) | -

, , -( -, ,

, ), -.

,4-

, , -. ,

, -, , ,. -

nnovik@ccas.ruNo.96-01-00786.

: . . ,. .

c . .

2

oTWETSTWENNYJ REDAKTORAKADEMIK ran p s kRASNO]EKOW

w SVATOJ FORME DAETSQ IZLOVENIE OSNOW TEORII SLOVNOSTILINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lp S OPISANIEM POLINOMIALXNYH ALGORITMOW CELO^ISLENNOGO lp MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ NEOBHODIMYE USLOWIQ \KSTREMUMA PRI OGRANI^ENIQHNERAWENSTWAH LOKALXNYE METODY BEZUSLOWNOJ OPTIMIZACII METOD[TRAFOW IDEI GLOBALXNOJ OPTIMIZACII SHEM METODOW DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ I WETWEJ I GRANIC

rABOTA NAPISANA NA BAZE SEMESTROWOGO KURSA LEKCIJ ^ITAEMOGOAWTOROM STUDENTAM GO KURSA PROGRAMMISTSKOGO POTOKA FAKULXTETAwmIk mgu S U^ETOM DOPOLNENIJ I ZAME^ANIJ UKAZANNYH STUDENTAMI aWTOR BLAGODARIT WSEH STUDENTOW SODEJSTWOWAW[IH IZDANI@\TOGO KURSA I PREDLOVIW[IH ISPRAWLENIQ SPOSOBSTWU@]IE EGO ULU^[ENI@ W TOM ^ISLE lASKAWOGO sERGEQ sANNIKOWA aNDREQ I sWAHINAnIKOLAQ zAME^ENNYE OPE^ATKI I NETO^NOSTI PROSXBA SOOB]ATX AWTORU PO ADRESU

rABOTA ^ASTI^NO PODDERVANA GRANTOM rffi

rECENZENTY s k zAWRIEWa w lOTOW

n m nOWIKOWA

1. ., . -. .: , 1982.

2. ., . ..: , 1985.

. , -,

[1]. 500 ( -, , ,

, , ,. .),

-. ,

( 1{4), ,, -

. , | , ,,

-.

,, -

, , -.

,, -

.

1 ( -, ),

3

g\RI m dVONSON d wY^ISLITELXNYE MA[INY I TRUDNORE[AEMYE ZADA^I m mIR

pAPADIMITRIU h sTAJGLIC k kOMBINATORNAQ OPTIMIZACIQm mIR

nA WOPROS DLQ ^EGO NADO IMETX PREDSTAWLENIE O SLOVNOSTI RE[AEMYH ZADA^ NAIBOLEE NAGLQDNYJ OTWET DAN WO WWEDENII K KNIGE

w \TOJ KNIGE TAKVE PRIWODITSQ BOLEE ZADA^ IZ SAMYH RAZNYH OBLASTEJ WKL@^AQ TEORI@ GRAFOW I SETEJ TEORI@ RASPISANIJTEORI@ AWTOMATOW I QZYKOW OPTIMIZACI@ PROGRAMM BAZY DANNYHIGRY I GOLOWOLOMKI I T P DLQ KOTORYH W NASTOQ]EE WREMQ NETOSNOWANIJ NADEQTXSQ POSTROITX \FFEKTIWNYE ALGORITMY IH RE[ENIQ ~TO \TO ZNA^IT FORMALXNO BUDET RASSKAZANO W DANNOM RAZDELE

A SOOTWETSTWU@]IE PRAKTI^ESKIE WYWODY KAVDYJ ^ELOWEKTAK ILI INA^E SWQZANNYJ S RAZRABOTKOJ ALGORITMOW I PROGRAMM DELAET DLQ SEBQ SAM kROME TOGO TEORIQ SLOVNOSTI NOWAQ MODNAQINTENSIWNO RAZWIWA@]AQSQ OBLASTX MATEMATIKI I KIBERNETIKI EETERMINOLOGIQ [IROKO RASPROSTRANENA W SOWREMENNOJ NAU^NOJ LITERATURE I TREBUET OPREDELENNOGO S NEJ ZNAKOMSTWA

pOQWLENIE WY^ISLITELXNOJ TEHNIKI PRIWELO K TOMU ^TO WSE REVEPRIHODITSQ RE[ATX OTDELXNU@ KONKRETNU@ ZADA^U A WSE BOLX[E PISATX PROGRAMMY RASS^ITANNYE NA CELYJ KLASS ZADA^ POLU^A@]IHSQ ODNA IZ DRUGOJ ZAMENOJ RQDA ISHODNYH DANNYH pO\TOMU IMEETSMYSL GOWORITX O SLOVNOSTI NE DLQ ODNOJ ZADA^IA DLQ SOOTWETSTWU@]EJ MNOVESTWU INDIWIDUALXNYH ZADA^

fORMALXNO MASSOWAQ ZADA^A OPREDELQETSQOB]IM SPISKOM WSEH PARAMETROW ZADA^I SWOBODNYH PARAME

TROW ZNA^ENIQ KOTORYH NE ZADANY

1.

1.

P NP

1

I

~ASTX wwedenie w teori` slovnosti

pONQTIE O SLOVNOSTI RE[ENIQ ZADA^

p

p

x

xx

:

: , -, , �

. ( , ).

,

lITERATURA

oSNOWNYE OPREDELENIQ INDIWIDUALXNAQ I MASSOWAQ ZADA^I KODI

ROWKA ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I WREMENNAQ SLOVNOSTX

ALGORITMA kLASSY I FORMALXNYE OPREDELENIQ PRIMERY

INDIWIDUALXNOJ

MASSOWOJ ZADA^I ILI PROBLEMY

0

2 ,( ).

, -.

: -( , )

.1 :=

( ) 0 : = ;

2 : [ ]

min ( ) + ( )

-. 1 , -

: = 4, ( ) = 10,( ) = 5, ( ) = 9, ( ) = 9, ( ) = 3, ( ) = 6,( ) = ( ).

[ ], 27.(

)( ), -

. ,,

( . .) . -

, ,( ).

-,

( , ! ).

4

FORMULIROWKOJ SWOJSTW KOTORYM DOLVEN UDOWLETWORQTX OTWETRE[ENIE ZADA^IiNDIWIDUALXNAQ ZADA^A POLU^AETSQ IZ ESLI WSEM PARA

METRAM PRISWOITX KONKRETNYE ZNA^ENIQdLQ PRIMERA RASSMOTRIM ZADA^U KOMMIWOQVERA NAJTI MINI

MALXNYJ MAR[RUT OBHODA GRUPPY OB_EKTOW USLOWNO GOWORQ GORODOWS WOZWRATOM W NA^ALXNU@ TO^KU dLQ KOMMIWOQVERA WWEDEM

WHODNYE PARAMETRY ^ISLO GORODOW ILI MNOVESTWO GORODOWI NABOR RASSTOQNIJ MEVDU GORODAMI

TREBOWANIQ K RE[ENI@ REALIZUET

GDE MINIMUM BERETSQ PO WSEM WOZMOVNYM PERESTANOWKAM NA MNOVESTWE INDEKSOW GORODOW kONKRETIZIRUEM PARAMETRY ^TOBY POLU^ITX INDIWIDUALXNU@ ZADA^U KOMMIWOQVERA

tOGDA W ZADA^E OPTIMALXNYM OKAZYWAETSQMAR[RUT REALIZU@]IJ PUTX MINIMALXNOJ DLINY

kROME PERWI^NYH PONQTIJ MASSOWOJ I INDIWIDUALXNOJ ZADA^II MY BUDEM ISPOLXZOWATX TERMIN ALGORITM I OBOZNA^ENIE DLQPO[AGOWOJ PROCEDURY RE[ENIQ ZADA^I W ^ASTNOSTI MA[INY tX@RINGA ILI PROGRAMMY DLQ |wm bUDEM GOWORITX ^TO

ESLI DLQ L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^IALGORITM PRIMENIM K T E OSTANAWLIWAETSQ ZA KONE^NOE

^ISLO [AGOW I ALGORITM DAET RE[ENIE ZADA^I nAPRIMER DLQ KOMMIWOQVERA SU]ESTWUET ALGORITM KOTORYJ RE[AET EENA OSNOWE POLNOGO PEREBORA WSEH MAR[RUTOW PERESTANOWOK

bOLX[INSTWO DISKRETNYH I KOMBINATORNYH ZADA^ DOPUSKAET RE[ENIE S POMO]X@ NEKOTOROGO PROCESSA PEREBORA WARIANTOW ODNAKO^ISLO WOZMOVNYH WARIANTOW RASTET \KSPONENCIALXNO W ZAWISIMOSTIOT RAZMEROW ZADA^I TAK W ZADA^E KOMMIWOQVERA MAR[RUTOW

I

I

I

I

I II I

p p

p

p

a

a

p

p a

p a

p

2

f gf 2 6 g

28 2

ALGORITM

RE[AET MASSOWU@ ZADA^U

0

0

1

0(1) ( )

1

=1

( ) ( +1) ( ) (1)

0

1 2

1 3 1 4 2 4 3 4 3 2

1 2 4 3

mC c ; : : : ; c

d c ; c > c ; c C; i j

c ; : : : ; c

d c ; c d c ; c ;

�

m d c ; cd c ; c d c ; c d c ; c d c ; c d c ; cd c ; c d c ; c

c ; c ; c ; c

�

m

m

i j i j

� � m

�

m

i

� i � i � m �

i j j i

"X #�

-( -

)., . . ,

,\ " . -

,, -,

( . . ),. -

, , ,| .. .

. .| , \ " \ "

. , .2 -

-, \ ".

