09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 104

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie, charakteryzujące się następującymi parametrami:

– polem powierzchni przekroju [mm2, cm

2, m

2],

– położeniem środka ciężkości przekroju, – momentami statycznymi [cm

3, m

3],

– momentami bezwładności [cm4, m

4].

Definicja momentu statycznego w w układzie osi X i Y:

A A

yx xdAS,ydAS

W zależności od położenia przekro-ju względem osi układu współrzęd-nych mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne.

Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka ciężkości można napisać:

.AxS,AyS cycx

Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości figury płaskiej można obliczyć ze wzoru:

.A

Sy,

A

Sx x

cy

c

Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na figury proste.

,

A

yA

y,

A

xA

xn

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

c

Ai – pola powierzchni figur prostych, xi, yi – współrzędne środ-ków ciężkości poszczególnych figur prostych.

Definicja momentu statycznego

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 105

PRZYKŁAD

Określić położenie środka ciężkości fi-gury przedstawionej na rysunku.

Przekrój podzielono na trzy prostokąty

o następujących polach powierzchni:

A1 = 1 1 = 1 cm2,

A2 = 2 5 = 10 cm2,

A3 = 2 2 = 4 cm2. Współrzędne środka ciężkości całej figu-ry wynoszą

,cm43,34101

543105,11

AAA

xAxAxAx

321

332211c

.cm77,34101

545,3105,11

AAA

yAyAyAy

321

332211c

Momenty bezwładności

Definicja momentów bezwładności:

– osiowe momenty bezwładności

A

2y

A

2x ,dAxJ,dAyJ

– biegunowy moment bezwładności

,JJdAyxdAJ yx

A A

2220

– moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)

A

xy .xydAJ

Momenty osiowe oraz moment biegunowy są

zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny.

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 106

Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z ujemnymi polami powierzchni. PRZYKŁAD

Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.

Podział figury złożonej na figury proste

(jeden z możliwych do zastosowania podziałów figury).

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera umożli-wia obliczanie momentów bezwładności figur płaskich względem osi równolegle przesuniętych w stosunku do osi centralnych (osi przecho-dzących przez środek ciężko-ści przekroju).

Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-sunku do osi centralnych (środkowych) X0–Y0 o odcinki a i b.

Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-wy względem osi X dla y1 = y + a wyraża wzór:

A A A A

2x

A

2221x .AaJdAaydAa2dAydAaydAyJ

0

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 107

W powyższym równaniu całka A

ydA opisuje moment statycz-

ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-wiacyjny

A

yxxy

A

2x

2y

.AabJdAbxaxJ

,AbJdAbxJ

00

0

Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę twierdzenia Steinera.

Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.

Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i obu składowych równoległego przesunięcia.

Twierdzenie Steinera ma następująca postać matematyczną:

.AabJJ

,AbJJ

,AaJJ

00

0

0

yxxy

2yy

2xx

GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Osie przechodzące przez środek ciężkości przekroju – OSIE

CENTRALNE. Osie obrócone pod odpowiednim katem, powo-

dującym wyzerowanie momentów dewiacyjnych – GŁÓWNE

OSIE BEZWŁADNOŚCI.

Momenty względem tych osi – GŁÓWNE MOMENTY BEZ-

WŁADNOŚCI

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 108

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI DLA PRZEKROJU PROSTOKĄTNEGO

Momenty bezwładności względem osi centralnych XC–YC

X

Y

b

h

Osiecentralne

C C

C

X

Y

ydy

dA = bdy

0I,12

hbI,

12

bhdybydAyI YcXc

3

Yc

3

A

2

h

2

h

22

Xc

Momenty bezwładności względem osi X–Y

h

b

Y

X

X

Y

ydy

x

dA

h

0

222

A

h

0

XY

3

Y

3

A

h

0

22

X .4

hbdyy

2

bdyby

2

bxydAI,

3

hbI,

3

bhdybydAyI

TWIERDZENIE STEINERA

.4

hb

4

bh)bh(0

2

b

2

hAII

,3

hb

4

hb

12

hb

2

bAII,

3

bh

4

bh

12

bh

2

hAII

22

XYXcYc

3332

YcY

3332

XcX

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 109

Przykład:

Dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku

wyznaczyć momenty bezwładności względem osi X–Y oraz

osi centralnych X0–Y0.