., .1 . ,

[ , ] -. -

, -: , -

. , , .1| , .2 \ -

, ?" -. -

( [2]),( ) = ( )

| , | .\ "

5

pO\TOMU PEREBORNYE ALGORITMY RE[ENIQ MASSOWYH ZADA^ S^ITA@TSQ NE\FFEKTIWNYMI MOGUT RE[ATX LI[X NEBOLX[IE INDIWIDUALXNYE ZADA^I w OTLI^IE OT NIH \FFEKTIWNYMI NAZYWA@TSQ

RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I T E TAKIE KOTORYERE[A@T PROIZWOLXNU@ ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OTRAZMERA nESMOTRQ NA OPREDELENNU@ USLOWNOSTX \TOGO RAZDELENIQ S TO^KI ZRENIQ PRAKTI^ESKOGO S^ETA ONO OB_QSNQETSQ PREVDEWSEGO TEM ^TO CENTRALXNYM DLQ DISKRETNOJ OPTIMIZACII QWLQETSQ WOPROS MOVNO LI POSTROITX ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^IT E L@BOJ INDIWIDUALXNOJ NE PEREBIRA@]IJ WSEH ILI PO^TI WSEHWARIANTOW EE RE[ENIQ eSLI DLQ MASSOWOJ ZADA^I SU]ESTWUET POLINOMIALXNYJ ALGORITM EE RE[A@]IJ ZNA^IT EE MOVNO RE[ITXNE PUTEM PEREBORA \FFEKTIWNO uKAZANNYE ZADA^I NAZYWA@TSQPOLINOMIALXNYMI pEREJDEM K IH FORMALXNOMU OPREDELENI@

fORMALIZACIQ PROWODITSQ DLQ|TO MASSOWYE ZADA^I PREDPOLAGA@]IE OTWET DA ILI NET WKA^ESTWE RE[ENIQ tAKIM OBRAZOM W P OPREDELENIQ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW STOIT NEKOTORYJ ALXTERNATIWNYJ WOPROS I RE[ENIEMKAVDOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I QWLQETSQ PRAWILXNOE RASPOZNAWANIE PRINADLEVIT LI ONA K ZADA^AM S OTWETOM DA pOSLEDNEEPODMNOVESTWO MNOVESTWA INDIWIDUALXNYH ZADA^ BUDEM OBOZNA^ATX

tEPERX WWEDEM OBOZNA^ENIE DLQ MNOVESTWA WSEH WOZMOVNYHZNA^ENIJ PARAMETROW ZADANNYH W P OPREDELENIQ o^EWIDNO^TO NABOR POLNOSTX@ HARAKTERIZUET SOOTWETSTWU@]U@ MASSOWU@ ZADA^U RASPOZNAWANIQ SWOJSTW nESMOTRQ NA SPECIFI^NOSTX POSTANOWKI KLASS ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW QWLQETSQ DOSTATO^NO [IROKIM PO KRAJNEJ MERE DLQ L@BOJ ZADA^I DISKRETNOJ OPTIMIZACII MOVNO UKAZATX ANALOGI^NU@ RASPOZNAWANIQSWOJSTW w ^ASTNOSTI DLQ KOMMIWOQVERA ESLI WWESTI W P E]EODIN PARAMETR DLINU MAR[RUTA TO WOPROS W P SU]ESTWUET LI MAR[RUT DLINY NE PREWY[A@]EJ DAET EE PEREFORMULIROWKU KAK ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTW pOLU^ENNAQ KOMMIWOQVERA IMEET W LITERATURE OBOZNA^ENIE ILI zk DLQ NEE

zDESX I DALEE MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL CELYHdLQ FORMALIZACII RAZMERA INDIWIDUALXNOJ ZADA^I SWQVEM S

II

2

I

Y D

D( ) Y( )

D Z ZZ Z

p

p

p

p

p

p

p p

p

p

p

p

km

km

2

2

f f 2 j 2 g 2 g

-POLINO

MIALXNYE ALGORITMY

ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW

0

0

0

0

+ +

+

BB

C; d c ; c c ; c C; i < j ; B :i j i j

. | � = ,� = 0 1 , � � | -

,, , = � ;, 011000.

, = .: � ,

( ) = � (� ),

1 : = ( ) = ( );2 : , -

, ( ), -( ) ( ( )) ( ( ) );

3 : , -1 ,2 , ( ) ,

( ) ( ( ) ). , -- 1,

( = 1) .

+ log + max log ( ) .

, | ., 1{3 , , -

, ., -

� . , -, \ ",

\ "� . , ( , ) = ( )=

= � � | = ( ) ( )-

( -

6

KAVDOJ PROBLEMOJ OPREDELENNU@wWEDEM KONE^NOE MNOVESTWO NAPRIMER

A TAKVE MNOVESTWO PROIZWOLXNYH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOSTAWLENNYH IZ SIMWOLOWALFAWITA WOZMOVNO POWTORQ@]IHSQNAPRIMER PUSTOE MNOVESTWO ILI ~ISLO NAZYWAETSQ

I OBOZNA^AETSQ ZNAKOM MODULQNAZOWEM TAKOE OTOBRAVENIE STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE

L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^E EE KOD SLOWO IZALFAWITA ^TO

WOZMOVNO ODNOZNA^NOE DEKODIROWANIEPOLINOMIALXNO WY^ISLIMY SU]ESTWUET ALGORITM REA

LIZU@]IJ I POLINOM DLQ KOTOROGO WREMQ OPREDELENIQ I NE PREWOSHODIT

KODIROWKA NEIZBYTO^NA DLQ L@BOJ DRUGOJ KODIROWKI UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM NAJDETSQ POLINOM TAKOJ ^TO

nAPRIMER DLQ ZAPISI CELYH ^ISEL NEIZBYTO^NOJ QWLQETSQ L@BAQ I^NAQ SISTEMA S^ISLENIQ S KODIROWKA^ISEL TEM VE KOLI^ESTWOM PALO^EK SLU^AJ IZBYTO^NA

zDESX I DALEE ZNAKOM OBOZNA^AETSQ BLIVAJ[EE CELOE SWERHU K^ISLU W SKOBKAH A CELAQ ^ASTX ^ISLA

nA^INAQ S \TOGO MOMENTA W MY BUDEM KAK PRAWILO RASSMATRIWATX RASPOZNAWANIQ SWOJSTW OGOWARIWAQ DRUGIE SLU^AI OSOBO

pOSLE TOGO KAK DLQ MASSOWOJ ZADA^I WWEDENA KODIROWKA S L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^EJ BUDET SWQZANO NEKOTOROE SLOWOW ALFAWITE \TOJ KODIROWKI sLOWA KOTORYE SOOTWETSTWU@T INDIWIDUALXNYM ZADA^AM RASPOZNAWANIQ SWOJSTW IME@]IM OTWET DAUSLOWIMSQ S^ITATX PRAWILXNYMI I MNOVESTWO PRAWILXNYH SLOW W

NAZOWEM fORMALXNO QZYKALFAWIT

s ALGORITMOM RE[ENIQ ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTW BUDEM ASSOCIIROWATX MA[INU tX@RINGA PROGRAMMU DLQ DETERMINI

I I

I I I I

II I I

II I

1. -,

[1] . 35:

I

Y( )I I Y

p

p p

p

p

p

upravnenie pREDLOVITX NEIZBYTO^NU@ KODIROW

KU I OCENITX PO PORQDKU DLINU WHODA ZADA^I KOMMIWOQVERA

SRAWNITX POLU^ENNU@ OCENKU S UKAZANNOJ W NA S

p

p

p

p p

p

a p

f gf g

2 8;

j j!

2 2

8 6 6

� 8 2j j

� 8 2j j j j

d e fd ej 2 gd�e

b�cxx

2

f 2 j 2 g

( -)

--

SHEMU KODIROWANIQ KODIROW

KU ALFAWIT

SLOW NAD ALFAWITOM

DLI

NOJ SLOWA kODIROWKOJ ZADA

^I

QZYKOM

1 2 1 21

1

1

2 2

�;

� � � : : : � ; � in

� n �e

e �

e ee; e

e; e pe e e p e

ep

e < p ek k >

k

m B d c ; c c ; c C

�

L e:e

::

� e; � e ; :

i

i i i i j

i j i j

�

�

�

�

�

� �

�

�

� 0

� � 0

0 0

�

�

1 2 n j

) �(\ ") (\ ")

, (| \ "),

( ) = � � | , ( ) =-

, ( ) = ( , ) � .( ) � ( )

.( ),

( ) = max ( )

, �\ "

( ), , -.

= ( , ) , ( ) | :( ) ( )

, ( , ), a

, -. (

, -( , ) .)

-. ( -

.2.) ( ).

. ,1) ,

, , . .: , , ( ( )) = ; -

, 10- :

7

ROWANNOJ MA[INY tX@RINGA S WHODNYM ALFAWITOM I KONE^NYMISOSTOQNIQMI DA I NET I ANALOGI^NO NAZOWEM QZYKOMALGORITMA MNOVESTWO SLOW S KOTORYMI NA WHODEOSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII DA

ALFAWIT IaLGORITM MASSOWU@ ZADA^U S KO

DIROWKOJ ESLI I OSTANAWLIWAETSQoBOZNA^IM WREMQ RABOTY NAD SLOWOM ^ISLO [AGOWALGORITMA DO OSTANOWKI ALGORITMARE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NAZOWEM FUNKCI@ OPREDELQEMU@KAK

tAKIM OBRAZOM PRI OCENKE WREMENNOJ SLOVNOSTI ALGORITMOW MYRASS^ITYWAEM NA HUD[U@ IZ WOZMOVNYH INDIWIDUALXNYH ZADA^DANNOGO RAZMERA POSKOLXKU ZARANEE NE IZWESTNO S KAKOJ KONKRETNOJ ZADA^EJ PRIDETSQ RABOTATX

RE[A@]IJ S KODIROWKOJ POLINOM

eSLI DLQ ZADA^I SU]ESTWUET TAKAQ KODIROWKA ^TOTO BUDEM NAZYWATX ZAD ^U ILI

PROSTO I POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIEM OTOVDESTWLQQ MASSOWU@ ZADA^U I QZYK s U^ETOM USLOWIQ NEIZBYTO^NOSTIKODA UKAZANNAQ PROCEDURA KORREKTNA IBO DLQ POLINOMIALXNOJ POLU^AEM

pRIMEROM POLINOMIALXNOJ ZADA^I QWLQETSQ RASPOZNAWANIE ^ETNOSTI CELOGO ^ISLA s E]E ODNOJ POLINOMIALXNOJ ZADA^EJ MY WSTRETIMSQ W RAZD dLQ ZADA^I RASPOZNAWANIQ PROSTOTY ^ISLAWOPROS O EE POLINOMIALXNOSTI POKA OTKRYT dLQ RQDA DRUGIH ZADA^UDAETSQ DOKAZATX IH NEPOLINOMIALXNOSTX tAK IZWESTNY

ALGORITMI^ESKI NERAZRE[IMYE ZADA^I KOGDA NE SU]ESTWUETALGORITMA RE[A@]EGO L@BU@ INDIWIDUALXNU@ ZADA^U T E

NE PRIMENIM K W ^ASTNOSTI NAPRIMER Q PROBLEMA gILXBERTA PO DANNOMU MNOGO^LENU S CELYMI

Z

2. -, � .

PZ

PP

P

I I I

a a

a

a a a

a p

a p a

a a

p

upravnenie dATX ALGORITM RASPOZNAWANIQ PRO

STOTY ^ISLA OCENITX WREMENNU@ SLOVNOSTX ALGORITMA

p a p

p p

p

p

p

p

p~

a

p a

f 2 j g

8 22

�

8 2

f j 9 9 �8 2 g

2

2

2 8

89 2 1

�

PRINIMAEMYH

RE[AET

wREMENNOJ SLOVNOSTX@

kLASS POLINOMIALXNO RAZRE[IMYH ZADA^

POLINOMIALXNO RAZRE[IMOJ

POLINOMIALXNOJ

� :+

+

q q

qL

:� � q :

e L L e �t � �

T

T n t � n :

:L e e; p

T n < p n n :e L e

L e e

t eg

Y N

Y

Y

� � <n

A

�

�

�

2 j j

1.

2.

oPREDELENIE

oPREDELENIE

a

a

a a

a

�

, = 0( . . 1970 .);

2) ( ),-

, ,( );

3) ,( ) : ( ( )) ( ( ) ). ( ),

, .,

, : -,

( ) . , -,-

, -(

). , - ,, -

( . 2),

.| .

. ( )| |

( ) ( ) �,� :

= ( ),

( ), . -. | ,

( ) :^( ) = � � : ( ( )) .

( ), ( )

8

KO\FFICIENTAMI WYQSNITX IMEET LI URAWNENIE CELO^ISLENNOERE[ENIE NERAZRE[IMOSTX DOKAZAL ` m mATIQSEWI^ W G

ZADA^I NE QWLQ@]IESQ ZADA^AMI RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQKOTORYH DLINA ZAPISI RE[ENIQ PREWOSHODIT L@BOJ NAPERED ZADANNYJ POLINOM OT DLINY WHODA NAPRIMER W ZADA^E KOMMIWOQVERA ESLITREBUETSQ NAJTI WSE MAR[RUTY IH \KSPONENCIALXNOE ^ISLO

W OSTALXNYH SLU^AQH FORMALXNO IMEEM RE[A@]EGO SKODIROWKOJ zDESX I DALEEWOZMOVNO S INDEKSAMI SLUVIT DLQ OBOZNA^ENIQ POLINOMOW

w NASTOQ]EE WREMQ DLQ L@BOJ MASSOWOJ ZADA^I DLQ KOTOROJDOKAZANO POSLEDNEE USLOWIE POLU^EN I BOLEE SILXNYJ REZULXTAT OTSUTSTWIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA ISPOLXZU@]EGO PROIZWOLXNOEPUSTX BESKONE^NOE ^ISLO PARALLELXNYH PROCESSOROW wOPROS SU]ESTWU@T LI NEPOLINOMIALXNYE ZADA^I RASPOZNAWANIQ SWOJSTWKOTORYE OKAZYWA@TSQ POLINOMIALXNO RAZRE[IMYMI PRI WOZMOVNOSTI RASPARALLELIWANIQ WY^ISLENIJ QWLQETSQ METODOLOGI^ESKOJ TEORII SLOVNOSTI OBUSLOWIW[EJ EE FORMIROWANIEKAK SAMOSTOQTELXNOJ NAU^NOJ DISCIPLINY oTWET PO WIDIMOMUDOLVEN BYTX POLOVITELXNYM I UVE UKAZAN BOLX[OJ KLASS MASSOWYH ZADA^ W KA^ESTWE KANDIDATOW SM KLASS W NO DOKAZATXILI OPROWERGNUTX \TU GIPOTEZU W DANNYJ MOMENT PREDSTAWLQETSQNEREALXNYM dLQ EE FORMALIZACII WWODITSQ OB_EML@]IJ KLASS

oPREDELIM ndmtKAK NABOR OBY^NYH DETERMINIROWANNYH MA[IN tX@RINGA

dmt S ALFAWITOM GDE PROBEGAET WSE MNOVESTWO SLOW IZ

ndmt OSTANAWLIWAETSQ KOGDA OSTANAWLIWAETSQ PERWAQ IZ dmtPRINIMA@]AQ WHODNOE SLOWO sOOTWETSTWU@]IM KONE^NYM SO

STOQNIEM BUDET MNOVESTWO SLOW PRINIMAEMYHHOTQ BY ODNOJ dmt IZ

sLOWA W OPREDELENII ndmt MOVNO PROINTERPRETIROWATX KAKPODSKAZKI K RE[ENI@ DOGADKI TOGDA dmt PROWERQET DLQ

I I I

NPC

PNP

3A

A

A A^

A A^

a p

p

p

p

a

a

a a

a

88 � 9 2 j j �

x

f g

f 2 j 9 2 2 g

OSNOWNOJ

PROBLEMOJ

NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^

NEDETERMINIROWANNU@ MA[INU tX@RINGA

qZYK ndmt

�

g

e; p t e > p e p

S S

:S :

Sq

SL

:� S � L S

SS

S

Y

�

2

� �

a

�

-.

, -, \ ". ( -

,.)

-, ( , ) = ^( ), . . :

( , ) � : ( ) ,� ( , ) � ( ) ( -

).^( )

( ), -, ( . . ):

^ ( ) = min + ( )

-^ ( ) :

^ ( ) = max ^ ( ) = max min + ( )

� :( -

\ ").

= ( , ) | ,( ) | : ^ ( ) ( ) -

, ( , ) ,-

( , ).

, -.

,\ " ( ,

9

WHODNOGO SLOWA PODSKAZKU I W SLU^AE PRAWILXNOSTI OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII ndmt PROWERQET DLQ WHODNOGO SLOWAWSE WOZMOVNYE PODSKAZKI I ESLI HOTX ODNA PRAWILXNAQ DOGADKA SU]ESTWUET TO ndmt OSTANAWLIWAETSQ S OTWETOM DA w SILU BESKONE^NOSTI ^ISLA DOGADOK W SOSTOQNII ndmt OSTANOWITXSQ NEMOVET

ndmt MASSOWU@ ZADA^U S KODIROWKOJ ESLI T E QZYKI ndmt I ZADA^I SOWPADA@T

dmt OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNIII dmt NE PRINIMAET NE OSTANAWLIWAETSQ ILI OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII

oPREDELIM NAD SLOWOM KAKMINIMALXNOE IZ WREMEN RABOTY NAD WHODOM dmt PRINIMA@]IH S U^ETOM WREMENI PRO^TENIQ SLOWA T E EGO DLINY

RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NAZOWEM FUNKCI@

pOD^ERKNEM RAZNICU S OPREDELENIEM WREMENNOJ SLOVNOSTI dmt DLQndmt RASSMATRIWA@TSQ LI[X SLOWA IZ QZYKA SOOTWETSTWU@]IE INDIWIDUALXNYM ZADA^AM S OTWETOM DA

ndmt RE[A@]AQ S KODIROWKOJPOLINOM eSLI DLQ ZADA

^I SU]ESTWUET TAKAQ KODIROWKA ^TO TO BUDEMNAZYWATX ZADA^U I POLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIEM KAK I DLQ KLASSA KORREKTNYM

pRIMEROM NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZADA^I QWLQETSQIBO W KA^ESTWE DOGADKI MOVNO ISPOLXZOWATX MAR[RUT I PRO

WERKA EGO DOPUSTIMOSTI POLINOMIALXNAoTMETIM ^TO POLINOMIALXNOSTX PROWERKI GARANTIRUETSQ TOLXKO

DLQ INDIWIDUALXNYH ZADA^ S OTWETOM DA I WOZMOVNO LI[X PRI

A

^^

^ ^

^

Z

NP ^

ZNP

NP P

a p

p a

p a

p a

a a

a

a p

p a p

p p

p

p

km

8 2 9 28 2 n 8 2

8 2

fj j g

� 8 2

fj j g

f j 99 � 8 2 g

2

2

�

RE[AET

WREMQ RABOTY ndmt

wREMENNOJ SLOVNOSTX@ ndmt

kLASS NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH

ZADA^

NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ

( )

+

^( ): ^( ):( )

+

� Sq �

q

e L e L� L e S S q� L e ; S S �

q� L �

� S� S

t �:

S t � :

T n

T n t �:

S t � :

:L e

e; p T n < p n n :e L e

Y

N

Y

N

S � LS

� L � <n � L � <n S � LS

�

� �

f j 2 g

2 j j 2 j j f j 2 g

( )

( )

S

S

3.

4.

oPREDELENIE

oPREDELENIE

A A

A

A^

A^

A

A

a a

A

A

), ( ) ( ). | .

.

.

. .-

,, . . ( ) | | :

( ) 2,

-: ( ) ( ) | ,

( ) : ( ) ( ) ( ) | . ,� ( -

) :� ( ) ( )

( ).( . . ),

;( ) -

, -.

, ( ) � (, � | -

�)..

10

EDINSTWENNOJ PODSKAZKE A DLQ ndmt PROSTONE OSTANOWITSQ w \TOM SU]ESTWENNOE OTLI^IE KLASSOW InEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIJ SLEDUET

wOPROS O NALI^II STROGOGO WKL@^ENIQ I QWLQETSQ FORMALIZACIEJOSNOWNOJ PROBLEMY TEORII SLOVNOSTI

rASSMOTRIM PODROBNEE KLASSdLQ L@BOJ NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZA

DA^I SU]ESTWUET dmt RE[A@]AQ EE S \KSPONENCIALXNOJ WREMENNOJSLOVNOSTX@ T E POLINOM I dmt

RE[AET ItAK KAK TO DLQ L@BOGO SLOWA IZ

QZYKA ZADA^I SU]ESTWUET PRAWILXNAQ DOGADKA POLINOMIALXNOJ DLINY POLINOM I SU]ESTWUET dmt

POLINOM pOSTROIM dmtKOTORAQ RABOTAET NAD L@BYM WHODNYM SLOWOM S L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^EJ SLEDU@]IM OBRAZOM RASSMATRIWA@TSQWSE SLOWA IZ DLINY MENX[E I DELAETSQ NE BOLEE[AGOW S KAVDOJ dmt eSLI O^EREDNAQ dmt OSTANAWLIWAETSQ WSOSTOQNII T E SOOTWETSTWU@]AQ DOGADKA OKAZALASX PRAWILXNOJS^ITAEM SLOWO PRINQTYM I RABOTU dmt ZAKON^ENNOJ ESLI NIODNA IZ dmt NE OSTANOWILASX ZA OTWEDENNOE WREMQ ILI OSTANOWILASX W SOSTOQNII TO ZAKAN^IWAEM RABOTU dmt I PRIPISYWAEM EJ KONE^NOE SOSTOQNIE w POSLEDNEM SLU^AE dmt DELAETNAIBOLX[EE ^ISLO [AGOW I \TO ^ISLO MENX[E WTOROJSOMNOVITELX RAWEN ^ISLU PROWERQEMYH DOGADOK ^ISLO SIMWOLOW W ALFAWITE oTS@DA UVE NETRUDNO POLU^ITX UTWERVDENIETEOREMY