Wyznaczyć główne momenty bezwładności oraz ich poło-

żenie.

Osiowy moment bezwładności względem osi X:

.12

abdyyyb

b

aJ,yb

b

au,udyydAyJ

32

b

0

x

b

0

2

A

2

x

Osiowy moment bezwładności względem osi Y:

.12

badxxxa

a

bJ,xa

a

bt,tdxxdAxJ

32

b

0

y

A

a

0

22

y

Moment dewiacyjny wyznacza się po określeniu współrzęd-nych środka ciężkości powierzchni:

.24

baydyyb

b

a

2

1J,u

2

1x,xyudyxydAJ

222

b

0

2

2

xy

A

b

0

xy

Momenty bezwładności względem osi centralnych (twierdzenia Steinera):

.72

ba

18

ba

24

ba

3

b

3

aAJJ

,36

ba

9

a

2

ab

12

ba

3

aAJJ,

36

ab

9

b

2

ab

12

ab

3

bAJJ

222222

xyyx

3232

yy

3232

xx

00

00

Główne momenty bezwładności:

.baba72

ab

72

)ba(abJ 2244

22

2,1

Położenie głównych centralnych osi bezwładności:

.0ab

ab

12

ba

12

ab72

ba

JJ

J22tg

2223

22

yx

yx

o

00

00

Kąt o jest dodatni i wskazuje kierunek momentu J1.

Osie centralne

Osie główne

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 110

Momenty bezwładności figur prostych

Figura Jx Jy Jxy

3

bhJ

12

bhJ

3

x

3

xo

3

hbJ

12

hbJ

3

y

3

yo

4

hbJ

0J

22

xy

yx oo

12

bhJ

36

bhJ

3

x

3

xo

12

hbJ

36

hbJ

3

x

3

xo

24

hbJ

72

hbJ

22

xy

22

yx oo

4

R

64

DJ

4

4

x

4

R

64

DJ

4

4

y

0Jxy

8

R

128

DJ

R1098,0

D00686,0

9

8

816

DJ

44

x

4

4

4

xo

8

R

128

DJ

4

4

y

0J

0J

ooyx

xy

16

R

256

DJ

R0549,0

9

4

16RJ

44

x

4

4xo

16

RJ

4

x

4

4

4

yx

4

xy

R0165,0

9

R4

8

RJ

8

RJ

0o

09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc 111

PRZYKŁAD Dla figury płaskiej pokazanej wyznaczyć wartości centralnych momen-

tów bezwładności.

2t

5t

7t

2t

t

t3t

1

2

4

3"3'

X

C2

1C

4C

3C'3C"

C

Y=

Y2

Y1

X1

X2

X3X3

3Y

3Y

X44Y

Ys

Xs

y s

Figura złożona zostaje podzielona na figury proste. Korzystając ze wzorów na wyznaczanie środka ciężkości względem osi X-Y otrzymuje się

.0x

,t62,3t29

t105

t14t5,12t6t6

tt14t3

12t5,12t5t6t9t6

y

s

2

3

2222

2222

s

Osiowe momenty bezwładności wynoszą

,t00,311t77,100t57,22t43,29t67,175

tt62,3t1412

t2t7t3

12t62,3t5,1

36

tt32

t62,3t5t612

t6tt62,3t9t6

12

t2t6J

44444

2

t62,2

232

t287,1

23

2

t38,1

22

t38,5

223

sx

.t42,70t17,57t125,42t5,0t5,412

)t7(t2

t33

1t5,0t5,1

36

t3t2

12

tt6

12

t3t2JJ

444443

2

t5,1

2333

yys

Figura 1

Figura 3’ i 3”

Figura 4

Figura 1

Figura 2

Figura 2

Figura 3’ i 3”

Figura 4