I D YP NP

P NP

2. NP- ( )

NP -N

NPC NPNP H

1 NP

NPZ

NP

I

p p

POLNYE UNIWERSALXNYE ZADA^I

SO r

bl

p a

a p

p

p

a a

p

a

a

a

a

a

2 n

�

x

8 2 9 �8 2

2

j j j j �j j �

22

j j j j

j j �j jj j

�. . , -

. .. ( ). -

. - ( -).

tEOREMA OB \KSPONENCIALXNOJ OCENKE WREMENNOJ SLOVNOSTI

DLQ ZADA^ IZ KLASSA kLASS zADA^I IME@]IE HORO

[U@ HARAKTERIZACI@ oPREDELENIE POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI

kLASS tEOREMA kUKA BEZ DOKAZATELXSTWA kRITERIJ

POLNOTY dOKAZATELXSTWO POLNOTY ZADA^I BULEWY LI

NEJNYE NERAWENSTWA

( )+

1 1

( ) 2 2

1 2

2( )

pT n < n :

�S

S < p � ; pS t � < p � ; p

�

S p � p �S

q�S

qq

p �

p n

S

Y

N

Np �

�

�

j j1

1.

1.

.

uTWERVDENIE

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

a

a

,, -

-, ( . .2

1) , \ ,, ?".

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ).=

= . , ,, ,

. ,= .

: -,

\ " ( . . ( ), ( )) -, .

, , -,

( | | -); .

.-

,.

2 , . -. \

", -( .

| | .2)., ( -

, , . [2, . 414]), -,

.

11

dLQ TOGO ^TOBY LU^[E PO^UWSTWOWATX RAZLI^IE KLASSOW IWWEDEM PONQTIE MASSOWOJ ZADA^I POLU^A@]EJSQ IZ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW ZAMENOJ ALXTERNATIWNOGO WOPROSA OPREDELQ@]EGO OTWET W ZADA^E SM P OPREDELENIQ W

EGO OTRICANIEM NAPRIMER WOPROSOM W PRAWDA LI ^TONE SU]ESTWUET MAR[RUTA DLINY NE PREWOSHODQ]EJ fORMALXNO

oPREDELIM KLASSY DOPOLNITELXNYH ZADA^ IiZ OPREDELENIJ O^EWIDNO ^TO ESLI dmt

RE[AET TO dmt RE[AET GDE PROGRAMMA dmt POLU^ENAIZ PROGRAMMY dmt PROSTOJ ZAMENOJ KONE^NYH SOSTOQNIJ IDRUG NA DRUGA tAKIM OBRAZOM SPRAWEDLIWO

aNALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ KLASSA DO SIH POR NE UDAETSQNI DOKAZATX NI OPROWERGNUTX PRIWEDENNOE WY[E DLQ dmt RASSUVDENIE NELXZQ OBOB]ITX NA ndmt IBO DLQ INDIWIDUALXNYH ZADA^S OTWETOM NET T E ILI ndmt NE OSTA

NAWLIWAETSQ ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OT DLINY WHODAw ^ASTNOSTI NE IZWESTNA ndmt RE[A@]AQ ZA POLINOMIALXNOE WREMQ TAK KAK DLQ NEE NE PRIDUMANO PODSKAZKI POLINOMIALXNOJDLINY ESTESTWENNYJ WARIANT POKAZATX WSE MAR[RUTY NE POLINOMIALEN WKL@^ENIE NE DOKAZANO I NE OPROWERGNUTO

mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLI DLQ NEE WYPOLNENO

iZ UTWERVDENIQ SLEDUET ^TO sOWREMENNAQ GIPOTEZA SOSTOIT W RAWENSTWE \TIH KLASSOW oTS@DA I TERMIN HORO[AQHARAKTERIZACIQ TAK KAK DLQ PODOBNYH ZADA^ ESTX OSNOWANIQ NADEQTXSQ NA WOZMOVNOSTX POSTROENIQ POLINOMIALXNYH ALGORITMOW SMZADA^U LINEJNYE NERAWENSTWA W RAZD oDNAKO DLQ ZADA^I

OBLADA@]EJ HORO[EJ HARAKTERIZACIEJ DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO SM S DETERMINIROWANNOGO POLINOMIALXNOGO ALGORITMA POKA NE NAJDENO NESMOTRQ NA EE NEPOSREDSTWENNU@PRAKTI^ESKU@ ZNA^IMOSTX

P NP

D D Y D Yco-P P

co-NP NP

co-P PNP

I I Y I YI

NP3. ,

-N , . . NP

NP co-NPP NP co-NP

NP

p p

p

p

km

p p p p p

p p

p p a

p a p a

a

p p

km

km

upravnenie dOKAZATX ^TO ZADA^A RASPOZNAWANIQ

PROSTOTY ^ISLA PRINADLEVIT KLASSU SO r T E p~

p

ln

p~

p~

x

nf j 2 g

f j 2 g

62 2

2

2

2 \� \

2

DOPOLNITELXNOJ K

IME@]EJ HORO[U@ HARAKTERIZACI@

0

B;

::

q qY N

2.

5.

uTWERVDENIE

oPREDELENIE

. | ,-

,. -

., -

, -

.: ( ( )) ( ( )),

( ( ( ))) = ( ( )), . . ( ( )) ( ) ( ( ))( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )),

,. . ( ) | : ( ( )) ( ) ( )

, ,

( )

(, , -

| .).

., -

, , -, -

: = . .( ( )) -

= ( ) ( ( )) .| ( ) ( ) + ( ( )) | .

( ).

12

zADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW BOLX[OE RAZNOOBRAZIE I DLQTEORII PREDSTAWLQET INTERES NE TOLXKO WOZMOVNOSTX IH KLASSIFIKACII NO I SPOSOBY OPREDELENIQ KLASSA SLOVNOSTI ODNIH ZADA^ NAOSNOWE IZWESTNOGO KLASSA SLOVNOSTI DRUGIH pO\TOMU WWODITSQ BAZOWOE DLQ TEORII SLOVNOSTI PONQTIE

bUDEM GOWORITX ^TO MASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW S KODIROWKOJ K ZADA^ES KODIROWKOJ ESLI L@BAQ INDIWIDUALXNAQ ZADA^A MO

VET BYTX SWEDENA ZA POLINOMIALXNOE OT EE DLINY WREMQ K NEKOTOROJS SOHRANENIEM OTWETA fORMALXNO

SU]ESTWUET FUNKCIQ SWODIMOSTI TAKAQ^TO T EI

I SU]ESTWUET dmt REALIZU@]AQ ZA POLINOMIALXNOE WREMQT E POLINOMw SLU^AE KOGDA SOOTWETSTWU@]IE KODIROWKI NE IZBYTO^NY BUDEMISPOLXZOWATX TERMIN POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI PO OTNO[ENI@ KSAMIM ZADA^AM BEZ UKAZANIQ KODIROWOK I PRIMENQTX OBOZNA^ENIE

kORREKTNOSTX UPRO]ENIQ WYTEKAET IZ POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTIZADA^I K SAMOJ SEBE NO S DRUGOJ NEIZBYTO^NOJ KODIROWKOJ I SLEDU@]EGO O^EWIDNOGO UTWERVDENIQ TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ

eSLI I TOsU]ESTWENNYM DLQ TEORII SLOVNOSTI QWLQETSQ

eSLI I TO IoBOZNA^IM dmt RE[A@]U@ S POLI

NOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ I POSTROIM dmt RE[A@]U@ S POLINOMIALXNOJ WREMENNOJ SLOVNOSTX@ KAK SUPERPOZICI@ dmt I T E SNA^ALA K L@BOMU WHODNOMUSLOWU PRIMENQETSQ A POTOM K POLU^IW[EMUSQ SLOWU DLINOJ NE BOLEE PRIMENQETSQ wREMENNAQSLOVNOSTX POLINOM

aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ PRI ZAMENE SLOWA dmt NA ndmteSLI I TO I

2

I

ID D

Y Y Y YD Y D Y

AD

P P

A

A A A A AD A

AA

NP NP

p

p p

p

p p

p p p p

p p p p

p

p p

p p p p p p

p p p p

a p

p

p

p p p p

2

2!

8 2 28 2 n 2 n

9 � 8 2 j j

/

// / /

/ 2 2

�2

j j� � � �

/ 2 2

POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI

POLINOMIALXNO SWODITSQ

1 2 2 3 1 3

ee

f e ef e e � e f � e

� e f � e; f

p � e t � < p � :

:

;

;

;� e ;

� f � p �T T T p

;

f f

f

f

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

00 0 0 00

0 0

0

0 0

0

0

0

0 0 0

0 0

0

0 0

6.

3.

4.

.

5.

oPREDELENIE

uTWERVDENIE

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

f

A

f f

f

A A A0

f

f

, ( . . -

). - ( ) -( -complete).

. . 1971 . -( ):( ) |

, . . -. ,,

( 1).(S. A. Cook). .

-( -

, , , - )-

, -, -

( . [1,2]). , ., ( , -

),

, ., -

(+ 1). -

| ,( ) -

.

-= , = .

( ) = , ., -

- ,

13

mASSOWAQ ZADA^A NAZYWAETSQESLI I T E L@BAQ NE

DETERMINIROWANNO POLINOMIALXNAQ ZADA^A POLINOMIALXNO SWODITSQK kLASS WSEH POLNYH ZADA^ RASPOZNAWANIQ SWOJSTW OBOZNA^AETSQ

nEPUSTOTU KLASSA DOKAZAL s a kUK W G iM BYLA RASSMOTRENA ZADA^A O WYPOLNIMOSTI WYQSNITX WYPOLNIMOSTXKON_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMY knf KON_@NKCII KONE^NOGO^ISLA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ T E DIZ_@NKCIJ BULEWYH PEREMENNYH ILI IH OTRICANIJ a IMENNO W ZADA^E TREBUETSQRASPOZNATX DLQ knf NA WHODE SU]ESTWUET LI WYPOLNQ@]IJ NABOR

DLQ KOTOROGO ZNA^ENIE knf RAWNO

POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI K L@BOJNEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ ZADA^I OSNOWANO NA FORMALXNOJ ZAPISI USLOWIQ PRINADLEVNOSTI SLOWA QZYKU IZ KLASSA TOGO ^TO PRINIMAETSQ NEKOTOROJ ndmt A ZNA^IT I KAKOJ TO dmtW WIDE NABORA DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT SPECIALXNO WWODIMYH BULEWYH PEREMENNYH SWQZANNYH S SOSTOQNIQMI dmt W RAZLI^NYE MOMENTY WREMENI I QWLQETSQ NEDOSTATO^NO PROSTYM DLQ WWODNOGO KURSA SM pO\TOMU MY LI[X UBEDIMSQ W TOM ^TOdEJSTWITELXNO WHODNOE SLOWO PARAMETRY OPREDELQ@]IE INDIWIDUALXNU@ ZADA^U WYPOLNIMOSTI SODERVIT ^ISLO DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ W knf I UKAZANIE DLQ KAVDOJ IZ NIH KAKIE PEREMENNYEWHODQT S OTRICANIEM A KAKIE NE WHODQT WOOB]E dLINU TAKOGO SLOWAMOVNO OGRANI^ITX SNIZU SUMMOJ DLIN DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ PONIMAQ POD DLINOJ FUNKCII ^ISLO EE PEREMENNYH ILI ^ISLO ZNAKOWDIZ_@NKCII eSLI TEPERX W KA^ESTWE PODSKAZKI DLQ OPREDELQEMOJ WHODNYM SLOWOM knf WZQTX WYPOLNQ@]IJ EE NABOR TOWY^ISLENIE NA NEM ZNA^ENIQ knf PROWERKA WYPOLNIMOSTI POTREBUET TAKOGO VE PO PORQDKU ^ISLA [AGOW

iZ OPREDELENIQ POLNOTY NEPOSREDSTWENNO SLEDUETeSLI TO a ESLITO

tAKIM OBRAZOM ESLI BY UDALOSX NAJTI POLINOMIALXNYJ ALGORITM RE[ENIQ HOTX ODNOJ POLNOJ ZADA^I TO BYLI BY POSTROENY

NPNP NP

NPNPC NP

NPC

NPC

NP

NP

NPP NPC P NP

NPC NP P NPC NP P

NP

p

p p p p

p

wyp

wyp

wyp

wyp

wyp

2 8 2 /

2

2

\ 6 ;\ n 6 ; � n

-POLNOJ ILIUNIWERSALXNOJ

0

0

z z

z

��

z

i i

0 07.

2

6.

oPREDELENIE

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

-, - - -

,( . .

), --

. ,, , -

-. , ,

, -- ,

.

. ( -), -

- ( . [1])., 3( ). -

- , --

- ::

3, - -

( )..

1) ,,

,( -

. [2, . 330]).2) .

+ + + = 1-

. -

14

POLINOMIALXNYE ALGORITMY RE[ENIQ WSEH POLNYH ZADA^ I WSEHZADA^ IZ KLASSA A ESLI DLQ KAKOJ LIBO POLNOJ ZADA^I DOKAZATX OTSUTSTWIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ TO \TONE TOLXKO DAET STROGOE WKL@^ENIE T E OTWET K OSNOWNOJPROBLEME TEORII SLOVNOSTI NO I WLE^ET ZA SOBOJ DOKAZATELXSTWO NEWOZMOVNOSTI POSTROENIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ L@BOJ ZADA^I IZ KLASSA pOSKOLXKU NI TOGO NI DRUGOGO POKA NESDELANO S^ITAETSQ ^TO ZADA^I IZ OTWE^A@T VITEJSKOMU PREDSTAWLENI@ O TRUDNOJ ZADA^E I WRQD LI DOPUSKA@T \FFEKTIWNOE RE[ENIE pO\TOMU ESLI WSTRE^AETSQ ZADA^A DLQ KOTOROJ NA PRAKTIKENE UDAETSQ PRIDUMATX NEPEREBORNYJ ALGORITM TO IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX EE POLNOTU ^TOBY OPRAWDATX PRIMENENIE KNEJ TEH ILI INYH PEREBORNYH SHEM

pOSLE TOGO KAK BYLA USTANOWLENA NEPUSTOTA KLASSA TEOREMOJ kUKA POQWILASX WOZMOVNOSTX DOKAZATELXSTWA POLNOTYMASSOWOJ ZADA^I PUTEM POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ K ODNOJ IZIZWESTNYH POLNYH ZADA^ SOOTWETSTWU@]IJ SPISOK SM WdEJSTWITELXNO IZ UTWERVDENIQ SLEDUET

mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW POLNA TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA ONA PRINADLEVIT KLASSU I K NEJ POLINOMIALXNO SWODITSQ KAKAQ LIBO

POLNAQ ZADA^AI

pOLXZUQSX TEOREMOJ MOVNO POKAZATX POLNOTU ZADA^I O SU]ESTWOWANII CELO^ISLENNOGO RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI

TAK KAK PODSKAZKOJ MOVETSLUVITX RE[ENIE SISTEMY A EGO PROWERKA SWODITSQ K UMNOVENI@ NAZADANNYE KO\FFICIENTY I SLOVENI@ ^TO NE PREWOSHODIT POLINOMAOT DLINY ZAPISI WSEH KO\FFICIENTOW DOKAZATELXSTWO POLINOMIALXNOSTI DLINY ZAPISI RE[ENIQ SM W S

oB]IJ WID SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTW

nETRUDNO PREDSTAWITX W PODOBNOJ FORME USLOWIE ISTINNOSTI DIZ_@NKTIWNOJ FUNKCII dLQ \TOGO ZAMENIM W KAVDOJ J FUNKCII ZNAKI

NPNP NP

P NP

NPCNPC

NP

3 NPCNP

NP

NPNP

NPNP

NPC NP NPCNP

NPCNP

p p

p

p p p p p

cln

cln

cln

wyp cln

�

f 2 g () f 2 9 2 / g

22

/�

-KRITERIJ POLNOTY

1 1 2 2

:

a z a z : : : a z b ; j ; : : : ;m:

j

j j jn n j

0 0

3

7.

.

tEOREMA

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

, | (1 )1, -

0 1 .= -

(

).-

. ., .2

| -

( ).

.1 [2] ( -),

.

. , -( )

3 .( . [1]) -

., ( ,

[1,2]), -. ,, -

( ), .

15

DIZ_@NKCII ZNAKAMI SUMMY A OTRICANIQ PEREMENNYH NAI NAPI[EM DLQ POLU^IW[EJSQ LINEJNOJ FUNKCII USLOWIE DOBAWIW OGRANI^ENIQ I NA WSE PEREMENNYE cELO^ISLENNOERE[ENIE SISTEMY WSEH POSTROENNYH NERAWENSTW QWLQETSQ WYPOLNQ@]IM NABOROM DLQ ISHODNOJ knf TAK KAK ISTINNOSTXknf \KWIWALENTNA ISTINNOSTI WSEH OBRAZU@]IH EE DIZ_@NKTIWNYHFUNKCIJ tAKIM SPOSOBOM RE[ENIE L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^IO WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K RE[ENI@ NEKOTOROJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I pOLINOMIALXNOSTX SWEDENIQ O^EWIDNA

zAMETIM ^TO FAKTI^ESKI W P DANNOGO DOKAZATELXSTWA DOKAZANBOLEE SILXNYJ REZULXTAT O SWEDENII K PODZADA^E ZADA^E O SU]ESTWOWANII BULEWA RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH NERAWENSTWS CELYMI KO\FFICIENTAMI dOKAZATELXSTWO PRINADLEVNOSTI

KLASSU NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ POWTORQETP DANNOGO DOKAZATELXSTWA BEZ SSYLKI NA TAK KAK POLINOMIALXNOSTX DLINY BULEWA RE[ENIQ O^EWIDNA TEM SAMYM POLU^ENO I

kROME ZADA^I O WYPOLNIMOSTI POLNOTA WSEH OSTALXNYHIZWESTNYH ZADA^ IZ KLASSA W TOM ^ISLE I BYLA DOKAZANANA OSNOWE TEOREMY S POMO]X@ POLINOMIALXNOGO SWEDENIQ oB]IERECEPTY DOKAZATELXSTWA POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI SM W LEGKO ISPOLXZOWATX LI[X W PROSTEJ[IH SLU^AQH ~TOBY NAU^ITXSQ IHPRIMENQTX NADO RAZOBRATX BOLX[OE ^ISLO PRIMEROW W ^ASTNOSTIIME@]IESQ W NA ^TO U NAS W RAMKAH DANNOJ RABOTY NET WOZMOVNOSTI oDNAKO E]E ODIN PRIMER BUDET DALEE PRIWEDEN S CELX@POKAZATX ^TO NE TOLXKO L@BAQ PODZADA^A SWODITSQ K SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^E AWTOMATI^ESKI NO WOZMOVNO I OBRATNOE SWEDENIE

I

NPC

3. .NP-

NP, N N , N -N NP

SNP

NP

1 NPNP

cln

wyp cln

bln

bln

bln

kLASSY SLOVNOSTI

sILXNAQ POLNOTA I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTX

r r rs r SO r

r rase

s km

��

� �f g

2

2

x

- 3- . -. -

. . . -. - . -

- -.

dOKAZATELXSTWO POLNOTY ZADA^I O WYPOLNIMOSTI wZAI

MOOTNO[ENIE KLASSOW I I TRUDNYE

ZADA^I kLASS pSEWDOPOLINOMIALXNYE ALGORITMY pRI

MER DLQ ZADA^I O R@KZAKE sILXNAQ POLNOTA tEOREMA O SWQ

ZI SILXNOJ POLNOTY ZADA^I S SU]ESTWOWANIEM PSEWDOPOLINO

MIALXNOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ

0 0

z z

z zz z

i i

i i

i

8.uTWERVDENIE

,-

( ). , -. ( 5).

- ,

; , -. , -

() .

.,

( ) -(

).

, - -;3 :

( )&( )&( )&

&( )&( )., . -

, -, ,

1,, 1. , ,

-.

3

( - ) -, ( -

) -- ,

. 6- -, = .

16

rASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ ZADA^I O WYPOLNIMOSTI KOGDA Wknf MOGUT WHODITX LI[X DIZ_@NKTIWNYE FUNKCII TREH PEREMENNYH pOSKOLXKU TO PO OPREDELENI@ tAK ^TO PO UTWERVDENI@ nOEE POLNOTA TREBUET SPECIALXNOGO DOKAZATELXSTWA IBO ^ASTNYEMASSOWYE ZADA^I SODERVAT MENX[E INDIWIDUALXNYH ZADA^ I MOGUTOKAZATXSQ PRO]E NAPRIMER ANALOGI^NAQ ZADA^A POLINOMIALXNA dLQ POLU^ENIQ REZULXTATA DOKAVEM ^TOPOLNAQ ZADA^A O WYPOLNIMOSTI SWODITSQ K SWOEJ PODZADA^E ^ASTNOMUSLU^A@

pOKAVEM ^TO PROIZWOLXNU@ DIZ_@NKTIWNU@FUNKCI@ PEREMENNYH MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KON_@NKCII DIZ_@NKTIWNYH FUNKCIJ OT TREH PEREMENNYH ZA S^ET WWEDENIQDOPOLNITELXNYH PEREMENNYH oBOZNA^IM ^EREZ PEREMENNU@ILI W ZAWISIMOSTI OT TOGO KAK Q KOMPONENTA WHODIT W RASSMATRIWAEMU@ DIZ_@NKTIWNU@ FUNKCI@ TOGDA POSLEDN@@ MOVNOZAPISATX KAK I PRI ZAMENITX NA knf

oTMETIM ^TO DANNAQ ZAMENA NE QWLQETSQ \KWIWALENTNOJ dEJSTWITELXNO ESLI ISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX NUL@ TO POSTROENNAQ knf RAWNA NUL@ PRI WSEH ZNA^ENIQH NO ESLIISHODNAQ DIZ_@NKTIWNAQ FUNKCIQ RAWNQLASX TO NAJDETSQ TAKOEZNA^ENIE ^TOBY knf RAWNQLASX |TOGO ODNAKO DOSTATO^NO DLQSOHRANENIQ OTWETA NA WOPROS O SU]ESTWOWANII WYPOLNQ@]EGO NABORA

uNIWERSALXNOSTX ZADA^ IZ KLASSA POLNYH ZADA^ SOSTOIT W TOM ^TO OSNOWNYE NERE[ENNYE WOPROSY DLQ KLASSA NEDETERMINIROWANNO POLINOMIALXNYH ZADA^ DOSTATO^NO RAZRE[ITX HOTQ BY DLQ ODNOJ POLNOJ ZADA^I ^TOBY POLU^ITX OTWET DLQ WSEGOKLASSA kROME UTWERVDENIQ ZDESX TAKVE WAVNO

eSLI DLQ NEKOTOROJ POLNOJ ZADA^I DOPOLNITELXNAQ K NEJ PRINADLEVIT KLASSU TO

3- D(3- ) D( )3- 3- NP

NP

2-3- NP NP

3-3-

4. N - -3- ( ).

2. NP NPNP

NPNP

NPNP NP co-NP

wyp wyp wyp

wyp wyp wyp

wyp

wyp s

wyp

wyp wyp

upravnenie zAWER[ITX DOKAZATELXSTWO r POL

NOTY ZADA^I wyp RASSMOTRETX SLU^AI

s

p

p

�/ 2

2

/

_ _ _

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _

1 2

1 2 1 3 1 2 4 2 3

2 4 3 1 3

f z k

u y z

z i z

y y : : : y k >

y y u y u u y u u : : :

: : : y u u y y u

u

u

k <

j j

ji

ji

ji

j

k

j j j j j

kjk

jk k k

jk� � � � �

9.

.

10.

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

, ,

(

| . 6). , ,5. ,.

= .

, = -( = ),

- -. -

,, ( . .

), , -

,- ( . . - )

().

, . . ,,

- ,1) , ,

, , ( ,);

2) , -- ( , .1

1);3) (

), - -, | | -

,.

( ),: : , -

- .

17

tAK KAK TOOTS@DA I POLINOMIALXNOE SWEDENIE OSU]ESTWLQETSQ TOJ VEFUNKCIEJ SM OPREDELENIE nO ZNA^ITPO UTWERVDENI@ s U^ETOM PROIZWOLXNOSTI POLU^ILI^TO oBRATNOE WKL@^ENIE DOKAZYWAETSQ NA OSNOWANIIO^EWIDNOGO RAWENSTWA

nAPOMNIM ^TO GIPOTEZA W NASTOQ]EE WREMQ KAVETSQ NEREALXNOJ REALXNAQ GIPOTEZA I WRQD LIDLQ KAKOJ LIBO POLNOJ ZADA^I UDASTSQ DOKAZATX PRINADLEVNOSTXKLASSU pO\TOMU DLQ KONKRETNOJ NEDERMINIROWANNO POLINOMIALXNOJ MASSOWOJ ZADA^I ESLI EE RE[ENIE PREDSTAWLQETINTERES IMEET SMYSL POPYTATXSQ DOKAZATX WKL@^ENIE T EEE HORO[U@ HARAKTERIZACI@ I ZATEM POSTROITX POLINOMIALXNYJALGORITM RE[ENIQ LIBO KOGDA UKAZANNOE WKL@^ENIE NE DOKAZYWAETSQ NADO POPROBOWATX POLINOMIALXNO SWESTI K ODNU IZ IZWESTNYH

POLNYH ZADA^ T E POKAZATX POLNOTU I W SLU^AE USPEHAPODYSKIWATX PEREBORNU@ SHEMU RE[ENIQ U^ITYWAQ OGRANI^ENIQ NARAZMERNOSTX PRAKTI^ESKI RE[AEMYH INDIWIDUALXNYH ZADA^

dOKAZATELXSTWO UNIWERSALXNOSTI T E WKL@^ENIQUDAETSQ NE WSEGDA I W TEORII SLOVNOSTI BYL WWEDEN OB_EML@]IJ

KLASS ZADA^ SODERVA]IJRASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYH DOKAZANO ^TO

DLQ NO NE POKAZANO ^TO W ^ASTNOSTI \TO ZADA^I

OPTIMIZACII DLQ KOTORYH SOOTWETSTWU@]IE RASPOZNAWANIQ SWOJSTW POLNY NAPRIMER ZADA^A KOMMIWOQVERA IZ P

I OSTALXNYE MASSOWYE ZADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQSWOJSTW K KOTORYM KAKIE LIBO POLNYEZADA^I GDE SWODIMOSTX PO tX@RINGU OZNA^AET ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ POLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQSLEDUET SU]ESTWOWANIE POLINOMIALXNOGO ALGORITMA I DLQ

zADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ KOTORYHI NAZYWA@TSQ ZADA^A

MI IZ KLASSA

NPC NP

NP NPNP

co-NP NP

NP co-NPP NP co-NP

NPco-NP

NPNP

NP NP

NPC

NPC NP

NPC NPco-NPC

NP

NPNPC

NPC NPNP

p p p p

p p

p p

p

p p

p

p

p

p

p p

p p p

p p

p

p p

p p p

p

p

p

p p p p p p

2 8 2 /

/

2 22

�

\

22

2

/2 2

2

x

2 /

9 2 / 9 2 /

TRUDNYH

SWODQTSQ PO tX@RINGU

\KWIWALENTNYH

T

T T

0 0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 0 00 00

.dOKAZATELXSTWO

|( -

),, . -

. -,

- , - -. ( -. [2, . 412].)

,-

; , - ( -).

, , -. . -

(Nick Class, N. Pippenger), ,

, ( -).

,.

. , -(

) , -. ,

- - ,.

( ) - -| ( ), ,

.

max

18

wSE RASSMOTRENNYE NAMI KLASSY ZADA^WKL@^A@TSQ W OB]IJ KLASS MASSOWYH ZADA^ NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW DLQ RE[ENIQ KOTORYH SU]ESTWU@TALGORITMY TREBU@]IE NE BOLEE ^EM POLINOMIALXNOJ PAMQTI wOPROS O RAWENSTWE I QWLQETSQ OTKRYTYM rABO^AQ GIPOTEZA SOSTOIT W NALI^II STROGOGO WKL@^ENIQ PRI\TOM POLNYE TRUDNYE I \KWIWALENTNYE ZADA^I DOLVNYWKL@^ATXSQ W sOOTWETSTWU@]U@ DIAGRAMMU WZAIMOSWQZI KLASSOW SLOVNOSTI SM W S

zAMETIM ^TO TEORETI^ESKI RASSMOTRENNU@ SHEMU POSTROENIQKLASSOW SLOVNOSTI MOVNO PRIMENQTX I DLQ DRUGIH SHEM KLASSIFIKACII W ^ASTNOSTI WWODQT TAKVE KLASS POLNYH ZADA^ K KOTORYM POLINOMIALXNO SWODITSQ L@BAQ ZADA^A IZ KLASSAkROME POLINOMIALXNOJ SWODIMOSTI MOVNO ANALOGI^NO GOWORITX OLOGARIFMI^ESKOJ SWODIMOSTI O ZADA^AH TREBU@]IH LOGARIFMI^ESKOJ PAMQTI I T P w NASTOQ]EE WREMQ NAIBOLEE INTENSIWNO IZU^AEMYM ZDESX OKAZYWAETSQ KLASS AWTORZADA^ RE[AEMYH ZA WREMQ OGRANI^ENNOE POLINOMOM OT LOGARIFMADLINY WHODA I TREBU@]IH POLINOMIALXNOJ PAMQTI LOGARIFMI^ESKOE WREMQ PRI WOZMOVNOSTI POLINOMIALXNOGO ^ISLA PROCESSOROWk SOVALENI@ IZLOVENIE POLU^ENNYH DLQ REZULXTATOW WYHODITZA RAMKI WWEDENIQ W TEORI@ SLOVNOSTI

rANEE UVE OTME^ALOSX ^TO S PRAKTI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ RAZNICA MEVDU POLINOMIALXNYM ALGORITMOM DLQ POLINOMOW WYSOKIHSTEPENEJ I \KSPONENCIALXNYM WESXMA USLOWNA A WSE DELO W WOZMOVNOSTI ILI NEWOZMOVNOSTI IZBEVATX POLNOGO PEREBORA wOPROS WSE LI

POLNYE I TRUDNYE ZADA^I TRUDNY DLQ PRAKTI^ESKOGO S^ETAMY OBSUDIM NIVE W \TOM PARAGRAFE

rASSMOTRIM SAMU@ PROSTU@ PO FORMULIROWKE TRUDNU@ ZADA^U ZADA^U O R@KZAKE ZAKL@^A@]U@SQ W TOM ^TOBY IZIME@]EGOSQ NABORA POLEZNYH WE]EJ SOBRATX R@KZAK OGRANI^ENNOGOOB_EMA S NAIBOLX[EJ POLXZOJ fORMALXNO TREBUETSQ NAJTI

PSPACE

P PSPACEP PSPACE

NP NP NPPSPACE P

PSPACEPSPACE

NC

NC

3

NP NP

NP

p

zr

�

n

f j � g

KLASSY SLOVNOSTI

: 0 1 =1=1 =1

c z w z K ;z z ; j ;:::;n

n

j

j j

n

j

j j

X X2f g 8j

| ( ), | ( ) -, ;

( ). | -

| - (8,

, . [1, . 87 2, . 386]).( ).

-

( ) = max

(0) | ., 1. ,

( ) = 0 . = 0 1 :

( ) =0

,

= 1 2: ( ) = max ( ) + ( + ) =

= max + ( + ) ; (0) = max (0) + ( )

� . ,, -

log ; |.

.

19

GDE POLEZNOSTX CENNOSTX OB_EM WES JWE]I A PEREMENNAQ OPREDELQET KLASTX ILI NE KLASTX EE W R@KZAKMAKSIMALXNO WOZMOVNYJ OB_EM WES R@KZAKA ZADAETSQ PARAMETROM

sOOTWETSTWU@]AQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW SU]ESTWUET LI BULEWO RE[ENIE SISTEMY DWUH LINEJNYH NERAWENSTW

I

S NATURALXNYMI KO\FFICIENTAMI POLNA DOKAZATELXSTWO NESLEDUET IZ UTWERVDENIQ TAK KAK RASSMATRIWAETSQ ^ASTNYJ SLU^AJ

PO\TOMU SM S ILI S dLQ RE[ENIQ IZWESTENSLEDU@]IJ METOD

pROIZWOLXNAQ INDIWIDUALXNAQ ZADA^A POGRUVAETSQ W SEMEJSTWO ZADA^ POISKA

ZNA^ENIE i RE[A@TSQ WSE ZADA^I DANNOGO SEMEJSTWA POREKURRENTNYM FORMULAM GDE UBYWAET S DO a IMENNO POLOVIM

iMEEM

INA^E

I

~ISLO ITERACIJ PREDLOVENNOGO ALGORITMA RAWNO I TOGO VEPORQDKA BUDET EGO WREMENNAQ SLOVNOSTX oTMETIM ^TO ALGORITM NEQWLQETSQ POLINOMIALXNYM IBO DLQ ZAPISI ^ISLA TREBUETSQ PORQDKA SIMWOLOW ON TAKVE OKAZYWAETSQ PEREBORNYM PEREBIRAETWSE WARIANTY ZAPOLNENNOSTI R@KZAKA oDNAKO PRI NE O^ENX BOLX[IHOB_EMAH R@KZAKA MOVNO DOWOLXNO BYSTRO POLU^ITX RE[ENIE dLQOBOB]ENIQ UKAZANNOGO SWOJSTWA DADIM

Z Z

Z

NP

I

bln zr

zr

zr

2 2

2

� �

2

f j � � g

8 � 8 8 �

�

8 � f g

f g f g

DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ

+ +

+

=1 =1

: 0 1 == =

1

+1 +1

0 1+1 1 2 1 2 1

2

c w jz

K

c z B w z K

F E:

c z w z K E ;

Fi n

F E:

E K; i E ;K

F E; E > K w ;c

i n ; : : : ; F E F E ; c F E w:

:c z F E w z F F ; c F w :

nK

KK

j j

j

n

j

j j

n

j

j j

iz z ; j i;:::;n

n

j i

j j

n

j i

j j

i

nn

n

i i i i i

z ;i i i i i

X X

X X

�

2f g 8

2f g

j

i

num( ) -( 0), -

, = ( ) |. ( -

) ,( ) ( ( )) ( ,num( ))

.

. -( , )

. ,-

,,

= num( ) ( )-

, -, . . ( ) | : .

-( ),( ,

), ( -), [1, . 123-124].

= , -.

. -- ( ( )) ( ,num( ))

( ). ( ( )) ( ( )) =( ), . . | -

6.

-. , -

-. -

:( ) ( ) ( ) = ( ) ( ),

20

oBOZNA^IM ^EREZ MAKSIMALXNOE PO MODUL@ CELOE ^ISLO ILI FIGURIRU@]EE PRI ZADANII ^ISLOWYH PARAMETROW DLQ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I I ^EREZ DLINUZAPISI aLGORITM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I NE OBQZATELXNO RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLIDLQ NEKOTOROGO POLINOMA WYPOLNENO

pRIMEROM PSEWDOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA QWLQETSQ ALGORITMDINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ DLQ RE[ENIQ dLQ MNOGIH DRUGIH ZADA^ W ^ASTNOSTI PSEWDOPOLINOMIALXNYH ALGORITMOW NEIZWESTNO ~TOBY WYDELITX KLASS TAKIH ZADA^ WWEDEM PONQTIE

MASSOWOJ ZADA^I KAK MNOVESTWA TEH INDIWIDUALXNYH ZADA^ ^ISLOWYE PARAMETRY KOTORYH NE PREWOSHODQTPOLINOMA OT DLINY WHODA

mASSOWAQ ZADA^A RASPOZNAWANIQ SWOJSTW NAZYWAETSQ ESLI EE POLINOMIALXNOE SUVENIEPOLNO T E POLINOM

pRIMERAMI SILXNO POLNYH ZADA^ QWLQ@TSQ IKAK SOWPADA@]IE SO SWOIMI POLINOMIALXNYMI SUVENIQMIPOSKOLXKU BYLA SWEDENA K EE POLINOMIALXNOMU SUVENI@ WKOTOROM MODULI PRAWYH ^ASTEJ NE PREWY[A@T KAK OBOB]ENIE W OTLI^IE OT A TAKVE S

eSLI TO NI DLQ KAKOJ SILXNO POLNOJZADA^I NE SU]ESTWUET PSEWDOPOLINOMIALXNOGO ALGORITMA RE[ENIQ

PROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX dmt RE[AET SILXNO POLNU@ ZADA^U IDLQ POLINOMA tOGDA

T E PROTIWORE^IE S ILI UTWERVDENIEM

sILXNO POLNYE ZADA^I S^ITA@TSQ NAIBOLEE TRUDNYMI DLQS^ETA SREDI WSEH ZADA^ KLASSA dALEE MY POKAVEM ^TO DLQ PODOBNYH ZADA^ W OPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKE OTSUTSTWU@T\FFEKTIWNYE ALGORITMY POISKA DAVE PRIBLIVENNOGO RE[ENIQ rEKOMENDUEMYM PODHODOM K IH RE[ENI@ QWLQETSQ RAZBIENIE NA PODZADA^I

ANALIZ SLOVNOSTI PODZADA^

I

I I II

I I II

I I I

NP NPNPC

NP 3-

P NP NP

NP I I I II I I I

I P NPC

NPNP

D D Y Y D

a p

p

zr

km

p

p p

p

p

wyp wyp

bln

wyp

cln

bln zr km

a

p p

p

p p

p

p p p p p

j j j j

� � j j8 2

f 2 j j j g

9 � 2

6

8 2 j j� � 8 2 j j j j

j j 2 2

� \

-

-

PSEWDOPOLINOMIALXNYM

PO

LINOMIALXNOGO SUVENIQ

SILXNO POLNOJ

( )

( )

( )

( ) ( )

:e

p ; t e < p

:< p :

p

n

t e < pp ; t e < p ; p

p

;

p

p

p

p p

�

�

0

0�

0

00� �

0

0 0 0

8.

9.

4.

oPREDELENIE

oPREDELENIE

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

A

A

A

( . 10,12) .- -

( ,- , )

( 10,11).

.

( ) = max ( )

. . ( ) ( ), ( ( )) = ( ).( ) |

( ) , ( ) : ( ) |, max -

min.= ( ),

,( ) -

. , ( ) = ,( ) = = ( ) 0 1 = 1 ,= ( ) = -

.

21

I RAZRABOTKA SHEM PEREBORA SM W DLQ pRI \TOMDLQ SILXNO POLNYH PODZADA^ NE UDAETSQ ISPOLXZOWATX METOD DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ W KA^ESTWE SPOSOBA PEREBORA IBOPO WIDIMOMU REALIZU@]IE EGO ALGORITMY PSEWDOPOLINOMIALXNY ISLEDUET ORIENTIROWATXSQ NA SHEMU METODA WETWEJ I GRANIC

wAVNYJ KLASS MASSOWYH ZADA^ OBRAZU@TdLQ OPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKI

ZADA^I RE[ENIEM KAVDOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I QWLQETSQPROIZWOLXNAQ REALIZACIQ OPTIMUMA

T E TAKAQ TO^KA DLQ KOTOROJzDESX OBLASTX DOPUSTIMYH ZNA^ENIJ DISKRETNOJCELO^ISLENNOJ PEREMENNOJ CELEWAQFUNKCIQ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I OPTIMIZACII ZNAK W POSTANOWKE ZADA^I MOVET BYTX ZAMENEN NA

bUDEM OBOZNA^ATX I TE KOMPONENTY WHODNOGO SLOWAOPREDELQ@]EGO PARAMETRY INDIWIDUALXNOJ ZADA^I KOTORYEZADA@T DOPUSTIMU@ OBLASTX OGRANI^ENIQ ZADA^I I FUNKCI@ CELI SOOTWETSTWENNO nAPRIMER DLQ IMEEM

II zDESX I DALEE ZNAK OBOZNA^AET SKALQR

NOE PROIZWEDENIE WEKTOROW

NPCNP

4.

NP

I

I I

I I I I II Z

I I ZI

II

p

pRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADA^

KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII

p p

p

zr

xx 2

xx

x

2

2�

� !

2

h if j 2 f g 8 h i � g

h� �i

-. -

. -- -

( ).. -

, -. .

( )

oPREDELENIE ZADA^I KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII I PRIBLIVEN

NOGO ALGORITMA EE RE[ENIQ uTWERVDENIE O RAZNICE MEVDU PRI

BLIVENNYM I TO^NYM OPTIMUMOM DLQ ZADA^I O R@KZAKE oPREDELE

NIE PRIBLIVENNOGO ALGORITMA I POLNOSTX@ POLINOMIALXNOJ PRI

BLIVENNOJ SHEMY ppps sWQZX MEVDU SU]ESTWOWANIEM ppps I

PSEWDOPOLINOMIALXNOSTX@ tEOREMA OB OTSUTSTWII ppps DLQ ZA

DA^ OPTIMIZACII SOOTWETSTWU@]IH SILXNO POLNYM ZADA^AM

RASPOZNAWANIQ SWOJSTW pRIMER ZADA^I O KOMMIWOQVERE

ZADA^I DISKRETNOJ

KOMBINATORNOJ OPTIMIZACII

( )

( )

1

"

Opt:

f ; z ;

z S f ; z OptS

z f ; S

� � � e

f �; z c; zS � z z ; : : : ; z z ; j ; n w; z K� n;w;K � c: ;

z S

n I

S f

n j

S f

0

2

� �

Ip p

p p p

p

p p

zr

zr

p

,( ) ( ),

. ( ( )) -( ).

-(

) ,= ,

0( ) ( ) .

. -. :

+ 1 | -,

+ 1, . . ( ) = ( ) ( + 1). -, ( ) = ( + 1) ( ) -

.( ) ( ) = ( ) ( ) ( + 1) ( + 1) 1,

. . ( ). -.

( ) , , -,

6.

- -0,

( ) ( )

( )

. . .-

[2, . 439], -.

1) ;2) ( ) ( num( )) num( ) ( ( ))

22

aLGORITM NAZYWAETSQESLI

ON NAHODIT NEKOTORU@ TO^KU IZ DOPUSTIMOJ OBLASTIPRINIMAEMU@ ZA PRIBLIVENNOE RE[ENIE zNA^ENIE NAZYWAETSQ PRIBLIVENNYM ZNA^ENIEM OPTIMUMA I OBOZNA^AETSQ

gOWORITX OB ABSOL@TNOJ POGRE[NOSTI PRIBLIVENNOGO ALGORITMA RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I OPTIMIZACII NA KLASSE WSEWOZMOVNYHINDIWIDUALXNYH ZADA^ NE IMEET BOLX[OGO SMYSLA KAK POKAZYWAET

eSLI TO NI DLQ KAKOJ KONSTANTYNE SU]ESTWUET POLINOMIALXNOGO PRIBLIVENNOGO ALGORITMA

RE[ENIQ S OCENKOJPROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX NAJDENY TA

KIE I pOSTROIM ALGORITM SLEDU@]IM OBRAZOMDOMNOVIM WSE KO\FFICIENTY NA POLU^IM INDIWIDUALXNU@ ZADA^U K KOTOROJ PRIMENIM ALGORITM I RAZDELIMPOLU^ENNYJ OTWET NA T E o^EWIDNO I IZ POLINOMIALXNOSTI ALGORITMA WYTEKAET POLINOMIALXNOSTX pRI \TOM EGO TO^NOSTX RAWNA

T E RAWNA NUL@ TAK KAK WSE ZNA^ENIQ CELEWOJ FUNKCII CELYE pOLU^ILI POLINOMIALXNYJ ALGORITM TO^NOGO RE[ENIQ pROWERKA

POLINOMIALXNA ZNA^IT POSTROILI I POLINOMIALXNYJ ALGORITM RE[ENIQ W POSTANOWKE RASPOZNAWANIQ SWOJSTW ^TOS U^ETOM UNIWERSALXNOSTI POSLEDNEJ PROTIWORE^IT UTWERVDENI@

pRIBLIVENNYJ ALGORITM RE[ENIQ MASSOWOJZADA^I OPTIMIZACII NAZYWAETSQ RE[ENIQ DLQ NEKOTOROGO ESLI

T E EGO OTNOSITELXNAQ POGRE[NOSTX NE PREWOSHODITdLQ PRIBLIVENNYH ALGORITMOW PRIWEDEM SLEDU@]IJ REZULXTATS DOKAZATELXSTWO KOTOROGO OSNOWANO NA METODE DINAMI^ESKO

GO PROGRAMMIROWANIQ I W DANNOM KURSE OPUSKAETSQpUSTX DLQ ZADA^I OPTIMIZACII

SU]ESTWUET PSEWDOPOLINOMIALXNYJ ALGORITM EE RE[ENIQI

II II I

I

P NP

I I I

I

II I

I I

I I I I

I

II I

I

I I I I I I I

a

p p

a

zr zr

a a zr

zr a

a a

zr

zr

a

p

p

p

p

p

8 22

6

j � j � 8 2

8 2

2

j � j j � j �

�

8 2j � j

j j

8 2 j j j j j j

-PRIBLIVENNYM AL

GORITMOM RE[ENIQ MASSOWOJ ZADA^I OPTIMIZACII

s

PRIBLIVENNYM ALGORITMOM

1 2

z Sf ; z

A

C >Opt A C

Cc C

C A A = COpt Opt

Opt A Opt A = C C= C <

Opt B

"" >

Opt A

Opt< ";

""

Opt < p ; < p ;Opt

j

0

0

0 0

0

0

0 0 0

10.

11.

11.

5.

oPREDELENIE

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

oPREDELENIE

tEOREMA

a p

p a

zr

zr zr

zr zr

zr

p

p

p p

( ) ( );3) = ( ) : , , ,

, , ( )( ) ;

( ) | : 0 -� ( ) ( 1 )

5 , , (11). , -

5,( ) . | ,

- . ,,

- ( ) | -: ( ) (num( )) , , = ,

.. -

. . -= 1 ( (num( ))+1).

- ( )( ) ( ) ( (num( )) + 1) (num( )) ( (num( )) + 1)

. -, -

, 1. , ,( ) = ( ) ( (num( )) + 1) .

, ,4.

= , 0-

.. [2, . 440{441].

, ( ) -, -

0.5-[2, . 429{432] ( ).

23

DLQ NEKOTORYH POLINOMOWPARAMETRY ZADA@]IE OGRANI^ENIQ I

ZADA@]IE CELEWU@ FUNKCI@ NE PERESEKA@TSQ I FUNKCIQCELI LINEJNO ZAWISIT OT PARAMETROW

TOGDA POLINOM PRIBLIVENNYJ ALGORITMRE[ENIQ S WREMENNOJ SLOVNOSTX@tEOREMA SPRAWEDLIWA NAPRIMER DLQ SRAWNITE REZULXTAT

S UTWERVDENIEM nABOR ALGORITMOW OPREDELENNYJ W TEOREME NAZYWAETSQppps RE[ENIQ ZADA^I OPTIMIZACII nALI^IE ppps LU^[EE^EGO MOVNO OVIDATX PRI RE[ENII TRUDNYH ZADA^ k SOVALENI@W CELOM RQDE SLU^AEW NA \TO NELXZQ RASS^ITYWATX TAK KAK IMEETSQ

eSLI DLQ OPTIMIZACII SOOTWETSTWU@]AQ EJRASPOZNAWANIQ SWOJSTW QWLQETSQ SILXNO POLNOJ I POLINOM TO PRI USLOWII ^TODLQ NE SU]ESTWUET ppps

PROWEDEM OT PROTIWNOGO pUSTX ppps SU]ESTWUET pOSTROIM ALGORITM SLEDU@]IM OBRAZOM dLQ L@BOJ INDIWIDUALXNOJ ZADA^I WYZYWAET StOGDA PO OPREDELENI@ PRIBLIVENNOGO ALGORITMA

POUSLOWI@ TEOREMY nO W LEWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA BYLO CELOE ^ISLO KOTOROE OKAZYWAETSQ RAWNYM NUL@ KAK NEOTRICATELXNOE MENX[EE tAKIM OBRAZOM ALGORITM TO^EN PRI^EM

PO OPREDELENI@ pppssLEDOWATELXNO ALGORITM PSEWDOPOLINOMIALEN ^TO PROTIWORE^ITTEOREME

eSLI TO NI DLQ KAKOGO NESU]ESTWUET POLINOMIALXNOGO PRIBLIVENNOGO ALGORITMA RE[ENIQOPTIMIZACIONNOJ POSTANOWKI ZADA^I KOMMIWOQVERA

SM W SdLQ ^ASTNOGO SLU^AQ W KOTOROM FUNKCIQ RASSTOQ

NIQ MEVDU GORODAMI UDOWLETWORQET NERAWENSTWU TREUGOLXNIKA IZWESTEN PRIBLIVENNYJ POLINOMIALXNYJ ALGORITM kRISTOFIDESA

S RE[ENIQ OPTIMIZACII

I I

A I I

A

NP

NPI I I P NP

AI A A I

A II I I I I

AI I I I

A

P NP

p

p

zr

p

p p

p

p

km

km

� � � �8 2

8 2

9 � � 8 9j j j j

f g

9 �j j 8 2 6

j �j j j

j j j j j j

6

� �

POLNOSTX@ POLINOMIALXNOJ PRIBLIVENNOJ SHEMOJ

1 2p ; ; p ;� e ; � �

z S �f �; z �

p ; " > "T < p ; =" :

pOpt < p

" = p" Opt

A < Opt = p < p = p

T T < p ; p

" >"

d ;

S f

f

"

"

"

"

0

0

0

0 0

0 0 0 0

0

0

0

"

"

6.

12.

tEOREMA

dOKAZATELXSTWO

uTWERVDENIE

dOKAZATELXSTWO

A

A A

p

p

p

p

p

0

1.1. 32. NP- ( ) 103. . NP-

154.

212.5.

( ) 246. 297. . 333.

8. ( ) 389. 454.10. .

( ) 5111. ( ) 5412. ( ) 58

24

wwedenie w teori` slovnostipONQTIE O SLOVNOSTI RE[ENIQ ZADA^

POLNYE UNIWERSALXNYE ZADA^IkLASSY SLOVNOSTI sILXNAQ POLNOTA

I PSEWDOPOLINOMIALXNOSTXpRIBLIVENNOE RE[ENIE ZADA^ KOMBINATORNOJ

OPTIMIZACIIosnowy linejnogo programmirowaniqpONQTIE O SLOVNOSTI ZADA^I

LINEJNOGO PROGRAMMIROWANIQ lpmETOD \LLIPSOIDOWtEORIQ DWOJSTWENNOSTI lp iDEQ METODA kARMARKARA|lementy matemati~eskogo

programmirowaniqoBZOR IDEJ MATEMATI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ mpdWOJSTWENNOSTX W mpsposoby re{eniq perebornyh zada~gLOBALXNAQ OPTIMIZACIQ

mETOD WETWEJ I GRANIC mwgcELO^ISLENNOE LINEJNOE PROGRAMMIROWANIE clpmETOD DINAMI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ dp

sODERVANIE

xxx

x

x

xx

xx

x

xx